Математические модели и исследование транспортировки релятивистских электронных пучков по плазменным каналам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, доктор физико-математических наук Владыко, Владимир Борисович

• Владыко, Владимир Борисович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Владыко, Владимир Борисович

Введение.

Глава 1. ПРОБЛЕМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСЛОВИЙ УСТОЙЧИВОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ.

1.1. Распространение РЭП в плотной плазме.

1.2. Распространение РЭП в плазме малой плотности.

1.3. Математические модели, используемые для описания взаимодействия релятивистского электронного пучка с предварительно созданным плазменным каналом.

Выводы.

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ИССЛЕДОВАНИЕ РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА, РАСПРОСТРАНЯЮЩЕГОСЯ В ПЛАЗМЕ.

2.1. Математическая модель распространения пучка в плазме малой плотности.

2.2. Анализ дисперсионного соотношения и устойчивости равновесной конфигурации.

Выводы.

Глава 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЭЛЕКТРОНОВ ПЛАЗМЕННОГО КАНАЛА ПРИ ИНЖЕКЦИИ В НЕГО РЭП.

3.1. Аналитическая модель взаимодействия релятивистского электронного пучка с предварительно созданным плазменным каналом.,. ?Т

3.2. Модель и численный алгоритм исследования динамики электронов плазменного канала.

3.3. Численное исследование на кинетической модели динамики электронов плазменного канала на фронте релятивистского электронного пучка.

Выводы.

Глава 4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА И ВЛИЯНИЯ НА НИХ ДИНАМИКИ ИОНОВ . :. 99^

4.1. Математическая постановка задачи и численный алгоритм. i

4.2. Результаты численного моделирования.

Выводы.

Глава 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭРОЗИИ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА В РЕЖИМЕ ИОННОЙ ФОКУСИРОВКИ.

5.1. Математическая модель процесса эрозии РЭП, обусловленной внешней поперечной силой.

5.2. Аналитическая модель процесса эрозии РЭП, вызванной внешней поперечной силой.

5.3. Результаты численного исследования процесса эрозии РЭП., i 38 Выводы.

Глава 6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПОПЕРЕЧНОЙ АЗИМУТАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА, РАСПРОСТРАНЯЮЩЕГОСЯ ПО ИОННОМУ КАНАЛУ.

6.1. Математическая модель азимуталъно-симметричното взаимодействия электронного пучка с ионами плазмы. i

6.2. Результаты численного моделирования.

Выводы.

Глава 7. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ МЕХАНИЗМОВ ПОДАВЛЕНИЯ ИОННОЙ ШЛАНГОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ РЕЛЯТИВИСТСКОГО

ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА.

7.1. Математическая модель азимутально-несимметричногсг взаимодействия электронов пучка с ионами плазмы.

7.2. Результаты численного моделирования. 19&

Выводы.

Глава 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ИССЛЕДОВАНИЕ ТРАНСПОРТИРОВКИ НА БОЛЬШИЕ РАССТОЯНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА В РЕЖИМЕ ИОННОЙ ФОКУСИРОВКИ.

8.1. Математические модели транспортировки релятивистского электронного пучка на значительные расстояния.

8.2. Программа, определяющая основные характеристики транспортировки релятивистского электронного пучка в режиме ионной фокусировки.

Выводы.

ВЫВОДЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и исследование транспортировки релятивистских электронных пучков по плазменным каналам»

Проблема транспортировки релятивистского электронного пучка (РЭП), распространяющегося по предварительно созданному плазменному каналу, имеет важное практическое значение. Решение этой проблемы внесет вклад в развитие научно-технических направлений, включающих разработки:

- мобильных высокомощных источников электромагнитного излучения;

- сильноточных ускорителей электронов;

- коллективных ускорителей ионов;

- математических моделей динамики потоков;

- мощных источников когерентного излучения с непрерывно перестраиваемой частотой и многих других. Сложность проблемы транспортировки РЭП по плазменному каналу обусловлена большим числом различных физических процессов, протекающих во время распространения пучка.

Экспериментальные исследования этой проблемы очень дорогостоящи, так как требуют уникальных физических приборов, трудоемки и малоэффективны. Сложность проведения и обработки результатов эксперимента связана с тем, что в исследуемой системе имеется большое число независимых параметров: геометрические размеры пучка и канала, ток пучка, энергия электронов пучка, плотность плазмы, параметры окружающего систему газа, значения напряженности внешних электрического и магнитного полей. Независимое изменение этих параметров в интересующем диапазоне значений практически не реализуемо. Поэтому экспериментальные исследования нуждаются в предварительных и сопровождающих теоретических работах. Математические модели изучаемых процессов очень сложны и во многих случаях требуют численного моделирования. Особо следует выделить проблему передачи энергии на большие расстояния, решение которой можно найти лишь после подробной теоретической проработки.

В настоящий момент невозможно создать полную математическую модель, учитывающую все физические процессы, сопровождающие распространение РЭП в плазме. Поэтому в диссертации не ставилась задача построения единой модели. Исследование распространения электронного пучка по плазменному каналу проводилось на основе разделения физических процессов по тем или иным параметрам. После такого разделения, для каждого процесса создавалась своя математическая модель, позволяющая подробно изучить все механизмы явления. В дальнейшем на основе подробного анализа полученных результатов была составлена приближенная модель распространения РЭП. На основе этой модели и были определены рекомендации на параметры электронного пучка и плазменного канала для достижения максимальной длины транспортировки. При разработке моделей учитывались результаты, полученные в течение почти 4-х десятилетий исследований взаимодействия пучков с плазмой.

Началом изучения взаимодействия электронных пучков с плазмой следует считать 1949 год, именно тогда появились работы А.И. Ахиезера и Я.Б. Файнберга и Д. Бома и Е. Гросса, в которых было теоретически открыто явление пучковой неустойчивости. Сущность явления состоит в возбуждении в плазме электромагнитных волн при прохождении через нее электронного пучка достаточно высокой мощности. Возможность использования пучковой неустойчивости для преобразования кинетической энергии частиц пучка в энергию электромагнитных волн открыло новые возможности в создании мощных плазменных генераторов и усилителей электромагнитного^ излучения. Это привлекло внимание многих исследователей как в области физики плазмы, так и электроники. С тех пор в литературе постоянно появляется большое число работ, в которых теоретически и экспериментальна изучаются различные физические процессы взаимодействия пучков заряженных частиц с плазмой.

