Перераспределение конечных деформаций при нелинейно-упругом взаимодействии матрицы и включения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Мишин, Иван Андреевич

• Мишин, Иван Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мишин, Иван Андреевич

Введение.

Глава 1. Основные соотношения теории наложения конечных деформаций, необходимые дли решения задачи об образовании включения в предварительно нагруженном теле.

1.1. Используемые основные термины и обозначения.

1.2. Кинематика деформаций.

1.2.1. Векторные базисы.

1.2.2. Аффиноры деформаций.

1.2.3. Тензоры деформаций.

1.2.4. Представление тензоров деформаций через градиенты смещений.

1.2.5. Другие тензорные характеристики деформаций.

1.2.6. Изменение элементарного объема и элементарной площадки при деформации.

1.3. Определяющие соотношения.

1.4. Уравнения равновесия и граничные условия.

1.5. Плоская деформация и плоское напряженное состояние.

Глава 2. Постановка задачи об образовании упругого включения в предварительно нагруженном теле.

2.1. Модель образования включения.

2.2. Общая постановка задачи.

2.3. О применении метода Синьорини.

2.4. Постаноика задачи в приближениях.

Глава 3. Алгоритм решения задачи об образовании упругого включения в предварительно нагруженном теле. Результаты расчетов.

3.1. Сжимаемые материалы.

3.2. Несжимаемые материалы.

3.3. Анализ результатов расчетов.

3.3.1. Сравнение методов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Перераспределение конечных деформаций при нелинейно-упругом взаимодействии матрицы и включения»

В диссертационной работе впервые получено решение плоской задачи об образовании в предварительно нагруженном теле кругового нелинейно-упругого включения. Свойства материала описываются различными моделями сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих соотношений. Форма включения задается в момент образования. Учитывается, что возникновение включения приводит (по крайней мере, в его окрестности) к появлению в теле больших дополнительных деформаций, которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие. Постановка задачи осуществляется на основе теории многократного наложения больших деформаций [32,33].

В середине 40-х годов XX века, наряду с «классической» линейной теорией упругости, стали появляться работы, в которых предпринимались попытки решать задачи с учетом либо «физической», либо «геометрической» нелинейности моделей. Немного позднее пришло осознание существования единой нелинейной теории упругости, были заложены ее основы. Это стало мощным толчком в постановке и решении нелинейных задач, что нашло отражение в работах таких отечественных и зарубежных ученых, как Г.М.Бартенев, В.Л.Бидерман, В.Д.Бондарь, И.И.Блох, М.Ф.Бухина, И.И.Ворович, И.И.Гольденблат, А.Н.Гузь, Н.В.Зволинский, Л.М.Зубов, Ю.И.Койфман, Ю.А.Крутков, Л.И.Кутилип, А.И.Лурье, Н.Ф.Морозов, В.В.Новожилов, В.А.Пальмов, П.М.Риз, Г.Н.Савин, Л.И.Седов, Л.А.Толокопников, Т.Н.Хазанович, И.А.Цурпал, К.Ф.Черных, PJ.Blats, A.E.Green, W.L.Ko, M.A.Moony, F.D.Murnaghan, W.Noll, R.S.Rivlin, L.R.G.Treloar, C.Truesdell, O.Watanabe, W.Zerna и др. На сегодняшний день общее число публикаций по нелинейной теории упругости огромно, разработаны модели и многие методы решения задач в данной области.

Интерес к построению моделей, учитывающих положения нелинейной теории упругости, обусловлен также и использованием в современных технологиях высокоэластичных маетриалов, испытывающих в процессе эксплуатации большие упругие деформации [63]. Описания подобного рода моделен для высокоэластичных материалов можно найти в работах Р.Ривлина [97], М.Муни [95], Л.Трелоара [82,83], В.В.Новожилова [60,61], Л.И.Седова [69], А.И.Лурье [47], А.Грина и Дж.Адкинса [1,14], К.Трусделла [84], Д.И.Кутилина [29]. Большой вклад в развитие нелинейной теории упругости внесла и тульская школа механики, основанная Л.А.Толоконниковым [77,78, 79,80]. Задачи, поставленные и решенные тульскими учеными, можно найти в работах Г.С.Тарасьева [71,72,73], Н.М.Матченко [49,50,51], А.А.Маркина [52,53,54], В.А.Левина [32,33] и их учеников.

