Моделирование процессов пространственной эволюции релятивистских пучков заряженных частиц в газовых средах и внешних полях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Квитко, Геннадий Васильевич

• Квитко, Геннадий Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Квитко, Геннадий Васильевич

Введение.

Глава I. Модель стационарного релятивистского электронного пучка на основе кинетического уравнения.

1.1. Кинетическое уравнение для электронов РЭП.

1.2. Система уравнений для РЭП в сферическо-цилиндрической системе координат в приближении Фоккера-Планка.

1.3. Система уравнений для моментов функции распределения электронов РЭП.

1.4. Система уравнений для интегральных характеристик РЭП.

1.5. Аналитическое исследования моментных уравнений. Аналогия с газовой динамикой.

1.6.Учёт собственных и внешнего магнитного полей РЭП в параксиальном приближении.

Глава П. Численные методы решения задачи.

II. 1. Схема Годунова ("распад разрыва").

П. 1.1. Исходная система уравнений и инварианты Римана.

П. 1.2. Разностная схема.

П. 1.3. Вычисления "больших величин".

И.2.Схема Неймана-Рихтмайера ("крест").

П.З.Схемы Лакса-Вендрофа ("предиктор-корректор ").

Глава П1. Пространственная эволюция пучка в однородном разреженном газе в отсутствие внешних полей.

1П.1. Численное исследование поведения полностью скомпенсированного

РЭП при различной начальной инжекции.

П1.2. Сравнительные исследования по различным расчётным схемам.

Ш.З. Транспортировка РЭП с учётом динамики зарядовой компенсации.

П1.4. Пространственная и временная релаксация. РЭП в среде с переменным давлением.

Глава IV. Пространственная релаксация РЭП во внешних магнитных полях.

IV. 1. Система моментных уравнений РЭП в магнитном поле.

IV.2. Релаксация РЭП в постоянном магнитном поле.

IV.3. Релаксация РЭП в поле соленоида.

IV.4. Задача об оптимальной транспортировки РЭП в поле магнитных линз.

Глава V. Численное решение задачи транспортировки РЭП в специальных устройствах вывода.

V.1 Фокусировка РЭП в устройстве вывода со встречной струёй газа.

V.2 Фокусировка РЭП в устройствах вывода с дифференциальной откачкой газа.

V.3. Фокусировка РЭП в устройствах вывода с дифференциальной откачкой газа и содержащих систему магнитных линз.

V.4 Самосогласованная задача.

V.4.I. Учет собственных полей в моментных уравнениях.

V.4.2. Решение уравнения Пуассона методом вложенных сеток.

Глава VI. Численное моделирования стационарного РЭП методом крупных частиц.

VI. 1. Обобщённый метод "крупных частиц".

VI.2. Расчёты " холодных " пучков методом трубок тока.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование процессов пространственной эволюции релятивистских пучков заряженных частиц в газовых средах и внешних полях»

Настоящая диссертация посвящена методам математического моделирования пространственного формирования пучков заряженных релятивистских частиц в газовых средах и внешних полях.

Сильноточные релятивистские пучки заряженных частиц нашли широкое применение в современной науке и технике. Область их приложения разнообразна и охватывает многие разделы, включая физику элементарных частиц, физику плазмы, генерацию волн СВЧ, накачку лазеров, управляемый термоядерный синтез, разработку новых типов ускорителей заряженных частиц. Их используют в медицине, в космосе, при обработке металлов, дефектоскопии, в электронных приборах и т.д.

В зависимости от области применения, параметры пучков (энергия частиц, ток, пространственное распределение плотности частиц) могут быть различны. Во многих случаях пучок имеет цилиндрическую форму (иногда с изменяющимся по длине поперечным сечением) и состоит из заряженных частиц, движущихся в направлении, примерно параллельном оси цилиндра. Другая встречающаяся форма пучка - это плоский или ленточный пучок с очень большими поперечными размерами в одном направлении и относительно малыми в другом. В исследованиях по термоядерному синтезу и в современных суперколлайдерах изучались релятивистские электронные пучки, имеющие трубчатую структуру.

В последнее время значительное внимание уделяется исследованию процессов, сопровождающих транспортировку релятивистских электронных пучков (РЭП) в газовых и особенно в газоплазменных средах. Среди указанных процессов одно из основных мест занимает проблема поперечной эволюции пучка при наличии внешних электромагнитных полей. В частности, для ослабления поперечной дисперсии пучка в линейных ускорителях может использоваться как продольное внешнее магнитное поле, так и предварительно созданный фокусирующий ионный канал [1— 3]. Кроме того, при космических исследованиях могут быть использованы РЭП, распространяющиеся вдоль геомагнитного поля в режиме ионной фокусировки [з]. В известных работах Ли и Купера [1,2] был развит подход, основанный на использовании уравнений огибающей, который позволяет сравнительно просто устанавливать основные качественные и количественные особенности динамики транспортировки осесимметричных РЭП в газоплазменных средах. Однако применение указанного метода к решению конкретных задач создает необходимость в определенных предположениях о характере радиального профиля плотности пучка. Ясно, что единственным строгим и наиболее полно описывающим все проблемы, связанные с транспортировкой РЭП, является подход, основанный на решении кинетического уравнения для функции распределения электронов пучка. В общем случае эта задача является весьма сложной и может быть решена только на основе использования соответствующих численных методов. Однако, как показывают теория и эксперимент [1,2,4] в определенных условиях сравнительно просто может быть найден вид функции распределения в асимптотическом пределе по времени. В частности, в соответствии с результатами работы [¡] произвольное распределение частиц в поперечном сегменте параксиального аксиально-симметричного РЭП, который распространяется в однородной рассеивающей газопламенной среде в состоянии, близком к динамическому равновесию, с течением времени асимптотически приближается к изотермическому распределению Бенета. Этот вывод, сделанный на основе теоретических выкладок, подтверждён экспериментальными данными, приведёнными в работах [4,5]. В работе [6] было показано, что соответствующее асимптотическое распределение, при выполнении определённых условий, устанавливается и в пучке, который движется в однородной рассеивающей газоплазменной среде при наличии компенсирующего ионного фона и внешнего магнитного поля, которые часто встречаются на практике. В этом случае многократное кулоновское рассеяние электронов пучка на атомах среды будет приводить к формированию автомодельного гауссова профиля плотности РЭП (в отличие от профиля Беннета, который устанавливается в самосжимающемся пучке, распространяющемся в рассеивающей среде при отсутствии внешних электромагнитных полей [1]).

Несомненный интерес в комплексе проблем, связанных с транспортировкой РЭП, представляет изучение условий стабильной проводки пучка по омическим плазменным каналам. В частности, в работах [7-12] рассмотрены некоторые ситуации, когда имеет место, стабилизирующее влияния плазменных каналов на распространение РЭП. В работе [13] в электростатическом приближении рассчитано притягивающая к каналу трекинг-сила в условиях низкой проводимости омического канала. Кроме того, в [8,9,11,12] рассмотрены каналы, в которых основная часть обратного плазменного тока находится вне пучка, что при боковых отклонениях РЭП приводит к ослаблению шланговых колебаний [14,15]. В работе [7] были представлены результаты численной имитации пучково-плазменного взаимодействия при транспортировке РЭП по омическим плазменным каналам с учетом наработки проводимости в результате ударной и лавинной ионизации канального газа. Было показано, что в головной части пучка имеет место электростатический трекинг (т.е. притяжение к омическому каналу), тогда как в основной части пучка ("теле" РЭП) наблюдается выталкивание РЭП из канала. Очевидно, что последний эффект обусловлен увеличением проводимости за счет ударной и лавиной • ионизации канального газа и соответствующим ростом вблизи оси канала дестабилизирующего обратного плазменного тока. В работе [16] , была получена формула для расчета силы пучково-канального взаимодействия в условиях полной нейтрализации пространственного заряда РЭП для произвольных значений амплитуды отклонения оси канала от оси пучка.

