Моделирование поведения тел из вязкоупругого материала при образовании в них концентраторов напряжений при конечных деформациях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Пекарь, Григорий Евгеньевич

• Пекарь, Григорий Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пекарь, Григорий Евгеньевич

Содержание

Введение

Основные положения диссертации

Содержание работы

1 Основные соотношения теории многократного наложения больших деформаций

1.1 Основные термины и обозначения, используемые в работе

1.2 Кинематика деформаций, геометрические соотношения

1.3 Уравнения равновесия и уравнения движения

1.4 Граничные условия

1.5 Определяющие соотношения

2 Постановка задач

2.1 О механической постановке граничных задач теории наложения больших деформаций

2.2 Модель образования концентратора напряжений. Полная математическая постановка квазистатических и динамических задач об образовании концентраторов напряжений в телах из вязкоупругих материалов

2.3 Общий алгоритм решения задач о последовательном образовании концентраторов напряжений в телах из вязкоупругих материалов

3 Методы решения задач

3.1 Метод конечных элементов для решения дифференциальных уравнений теории наложения больших деформаций

3.2 Особенности применения метода конечных элементов для несжимаемых материалов и слабосжимаемых материалов

3.3 Метод согласованных результантов. Сглаживание аффиноров и напряжений

3.4 Методы «переноса» результатов при решении задачи о последовательном образовании концентраторов напряжений

3.5 Решение динамических задач теории наложения больших деформаций. Схема Ньюмарка

3.6 Метод расчета интеграла из вязкоупругих определяющих соотношений

3.7 Разложение в ряд Прони. Метод Прони

3.8 Отделение от сингулярности в интеграле из определяющих соотношений

4 Результаты

4.1 Квазистатические задачи

4.1.1 Задача о квазистатическом одноосном растяжении однородной квадратной пластины

4.1.2 Задача о квазистатическом одноосном растяжении квадратной пластины с круговым отверстием

4.1.3 Задача о квазистатическом образовании кругового отверстия в предварительно нагруженной однородной квадратной пластине

4.1.4 Задача об одновременном квазистатическом образовании 2х круговых отверстий в предварительно нагруженной однородной квадратной пластине

4.1.5 Задача о последовательном квазистатическом образовании 2-х круговых отверстий в предварительно нагруженной однородной квадратной пластине

4.2 Динамические задачи

4.2.1 Задача о динамическом образовании кругового отверстия в предварительно нагруженной однородной квадратной пластине

4.2.2 Задача о динамическом образовании 2-х круговых отверстий в предварительно нагруженной однородной квадратной пластине

4.2.3 Задача о квазистатическом одноосном растяжении однородной квадратной пластины

Заключение

Приложение

Приложение 1. Анализ результатов разложения в ряд Прони и интегрирования с применением метода с разложением в ряд Прони

Приложение 2. Сравнительный анализ различных методов «переноса»

Приложение 3. Анализ сходимости по пространству и времени для динамических задач

Приложение 4 . Проявление невыполнения LBB - условия сходимости

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование поведения тел из вязкоупругого материала при образовании в них концентраторов напряжений при конечных деформациях»

Введение

Диссертационная работа посвящена моделированию напряженно-деформированного состояния (НДС) при образовании концентраторов напряжений в нелинейно-вязкоупругом нагруженном теле при конечных деформациях. В диссертационной работе предложена учитывающая динамические эффекты модификация модели образования концентратора напряжений в предварительно нагруженном теле для случая сжимаемых и несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов, разработан алгоритм решения квазистатической и динамической задач о НДС при образовании концентраторов напряжений в нелинейно-вязкоупругом нагруженном теле при конечных деформациях на основе метода конечных элементов и программный модуль, реализующий этот алгоритм. С помощью данного программного модуля проведен ряд численных экспериментов.

Свойства материала описываются соотношениями для сжимаемых и несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов, рассмотренными A.A. Адамовым в своих работах [1]. Учитывается, что возникновение в теле концентратора напряжений приводит (по крайней мере, в окрестности образованной граничной поверхности) к появлению в теле больших дополнительных деформаций, которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие деформации. Отметим, что именно "физически накладываются". Так как в рамках малых деформаций возможна суперпозиция деформаций, когда параметры напряженно-деформированного состояния тела от суммарного внешнего воздействия на тело определяются как сложение параметров напряженно-деформированного состояния тела от каждого воздействия на тело, а в случае конечных деформаций это не так. И поэтому мы говорим о "физическом наложении" (о физическом перераспределении) в теле деформаций и напряжений.

