Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния тел с жесткими круговыми включениями при конечных плоских деформациях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Рябова, Ольга Алексеевна

• Рябова, Ольга Алексеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рябова, Ольга Алексеевна

Введение

Глава 1. Математическая модель напряженных состояний нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с жесткими включениями и отверстиями при больших деформациях

1. Основные обозначения

2. Кинематика деформаций

3. Определяющие соотношения

4. Уравнения равновесия и граничные условия

5. Постановка краевых задач

Глава 2. Методы решения плоских задач теории наложения больших упругих и вязковпругих деформаций

1. Применение метода возмущений к решению задач упругости

2. Решение линеаризованной задачи

3. Метод последовательных приближений Шварца

4. Метод НыотонагКанторовича

5. О решении задач вязкоу пру гости

Глава 3. Решение некоторых плоских задач теории наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций

1. Задача о напряженно-деформированном состоянии вблизи жестких включений

2. Образование и изменение размеров жестких включений

3. Взаимовлияние полостей и жестких включений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния тел с жесткими круговыми включениями при конечных плоских деформациях»

Актуальность темы работы определяется широким применением резин и резиноподобных материалов в современной технике, необходимостью прогнозировать напряженно-деформированное состояние (НДС) и возможное разрушение элементов конструкций, изготовленных из этих материалов (резинометаллические амортизаторы, шины и ДР-)> с использованием методов математического моделирования. Такие элементы конструкций обычно эксплуатируются в условиях многократного деформирования, при этом деформации в них не малы (например, деформации в шинах достигают 50%) [12]. При таких деформациях существенное влияние на НДС оказывают эффекты геометрической и физической нелинейности. Зависимость долговечности высокоэластичных материалов от напряжений является нелинейной. Например, при изменении напряжений на 30-40% долговечность может измениться в несколько раз. Поэтому важно с максимально возможной точностью учесть нелинейные эффекты при математическом моделировании НДС изделий из таких материалов.

В процессе деформирования и разрушения резиноподобных материалов и композитов на их основе микроструктура этих материалов может существенно меняться [8, 103]. Разрушение сопровождается образованием микрополостей. Деформирование резин и других полимеров сопровождается их частичной кристаллизацией. Кристаллизация резин представляет собой фазовый переход первого рода, при котором меняется плотность материала, а также существенно меняются его упругие свойства: жесткость кристаллической фазы на 2-3 порядка превосходит жесткость аморфной фазы. С учетом этого при математическом моделировании НДС резин в процессе их кристаллизации можно рассматривать области, в которых материал находится в кристаллическом состоянии, как жесткие включения. Изменение плотности материала приводит к тому, что размер этих включений меняется в процессе кристаллизации.

Образование микрополостей или жестких включений приводит к перераспределению деформаций и напряжений в материале. Поэтому необходимо при построении моделей, описывающих эти явления, учесть эффекты, связанные с перераспределением конечных деформаций.

При построении математических моделей НДС изделий из резиноподобных материалов эти материалы обычно рассматриваются как нелинейно-упругие или вязкоупругие. Учет вязкоупругих свойств важен в случае, когда период времени, в течение которого происходит нагружение, сопоставим со временем релаксации. Вязкоупругие процессы сопровождаются переходом части энергии деформации в тепловую энергию, что может быть важно при анализе теплового состояния элементов конструкций. Для моделирования вязкоупругих свойств материала могут быть использованы определяющие соотношения с экспоненциальными или слабосингулярными ядрами; при этом определяющие соотношения со слабосингулярными ядрами позволяют более точно описать механическое поведение резиноподобных материалов.

В связи с вышеизложенным возникает необходимость в решении следующей научной задачи: построение и исследование математических моделей, описывающих НДС в нелинейно-упругих и вязкоупругих телах с жесткими включениями и полостями (в том числе и возникающими в процессе нагружения) при конечных деформациях и их перераспределении; разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения для расчета НДС таких тел.

