Методы 4-точечных преобразований в задачах аппроксимации и сглаживания кривых и поверхностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Дикусар, Николай Демьянович

• Дикусар, Николай Демьянович
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Дикусар, Николай Демьянович

Введение.

Содержание работы.

Глава I. Проблемы приближения и сглаживания функций.

1.1 Проблемы полиномиальной аппроксимации функций.

1.2 Трудности задачи сглаживания результатов наблюдений.

1.2.1 Трековые задачи.

1.3 Непараметрические методы сглаживания.

1.3.1 Метод ядерного сглаживания.

1.3.2 Оценки к-ближайших соседей. Суперсглаживатель.

1.3.3 Сглаживание сплайнами.

1.3.4 Локально-полиномиальное разложение.

1.3.5 Метод скользящего среднего (МСС).

1.3.6 Рекуррентные методы сглаживания.

1.3.7 Медианный сглаживатель.

1.4 Вейвлетный анализ.

Глава II. 4-точечные преобразования на координатной плоскости.

Адаптивные проективные фильтры.

2.1 Дискретные проективные преобразования на координатной. плоскости.

2.1.1 Функции двойного отношения четырех точек.

2.1.2 CR-функции и квадратичная парабола.

2.1.3 Определение и геометрический смысл DPT.

2.1.4 dpT-алгоритм.

2.1.5 Устойчивость DPT к ошибкам наблюдений.

2.2 Адаптивные проективные фильтры (АПФ).

2.2.1 Задача обнаружения и распознавания треков.

2.2.2 DPT как модель линейной системы.

2.2.3 Алгоритм адаптивных проективных фильтров (АПФ).

2.2.4 Применение АПФ для обнаружения трековых сегментов (TS).

Глава III. Параметризация функций и DPT-приближение.

3.1 D-преобразование степенного базиса.

3.1.1 Многочлены Gn{x;Á,L).

3.1.2 L, Л - параметризация базиса {хп}.

3.2 4-точечный подход к аппроксимации и сглаживанию функций.

3.2.1 TPS-модель.

3.2.2 TPS-приближение гладкой функции.

3.2.3 Среднеквадратичное приближение <p(x)eL2[a,b].

3.2.4 Разложение C(n)[X,L] по базису {Sn(*;A,L)}.

3.2.5 TPS-сглаживание.

3.3 DPT-аппроксимация и другие методы приближения функций

3.3.1 Аппроксимация и и - преобразование.

3.3.2 DPT-приближение.

3.3.3 Сравнение с другими методами аппроксимации.

Глава IV. Кусочно-кубическое приближение и сглаживание кривых в режиме адаптации.

4.1 Выбор модели локальной аппроксиманты.

4.2 Локально-оптимальное кубическое сглаживание кривых.

4.2.1 Устойчивость к ошибкам.

4.2.2 Итерационная процедура для вычисления оценки в.

4.2.3 Коррекция фиксированных параметров.

4.2.4 Алгоритм LOCUS.

4.3 Переход к вычислению по параметрам.

4.3.1 Вычисление оценки свободного параметра.

4.3.2 О коррекции реперных точек в LOCUS-P.

4.3.3 Примеры сглаживания процедурой LOCUS-P.

4.4 Сравнение LOCUS с другими сглаживателями.

Глава V. DPT-подход к сглаживанию поверхностей.

5.1 Бикубические модели с реперной привязкой.

5.1.1 НБМ - модель с девятью опорными точками.

5.1.2 Полная бикубическая модель.

5.2 Бикубическое сглаживание поверхности.

5.2.1 Регрессионная процедура для НБМ.

5.2.2 Примеры.

5.3 Выводы к главе V.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы 4-точечных преобразований в задачах аппроксимации и сглаживания кривых и поверхностей»

настоящая точность не там, где подсчитывают до большого числа значащих цифр и тем самым гипнотизируют себя мнимоточным результатом, а там, где знают меру точности необходимой и отдают себе отчет в том, какое приближение к "теоретическому идеалу", подчас вообще недостижимому, мы можем и, следуя рассудку, должны принять".

П. JI. Чебышев

Актуальность проблемы. Теория приближений является краеугольным камнем в задачах анализа эмпирических данных. Как самостоятельная ветвь математики она ведет начало с работ П.Л. Чебышева 1854 г., хотя отдельные вопросы о приближении функций рассматривались ранее Эйлером, Лапласом, Фурье, Гауссом, Лежандром, Понселе и другими математиками 18 и 19 веков.