В 1956 г. Г.И. Будкер высказал идею использования РЭП, заряд которого частично скомпенсирован положительно заряженными ионами, для получения интенсивных пучков тяжелых положительно заряженных частиц. В 1973 г. М.Слоан и В. Драммонд предложили использовать для ускорения ионов медленную циклотронную волну, распространяющуюся в релятивистском электронном пучке. Эти идеи на протяжении нескольких десятилетий поддерживают внимание к вопросам взаимодействия электронного пучка с плазмой.

Начиная с 60-х годов, бурно развивается высоковольтная импульсная техника, позволившая значительно расширить экспериментальную базу: Разработаны методы генерации пучков электронов с током > 10 кА и энергией частиц >10 МэВ. Такие пучки уже могли аккумулировать значительную энергию и транспортировка ее на большие расстояния стала представлять актуальную самостоятельную задачу.

Значительный вклад в теоретическое изучение физических процессов; протекающих при транспортировке сильноточных РЭП, внесли исследовательские группы из Москвы (руководители A.A. Рухадзе, А Н. Лебедев, ЬС.В. Ходатаев), Харькова (Ю.В. Ткач), Новосибирска (Б.Н. Брейзман), Вашингтона (М. Лэмп), Альбукерка (Р. Миллер), Ливермора (С. Проно).

В 1985 г. исследовательской группе под руководством С. Проно удалось дать новый толчок этим исследованиям. На ускорителе ATA ими были продемонстрированы возможности так называемой ионной фокусировки. Метод казался настолько многообещающим для успешной транспортировки электронных пучков, что были выдвинуты различные проекты использования ионной фокусировки как в ускорителях, так и для проводки РЭП в верхних слоях атмосферы.

Аналитические исследования взаимодействия электронных пучков с плазмой в первые десятилетия проводились на основе линеаризованных моделей. В 1960 г. Бунеман и Доусон впервые применили вычислительную технику для моделирования одномерной плазмы с помощью большого числа частиц. С тех пор по мере развития вычислительной техники и численных методов вычислительный эксперимент играет все более весомую роль.

Особенно это проявилось при исследовании режима ионной фокусировки, который требует численного моделирования, так как отсутствует малый параметр, по которому обычно проводится линеаризация уравнений. Следует специально отметить численные модели, разработанные К.В. Хода-таевым, М.Г. Никулиным, C.B. Виноградовым, Г. Джойсом, X. Бьюкананстм для численного моделирования транспортировки электронных пучков по предварительно созданному плазменному каналу.

Целью работы является:

• Классификация основных физических процессов, определяющих поведение релятивистского электронного пучка, распространяющегося вдоль предварительно созданного плазменного канала в присутствии внешних полей. Разработка математических моделей аде--кватно описывающих основные физические процессы и проведение подробного исследования, направленного на определение оптимальных параметров транспортировки РЭП.

• Разработка математической модели распространения моноэнергетического релятивистского пучка электронов кругового сечения, движущегося сквозь окружающую его плазму. Исследование на этой модели устойчивости образовавшегося квазистатического состояния. Исследование влияния фронта пучка на развитие возмущений в системе пучок — окружающая плазма.

• Построение математической модели и исследование динамики электронов плазменного канала при инжекции в него электронного пучка. Определение параметров РЭП, при которых значительно уменьшаются потери энергии в голове пучка.

• Разработка модели, описывающей процесс согласования РЭП с ионным каналом. Численное исследование на разработанной модели устанавливающегося радиального профиля плотности электронного пучка и зависимости эмиттанса пучка от параметров системы.

• Построение азимутально-симметричной модели распространения РЭП по ионному каналу и исследование на этой модели поперечной неустойчивости электронного пучка.

• Разработка модели, описывающей азимутально-несимметричное распространение импульса РЭП по предварительно созданному плазменному каналу. Численное исследование на разработанной модели эрозии головы пучка, вызванной внешней поперечной силой.

• Разработка модели позволяющей изучать влияние различных параметров пучка и канала на развитие ионной шланговой неустойчивости. Определение механизма замедления развития неустойчивости.

• Построение обобщающей математической модели транспортировки РЭП по предварительно созданному плазменному каналу. Получение рекомендаций на параметры электронного пучка, плазменного канала, для достижения максимальной длины транспортировки.

Научная новизна.

• Впервые построена аналитическая модель распространения релятивистского пучка в плазме, плотность которой меньше плотности пучка. Показано, что образующееся равновесное состояние неустойчиво относительно аксиально-симметричных колебаний электронов окружающей плазмы и объемной электрон-ионной волны и определены инкременты неустойчивостей. Исследована динамика возмущений при инжекции электронного пучка в предварительно созданный плазменный канал.

• Впервые разработана двумерная кинетическая модель, позволяющая исследовать зависимость энергетических потерь электронного пучка от параметров его фронта. Впервые подробно исследована динамика плазменных электронов в голове импульса пучка. Сформулированы практические рекомендации на длительность фронта импульса электронного пучка.

Впервые разработана кинетическая модель исследования радиального профиля плотности электронного пучка, распространяющегося в ионном канале. Показано резкое возрастание плотности электронов пучка вблизи оси системы ионный канал — электронный пучок. Впервые исследовано согласование электронного пучка с ионным каналом в присутствии ускоряющего электрического поля. Впервые построена кинетическая модель транспортировки РЭП по предварительно созданному плазменному каналу, позволяющая исследовать эрозию головы пучка, вызванную внешней поперечной силой. Впервые получена аналитическая оценка скорости этого вида эрозии. Определена область параметров, для которой справедлива аналитическая оценка.

Впервые построена двумерная кинетическая модель, позволившая провести численное исследование поперечной азимутально-симметричной электрон-ионной неустойчивости. Определена устойчивая форма электронного пучка.

Впервые на основе численного моделирования проведено исследование механизмов подавления ионной шланговой неустойчивости. Сформулированы практические рекомендации на параметры системы электронный пучок — ионный канал.