Задачам нелинейной теории упругости посвящено большое количество как отечественных, так и зарубежных работ, в частности работы Г.М. Бартенева [8,9], М.Ф. Бухиной [13], И.В. Блоха [11], Л.М. Зубова [115, 21], Ю.И. Койфмана[65], Д.И. Кутилина [25], А.И. Лурье [44,45], Н.Ф. Морозова [47], В.В.Новожилова [51,52], В.А. Пальмова [54,55], Л.И. Седова [67-69], Г.С. Тарасьева [72-74], Л.А. Толоконникова [75-63], Т.Н. Хазановича [8], К.Ф. Черныха [84,85], P.J. Blatz [89], А.Е. Green [93,94], W.L. Ко [89], М.А.Moony [102], F.D. Murnaghan [103], W.Noll [109], R.S. Rivlin [104], L.R.G. Treloar [79,80], C. Truesdell [81, 109], W. Zerna [93] и многих других.

Более сложными являются задачи связанные с анализом поведения элементов конструкций, когда необходимо учитывать вязкоупругие процессы, происходящие в материале тела. Теория линейной вязкоупругости зародилась еще в XIX веке, когда ведущие физики того времени, такие как Максвелл, Больцман и Кельвин исследовали и экспериментировали с ползучестью стекла, металлов и резин, тогда же были разработаны первые модели — модели Максвелла и Кельвина-Фойхта. Такие модели рассматривались в цикле работ A.A. Ильюшина и Б.Е. Победри [22,23], работах Р. Кристенсена [24], Tchoegl [110], Wineman and Rajagopal [112]. В дальнейшем эти модели получили многочисленные обобщения: в частности, обобщенная модель Максвелла, известная в иностранной литературе как Maxwell-Wiechert model, рассматривалась в [111]. Еще одна модель на основе модели Максвелла — это модель Зенера, известная также как модель стандартного тела, рассматривалась в [87]. Модель стандартного твердого тела так же получила обобщение -обобщенная модель стандартного твердого тела была рассмотрена в работах Lisitsa V.V., Lys E.V. [99].

Описанные выше линейные модели для одномерного случая удобно

трактовать при помощи механических моделей, которые наглядно

демонстрируют поведение различных вязкоупругих материалов. Эти модели

5

строятся из механических элементов двух типов: линейно-упругая пружина с модулем упругости G (массой этой пружины пренебрегают); вязкий элемент (демпфер) с коэффициентом вязкости 11 (вязкий элемент представляет собой поршень движущийся в цилиндре с вязкой жидкостью).

Рост интереса к нелинейной теории вязкоупругости пришелся на вторую половину XX века, когда начали разрабатываться синтетические полимеры (такие как нейлон, тефлон и т.д.). На сегодняшний день модели и методы решения задач в данной области достаточно подробно проработаны. Теории и эксперименту задач нелинейной теории вязкоупругости посвящены работы Ю.А. Гамлицкого [17], А.А.Адамова, В.П. Матвеенко, H.A. Труфанова, И.Н. Шардакова [1], Ю.Н. Работнова и его учеников [60-59,62], работы Н.Х. Арутюняна и его учеников [5], А.Д. Дроздова [90], П.М. Огибалова [53], В.В. Москвитина [49], W.N. Findley [92], L.K.Talybly [108]. В этих работах построены модели и дано теоретическое обоснование для малых и конечных деформаций.

Для учета перераспределения конечных деформаций использовалась

теория многократного наложения больших деформаций. Создание и развитие

теории многократного наложения больших деформаций для тел из упругого

материала было осуществлено Г.С. Тарасьевым [50,72-74] и

В.А. Левиным[96,98,20,29,30,37,38]. Совместно с этими авторами,

A.B. Вершининым были разработаны численные методы и программные модули

для решения таких задач [33,36,37]. Обобщение моделей вязкоупругости на

случай многоэтапного нагружения получено В.А. Левиным и K.M. Зингерманом

[97, 19,34] с использованием теории многократного наложения больших

деформаций и найдены численно-аналитические решения для

квазистатических задач с учетом нелинейностей 2-го порядка. Методы

решения и программные модули для решения таких задач с учетом

нелинейностей высших порядков разработаны не были. Модель образования

6

концентратора напряжений в предварительно нагруженном теле из нелинейно-вязкоупругих материалов с учетом динамических воздействий ранее не рассматривалась.

Для получения результатов данной работы использовался метод конечных элементов (МКЭ) в совокупности с методом Галеркина. Данный метод был предложен Б.Г. Галеркиным в 1915 г. как приближенный метод решения краевых задач [16]. Ранее в 1913г. метод применялся для решения конкретных задач теории упругости И.Г. Бубновым, в связи с чем именуется также методом Бубнова-Галеркина. Теоретическое обоснование метода принадлежит М.В. Келдышу (1942). Применение метода конечных элементов к задачам линейной и нелинейной теории упругости подробно рассмотрено в работах JI. Сегерлинда [66], О. Зенкевича [18], Дж. Джу и Р. Тейлора [113,114]. При этом исходная система нелинейных дифференциальных уравнений сводится посредством метода Галеркина к системе нелинейных алгебраических уравнений, которая затем решается с использованием метода Ньютона [10,2]. Полученная на каждой итерации метода Ньютона система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), решается прямым методом решения СЛАУ с использованием LU - разложения[14,86].

