Параметрическое моделирование поверхности адаптивного крыла с гибкими обшивками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.01.01, кандидат технических наук Викулин, Юрий Юрьевич

• Викулин, Юрий Юрьевич
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Викулин, Юрий Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ И КОНСТРУКТИВНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ АДАПТИВНЫХ КРЫЛЬЕВ И СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ ИХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ.

1.1. Аэродинамические особенности адаптивного крыла.

1.2. Анализ конструктивных особенностей адаптивного крыла.

1.3. Сравнительный анализ методов проектирования поверхности крыла.

1.4. Анализ методов проектирования поверхностей гибких упругих оболочек.

1.5. Задание поверхности гибкой обшивки способом изгибания.

1.6. Анализ методов геометрического моделирования одно- и двумерных обводов, используемых для проектирования поверхностей гибких обшивок.

1.7. Проблемы представления информации о внешних обводах в современных САПР.

Выводы по главе 1.

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ ОДНОМЕРНЫХ ОБВОДОВ ДЛЯ

ЗАДАНИЯ ЛИНЕЙНОГО КАРКАСА ПОВЕРХНОСТИ.

2.1. Метод конструирования плоского обвода с использованием закона изменения углов наклона касательных вдоль его длины.

2.1.1. Задание геометрического базиса проектируемого обвода.

2.1.2. Вычисление координат точек обвода.

2.1.3. Граничные условия решаемой задачи.

2.1.4. Вывод уравнений энергии деформаций.

2.1.5. Вывод уравнения экстремали.

2.1.6. Приведение решения уравнения экстремали к граничным условиям задачи.

2.1.7. Анализ уравнения экстремали обвода.

2.2. Разработка алгоритмов управления формой обвода.

2.3. Анализ ограничений, накладываемых на кривизну обвода.

Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ ДВУМЕРНЫХ ОБВОДОВ ДЛЯ

ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ГИБКОЙ ОБШИВКИ.

3.1. Задание геометрического базиса проектируемых поверхностей.

3.2. Алгоритм формирования изометричных поверхностей.

3.3. Геометрическое моделирование практической поверхности гибкой обшивки.

3.3.1. Аппроксимация одномерного обвода рациональной кубической кривой.

3.3.2. Аппроксимация одномерного обвода кривой второго порядка.

3.3.3. Формирование двумерного обвода с линейным каркасом из рациональных кубических кривых.

Выводы по главе 3.

ГЛАВА 4. РАЗРАБОТКА ПРАКТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОТСЕКОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ АДАПТИВНОГО КРЫЛА.

4.1. Выбор геометрической схемы адаптивного крыла.

4.2. Задание параметрической модели адаптивного крыла.

4.3. Разработка варианта геометрической схемы и алгоритмов проектирования адаптивного носка.

4.3.1. Задание положения носка и выбор граничных условий.

4.3.2. Алгоритм построения кривой в задающем сечении.

4.3.3. Алгоритмы проектирования верхней поверхности носка.

4.3.4. Проектирование поверхности гибкой обшивки со свободным краем.

-44.3.5. Алгоритм построения базового сечения нижней поверхности.

4.3.6. Методика задания линии обреза обшивки.

Выводы по главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Параметрическое моделирование поверхности адаптивного крыла с гибкими обшивками»

Актуальность темы исследования. В настоящее время важной целью совершенствования авиационной техники является решение задачи улучшения взлётно-посадочных характеристик летательных аппаратов, которые во многом определяются механизацией крыла и способами её управления. Одним из новых решений в конструкции самолетов является применение адаптивного крыла. Адаптивное крыло (АК) наилучшим образом способствует росту аэродинамического качества самолёта на всех этапах полёта, реагируя на команды, поступающие от летчика. Такое крыло изменяет в полёте форму профиля для обеспечения оптимальных рабочих характеристик по всему диапазону полетных режимов.

АК обладает достаточно сложной геометрией, которая определяется из условий аэродинамики, прочности, конструкции и компоновки агрегата. В связи с тем, что обозначилась общая тенденция в самолётостроении по применению такого крыла, то знание законов и методов изменения формы профиля является важной и актуальной темой исследования при проектировании АК.

Несмотря на достаточную известность концепции изменяемой кривизны, многие связанные с ней задачи не решены. Например, задача использования гибкой обшивки для получения наивысших характеристик по всему диапазону полётных режимов и применение автоматического управления для пилотирования на большом числе эксплуатационных режимов полёта без привнесения дополнительной нагрузки для лётчика.

Для достижения хороших рабочих параметров системы требуется моделирование и создание гладких и гибких обшивок адаптивной механизации кромок крыла. В отличие от общепринятых в настоящее время типов конструкции крыла, контур профиля АК не имеет разрывов, которые обычно происходят из-за наличия предкрылков, закрылков, обтекателей и вызывают возмущение обтекающего крыло воздушного потока.