Необходимость в решении такой задачи подтверждается также и тем, что до настоящего времени не были разработаны приближенные аналитические методы расчета НДС тел, содержащих жесткие включения для случая конечных плоских деформаций. Ранее математические модели для описания НДС нелинейно-упругих и вязкоупругих тел при конечных деформациях были развиты в работах Дж. Адкинса, А. Грина [15], А. И. Лурье [46, 47], Н. Ф. Морозова [49], Ф. Мурнагана [104], В. В. Новожилова [53], Л. И. Седова [80]—[82], К. Ф. Черных [90]. Теория наложения больших деформаций была предложена Г. С. Тарасьевым и обобщена на случай многократного наложения (перераспределения) больших деформаций В.А. Левиным [40, 44, 100]. Математические модели для описания механического поведения нелинейно-упругих и вязкоупругих материалов при больших деформациях предложены в работах А. А. Адамова [1, 2], Ю. А. Гамлицкого [12, 96], Д. В. Георгиевского [57, 98, 99], А. А. Ильюшина [23, 24], М. А. Колтунова [31]—[33], В. А. Левина [40], А. Лиона, Б. Е. Победри [56], Ю. Н. Работнова [58]. Физико-механические свойства резин, особенности кристаллизации резин рассмотрены в работах Л. Трелоара [86, 87, 105], М. Ф. Бухиной [5]-[7]. Аналитические и численные методы расчета НДС структурно-неоднородных упругих и вязкоупругих тел развиты в работах В. И. Воровича [11], В. И. Горбачева, Л. М. Зубова, В. П. Матвеенко, С. В. Шешенина. Методы расчета НДС шин развиты в работах А.Е. Белкина, В.Л. Бидермана, Б.Л. Бухина, О.Н. Мухина. Приближенные аналитические методы широко применяются при решении различных классов задач матеметической физики и механики [2]-[4], [10, 15, 16, 17, 22, 34, 39], [48]-[51], [78], [81]-[83]. Возможности их применения существенно возросли с появлением развитых систем компьютерной алгебры, реализованных для персональных ЭВМ. Например, в работах В.П.Цветкова и его учеников [9, 89) рассмотрено применение приближенных аналитических методов к исследованию вращательного движения намагниченной гравитирующей конфигурации. Приближенные аналитические методы расчета НДС бесконечно протяженных тел, содержащих отверстия различной формы, при конечных плоских деформациях и их перераспределении были разработаны К. М. Зингерманом [18, 42, 43,101]. Приближенные аналитические методы расчета НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел, содержащих жесткие круговые включения (в том числе и возникающие после нагружения) с учетом их взаимовлияния, взаимовлияния включений и отверстий, возможного изменения размеров включений при конечных плоских деформациях и их перераспределении ранее не были разработаны.

Цель работы: разработка математических моделей, описывающих НДС в бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих телах, содержащих жесткие включения круговой формы и другие концентраторы напряжений, при конечных плоских деформациях и их перераспределении. Разработка методов расчета НДС, алгоритмов и программного обеспечения, реализующих эти методы на основе указанных моделей.

Методы исследований. Построение моделей осуществляется на основе уравнений нелинейной теории упругости при больших деформациях с учетом их перераспределения в случае многоэтапного нагружения. Все задачи решены в основном методом возмущений (метод последовательных приближений). При решении линеаризованных задач применялся метод Колосова-Мусхел ишвил и; при этом в случае многосвязных областей использовался алгоритм последовательных приближений Шварца. При решении задач вязкоупругости применялось преобразование Лапласа.

Положения, выносимые на защиту: разработан метод построения математических моделей, описывающих НДС тел при перераспределении конечных плоских деформаций, на основе записи уравнений нелинейной теории упругости и вязкоу пру гости, в том числе записи граничных условий на контуре жестких включений, включая модель, описывающую НДС при деформировании предварительно нагруженных бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с возникающими в них круговыми жесткими включениями, и модель, описывающую НДС при деформировании предварительно нагруженных бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с круговыми жесткими включениями при возникновении в этих телах полостей различной формы; предложены новые формулы для расчета НДС тел с жесткими круговыми включениями приближенными аналитическими методами решения краевых задач; в программный комплекс для расчета НДС тел при перераспределении конечных плоских деформаций были добавлены возможности расчета НДС тел с жесткими круговыми включениями (имеющимися в теле изначально или возникающими после приложения нагрузки); модификация выполнена на основе разработанных приближенных численно-аналитических методов; исследованы численные результаты решения задач о концентрации напряжений вблизи круговых жестких включений и отверстий с учетом их взаимовлияния и нелинейных эффектов с применением указанного программного комплекса.