Повышенный интерес к прикладному использованию сильноточных релятивистских электронных пучков (СРЭП), взаимодействующих с различными газовыми средами, предопределен не только их уникальными возможностями по транспортировки энергии высокой плотности, но и возможностью осуществления ряда селективных плазмохимических реакций или синтеза соединений в пучковой плазме [44-46]. Целый ряд плазмохимических технологий, используемых, например, в металлургии при утилизации отходов производств или в синтезе углеводородов, требует сохранения транспортных характеристик пучка по всей длине плазмохимического реактора. Производительность последнего существенно зависит от устойчивости РЭП [12,54-57]. Режим и характер взаимодействия СРЭП с газовой средой определяется из заданных условий работы плазмохимического реактора. В одних случаях необходимо осуществить эффективную объемную рекуперацию энергии РЭП в газ в процессе осуществления отдельных химических реакций и тогда может быть рекомендован режим с крупномасштабной резисторной неустойчивостью пучка [58]. В другом случае накладываются жесткие требования на устойчивость распространения пучка с минимально возможными потерями в процессе его транспортировки в объеме реактора при нормированных параметрах *.' газовой среды (состав, давление, температура и т.д.). Регулирование в таких широких пределах режимов распространения СРЭП в газовых объемах реактора, не использующих сильно фокусирующих внешних магнитных полей, стало возможным в результате проведенных ранее исследований, обнаруживших достаточно эффективное стабилизирующее действие начального участка инжекции (транспортировки) СРЭП [59].

Устойчивая транспортировка РЭП через различные газовые среды может быть нарушена или даже вообще сорвана из-за развития крупномасштабных неустойчивостей, среди которых определяющей является резисторная шланговая неустойчивость (РШН). Данная неустойчивость была и по-прежнему остается предметом многочисленных теоретических и экспериментальных исследований [15,25,47,48]. При изучении механизмов развития РШН не были оставлены без внимания исследователей и процессы, касающиеся образования плазменного канала формируемого пучком в газе [49-53]. В работах [60,61] исследуется влияние различных параметров изменяющегося по плотности плазменного канала, созданного в результате ионизации нейтральной компоненты фонового газа потоком излучения вспомогательного ультрафиолетового лазера, на динамику развития и поведения шланговой неустойчивости РЭП. Во всех этих случаях требуется выявить основные определяющие закономерности устойчивой или неустойчивой транспортировки РЭП в зависимости от параметров и сорта газовой среды. Знание этих закономерностей может быть использовано при разработке методов подавления или стабилизации РШН и их последующего применения в различных технологических приложениях с участием СРЭП.

Все приведенные выше исследования, как и многие другие [17-40], напрямую связанны с решением одной из важнейших проблем релятивистских электронных пучков в плотных газоплазменных средах - изучению поперечной эволюции пучка в рассеивающем фоновом газе. Вследствие сильной неравновесности процесса распространения РЭП в газоплазменной среде, а также доминирующего влияния, которое оказывает на этот процесс коллективное электромагнитное поле, возбуждаемое зарядами и токами частиц пучка и плазмы, естественной методологической основой для построения моделей транспортировки РЭП в газоплазменной среде является аппарат кинетических уравнений Власова-Больцмана с самосогласованным полем и следующих из них уравнений для моментов функции распределения частиц пучка и фазовых средних. В общем случае указанные модели наряду с самосогласованным полем должны учитывать воздействие на частицы пучка внешних электромагнитных полей, а также эффект рассеяния частиц пучка в столкновениях с частицами фонового газа.

В этой связи следует отметить теоретические работы [41-43], в которых последовательно и строго развивается кинетический подход в решении этой проблемы. В частности, в статье [42] с помощью кинетических методов были получены основные уравнения поперечной динамики параксиальных моноэнергических РЭП: уравнения вириала, условие динамического равновесия и уравнение огибающей аксиально-симметричного параксиального релятивистского электронного пучка, в ситуации, когда радиальный профиль обратного плазменного тока отличается от радиальной конфигурации плотности тока самого пучка. Следует заметить, что последнее предположение существенно усложняет получение основных уравнений поперечной динамики РЭП, включая и вывод уравнения огибающей пучка с помощью кинетического уравнения. Известно, что в параксиальном приближении [1,6,37] продольное движение частиц пучка является детерминированным, в тоже время распределение частиц РЭП по поперечным импульсам и координатам носит стохастический характер и описывается соответствующим кинетическим уравнением. При выводе этих уравнений авторы ограничились рассмотрением представляющего основной практический интерес случая параксиального азимутально-симметричного пучка с осью симметрии, совпадающей с направлением распространения пучка вдоль оси г цилиндрической системы координат. Также как и в работах [1,2,22] пучок представлялся в виде совокупности тонких поперечных сегментов, каждый из которых инжектируется в момент времени í = т и содержит фиксированной число частиц. Предполагалось, что все частицы данного сегмента имеют одинаковую релятивистскую массу ту и продольную скорость У2 = /3-е так, что на выходе из инжектора пучок является моноэнергетическим. Среда, в которой распространяется пучок, считалась однородной, а все частицы сегментов одинаковым образом эволюционируют по координате г и в любой момент времени имеют одинаковую энергию £•(/) и релятивистскую массу т = ту - £•(/)/с2, причем в процессе распространения сегменты не пересекаются [1,6,38].

При распространении сильноточного пучка заряженных частиц в плотной газовой среде происходит интенсивное выделение тепловой энергии в области, занятой пучком. Выделение энергии в ограниченном объеме газа вызывает быстрый рост температуры и давления в этой области. Расширение разогретого газа приводит к образованию расходящейся ударной волны и разреженного канала в зоне действия источника энергии. Интенсивное выделение тепловой анергии в канале пучка оказывает существенное влияние на течение газа в струе. Резкое повышение давления приводит к нарушению структуры струи и выбросу газа как во внешнюю область, так и в направлении вакуумной камеры. Возникающее при этом увеличение натекающего потока может сказаться на работе устройства вывода. Все эти явления при определенных условиях могут существенно повлиять на процесс транспортировки пучка, а их учет математически усложняет решение задачи. Когда пучок является аксиально-симметричным и его параметры вдоль оси распространения меняются плавно, то возникающие при этом движения газа, достаточно точно описываются одномерными уравнениями газовой динамики.

В настоящей работе были рассмотрены такие условия транспортировки РЭП, когда указанные явления можно было не принимать во внимание.

В ряде случаев при практическом использовании пучков заряженных частиц требуется осуществлять вывод пучка из ускорителя во внешний объем, занятый плотным газом. Для нормальной работы ускорителя необходимо, чтобы давление остаточного газа

5 —7 в области между катодом и анодом не превышало 10 -10 тор. Если плотность остаточного газа превосходит плотность электронов в пучке, то возможно возникновение сильного обратного тока, приводящего к уменьшению разности потенциалов между •< катодом и анодной сеткой и нарушающего работу электронной пушки. Таким образом, при выпуске пучка в атмосферу с нормальным давлением устройство вывода должно

3 —7 обеспечивать перепад давления от 10 до 10 тор. В устройстве вывода происходит процесс зарядовой нейтрализации пучка, связанный с ионизацией остаточного газа. Вторичные электроны выталкиваются из пучка, а ионы захватываются в потенциальную яму пучка. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не достигается равновесие между скоростью ухода электронов и ионов из пучка и скоростью их образования. Равновесное состояние зависит от таких факторов, как энергия частиц пучка, давление газа, сечение ионизации и энергия вторичных электронов. Степень нейтрализации пучка может меняться по его длине. Нейтрализация пространственного заряда пучка приводит к фокусировке пучка собственными магнитными полями с последующим его выходом на равновесный радиус. Транспортировка пучка в устройстве вывода, происходящая во внешних магнитных полях, должна обеспечить минимальные потери полного тока пучка и минимальное увеличение его равновесного радиуса. Кроме того, устройство вывода не должно бьггь источником возникновения различного рода неустойчивости пучка заряженных частиц. Плазма, образующаяся в той части устройства вывода, где плотность газа мала, может быть сильно ионизированной, а по мере повышения давления становится слабо ионизированной. Таким образом, набор возможных неустойчивостей в системе пучок-плазма меняется.