Отсутствие математической модели поверхности (ММП) АК, ее алгоритмической и программной реализации, отсутствие или недостаточная проработанность методик конструирования АК значительно затрудняют процесс выбора оптимального решения, порождая и без того многочисленные конструкторские варианты (итерации).

Нестандартные решения в конструкции АК ведут к неточному и дорогому эмпирическому моделированию на всех стадиях проектирования. Тем не менее, уже на стадии технического предложения необходимо создать довольно точную поверхность целого агрегата для изготовления продувочных моделей. В перспективе требования к математической модели поверхности адаптивного крыла на ранних этапах будут очень жесткими вследствие применения высокотехнологичного оборудования для изготовления продувочных моделей, например, стереолитографической установки.

Отличительной особенностью систем автоматизированного проектирования (САПР), влияющей на повышение производительности труда инженеров-конструкторов, является то, что разрабатываемые и применяемые новые математические методы позволяют найти более простые конструктивные решения, а также избежать роста стоимости продукции при использовании современной технологии производства новых изделий.

Кроме того, повышается эффективность обучения персонала, включая и разработчиков, и сопровождающих производство инженеров-технологов. При этом использование разрабатываемых методов математического моделирования поверхности адаптивного крыла в САПР приводит к сокращению сроков разработок в связи с дополнительным повышением производительности конструкторского труда.

Все это подтверждает актуальность выполненного диссертационного исследования, посвященного моделированию поверхности адаптивного крыла с гибкими обшивками.

Тема настоящего исследования связана с научно-практическими разработками, выполняемыми автором в ОАО «ОКБ Сухого».

Объектом диссертационного исследования являются поверхности адаптивного крыла с гибкими обшивками.

Предметом исследования является геометрическое моделирование поверхностей гибкой обшивки адаптивного крыла для применения в САПР высокого уровня.

Цель работы - разработка методов и алгоритмов параметрического моделирования поверхностей гибкой обшивки адаптивного крыла, обеспечивающих высокую степень автоматизации проектирования в современных промышленных САПР.

Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие основные задачи:

1) Анализ существующих и перспективных конструкций адаптивных крыльев и разработка общей компоновки отсека АК с учетом конструктивных, аэродинамических и технологических требований.

2) Разработка математической модели одномерного обвода, удовлетворяющего требованиям минимизации внутренней энергии деформации при заданных граничных условиях.

3) Разработка методики моделирования и управления формой двумерного обвода с использованием рациональных кубических кривых, позволяющей проектировать адаптивное крыло с требуемой средней линией профиля.

4) Обоснование параметрического подхода при разработке математической модели поверхности адаптивного крыла для достижения высокой степени автоматизации проектирования.

5) Анализ и оптимизация разработанных геометрических моделей средствами системы автоматизированного проектирования высокого уровня с учетом возможности аппроксимации применяемых обводов рациональными параметрическими кривыми.

6) Внедрение в производство разработанных алгоритмов и пакета прикладных программ проектирования поверхности адаптивного крыла.

Методика выполнения работы.

Общей теоретической базой настоящего исследования послужили работы ученых и специалистов в следующих направлениях:

- теории геометрического моделирования: Четверухина Н.Ф., Котова И.И., Рыжова Н.Н., Осипова В.А., Якунина В.И. и многих других;

- строительной механике конструкции: Власова В.З., Кан С.Н., Курдюмова А.А., Огибалова П.М., Образцова И.Ф. и др.;

- теории изгибания поверхностей: Погорелова А.В., Фоменко В.Т. и др.;

- параметризации поверхностей и обводов: Четверухина Н.Ф., Рыжова Н.Н. и др.

- теории сплайн - функций, полиномов высоких степеней и тригонометрической интерполяции: Осипова В.А., Зубкова В.А., Тузова А.Д., Де Бора К., Швейкерта Д. и др.

При выполнении исследования использованы основополагающие работы по параметризации поверхностей и обводов: Котова И.И. [45], Рыжова Н.Н. [77], Осипова В.А. [64-66]; теории каркаса: Рыжова Н.Н. [76]; вопросам геометрического моделирования и преобразования пространства: Валькова К.И. [12], Иванова Г.С. [38-39], Тевлина A.M. [88]; вопросам нелинейных сплайнов: Мелума Е. [117]; вопросам автоматизации графических работ и использования ЭВМ в начертательной геометрии и по вопросам создания геометрических подсистем САПР: Безье П. [95,113], Михайленко В.Е. [54], Надолинного В.А. [58-59], Филлипова П.В. [94], Якунина В.И. [107-109].

При решении поставленных задач использовались методы алгебраической, аналитической, начертательной и проективной геометрии, строительной механики, теории алгебраических кривых и др.

Научную новизну выполненного исследования составляют следующие результаты:

1) Метод конструирования и исследования свойств плоского обвода, основанный на использовании закона изменения углов наклона касательных вдоль его длины.