Недостатком рассмотренных методов является нерешенность (в общем случае) вопроса об их сходимости в случае применения к нелинейным задачам теории наложения больших деформаций. Поэтому очень важным является сравнение результатов, полученных с использованием этих методов, с результатами расчетов иными методами и с известными точными решениями. В данной работе приводится сравнение с аналитическим решением, полученным для одноосного растяжения однородной пластины, а также сравнение с численно — аналитическим решением, полученным ранее с учетом нелинейностей только 2-го порядка K.M. Зингерманом в [34].

Как уже упоминалось выше, для получения результатов данной работы использовались определяющие соотношения, рассмотренные A.A. Адамовым в его работах [1]. Эти соотношения являются определяющими соотношениями интегрального типа, что приводит к тому, что на каждой итерации метода Ньютона необходимо вычислять интеграл свертки по времени. Ядро свертки в используемых определяющих соотношениях имеет сингулярность в точке t = О. В случае сингулярных ядер методы трапеций и прямоугольников не позволяют рассчитывать интегралы с достаточной точностью, а для использования кубатурных формул более высокого порядка необходимо хранить полную историю перемещений для каждого шага по времени, что является очень неэкономичным с точки зрения используемой памяти. В этом случае, для вычисления интеграла свертки удобно использовать рекуррентную формулу, которую можно получить, разложив исходное ядро в линейную комбинацию экспонент — ряд (конечный) Прони. Этот метод также использовался в [113,99]. Для разложения в ряд Прони использовался метод, полученный Г. Прони в 1795 году [88].

Основные положения диссертации

Актуальность темы. В связи с разработкой новых материалов (в том числе резиноподобных и полимерных), конструкции из которых способны испытывать в процессе изготовления и эксплуатации конечные деформации, а также усложнением самих конструкций и сложностью нагружения на них, возникает необходимость в создании адекватных механических моделей и разработке систем инженерного анализа (либо программных модулей способных интегрироваться в существующие системы инженерного анализа) для оценки прочностных характеристик элементов таких конструкций. В ряде случаев необходимо учитывать вязкоупругие (в частности, релаксационные)

процессы, происходящие в таких конструкциях при их эксплуатации и хранении. Анализ напряженно-деформированного состояния в телах с образующимися отверстиями важен потому, что позволяет конструктору еще на этапе проектирования оценить возможность разрушения элемента конструкции при наличии в нем дефектов.

Целями работы являются:

— разработка модифицированной модели деформирования предварительно нагруженных тел из сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) или несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов при образовании в них концентраторов напряжений; модификация модели состоит в учете динамических эффектов и граничных условий на внешней границе тела;

— разработка детализированного алгоритма решения квазистатических задач с учетом нелинейностей высших порядков и алгоритма решения динамических задач в рамках описанной модели;

— разработка программного модуля для решения задач;

— проведение численных экспериментов для конкретных задач.

Научная новизна работы заключается в адаптации ранее разработанных

численных методов решения задач вязкоупругости (включая метод Прони) для сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) и несжимаемых материалов для случая квазистатического и динамического нагружения тела в несколько этапов, а также в решении задач нового класса, в которых при конечных деформациях образуются дефекты (включения и трещины ненулевого раскрытия) в телах из сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) и несжимаемых изотропных вязкоупругих материалов, с учетом квазистатического или динамического перераспределения конечных деформаций.

Достоверность результатов основывается на применении

апробированной теории многократного наложения больших деформаций,

9

применении определяющих соотношений и использовании для решения задач методов, апробированных ранее другими авторами. Проводится анализ полученных разложений в ряд Прони, а также результатов, полученных при интегрировании некоторых функций с использованием такого разложения. Также проводится численный (сеточный) анализ сходимости, как по пространству, так и по времени для динамических модельных задач. Полученные в работе результаты согласуются с точным решением, полученным для частного случая.

Практическая ценность работы заключается в возможности использования результатов расчета на начальных стадиях проектирования изделий из резиноподобных и полимерных материалов, а также в задачах мониторинга (например, когда в процессе эксплуатации возникает и может начать развиваться дефект). Разработанный программный модуль использовался при выполнении работ по грантам РФФИ (проекты 11-01-12043-офи-м-2011, 11-08-01284-а), госконтракту № 8757р / 14004 от 14 января 2011 г. с «Фондом содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере» по программе «Участник Молодёжного Научно-Инновационного Конкурса» («У.М.Н.И.К.») и при разработке CAE FIDESYS (Проект поддержан фондом Сколково).