Впервые построена обобщающая модель транспортировки РЭП" по-предварительно созданному в газе низкого давления плазменному каналу. Сформулированы рекомендации на параметры электронного пучка и плазменного канала для транспортировки на большие расстояния с учетом замедления развития наиболее опасных физических процессов.

На защиту выносятся.

1. Математические модели, описывающие взаимодействие электронного пучка с предварительно созданным в газе низкого давления р < \ 0 ' Тор) плазменным каналом,

2. Применение этих моделей для исследования а) устойчивости равновесного состояния электронного пучка в плазме малой плотности; б) динамики электронов плазменного канала при инжекции в него электронного пучка; в) согласования электронного пучка с ионным каналом; г) эрозии головы импульса РЭП, вызванной внешней поперечной силой; д) азимутально-симметричной неустойчивости РЭП, транспортируемого в режиме ионной фокусировки; е) Механизмов замедления развития ионной шланговой неустойчивости; ж) оптимальных условий транспортировки по плазменному каналу релятивистских электронных пучков.

3. По лученные на основе проведенного исследования практические рекомендации.

Практическая ценность.

Определенные в работе рекомендации на параметры релятивистского электронного пучка и плазменного канала могут быть использованы при разработке систем передачи энергии на большие расстояния. Для оценк» эффективности использования режима ионной фокусировки в системах, требующих дальней транспортировки релятивистских электронных пучков. Выводы, полученные в работе, несомненно, окажутся полезными при разработке сильноточных ускорителей электронов, систем инспекции космических объектов, лазеров на свободных электронах, мобильных систем мощного электромагнитного излучения, систем вывода пучка из ускорителя и формирования его параметров. Разработанные в диссертации модели и полученные на их основе результаты объясняют ряд экспериментов по транспортаровке релятивистских электронных пучков в газах низкого давления как без предварительной ионизации, так и по предварительно созданному плазменному каналу.

Апробация результатов.

Результаты, полученные в диссертации, докладывались на Всесоюзном семинаре «Плазменная электроника» (Харьков, 1983), V Всесоюзном симпозиуме по сильноточной электронике (Томск, 1984), Всесоюзном семинаре «Плазменная электроника» (Харьков, 1988), IX International Conference on High-Power Particle Beams (Washington, 1992), X International Conference on High-Power Particle Beams (San-Diego, 1994), и неоднократно обсуждались на теоретических семинарах в МРТИ РАН, ИОФ РАН, ФИ РАН, ВЗИ, СВВКИУ.

На защиту выносятся следующие положения^

1. Построена математическая модель распространения релятивистского электронного пучка в плазме, плотность которой меньше плотности пучка. На основе линеаризованных уравнений модели получен оператор тензора диэлектрической проницаемости, проведен анализ равновесия и устойчивости электронного пучка, и показано, что: а) при инжекции электронного пучка в менее плотную свободную от внешних полей плазму устанавливается равновесное состояние; Такая равновесная конфигурация оказывается неустойчивой отнск сительно аксиально-симметричных колебаний электронов окружающей плазмы (поверхностной электронной волны). В случае,

5 у у Ъ > / 1

ОЛЬШИИ iijjаК i И 4lCСКпи ИНТСрсС -« ± ? iiOr 0 перечная длина возбуждаемой волны , продольная длина.

0 v волны 2тт —, частота волны еое, инкремент нарастания исследо-сое ванной неустойчивости Г —-—-—; У б) фронт пучка возбуждает поверхностную плазменную волну, продольное поле которой оказывает существенное влияние на распространение пучка на дистанциях ь г. у — ¡-^. по поле являет

1.1 А Т ые у Ч1Ъ. ся однородньш в ооласти распространения пучка и может приводить к разбиению пучка на отдельные сгустки, имеющие длину v

--. Получена оценка амплитуды продольного поля волны ше

0 "с2^' в) помимо поверхностной электрон-электронной волны пучок возбуждает объемную электрон-ионную волну, приводящую к возбуждению бунемановской неустойчивости. Определены параметры наиболее неустойчивой моды. Показано, что равновесные поля системы изменяют резонансное волновое число, а частота и инкремент неустойчивости от равновесных полей не зависят.

2. На основе кинетического уравнения Власова и системы уравнений Максвелла построена математическая модель и проведено исследование динамики электронов плазменного канала при инжекции в него электронного пучка, на основе которой а) показана возможность существенного увеличения фокусирующего поля, специальным профилированием плазменного канала, что позволит более эффективно управлять движением пучка; б) предложен метод уменьшения потерь энергии РЭП, основанный на увеличении длительности фронта импульса пучка Хф. Наиоолее сильная зависимость потерь энергии от длительности фронта импульса наблюдается, 40

ССЛИ Ч л ^ ф

ШР в) установлено, что наличие внешнего продольного маг-. шсд с нитного поля В2 >- приводит к сильному взаие модействию между электронами плазмы и пучка.

3. Разработана математическая модель, основанная на разложении электромагнитных полей в ряды и использовании теоремы Лйувиллягбк сохранении фазового объема и постоянства функции распределения, частиц вдоль траектории. На основе модели проведено численное исследование процесса согласования РЭП с ионным каналом. Показано, что в режиме ионной фокусировки ускорение РЭП в однородном электрическом поле не сопровождается увеличением его эмиттанса. При этом эмиттанс пучка, набираемый на начальной стадии согласования холодного пучка с ионным каналом, оказывается меньше, когда согласование происходит в ускоряющем поле. Управление сильноточными пучками с помощью внешних структур следует проводить при доста

I УПС^ точно большой кинетической энергии электронов у » — (/0 =-),

0 е когда поперечная динамика не связана с продольной. В системах поворота пучка основанных на ионной фокусировке имеется ограничение на. а шР м длительность импульса пучка т„ < ■ ■—--— (а - радиус пучка). с у К/, ут

4. Разработаны математическая модель, использующая метод крупных частиц, и аналитическая модель для изучения процессов эрозии головы пучка. На основе этих моделей получена аналитическая оценка скорости эрозии РЭП, распространяющегося по плазменному каналу в х' ВЪс¥ ( 1 ^ ЦА присутствии внешней поперечной силы У±— — =-— — | . где г' 2 е1ь \ifyj

Ъ — радиус плазменного канала, Численное исследование, проведенное на трехмерной модели, показало, что аналитическая оценка скорости эрозии может использоваться для оценок в широком диапазоне параметров. Изучены особенности протекания процесса эрозии в той области параметров, где аналитическая оценка не применима. Отличие скорости эрозии от аналитической зависимости имеет место в следующих случаях:

• при малой величине внешней поперечной силы, когда скорость эрозии определяется потерями энергии пучка на вытеснение электронов плазмы из канада;

• при транспортировке пучка в достаточно узких трубках дрейфа

ТЛ , ,1 Л к < та;

• когда радиус плазменного канала существенно меньше радиуса пучка.