Зарождение в рамках теории упругости концепции наложения деформаций было обусловлено тем, что при рассмотрении многих практически важных задач исследователи сталкивались с проблемой, когда тело уже имело начальные деформации и напряжения. В случае, если эти начальные деформации и напряжения малы, достаточно использования классической линейной теории упругости. Если же нет, то в качестве упрощения удобно принять, что начальные деформации большие, а вновь приобретенные - малые. Это привело к созданию теории наложения малых деформаций на большие, результаты которой нашли широкое практическое применение. Развитие теории наложения малых деформаций на большие началось с середины 60-х годов прошлого века. Наиболее подробно вопросы теории были исследованы в работах киевской школы механиков под руководством А.Н.Гузя [17-21]. Многократное наложение малых деформаций на большие рассмотрено, например, в [10]. Однако ко многим задачам такая теория не применима, например, для задач, когда концентраторы напряжений (полости, включения) образуются в теле, уже имеющем большие деформации и напряжения. А это значит, что есть необходимость в развитии и применении теории наложения больших деформаций. Создание и развитие теории многократного наложения больших деформаций было осуществлено Г.С.Тарасьевым [71,72] и В.А.Левиным [31,32,44,45,81].

Особенностью теории многократного наложения больших деформаций является рассмотрение нескольких состояний тела: начального (ненапряженпого), (/г-1)-го промежуточного и конечного - состояния тела после деформирования. Считается, что деформации, вызванные переходом в новое состояние (конфигурацию), конечны. Такой подход позволяет учесть влияние последовательности, в которой к телу прикладываются внешние воздействия, причем под внешним воздействием понимается не только приложение к телу внешних нагрузок, но и изменение связности области, занимаемой телом (т.е. добавление или удаление в процессе нагружения частей тела).

Термин «наложение больших деформаций» не следует ассоциировать с математической суперпозицией деформаций. Это означает, что параметры напряженно-деформированного состояния тела от суммарного внешнего воздействия на него не есть сумма параметров напряженно-деформированного состояния тела от каждого отдельного воздействия на него, как в случае малых деформаций. Также отметим нелинейность связи между тензором напряжений и соответствующим ему тензором деформаций, входящих в определяющие соотношения; нелинейность представления тензоров деформаций через градиенты векторов перемещений. Решение такой задачи приводит к проблеме решения системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с нелинейными граничными условиями.

Именно поэтому постановка и решение задач о поэтапном нагружении тел крайне сложна, что и обуславливает интерес к задачам теории многократного наложения больших упругих деформаций.

В данной работе для решения исследуемой задачи использовался метод Синьорипи, предложенный применительно к механике деформируемого твердого тела в работах Ф.Стопели и А.Синьориии [98,98]. Применение метода Синьорипи к решению задач теории многократного наложения больших деформаций рассмотрено в работах [23,24,31,32,33,36,38,39,37,58,59,73].

Использование данного метода позволяет свести решение исходной нелинейной задачи к решению бесконечной последовательности линеаризованных задач. Идея использования такого подхода состоит в том, что на каждом шаге метода Синьорини плоская задача линеаризованной упругости для одпородного тела с включением может быть решена методом Колосова-Мусхелишвили [27,28,57]. В данной работе получено два первых приближения метода Синьорини.

Известным недостатком метода Синьорини является вопрос о его сходимости, поэтому в данной работе было проведено сравнение результатов, полученных этим методом, с результатами численных расчетов, полученных методом конечных разностей.

