Применение обобщенных решений для проектирования балочных элементов конструкций самолета и формирования функциональных сплайнов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.02, кандидат технических наук Павленко, Алексей Петрович

• Павленко, Алексей Петрович
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Павленко, Алексей Петрович

ВВЕДЕНИЕ.

1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР ВЫПОЛНЕННЫХ РАБОТ.

1.1. Методы решения задачи оптимального проектирования конструкций максимальной жесткости.

1.2. Методы решения задачи анализа конструкций.

1.3. Применение метода конечных элементов для анализа конструкций.!

1.4. Методы геометрического моделирования сплайнами.

1.5. Применение параметрических сплайнов для задания обводов.

1.6. Сплайны переменной жесткости.

2. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ БАЛОЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ МАКСИМАЛЬНОЙ ЖЕСТКОСТИ.

2.1. Анализ известных постановок задач оптимального проектирования конструкций максимальной жесткости.

2.2. Обобщенная математическая постановка задачи оптимального проектирования для процессов, описываемых линейными операторными уравнениями.

2.3. Анализ балочной конструкции методом конечных элементов.

2.4. Функционал полной энергии оператора дифференциального уравнения деформации балки.

2.5. Функционал для балки кусочно-постоянной жесткости.

2.6. Оптимальное проектирование конструкции максимальной жесткости, моделируемой балкой кусочно-постоянной жесткости.

2.7. Результаты решения тестовых задач оптимального проектирования балочных конструкций максимальной жесткости.

3. ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ БАЛОЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ МАКСИМАЛЬНОЙ ЖЕСТКОСТИ С ПРИМЕНЕНИЕМ

КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С ЛИНЕЙНЫМ ЗАКОНОМ ИЗМЕНЕНИЯ ЖЕСТКОСТИ.

3.1. Вводные замечания.

3.2. Точное однородное решение для участка балки с линейным законом изменения жесткости.

3.3. Функционал для балки с кусочно-линейным законом изменения жесткости.

3.4. Точная матрица жесткости балочного конечного элемента с линейным законом изменения жесткости.

3.5. Вектор узловых усилий балочного конечного элемента с линейным законом изменения жесткости.

3.6. Балочный конечный элемент с линейным законом изменения жесткости.

3.7. Результаты тестирования балочного конечного элемента с линейным законом изменения жесткости.

3.8. Оптимальное проектирование конструкции, моделируемой балкой с кусочно-линейным законом изменения жесткости.

3.9. Решение задач оптимального проектирования балочных конструкций максимальной жесткости с применением конечных элементов с линейным законом изменения жесткости.

4. КУБИЧЕСКИЙ СПЛАЙН МИНИМАЛЬНОЙ ЖЕСТКОСТИ.

4.1. Кубический сплайн кусочно-постоянной жесткости.

4.2. Функционал полной энергии оператора сплайнового дифференциального уравнения.

4.3. Функционал для кубического сплайна кусочно-постоянной жесткости.

4.4. Функциональный кубический сплайн кусочно-постоянной жесткости.

4.5. Кубический сплайн минимальной жесткости.

4.6. Вариант параметрического вектор-сплайна.

4.7. Результаты решения тестовой и прикладной задач с применением кубического сплайна минимальной жесткости.

5. СПЛАЙН МИНИМАЛЬНОЙ ЖЕСТКОСТИ, НЕПРЕРЫВНЫЙ ДО ВТОРЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВКЛЮЧИТЕЛЬНО.

5.1. Вводные замечания.

5.2. Точные общие решения исходного сплайнового уравнения.

5.3. Сплайн кусочно-линейной жесткости.

5.4. Функционал для сплайна кусочно-линейной жесткости.

5.5. Сплайн минимальной кусочно-линейной жесткости.

5.6. Результаты решения тестовых задач для комбинированного сплайна.

6. МЕТОД ИЗОГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ДЛЯ ЗАДАНИЯ ОБВОДОВ И ПОВЕРХНОСТЕЙ СПЛАЙНАМИ.

6.1. О задаче изогеометрической параметризации. Постановка задачи параметризации, основанная на применении теории обобщенного решения краевой задачи.

6.2. Нахождение узлов сетки для параметрического кубического сплайна кусочно-постоянной жесткости.

6.3. Нахождение узлов сетки для параметрического сплайна кусочно-линейной жесткости.

6.4. Интерполирование поверхностей сплайнами.

6.5. Параметризация поверхности в виде криволинейного четырехугольника.

6.6. Регуляризация параметризованной поверхности.

6.7. Результаты решения тестовой и прикладных задач параметризации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение обобщенных решений для проектирования балочных элементов конструкций самолета и формирования функциональных сплайнов»

Современная авиационная техника создается в условиях ограниченных материальных ресурсов и сроков разработки. Повышается сложность и стоимость проектов, а также требования к их качеству. Проектирование в данной отрасли является трудоемким и наукоемким процессом, и уже немыслимо без применения высокоэффективных средств проектирования, значительно повышающих производительность труда конструкторов при одновременном увеличении качества проектно-конструкторских работ. В этих целях широко применяются различные системы автоматизированного проектирования (САПР), дополняемые пакетами конечно-элементного анализа.