В середине пятидесятых годов 2 0-го века широкое распространение в вычислительной практике получили различные «неклассические» методы приближения, например, сглаживание сплайнами, кусочнополиномиальными функциями и т.п. В этом направлении следует отметить труды следующих авторов: Дж. Алберга (J.H. Ahlberg ) , K.B. де Boopa(de Boor С.), Ю.С. Завьялова, H.H. Калиткина, В. Кленшоу (Clenshow W. ) , H.П. Корнейчука, Б.А. Попова, C.B. Стечкина, Ю.Н. Субботина, И. Шёнберга(Schoenberg I.), С. Уолда(Wold S.) и др.

В последние десятилетия стали бурно развиваться теория и методы непараметрического сглаживания, хотя непараметрический подход использовался в качестве основного метода анализа данных еще в средине 19-го века. Такое развитие обусловлено в основном двумя причинами : отсутствием необходимой гибкости классических параметрических методов сглаживания и стремительным развитием вычислительной техники. В настоящее время непараметрические методы широко используются в математике, технике, экономике, биологии и во многих других областях исследований.

В параметрических методах постулируется аналитическая структура связи, зависящая от параметров, а в непараметрических методах такая структура заранее не фиксируется и подбирается в процессе решения поставленной задачи. Основными преимуществами непараметрических методов являются их гибкость при исследовании соотношений между двумя переменными и возможность предсказания наблюдений (прогноз) без привязки к фиксированной параметрической модели. Кроме того, эти методы позволяют выявлять ложные наблюдения («плохие точки») путем изучения влияния изолированных точек. Существенный вклад в разработку методов непараметрического сглаживания внесли Ибрагимов И.А., Надарая (Nada-raya Е.А.), Немировский А.С., Парзен (Parzen Е.), Поляк Б.Т., Розенблатт (Rosenblatt М.), Тьюки (Tukey J.W.), Фридман (Friedman J.H.), Хардле В. (Hárdle W.), Цыбаков А.Б. и другие.

Круг задач, рассматриваемых в диссертации, связан с новым подходом к задачам кусочно-полиномиальной аппроксимации (включая случай равноотстоящих точек) и сглаживания функций на отрезке конечной длины, а также с созданием и разработкой более эффективных методов и алгоритмов приближения и сглаживания в режиме адаптации, ориентированных на работу в системах реального времени, в том числе в режимах информационной проходки (data mining). Целью работы является:

1) Анализ преимуществ и недостатков известных методов сглаживания (параметрических и непараметрических) с точки зрения их эффективности в рамках требований современной вычислительной практики.

2) Поиск нового математического аппарата для эффективного решения задач аппроксимации и сглаживания кривых, ориентированных на обработку "стохастических" данных (задачи распознавания контуров, трековые задачи, цифровая обработка сигналов и т.п.).

3) Разработка численных методов аппроксимации, сглаживания и фильтрации, основанных на 4-точечных преобразованиях и ориентированных на работу в режиме адаптации.

4) Создание алгоритмов на основе полученных методов и их исследование.

5) Создание программных пакетов, реализующих разработанные алгоритмы для их практического применения.

Научная новизна. Предложен новый подход к решению задач аппроксимации и сглаживания кривых и поверхностей. На его основе разработаны методы и алгоритмы сглаживания с эффективным подавлением входных ошибок и возможностью адаптации к локальным изменениям формы кривой. По сравнению с традиционными классическими методами, этот подход позволяет создавать эффективные алгоритмы анализа и обработки зашумленных данных, ориентированные на работу в режиме реального времени. В основе предлагаемого подхода используется параметризация аппроксимируемого или сглаживаемого объекта (кривой или поверхности) ограниченным набором координат его реперных точек (SR-параметры) и набором свободных параметров © . При этом оценки 0 определяются на основе опорных точек путем эффективного подавления ошибок, как в реперных, так и в текущих точках кривой. Устойчивость процедуры сглаживания к ошибкам достигается благодаря введению новой операции над точками кривой, определяемой новым видом 4-точечных или дискретных проективных преобразований (DPT)-прямых и обратных, предложенных автором диссертации.

Применение DPT к исходным (зашумленным) данным сглаживаемого обьекта и их свойство подавлять ошибки, позволило упростить вычислительную процедуру нахождения оценок свободных параметров, с последующим использованием найденных л оценок © для коррекции 5Я-параметров.

В основе предложенных 4-точечных преобразований используются, известные в проективной геометрии фундаментальные свойства ангармонического (двойного, сложного) отношения четырех точек числовой оси и специальный алгоритм выбора порядка точек в четверке.