На защиту выносятся:

— модификация модели образования концентратора напряжений в предварительно нагруженном теле для случая сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) и несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов с учетом динамических воздействий;

— детализированный алгоритм решения задач в рамках описанной модели и его программная реализация;

— результаты численных экспериментов для конкретных задач.

Содержание работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы.

В первой главе кратко изложены основные соотношения теории многократного наложения больших деформаций. Описан класс решаемых задач, а также рассмотрены выражения для характеристик напряженно-деформированного состояния тела (аффиноры деформаций, различные тензоры деформаций) в различных состояниях и уравнения, связывающие их между собой (кинематические соотношения). Приводятся уравнения равновесия и движения на момент времени тп в координатном базисе состояния на момент времени тп, а также уравнения равновесия и движения на момент времени тп в координатном базисе состояния на момент времени тк(к<п). Описаны граничные условия, используемые в работе, рассмотрены определяющие соотношения для сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) и несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов, используемых далее в работе при решении задач.

Вторая глава посвящена механической и математической постановке граничных задач теории многократного наложения больших деформаций об образовании концентраторов напряжений в предварительно нагруженных телах. Постановка задачи осуществляется с использованием теории многократного наложения больших деформаций. Рассмотрено несколько примеров механической постановки задач. В частности, приведены механическая постановка задачи об одновременном образовании отверстий в нагруженной однородной пластине из вязкоупругого материала и механическая постановка задачи о последовательном образовании отверстий в нагруженной однородной пластине из вязкоупругого материала. Рассмотрено восемь случаев полной математической постановки задач об образовании концентраторов напряжений

в телах из нелинейно-вязкоупругих тел: форма концентратора может быть задана как в момент образования тк, так и в момент тп >тк; материал может моделироваться как сжимаемым (в том числе и слабосжимаемым), так и несжимаемым материалом; постановка задачи может быть как квазистатической, так и динамической. Приведен общий алгоритм решения задач о последовательном образовании концентраторов напряжений в телах из вязкоупругих материалов.

Третья глава посвящена методам решения задач. В ней описан пример применения метода конечных элементов к задачам теории наложения больших деформаций. Так же обсуждаются особенности применения метода конечных элементов для несжимаемых материалов и слабосжимаемых материалов. Обсуждаются методы сглаживания полученных результатов (в частности аффиноров и напряжений). Обсуждаются методы «переноса» результатов при решении динамических и статических задач о последовательном образовании концентраторов напряжений. Описывается численная схема для решения динамических задач теории наложения больших деформаций. Для решения задач использовалась дискретизация по времени по методу (Схема

Ньюмарка). Схема обладает вторым порядком аппроксимации. Описывается общий алгоритм расчета интеграла из вязкоупругих определяющих соотношений. Описывается алгоритм получения разложения в ряд Прони (метод Прони). Описывается отделение от сингулярности в интеграле из определяющих соотношений.

В четвертой главе приведены результаты решения задач, постановка и

методы решения которых приведены во второй и третьей главах

соответственно. Приводятся примеры решения двумерных квазистатических и

динамических задач. Решения даны для различных типов материалов:

сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) и несжимаемых. Приведено

распределение напряжений, отнесенных к параметру материала, а также

12

контуры полостей до и после деформирования тела при различных видах нагружения. В приложении к диссертационной работе приведены некоторые тесты на достоверность результатов.

1 Основные соотношения теории многократного наложения больших деформаций

1.1 Основные термины и обозначения, используемые в работе

Приведем ниже основные обозначения нелинейной теории упругости и теории многократного наложения больших деформаций, используемые в работе [29,34,37,44]

п

Я - радиус-вектор частицы в п -м состоянии;

- лагранжевы (материальные) координаты частицы;

п

э; - базисные векторы в п -м состоянии.

п п—1

ип = Я- Я - вектор перемещений, характеризующий переход из

предыдущего (п -1) -го состояния в последующее п -е состояние;

р

V - градиент в базисе р-то состояния;

Р д Р р

=1+ X = X — аффинор деформаций,

1 п=д+1

характеризующий переход из состояния q в состояние р;

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Пекарь, Григорий Евгеньевич

Заключение

Таким образом, в диссертации получены следующие основные результаты:

1. Модифицирована модель образования концентратора напряжений в предварительно нагруженном теле из сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) или несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов. Модификация состоит в учете динамических воздействий и граничных условий на внешней границе тела.

2. Разработан детализированный алгоритм решения квазистатических задач с учетом нелинейностей высших порядков и алгоритм решения динамических задач в рамках описанной модели.