Конкретная конструкция устройства вывода зависит от его назначения и параметров применяемых пучков. Для заряженных пучков с малой плотностью энергии выпуск можно осуществлять через тонкую мембрану, отделяющую вакуумную камеру от внешнего пространства. При увеличении тока пучка и длительности импульса тепловое воздействие пучка заряженных частиц на мембрану приводит к ее разрушению. Поэтому для интенсивных пучков применяются устройства вывода с открытым отверстием. Диаметр сквозного канала обычно находится в пределах 10-50 мм. При работе в импульсном режиме с большими паузами между импульсами может применяться система предварительно откаченных вакуумных камер и клапанов, перекрывающих канал, с последующей откачкой натекшего газа. Для длинноимпульсных пучков промежуток времени, в течение которого устройство вывода должно оставаться открытым, может быть достаточно большим и такая ресиверная система вывода становится невозможной. В этом случае для перекрытия выводного канала применяются различные типы газовых или жидкостных завес. В устройство вывода включаются специальные конфигурации внутренних диафрагм и используются мощные средства откачки.

В диссертации проведено численное моделирование процессов пространственной эволюции релятивистского электронного пучка (РЭП) в газовой среде и внешнем продольном магнитном поле. Рассмотрены вопросы, касающиеся формирования пучка, способов его фокусировки и оптимальной транспортировки в различных системах вывода.

В первой главе для квазистационарного осесимметрического пучка релятивистских электронов в параксиальном приближении и в отсутствии коллективных азимутальных движений определено кинетическое уравнение для функции распределения электронов пучка с учетом столкновительных процессов с атомами среды. В приближении Фоккера-Планка получена система уравнений для пучка в цилиндрическо-сферической системе координат. По известной технологии, из кинетического уравнения получена замкнутая нелинейная система из шести интегро-дифференциальных уравнений для моментов функции распределения до второго порядка включительно, которая положена в основу проведения всех дальнейших численных расчетов. Осуществлен переход от эйлеровой формы представления системы моментных уравнений к лагранжевой, позволивший разрешить вычислительные проблемы на границе пучка. Интегрированием моментных уравнений по координатному пространству в рамках некоторых приближений получена система обыкновенных дифференциальных уравнений для интегральных характеристик пучка, учитывающая как воздействие собственных и внешних магнитных полей, так и процессы столкновений. Эта система удобна для приближенного описании РЭП. Для упрощенного варианта системы из четырех моментных уравнений проведены аналитические исследования, выявившие общие и отличительные черты уравнений для пучка с уравнениями газовой динамики. В рамках параксиального приближения определен вид собственных и внешних магнитных полей различной конфигурации, влияющих на РЭП.

Во второй главе рассмотрены численные методы решения системы моментных уравнений. Квазилинейный гиперболический тип полученной системы моментных уравнений обусловил выбор стандартных разностных схем, используемых для ее численного решения. Это схемы Неймана-Рихтмайера (крест), Лакса-Вендроффа (предиктор-корректор) и Годунова (распад разрыва) и специальных алгоритмов итераций по нелинейностям. Наиболее сложной в плане своей конструкции и технической реализации явилась схема распада разрыва. Для этой схемы был разработан и реализован в расчетной программе подробный алгоритм численного решения системы, состоящей из четырех моментных уравнений в эйлеровых переменных. В алгоритме учтены все возможные конфигурации автомодельной картины, возникающей в плоскости (г, г) течения, содержащие ударную волну, волну разрежения и контактный разрыв. Во втором и третьем разделах главы обсуждаются вопросы, связанные с конструкцией и возможностями двух других схем. Рассмотрены условия их устойчивости и, в этой связи, целесообразности использования искусственной вязкости. Предложены различные варианты ее задания.

В третьей главе рассмотрена пространственная эволюция пучка в однородном разреженном газе в отсутствии внешнего магнитного поля. Численно исследовано поведение полностью скомпенсированного пучка при различных начальных условиях. Проведен сравнительный анализ расчетов по различным схемам. В рамках некоторой, модели, описывающей процесс нейтрализации объемного заряда электронов пучка ионами среды, рассматривается транспортировка пучка в однородном и неоднородном газе с учетом динамики компенсации. В частности, исследовано поведение РЭП в среде с переменным давлением, которое создает газовая струя, истекающая в устройство вывода навстречу пучку. Возникающий градиент давления газа обеспечивает условия необходимые для устойчивой самофокусировки РЭП. Показано, что при определенных условиях рассматриваемая задача становится автомодельной.

В четвертой главе исследовалась пространственная эволюция пучка во внешнем магнитном поле. Применительно к этим условиям, для обеспечения устойчивой работы вычислительной программы, была модифицирована система моментных уравнений, путем введения новых рассчитываемых функций. На ее основе численно исследуется релаксация РЭП к установившемуся (стационарному) режиму его транспортировки в устройстве вьюода (УВ) при различных начальных условиях инжекции. Степень "неравновесности" пучка регулируется заданием различных начальных значений его эмиттанса (или среднеквадратичного радиуса), отличных от своих равновесных значений, оценка которых осуществлялась либо из самих моментных уравнений, либо из уравнения для среднеквадратичного радиуса (огибающей). Транспортировка пучка в камере дрейфа осуществлялась во внешних магнитных полях различной конфигурации: постоянное однородное магнитное поле, поле соленоида и поле системы из магнитных катушек (линз), расположенных в УВ по ходу движения пучка. Для определения оптимальной конфигурации этой системы линз (геометрия, величина напряженности, положение в УВ), которая обеспечивала бы требуемый режим транспортировки пучка, был разработан соответствующий алгоритм. Для некоторой, специальным образом сконструированной многопараметрической критериальной функции, решалась задача на экстремум, таким образом, чтобы оптимальная конфигурация отвечала минимуму этой функции. Процедура минимизации представляла собой один из вариантов метода покоординатного спуска. Сама критериальная функция зависела (помимо параметров катушек) от начальных условий задачи и некоторых важнейших интегральных характеристик пучка, которые позволяли оценить состояние пучка и его пространственную форму. Приведены некоторые варианты решений этой задачи.

В пятой главе решалась задачи о транспортировки пучка в конкретных устройствах вывода с конкретными требованиями к параметрам и характеру движения самого пучка. Сначала для УВ с натекающей встречной струей газа были определены условия, по которым пучок должен был выйти из камеры дрейфа, сфокусированным до нужных размеров в состоянии установившегося (равновесного) движения. Затем была решена задача о самофокусировке пучка при его инжекции в УВ с дифференциальной откачкой газа. В этой ситуации была использована простейшая модель среды, с кусочно-постоянным по эволюционной переменной профилем давления. Такую модель можно рассматривать как систему газовых линз определенной ширины и давления. Как и для системы магнитных линз, здесь также требовалось решать проблему оптимизации параметров, но уже газовых линз. Исследовалась релаксация неравновесного пучка для различных начальных условий инжекции. Наконец; была исследована фокусировка пучка при одновременном применении активного и пассивного способов фокусировки - пучок двигался в двойной системе линз, газовых и магнитных. Была показана эффективность такого способа формирования пучка с наперед заданными характеристиками.