На основе DPT получен новый класс базисных функций S„(x;A,L) и-ой степени, включающих в себя граничные точки отрезка в качестве непрерывных параметров. При этом разложение функции /(л)сС,хе[а,6] по такому базису дает равномерное распределение невязки по всему промежутку и повышает устойчивость вычислений при .

Предложенный метод разложения функций по степеням х на системе трех фиксированных точек качественно отличается от разложения функции по формуле Тейлора в окрестности только одной фиксированной точки х0 .

4-точечный" подход к решению практических задач, использующих методы аппроксимации и сглаживания, включает: введение новой операции (4-точечное преобразование) над точками кривой, упрощающей сложность ее формы/ разработку новых методов аппроксимации и сглаживания кривых, проведение их исследований и сравнение с классическими и другими известными методами; разработку метода непрерывной параметризации функций координатами опорных точек (благодаря устойчивости преобразований к случайным ошибкам, этот метод позволил получить эффективное решение регрессионной задачи восстановления кривых и поверхностей по измеренным точкам); создание алгоритма поиска узлов интерполяционного кубического сплайна в режиме адаптации; построение нового функционального базиса {Sn(x;A,L)} из моносплайнов, параметризованных границами промежутка; вы-полненение сравнения точности приближения основных элементарных и тригонометрических функций в базисе { Sn(x;A,L) } с приближениями по методу и-преобразований и чебышевскими многочленами (на границах интервала точность DPT-аппрок-симанты лучше точности Паде-аппроксиманты, а максимальная DPT-ошибка меньше ошибки Паде-аппроксимации на всем интервале и лишь немного больше максимальной ошибки чебы-шевского приближения); создание нового класса адаптивных проективных фильтров (APF) для обнаружения и распознавания треков (на их основе предложено эффективное решение задачи по обнаружению и распознаванию трековых сегментов) ; построение модели трехточечного кубического сплайна - TPS (модель легла в основу создания помехоустойчивого и простого в реализации метода локального кубического сглаживания кривых в режиме адаптации); разработку рекуррентных алгоритмов локального кубического сглаживателя (LOCUS и LOCUS-P) с использованием DPT и РНК - рекурсивного метода наименьших квадратов первого порядка (скорость сходимости итераций алгоритма составляет 0(п~3) ) ; разработка процедуры перехода к вычислению по параметрам в алгоритме локального кубического сглаживания; исследование рабочих характеристик LOCUS (LOCUS-P) и выработка рекомендаций по выбору параметров сглаживания; сравнение результатов сглаживания LOCUS'ом и современными методами непараметрического сглаживания (Supersmoother, Kernel, Loess, Spline), включая методы вейвлетного анализа; построение бикубической модели поверхности с привязкой к ее опорным точкам (это позволило более чем в два раза сократить размерность матрицы нормальных уравнений, повысить устойчивость вычисления обратной матрицы и почти в три раза увеличить скорость вычисления оценок параметров по сравнению с классической моделью); создание пакетов прикладных программ сглаживания и аппроксимации (в среде Maple) для их практического применения и для проведения исследований новых методов и алгоритмов в области обработки данных. Экспериментальная проверка алгоритмов LOCUS и LOCUS-P выполнена на реальных данных со спектрометра Epsilon [60]. Практическая ценность. Предложенные в диссертации подход и методы аппроксимации и сглаживания кривых и поверхностей позволяют создавать эффективные алгоритмы обработки для решения многих практических задач в различных областях научных исследований и технологических разработок.

Введение управляющих параметров в алгоритмы сглаживания расширяет границы применимости универсальных классических методов и позволяет решать многие задачи в режиме реального времени. Предложенные методы могут быть использованы для решения прикладных задач, связанных с быстрым предварительным анализом и обработкой больших потоков данных. Особую актуальность предложенный подход может найти в методах управления динамическими объектами. Как правило, нужный закон управления динамическим объектом отыскивается адаптивным регулятором в процессе его работы по реакциям объекта на поданные управляющие воздействия, т.е. система адаптируется в условиях, когда ряд существенных параметров и факторов, определяющих ее поведение, неизвестны. Применение средств вычислительной техники создает большие возможности для реализации различных алгоритмов адаптации, основанные на методах аппроксимации и сглаживания . Такого рода задачи возникают при решении ряда проблем авиационной и космической техники, в задачах управления технологическими процессами, в автоматизированных системах управления в различных отраслях [13,18,93].

Как правило, значение существенных параметров неизвестно и в законе управления объектом вместо точных значений существенных параметров используются их "приближенные" значения, получаемые тем или иным способом. При таком подходе к задачам адаптации вопрос о получении "приближенных" значений неизвестных параметров становится центральным в проблеме адаптации. Методы и алгоритмы, полученные в диссертации, могут быть применены при синтезе адаптивных систем, например, в рекуррентных процедурах локального адаптивного прогноза или для определения минимума функции по ее значениям, наблюдаемым в условиях случайных помех.