2) Алгоритм решения задачи нахождения изометричных форм развёртывающихся поверхностей.

3) Методика применения рациональных кривых для аппроксимации минимизирующего обвода в линейном каркасе поверхностей гибких обшивок.

4) Методика исследования локальных характеристик двумерного обвода при проектировании изометричных форм гибких обшивок адаптивной механизации для обеспечения требуемого порядка гладкости в направлении набегающего воздушного потока.

5) Методика построения и использования параметрических моделей поверхности адаптивного крыла.

6) Алгоритмы геометрического моделирования поверхности адаптивного носка с гибкими обшивками в диапазоне рабочих углов его отклонения.

Практическая ценность выполненного исследования заключается в разработке методик и алгоритмов проектирования отклоняемых носков адаптивного крыла для аэродинамических продувочных моделей. Спроектировано более 10 вариантов отклоняемых носков АК и изготовлены продувочные модели на высокопроизводительном оборудовании с ЧПУ.

Проведён анализ существующих методов проектирования крыльев, адаптивной механизации и их конструкции. На основе анализа предложены новые методы проектирования.

В том числе решены следующие задачи проектирования поверхностей адаптивного крыла:

- 10- разработан алгоритм и программы аппроксимации обводообразующей кривой гибкой обшивки для различных углов отклонения адаптивной механизации;

- разработана методика и программа проектирования гибких обшивок для адаптивного носка;

- разработана методика проектирования поверхности адаптивных крыльев с использованием параметров формы для системы автоматизированного проектирования.

Полученные результаты позволили существенно сократить сроки изготовления аэродинамических моделей и повысить качество проектно-конструкторских работ.

На защиту выносятся следующие результаты, определяющие научную новизну и имеющие практическую ценность:

- метод геометрического моделирования одномерного обвода, минимизирующего внутреннюю энергию деформации стержня при заданных граничных условиях;

- алгоритм изометрического отображения плоскости при проектировании развёртывающихся поверхностей;

- метод задания геометрического базиса дискретного каркаса изометричных поверхностей;

- методика параметрического моделирования адаптивного крыла;

- метод проектирования адаптивного носка крыла с гибкими обшивками. Реализация результатов диссертационной работы осуществлена в виде рабочих методик, алгоритмов и пакетов прикладных программ проектирования поверхностей адаптивных крыльев.

Результаты исследования внедрены в производство в ОАО «ОКБ Сухого» при проектировании адаптивных носков самолётов нового поколения.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были доложены и обсуждены на следующих семинарах и научно-технических конференциях:

1) на научно-методических семинарах кафедры «Прикладная геометрия» Московского авиационного института (государственного технического университета);

2) на XXVII Международной молодежной научной конференции «Гага-ринские чтения», г. Москва, 9-12 апреля 2002 г.;

3) на первой научно-практической конференции ОАО «ОКБ Сухого», г. Москва, 2002 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 6 работ, в которых полно отражены теоретические и прикладные результаты проведенных исследований. Три работы находятся в печати.

Структура и объём работы. Диссертация объемом 119 страниц состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников, включающего 121 наименование и четырёх приложений. Она содержит 47 рисунков и 5 таблиц. В приложениях приведены программа расчета обвода, примеры разработанной параметрической модели адаптивного крыла, эпюры изгибания конических и цилиндрических поверхностей и акт о внедрении результатов исследования.

Заключение диссертации по теме «Инженерная геометрия и компьютерная графика», Викулин, Юрий Юрьевич

Выводы по главе 4

В четвёртой главе получены следующие научные результаты:

1. Разработаны методики проектирования отсека крыла с линейчатой поверхностью и процентной разбивкой. Отличительной особенностью этих методик является использование в качестве геометрического базиса элементов граничного твердотельного представления и соответствующих алгоритмов построения и управления формой твердых тел.

2. Показано, что использование ограниченного числа алгебраических и геометрических параметров задания отсека поверхности крыла позволяет упростить проектирование нового объекта за счёт использования готовых форм из конструкторской базы знаний.

3. Разработаны алгоритмы формирования математических моделей практической поверхности носовой части адаптивного крыла. Применение декомпозиции позволяет упростить решение этой задачи сведением ее к одномерному случаю с соблюдением условий аппроксимации поверхности гибкой обшивки. Кроме этого использование декомпозиции в задачах проектирования поверхностей гибких обшивок не только снижает трудоёмкость проектирования, но и позволяет прорабатывать варианты с различными граничными условиями.

4. Разработаны алгоритмы и программы, являющиеся приложением к любой САПР высокого уровня. Они позволяют устранить трудоёмкий итерационный процесс поиска решения. Разработаны рабочие конструкторские методики, значительно облегчающие процесс построения поверхности гибких обшивок носка. Указанные методики могут быть использованы для разработки стандартов по проектированию ММП.