5. Построена математическая модель, позволяющая проводить численное исследование поперечной азимутально-симметричной неустойчивости релятивистского электронного пучка, транспортируемого в режиме ионной фокусировки. Показано, что в практически важных случаях / < 0,8 колебания пучка и канала сразу выходят на нелинейный режим. Поперечные размеры пучка в результате развития неустойчивости могут возрасти на порядок. На нелинейной стадии развития неустойчивости расширение пучка и канала замедляется. Повлиять на развитие неустойчивости можно подбором параметров канала и профилированием поперечных размеров пучка. Наиболее сильно неустойчивость развивается, если радиус канала немного больше радиуса пучка. Увеличение размеров канала приводит к росту характерного времени развития неустойчивости. Уменьшение радиуса канала стабилизирует неустойчивость за счет нелинейности фокусирующего поля внутри пучка. Вдали от места иижекции пучок принимает форму усеченного конуса, направленную узкой частью вперед. При этом дальнейшего расширения пучка не происходит.

6. Построена математическая модель, позволяющая изучать влияние различных параметров пучка и канала на развитие ионной шланговой неустойчивости. Показано, что при малых поперечных отклонениях пучка добавление более легких ионов в канал несколько замедляет развитие неустойчивости вблизи инжектора, при длинах транспортир ровки Ь, значительно превышающих длину бетатронных колебаний электронов пучка, наличие легкой ионной компоненты приводит к более быстрому развитию неустойчивости. Наработка плазмы в течение импульса приводит к увеличению скорости развития неустойчивости, так как по мере увеличения степени зарядовой нейтрализации уменьшается длина бетатронных колебаний электронов пучка. Увеличение длины бетатронных колебаний в течение импульса замедляет развитие неустойчивости. Увеличение длины бетатронных колебаний можно достигнуть либо профилированием энергии электронов пучка вдоль импульса, либо радиуса самого пучка, кроме того, к этому же результату приводит расширение ионного канала в течение импульса, наблюдаемое в том случае, когда погонные концентрации электронов пучка и ионов плазменного канала примерно равны.

7. Определены основные характеристики транспортировки релятивистского электронного пучка по предварительно созданному плазменному каналу. На основе анализа возможности дальнего распространения РЭП в режиме ионной фокусировки получены следующие рекомендации.

• Коэффициент зарядовой нейтрализации должен соответствовать следующему условию /' « 1.

• Ток электронного пучка должен превышать минимальное значение, 1Ь > ЮОВса.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Владыко, Владимир Борисович

ВЫВОДЫ

В работе изучена транспортировка релятивистского электронного пучка вдоль предварительно созданного плазменного канала. Разработаны математические модели и составлен пакет программ, позволяющий количественно исследовать все основные физические процессы, сопровождающие распространение электронного пучка по плазменному каналу малой плотности. Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Разработана модель и исследовано взаимодействие электронного пучка с электронами плазмы, окружающей канал. Определено продольное электрическое поле, возбуждаемое в системе фронтом пучка и условия на ограничение длины транспортировки импульса пучка, обусловленное этим взаимодействием. Сделана оценка влияния эрозии «головы» импульса РЭП на развитие неустойчивости.

2. Построена аналитическая модель равновесного состояния релятивистского-электронного пучка, инжектированного в плазму малой плотности. Определены равновесные электромагнитные поля, образующиеся в системе. На основе системы уравнений холодной гидродинамики и системы уравнений Максвелла проведено исследование устойчивости выбранной равновесной-конфигурации. Отличие построенной модели от использовавшихся в ранее опубликованных работах заключается в том, что выбранная в работе модель позволила применить наиболее эффективный метод исследования устойчивости системы — анализ собственных частот.

На основе линеаризованных уравнений модели получен оператор тензора диэлектрической проницаемости, проведен анализ равновесия и устойчивости электронного пучка, и показано, что: а) при инжекции электронного пучка в менее плотную свободную от внешних полей плазму устанавливается равновесное состояние. Такая равновесная конфигурация оказывается неустойчивой относительно аксиально-симметричных колебаний электронов окружающей плазмы (поверхностной электронной волны). В случае, представляющем наибольший практический интерес — « 1, поь перечная длина возбуждаемой волны--, продольная длина волсо, ны 2тг ——, частота волны сое, инкремент нарастания исследован-сое щп 1/2 г 1Ъ "р нои неустойчивости 1---—; У б) фронт пучка возбуждает поверхностную плазменную волну, продольное поле которой оказывает существенное влияние на распространение пучка. Это поле является однородным по поперечной координате в области распространения пучка и может приводить к V разбиению пучка на отдельные сгустки, имеющие длину--. По

03 е лучена оценка амплитуды продольного поля волны Е0 ~ 4 I ь, с~ хорошо согласующаяся с результатами детального численного моделирования проведенного в работе [66]; в) помимо поверхностной электрон-электронной волны пучок возбуждает объемную электрон-ионную волну, приводящую к возбуждению бунемановской неустойчивости. Определены параметры наиболее неустойчивой моды. Равновесные поля системы изменяют волновое число к,, =-—-— возмущения, обладающего

Г 2\ '

3/2

Уо/^оь

V ) максимальным инкрементом, а частота и инкремент этой волны не зависят от равновесных полей системы. 3. Разработаны модели и исследованы: процесс зарядовой нейтрализации и влияние на него продольного магнитного поля; механизмы эрозии «головы» импульса, обусловленной взаимодействием релятивистского электронного пучка с электронами плазменного канала.