Работоспособность предложенных методов и алгоритмов показаны на выборках данных, максимально учитывающих реальные ситуации. Рабочие характеристики разработанных алгоритмов и их эффективность являются конкурентоспособными известным в мире непараметрическим сглаживающим алгоритмам, что подтверждено программно методами сравнения результатов обработки одних и тех же выборок данных различными процедурами сглаживания, такими как Supersmoother, Kernel, Loess, Spline и др., включенными в стандартные пакеты по обработке данных S-PLUS, Matlab и др. Реализация результатов работы. Работа выполнена в соответствии с планом научных работ Объединенного института ядерных исследований и Лаборатории информационных технологий. Теоретические и практические результаты работы получили научное признание - на них имеются ссылки в отечественных и зарубежных работах, посвященных данной тематике . Работы автора стимулировали новые исследования других ученых, посвященные использованию предложенных методов. Аппробация работы. Материалы диссертации докладывались на школе физического факультета МГУ (Красновидово, 198 9), на Международном совещании по программированию и математическим методам решения физических задач (г. Дубна, 1993), на 17-й Международной конференции по ядерным трекам в твердых телах (г. Дубна, 1994), на Международной конференции по математическому моделированию и компьютерным методам в физике (г. Дубна, 1996), на конференции "Численные методы и вычислительная механика в науке и инженерии" (г. Мишкольц, 1996, Венгрия), на 1-й и 2-й Международных конференциях по актуальным проблемам вычислительной физики {г. Дубна, 1998, 2000), на семинаре отдела методов нелинейного анализа Вычислительного Центра РАН (2 000), в Институте Математического Моделирования РАН (2000), на кафедре математики Строительного факультета Технического Университета в г. Кошице (Словакия, 2001), а также на ряде семинаров и рабочих совещаний физических групп в лабораториях ОИЯИ (ЛВЭ, ЛФЧ, ЛНФ, ЛЯП, ЛВТА-ЛИТ). Работы по методам анализа и обработки трековой информации докладывались на XIII школе по автоматизации научных исследований АН СССР (г. Красноярск, 1980), на 1-й Всесоюзной конференции по автоматическим системам обработки изображений (г. Звенигород, 1983), на 22-й и 23-й Международных конференциях по физике высоких энергий (Ро-честерские конференции) (Лейпциг, 1984 и Беркли, 1986).

Программный пакет для сглаживания поверхностей бикубической моделью с использованием реперных точек доступен пользователям на ftp сервере ftp,tuke.sk из директории /pub/doc/maple/ubc (Технический университет, Кошице, Словакия) . Подробное описание и Maple-текст программы можно скачать с http://су.jinr.ru/~tsap/Koi/jinrlib/Xw009.htm . Аппробация диссертации в целом проведена на семинаре Лаборатории информационных технологий ОИЯИ (1марта 2002г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и двух приложений. Общий объем работы 211 страниц, в том числе 185 страниц основного текста, включая 65 рисунков и б таблиц. Список литературы содержит 109 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Дикусар, Николай Демьянович

Основные результаты и выводы

Работа посвящена новому подходу к решению задачи аппроксимации и сглаживания кривых и поверхностей и разработке численных методов ее решения на основе использования 4-точечных преобразований на координатной плоскости.

В работе дан краткий обзор современным, главным образом, непараметрическим методам решения задач аппроксимации и сглаживания кривых.

Автором диссертации введена новая операция (прямая и обратная) над точками кривой, определяющая отношения между точками специальными весовыми функциями двойного отношения четырех коллинеарных точек. Эта операция позволила автору построить новый тип преобразований, качественно изменяющих вид кривой и квадратично подавляющих входные ошибки. На основе 4-точечного подхода автором разработаны новые методы аппроксимации и сглаживания кривых, проведено их исследование и сравнение с классическими и другими известными методами. Предложен метод непрерывной параметризации функций координатами опорных точек. Создан алгоритм автоматического определения узлов сглаживающего (интерполяционного) кубического сплайна в режиме адаптации.

Построен новый полиномиальный базис, параметризованный границами промежутка, на основе которого получена рекуррентная формула для построения полиномов равномерного приближения, зависящих от непрерывных параметров. Выполнено сравнение точности приближения основных элементарных и тригонометрических функций в этом базисе с дробнолиней-ными приближениями Паде и приближениями чебышевскими многочленами .