5. Разработана и апробирована методика геометрического моделирования поверхности отклоняемого носка. Методика и соответствующие алгоритмы проектирования гибких поверхностей носка адаптивного крыла базируются на использовании двумерных обводов с линейным каркасом.

На основе разработанной методики возможно так же разработать и уточнить кинематику механизма отклонения носка и тем самым сократить цикл проектирования этого сложного узла.

6. Приведённые в четвертой главе методики и прикладные программы позволяют в сжатые сроки на ранних этапах проектирования разработать высококачественные математические модели поверхности носовой части крыла и применять высокопроизводительное оборудование с ЧПУ для изготовления продувочных моделей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные исследования показали, что геометрическое моделирование поверхностей адаптивного крыла применительно к их обработке в САПР высокого уровня, является актуальной задачей. Основным требованием, предъявляемым к таким геометрическим моделям, является использование небольшого количества простых управляющих параметров, при изменении которых можно получать семейство поверхностей (для занесения в конструкторскую базу знаний).

В диссертационной работе получены следующие теоретические и практические результаты:

1. Выявлено, что используемые для формирования моделей поверхностей гибких упругих оболочек математические и геометрические методы обладают рядом существенных недостатков, в том числе не обеспечивают точное соответствие моделей с действительной формой изогнутой гибкой поверхности. Большое количество разнообразных граничных условий при отсутствии обобщений и рекомендаций по применению существующих методов приводит к необоснованному выбору метода проектирования, значительно повышая трудоёмкость проектирования.

2. Показано, что для геометрического моделирования изометричных поверхностей гибкой обшивки предпочтительным является метод интерполяции линейного каркаса плоских обводов, заданных с помощью натуральных уравнений кривых, и удовлетворяющих условию минимизации функционала полной энергии деформации в зависимости от различных граничных условий.

3. Разработан метод конструирования плоского обвода с использованием закона изменения углов наклона касательных вдоль его длины. Отличительной особенностью предложенного метода является учет требуемого числа заданных граничных условий и использование натурального уравнения кривой и представления функции угла наклона касательной рядом по смещённым многочленам Лежандра.

Проведено расчетное сравнение конструируемого обвода с обводами, заданными с помощью рационально-параметрических сплайнов и кривых второго порядка. Показано, что в некоторых случаях в геометрическом базисе кинематической поверхности возможна аппроксимация обводов минимальной энергии рациональными кубическими кривыми и кривыми второго порядка с полным сохранением формы поверхности.

4. Выполнен анализ формы конструируемого обвода в зависимости от значений управляющего параметра. Исследована система линейных уравнений, определяющая неизвестные коэффициенты экстремали угла касательной. Показано, что при его различных значениях форма обвода может варьироваться от отрезка прямой до дуги клотоиды (спирали Корню).

5. Разработан алгоритм управления формой одномерного обвода, существенно расширяющий возможности конструирования сложной поверхности гибких обшивок. Предложенный алгоритм позволяет выявлять формы обвода, обладающие недопустимыми с точки зрения целостности конструкции и/или аэродинамики крыла значениями кривизны.

6. Разработан алгоритм формирования изометричных поверхностей. В основу предлагаемого алгоритма положено общее выражение изгибающего поля для развёртывающихся цилиндрической и конической поверхностей.

7. Установлено, что на этапе предварительного проектирования отсек поверхности линейчатого крыла с процентной разбивкой может быть аппроксимирован цилиндрической или конической поверхностью. В результате упрощаются алгоритмы проектирования различных конфигураций профилей адаптивного крыла при управляемом воздействии на механизацию.

8. Выполнено расчётное сравнение характеристик одномерных обводов, заданных рациональными кубическими кривыми и клотоидой для одних и тех же граничных условий. В результате сравнения установлено, что рациональная кубическая кривая без потери точности может быть использована для задания линейного каркаса практической поверхности гибкой обшивки на этапе предварительного проектирования. Исследован ряд граничных условий, при которых рационально кубическая кривая представляет собой кривую второго порядка, и обосновано использование в таких случаях более простых алгоритмов.

9. Разработана методика формирования двумерного обвода с линейным каркасом из рациональных кубических кривых. Показано, что предлагаемая интерполяция линейного каркаса обеспечивает гладкость двумерного обвода не ниже второго порядка.

10. Предложена методика проектирования двумерных обводов с сохранением метрики, как инварианта изометрического отображения.

11. Разработаны методики проектирования отсека крыла с линейчатой поверхностью и процентной разбивкой. Отличительной особенностью этих методик является использование в качестве геометрического базиса элементов граничного твердотельного представления и соответствующих алгоритмов построения и управления формой твердых тел.

Показано, что использование ограниченного числа алгебраических и геометрических параметров задания отсека поверхности крыла позволяет упростить проектирование нового объекта за счёт использования готовых форм из конструкторской базы знаний.