Научная новизна: разработан метод построения математических моделей, описывающих при конечных плоских деформациях НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих или вязкоупругих тел с жесткими круговыми включениями, возникающими после предварительного нагружения, с учетом изменения размеров включений после образования; ранее такие модели не были построены; разработан метод построения математических моделей, описывающих при конечных плоских деформациях НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих или вязкоупругих тел с жесткими круговыми включениями для случая, когда в этих телах после нагружения образуются полости различной формы; ранее такие модели не были построены; впервые предложен способ нахождения решения линеаризованных задач для каждого приближения метода возмущений или метода Ньютона-Канторовича, удовлетворяющего граничным условиям на контурах жестких круговых включений.

Теоретическая и практическая значимость.

Предлагаемая работа вносит вклад в нелинейную теорию упругости при больших деформациях с учетом их перераспределения: созданы математические модели для описания НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с жесткими круговыми включениями при конечных плоских деформациях; разработаны на основе уже имеющихся подходов приближенные численно-аналитические методы расчета НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел, содержащих жесткие включения круговой формы (в том числе и возникающие после нагружения) с учетом их взаимовлияния, взаимовлияния включений и отверстий, возможного изменения размеров включений при конечных плоских деформациях и их перераспределении; предложен подход, позволяющий для каждого приближения метода возмущений или метода Ньютона-Канторовича найти решение, удовлетворяющее граничным условиям на контурах жестких круговых включений.

Практическая значимость состоит в решении при конечных плоских деформациях задачи о НДС вязкоупругих тел, содержащих жесткие круговые включения и отверстия, для случая, когда механические свойства материала тела описываются интегральными определяющими соотношениями со слабосингулярным ядром, предложенными А. А. Адамовым [2] (использованы четырехпараметрическое ядро М. А. Колтунова и его частный случай - ядро А. Р. Ржаницына); решение этой задачи важно для анализа деформирования и прочности однонаправленных резинокордных композитов с учетом вязкоупругих свойств резиноподобных материалов.

Разработанная модифицированная версия программного комплекса, реализует алгоритмы решения класса задач о напряженно-деформированном состоянии тел, содержащих произвольно расположенные жесткие круговые включения и отверстия, при конечных плоских деформациях и их перераспределении. С использованием модифицированного программного комплекса решены новые задачи о НДС нелинейно-упругих тел с жесткими круговыми включениями при конечных плоских деформациях с учетом их перераспределения, вызванного изменением размеров включения или образованием полостей вблизи него; решение этих задач важно при прочностном анализе резиноподобных материалов в процессе их кристаллизации и при моделировании возможного разрушения однонаправленных волокнистых композитов с высокоэластичной матрицей.

Проведен анализ НДС бесконечно протяженных тел, содержащих произвольно расположенные жесткие круговые включения и отверстия, для случая конечных плоских деформаций; исследованы нелинейные эффекты, эффекты взаимовлияния жестких круговых включений, эффекты взаимовлияния жестких круговых включений и отверстий; эти эффекты существенны при анализе разрушения элементов конструкций из резинокордных композитов.

Полученные результаты и методы могут быть применены для анализа прочности элементов конструкций из резиноподобных материалов и для расчета НДС в изделиях из резины при ее кристаллизации после деформации и в предварительно деформированных однонаправленных волокнистых композитах при возникновении в них дефектов (полостей).

Достоверность результатов вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методов; обеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью для каждого приближения и точным выполнением граничных условий для каждого приближения; подтверждается совпадением результатов решения линейной задачи упругости с известным аналитическим решением, малым различием между результатами, полученными методами возмущений и Ньютона-Канторовича.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Рябова, Ольга Алексеевна

Основные результаты работы:

1. Построена математическая модель деформирования предварительно нагруженных бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с возникающими в них круговыми жесткими включениями при конечных плоских деформациях. Модель учитывает возможность изменения размеров включений после их образования и может быть использована, в частности, для расчета НДС и исследования на прочность резин при их кристаллизации, вызванной предварительной деформацией [63, 70].