Создан новый класс адаптивных проективных фильтров, с помощью которых получено эффективное решение задачи по обнаружению и распознаванию трековых сегментов.

Построена параметрическая модель трехточечного кубического сплайна с одним свободным параметром. Разработан и исследован (аналитически и программно) оптимальный рекурсивный алгоритм локального кубического сглаживателя с регулируемым коэффициентом усиления. Это позволило добиться эффективного подавления ошибок и получить высокую скорость процесса адаптации, которая составляет 0(п~3) . Известно, что теоретическая скорость сходимости в методах стохастической аппроксимации не превышает .

Предложен рекуррентный метод вычисления по параметрам оценки свободного коэффициента кубической модели. Исследованы рабочие характеристики алгоритма и сформулированы рекомендации по выбору параметров сглаживания.

В работе приведены примеры эффективного сглаживания за-шумленных поверхностей и кривых сложной формы с вычислением оценок точности приближения. Характер распределения остатков указывает на то, что предложенные методы не вносят каких-либо систематических смещений.

Проведены сравнения результатов сглаживания методами 4-точечных преобразований с результатами других непараметрических методов, включая методы вейвлетного анализа. Эти сравнения показали конкурентноспособность предложенных в диссертации методов и алгоритмов по таким характеристикам, как сложность вычислений, помехоустойчивость, точность, гибкость и надежность.

Построение бикубической модели локального сглаживания поверхности с привязкой к ее опорным точкам позволило более чем в два раза сократить размерность матрицы нормальных уравнений, повысить устойчивость вычисления обратной матрицы и почти в три раза увеличить скорость вычисления оценок параметров по сравнению с классической.

Создан пакет прикладных программ сглаживания и аппроксимации в программной среде Maple для его практического применения, разработан и введен в эксплуатацию программный блок сглаживания (в среде Delphi 5) для программного комплекса по оптимальной настройке детекторов в спектрометрах для нейтронных исследований.

В работе используются идеи из различных областей математики, а также классические методы приближения функций и сглаживания данных. В частности, изложенный в диссертации подход, основан на идее сложного отношения четырех точек из проективной геометрии, а рекуррентный метод наименьших квадратов и метод стохастической аппроксимации используются при разработке рекурсивного алгоритма по оцениванию свободного параметра кубической модели. Решение регрессионной задачи бикубического сглаживания поверхности проводится с использованием классического метода наименьших квадратов. В работе широко используются современные пакеты прикладных программ по математике и статистике.

Предложенные в диссертации методы и алгоритмы разработаны на основе научного и практического опыта, приобретенного автором еще в процессе разработки математического обеспечения и программного комплекса системы для массового измерения снимков с магнитного искрового спектрометра ОИЯИ. Внедрение этого комплекса в эксплуатацию позволило провести измерение и обработку большого числа событий, на основе которых были получены новые физические результаты.

Принципы, положенные в основу 4-точечного подхода и предложенных в диссертации численных методов, позволяют расширить их в различных направлениях и адаптировать для решения многочисленных задач.

Проведенные исследования рабочих характеристик алгоритмов, их проверка на конкретных задачах и сравнение с другими методами позволяют сделать вывод об эффективности предложенного подхода.

В заключение сформулированы основные результаты и выводы, полученные в диссертации.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Дикусар, Николай Демьянович, 2002 год

1. П.J1. Чебышев. Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближенным представлением функций. Собр. соч. т.2, стр. 152-237, М.-Л., 1947.

2. П.Л. Чебышев. О функциях, наименее отклоняющихся от нуля, Собр. соч. т.З, стр. 24-49, М.-Л., 1948.

3. К. Ланцош. Практические методы прикладного анализа, М., ФМ, 1961.

4. Р.В. Хемминг. Численные методы, М., Наука, 1968.

5. Р. В. Хемминг. Цифровые фильтры, М.', Сов. Радио, 1980.

6. К. С. Кунц. Численный анализ, Киев, Технл.ка, 1964.

7. И.С. Березин, Н.П. Жидков, Методы вычислений, т.1, М., ФМ, 1962.

8. H.H. Калиткин. Численные методы, М. ФМЛ, 19 78.

9. Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. Численные методы и программное обеспечение, М., Мир, 1998.

10. Ф. Клейн. Высшая геометрия, ГОНТИ, 1939, с.170.

11. Ф. Клейн. Элементарная математика с точки зрения высшей, т.2, Геометрия, М., Наука, 1987.

12. Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии, Том I, М., Наука, 1989.

13. В.Н. Фомин, А.Л. Фрадков, В.А. Якубович. Адаптивное управление динамическими объектами, М., Наука, 1981.