Развитие САПР актуализирует проблему создания новых методов проектирования и конструирования, математического и программно-алгоритмического обеспечения для выбора оптимальных параметров Ш конструктивно-силовой схемы агрегатов летательных аппаратов (JIA) с учетом неопределенности реализации проектных решений, так как для сокращения затрат целесообразно проводить поиск оптимальных конструкторских решений еще на ранних стадиях проектирования J1A.

Конкуренция на международном рынке заставляет постоянно корректировать разрабатываемые проекты под новые требования. Также все чаще возникают задачи оптимизации по различным направлениям уже спроектированных конструкций. В авиастроении особое внимание уделяется оптимизации по весовым и жесткостным характеристикам, а также по внешним геометрическим формам, от которых существенно зависят подавляющее большинство функциональных показателей JTA. Необходимость улучшения летных характеристик и снижения расхода топлива приводит к повышению требований к заданию обводов. При этом также возникают задачи оптимизации элементов балочных конструкций. Как правило, направления оптимизации конструкции зачастую противоречат друг другу. Также при оптимизации накладываются различные противоречивые ограничения. Поэтому требуется т разработка методов, моделей и программного обеспечения для принятия оптимальных решений с целью исследования проектно - конструкторских задач при заданных ограничениях с учетом их компромиссного характера.

Современные высокоэффективные методы проектирования предполагают применение ЭВМ и развиваются в направлении комплексной автоматизации на всех этапах проектирования. Разрабатываемые методы для САПР должны быть формализованы в алгоритмы проектирования и запрограммированы, как правило, на алгоритмических языках. Удачные и эффективные алгоритмы без больших затрат могут быть перенесены в САПР для появляющихся более современных компьютерных аппаратных платформ. Алгоритмические языки также имеют преемственность, поэтому возможен эффективный перевод алгоритмов (в том числе автоматизированный или автоматический), даже если имеет совершенствование или изменение языка программирования. Не * формализуемые методы часто отбрасываются как не эффективные при использовании САПР. Это обусловливает интенсификацию работ по созданию формализованных методов проектирования, алгоритмы которых записаны на языках программирования или находятся в виде программ для ЭВМ.

Разработка и применение таких методов значительно снижает затраты на проектирование и технологическую подготовку производства объектов авиационной, ракетной и космической техники за счет снижения сроков их разработки. Данные методы предполагают использование систем и средств автоматизированной подготовки производства, позволяющих автоматизировано разрабатывать технологические процессы проектирования, программирования и информационное обеспечение при производстве JIA, включая технологию и средства размерной увязки агрегатов и изготовления технологических поверхностей, оснастки и деталей на оборудовании с ЧПУ и, следовательно, проводить опережающую подготовку производства.

Данная работа посвящена дальнейшему развитию метода определения проектных параметров конструкций максимальной жесткости, предложенного и развитого в работах Б.Д. Аннина, Н.В. Баничука, В.И. Бирюка, А.А. Комарова, В.А. Комарова, А.С. Кретова, JI.M. Куршина, Е.К. Липина, К.А. Лурье, Л.В. Петухова, Н.В. Пустового, Г.И. Расторгуева, А.П. Сейраняна, В.А. Троицкого, В.М. Фролова, Шатаева В.Г. и многих других, который заключается в безусловной минимизации функционала потенциальной энергии деформации конструкции. В предлагаемой работе задача оптимального проектирования конструкции максимальной жесткости сформулирована на основе результатов теории обобщенных решений операторных линейных уравнений и состоит в отыскании проектных параметров, удовлетворяющих определенным условиям, зависящих от цели оптимизации (в том числе и условия минимума энергетического функционала). Обобщение выполнено в двух направлениях: выполнена минимизация функционала полной потенциальной энергии конструкции, приводящая к совместной системе уравнений для анализа и проектирования конструкции, а также разработан общий метод получения функционала полной энергии линейного операторного уравнения с симметричным положительным оператором для формальной постановки и решения задач без жесткой привязки к физическому смыслу. Здесь модифицированный дополнительными условиями проектирования по методу неопределенных множителей Лагранжа функционал безусловно минимизируется по методу Ритца, согласно которому на обобщенных многочленах, взятых в качестве пробных функций, функционал становится формой искомых параметров. Разработанный метод применен для оптимального проектирования балочных конструкций максимальной жесткости с кусочно-постоянной и кусочно-линейной функциями жесткости.