Получены приближенные численно-аналитические решения плоских задач для бесконечно протяженных нелинейно-упругих тел с возникающими в них жесткими круговыми включениями, размеры которых могут меняться после нагружения, и вязкоупругих тел, содержащих жесткие круговые включения, в случае, когда механические свойства материала тела описываются интегральными определяющими соотношениями со слабосингулярным ядром М. А. Колтунова или ядром А. Р. Ржаницына.

Указанные методы реализованы в виде модифицированной версии программного комплекса [74]. Результаты работы данного программного комплекса могут быть представлены как в аналитической форме, так и в числовой форме — в виде таблиц и графиков. С применением модифицированного программного комплекса протестированы приближенные аналитические методы расчета НДС тел с возникающими в них круговыми жесткими включениями при конечных плоских деформациях.

Проведено сравнение решений, полученных методом возмущений и методом Ньютона-Канторовича. Например, при напряжении на бесконечности а^ = 2,5/х) разность между решением, полученным методом возмущений, и пятым приближением метода Ньютона-Канторовича не превышает 5%. Различие между четвертым и пятым приближением в методе Ньютона-Канторовича составляет примерно 0,5%. С применением модифицированного программного комплекса исследовано также напряженно-деформированное состояние тел с круговыми жесткими включениями: исследованы нелинейные эффекты, влияние изменения размеров жесткого кругового включения на концентрацию напряжений, взаимовлияние двух жестких круговых включений. Например, для задачи о взаимовлиянии двух включений наличие второго включения привело к увеличению максимального напряжения агт на контуре включения в 1,8 раза. Для задачи об изменении размеров (радиус включения уменьшался на 20%) максимальное напряжение а^ на контуре включения стало меньше в 1,7 раза по сравнению со случаем, когда размеры включения не изменялись (линейное решение задачи), для нелинейного решения в 2 раза, поправка от учета нелинейности составила примерно 30%. Для вязкоупругого материала (полидиенэпоксиуретан) напряжение со временем уменьшается, например, за 12 сек. напряжение а^ на контуре включения стало меньше на 2% (для нелинейного решения).

2. Построена для случая конечных плоских деформаций математическая модель деформирования предварительно нагруженных бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с круговыми жесткими включениями при возникновении в этих телах полостей различной формы. Модель может быть использована для расчета НДС и исследования на прочность деформирования предварительно нагруженных однонаправленных волокнистых композитов при возникновении в них полостей [65, 66, 71].

Получены приближенные численно-аналитические решения плоских задач для бесконечно протяженных нелинейно-упругих тел с жесткими круговыми включениями, в которых после нагружения образуются полости, и вязкоупругих тел, содержащих жесткие круговые включения и отверстия, в случае, когда механические свойства материала тела описываются интегральными определяющими соотношениями со слабосингулярным ядром М.А.Колтунова или ядром А.Р.Ржаницына.

С применением разработанной модифицированной версии программного комплекса, реализующего выше указанные модели и методы решения плоских задач, исследовано взаимовлияние жестких круговых включений и полостей различной формы. Например, при образовании отверстия в форме эллипса вблизи включения напряжение а^ уменьшилось в 2,2 раза по сравнению со случаем, когда отверстие не образовывалось. Учет нелинейности вызвал снижение напряжения на 38% при напряжении на бесконечности (сг^ = а\£ = 0.5//). Учет нелинейных эффектов в моделях, описывающих деформирование композиционных материалов на основе резины, является весьма существенным. Например, при изменении напряжений на 38% долговечность резины может измениться примерно в 4 раза.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рябова, Ольга Алексеевна, 2011 год

1. Адамов АА. Об идентификации модели наследственной вязкоупругости при конечных деформациях // Структурная механика неоднородных сред.- Свердловск, 1982. С. 8-11

2. Адамов A.A. , Матвеенко В.П., Труфанов H.A., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости. — Екатеринбург: УрО РАН, 2003. — 411 с.

3. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости (применение методов теории функций комплексного переменного).- М.: Наука, 1978. 464 с.

4. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. — М.: Высшая школа, 1968. — 512 с.

5. Бухина М.Ф. Кристаллизация каучуков и резин. — М.: Химия, 1973. 239 с.