14. Andrew Bruce, Hong-Ye Gao. Applied Wawelet Analysis with S-PLUS, Springer, 1996.

15. H. Wind. Function Parametrization, CERN, Geneva, Switzeland, (1972), CERN-72-21.

16. В. Хардле. Прикладная непараметрическая регрессия, М., Мир, 1993.

17. Дж. Тьюки. Анализ результатов наблюдений, М., Советское радио, 1981.

18. Л. Льюнг. Идентификация систем. Теория для пользователя, М., Наука, 1991.

19. К.Ф.Н. Коуэн, П.М. Грант (ред.). Адаптивные фильтры, М., Мир, 1988.

20. Е.Р. Box and G.M. Jenkins. Time Series Analysis. Forecasting and control, Holden-Day, 1970.

21. M. Abramowitz and i.A. Stegun. Editors, Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, (1964) .

22. T.M.Nabhan, A.Y.Zamaya. Neural Networks 7 (1994),88.

23. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. Справочник по математике, M. Наука, 1986.

24. Бейкер Дж.(мл.), Грейвс-Моррис Питер. Аппроксимация Паде, М. Мир, 1986.

25. В.Н. Виноградов, Е.В. Гай, Н.С. Работнов. Аналитическая аппроксимация данных в ядерной и нейтронной физике, М., Энергоатомиздат, 1987.

26. Дж.Алберг, Э.Нильсон, Дж.Уолш. Теория сплайнов и ее приложения, М., Мир, 1972.

27. Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко. Методы сплайн-функций, М., Наука, 1980.

28. С.Б. Стечкин, Ю.Н. Субботин. Сплайны в вычислительной математике, М., Наука, 1976.

29. Н.П. Корнейчук. Сплайны в теории приближения, М., Наука, 1984.

30. H.H. Калиткин, JI.B. Кузьмина. Математическое моделирование, 6(4) (1994) 77-114.

31. H.H. Калиткин, J1.B. Кузьмина. Математическое моделирование, 7(11) (1995) 77-94.

32. H.H. Калиткин, Н.М. Шляхов. B-сплайны высоких степеней. Математическое моделирование, 11(11)(1999), 64-74.

33. H.H. Калиткин, Н.М. Шляхов. В-сплайны произвольной степени. Доклады Академии наук,367(2)(1999),157-160.

34. Б.А. Попов. Равномерное приближение сплайнами, Киев, Наукова Думка, 1989.

35. В.Ф.Демьянов, В.H.Малоземов. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.-368с.

36. Ф.Мостлер, Дж. Тьюки. Анализ данных и регрессия, М., ФиС, 1982.

37. Дж.Себер. Линейный регрессионный анализ,M.,Мир,1980.3 8. C.W. Clenshaw, J.G. Hayes. Curve and surface fitting, J. Inst. Math. Appl., 1 (1965) 164.

38. S. Wold. Spline Function in Data Analysis, Techno-metrics, 16(1) (1974) 1-11.

39. D.J.Poirier. Piecewise Regression Using Cubic Splines, Journal of the American Statistical Association, 68 (343) (1973) 515-524.

40. J.G. Hayes and J. Halliday. The Least-squares Fitting of Cubic Spline Surfaces to General Data Sets, J. Inst. Maths Applies, 14 (1974) 89-103.

41. M.T. Вазан. Стохастическая аппроксимация, M., Мир, 1972 .

42. M. Robbins and S. Monroe. A Stochastic Approximation Method, Annals of Mathematical Statistics, 22 (1951) 400-407.

43. P. Дуда,П. Харт.Распознавание образов и анализ сцен, М., Мир, 1976.

44. Дж. Ту, Р. Гонсалес. Принципы распознавания образов, М., Мир, 1987.

45. М. Реглер (ред.). Методы анализа данных в физическом эксперементе, М. Мир, 1993.

46. Н.Д. Дикусар. Дискретные проективные преобразования на координатной плоскости, Математическое моделирование, 10 (3) (1991), 50-64.

47. N.D. Dikoussar. Adaptive projective filters, Communication of JINR, E5-93-314, 22p.

48. N.D.Dikoussar. Adaptive projective filters for track finding, Comput. Phys. Commun. 79(1994), 39-51.

49. Н.Д. Дикусар. Аппроксимация и сглаживание функцийметодом 4-точечных преобразований, Сообщения ОИЯИ, Р5-95-285, Дубна, 1995, 24с.