В настоящее время при моделировании поверхностей широко применяются кубические сплайны. Кубические сплайны представляют собой точное решение дифференциального уравнения балки при специальных краевых условиях - многоточечной краевой задачи. Поэтому постановки г оптимальных задач механики можно применять для получения сплайнов. Задачи механики и задачи получения сплайнов аналогичные, поскольку сплайны получаются из уравнений механики балок. В данной работе также выполнено развитие методов получения функциональных сплайнов минимальной жесткости с кусочно-постоянной и кусочно-линейной функцией жесткости из условий минимума функционалов энергии исходного сплайнового однородного дифференциального уравнения. Обобщение методов формирования функциональных сплайнов заключается в применении метода С.Г. Михлина для получения квадратичного функционала энергии оператора решаемого дифференциального уравнения.

При моделировании поверхностей сплайны нужно применять в параметрической форме, а для этого нужно иметь сетку интерполяционных узлов, которая не известна. Вариационная постановка, предложенная Э.Ю.

Курчатовым и В.Ф. Снигиревым для задачи нахождения сетки интерполяционных узлов, которую часто называют задачей параметризации, позволяет также определить и оптимальные сплайны. Поэтому решение задачи параметризации можно находить также как и решение задачи оптимизации. Все эти разработки могут быть приведены к теории обобщенных решений С.Г. Михлина.

Таким образом, в работе предложена общая постановка задачи для оптимизации балочных элементов конструкций максимальной жесткости и получения функциональных сплайнов минимальной жесткости с целью совершенствования и развития методов оптимального проектирования авиационных конструкций и методов математического моделирования произвольных аэродинамических поверхностей J1A. Эти постановки и разработанные по ним методы позволяют лучше решить следующие задачи: - разработки методов проектирования, математического обеспечения для выбора оптимальных параметров элементов конструкции агрегатов и обводов

JIA при заданных ограничениях с учетом их компромиссного характера и неопределенности реализации проектных решений на ранних стадиях проектирования ЛА, а также при оптимизации готовых проектов или изделий; - применения конструкторско-технологических решений, использующих системы и средства автоматизированной подготовки производства, позволяющие проводить опережающую подготовку производства, автоматизировано разрабатывать технологические процессы проектирования, программирования и информационное обеспечение при производстве летательных аппаратов, включая технологию и средства размерной увязки агрегатов и изготовления технологических поверхностей, оснастки и деталей на оборудовании с ЧПУ.

Для решения поставленных задач использовалась математическая теория обобщенных решений операторных уравнений и методы численного анализа: метод конечных элементов, метод Ритца, метод неопределенных множителей Лагранжа, метод наискорейшего спуска (градиентный метод), вычислительный эксперимент на специально построенных задачах сравнения с известным аналитическим решением.

Научную новизну работы составляют разработанные методы:

1. Метод оптимального проектирования балочной конструкции максимальной жесткости, обобщающий известные методы для случая малых прогибов;

2. Получен балочный конечный элемент с линейным изменением жесткости в пределах конечного элемента;

3. На основе теории обобщенных решений предложен метод получения функциональных одномерных сплайнов минимальной жесткости;

4. На основе теории обобщенных решений предложен метод решения задачи параметризации для одномерных сплайнов.

Практическую ценность работы составляют приложения разработанных методов и алгоритмов для решения задач оптимального проектирования балочных конструкций и задания обводов:

1. Решены задачи оптимального проектирования балочных элементов конструкций с применением конечных элементов постоянной и линейной жесткости;

2. Выполнены применения сплайнов минимальной жесткости для моделирования реальных обводов самолетов, подтверждающие их эффективность при сравнении с известными методами.

Достоверность задачи оптимального проектирования обусловлена сравнением с известными аналитическими решениями, сопоставлением с результатами, полученными ранее другими авторами, анализом физического смысла тестовых результатов.

Достоверность задач получения сплайнов минимальной жесткости обоснована применением теории обобщенных решений операторных уравнений, численными исследованиями сходимости на тестовых задачах и при моделировании реальных обводов.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Обобщенный метод оптимального проектирования балочных конструкций максимальной жесткости;

2. Балочный конечный элемент с линейным изменением жесткости;

3. Метод получения одномерных сплайнов минимальной жесткости;

4. Метод решения задачи параметризации;

5. Алгоритм математического моделирования поверхностей произвольной формы с применением предлагаемых сплайнов.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы (140 наименований).

Заключение диссертации по теме «Проектирование, конструкция и производство летательных аппаратов», Павленко, Алексей Петрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Выполнено развитие известного метода определения проектных параметров конструкций наибольшей жесткости, основанного на условии минимума потенциальной энергии деформации: для решения задачи проектирования конструкции наибольшей жесткости предложено выполнять минимизацию функционала полной потенциальной энергии конструкции, а не функционала потенциальной энергии конструкции, как в известной постановке. В результате получается совместная система уравнений для анализа и проектирования конструкции. Также предложен общий метод получения функционала полной потенциальной энергии решаемой задачи для задач, описываемых линейными операторными уравнениями с симметричным положительно определенным оператором. ,

2. Получен балочный конечный элемент с линейным изменением ф. жесткости по своей длине, аппроксимирующий функцию изгибной жесткости конструкции кусочно-линейной функцией, а не кусочно-постоянной как известный балочный конечный элемент постоянной жесткости, что повышает точность оценки напряженно-деформированного состояния при тех же вычислительных затратах. Выполнена реализация алгоритма метода конечных элементов для анализа балочной конструкции переменной жесткости с использованием конечного элемента с линейным изменением жесткости по своей длине.