12. Разработаны алгоритмы формирования математических моделей практической поверхности носовой части адаптивного крыла. Применение декомпозиции позволяет упростить решение этой задачи сведением ее к одномерному случаю с соблюдением условий аппроксимации поверхности гибкой обшивки. Кроме этого использование декомпозиции в задачах проектирования поверхностей гибких обшивок не только снижает трудоёмкость проектирования, но и позволяет прорабатывать варианты с различными граничными условиями.

13. Разработаны алгоритмы и программы для использования в САПР высокого уровня. Они позволяют устранить трудоёмкий итерационный процесс поиска решения. Разработаны рабочие конструкторские методики, значительно облегчающие процесс построения поверхности гибких обшивок носка. Важно отметить, что данные методики могут быть использованы для разработки стандартов по проектированию ММП.

14. Разработаны и апробированы методика и алгоритмы геометрического моделирования поверхности отклоняемого носка, использующие двумерные обводы с линейным каркасом.

Отличительной особенностью предложенной методики является возможность ее использования при разработке и/или уточнении кинематики механизма отклонения носка с целью сокращения цикла проектирования этого сложного узла.

Основные теоретические положения диссертационной работы реализованы в пакете прикладных программ проектирования, обеспечивающих автоматизацию:

- проектирования обводов минимальной энергии, при заданных граничных условиях;

- проектирования разворачивающихся поверхностей по заданному закону изменения угла касательной;

- подбора коэффициентов кривой второго порядка и полинома третьей степени при проектировании обводов линейного каркаса поверхностей в САПР высокого уровня.

Пакет прикладных программ и методик проектирования внедрён в производство в ОАО «ОКБ Сухого» и используется при проектировании адаптивных крыльев.

Разработанные в диссертации методики и прикладные программы позволяют в сжатые сроки на ранних этапах проектирования разработать высококачественные математические модели поверхности носовой части крыла и применять высокопроизводительное оборудование с ЧПУ для изготовления продувочных моделей.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Викулин Ю.Ю. Вариант алгоритма удаления невидимых линий и поверхностей // XXI Гагаринские чтения: Тезисы докладов молодежной научной конференции. 4-8 апреля, 1995г. Ч. 1 - Москва, 1995. - с. 37-38.

2. Егоров Э.В., Викулин Ю.Ю. Проектирование математической модели поверхности адаптивного крыла [Электронный ресурс] //Прикладная геометрия: Электронный журнал. - М.: МАИ, 2002. - Вып. 4. - № 5. -11 с. - Режим доступа: http: // www.mai.ru /~apg)

3. Викулин Ю.Ю. Проектирование математической модели поверхности отклоняемого носка адаптивного крыла // XXVII Гагаринские чтения: Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции. 9-12 апреля, 2002г. - Москва, 2002. - с. 130-131.

4. Викулин Ю.Ю. Основа методики создания типовых параметризованных несущих поверхностей с двумя базовыми профилями и типовыми за-концовками двойной кривизны // Исследования и перспективные разработки в авиационной промышленности: Тезисы докладов первой научно-практической конференции молодых учёных и специалистов. Ноябрь 2002 г. - Москва, ОАО «ОКБ Сухого», 2002. - С. 59-61.

5. Викулин Ю.Ю. Математическая модель поверхности панели гибкой обшивки, полученной изгибом пластины [Электронный ресурс] //Прикладная геометрия: Электронный журнал. - М.: МАИ, 2003. - Вып. 5. - № 11. - 13 с. - Режим доступа: http: // www.mai.ru /-apg)

6. Викулин Ю. Ю. Поверхность отсека крыла с процентной разбивкой как параметрическая фигура в САПР [Электронный ресурс] // Прикладная геометрия: Электронный журнал. - М.: МАИ, 2005. - Вып. 7 №14. - С. 29-40. - Режим доступа: http: // www.mai.ru /~apg).

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Викулин, Юрий Юрьевич, 2005 год

1. Адаптивное крыло для гражданских транспортных самолётов.//Новости зарубежной науки и техники. / ЦАГИ. 1986. - Вып. №14. - С. 9-12.

2. Алгоритмы и программы решения геометрических задач на ЭВМ /Учебное пособие под ред. В.И. Якунина. М.: МАИ, 1982. - 69 с.

3. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры. М.: Наука, 1968. - 911 с.

4. Альберг Дж., Нильсон Э., Уош Дж. Теория сплайнов и её приложения. -М.: Мир, 1972.-316 с.

5. Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. М.: Наука, 1987.- 159 с.

6. Андреев В.А., Зворыкин В.А. и др. Расчет и построение контуров самолетов на плазе. М.: Оборонгиз, 1960. - 492 с.

7. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965. - 407 с.

8. Аэродинамика летательных аппаратов: Учебник / Г. А. Колесников и др. М. Машиностроение, 1993.