4.Разработана модель и проведено исследование динамики электронов предварительно созданного плазменного канала, при инжекции в него релятивистского электронного пучка. Показано, что возбуждаемое в системе продольное электрическое поле в основном определяется радиальным током электрода 4яР нов плазменного канала-=-] . В соответствии с этим соотношенидг с. ем, получено граничное условие на значение продольного электрического поля для азимутально-симметричного случая Е2(Ь) = 0. Проведено сравнениерезультатов полученной модели с результатами работ [5-7, 34, 68], в которых исследовалось взаимодействие электронного пучка с плотной плазмой.

На основе разработанной модели выведены хорошо известные условия токовой нейтрализации релятивистского пучка инжектируемого в плотную бесстолкновительную плазму и резистивную среду. Определена область параметров пучково-плазменной системы, для которой справедливы полученные в работе [34] соотношения для скорости энергетической эрозии. На основе анализа результатов предложен метод уменьшения потерь энергии РЭП за счет увеличения длительности фронта импульса, или проводки через канал, непосредственно перед ним слаботочного электронного пучка. Для получения количественных результатов создан численный алгоритм.

Проведенное численное моделирование динамики электронов плазменного канала при инжекции в него РЭП показало возможность создания внутри пучка ионного остова, с концентрацией частиц в несколько раз превышающей концентрацию электронов пучка. Использование этого эффекта, приводящего к заметному увеличению фокусирующего поля, поможет увеличить действенность систем поворота РЭП на основе метода ионной фокусировки, а также систем сжатия электронного пучка.

Определено влияние продольного магнитного поля на процесс нейтрализации заряда РЭП в методе ионной фокусировки. Результаты позволили получить условие на значение магнитного поля в области перехода от магтс нитной к ионнои фокусировке. Показано, что в случае /, « - , еВ, т® с

В2 >-— происходит сильное взаимодействие между электронами плазмы е и электронами пучка.

Проведена проверка предложенного метода уменьшения потерь энергии РЭП, транспортируемого вдоль предварительно созданного плазменного канала. Показано, что увеличение длительности фронта импульса пучка снижает потери энергии в голове пучка в 3 - 4 раза. Этот эффект можно использовать для уменьшения скорости эрозии топовы пучка в ускорителях и лабораторных установках при исследованиях дальней транспортировки РЭП. 5. Разработана математическая модель, основанная на разложении электромагнитных полей в ряды Фурье-Бесселя и использовании теоремы Лиувилля о сохранении фазового объема и постоянства функции распределения частиц вдоль траектории. На основе модели проведено численное моделирование самосогласованного распространения электронного пучка вдоль ионного канала.

Показано, что при использовании ионной фокусировки в процессе ускорения РЭП в однородном электрическом поле не происходит увеличения его эмиттанса, значение которого определяется начальным этапом согласования электронного пучка и ионного канала. При этом эмиттанс пучка получается меньше, когда согласование происходит ускоряющем поле. Приведенный вывод справедлив, если основная энергия электронного пучка сосредоточена в кинетической энергии частиц, а не в электромагнитных полях РЭП у » —. Именно при выполнении этого условия и возможно управление ь движением электронного пучка внешними структурами без ухудшения его качества.

В расчетах определен поперечный профиль плотности электронного пучка, распространяющегося вдоль ионного канала. Концентрация электронов резко возрастает вблизи оси системы, что свидетельствует об образовании большого числа электронов, обладающих малыми поперечными скоростями. Наличие таких электронов резко снижает скорость эмиттансной эрозии, что было впоследствии подтверждено как подробным численным моделированием, так и экспериментально в работах (69,70].

Исследована динамика ионного остова при распространении вдоль него электронного пучка. Показано, что в течение импульса РЭП происходит значительное сжатие ионного канала, что может привести к развитию азиму-тально-симметричной электронно-ионной неустойчивости, динамику которой следует исследовать на кинетической модели, так как в процессе транспортировки изменяется поперечный профиль плотности частиц.

Определены ограничения на длительность импульса пучка в системах управления его динамикой. Так в системах поворота РЭП, основанных на методе ионной фокусировки, длительность импульса пучка не должна значи . М 2 аКс тельно превосходить величину т = л[/--^. Смещение оси системы

УН2 С~~ электронный пучок ионный канал в поперечном магнитном поле определяет

Аг ся следующим соотношением А = /2. Последнее является одним из основных ограничений на использование метода ионной фокусировки ддш передачи энергии РЭП по предварительно созданному плазменному каналу и соответствует условию, полученному в [27].

6. Разработаны двумерная математическая модель, использующая метод крупных частиц, и аналитическая модель для изучения процессов эрозии головы пучка. На основе этих моделей получена аналитическая оценка г л \ У2 у л 1 1 скорости эрозии РЭП, распространяющегося по

2е!ь плазменному каналу в присутствии внешней поперечной силы. Численное исследование, проведенное на двумерной модели, показало, что аналитическая оценка скорости эрозии может быть использована для оценок в широком диапазоне параметров. Изучены особенности протекания процесса эрозии в той области параметров, где аналитическая оценка не применима. Отличие скорости эрозии от аналитической зависимости имеет место в следующих случаях: когда скорость эрозии определяется потерями энергии пучка на вытесвенную роль в динамике эрозирующей части пучка играют его поля, увеличивающие скорость эрозии;

• при транспортировке пу чка в достаточно узких трубках дрейфа с радиусом/? <10а \

• в том случае, когда пучок инжектируется в плазменный канал существенно меньшего радиуса; пучок имеет большой эмиттанс и его равновесный радиус значительно превосходить радиус плазмы; погонная плотность плазменного канала превышает погонную плотность пучка. Во всех этих случаях пучок вытесняет из канала только часть плазменных электронов. В результате его взаимодействия с оставшимися электронами плазмы развивается электронная шланговая неустойчивость, приводящая к резкому увеличению скорости эрозии.