3. Разработанные методы применены для анализа и проектирования балочной конструкции наибольшей жесткости: выполнена реализация алгоритма для проектирования балочной конструкции наибольшей жесткости, моделируемой балкой с кусочно-постоянной и кусочно-линейной функцией жесткости. В математическом алгоритме для решения задачи анализа применен метод конечных элементов с использованием известного и разработанного балочных конечных элементов. А также проведены вычислительные эксперименты для исследования алгоритма проектирования балочной '4 конструкции наибольшей жесткости. На примерах показана практическая сходимость получившегося численного решения.

4. Выполнено развитие метода получения функциональных сплайнов из условий минимума функционала полной энергии оператора исходного сплайнового уравнения. Данный функционал полной энергии оператора сплайнового уравнения равен удвоенному функционалу потенциальной энергии деформации неразрезной многоопорной балки при заданных смещениях ее опор, если исходное сплайновое уравнение принять в качестве уравнения деформирования неразрезной многоопорной балки переменной изгибной жесткости.

5. Из условий минимума функционала полной энергии оператора исходного сплайнового уравнения предложено получать кубический сплайн минимальной жесткости и сплайн минимальной кусочно-линейной жесткости,

0- Для нахождения управляющих коэффициентов участков кубического сплайна кусочно-постоянной жесткости и узлов сплайна кусочно-линейной жесткости можно формулировать и другие дополнительные условия в зависимости от целей исходной прикладной задачи, в алгоритме реализации которой решено применить рассматриваемые сплайны. Также выполнена реализация алгоритмов вычисления кубического сплайна минимальной жесткости, сплайна минимальной кусочно-линейной жесткости и комбинированного сплайна. На примерах проведены исследования сходимости решения задачи интерполирования с применением полученных сплайнов. В частности, решена прикладная задача интерполирования линии аэродинамического крылового профиля П226 - 9,5 самолета Ту - 214.

6. Выполнено развитие метода нахождения узлов сетки для параметрических сплайнов из условий минимума функционала полной энергии оператора исходного сплайнового уравнения, предложенного в работах В.Ф.Снигирева и Э.Ю.Курчатова. Разработанный метод применен для нахождения узлов сетки для параметрических кубического сплайна кусочно-постоянной жесткости и сплайна кусочно-линейной жесткости.

7. Выполнено развитие численного метода решения обратной задачи параметризации для точечной математической модели поверхности при расположении ее точек в плоских сечениях, не пересекающихся в пределах рассматриваемой поверхности, с применением сплайнов, предложенного в работах Снигирева В.Ф. В разработанном методе в качестве параметризации выполнена параметризация, полученная из условий минимума функционала полной энергии оператора исходного сплайнового уравнения, а не равномерная, что позволяет повысить качество задания поверхности.

8. На примерах проведены исследования сходимости решения задачи параметризации с применением разработанных методов для кубического сплайна кусочно-постоянной жесткости. В частности, решены прикладные задачи параметризации профиля П226 - 9,5 крыла самолета Ту - 214 и поверхности откидной части фонаря истребителя Су - 27.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Павленко, Алексей Петрович, 2007 год

1. Альберг Дж. Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. Пер. с англ.-М.: Мир, 1972.-318 с.

2. Бабиков П.Е. Модифицированная версия комплекса программ для вычисления геометрических характеристик таблично заданных поверхностей сложной конфигурации (АРГОЛА, вып. 13А) // Тр. ЦАГИ. Вып. 2134.-М.: Изд. ЦАГИ, 1982. 67 с.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973. - 632 с.

4. Бирюк В.И., Липин Е. К., Фролов В.М. Методы проектирования конструкций самолетов. М.: Машиностроение, 1977. - 232 с.

5. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. Пер. с англ. М.: Мир, 1974. - 128 с.

6. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. -Новосибирск: Наука, 1983.-216 с.

7. Василенко В.А., Переломов Е.М. Сплайн-интерполяция в прямоугольнойобласти с хаотически расположенными узлами // Машинная графика и ее применения. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. - С. 96 - 103.

8. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Снигирев В.Ф. Расчет крыльевых устройств судов на прочность. Казань: Татар, кн. изд., 1975. - 212 с.

9. Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. М.: Вузовская книга, 2000. - 320 с.

10. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971. - 248 с.

11. Голованов А.И., Песошин А.В., Тюленева О.Н. Современные конечно-элементные модели и методы исследования тонкостенных конструкций. -Казань: КГУ, 2005. 442 с.

12. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. - 208 с.

13. Гриценко В.И., Расторгуев Г.И. Определение пластической зоны вокруг подкрепленного отверстия в пластине // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: Изд-во НЭТИ, 1992.-С. 47-54.