9. Бабаков В.В. Проектирование поверхностей кривыми второго порядка в самолетостроении. М.: Машиностроение, 1969. 124 с.

10. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1966. -464 с.

11. Выйсбург В.А., Медведев Б.А., Бакумский А.Н. Автоматизация процессов подготовки авиационного производства на базе ЭВМ и оборудования с ЧПУ. М.: Машиностроение, 1985. - 224 с.

12. Вальков К.И. Лекции по основам геометрического моделирования / Учебное пособие. Л.: ЛГУ, 1975. - 180 с.

13. Вергасов В.А. и др. Вычислительная математика. М.: Недра, 1976. - 230

14. Верещага B.M. Конструирование выпуклых плоских обводов алгебраическими многочленами. Автореферат кандидатской диссертации. М.: МАИ, 1983.

15. Викулин Ю.Ю. Вариант алгоритма удаления невидимых линий и поверхностей // XXI Гагаринские чтения: Тезисы докладов молодежной научной конференции. 4-8 апреля, 1995г. Ч. 1 Москва, 1995. - С. 37-38.

16. Викулин Ю.Ю. Проектирование математической модели поверхности отклоняемого носка адаптивного крыла // XXVII Гагаринские чтения: Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции. 9-12 апреля, 2002г. Москва, 2002. - С. 130-131.

17. Викулин Ю.Ю. Математическая модель поверхности панели гибкой обшивки, полученной изгибом пластины Электронный ресурс. //Прикладная геометрия: Электронный журнал. М.: МАИ, 2003. - Вып. 5. - № 11. - 13 с. - Режим доступа: http: // www.rnai.ru /~apg)

18. Викулин Ю. Ю. Поверхность отсека крыла с процентной разбивкой как параметрическая фигура в САПР Электронный ресурс. // Прикладная геометрия: Электронный журнал. М.: МАИ, 2005. - Вып. 7 №14. - С. 29-40. - Режим доступа: http: // www.rnai.ru /~apg).

19. Власов В. 3. Общая теория оболочек. М. Л., Гостехиздат, 1949.

20. Геометрия и прочность в САПР изделий // Межвузов, сборник/ МАТИ. -МД990. -159с.

21. Гончаров B.JI. Теория интерполирования и приближения функций. М.: Гостехиздат, 1954. - 328 с.- 11223. Грувер М., Зиммерс Э. САПР и автоматизация производства. М.: Мир, 1987.-528 с.

22. Давыдов Ю.В., Злыгарев В.А. Геометрия крыла: Методика и алгоритмы проектирования несущих поверхностей. М.: Машиностроение. 1987. -136 с.

23. Данилина Н.И. и др. Численные методы. М.: Высшая школа, 1976. -368 с.

24. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966. - 664 с.

25. Денискин Ю.И. Обобщённые методы геометрического моделирования объектов и управления их формой при параметрическом представлении. Автореф. дисс. .доктора техн. наук. М., МГАИ, 2000.: 38 с.

26. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам: Пер. с англ. /под ред. В. И. Скурихина. М.: Радио и связь, 1985. - 304 с.

27. Дьяконов В. П. Математическая система Maple V R3/R4/R5. М.: Солон, 1998.

28. Егоров Э.В., Викулин Ю.Ю. Проектирование математической модели поверхности адаптивного крыла Электронный ресурс. //Прикладная геометрия: Электронный журнал. М.: МАИ, 2002. - Вып. 4. - № 5. -11с. - Режим доступа: http: // www.mai.ru /~apg).

29. Егоров Э.В., Тузов А.А. Моделирование поверхностей агрегатов J1A: Учебное пособие./ Под. ред. Э.В. Егорова. М.: Изд-во МАИ, 1988. 53 с.

30. Егоров Э.В. Интерполяция дискретно заданной кривой полиномами четных степеней // начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач. Омск, ОмПИ, 1987. - С. 81-83.

31. Елисеев В.В. Механика упругих тел. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2002. - 341 с.

32. Зубков В.А. Об аппроксимации аэродинамических профилей выпуклыми полиномами // Труды МАИ, 1977. Вып. 414. С. 24-26.

33. Ибрагимов И.И. Методы интерполирования функций и некоторые их применения. М.: Наука, 1971. - 520 с.

34. Иванов Г. С. Бирациональные преобразования в моделировании поверхностей / Учебное пособие. М.: МАИ, 1984. - 45 с.

35. Иванов Г. С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований). М.: Машиностроение, 1987. - 192 с.

36. Информационные технологии в наукоёмком машиностроении: Компьютерное обеспечение индустриального бизнеса/ Под ред. А. Г. Братухина. К.:, Техшка, 2001. - 728с.

37. Кан С.Н. Строительная механика оболочек. М.: Машиностроение, 1966.

