Моделирование поверхностей сложной формы на основе интегродифференциальных сплайнов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.01.01, кандидат технических наук Чекалин, Андрей Александрович

• Чекалин, Андрей Александрович
• кандидат технических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат технических наук Чекалин, Андрей Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Сравнительный анализ некоторых видов сплайнов.

ГЛАВА 2. Моделирование кривых интегродифференциальными сплайнами.

2Л .Одномерный ИД-сплайн. Вычислительный аспект

2.1.1. Параболический ИД-сплайн.

2.1.2. ИД-сплайн четвертой степени.

2.2. Моделирование кривых.

2.3. Решение задачи сглаживания.

2.4. Управление формой обвода на основе интегродифференциальной интерполяции.

Выводы к главе 2.

ГЛАВА 3. Моделирование поверхностей ИД-сплайнами.

3.1. Двумерные ИД-сплайны. Методы расчета.

3.2. Геометрический аспект моделирования поверхности

3.3. Локальная модификация поверхности.

3.4. Уменьшение кусочности обвода.

Выводы к главе 3.

ГЛАВА 4. Примеры моделирования реальных объектов.

4.1. Аппроксимация плоской кривой, заданной аналитически

4.2. Аппроксимация поверхности типа «линейчатое крыло».

Выводы к главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование поверхностей сложной формы на основе интегродифференциальных сплайнов»

Системы автоматизированного проектирования изделий нашли широкое применение при проектировании, конструировании и изготовлении различных технических объектов. Такие системы в настоящее время интенсивно разрабатываются и внедряются в производство. Применение САПР позволяет значительно сократить сроки проектирования и подготовки производства. Одной из важных областей применения автоматизированных систем проектирования являются задачи геометрического моделирования сложных технических поверхностей. При автоматизированном проектировании летательных аппаратов, морских и речных судов и других конw V 1 струкции, имеющих в своем составе изделия сложной формы, значительную часть математического обеспечения систем проектирования составляет представление и обработка на ЭВМ геометрической информации, которая используется при решении многих проектных и технологических задач. Из этого следует, что блок геометрического моделирования является важнейшей частью САПР, от которого зависит работа остальных модулей.

Алгоритма моделирования формы проектируемых объектов строятся на основе методов прикладной геометрии, теоретические основы которой, применительно к расчетам на ЭВМ разработаны Советскими учеными Н.Ф. Четверухиным, И.И. Котовым, В.А. Бусыгиным, Ю.С. Завьяловым, Г.С. Ивановым, В.Е. Михайленко, K.M. Наджаровым, В.А. Осиповым, A.B. Павловым, A.JL Подгорным, H.H. Рыжовым, A.M. Тевлиным, П.В. Филипповым, С.А. Фроловым, В.И. Якуниным и их учениками.

Значительный вклад в изучение этого вопроса внесли зарубежные ученые Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш, С. Куне., И

Шенберг, К. Де Бор, Дж. Ризенфельд, П. Бизье, А. Форрест и др.

Наиболее полно задачи блока «Геометрия в САПР сформулированы проф. В.И. Якуниным в его работах [90,92]. Среди этих задач основной является задача математического моделирования обводов и поверхностей сложных форм. В настоящее время известно большое количество способов решения этой задачи.

Один из самых распространенных способов решения - это каркасно-кинематические методы проектирования поверхности. Основы этого метода были разработаны проф. Котовым И.И., Рыжовым H.H. и их учениками.

Одним из разновидностей каркасного способа проектирования является каркасно-кусочный способ при помощи «порций» поверхностей, ограниченных криволинейными четырехугольниками или треугольниками. Вся проектируемая поверхность при этом способе составляется из гладко состыкованных порций поверхностей, каждая из которых задается отдельным параметрическим уравнением. Частным случаем каркасно-кусочного способа является метод сплайн-функций.

Весьма распространенным является класс задач по моделированию поверхностей на основе дискретно-точечного каркаса. Решению задач этого класса посвящены работы Ю.С. Завьялова, K.M. Наджарова, Е.А. Стародетко, В.И. Якунина, Ю.И. Бадаева, Э.В. Егорова, В.К. Исаева, Квасова, В.А. Леуса, В.И. Макутова, B.JI. Мирошничеснко, В.А. Надолинного. В.А. Скороспелова, С.А. Старкова, А.Д. Тузова и многих других.

Большое разнообразие существующих способов проектирования поверхностей объясняется сложностью процесса проектирования. Этим обуславливается известные трудности при попытках создания более или менее универсальных САПР. Включение в состав системы большого количества способов проектирования усложняет ее, затрудняя как процесс создания, так и работу с ней.

С другой стороны существующие наиболее универсальные методы моделирования, такие, например, как кубические сплайны не позволяют эффективно решать некоторые специфические задачи проектирования, например проектировать кривые и поверхности с теми или иными наперед заданными свойствами, управлять формой обвода и т.д.

Таким образом актуальной является задача развития методов проектирования с целью с одной стороны сохранения их универсальности, а с другой придания им новых возможностей, по возможности не усложняя их.