Применение метода Синьорини к решению исследуемой задачи связано с определенными трудностями проведения промежуточных аналитических выкладок для каждого приближения. Однако с развитием компьютерной техники и появлением систем символьных вычислений, таких как Mathematica, Maple и др., становится возможным получить в том числе и приближенные аналитические (в некоторых случаях) выражения характеристик напряженно-деформированного состояния для подобного рода задач. Используемая в данной работе система символьных вычислений «Mathematica» разработана компанией Wolfram Research Inc., основанной известным математиком и физиком Стефаном Вольфрамом, одним из создателей теории сложных систем. Первая версия программы появилась в 1988 г. Возможность применения современной системы символьных вычислений «Mathematica» к решению задач нелинейной теории упругости рассмотрена в работах [66,34,37]. Необходимость создания специализированного программного комплекса на базе системы символьных вычислений «Mathematica» при наложении конечных деформаций обусловлена неспособностью широко распространенных современных промышленных пакетов на базе метода конечных элементов решать задачи подобного рода.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ Актуальность темы. Техническое совершенствование способствует созданию новых материалов, способных испытывать и выдерживать большие деформации. В случае возникновения в телах из таких материалов дефектов (включений) становится важным описать поведение самого предварительно нагруженного тела при перераспределении в нем конечных деформаций, вызванном образованием включения. Например, это важно в задачах мониторинга. Вышеизложенным и определяется актуальность рассмотрения задач теории наложения конечных деформаций для включений.

Применение систем аналитических вычислений, таких как «Mathe-matica», «Maple» др., позволяет в некоторых случаях получить приближенные аналитические выражения характеристик напряженно-деформированного состояния тела при образовании в нем включения. Последнее позволяет в формульном виде произвести предварительную оценку прочности конструкций в случае возникновения в них включений в процессе эксплуатации.

Основными целями диссертационной работы являются:

- моделирование образования упругого включения в предварительно нагруженном теле;

- определение характеристик напряженно-деформированного состояния тела при перераспределении конечных деформаций на основе теории наложения деформаций;

- получение решения поставленной задачи с использованием системы символьных вычислений «Mathematica».

Научная новизна. Впервые с учетом наложения (перераспределения) конечных деформаций получено решение плоской задачи об образовании включения в предварительно нагруженном теле. Решения найдены для различных типов сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих материалов, в том числе и для случая учета «собственных» деформаций материала включения. Для ряда определяющих соотношений получено приближенное аналитическое решение.

Достоверность результатов базируется на использовании соотношений теории многократного наложения больших деформаций, корректной математической постановке задачи, применении определяющих соотношений, апробированных ранее другими авторами, использовании для решения задачи метода Синьорини системы символьных вычислений «Mathematical Полученные в работе результаты согласуются с результатами решения задачи, полученными с применением метода конечных разностей, а для малых деформаций с классическими результатами.

Практическая значимость. Решена задача о перераспределении конечных деформаций в предварительно нагруженном теле в случае образования в нем включения. В ряде случаев получены приближенные аналитические представления основных характеристик напряженно-деформированного состояния тела после образования в нем включения. Результаты работы использовались при выполнении работ по грантам РФФИ (№98-01-00458, № 03-01-00233), по программе «Университеты России» (№ 990858), по договору с ОАО «Тверьнефтьгеофизика.

На защиту выносятся:

- модель образования упругого включения в предварительно нагруженном теле;

- математическая формулировка плоской задачи, соответствующая данной постановке;

- алгоритм решения задачи для различных нелинейно-упругих определяющих соотношений;

- решения (в том числе и приближенные аналитические) поставленной задачи, полученные с использованием системы символьных вычислений «Mathematical

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, содержащего 103 наименования, и двух приложений. Общий объем работы - 112 страниц машинописного текста.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Мишин, Иван Андреевич

Основные результаты и выводы диссертационной работы

1. Предложена модель образования упругого включения в предварительно нагруженном теле.