В четвертом разделе этой главы были обсуждены способы решения задачи транспортировки электронного пучка в самосогласованном поле. Предложен итерационный алгоритм, по которому проводится решение системы моментных уравнений для пучка и двумерного уравнения Пуассона для собственных электрических полей.

В шестой главе предложена обобщенная модель крупных частиц, позволяющая относительно просто учесть процессы рассеяния. Пучок в ней представляется в виде суммы конечных элементов - модельных частиц, характеризующихся набором параметров. Это масса, координаты центра тяжести, среднеквадратичный радиус и геометрические размеры в координатном и фазовом пространствах. Уравнения для этих параметров получаются усреднением по координатному пространству моментных уравнений, учитывающих влияние полей и столкновительные процессы. По заданной функции распределения электронов РЭП, ядро которой зависит от параметров всех конечных элементов, рассчитываются плотности зарядов и токов и для них решаются уравнения для электромагнитных полей. В результате, рассматривается самосогласованная задача эволюции РЭП в пространстве, ограниченном поверхностями с заданным распределением потенциалов и заполненном газом. Предложенная многопотоковая модель электронного пучка представлена в основном в теоретическом аспекте. Численные же расчеты параметров " холодных " пучков, на которые ориентированы все методы крупных частиц, были проведены на основе хорошо известного метода трубок тока. Рассмотрены пучки с гауссовским и трубчатым начальными профилями плотности.

Основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту, заключаются в следующем:

1. На основе кинетического уравнения разработана теоретическая модель описания пространственной эволюции сильноточного релятивистского электронного пучка в газовой среде при воздействии на него собственных и внешних магнитных полей.

2. В рамках многомоментного приближения получена замкнутая гиперболическая система интегро-дифференциальных уравнений и определена задача Коши для расчета параметров транспортировки пучка, учитывающая воздействие внешних полей и процессов рассеянии электронов пучка на частицах фонового газа.

3. Получена система обыкновенных интегро-дйфференциальных уравнений для расчета интегральных характеристик пучка, весьма эффективная для приближенного исследования пучков, которая в предельной ситуации сводится к широко используемому в физике пучков уравнению для среднеквадратичного радиуса Ли-Купера.

4. Разработан вариант обобщенного метода крупных частиц (многопотоковая модель), позволяющий естественным образом учитывать процессы рассеянии электронов РЭП на частицах среды.

5. Разработан пакет прикладных вычислительных программ, полностью реализующих весь комплекс требуемых численных решений задачи.

6. Численно исследована модельная задача транспортировки РЭП в газовой среде с постоянной и переменной плотностью с учетом процессов компенсации объемного заряда пучка ионами газовой среды и при наличии внешних магнитных полей различной конфигурации - постоянное, соленоидальное, гофрированное системой магнитных линз.

7. Исследованы условия оптимального прохождения РЭП (с сохранением его конктретных транспортных характеристик) при различных начальных условиях его инжекции в различные устройства вывода, обеспечивающие как пассивные, так и активные способы фокусирования пучка.

8. Методом крупных частиц произведены расчеты параметров транспортировки холодных пучков (гауссовых и трубчатых) в газе при воздействии продольного внешнего магнитного поля.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Квитко, Геннадий Васильевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении еще раз перечислим в синтезированном виде основные результаты теоретических исследований, математического моделирования и вычислительного эксперимента.

В работе рассмотрен ряд вопросов, касающихся формирования релятивистских электронных пучков, способов их фокусировки и оптимальной транспортировки в устройствах вывода. Исследовано влияние начальных условий инжекции, параметров самого пучка, газовой среды и внешних полей на характер его пространственной эволюции.

За естественную методологическую основу построения модели транспортировки РЭП в газовой среде был взят аппарат кинетического уравнения Больцмана с самосогласованным полем и следующих из него уравнений для моментов функции распределения частиц пучка.

Получено квазистационарное кинетическое уравнение для функции распределения электронов пучка с учетом их столкновений с атомами среды. Использовано параксиальное приближение, при котором продольное движение частиц пучка является детерминированным, а распределение частиц РЭП по поперечным импульсам и координатам носит стохастический характер. В пренебрежении азимутальным коллективным движением электронов РЭП рассмотрен случай осесимметрического пучка, распространяющегося вдоль оси г цилиндрической системы координат.

В приближении Фоккера-Плаяка получена система уравнений для пучка в цилиндрическо-сферической системе координат, которая представляет теоретический и методологический интерес и может быть рассмотрена в качестве одного из возможных вариантов математической модели транспортировки РЭП.

По известной технологии, из кинетического уравнения генерирована цепочка моментных уравнений, которая для моментов функции распределения до второго порядка включительно замкнута в нелинейную систему из шести интегро-дифференциальных уравнений. Дополненная соответствующими начальными и граничными условиями, эта система определяет задачу Коши. На ее численном решении базируется весь вычислительный комплекс по исследованию процессов транспортировки РЭП. Переход от эйлеровой формы описания этой системы к лагранжевой позволил решить принципиальные вычислительные проблемы, связанные с корректным расчетом границ пучка. Записанные в дивергентном виде уравнения этой системы математически выражали собой известные законы сохранения.

Интегрированием моментных уравнений по координатному пространству в рамках некоторых приближений получена система обыкновенных дифференциальных уравнений для интегральных характеристик пучка, учитывающая как воздействие собственных и внешних магнитных полей, так и процессы столкновений. Такая система удобна для приближенного описания РЭП. Показано, что при выполнении определенных требований, эта системы легко преобразуется в известное уравнение Ли-Купера для среднеквадратичного радиуса.

Для упрощенного варианта системы из четырех моментных уравнений проведены аналитические исследования, выявившие общие и отличительные черты уравнений для пучка с уравнениями газовой динамики. В рамках параксиального приближения определен вид собственных и внешних магнитных полей различной конфигурации, влияющих на РЭП.

Проведен анализ численных методов решения системы моментных уравнений. Гиперболичность и квазилинейность моментной системы и определенное сходство ее свойств с уравнениями газовой динамики обусловили их конкретный выбор - схема Годунова (распад разрыва), Неймана-Рихтмайера (крест) и Лакса-Вендрофа (предиктор-корректор). Были изучены их возможности и степень пригодности для решения системы моментных уравнений при различных условиях транспортировки РЭП. Итогом этих исследований явился разработанный конкретный пакет расчетных программ, максимально реализующих весь вычислительный процесс по решению поставленной задачи.

На базе разработанного комплекса вычислительных программ численно исследована задача пространственной эволюция РЭП в однородном и неоднородном газе в отсутствии внешнего магнитного поля. Изучено поведение полностью скомпенсированного пучка при различных начальных условиях.

В рамках приближенной модели, описывающей процесс нейтрализации объемного заряда электронов пучка ионами среды, рассмотрена бесстолкновительная транспортировка РЭП в однородном и неоднородном газе с учетом динамики компенсации.

Результаты проведенных расчетов, показали, что при неравновесной инжекции процесс распространения пучка всегда сопровождается возникновением коллективного движения частиц, отражаемого изменением среднеквадратичного радиуса, характеризующего радиальный размер пучка. Его движение имеет характер периодических затухающих колебаний, в процессе которых пучок выходит на движение близкое к равновесному, которое в дальнейшем сохраняется. Процесс затухания коллективных движений частиц пучка и перестройка функции распределения существенно отличает моментный подход от уравнения "огибающей", которое, дает незатухающие колебания среднеквадратичного радиуса.