38. Кашин Г.М., Пшеничнов Г.И., Флеров Ю.А. Методы автоматизированного проектирования самолета. М.: Машиностроение, 1979. - 165 с.

39. Конструирование поверхностей и их технические приложения: Тем. сб. науч. тр. / МАИ. М.: Изд-во МАИ, 1992. - 92 е.: ил.

40. Коренев Л.И., Иванов Р.И. Проектирование кривых с наперед заданными геометрическими характеристиками // Геометрия САПР и автоматизированные системы производства деталей и узлов машин. Тезисы докладов. М., 1978. - Ч. I, С 79-82.

41. Котов И.И. Алгоритмы конструирования каркасных поверхностей. М.: МАИ, 1975. - 96 с.

42. Крылов В.Н., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. М.: Наука, 1976. - 303 с.-11447. Крыло с гибкой обшивкой, изменяющее в полёте форму профиля: Пер с англ./ переводчик В.Б. Рыбак. М.:АВЦП, 1983. - 14с.

43. Крылов Н. Н., и др. Начертательная геометрия: Учебник для строит, спец. вузов. Под ред. Крылова Н. Н. 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1984. - 224 е., ил.

44. Курдюмов А. А. и др. Строительная механика корабля и теория упругости. Л.: Судостроение, 1968. - Том 2.

45. Курс начертательной геометрии на базе ЭВМ / Под ред. A.M. Тевлина.

46. М.: Высшая школа, 1983 175 с.

47. Куц В.М. Об аналитическом описании кривой, не имеющей точек перегиба, по заданным точкам // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев, 1976. Вып. 21. - С. 58-60.

48. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975. - 496 с.

49. Методы построения и согласования судовой поверхности с помощью ЭВМ / Под ред. В.В. Ашика. Л.: Судостроение, 1978. - 80 с.

50. Михайленко В.Е., Ковалев С.Н., Седлецкая Н.И., Анцилогова В.А. Инженерная геометрия с элементами теории параметризации / Учебное пособие. Киев: УМК ВО, КИСИ, 1989. - 84 с.

51. Методы конструирования новых форм поверхностей и их модификаций: Тем. сб. научн. тр. / МАИ. М.: Изд-во МАИ, 1990. -96 е., ил.

52. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране: Пер. с англ. -М.: Мир, 1977.

53. Наджаров К. М. Матричный метод аппроксимации поверхностей и некоторые его инженерные приложения: Автореф. дисс. . канд. техн. наук. -М., 1968.-22 с.

54. Надолинный В. А. Аналитические методы в конструировании поверхностей. Киев: КПИ, 1981. - 84 с.

55. Норден А.П. Теория поверхностей. -М.: Гостехиздат, 1956. 260 с.

56. Образцов И. Ф. и др. Строительная механика летательных аппаратов: Учебник для авиационных специальностей вузов./ Под ред. Образцова И. Ф. М.: Машиностроение, 1986. - 536 е., ил.

57. Огибалов П. М., Колтунов М. А. Оболочки и пластины. М.:МГУ. -1969.

58. Осипов В.А. Машинные методы проектирования непрерывно-каркасных поверхностей. М.: Машиностроение, 1979. - 248 с.

59. Осипов В.А., Макутов В.И. Аналитический метод конструирования и расчета плоских обводов порядка гладкости т в виде единой функции с наперед заданным распределением знака кривизны в любой точке кривой // Труды МАИ, 1968. М., Вып. I. - С. 184-187.

60. Осипов В.А. Параметризация плоских обводов // Труды МИРЭА, М., 1969. Вып. 44.-С. 102-107.

61. Основы прикладной геометрии поверхностей элементов JIA: Уч. пособ./ Под. ред. В. И. Якунина. М.:, 1991.

62. Погорелов А. В. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. М.: Наука, 1967.

63. Погорелов А.В. Геометрическая теория устойчивости оболочек. К.:, 2000.

64. Программа самолёта AFTI/F-111 с адаптивным крылом.//Новости зарубежной науки и техники. / ЦАГИ. 1986. - Вып. №16. - С. 9-16.

65. Попов Е. П. Теория и расчет гибких упругих деталей. Л.:ЛКВВИА,1947.

66. Рабинский Е. Б. Некоторые вопросы построения машинной модели поверхности // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев, 1971. -Вып. 12.-С. 24-37.

67. Рейнов М.Н. Математическая модель судовой поверхности. Л.: Судостроение, 1977. - 32 с.

68. Рыжов Н. Н. Каркасная теория задания и конструирования поверхностей. Математика, прикладная геометрия // Труды УНД им. П. Лумум-бы.-М., 1967. Вып. 3. С. 3-16.

69. Рыжов Н. Н., Гершман И. П., Якубовский A.M. Геометрические условия как параметры // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев, 1967. Вып. 6.-С. 7-12.

70. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику: Учеб. пособие для вузов. -М.: Физматлит, 1994. 336 с.

71. Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. -М.: Физматгиз, 1960. 293 с.

72. Саульев В.К. Численные методы решения уравнений при проектировании ЛА. М.:МАИ, 1984.

73. Сластин Ю.В. Поверхности кусочно-полиномиальных функций // Труды МАИ, 1974. Вып. 296. С. 64-67.

74. Снигирев В.Ф. Применение сплайнов для задания обводов летательных аппаратов. Казань, КАИ, 1986. - 74 с.

75. Старадетко Е.А. Элементы вычислительной геометрии. Минск: Наука и техника, 1986. - 240 с.

76. Стейфенсон И.Ф. Теория интерполяции. M.-JL: ОНТИ НКТП, 1935. -236 с.

77. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. -М.: Наука, 1976.-248 с.

78. Тевлин А. М. Конструирование каркасных поверхностей// Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей. М., 1975. - вып. 12. -С. 90-93.

79. Теоретические основы формирования моделей поверхностей / Учебное пособие / Под ред. В.И. Якунина. М.: МАИ, 1982. - 69 с.

80. Торенбик Э. Проектирование дозвуковых самолётов: Пер. с англ. /Пер. Е.П. Голубков. М.: Машиностроение, 1983. -648 с. ил.

81. Тузов А. Д. Сглаживание функций, задаваемых таблицами // Вычислительные системы. Новосибирск, 1976. - Вып. 68. - С. 61-66.

82. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1970.

83. Фирсов В. А., Комаров Ю. Ю. Формообразование и сборка крупногабаритных агрегатов самолётов. М.: Изд - во МАИ, 1999. - 184 с.

84. Филиппов П.В., Афанасьев П.С. Некоторые кривые поверхности и их изображение на чертежах и аналитическое описание. JL: ЛВИМУ, 1976.-46 с.

85. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве: Пер. с англ./Под. ред. К. И. Бабенко. М.: Мир, 1982.-304 с. ил.

86. Фоменко В.Т. Изгибания поверхностей// Соросовский образовательный журнал. 1998. - №5. - С. 12-14.

87. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1972.-400 с.

88. ЮО.Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.-535 с.

89. Хидетниеми С., Гудман С. Введение в разработку и анализ алгоритмов. -М.: Мир, 1981.-321 с.

90. Цвицинский И.В. Математическое моделирование поверхностей сложной формы. Кишинев: Штиинца, 1984, - 109 с.

91. Шевелев Ю.Д. Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики. — М.: Наука, 1986. 367 с.

92. Шульженко М. Н. Конструкция самолётов. М.: Машиностроение, 1971.-416с.

93. Щуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. М.: Мир, 1985. - С. 235.

94. Юб.Этли X., Лэндал М. Аэродинамика крыльев и корпусов JLA. М.: Машиностроение, 1969. - 318 с.

95. Якунин В.И., Рыжов Н.Н., Егоров Э.В. Теоретические основы формирования моделей поверхностей / Учебное пособие. М.: МАИ, 1985. - 52 с.

96. Якунин В.И. Геометрические основы систем автоматизированного проектирования технических поверхностей: Учебное пособие для слушателей СФПК и ФПКП. М:.1980. - 86с.

97. Якунин В.И. Об одном универсальном методе описания обводов и поверхностей в САПР // Начертательная геометрия и черчение. Алма-Ата, 1979.-С. 46-49.

98. Barsky B.A. Exponential and Polynomial Methods for Applying Tension to an Interpolating Spline curve // Computer vision, Craphics and Image Processing.-1984. V. 27.-P. 1-18.

99. Bezie P.E. Numerical Control, Mathematics and Applications. New York: Wiley, 1972.

100. Boehm W. Curvature continuous curves and surfaces // Computer Aided Geometric Design. 1985. - V.2. - P. 313-323.

101. Ferguson J.C. Multivariable curves interpolation // J. ACM, II/2. 1964. - P. 221-228.

102. Gould D. K. Flexible-skin wing changes shape in flight. Automotive Engineerings, Vol. 90, Nol, 1982. P. 66-69.

103. Mehlum E. 1974, Non-linear Splines In Computer-Aided Geometric Design (R.E. Barnhill and R.F. Riesenfeld, eds), Academic Press.

104. Nielson G.M. Some piecewise polynomial alternatives to splines in tensinon // Computer-aided geometric design / Eds. Barnhill R.E., Riesenfeld R.F. -New-York: Academic press, 1974. P. 209-234.

105. Pal Т.К. and Nutbourne A.W. 1977, Two dimensioned Curve Synthesis using Linear Curvature Elements, Computer-Aided Design 9,2.

106. Renka R.J. Interpolatory tension splines with automatic selection of tension factors // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1987. - V. 8, N3. - P. 393-415.

107. Schweikert D.G. An interpolating curve using a spline in tension // J. Math. Physics. 1966.-N45.-P. 312-317.