14. Дьяконов В.П. Maple 7: Учебный курс. СПб.: Питер, 2002. - 672 с.

15. Завьялов О.Ю., Снигирев В.Ф. Точный метод нахождения ориентированной касательной плоскости к аэродинамической поверхности, заданной кубическими вектор-сплайнами // Изв. вузов. Авиационная техника. 1996. - № 1. - С. 16-20.

16. Завьялов Ю.С. Проблемы автоматизации обработки геометрической информации в технике // Сплайн-функции в инженерной геометрии. -Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1981. С. 3 - 8 (Вычисл. системы; Вып. 86).

17. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. -М.: Наука, 1980.-352 с.

18. Завьялов Ю. С., Леус В. А., Скороспелов В. А. Сплайны в инженернойгеометрии. М. Машиностроение, 1985. - 224 с.

19. Ц 22. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. М.: Мир, 1975.-544 с.

20. Интегрированная электротехнология в модельном производстве / В.П. Ситников, В.И Полянин, В.К. Исаев, И.Г. Каримуллин // Тез. докл. конф. Гибкие производственные системы в электротехнологии (ГПС ЭМО-88). -Уфа: 1988.-С. 65-66.

21. Исаев В.К. Геометрическая информатика интегрированных систем электротехнологии // Тез. докл. конф. Гибкие производственные системы

22. Щ в электротехнологии (ГПС ЭМО-88). Уфа: 1988. - С. 67 - 68.

23. Исаев В.К., Григорьев Е.А. О граничных условиях для параметрических кубических сплайнов // Тез. докл. семинара Современные достижения в области механической обработки криволинейных поверхностей на станках с ЧПУ. Ленинград: 1983. - С. 37 - 42.

24. Исаев В.К. Малахов А.И. О задаче интерполяции таблично заданной в R3 кривой // В кн.: Методы сплайн-функций (Вычислительные системы), вып. 93. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1982. - С. 61 - 65.

25. Исаев В.К. Методы управляемого геометрического проектирования в теории ГПС // Тез. докл. VI Международной конф. по гибким производственным системам (Пула, СФРЮ). М.: 1989. - С. 35 - 37.

26. Исаев В.К., Плотников С.А. Обратная задача чебышевского приближения на классе сплайнов первой степени // В кн.: Сплайн-аппроксимация и численный анализ (Вычислительные системы), вып. 108. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1985. - С. 44 - 62.

27. Исаев В.К., Хмелев А.К. О задачах формирования плоских кривых общеговида в режиме диалога // В кн.: Методы сплайн-функции в численном Ш анализе (Вычислительные системы), вып.98. Новосибирск: 1983. - С.131 133.

28. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

29. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Перевод с нем. М.: Наука, 1971. - 576 с.

30. Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 360 с.

31. Квасов Б.И. О краевых условиях при интерполяции параболическими сплайнами // Методы сплайн-функций. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1981. - С. 11 - 17 (Вычисл. системы; Вып. 87).

32. Комаров А.А. Основы проектирования силовых конструкций. -Куйбышев, 1965. -88 с.

33. Комаров В.А. Проектирование конструкций с наивыгоднейшим Щ распределением материала // Труды КуАИ. Вып.54. 1971. - С. 3 - 8

34. Конструкция самолетов: Учебник для вузов / О.А. Гребеньков, В.П. Гоголин, А.И. Осокин, В.Ф. Снигирев, В.Г. Шатаев: Под ред. О.А.Гребенькова. Казань: Изд-во КГТУ, 1999. - 320 с.

35. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Снигирев В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М.: Наука, 1989. - 208 с.

36. Корнишин М.С., Паймушин В.Н. К вопросу о параметризации срединной поверхности пластин и оболочек со сложной границей // Прочность и устойчивость оболочек. Труды семинара. Вып. IX. - Казань, 1977. - С. 17-25.

37. Корнишин М.С., Паймушин В.Н. Соотношения теории среднего изгиба тонких пластин и пологих оболочек с формой в плане в виде косоугольного четырехугольника. Казань: Казан, физ.-техн. ин-т КФ АН СССР, 1977. - С. 5 - 18 (Тр. семинара; Вып. 8).

38. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Андреев С.В. К вариационным методам ф исследования устойчивости тонких оболочек сложной геометрии // Тр.

39. XII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин: В 3 т. Ереван: Изд-во Ереван, ун-та, 1980. - Т.1. - С. 67 - 72.

40. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Фирсов В.А. К решению двумерных задач механики деформирования оболочек сложной геометрии // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1980. - Вып. 60. - С. 70 - 79.

41. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Якупов Н.М. К расчету гибких двусвязных пластин сложного очертания // Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. -Казань: Казан, авиац. ин-т, 1980. С. 48 - 52.

42. Корнишин М.С., Якупов Н.М. К расчету оболочек сложной геометрии в цилиндрических координатах на основе сплайнового варианта МКЭ //ф1 Прикладная механика. 1989. - Т.25, Т.8. - С. 53 - 60.