Показано, что основную роль в затухании радиальных движений и установлении равновесного распределения играет нелинейность действующих на пучок сил. Конкретным диссипативным фактором является возникновение в решении разрывов, которые представляют собой серию расходящихся ударных волн. Особенно сильные ударные волны образуются, когда начальный радиус пучка значительно отличается от равновесного. Ударные волны возникают на этапе перехода пучка от сжатия к расширению. При уменьшении амплитуды колебаний, они зарождаются все дальше от оси, и их интенсивность уменьшается.

Колебания совершаются около некоторого не зависящего от переменной г значения Я = Л(0) •[£(()) /£*], где Е(0) и Е* - начальное и равновесное значения эмиттанса пучка, а Л(О)- начальное значение среднеквадратичного радиуса. Конечный режим релаксации - это режим "огибающей". Это явление происходит независимо от начального значения радиальной скорости, что понятно, если учесть, что значение "эффективного эмиттанса" для всех рассматриваемых начальных условий одинаково.

Очевидным становится факт, что при неравновесной инжекции пучка среднеквадратичный радиус нельзя уже считать достаточно хорошей характеристикой для описания процесса релаксации РЭП при его транспортировке в газовой среде, поскольку на его численное значение большой вклад оказывают последние 1 - 5 % "массы" электронов пучка. В этом плане более объективной характеристикой радиального размера пучка следует считать линии тока.

Было показано, что в рамках принятой модели компенсации задача о транспортировке РЭП в однородном газе становится автомодельной.

Моментный подход к описанию формы стационарного РЭП, распространяющегося в газовой среде, позволяет достаточно полно учесть процесс рассеяния электронов пучка на атомах среды.

Исследовалось поведение РЭП в среде с переменным давлением, которое создает газовая струя, истекающая в специальное устройство вывода через отверстие заданного диаметра при заданных граничных условиях навстречу пучку. Создаваемый струей градиент давления обеспечивал условия, требуемые для устойчивой самофокусировки РЭП. Анализ серийных расчетов показал, что при неравновесной инжекции через 3-4 колебания среднеквадратичного радиуса пучок выходит на стационарное движение с некоторым (порядка 40%) увеличением эмиттанса. Для осуществления полного токопрохождения при этом необходимо было, чтобы выполнялось условие £(0)<0.5-£*. При равновесной инжекции в стационарном состоянии остаются слабозатухающие вдоль оси колебания с малой амплитудой, что связано с отличием начальных профилей плотности и компонент тензора давлений от равновесных. Численные расчеты подтвердили факт - при различных начальных условиях инжекции среднеквадратичный радиус R(z), совершая затухающие колебания, в конечном итоге выходит на стационарный режим (релаксирует к равновесному режиму), после чего, осциллирует около величины близкой к R(0) • [£(0) / Е ].

Численно исследована пространственная эволюция пучка во внешнем продольном магнитном поле. В этих условиях, для обеспечения устойчивой работы вычислительной программы, была модифицирована система моментных уравнений, путем введения новых рассчитываемых функций. Транспортировка пучка в камере дрейфа осуществлялась во внешних магнитных полях различной конфигурации: постоянное однородное магнитное поле, поле соленоида и поле системы из магнитных катушек (линз), расположенных в УВ по ходу движения пучка.

Внешнее магнитное поле, создаваемое соленоидом конечных размеров, рассматривалось в параксиальном приближении. Соленоид как модель системы транспортировки имеет все особенности почти любой системы транспортировки - поля рассеяния и участок с квазиоднородным полем. Когда длина периода бетатронных колебаний существенно меньше длины соленоида, система транспортировки является для пучка достаточной при выявлении особенностей ввода пучка в систему, собственно транспортировки и вывода его из системы.

Полученные результаты численных расчетов задачи прохождения РЭП через соленоид выявили следующие закономерности. Частота колебаний среднеквадратичного радиуса при всех исследованных значениях тока пучка и его начального эмиттанса в первую очередь определяется полем внутри него. Амплитуда этих колебаний растет с увеличением эмиттанса. Гораздо слабее она зависит от силы тока пучка.

Расчеты показали возникновение ударных волн. В схемах типа Лакса-Вендроффа их наличие, как правило, отображается в виде сильных осцилляций рассчитываемых параметров. При значениях тока в 1 кА и выше, величины радиальной иг и азимутальной и^ составляющих вектора средней скорости начинали достигать значений близких и даже больших величины продольной составляющей скорости uz. Это означает, что для расчета таких ситуаций необходимо использовать непараксиальные уравнения для РЭП.

При транспортировке РЭП в магнитном поле, создаваемом системой магнитных линз, была создана оптимальная конфигурация, обеспечивающая сохранение требуемых транспортных свойств пучка на всем пути движения в УВ и его максимальное токопрохождение. Для определения такой оптимальной конфигурации, учитывающей геометрию линз, величину напряженности на них и их положение в УВ, был разработан соответствующий алгоритм.

Справедливость параксиального приближения для параметров пучка обеспечивалась условиями инжекции, при которых ток пучка брался много меньшим альфвеновского, а параксиальное приближение поля системы магнитных катушек обеспечивалось тем, что размеры катушек с током были велики по сравнению с радиальными размерами самого пучка.

Полученные результаты численных исследований процессов пространственной релаксации РЭП в поле магнитных линз показали, что, несмотря на возможную качественную перестройку плотности и давления РЭП, использование модели огибающей, вполне приемлемо для решения оптимизационных задач.

Решена задача о транспортировке РЭП в конкретных устройствах вывода с конкретными требованиями к параметрам и характеру движения самого сфокусированного пучка. Были рассмотрены как активных методы фокусировки пучков, использующие внешние магнитные поля, так и пассивные, основанные на взаимодействии выведенного пучка с плазмой. В частности, был использован один из наиболее разработанных методов пассивной фокусировки, осуществляемый за счет градиента давления в камере дрейфа. Он был применен сначала в задаче с инжекцией пучка в устройство вывода с натекающей встречной струей газа.

Ее механизм объясняется тем, что время пробоя газа увеличивается по длине системы, приводя к спаданию обратного тока по продольной координате. В результате движение частиц пучка происходит в суммарном азимутальном собственном магнитном поле, имеющем градиент по направлению распространения пучка. Возникающий при этом радиальный дрейф стремится стянуть электроны к оси пучка.

Было показано, что при инжекции близкой к равновесной эта задача в целом успешно решается. Однако при инжекции с начальным эмитгансом значительно большим равновесного самофокусировка на рассматриваемых в задаче расстояниях не развивается и токопрохождение минимально. В связи с этим было рекомендовано для обеспечения полного прохождения пучка через устройство вывода дополнительно использовать внешнее продольное магнитное поле.

Кроме того, решалась задача о самофокусировке пучка при его инжекции в УВ с дифференциальной откачкой газа. В этой ситуации была использована простейшая модель среды, с кусочно-постоянным по эволюционной переменной профилем давления. Такую модель можно рассматривать как систему газовых линз определенной ширины и давления. Как и в случае системы магнитных линз, эта задача требовала выбора оптимальной для транспортировки РЭП конфигурации, но уже газовых линз.

Численный эксперимент по выводу пучка на определенный стационарный режим транспортировки для непрерывной и кусочно-непрерывной моделей газовой среды каких-либо серьезных качественных различий в поведении пучка не выявил.

Наконец, была исследована фокусировка пучка при одновременном применении активного и пассивного способов фокусировки. Рассматривалась задача о нахождении оптимального режима транспортировки РЭП инжектируемого в устройство вьюода с изменяющимся числом секций дифференциальной газовой откачки и магнитных катушек с током. По специальному алгоритму, минимизирующему некоторую критериальную функцию, отражающую характер движения РЭП и зависящую от целого комплекса параметров, формирующих газовую среду и внешнее продольное магнитное поле, найдены оптимальные варианты конфигурации системы газовых и магнитных линз, которые обеспечивают условия максимального токопрохождение пучка в УВ. Для найденных конфигураций были проведены решения задачи о транспортировки РЭП.