6. Бухина М.Ф. Техническая физика эластомеров. — М.: Химия, 1984. 224 с.

7. Бухина М.Ф., Курлянд С.Н. Морозостойкость эластомеров. — М.: Химия, 1989. 176 с.

8. Бухина М.Ф., Зорина Н.М., Морозов Ю.Л. Частично закристаллизованный эластомер как модель нанокомпозита // Инженерно физический журн. — 2005. - Т. 78, N 5. - С. 19-23.

9. Беспалько Е.В., Михеев С.А., Пузынин И.В. Цветков В.П. Гравитирующая быстровращающаяся сверхплотная конфигурация с реалистическими уравнениями состояния // Мат.моделирование, 2006. — Т.118, № 3. — С. 103-119.

10. Виленкин Н.Я. Метод последовательных приближений. — М.: Наука, 1968.- 108 с.

11. И. Ворович И.И. Некоторые проблемы концентрации напряжений// Концентрация напряжений. Киев, 1968. Вып. 2. С. 45-53.

12. Гамлицкий Ю.А., Мудрук В.И., Швачич М.В. Упругий потенциал наполненных резин // Каучук и резина, 2002. — № 3. — с. 29-39.

13. Горшков А.Г., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды. — М.: Наука, 2000. — 214 с.

14. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. — М.: Мир, 1965. — 455 с.

15. Демидов С.П. Теория упругости. — М.: Высшая школа, 1979. — 432 с.

16. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. — 314 с.

17. Зингерман K.M. Решение класса плоских задач теории многократного наложения больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах: дис. . доктора физ.-мат. наук. — Тверь, 2001. — 154 с.

18. Зингерман K.M. Левин В.А. Перераспределение конечных упругих деформаций после образования включений. Приближенное аналитическое решение. Прикладная математика и механика. — М., 2009. — Т.З, вып. 6.- С. 983-1001.

19. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ. — Киев: Наукова думка, 1986.- 538 с.

20. Ивлев Д.Д., Ершов JI.B. Метод возмущений в теории упругопластического тела М.: Наука, 1978. - 208 с.

21. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. — М.: изд-во МГУ, 1971. — 222 с.

22. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. — М.: Наука, 1970. — 280 с.

23. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. — М.: Физматлит, 2001. — 704 с.

24. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984. 752 с.9 5

25. Каратеодори К. Конформное отображение. — M.-JL: гос. технико-теоретическое изд-во, 1934. — 129 с.

26. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. — М.: изд-во МГУ, 1979. 208 с.

27. Коренев Г.В. Тензорное исчисление. — М.: изд-во МФТИ, 1996. — 239 с.

28. Колосов Г.В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости. — Юрьев: Типогр. Маттисена, 1909. — 187 с.

29. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. — М.: Высшая школа, 1976. — 277 с.

30. Колтунов М.А., Майборода В.П., Зубчанинов В.Г. Прочностные расчеты изделий из полимерных материалов. — М.: Машиностроение, 1983. — 239 с.

31. Колтунов М.А., Кравчук A.C., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. — М.: Высшая школа, 1983. — 239 с.

32. Космодамианский A.C. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступами. — Киев: Вища школа, 1975. — 228 с.

33. Кудинов А.Н., Колдунов В.А. Численная модель и алгоритм решения задачи теории упругости оболочечных конструкций // Вестник Тверского государственного университета. Сер. Прикладная математика. — Тверь, 2003.- № 2. С. 52-64.

34. Кумпяк Д.Е. Векторный и тензорный анализ. — Тверь: изд-во ТГУ, 2007.- 158 с.

35. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоу пру гости. — М.: Мир, 1974. 338 с.

36. Лаврентьев М.А. Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики. — M.-JI.: изд-во технико-теоретической литературы, 1946. 159 с.

37. Левин В.А.Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. — М.: МАИК Наука. Физматлит, 1999. — 224 с.

38. Левин В.А., Зингерман K.M. Плоские задачи теории многократного наложения больших деформаций. Методы решения. — М.: Физматлит, 2002.- 272 с.

39. Левин В.А., Калинин В.В., Зингерман K.M., Вершинин A.B. Развитие дефектов при конечных деформациях. Компьютерное и физическое моделирование. — М.: Физматлит, 2007. — 392 с.