43. Корнишин М.С., Якупов Н.М. Сплайновый вариант МКЭ в сферических координатах // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и автоматизация научных исследований. Горький, 1988.-С. 74-80.

44. Корнишин М.С., Якупов Н.М. Сплайновый вариант метода конечных элементов для расчета оболочек сложной геометрии // Прикладная механика. 1987. - Т.23, Т.З. - С. 38 - 44.

45. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы: В 2 т. М.: Наука, 1976. Т.1. 304 с.

46. Крылова Т.В., Лигун А.А. Выбор узлов сплайна для приближенного решения дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1985. -№9.-С. 27-31

47. Курчатов Э.Ю., Снигирев В.Ф. Наилучший выбор узлов сплайна приавтоматизации проектирования обводов // Математические и Р экспериментальные методы синтеза технических систем. Казань, 1989. 1. С. 38-43

48. Куршин J1.M., Расторгуев Г.И. О подкреплении контура отверстия в пластинке // Известия АН СССР. МТТ. 1979. - №6. - С. 94 - 102

49. Лигун А.А., Сторчай В.Ф. О наилучшем выборе узлов при приближении функций локальными эрмитовыми сплайнами // Украинский математический журнал. 1980. - Т.32. - №6. - С. 828 - 834

50. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В. Сплайн-аппроксимация функций. М.: Высшая школа, 1983. - 80 с.

51. Малинин М.Ю., Снигирев В.Ф. Конечный элемент слоистой произвольной оболочки типа Тимошенко // Актуальные проблемы механики оболочек: Тез. докл. II Всесоюз. совещания-семинара молодых ученых. Казань: Казан, инж.-строит. ин-т, 1985. - С. 126.

52. Малинин М.Ю., Снигирев В.Ф. Треугольный конечный элемент пологой оболочки типа Тимошенко // Механика композит, материалов. 1985. -№5.-С. 873-877.

53. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. -456 с.

54. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно сеточные методы. -М.: Наука, 1981.-416 с.

55. Методы оптимизации авиационных конструкций / Н.В.Баничук, В.И.Бирюк, А.П.Сейранян и др. М.: Машиностроение, 1989. - 296 с.

56. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. - 576 с.

57. Морозов В.А. Теория сплайнов и задача устойчивого вычисления неограниченного оператора // Журн. вычисл. математики и мат. физики. -1971.-Т.П.-№3.-С. 545-548.

58. Мэтьюз Д.Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB.

59. М.: Изд. дом "Вильяме", 2001. 720 с.0 66. Мяченков В.И., Мальцев В.П., Майборода В.П. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник. М.: Машиностроение, 1989. - 520 с.

60. Никольский С.М. Обобщенная производная // Мат. энцикл. 1982. - Т.З, Коо-Од.-С. 1103- 1104.

61. Осипов В.А. Машинные методы проектирования непрерывно-каркасных поверхностей. -М.: Машиностроение, 1979. -248 с.

62. Осипов В.А. Теоретические основы формирования системы машинной геометрии и графики. -М.: МАИ, 1983. 34 с.

63. Павлов Н.Н. О граничных условиях в задаче сглаживания кубическими сплайнами // Методы сплайн-функций. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1981. - С. 53 - 61 (Вычисл. системы; Вып.87).

64. Павлов Н.Н., Скороспелов В.А. Моделирование кривых и поверхностей в системе автоматизации геометрических расчетов // Сплайн-функции в инженерной геометрии. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1981. - С. 44 - 59 (Вычисл. системы; Вып.86).

65. Паймушин В.Н. Задача параметризации срединной поверхности оболочексо сложным контуром в плане и об одном методе ее решения // Исследования по теории оболочек. Казань: Казан, физ.-техн. ин-т КФ АН СССР, 1978. - С. 66 - 78 (Тр. семинара; Вып. 10).

66. Паймушин В.Н. К задаче параметризации срединной поверхности оболочки сложной геометрии // Прочность и надежность сложных систем. Киев: Наук, думка, 1979. - С. 26 - 33.

67. Паймушин В.Н. К проблеме расчета пластин и оболочек со сложным контуром // Прикл. механика. 1980. - Т. 16. - №4. - С. 63 - 70.

68. Паймушин В.Н. Некоторые задачи статики незамкнутых оболочек сложной формы и об одном методе их численного решения // Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. Казань: Казан, авиац. ин-т, 1979. -С. 61- 74.

69. Погорелов А.В. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. М.: Наука, 1967. - 280 с.

70. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. 6-е изд., стер. М.: Наука, 1974.- 176 с.

71. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. JL: "Судостроение", 1974. - 344 с.

72. Принципы автоматизации программирования технологических процессов. / В.Е. Зайцев, В.К. Исаев, С.В. Скородумов, С.В. Сухов // Тез. докл. Всесоюзной конференции по программному обеспечению. Ярополец: 1987.-С. 21.