Проведенные численные расчеты показали высокую эффективность смешанного способа фокусировки РЭП, обеспечивающего получение пучка с сохраняющимися требуемыми транспортными характеристиками пучка.

Были обсуждены способы решения задачи транспортировки электронного пучка в самосогласованном поле. Предложен некоторый итерационный алгоритм, по которому проводится решение системы моментных уравнений для пучка и двумерного уравнения Пуассона для собственных электрических полей.

Предложена обобщенная модель крупных частиц, позволяющая относительно просто учесть процессы рассеяния. Пучок в ней представляется в виде суммы конечных элементов - модельных частиц, характеризующихся набором параметров. Это масса, координаты центра тяжести, среднеквадратичный радиус и геометрические размеры в координатном и фазовом пространствах. Уравнения для этих параметров получаются усреднением по координатному пространству моментных уравнений, учитывающих влияние полей и столкновительные процессы. По заданной функции распределения электронов РЭП, ядро которой зависит от параметров всех конечных элементов, рассчитываются плотности зарядов и токов и для них решаются уравнения для электромагнитных полей. В результате, рассматривается самосогласованная задача эволюции РЭП в пространстве, ограниченном поверхностями с заданным распределением потенциалов и заполненном газом. Предложенная многопотоковая модель электронного пучка представлена в основном в теоретическом аспекте.

Численные же расчеты параметров " холодных " пучков, распространяющихся в разреженном газе, были проведены на основе известного метода трубок тока. Рассмотрены пучки с гауссовским и трубчатым начальными профилями плотности. Рассмотрено влияние начального распределения плотности тока на характер коллективных колебаний электронов в магнитном поле пучка. В качестве величины, характеризующей радиальный размер пучка, брался его среднеквадратичный радиус. Расчеты показали, что при отсутствии азимутальной составляющей скорости, колебания среднеквадратичного радиуса пучка быстро затухают.

Расчеты, проведенные для трубчатых пучков, показали, что для сохранения трубчатой структуры требуется начальная упорядоченная закрутка по (р электронов пучка либо наличие внешнего продольного магнитного поля. Колебания среднеквадратичного радиуса трубчатого пучка носят, как правило, незатухающий характер. В тонких трубчатых пучках, в которых толщина трубки тока мала по сравнению с ее радиусом, колебания среднеквадратичного радиуса достаточно точно согласуются с решением уравнений огибающей. Амплитуда и период колебаний тонкостенного трубчатого пучка не меняются при продвижении по г и зависят от в у и ц. Условием равновесия является^ =///2. В тех случаях, когда толщина трубчатого пучка становится соизмеримой с его радиусом, периодические колебания среднеквадратичного радиуса имеют модулированную амплитуду. В процессе эволюции трубчатого пучка происходит существенная перестройка функции распределения. Установившийся профиль плотности тока имеет ярко выраженный максимум, в котором плотность частиц может на порядок превышать начальную.

Необходимо отметить, что многие результаты исследований, представленных в диссертации, были внедрены и нашли практическое применение в рамках хоздоговорных НИР между кафедрой вычислительной математики Калининградского госуниверситета и Московским радиотехническим институтом АН СССР. Последние, современные результаты вычислительных экспериментов получены автором при проведении госбюджетных НИР Российского госуниверситета имени И. Канта.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Квитко, Геннадий Васильевич, 2006 год

1. Lee Е.Р. Kinetic theory of a relativistic beams // Phys. Fluids. 1976, vol.19, N1, P. 60-69.

2. Lee E.P., Cooper R.K. General envelope equation for cylindrically symmetric charged particle beams // Part. Accel. 1976, vol. 7, P. 83-95.

3. Buchanan H. L. Electron beam propagation in the ion focused regime // Phys. Fluids. 1987, vol. 30, N1, P. 221-231.

4. Briggs R.J., Hester R.E., Lauer E.J. et all. Radial self-focusing of relativistic electron beams // Phys. Fluids. 1976, vol. 19, N7, P. 1007-1011.

5. Hughes T.P., Godfrey B.B. Small-angle multiple scattering of charged particle beams // Phys. Fluids. 1984, vol. 27, N6, P. 1531-1537.

6. Hui В., Lampe М. // 5th Intern. Conf. on High Power Particle Beams. San Francisco, 1983. P. 374-377.

7. Murphy D.P., Pechacek R.E., Taggart D.P. et al. Interaction of an intense relativistic electron beam with preformed channels//Phys. Fluids. B. 1992. Vol. 4. N 10. P. 34073417.

8. Welch D.R., Bieniosek F.M., Godfrey B.B. Electron-beam guiding by a reduced-density channels //Phys. Rev. Lett. 1990. Vol. 65. N 25. P.3128-3131.

9. Murphy D.P., Raleigh M., Pechacek R.E. et al. Interaction of an intense relativistic electron beam with preformed channels //Phys. Fluids. 1987. Vol. 30. N 1. P. 232-238.11 .Колесников E.K., Майнулов A.C. //ЖТФ. 1991. Т. 61. Вып. 12. С. 43-46.

10. HubbardR.F., Fernster R.F., Slinker S.P. et al. II 5th Intern. Conf. on High Power Particle Beams. San Francisco, 1983. P. 370-373.

11. Lee £/V/Livermore Lab. Report UCID-19674. 1983. P. 10.

12. Lee E.P. Resistive hose instability of a beam with the Bennets profile // Phys. Fluids. 1978, vol. 21, N8, P. 1327-1313

13. Uhm H.S., Lampe M. Theory of the rrisistive instability in relativistic electron beams // Phys.Fluids. 1980. Vol. 23. N 8. P. 1574-1585.

14. Колесников Е.К., Майнулов A.C. К вопросу о расчете силы взаимодействия между релятивистским электронным пучком и омическим плазменнымканалом. // ЖТФ, 1997, том 67, № 6, С.69-71.

15. Рухадзе A.A., Богданкевич U.C., Росинский С.Е., Рухлин В.Г. Физика сильноточных релятивистских электронных пучков. -М.: Атомиздат, 1980, с. 167.

16. Диденко А.Н., Григорьев В.П., Усов Ю.П. Мощные электронные пучки и их применение М.,: Атомиздат, 1977, с.277.

17. Миллер Р. Введение в физику сильноточных пучков заряженных частиц. М.: Мир, 1984.432с.

18. ЛоусонД. Физика пучков заряженных частиц. М.: Мир, 1980, с.438.

19. Девидсон Р. Теория заряженной плазмы. М., 1978.215с.

20. Lee Е.Р. И Livermore Lab. Report UCID-16490. 1974. P. 14.

21. Надеждин Е.Р. И Письма в ЖТФ. 1990. 16. Вып. 21 с.73-76

22. Надеждин Е.Р. И Физика плазмы. 1991. Т. 17. № 3. с. 327-335

23. Надеждин Е.Р., Сорокин Г.А. И Физика плазмы. 1988. Т. 14. № 5. с. 619-622.

24. Fernster R.F., HubbardR.F., Lampe M. Il J. Appl. Phys. 1994. Vol. 75. N 7. 3278-3299.

25. Мхеидзе Г.П., Месяц Г.А. II Энциклопедия низкотемпературной плазмы. / Под ред. В.Е; Фортова. М., 2000. Т. 4. с. 108-126.

26. Бондарь Ю.Ф., Гоманько A.A., Королев A.A. и др. // Письма в ЖТФ. 1988. Т. 14. № 12. с. 1116-1120.