40. Левин В.А., Тарасьев Г.С. Наложение больших упругих деформаций в пространстве конечных состояний // Доклады АН СССР, 1980. — 251, № 1. С. 63-66.

41. Линьков A.M. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. — СПб.: Наука, 1999. — 382 с.

42. Лурье А.И. Теория упругости. — М.: Наука, 1970. — 940 с.

43. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. — М.: Наука, 1980. — 512 с.

44. Ляв А. Математическая теория упругости.— М.-Л.: научно-техническое изд-во НКТП СССР, 1935. 662 с.

45. Морозов Н.Ф. Математические основы теории трещин. — М.: Наука, 1984.- 255 с.

46. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1966. — 708 с.

47. Найфэ А. Методы возмущений. — 1976. — 456 с.

48. Немировский Ю.В., Резников B.C. Прочность элементов конструкций из композиционных материалов. — Новосибирск: Наука, 1986. — 167 с.

49. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. — Л.-М.: изд-во технико-теоретической лит., 1948. — 370 с.

50. Олейник O.A., Иосифьян Г.А. Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред — М.: изд-во МГУ, 1990. — 154 с.

51. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. — М.: Наука, 1981. 688 с.

52. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. — М.: изд-во МГУ, 1995. 366 с.

53. Победря Б.Е. Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. Курс лекций. — М.: Физматлит, 2006. — 272 с.

54. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела — М.: Наука, 1988. 712 с.

55. Рябова O.A. (соавтор Зингерман K.M.) О взаимовлиянии эллиптического отверстия и отверстия в форми трехлучевой звезды // Вестник Тверского государственного университета. — Тверь, 2003. — С. 71-78.

56. Рябова O.A. (соавтор Зингерман K.M.) О взаимовлиянии жестких включений в вязкоупругом теле при конечных деформациях. // Материалы

57. VI Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения". — Казань: Казанский государственный университет, 2005. — С. 191-194.

58. Рябова O.A. (соавтор Зингерман K.M.) Влияние собственных больших деформаций на напряженно-деформированное состояние упругого тела при изменении размеров возникшего в нем жесткого включения. // Материалы

59. VII Всеросийсского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения". — Казань: Казанский государственный университет, 2007. — С. 231-234.

60. Рябова O.A. Расчет напряжений при образовании отверстия в нелинейно-упругом теле с жестким включением // Современные проблемы математики, механики, информатики. Материалы конференции. — Тула: изд-во ТулГУ, 2009. С. 261-264.

61. Рябова O.A. (соавтор Зингерман K.M.) Взаимовлияние полости и жесткого включения в нелинейно-упругом теле при конечных деформациях // Известия ТулГУ. Естественные науки. — Тула: изд-во ТулГУ, 2010. — Вып. 2. С. 64-72.

62. Рябова O.A. (соавтор Зингерман K.M.) Программный комплекс для прочностных расчетов для тел с включениями // Программные продукты и системы. Тверь, 2011. - № 1 (93) - С. 153-155.

63. Рябова O.A. Моделирование конечных плоских деформаций бесконечно протяженных упругих тел с жесткими включениями / / Вестник Тверского государственного университета. Серия "Прикладная математика" — Тверь, 2011. — № 8 — С. 65-72.

64. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. — М.: Наука, 1979. — 427 с.

65. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. — Киев: Наукова думка, 1968. 887 с.

66. Свистков А.Л., Евлампиева С.Е. Итерационный метод расчета напряженно-деформированного состояния в ансамблях включений // Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов. — Екатеринбург, 1997. — С. 171-203.

67. Стасюк К.Г., Осив И.Н. Задача о напряженно-деформированном состоянии кусочно-однородной пластины с разрезами на эллиптической линии раздела матиериалов // Прикладная механика. — Киев, Наукова думка, 1979. — T.XV (XXV), № 9. С. 72-78.

68. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. — 284 с.

69. Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1994. — Т.1. — 528 с.

70. Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1994. — Т.2. — 560 с.

71. Сьярле Ф. Математическая теория упругости. — М.: Мир, 1992. — 472 с.