73. Пустовой Н.В., Расторгуев Г.И., Шлыкова О.Н. Оптимальное распределение толщины вокруг подкрепленных отверстий в пластинах // Научный вестник НГТУ. 1999. - №1. - С. 64 - 73.

74. Расторгуев Г.И. Исследование пластических зон вокруг подкрепленных отверстий в пластинах // Сб. трудов Межвуз. научной конференции "Численно-аналитические методы решения краевых задач".

75. Новокузнецк: Издательство филиала Кемеровского гос. ун-та в Щ г.Новокузнецке.- 1998.-С. 62-64.

76. Расторгуев Г.И. К решению задачи оптимизации формы сечения призматического стержня с продольной полостью, изготовленного из анизотропного материала // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1989.-№8.-С. 27-31.

77. Расторгуев Г.И. Определение формы сечения анизотропного призматического стержня с продольной полостью из условия максимума крутильной жесткости // Динамика и прочность авиационных конструкций. Новосибирск: Изд - во НЭТИ. - 1989. - С. 56 - 61.

78. Расторгуев Г.И. Оптимальное распределение жесткости подкрепления вдоль края отверстия в пластине при упругопластическом поведении материала // Сибирский журнал индустриальной математики. 1998. -№2. - С. 140 - 153

79. Расторгуев Г.И. Оптимизация жесткостей тонких ребер, расположенных вдоль концентрических окружностей, в изгибаемой пластине // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1987. - №6. - С. 23 - 27.

80. Расторгуев Г.И. Оптимизация жесткостей тонких ребер, расположенных вдоль концентрических окружностей, в растянутой пластине // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. -Новосибирск: Изд-во НЭТИ. 1987. - №6. - С. 34 -43.

81. Расторгуев Г.И. Оптимизация форм поперечных сечений стержней с круговой продольной полостью // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: Изд - во НЭТИ. -1986.-С. 82-88.

82. Расторгуев Г.И. Оптимальное подкрепление края отверстия в пластине // Научный вестник НГТУ. 1996. - №2. - С. 89 - 98.

83. Расторгуев Г.И. Оптимизация распределений жесткостей тонких ребер впластинах при изгибе // Математическое моделирование процессов в синергетических системах / Тр. Всероссийской науч. конф. Улан-Удэ -Томск: Изд-во ТГУ, 1999. - С. 208 - 212.

84. Расторгуев Г.И. Пластические зоны вокруг подкрепленных отверстий в пластинах // Динамика сплошной среды / Математические проблемы механики сплошных сред. Сб. науч. тр. Новосибирск. Изд-во Ин-та гидродинамики СО РАН. - 1999.-Вып. 114. - С. 192 - 195.

85. Расторгуев Г.И. Подкрепление кругового отверстия в пластине равнодеформированным стержнем // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. - №2. -С. 167- 172.

86. Расторгуев Г.И., Шлыкова О.Н. Применение отображающих функций комплексного переменного при построении сетки конечных элементов // Динамика и прочность авиационных конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. -Новосибирск: Изд-во НЭТИ. 1992. - С. 93 - 99.

87. Расторгуев Г.И., Уваровский Д.С. К решению упругопластических задач методом граничных элементов // Динамика и прочность авиационных конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: Изд-во НЭТИ. - 1994.-С. 30-37.

88. Расторгуев Г.И., Уваровский Д.С. Упругопластический расчет ортотропных пластин методом граничных элементов / Тез. докл. Междунар. научно-техн. конф. "Расчетные методы механики деформируемого твердого тела". Новосибирск: Изд-во СГАПС. - 1995. -С. 61.

89. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. -М.: Мир, 1985.-590 с.

90. Садовничий В.А. Теория операторов. 4-е изд., испр. и доп. М.: Дрофа, 2001.-384 с.

91. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -392 с.

92. Снигирев В.Ф. Алгоритмы построения кубического сплайна, не требующие задания краевых условий // Исследование операций и аналитическое проектирование в технике. Казань: КАИ, 1984. — С. 51 — 56.

93. Снигирев В.Ф. Вычислительная геометрия в численных методах анализа оболочек // Актуальные проблемы механики оболочек: Тез. докл. II Всесоюз. совещ.-семинара молодых ученых. Казань: Казан, инж.-строит. ин-т, 1985.-С. 198- 199.

94. Снигирев В.Ф. Вычисление параметров пологой оболочки сложнойгеометрии методами сплайн-функций // Прочность и колебания авиационных конструкций. Казань: Казан, авиац. ин-т, 1984. - С. 73 -76.

95. Снигирев В.Ф. Вычисление параметров срединной поверхности оболочки методами сплайн функций // Актуальные проблемы механики оболочек. -Казань, КАИ, 1985.-С. 113-121.

96. Снигирев В.Ф. К задаче аналитического построения поверхностей летательных аппаратов // Изв. вузов. Авиационная техника. 1983. - №4. -С. 100-102.