3. Проведены численные эксперименты и получены следующие эффекты (для тех задач, параметров материала, нагрузок и формы тела, которые указаны в соответствующих параграфах диссертации): a. Показано, что учет нелинейностей порядка выше 2-го является существенным. Выявлено, что разница в решениях, полученных с учетом нелинейностей только 2-го порядка и нелинейностей высших порядков, рассмотренных в работе, достигает 30%. b. Показано, что учет динамических эффектов в задачах рассмотренного типа является существенным. Выявлено, что разница в решениях задач, рассмотренных в работе и полученных с учетом динамических эффектов и без него, достигает 15%. c. Показано, что учет возникновения второго отверстия в задаче о динамическом последовательном образовании является существенным. Выявлено, что различия для решения без возникновения второй полости и для решения с центром второго, расположенного близко к первому, достигают 95%.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пекарь, Григорий Евгеньевич, 2012 год

Список литературы

1. Адамов A.A., Матвеенко В.П., Труфанов H.A., Шардаков H.H. Методы прикладной вязкоупругости. Екатеринбург:УрО РАН, 2003. 412 с.

2. Амосов А.А, Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. Пособие. М.: Высшая школа, 1994. 544 с.

3. Арутюнян Н.Х., Дроздов А. Д. Механика растущих вязкоупругих тел, подверженных старению, при конечных деформациях // Доклады АН СССР, 1984. Т. 276, № 4. С. 821-825.

4. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д. О растущем гравитирующем шаре при конечных деформациях // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1984. № 4. С. 124-137.

5. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. M.-JL: Гостехиздат, 1952. 323 с.

6. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязко-упругопластических тел. М.: Наука, 1987. 471 с.

7. Арутюнян Н.Х., Ив лев Д. Д. К теории вязко-пластичности неоднородно-стареющих тел // Известия АН АрмССР. Механика, 1982. Т. 35, № 5. С. 22-26.

8. Бартенев Г.М., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластичных деформаций сеточных полимеров // Высокомолекулярные соединения, 1960. Т. 2, № 1. С. 20-28.

9. Бартенев Г.М., Шерматов Д.С., Бартенева А.Г. Влияние масштабного фактора на механизм разрушения и долговечность полимеров в твердом состоянии // Высокомолекулярные соединения, 1998. Т. 40, № 9. С. 14651473.

Ю.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Лаборатория знаний, серия Классический университетский учебник. М.: Бином, 2004. 636 с.

П.БлохИ.В. Теория упругости. Харьков: Издательство Харьковского университета, 1964. 484 с.

12.Бугаков И.И., Чеповецкий М.А, Сравнительное исследование нелинейных уравнений вязкоупругости. // Известия АН АрмССР. Механика, 1984. Т.37, № I. С. 56-63.

13.Бухина М.Ф. Техническая физика эластомеров. М.: Химия, 1984. 224 с.

14.Быченков Ю.В., Чижонков Е.В. Итерационные методы решения седловых задач. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010. 349 с.

15.Вершинин A.B., Калинин В.В., Пекарь Г.Е. Некоторые результаты решения плоской задачи о концентраторе напряжений произвольной формы, образованном в нагруженном теле. Конечные деформации // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула, 2006. С. 106-107.

16.Галеркин Б.Г. Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок. "Вестник инженеров", 1915. Т. 1, № 19. С. 897-908.

17.Гамлицкий Ю.А., Мудрук В.И., Швачич М.В. Упругий потенциал наполненных резин. Теория и эксперимент // Труды XI симпозиума «Проблемы шин и резинокордных композитов». М.: ГУП НИИ шинной промышленности, 2000. Т. 1. с. 162-183

18. Зенкевич. О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 536 с.

19.3ингерман K.M. Решение класса плоских задач теории многократного

наложения больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах: дис. ... доктора физ.-мат. наук. Тверь, 2001. 234 с.

20.3ингерман K.M., Левин В.А. Перераспределение конечных упругих деформаций после образования включений. Приближенное аналитическое решение // ПММ, 2009. №6. С. 983-1001.

21.Зубов JIM. О дополнительной энергии упругого тела с начальными напряжениями // Известия Сев-Кавказ, научного центра высшей школы. Серия естественных наук, 1988. №4. С. 71-75.

22.Ильюшин A.A. Победря Б.Е. Основы математической теории термовязко-упругости. М.: Наука, 1970. 281 с.

23.Ильюшин A.A. Труды. Том 3. Теория термовязкоупругости. М.: Физматлит, 2007. 288 с.

24.Кристенсен P.M. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974. 340 с.

25.Кутилин Д.И. Теория конечных деформаций. М: Гостехиздат, 1947. 275 с.

26.Левин В.А., Вершинин A.B., Пекарь Т.Е. К решению плоской задачи о принудительном образовании дефекта в нагруженном вязкоупругом теле. Конечные деформации // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула, 2008. С. 249-251.