7. Разработаны математические модели и исследованы неустойчивости^ развивающиеся в системе релятивистский электронный пучок — ионный канал. Особое внимание уделено случаям, когда неустойчивости, благодаря возмущениям, вносимым фронтом пучка, сразу выходят на нелинейный режим. Показано определяющее влияние изменения длины бетатронных колебаний электронов пучка вдоль импульса на развитие азимутально-симметричной и шланговой неу сто йч ив остей. Увеличение длины колебаний вдоль импульса стабилизирует неустойчивости, уменьшение длины бетатронных колебаний у электронов последующих сечений может приводить к выбросу хвоста импульса из канала.

• при малой величине внешней поперечной силы

8. Разработана математическая модель для исследования поперечной азиму-тально-симметричной неустойчивость РЭП, транспортируемого в режиме ионной фокусировки. Показано, что характерное время развития неустойчиа I/ 2 \ вости 1Т~— /11-+- а- I—— практически совпадает с инкрементом ионнои с\[ ! 1ъш шланговой неустойчивости РЭП. Если коэффициент нейтрализации / <0,8, колебания пучка и канала сразу выходят на нелинейный режим. Поперечные размеры пучка в результате развития неустойчивости могут возрасти на порядок. Расширение ионного остова, вызванное развитием неустойчивости существенно уменьшает ведущую силу ионного канала.

На нелинейной стадии развития неустойчивости расширение пучка и канала замедляется. На этом этапе большую опасность для РЭП представляет ионная шланговая неустойчивость, способная привести к выбросу пучка из канала. Особенно в том случае, если имеется внешняя поперечная сила, отклоняющая пучок от оси канала.

Как показало подробное численное моделирование распространения РЭП вдоль ионного остова, проведенное на основе развитой модели (6.2) — (6.8), повлиять на развитие азимутально-симметричной неустойчивости можно подбором параметров канала и предварительным профилированием поперечных размеров пучка вдоль импульса. Наиболее интенсивно неустойчивость развивается, если радиус канала немного больше радиуса пучка. Увеличение размеров канала приводит к возрастанию характерного времени развития неустойчивости У-. Уменьшение радиуса канала стабилизирует неустойчивость за счет нелинейности фокусирующего поля внутри пучка., при этом 1] меняется слабо.

На больших дистанциях пучок принимает форму усеченного конуса, направленного узкой частью вперед. Голова пучка профилирует канал на одной характерной длине волны, а длина бетатронных колебаний электронов в последующих сечениях больше этой длины. В этой части электроны пучка не успевают реагировать на изменение фокусирующих свойств канала, возмущение которого является для них коротковолновым. При этом не происходит дальнейшего расширения пучка. Пучок, заранеепрофилированный л-аким образом, практически не будет подвержен неустойчивости. Следует отметить, что выбор оптимальных параметров канала, а также размеров и формы пучка зависит еще и от длительности импульса пучка, от длины транспортировки и от эмиттанса РЭП. Поэтому в каждом конкретном случае нужно проводить подробный анализ и только на основании него делать выбор параметров. Изложенная в данной главе модель позволяет провести такой анализ.

Обнаружен режим, в котором пучок подвержен слабо затухающим поперечным колебаниям даже в нелинейном по плотности канале. Такой режим особенно важен в связи с исследованием ионно-канальных лазеров. 9. На основе уравнения огибающей и модели распределенных масс построена математическая модель, позволяющая изучать влияние различных параметров пучка и канала на развитие ионной шланговой неустойчивости. Показано, что при малых поперечных отклонениях пучка добавление более легких ионов в канал несколько замедляет развитие неустойчивости вблизи инжектора. При длинах транспортировки Ь, значительно превышающих длину бетатронных колебаний электронов пучка, наличие легкой ионной компоненты приводит к более быстрому развитию неустойчивости.

Наработка плазмы в течение импульса РЭП дополнительно увеличивает скорость развития неустойчивости, так как по мере увеличения степени зарядовой нейтрализации уменьшается длина бетатронных колебаний электронов пучка.

Замедление развития ионной шланговой неустойчивости и даже ее насыщение на определенном уровне наблюдалось во многих работах [36, 34, 89]. В диссертации выявлен механизм, определяющий замедление развития неустойчивости. Этот механизм связан с увеличением длины бетатронных колебаний электронов пучка в течение импульса. Насыщение неустойчивости, наблюдаемое в работах [36, 34, 89], объясняется увеличением бетатронной длины за счет расширения электронного пучка и (или) ионного канала. Увеличение длины бетатронных колебаний в численных расчетах, проводимых на основе модели, развитой в диссертации, было обеспечено профилированием энергии электронов пучка вдоль импульса. Достигнутое при этом значительное замедление развития ионной шланговой неустойчивости убедительно доказало правильность основных выводов работы.

Численное моделирование, проведенное на основе развитой модели, объяснило более высокую эффективность режима ионной фокусировки с использованием предварительно созданного плазменного канала, наблюдаемую во многих экспериментах.

10. Представлено обобщение результатов теоретических исследований, касающихся возможности дальнего распространения релятивистских электронных пучков. Особое внимание уделено влиянию на транспортировку внешней поперечной силы, отклоняющей пучок от оси ионного остова. Даны рекомендации на параметры релятивистского электронного пучка и плазменного канала.

11. Разработана программа, определяющая основные характеристики транспортировки по заданным параметрам релятивистского электронного пучка, плазменного канала и окружающей среды. На основе анализа возможности дальнего распространения РЭП в режиме ионной фокусировки даны следующие рекомендации.

Коэффициент зарядовой нейтрализации должен соответствовать следующему условию / ~ 1. В этом случае неустойчивости, развивающиеся при взаимодействии электронного пучка с ионным остовом, приведут к расширению ионного канала, а радиус пучка изменится незначительно. Наличие поперечного магнитного поля может изменить характер развития ионной шланговой неустойчивости и привести к выходу хвоста импульса пучка из канала. Этого не произойдет, если при выполнении условия (8.26) ток электронного пучка превысит минимальное значение, определяемое 1Ь > 200Вса.

Ток пучка, обеспечивающий достижение максимальной дальности транспортировки 1Ь да ОДу §сЪВ . При этом оптимальном значении тока

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Владыко, Владимир Борисович, 1998 год

1. Девидсон Р.С. Теория заряженной плазмы. М.: Мир, 1978,215с.