50. N.D. Dikoussar. The adaptive algorithm for track finding, Radiation Measurements, 25 (1-4) (1995), 761-764.

51. Cs.Torek, N. D.Dikoussar. Approximation with DPT, Proc. of Conf. Numerical Methods and Computational Mechanics in Science and Engineering, Miskolc,p.76,1996 (Hungary).

52. N.D. Dikoussar. Function parametrization by using 4-point transforms, Comput. Phys. Commun. 99(1997), 235-254; (Communication of JINR, E-10-96-118).

53. Cs. Тбгок, N.D. Dikoussar. Approximation with Discrete Projective Transformation, Comput. & Math, with applications, 38(1999), 211-220.

54. Н.Д. Дикусар. Кусочно-кубическое приближение и сглаживание кривых в режиме адаптации, Сообщения ОИЯИ, Р10-99-168, Дубна, 1999, 18с.

55. Н.Д. Дикусар, Ч.Торок. Об одном подходе к сглаживанию поверхностей, Сообщения ОИЯИ, Р10-99-223, Дубна, 1999, 12с.

56. N.D. Dikoussar. A Local Cubic Smoother, In: Second Inter. Conf. Modern Trends in Computational Phisics, Book of Abstracts, Dll-2000-155, Dubna, 2000.

57. N.D.Dikoussar. A Four-Point Transform Approach to Curve Approximation and Smoothing, In: Second Inter. Conf. Modern Trends in Computational Phisics,

58. Book of Abstracts, Dll-2000-155, Dubna, 2000.

59. N.D. Dikoussar. A Local Cubic Smoothing in an Adaptation Mode, Preprint of JINR, El0-2001-48, Dubna, 2001,(Submitted to Computer Physics Communications).

60. H.B. Астахова, К. Вальтер, Н.Д. Дикусар, И.М. Сала-матин, А. Фришбуттер, К. Шеффцюк. Комплекс программ для оптимальной настройки детекторов дифрактометра

61. Epsilon, Сообщения ОИЯИ, Р13-2002-94, Дубна, 2002.

62. M.V. Avdeev, N.D. Dikoussar. Spline approximation and smoothing using the adaptive projective filters, Proc.of 9th Intern. Conf. Computational Modeling and Computing in Physics, JINR, D5, 11-97-112, Dubna, 1997, 82-90.

63. Cs. Torok. 4-Point transforms and approximation, Comput. Phys. Commun. 125 (2000), 154-166.

64. Н.И. Терихова. Кубические сглаживающие сплайны, Математическое моделирование, 2 (8) (1990) 112-118.

65. D. Roy et al. Rational approximants generated by м-transform, Comput. Phys. Commun. 78 (1993) 29-54.

66. M. Rosenblatt. Remarks on some nonparametric estimates of a density function. Annals of Mathematical Statistics, 27(1956) 642-669.

67. E. Parzen. On estimation of a probability density and mode. Annals of Mathematical Statistics, 35 (1962),1065-1076.

68. E.A. Nadaraya. On estimating regression. Theory Prob. Appl. 10(1964),186-190.

69. G.S. Watson. Smooth regression analysis. Sankhya, Series A, 26 (1964),359-372.

70. В.А. Епанечников. Непараметрическая оценка многомерной плотности вероятности. Теор. вероятн. и ее применение, 14 (1969) ,156-161.

71. H.G. Muller. Weighted local regression and kernel methods for nonparametric curve fitting. J. of American Statistical Association, 82 (1987) 231-238.

72. T. Gasser, H.G. Muller. Estimating regression functions and their derevatives by kernel method. Scandinavian Journal of Statistics, 11(1984)171-185.

73. J. Friedman. A Variable span smoother. Departmen of Statistics Technical Report LCS5 (1984), Stanford University, Stanford, CA.

74. J. Friedman and R. Tibshirani. The monotone smooth ing of scatter plots. Technometrics,26(1984)243-250.

75. J. Friedman and J.W. Tukey.IEEE Transactions on Computing, C-23 (1974), 881-889.

76. R. Eubank. Spline smoothing and nonparametric regression, NY, Dekker, 1988.

77. П. Хьюбер. Робастная статистика, M., Мир, 1984.

78. W.S.Cleveland.Robust locally weighted regression and smoothing scatter plots,Journal of the American Statistical Association, 74 (1979), 829-836.

79. S.W. Smith.The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing, Second edition, California Technical Publishing, San Diego, California, 1999

80. P.Revesz. Robbins-Monro procedure in Hilbert space and its application in theory of learning processes I, Studia Sci. Math. Hung., (1976), 391-398.

81. P.Revesz. How to apply the method of stochastic approximation in nonparametric estimation of regression function. Mathem. Operationsforshung, Serie Statistics, 8 (1977), 119-126.