27. Бондарь Ю.Ф., Гоманько A.A., Ермаков A.A. и др. // ПТЭ. 1987. № 6. с. 139-141.

28. Бондарь Ю.Ф., Кабанов С.Н., Королев A.A. и др. // Препринт ИОФАН. № 57. М., 1986. 50 с.

29. Бондарь Ю.Ф., Мхеидзе Г.П., Савин A.A. II Краткие сообщения по физике (ФИАН).1986. №10. с. 17-19.

30. Арляицев C.B., Мхеидзе Г.П., Савин A.A. и др. // Препринт ИОФАН. № 184. М., 1987.49с.

31. Григорьев В.П., ПоташевА.Г. //Изв. вузов. Физика. 1990. Т. 33. № 12. с. 59-65.

32. Власов A.A., Денисова И.П., Никонов C.B. IIРЭ. 1984. Т. 29. № 8. с. 1595-1599.

33. Колесников Е.К., Мануйлов A.C. II РЭ. 1990. Т. 35. № 1. с. 218-220.

34. Колесников Е.К., Мануйлов A.C. //ЖТФ. 1997. Т. 67. Вып. 7. с. 108-111.

35. Мануйлов A.C. //Деп. в ВИНИТИ. № 6028-85. Л., 1985. 23 с.

36. Мануйлов A.C. //ЖТФ. 2000. Т. 70. Вып. 1. с. 76-78.

37. Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. М., 1974. 371 с. щ 40. . Lee Е. P. // Livermore Lab. Report UCID-18940/ 1981. P. 23.

38. Колесников Е.К., Мануйлов A.C. Кинетический уравнение для релятивистского электронного пучка, распространяющегося в плотных и разреженных газоплазменных средах продольно внешнему магнитному полю // ЖТФ. 2004. Т. 74. Вып. 9. с. 103-107.

39. Норманн Г.Э., ПолакЛ.С., Сопин П.И., Сорокин Г.А. II Синтез соединений в плазме, содержащей углеводороды/ Под ред. J1.C. Полака. М.,1985, с.33-79.

40. Русанов В.Д., Фридман А.А II Физика химически активной плазмы.- М., 1984, с.230.

41. Ремнев Г.Е., Пушкарев А.И., Пушкарев М.А. //Известия вузов. Физика. 2001, N 7,с. 91-94.

42. Rosenbluíh M.N. //Phys. Fluids., 1960, vol. 3, p. 932-937.

43. Lee E. P., Brandenburg J.E. // Phys. Fluids., 1988, vol. 31, p. 3403.

44. Choi E.H., Uhm H.S. II J. Appl. Phys., 1989, vol. 65, p. 3356-3361.

45. Кондратьев H.A., Котляревский Г.И., Сметанин В.И. //ЖТФ, 1989, том 59, вып. 1, с.118.

46. Ali A. W. // Laser and Particle Beams, 1988, vol. 6,N 1, p. 105-117.

47. DaveyKR. II Phys. Fluids., 1983, vol. 26, N 7, p. 1919-1927.

48. Кондратьев H.A., Сметанин В.И. Зависимость устойчивости транспортировки сильноточного релятивистского электронного пучка в плотных газовых средах от параметров создаваемого плазменного канала // ЖТФ, 2005, том 75, вып. 3, с.67-73

49. Rusanov V.D., Fridman A.A.// Phys. Chemically Active Plasma. Moscow, 1984, p.230-232.

50. Кондратьев H.A., Котляревский Г.И., Сметанин B.K II ЖТФ, 1988, том 58, вып. 10, с.1915-1923.

51. Kondratiev N.A., Smetanin V.l., Surikov Yu.P. //Nucl. Inst. And Meth. Phys. Res., 1991, vol.53, p.229-231.

52. Зелинский А.Г., Колесников E.K. Влияние периодического по плотности ионного канала на поведение ионной шланговой неустойчивости РЭП. // ЖТФ, 2003, том 73, вып. 12, с.71-75.

53. Коломенсий А.А, Лебедев А.Н. Теория циклических ускорителей. М.,: Физматгиз, 1962, с.277.

54. Капчинский ИМ. Динамика частиц в линейных резонансных ускорителях. М.: Атомиздат, 1966, с. 310.

55. Молоковский С.И., Сушков А.Д. Интенсивные электронные и ионные пучки. М.: Энергоатомиздат, 1991, с. 303.

56. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир, 1973, с. 495.

57. Коган М.Н. Динамика разреженного газа кинетическая теория. - М., Наука, 1967, С.331.

58. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов. — М., Наука, 1978, с.331.

59. Власов A.A. Статистические функции распределения. М., Наука, 1966, с.356.

60. Будкер Г. И. Релятивистский стабилизированный электронный пучок // Атомная энергия, 1956, Т.1, с.9-15.

61. Арсеньев Д.А., Грудницкий В.Г., Комов А.Л., Рыгалин В.Н. Численные методы моделирования РЭП // Коллективные методы ускорения и пучково-плазменные взаимодействия. Сборник научных трудов РТИ АН СССР. — М., 1980, с. 131-140.

62. Квитко Г.В., Латышев КС. Моделирование процессов транспортировки пучков заряженных частиц в приближении Фоккера-Планка // Вестник КГУ, -Калининград, 2005, Вып. 1-2, с. 59-65.

63. Баранцев Р.Г. Метод интегральных моментных кинетических уравнений // ДАН СССР, 1963, Т. 151, № 5, с.1038-1041.

64. Баранцев Р.Г. 56- моментная система дифференциальных кинетических уравнений // Аэродинамика разреженных газов. JL: изд-во ЛГУ, 1965, вып.2, с.98-113.

65. Баранцев Р.Г. О решении моментных уравнений // Аэродинамика разреженных газов. Л.: изд-во ЛГУ, 1967, вып.З, с.51-57.

66. Баранцев Р.Г, Луганская КБ. Моменты высокого ранга в слаборазреженном газе // ДАН СССР, 1968, Т. 180, № 3, с.554-555.

67. Lapostolle P.M. Possible emittance increase through filamentation due to space charge in continuous beams.//IEEE Trans. Nucl. Sci., 1971, NS-18, 3, p.l 101-1104.

68. Sacherer F.J. RMS envelope equations with space charge. // IEEE Trans. Nucl. Sci., 1971, NS-18, 3, p.l 105-1108.

69. Dymnikov A.D., Perelstein E.A. Moment method in dynamics of charged particle beams. //NIM 148, 1978, p. 567-571.

70. Kazarinov M.Yu., Perelstein E.A., Schevtsov V.F. Moment method in charged particle beams dynamics. // Particle Accelerators, 1980, v. 10, p. 1-7.

71. Квитко Г.В., Латышев КС. Моделирование процессов транспортировки релятивистского электронного пучка в газоплазменных средах и продольном магнитном поле // Математическое моделирование, 2006, том 18, N6, с. 29-47.

72. Беяева B.JI., Лебедев C.B. К вопросу транспортировки заряженных пучков в магнитных полях. // Коллективные методы ускорения и пучково-плазменные взаимодействия. Сборник научных трудов РТИ АН СССР. М., 1980, c.l 11 -120.

73. Власов А.Д. Приближенный расчет периодических огибающих заряженного пучка. // Коллективные методы ускорения и пучково-плазменные взаимодействия. Сборник научных трудов РТИ АН СССР. М., 1980, с. 121-130.

74. Lee Е.Р., Cooper R.K. General envelope equation for cylindrically symmetric charged particle beams // Particle Acceler., 1976, vol. 7, № 1, p.83-92.

75. Наумов H. Д. Об одном методе самосогласованного описания динамики электронных пучков в циклических системах. // ЖТФ, 1997, т.67, № 7, с. 103-107.