2. Лоуеон Дж. Физика пучков заряженных частиц, М.: Мир, 1980, 438с.

3. Валлис Г., Зауэр Р., Зюндер Г. и др. // Успехи физических наук, 1974, т. 113, в.З, с.435-457.

4. Сох J.L., Bennet W.H. // The Physics of Fluids, 1970, v. 13, № 1, p. 182192.

5. Hammer D.A., Rostoker N. // The Physics of Fluids. 1970, v. 13, № 7. p. 1831-1850.

6. Рухадзе А.А., Рухлин В.Г. /7 Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1971, т.61, № 1, с. 177-189.

7. Lee R., Sudan R.N. // The Physics of Fluids, 1971, v. 14, № 6, p. 12131225.

8. Рухадзе А.А., Рухлин В.Г., Северьянов В В. // Физика плазмы, 1978, т.4, № 2, с.463-469.I

9. Rosenbluth M.N. // The Physics of Fluids,. 1960. v.3. №> 6. p. 932-937.

10. Weinberg S. // Journal of Mathematical Physics, 1964. v.5, № 10. p. 1371-1385.

11. Weinberg S. // Journal of Mathematical Physics, 1967. v.8. № 3, p. 614641.

12. Lauer E.J., Briggs R.J., Fessenden TJL// The Physics of Fluids. 1978, v.21,№ 8, p. 1344-1352.

13. Uhm H.S., Lampe M. // The Physics of Fluids, 1980, v.23, № 8, p. 15741585.

14. Shaip W.M., Uhm H.S., Lampe M. // // The Physics of Fluids^ 1982, v.25, № 8, p. 1456-1470.

15. Joyce G., Lampe M. // The Physics of Fluids, 1983, v.26,№ 11, p. 33773386.

16. Greenspan M., Juhala R. // Journal of Applied Physics, 1985, v.51, № 1, p. 67-77.

17. Будкер Г.И. // Атомная энергия, 1956, №5, с.9-19.

18. Prono D.S., Caporaso G.J., Clark J.C. It IEEE Trans, on Nuclear Science. 1983, v. NS-30, № 4, p.2510-2512.

19. Prono D.S. // IEEE Trans, on Nuclear Science, 1985, v. NS-32, № 5, p.3144-3148.

20. Caporaso G.J., Rainer F., Martin. W.E. // Phisical review Letters, 1986, v.57, № 13, p. 1591-1594.

21. Shope S.L., Frost C.A., l.eifeste G.T. // IEEE Trans. onNuclear Science, 1985, v. NS-32, № 5, p.3092-3094.

22. Shope S.L., Frost C.A., Leifeste G.T. // // Phisical review Letters, 1987, v.58, № 6, p. 551-554.

23. Carlson R.L., Downey S.W., Moir D.C. // Journal Applied Physics, 1987, v.61, № 1, p. 12-19.

24. Frost C.A., Shope S.L., Miller RB.et aiЛ IEEE Trans, on Nuclear Science, 1985, v. NS-32, № 5, p.2754-2756.

25. Fisher A., Rostoker N. // IEEE Trans. onNuclear Science, 1985, v. NS-32, № 5, p.3048-3050.

26. Rainer F., Caporaso G.J., Chong Y.P. // Proceedings 6-th.International Conference on High-Power Particle Beams. Kobe. 1986. p. 685-688.

27. Pake G.E., May M.A., Panofsky W.K.H. // Reviews of Modern Physics, 1987, v.59, № 3 p.II, p. S67-S89.

28. Велихов Е.П., Сагдеев P.3., Кокошин A.A. Космическое оружие: дилемма безопасности. М.:, Мир, 1986, 182с.

29. Lauer E.J., Caporaso G.J., Chong Y.P. // Proceedings 6-tliInternational Conference on High-Power Particle Beams, Kobe, 1986, p.746-747.

30. Wliittum D.H., Sesler A.M., Dawson J.M. // Physical review Letters, 1990, v.64, № 21, p.2511-2514.

31. Chen K.R., Katsoules C., Dawson JJVL7/ IEEE Trans, on Plasma Science, 1990, v. PS-18, № 5, p.837-841.

32. Chen K.R., Dawson J.M., Lin A.T. // Physics of Fluids B, 1991, v.3, №5, p. 1270-1278.

33. Whittum D.H., Ebihara K., Hiramatsu S. // IEEE Trans, on Plasma Science, 1993, v. PS-20, № 1, p. 136-141.

34. Buchanan H.L. // Physics of Fluids, 1987, v.30, № 1, p.221-231.

35. Lee E.P., Cooper R.K. // Particle Accelerators, 1976, v.7, № 2, p.83-95.

36. Lipinski R.J., Smith J.R., Shokair LR. // Physics of Fluids B, 1990, v.2, № 11, p.2764-2778.

37. Frost C.A., Shope S.L., Ekdahl C.A. // Proceedings 6-th International Conference on High-Power Particle Beams, Kobe, 19S6rp^ 537-539.

38. O'Brien K.J., Kamin G.W., Lokner T.R. // Physical review Letters, 1988, v.60, № 13, p. 1278-1281.

39. Mostrom N.A., Newberger B.S., // Proceedings 6-th International Conference on High-Power Particle Beams,, Kobe^ 1986. p. 76-6-769.

40. Lucey R.F., Gilgenbach R.M., Tucker IE. //Laser and Particle Beams, 1988, v.6, №4, p.687-697.

41. Jameson R.A. // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, 1987, V.B24/25, p.724-729.

42. Gullickson R.L. // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, 1987, V.B24/25, p.730-735.

43. Бауэр 3. Физика планетных ионосфер. М.: Мир, 1976,251с.44. CIRA-1972. COSPAR.

44. В.Е.Зуев Распространение лазерного излучения в атмосфере. М.; Радио и Связь, 1987, 278с.

45. Г.Брасье, С.Соломон Аэрономия средней атмосферы. М.: Гидроме-теоиздат, 1987, 340с.

46. Roberson C.W., Sprangle P. // Physics of Fluids B, 1989, v.l, № 1, p. 342.

47. Беленов Э.М., Сметанин // Квантовая электроника, 1992, т.19, №

48. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Щука, 1979, 589с.