27.Левин В.А., Вершинин A.B., Пекарь Г.Е., Саяхова Л.Ф., Труфен К.Н., Филипенко Е.В., Яковлев М.Я. Использование нелокального критерия прочности в задачах теории многократного наложения больших деформаций. Решение модельных задач с помощью программного комплекса «Наложение» // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. М., 2006. С. 45.

28.Левин В.А., Пекарь Г.Е., Филипенко Е.В., Яковлев М Я. Плоская задача об образовании полости произвольной формы в нагруженном теле из нелинейно-упругого материала. Конечные деформации // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. М., 2007. С. 106-107.

29.Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. М.: Наука, Физматлит, 1999. 223 с.

30.Левин В.А. Развитие повреждений при конечных деформациях // Вестник МГУ. Сер. Математика, механика. М., 2006, №1., С. 59 - 62 .

31.Левин В.А., Вершинин A.B., Пекарь Г.Е., Саяхова Л.Ф., Труфен К.Н. Некоторые возможности использования многофункционального специализированного программного комплекса «Наложение» // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. М., 2007. С. 48.

32.Левин В.А., Вершинин A.B., Пекарь Г.Е., Фрейман E.H. О разработке совместимого специализированного программного комплекса "НАЛОЖЕНИЕ", предназначенного для учета изменения нагрузок, дефектов и свойств материала в процессе нагружения при больших деформациях // Инженерные системы 2009. Материалы международной научно-практической конференции. М., 2009. Т 1. С. 125-132.

33.Левин В.А., Вершинин A.B., Сабитов Д.И., Никифоров И.В., Пендюр Д.А. Использование суперкомпьютерных технологий в задачах прочности. Пакет Fidesys // Суперкомпьютерные технологии в образовании и промышленности. 2 издание, М., 2010. С.161 -166

34.Левин В.А., Зингерман K.M. Плоские задачи теории многократного наложения больших деформаций. Методы решения. М.: Физматлит, 2002. 272 с.

35.Левин В.А., Калинин В.В., Агапов H.A., Кукушкин A.B., Саяхова Л.Ф., Труфен К.Н., Пекарь Г.Е. Моделирование взаимовлияния нановключений в рамках механики деформируемого твердого тела с помощью пакета ABAQUS // Тезисы доклада "Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула, 2005. С. 227.

36.Левин В.А., Калинин В.В., Вершинин A.B., Пекарь Г.Е. Решение плоской задачи о концентраторе напряжений произвольной формы, образованном в нагруженном теле. Конечные деформации // Известия Тульского госуниверситета. Серия "Дифференциальные уравнения и прикладные задачи". Тула: изд-во ТулГУ, 2006. Т. 12., Вып. 1. С. 167-172.

37.Левин В.А., Калинин В.В., Зингерман K.M., Вершинин A.B. (Под редакцией В.А. Левина) Развитие дефектов при конечных деформациях. Компьютерное и физическое моделирование. М.: Физматлит, 2007. 392 с.

38.Левин В.А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. (Под редакцией В.А. Левина) Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М.: Физматлит, 2004. 408 с.

39. Л евин В. А., Пекарь Г.Е. Алгоритм и вариант программной реализации задачи об учете перераспределения в теле конечных деформаций (для различных типов определяющих соотношений) // Проблемы шин и резинокордных композитов (Материалы девятнадцатого симпозиума). М.: ООО «Научно-технический центр «НИИШП», 2008. Т. 2. С. 67-73.

40.Левин В.А., Пекарь Т.Е. Некоторые результаты решения задач об образовании концентраторов напряжений различной формы в телах из вязкоупругого материала. Конечные деформации // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. М., 2009. С. 103.

41.Левин В.А., Пекарь Г.Е. О модели образования дефекта в нагруженном теле из вязкоупругого материала. Конечные деформации // Проблемы шин и резинокордных композитов (Материалы восемнадцатого симпозиума). М.: ООО «Научно-технический центр «НИИШП», 2007. Т. 2, С. 42-51.

42.Левин В.А., Пекарь Г.Е. Оценка взаимодействия и взаимовлияния концентраторов напряжений, последовательно образуемых в теле из вязкоупругого материала. Конечные деформации // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. М., 2008. С. 117-118 .

43.Левин В.А., Пекарь Г.Е. Разработка программного модуля для решения задач вязкоупругоети. Слабосингулярные ядра // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. М., 2010. С. 124-125.

44.Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

45.Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

46.Метлов В.В. О наращивании тел при конечных деформациях // Докл. АН АрмССР, 1985. Т.80. №2. с. 87-91.

47.Морозов Н. Ф. Нелинейные задачи теории тонких анизотропных пластин // Известия вузов. Математика,1960. № 6. С. 170-173.

48.Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 255 с.

49.Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972. 328 с.