На практике, при построении поверхностей летательных аппаратов широко применяются кубические сплайны [29,30]. Этот математический аппарат хорошо изучен, прост и удобен для проектирования одномерных и двумерных обводов. Основная задача, решаемая с помощь сплайнов это интерполяция. Кубический сплайн кроме этого позволяет решить другую важнейшую задачу -задачу сглаживания [29,30]. Процесс построения сглаживающего сплайна трудоемок, так как он итерационный, а кромке того системы уравнений для вычисления коэффициентов сглаживающего сплайна сложнее, чем для интерполяционного.

Еще одной важной задачей, которую иногда приходится решать на практике является локальная модификация кривых и поверхностей - задача управления формой обводов. Решение этой задачи при помощи кубических сплайнов затруднительно. Для этого используются обобщенные [29], напряженные [68] и некоторые другие виды сплайнов. Эти сплайны также обладают некоторыми недостатками. Например не изучены двумерные сплайны, позволяющие управлять формой каркасной поверхности.

В связи с этим объектом наших исследований выбраны ин-тегродиффернциальные сплайны [41-48, 83, 84], имеющие дополнительные - интегральные параметры и позволяющие более эффективно решать эти и некоторые другие задачи по моделированию кривых и поверхностей.

Для достижения этой цели нами поставлены и решены следующие теоретические и прикладные задачи:

- исследование геометрических и вычислительных свойств интегродифференциальных сплайнов;

- разработка методов аппроксимации кривых и поверхностей интегродифференциальными сплайнами, в том числе и со сглаживанием;

- разработка метода управления формой обвода на основе ин-тегродифференциальной аппроксимации;

- исследования возможности уменьшения кусочности обвода, основанного на методе интегрального сглаживания;

- разработка алгоритмов и программ, реализующих данные методики.

Методика выполнения работы. Решение задач, поставленных в работе, базируется на методах начертательной, дифференциальной, вычислительной геометрии, математического анализа, ли-неинои алгебры и других смежных наук.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработаны методы интерполяции дискретно заданных кривых и поверхностей интегродифференциальными сплайнами второй и четвертой степеней;

- разработаны методы и алгоритмы управления формой одномерного и двумерного обводов на основе интегродифференциальной аппроксимации;

- разработана методика безытерационного сглаживания данных, полученных экспериментально на основе минимизации нового интегрального функционала;

- Исследована возможность уменьшения кусочности обвода с целью сокращения объема хранимой информации об обводе.

Эффективное решение задач аппроксимации предлагаемыми сплайнами становится возможным за счет присутствия в их формулах интегральных параметров. В первую очередь это относится к задаче сглаживания, суть которой состоит в минимизации некоторых функционалов, которые являются интегральными.

- Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработаны методы интерполяции дискретно заданных кривых и поверхностей ИД-сплайнами второй и четвертой степеней;

- разработаны методы и алгоритмы управления формой одномерного и двумерного обводов на основе интегродифференциаль-ной аппроксимации;

- разработана методика сглаживания данных, полученных экспериментально;

- Исследована возможность уменьшения кусочности обвода с целью сокращения объема хранимой информации об обводе.

Практическая ценность. Предложенные в диссертации методы обладают высокой универсальностью, алгоритмы на их основе являются простыми и экономичными и легко программируются. По результатам исследований разработан комплекс программ.

Полученные результаты могут быть использованы при проектировании различных изделий в авиа-, судо-, автомобилестроении, в легкой и обувной промышленности и др.

На защиту выносятся:

- методы аппроксимации обводов квадратичными интегро-диффернциальными сплайнами;

- методы и алгоритмы аппроксимации обводов интегродиф-ференциальными сплайнами четвертой степени, метод управления формой обвода, метод сглаживания на основе интегродифференци-альной аппроксимации;

- методы и алгоритмы аппроксимации криволинейных поверхностей биквадратичными интегродифференциальными сплайнами и двумерными интегродифференциальными сплайнами четвертой степени, методы управления формой двумерного обвода.

Апробация работы. Основные результаты работы были обсуждены:

- на аспирантских семинарах кафедры «Прикладная геометрия» МАИ, 1994-1998 гг.

- на Всероссийской научно-технической конференции «Роль геометрии в искусственном интеллекте и системах автоматизированного проектирования» в г. Улан-Удэ, 1996 г

- на семинарах «Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации» в г. Саратове, 1996-1997 гг.

- на VII - Всероссийской конференции по компьютерной геометрии и графике «Кограф-97» в г. Нижний Новгород, 1997г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 научных работы, одна работа находится в печати, в которых отражены теоретические и прикладные результаты исследований.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка использованной литературы, включающего 110 наименование, и содержит 101 страницу машинописного текста, 30 рисунков, 2 таблицы.

Заключение диссертации по теме «Инженерная геометрия и компьютерная графика», Чекалин, Андрей Александрович

Выводы к главе 4

Заключительным этапом в разработке методов моделирования кривых и поверхностей на основе интегродифференциальных были эксперименты с целью убедиться в правильности теоретических выкладок,

В четвертой главе приведены два эксперимента:

1. Аппроксимация кривой, заданной аналитически.

2. Аппроксимация поверхности, представленной точечным каркасом с целью уменьшения кусочноети обвода.

Результаты экспериментов подтвердили эффективность методов ИД-сплайнов.