76. Буздин А.А., Квитко Г.В. Модель "крупных частиц" переменной формы // XX научная конференция профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников, аспирантов и студентов. Тезисы докладов. КГУ, Калининград, 1988, С.65.

77. Квитко Г.В. Совместная динамика ионного и сильноточного электронного пучков // ХХУП научная конференция профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников, аспирантов и студентов. Тезисы докладов. КГУ, Калининград, 1996, С.29.

78. Харлоу Ф.К. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики // Вычислительные методы в гидродинамике. Под ред. Олдера Б. и др. М.,: Мир, 1967, с.316.

79. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Нестационарный метод "крупных частиц" для газодинамических расчетов. // ЖВМиМФ, 1971, т. 11, № 1, с. 182-207.

80. Морз Р. Моделирование многомерной плазмы с помощью метода частиц в ячейках. // Вычислительные методы в физике плазмы. Под ред. Олдера Б. и др. М.,: Мир, 1974, С.213.

81. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Статистический метод " частиц в ячейках "для решения задач динамики разреженного газа. // ЖВМиМФ, 1975, т. 15, № 5, с.1195-1208; №6, с.1553-1567.

82. Рошаль A.C. Моделирование заряженных пучков. М.,: Атомиздат, 1979, с.234.

83. Нильсон К. Льюис Г. Модели укрупненных частиц в безизлучательном пределе. // Управляемый термоядерный синтез. Под ред. Дж. Киллина. М.,: Мир, 1980, с.347.

84. Хокни Р. Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. М.,: Мир, 1987, с.638.

85. Грудницкш ВТ., Подобряев В.Н., Рыгалин В.Н. О численном моделировании стационарных РЭП методом "крупных частиц". // Коллективные методы ускорения и пучково-плазменные взаимодействия. Сборник научных трудов РТИ АН СССР. -М., 1980, с.141-152.

86. Аристов В. В., Мамедова И.Г. Параллельные алгоритмы для решения кинетического уравнения Больцмана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1966, № 3, с. 138-146.

87. Aristov V.V., Zabeloc S.A. Parallel algoritms in the conservative splitting method for the Boltzmann equation// Lecture Notes in Physics, 1998, v. 515, p. 361-366.

88. Аристов В.В., Забелок С.А. Получение решений для уравнения Больцмана на многопроцессорных компьютерах // Математическое моделирование, 2002, том 14, № 8, с. 3-9.

89. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Консервативный метод расщепления для для решения уравнения Больцмана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1980, № 31, с. 191-207.

90. Аристов В.В., Забелок С.А. Получение решений для уравнения Больцмана с помощью детерминистического метода // Вычислительная динамика разреженного газа; М: ВЦ РАН, 2000, с. 120-142.

91. Шахов Е.М. О молекулярных потоках из газовой струи, истекающей в вакуум // Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, № 2, с.106-109.

92. Лукьянов Г.А., Силантьев В.А. Об истечении газа в вакуум // Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, №5, с. 146-149.

93. Гусев В.Н., Жвакова A.B. Истечении вязкого газа в вакуум // Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, № 1, с.122-128.

94. Белошицкий A.B., Бондарев E.H. Истечении вязкого газа из цилиндрического канала в вакуум // Изв. АН СССР, МЖГ, 1971, № 3, с.170-173.

95. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978,-687с.

96. Жуков A.M. Применение метода характеристик к численному решению одномерных задач газовой динамики // Труды Математического Института АН СССР. М.: Изд-во АН ССС, 1960, - 150с.

97. Панов Д.Ю. Численное решение квазилинейных гиперболических систем дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Гостехиздат, 1957, -216с.

98. Багриновский К.А., Годунов С.К. Разностные схемы для многомерных задач // ДАН СССР, 1957, том 115, № 3, с.431-433.

99. Годунов С.К Разностный метод расчета ударных волн задач // УМН, 1957, том 12, вып.1, с.176 -177.

100. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики //Математический сборник, 1959, том 47, вып.З, с.271-306.

101. Годунов С.К., Семендяев К.А. Разностные методы численного решения задач газовой динамики //ЖВМ и МФ, 1962, том. 2, №1, С. 3-14.

102. Годунов С.К, Рябенький B.C. Разностные схемы. — М.: Наука, 1977, — 439с.

103. Годунов С.К, Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. — М.: Наука, 1976, — 400с.

104. Курант Р., Фридрихе К, Леей Г. О разностных уравнениях математической физики // УМН, 1940, том 8, С. 125-160.

105. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964, — 890с.

106. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972,-420 с.

107. Von Neumann J., Richtmyer R.D. A method for numerical calculation of hydrodynamic shocks.// J. Appl. Phys., 1950, vol. 21, p. 232-237.

108. Latter R. Similarity solution for a spherical shock wave. // J. Appl. Phys., 1955, vol. 26, № 8, p. 955-960.

109. Самарский А.А., Арсенин И.Я. О численном решении уравнений газовой динамики с различными типами вязкости. // ЖВМ и МФ, 1961, том 14, № 9, с.87-158.

110. Попов Ю.П., Самарский А.А., Полностью консервативные разностные схемы. // ЖВМ и МФ, 1969, том 14, №4, с.953-958.

111. Попов Ю.П., Самарский А.А Полностью консервативные разностные схемы для уравнений газовой динамики в переменных Эйлера. // ЖВМ и МФ, 1970, том 10, № з, с.773-779.

112. Трощиев В.Е. О дивергентности схемы "крест" численного решения уравнений газовой динамики. // Сб. "Численные методы механики сплошной среды" — Новосибирск.: Мир, 1972, 420 с.

113. Lax P.D. The initial value problem for nonlinear hyperbolic equations in two independent variables. // Ann. Math. Stud., 1954, vol. 33, p. 211-229.

114. Lax P.D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation. // Comm. Pure. Appl. Math., 1954, vol. 7, p. 159-193.

115. Lax P.D., WendroffB. Systems of conservation laws. III., // Comm. Pure. Appl. Math., 1960, vol. 13, №2, p. 217-237.

116. Ландау Л.Д., Лифшиц E:M. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992, -661с.

117. Морозов А.И., Соловьев Л.С. Геометрия магнитного поля // Вопросы теории плазмы. Под ред. Леонтовича М.А. М., Госатомиздат, 1963, с.3-91.

118. Комов А.Л., Модель компенсации объемного заряда электронного пучка в разреженном газе без учета внешнего магнитного поля // Отчет МРТИ АН СССР, №В- 118/501, 1980, с. 96-114.

119. Грудницкий В.Г., Комов А.Л., Буздин А.А., Квитко Г.В. Взаимодействие электронного пучка с газовой струей в устройстве вывода // Отчет МРТИ АН СССР, № В 266/501,1983, с. 20-31.

120. Кольчужкин А.Н., Учайкин В.В. Введение в теорию прохождения частиц через вещество. М.: Атомиздат, 1978, -256 с.

121. Митчнер М., Кругер Ч. Частично ионизированные газы.-М., Мир, 1976.-406 с.

122. Алямовский КВ. Электронные пучки и электронные пушки. М., Сов. Радио, 1966, -109 с.

123. Кирштейн П.Т., Кайно Г.С., Уотерс У.Е. Формирование электронных потоков.-М., Мир, 1970.-304 с.

124. ПирсДж. Теория и расчет электронных пучков.- М., Мир, 196.-340 с.

125. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей- М., Атомиздат, 1977.360 с.

126. Березин Ю.А., Вшивков В.А. Метод частиц в динамике разреженной плазмы.-Новосибирск, Наука, 1980.-96 с.

127. Федоренко Р.П. Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений// УМН, 1973, том 28, Вып. 2 (170), С. 121-182.