49. Кролл Н, Трайвелпис А. Основы физики плазмы. М.: Мир, 1975, 525с.

50. Доусон Дж. // D кн. Вычислительные методы в физике плазмы. М: Мир, 1974, с.?7.

51. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе A.A. Основы электродинамики плазмы. М.: Высшая школа, 1978, 407с.

52. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика М.: Наука, 1988, 733с.

53. Lee Е.Р., Cooper R.K. // Particle Accelerators, 1976, V.7, №2, p.83-95.

54. Арсеньев Д.А., Рудяк Ю.В. // В сб. Труды РТИ АН СССР, 1980, №39, с. 145-149.

55. Freund H.P., Ganguly A.K. // Physical review A, 1986, V.34, №2, p. 1242-1246.

56. Росинский С.E., Рухлин В.Г. // Журнал технической физики, 1972, т. 42, №4, с.511-518.

57. Курилко И.И., Ткач Ю.В., Шендрик В.А. // Журнал технической физики, 1974, т. 44, №6, с.956-967.

58. Гинзбург С.Л., Дьяченко Б.Ф., Краснобаев К.В. и др. // Препринт ИПМ АН СССР, №37, 1981, 26с.

59. Аронов Б.И., Рухадзе A.A. // Журнал технической физики, 1972, т. 42, №11, с. 1606-1615.

60. Владыко В.Б., Рухлин В.Г. // Тезисы докладов V Всесоюзного симпозиума по сильноточной электронике, 1984, Томск, ИСЭ СО АН СССР, с.240-242.

61. Федоров H.H. Основы электродинамики. М.: Высшая школа, 1980, 399с.

62. Владимиров B.C. Уравнения математической физики^ М.: Наука, 1976, 527 с.

63. Никифоров A.B., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1978, 319с.

64. Владыко В.Б., Рухлин В.Г. // Отчет МРТИ АН СССР № В-236/501, 1982, 20с.

65. Uhm H.S., Joyce G. 11 Physics of Fluids B, 1991, v.3, № 7, p. 15871598.

66. Sanford T.W.L., Welch D.R., Mock R.C. // Phys. Plasmas. 1994. V.l.P.404-420.

67. Рухадзе А.А., Богданкевич Л .С, Росинский C.E., Рухлин В.Г. Физика сильноточных релятивистских электронных пучков. М.: Атомиз-дат, 1980, 167 с.

68. Kiall J., Nguyen К., Joyce G Jl Phys.Fluids. 1989, V. B1.№1(). P.2099-2105.

69. Filimonov A.B., Nikulin M.G., Vinogradov S.V. 11 XIV Intern. Synip. On Dish, and Elect. Isul. in Vacuum. Santa-Fe, 1990. P.742-746.

70. Владыко В.Б., Рудяк Ю.В. // Физика плазмы. 1994, Т.20, № 11,с.973-981.

71. Файнберг Я.Б. 11 Атомная энергия, 1961, №10, с.313-331.

72. Миллер Р. Введение в физику сильноточных пучков заряженных частиц. М.: Мир, 1984, 432с.

73. Владыко В.Б., Рудяк Ю.В. // Физика плазмы. 1991, Т. 17, № 5, с.623628.

74. Владыко В.Б. Рудяк Ю.В. 11 Физика плазмы. 1993, Т. 19. № 12,с. 1444-1453.

75. Владыко В.Б., Рудяк Ю.В. 11 Журнал технической физики. 1994, Т. 64, №3, с. 133-139

76. Бахвалов Н.С. Численные методы I. М.; Наука. 1978. 632 с.

77. Владыко В.Б., Рудяк Ю.В. // Отчет МРТИ АН СССР № В-667/500, 1987, 23с.

78. Владыко В.Б., Рудяк Ю.В., Рухлин В.Г. // Журнал: технической физики. 1985, Т. 55, № 9, с. 1863-1865.

79. Владыко В.Б., Рудяк Ю.В., Рухлин В.Г. // Физика плазмы. 1987, Т. 13, № 10, с. 1246-1248.

80. Бутейкис Е.В., Минервина ЕА., Нодобряев В.Н., Рыгал и н В.Н. // Отчет МРТИ АН СССР № В-489/501, 1986, 43с.

81. Владыко В.Б., Рудяк Ю.В. // Отчет МРТИ АН СССР № В-565/500, 1986, 28с.

82. Арсеньев Д.А., Болотин И.М., Мамаев Г.И. и др. ,7 Труды Всесоюзного семинара по плазменной электронике, 1988, Харьков, ХФТИ, с.108.

83. Рудяк Ю.В. Докторская диссертация. Тверь: ТГУ, 1996, 243с.

84. Ч. Бэдсел, А. Ленгдон Физика плазмы и численное моделирование. М.: Энергоатомиздат, 1989, 451с.

85. Р.Хокни в кн. Вычислительные методы в физике плазмы. М.: Мир, 1974, с. 143-212.

86. Р.Хокни, Дж. Иствуд Численное моделирование методом частиц. М.: Мир, 1987, 638с.

87. Красовицкий В.Б., Нагучаев О.Ю., Осмоловский С.И., Фомин Г.В. //Физики плазмы. 1991, Т. 17, № 4, с.445-451.

88. Nikulin M.G., Vinogradov S. V. // XIV Intern. Symp. On Dish, and Elect. Isul. in Vacuum, Santa-Fe, 1990. P.747-751.

89. Lucey R.F., Gilgenbach R.M., Miller J.D., Tucker J.E., Bosch R.A. // Phys.Fluids. 1989, V. Bl, №2, P.430-434.

90. Bosch R.A., Gilgenbach R.M. // Phys.Fluids. 1989, V. 31, №7,P.2006-2008.

91. O'Brien K.J. //// Journal of Applied Physics, 1989, v.65, № Lp. 9-16.

92. Lee E.P. // Physics of Fluids, 1978, v.21, № 8, p. 1327-1343.

93. Надеждин E.P., Сорокин Г.A. // Физика плазмы, 1983, т.9, №5, с. 989-991.

94. Werner P.W., Schamiloglu В., Smith J.R et. al. // Bull, of the Amer.Phys.Soc. 1991, v.36, №9, p.2283.