72. Толоконников Л.А. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях // Прикладная математика и механика. — 1957. — Т. 21, № 6. С. 815-822.

73. Толоконников Л.А. Плоская деформация несжимаемого материала // Доклады АН СССР. 1958. - Т. 119, № 6. - С. 1124-1126.

74. Трелоар Л.Р. Структура и эластичность каучука // Успехи физических наук. 1946. - Т. XXVIII. Вып. 2-3. - С. 259-284.

75. Трелоар Л.Р. Физика упругости каучука. М.: Иностранная литература, 1953. 240 с.

76. Цвелодуб И.Ю. Плоские задачи для упругой среды с жесткопластическими включениями // Физическая мезомеханика, 2009. — Я® 12 — С. 73-76.

77. Цветков В.П. Экстремум энергии вращающейся намагниченной гравитирующей конфигурации как условие равновесия / / Вестник Тверского государственного университета. Серия "Прикладная математика" — Тверь, 2011. № 8 - С. 73-76.

78. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. — Л.: Машиностроение, 1986. — 336 с.

79. Фаронов В.В. Delphi. Программирование на языке высокого уровня. — СПб.: Питер, 2007. 640 с.

80. Фрейман Е.И. Вариант численного решения задачи теории многократного наложения больших деформаций для случая твердотельных фазовых переходов // Вестник Тверского государственного университета. Серия "Прикладная математика" Тверь, 2011. — № 8 — С. 29-42.

81. Шостак Р.Я. Операционное исчисление. Краткий курс. — М.: Высш. школа, 1972. 280 с.

82. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1968. - 402 с.

83. Эшебли Дж. Континуальная теория дислокаций. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — 247 с.

84. Яновский А.Г., Гамлицкий Ю.А. Наномеханика эластомерных композитов: принципы, возможности, результаты // XVIII Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов". — М.: НИИШП, 2007. — Т.1. — С. 26-40.

85. Georgievskii D.V. Isotropic nonlinear tensor functions in the theory of constitutive relations // Journal of Mathematical Sciences, 2002. — V. 112, No 5 — P.4498-4516.

86. Georgievskii D.V. Asymptotics with Respect to a Small Geometric Parameter for Solutions of Tree-Dimensional Lame Equations // Russian Journal of Mathematical Physics, 2009. V. 16, No 1 - P.74-80.

87. Levin V.A. Theory of Repeated Superposition of Large Deformations. Elastic and Viscoelastic Bodies // Intern. J. Solids and Structures. — 1998. — V. 35, No. 20.- P. 2585-2600.

88. Levin V.A., Zingerman K.M. Interaction and microfracturing pattern for suc-cesive origination (introduction) of pores in elastic bodies: finite deformation // Trans. ASME. Jornal of Applied Mechanics. 1998. Vol. 65. No. 2, P. 431-435.

89. Moony M.A. Theory of large elastic deformation // Journal of Applied Physics, 1940. № 11. - P. 582-592.

90. Motasem N.H. Saidan. Deformation-Indused Crystallization In Rubber-Like Materials. Doktors der Ingenieurwissenschaften genehmigte Dissertation. — Darmstadt, 2005. 110 p.

91. Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid. — New York: Willey, 1951. 140 p.

92. Treloar L.R.G. The physics of rubber elasticity. — Bristol: Oxford University Press, 1975. 310 p.iOZ

93. Программный комплекс для прочностных расчетов для тел с включениями

94. Модифицированный программный комплекс "Наложение" предназначен для расчета напряженно-деформированного состояния упругих и вязкоупругих тел, содержащих жесткие включения и отверстия, при конечных деформациях.

95. Основной программой является ^«¿/сж>5-приложение, созданное в среде Delphi.

96. Код модифицированной версии программного комплекса «Наложение»

97. Пример интерфейса модифицированной версии программного комплекса «Наложение»я Геометрия

98. Ко/мчество концентраторов напряжений

99. Порядок образования концентраторов напряжен ■*! Л Одновременно1. С Последовательно1. Форма• В промежуточном состоянии С В конечном состоя«««1. ЕШВа Явс |щ

100. Номер В на концентратора Размер X центра У центра Угол Привязка С1 С21 с 0 02 с 0 0Л1Г! Нагрузки на бесконечности