97. Снигирев В.Ф. К задаче вычисления параметров пологой оболочки // Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. -Казань: Казан, авиац. ин-т, 1982. С. 84 - 86.

98. Снигирев В.Ф. К задаче построения рабочей поверхности пуансона гибочной оснастки // Пластическое формообразование деталей авиационной техники. Казань: КАИ, 1983. - С. 80 - 85.

99. Снигирев В.Ф. К построению оптимальных сеток для численного решения задач механики пластин и оболочек // Пятая Всесоюз. конф. по управлению в механических системах: Тез. докл. Казань: Казан, авиац. ин-т, 1985.-С. 125.

100. Снигирев В. Ф. Неклассический вариант краевых условий для кубического вектор-сплайна // Журнал вычислительной математики и математической физики. Том 36. №12. М.: Наука, 1996. - С. 23 - 27.

101. Снигирев В. Ф. О краевых условиях для кубического сплайна // Исследование операций и аналитическое проектирование в технике. -Казань, 1987. С. 37 -42.

102. Снигирев В.Ф. Параметризация для точечной математической модели фрагмента обвода // Изв. вузов. Авиационная техника. 1994. - № 3. - С. 7-14.

103. Снигирев В.Ф. Построение вырождающегося сплайна для Я геометрического моделирования обводов // Изв. вузов. Авиационнаятехника. 1991. - №2. - С. 66 - 70.

104. Снигирев В.Ф. Построение поверхности оболочки методом сплайн-функций // Прочность и долговечность элементов конструкций летательных аппаратов. Куйбышев: КуАИ, 1984. - С. 47 - 54.

105. Снигирев В.Ф. Построение функциональных сплайнов для проектирования и задания обводов летательных аппаратов // Исследование операций и аналитическое проектирование в технике.

106. Казань: Казан, авиац. ин-т, 1988. С. 15-21.

107. Снигирев В. Ф. Применение сплайнов для задания обводов летательных аппаратов. Казань: Казан, авиац. ин-т, 1986. - 74 с. i

108. Снигирев В.Ф. Применение функциональных сплайнов для построения поверхностей летательных аппаратов // Изв. вузов. Авиационная техника, 1984,-№4.-С. 77-80.

109. Снигирев В.Ф. Численное решение задачи параметризации для оболочек // Пластичность и устойчивость в механике деформируемого твердого тела. Калинин: Калининский ун-т, 1984. - С. 102 - 109.

110. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. -М.: Наука, 1976.-248 с.

111. Сегерлинд J1. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -392 с.

112. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980. - 455 с.

113. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. -349 с.

114. Субботин Ю.Н. Сплайн // Мат. энцикл. 1985. - Т.5, Слу - Я. - С. 143.

115. Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии. М.: Гостехниздат, 1952.-344 с.

116. Фиников С.П. Теория поверхностей. М.; - JL: ОНТИ, 1934. - 285 с.

117. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. - 304 с.

118. Херхагер М., Партоль X. Mathcad 2000: полное руководство: Пер. с нем. -К.: Издательская группа BHV, 2000. 416 с.

119. Шенен П., Коснар М., Гардан И., Робер Ф., Робер И., Витомски П., Кастельжо П. Математика и САПР: В 2 кн. Кн. 1. Основные методы. Теория полюсов; Пер. с фр. М.: Мир, 1988. - 208 с.

120. Якунин В.И. Геометрические основы систем автоматизированного проектирования технических поверхностей. М.: МАИ, 1981. - 86 с.

121. Яненко Н.Н., Квасов Б.И. Итерационный метод построения поликубических . сплайн-функций // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Ин-т теорет. и прикл. механики СО АН СССР, 1970. -Т.1. -№3. - С. 84-89.

122. Foley Т.A., Nielson G.M. Knot selection for parametric spline interpolation // Mathematical Methods in Computer Aided Geometric Design. T. Lyche, L.L. Schumaker (eds.). Boston: Academic Press, 1989. -P. 261 -271.

123. Greiner G. Variational design and fairing of spline surfaces // Computer Graphics Forum. 1994. - V. 13. - №3. - P. 144 - 154.

124. Hoschek J. Intrinsic parametrization for approximation // Computer Aided Geometric Design. 1988. - V.5. - P. 27 - 31.

125. Lee E T.Y. Choosing nodes in parametric curve interpolation // Computer Aided Design. 1989. - V.21. - P. 363 - 370.

126. Marin S.P. An approach to data parametrization in parametric cubic spline interpolation problems I I J. Approx. Theory. 1984. - V.41. -P.64 - 66.

127. Sapidis N., Farin G. Automatic fairing algorithm for B-splines curves // Computer Aided Design. 1990.-V.22.-P. 121 - 129.

128. Spath H. Spline Algorithms for Curves and Surfaces. Winnipeg: Utilitas Mathematica Publishing Inc., 1974.

129. Zhou D., Cheung Y.K. The free vibration of a type of tapered beams // Computer methods in applied mechanics and engineering. 2000. - №188. - P. 203 -216.