50.Нечаев Л.М., Тарасьев Г.С. Концентрация напряжений вокруг кругового в промежуточном состоянии тоннеля в нелинейно-упругом теле // Доклады АН СССР, 1974. 215, № 2. С. 301-304.

51.Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948.211с.

52.Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с. 53.0гибалов П.М., Мирзаджанзадзе А.Х. Нестационарные движения вязко-

пластичных сред. М.: Изд-во Московского ун-та, 1970. 415 с.

54.Пальмов В.А. Теория определяющих уравнений в нелинейной термомеханике деформируемых тел. Учебное пособие. СПб: Изд-во СПбГПУ, 2008. 113 с.

55.Пальмов В.А. Реологические модели в нелинейной механике деформируемых тел // Успехи механики, 1980. Т.З, вып.З. С. 75-115.

56.Пекарь Г.Е. Об одной нестационарной задаче образования концентратора

напряжения в нагруженном теле из несжимаемого вязкоупругого

116

материала. Конечные деформации и их перераспределение // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Нижний Новгород, 2011. №4 (4). С. 1689-1690.

57.Пекарь Г.Е. Разработка модуля САЕ Р1с1е8у8 для вычисления интегралов свертки. Решение задачи об образовании отверстия в пластине из нелинейно вязкоупругого материала // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула, 2011. С. 175.

58.Пекарь Г.Е., Левин В.А. Вариант алгоритма решения на базе мкэ плоской задачи об образовании концентратора напряжений произвольной формы в предварительно нагруженном теле из вязкоупругого несжимаемого материала. Конечные деформации // Труды всероссийской научно-практической конференции «Математика, информатика, естествознание в экономике и обществе». Секция физики, техники и электроники. М., 2007. С. 26.

59.Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения. М.: Наука, 1987. 80 с.

60.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712с.

61.Работнов Ю.Н. Сопротивление материалов. М.: Госфизматлит, 1962. 455с.

62.Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 384 с.

63.Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М.: Стройиздат, 1968. 416 с.

64.Розовский М.И. О нелинейных уравнениях ползучести и релаксации материалов при сложном напряженном состоянии. Ж, техн. физ., 1955. Т. 25, вып. 13. С. 2339-2354.

65.Савин Т.Н., Койфман Ю.И. Нелинейные эффекты в задачах о концентрации напряжений около отверстий с подкрепленным краем // Прикладная механика. 1965. 1, № 9. С. 1-13.

66.Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. Пер с англ. под ред. Б.Е. Победри. М.: Мир, 1979. 376 с.

67.Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Госфизматлит, 1962. 284 с.

68.Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1994. 528 с.

69.Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1994. 560 с.

70.Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка. М.: Наука, 1964. 104 с.

71.Страуструп Б. Язык программирования С++. Специальное издание. Пер. с англ. М.: ООО «Бином-Пресс», 2005. 1104 с.

72.Тарасьев Г.С., Левин В.А., Нечаев Л.М. Концентрация напряжений около эллиптической в конечном состоянии полости // Прикладная механика. 1980. 16, №6. С. 92-97.

73.Тарасьев Г.С., Толоконников Л.А. Конечные плоские деформации сжимаемого материала // Прикладная механика. 1966. 2, № 2. С. 22-27.

74.Тарасьев Г.С., Толоконников Л.А. Концентрация напряжений около полостей в несжимаемом материале // Концентрация напряжений. Киев, 1965. Вып. 1.С. 251-255.

7 5. Толоконников Л.А. Конечные плоские деформации несжимаемого материала // Прикладная математика и механика. 1959. Т. 21, № 1.

76.Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости. ПММ. 1956. Т. 20, вып. 3. С. 439—444.

77.Толоконников Л.А. Плоская деформация несжимаемого материала // Доклады АН СССР. 1958. Т. 119, № 6. С. 1124-1126.

78.Толоконников Л.А., Тарасьев Г.С., Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в телах из упругого и вязкоупругого материала // Вопросы судостроения. Серия 1. Проектирование судов. Л.: 1985, вып. 42, С. 146-152.

79.Трелоар J1. Введение в науку о полимерах. М.: Мир, 1973. 238 с.

80.Трелоар Л. Физика упругости каучука. М.: Иностранная литература, 1953. 240 с.

81.Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.592 с.

82.Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров. М,: Изд-во иностранной литературы, 1963. 535 с.

83.Харлаб В.Д. К общей нелинейной теории ползучести // Изв. ВНИИ гидротехн., 1961. Т. 68. С. 217-240.

84.Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. 336 с.

85.Черных К.Ф. Обобщенная плоская деформация в нелинейной теории упругости // Прикладная механика. 1977. 13, № 1. С. 3-30.

86.Чижонков Е.В. Лекции по курсу численные методы. М.: МГУ, 2006. 168 с.

87.Atanackovic Т.М. A modified Zener model of a viscoelastic body // Continuum Mechanics and Thermodynamics. V. 14, № 2, 2002. P. 137-148.