82. I.A. Ahmad and P.E. Lin. Non-parametric sequential estimation of a multiple regression function, Bulletin of Mathematical Statistics, 17(1976), 63-75.

83. S.W. Bent and J. John. Finding the median requires 2n comparisons, Proc. 11th ACM Symposium on the Theory of Computing, (1985), 231-216.

84. M. Gyulassy and M. Harlander. Elastic tracking and neural network algorithms for complex pattern recog nition, Сотр. Phys. Commun. 66 (1991), 31-46.

85. B. Denby. Neural networks and cellular automata in experimental high energy phisics, Сотр. Phys. Commun. 49 (1988), 429-448.

86. J. Illingworth and J. Kitter. Comput. Vision Graphics Image Process., 44 (1988), 87-110.8 6. W. Duch, G.H.E. Diercksen. Comput. Phys. Commun. 87 (1995) , 341-371. r*

87. R. Coifman, Y. Meyer and V. Wickerhauser. Wavelet analysis and signal processing. In Wavelets and Their Applications, Jones and Bartlett Publishers, Boston, 1992, 153-178.

88. David.L. Donoho. De-noising by soft thresholding, IEEE Transactions on Information Theory, 41(3) (1995), 613-627.

89. David.L. Donoho and Iain M. Johnstone. Adapting to unknown smoothness via wavelet shrinkage,Journal of the American Statistical Association, 90(432) (1995), 1200-1224.

90. Cs. Torok,H.P. Bernhard. Wavelet shrinkage and mutual information, Commun. of JINR, E-5-99-221, Dubna, 1999 .

91. JT. Рабинер, Б. Гоулд. Теория и применение цифровой обработки сигналов, М., Мир, 1978.

92. У. Ледерман, Э. Ллойд (ред.). Справочник по прикладной статистике, т.1, М., ФиС, 1989.

93. А.А. Красовский (ред.). Справочник по теории автоматического управления, М., Наука, 1987.

94. А.А. Дорофеюк,А.Г. Дмитреев. Методы кусочной аппроксимации многомерных кривых, Автоматика и телемеханика, 12, 1984.

95. Н.Д. Дикусар. Метод определения параметров кривой второго порядка с помощью антисимметричного тензора, Сообщения ОИЯИ, Р10-86-385, Дубна, 1986, 11с.

96. H.H. Говорун, Н.Д. Дикусар, Т.Л. Тханг. О параметрической настройке спецпроцессора, Сообщения ОИЯИ, 10-82-295, Дубна, 1982.

97. H.H. Говорун, Н.Д. Дикусар, Т.Л. Тханг. Математическое обеспечение сканирующей системы НРД с использованием спецпроцессора для обработки данных с магнитных искровых спектрометров, Сообщен. ОИЯИ,10-81-389, Дубна, 1981.

98. Н.Д. Дикусар, Т.Л. Тханг, М.Р. Харьюзов. Фильтрация и сборка событий с МИС на CDC-6500, Сообщения ОИЯИ, Р10-12729, Дубна, 1979.

99. Д.П. Беллини, И.M. Василевский и др. Обнаружение возбужденного состояния пиона нового псевдоскалярного мезона, Письма в ЖЭТФ, т.34(9) (1981), 511.

100. М.A. Ananieva, A.A. Belozerova, N.D. Dikusar, P.L. Frabetti at al. Double-charge Exchange of Negative Pions in Inclusive Reactions on Nuclei at 40 GeV/c, Europhysics Letters, 4(9) (1987) 978-990.

101. Cs.Torok, N.D.Dikoussar. The UBC approximation library, ftp://ftp.tuke.sk/pub/doc/maple/ubc/ and http://cv.j inr.ru/~tsap/Koi/jinrlib/Xw009.htm .

102. Г.Н. Зорин, А.В. Стрелков, С.П. Третьякова, A.M. Воинов, В.М. Горбачев, Б.А. Емельянов, Р.Илич, Ю. Скварч. Изучение возможности регистрации термоядерных нейтронов в условиях высокого фона атомного реактора, Атомная энергия, 80(6) (1996), 473-474.

103. С.П. Третьякова. Диэлектрические детекторы и их использование в экспериментальной ядерной физике, ЭЧАЯ, 23 (2) (1992), 364-429.

104. J.Basilio Sim es, P.C.P.S. Sim es and C.M.B.A. Cor-reia. Nuclear Spectroscopy Pulse Height Analysis Based on Digital Signal Processing Techniques, IEEE Transactions on Nuclear Science, 42,4(1995),700-704.