88.Beylkin G., Monzon L. On approximation of functions by exponential sums. // Applied and Computational Harmonic Analysis. 2005. V. 19. P. 17-48.

89.Blatz P. J., Ко W. L. Application of finite elastic theory to the deformation of rubbery materials // Trans. Soc. Rheology №6, 1962. 223 p.

90.Drozdov A.D. Mechanics of Viscoelastic Solids. John Wiley & Sons Inc., 1998.465 p.

91.E1-Karamany A.M. Deformation of a nonhomogeneous visco-elastic hollow sphere // Rozpr. inz., 1983. T.31, z.2. P. 267-277.

92.Findley W.N., Lai J.S., Onaran K.K. Creep and relaxation of nonlinear viscoelastic materials. New York: Courier Dover Publications, 1989. 371 p.

93.Green A. E., Zerna W. Theoretical Elasticity. New York: Oxford University Press, 1954. 442 p.

94.Green A.E., Adkins J.E. Large Elastic Deformations. New York: Oxford University Press, 1970. 324 p.

95.Green A.E., Naghdi P.M. A class of viscoelastic-plastic media. // Acta Mechanica, 1967. vol. IV/3. P.288-295.

96.Levin V.A., Vershinin A.V. Non-stationary plane problem of the successive origination of stress concentrators in a loaded body. Finite deformations and their superposition // Communications in Numerical Methods in Engineering. 2008. V. 24. P.2229-2239.

97.Levin V.A., Zingerman K.M. Finite deformation analysis of a pre-stressed viscoelastic body weakened by two successively originated elliptical holes // CSME Forum Proceedings, 1998. V. 2. P. 24-30.

98.Levin V.A. Theory of Repeated Superposition of Large Deformations. Elastic and Viscoelastic Bodies // Int. J. Solids Struct. 1998. V. 35. P. 2585-2600.

99.Lisitsa V.V., Lys E.V., Reshetova G.V., Tcheverda V.A. Finite-difference simulation of acoustic log in 3D heterogeneous VTI with attenuation // 70-th EAGE annual meeting. 9-12 june 2008: Proceedings. Rome. Italy. P237.

100. M. Charara, A. Vershinin, E. Deger, D. Sabitov, G. Pekar. 3D spectral element method simulation of sonic logging in anisotropic viscoelastic media // SEG Expanded Abstracts 2011, BG 1 Simulation of EM and Sonic Borehole Measurements. V.30. P. 432^37.

101. M. Charara, A. Vershinin, D. Sabitov, G. Pekar. SEM Wave Propagation in Complex Media with Tetrahedral to Hexahedral Mesh // 73-rd European Association of Geoscientists and Engineers Conference and Exhibition 2011. Vienna, Austria, 2011. P. 41-45.

102. Moony M.A. Theory of large elastic deformation // Journal of Applied Physics. 1940. № 11. P. 582-592.

103. Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid. New York: Willey, 1951. 140 p.

104. Rivlin R.S. Large elastic deformations of isotropic materials // Philos. Trans. Roy. Soc. London, 1948. A240. P. 459-508.

105. Rogers T.G., Lee E.H. The cylinder problem in viscoelastic stress analysis. Quart. Appl. Math., 1964. Vol.22, No.2. P. 117-131.

106. Shinozuka M. Stresses in a linear incompressible viscoelastic cylinder with moving inner boundary. // Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1963. Vol.30, No.3. P. 335-341.

107. Shinozuka M. Stresses in an incompressible viscoelastic-plastic thick-walled cylinder. // AIAA Journal, 1964. Vol.2, Wo. 10. P. 1800-1804.

108. TalyblyL.K. Boussinesq's viscoelastic problem on normal concentrated force on a half-space surface // Mechanics of Time-Dependent Materials. 2010. V. 14. №3. P. 253-259.

109. Truesdell C., Noll W. The nonlinear field theories of mechanics. Springer-Verlag, 2 Sub edition. 1992. 541 p.

110. Tschoegl N.W. The phenomenological theory of linear viscoelastic behavior. Springer-Verlag, 1989. 769 p.

111. Wiechert E. Gesetze der elastischen Nachwirkung für constante Temperatur. Annalen der Physik, 1893, S.286, 335-348, 546-570

112. Wineman A.S., Rajagopal K.R. Mechanical Response of Polymers: An Introduction. Cambridge University Press, 2000. 328 p.

113. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics (6th Ed.). Elsevier, 2005. 631p.

114. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The finite element method: its basis and fundamentals (6th Ed.). Elsevier, 2005. 802p.

115. Zubov L.M. Nonlinear Theory of Dislocations and Disclinations in Elastic Bodies. Springer-Verlag. Berlin-Heidelberg-New York. 1997. 205p.