2. Дана математическая постановка плоской задачи теории наложения больших деформаций об образовании в предварительно нагруженном нелинейно-упругом теле упругого включения для различных моделей сжимаемых и несжимаемых материалов.

3. Разработан алгоритм решения задачи. Получены решения, в том числе приближенные аналитические (в символьной форме), плоской задачи о круговом в момент образования включении для различных типов нелинейно-упругих материалов с использованием системы символьных вычислений «Matematica».

4. Показано, что учет нелинейных эффектов в задачах такого типа является существенным. Для рассмотренных случаев разница между линейным и нелинейным решением достигала 35 %.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мишин, Иван Андреевич, 2007 год

1. Адкинс Дж. Большие упругие деформации/ Дж. Адкипс // Механика, сб. переводов М.:Мир, 1957.-Т. 1.- С.67-74.

2. Бартенев Г.М. О законе высокоэластичпых деформаций сеточных полимеров/ Г.М. Бартенев, Т.Н. Хазанович // Высокомолекулярные со-едипения-1960.-Т.2.-№1 С.20-28.

3. Бидерман B.J1. Вопросы расчета резиновых деталей/ В.Л. Бидерман // В книге: Расчеты на прочность.-М.:ГНТИ,1958,- Вып.З.

4. Бондарь В.Д. Об одном классе точных решений уравнений нелинейной упругости/ В.Д. Бондарь // Динамика сплошной среды.-Новосибирск, 1987.-Вып.28.-С.30-42.

5. Бровко Г.Л. Некоторые определяющие эксперименты для моделей нелинейно-упругих тел при конечных деформациях/ Г.Л. Бровко, Л.В. Ткаченко // Вестник МГУ. Серия «Математика, механика»-1993.-№4. -С.45-49.

6. Бурении А.А. К возможности установления упругопластического процесса по итоговому разгрузочному состоянию/ А.А. Буренин, Л.В. Ков-танюк //Известия РАН.-МТТ-2006,-№3.-С. 130-134.

7. Буренин А.А. Формирование одномерного поля остаточных напряжений в окрестности цилиндрического дефекта сплошности упругопла-стической среды/ А.А. Буренин, Л.В. Ковташок, М.В. Полоник // ПММ.-2003.-Т.67.Вып.2.-С.316-325.

8. Бухина М.Ф. Кристаллизация каучуков и резин/ М.Ф. Бухина-М.:Химия,1973.-239с.

9. Бухина М.Ф. Техническая физика эластомеров/ М.Ф. Бухина-М.:Химия, 1984.-224с.

10. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности/ К. Васидзу -М.:Мир, 1987.542 с.

11. Ворович И.И. Некоторые проблемы концентраций напряжений/ И.И. Ворович // Концентрация напряжений.- Киев, 1968.-Вып.2.-С.45-53.

12. Гамлицкий IO.A. Упругий потенциал наполненных резин. Теория и эксперимент/ Ю.А. Гамлицкий, В.И. Мудрук, М.В. Швачич // Труды XI симпозиума «Проблемы шин и резинокордных композитов». -М.:ГУП НИИ шинной промышленности,2000-Т. 1.

13. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости/ И.И. Гольденблат. М.:Наука,1969.-336с.

14. Грин А. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды/ А.Грин, Дж. Адкинс. -М:Мир, 1965.-445с.

15. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений/ М.А. Гринфельд. -М.:Наука, 1990.-3 Юс.

16. Громов В.Г. К вычислению приближений в задаче о конечных плоских деформациях несжимаемого материала/ В.Г. Громов, Л.А. Толоконни-ков // Известия АН СССР.Отделение техн.Наук.Сер.«Механика и машиностроение». 1963.-№2.-С.81 -87.

17. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях/ А.Н. Гузь. Киев:Наукова думка, 1973.-272с.

18. Гузь А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями/ А.Н. Гузь. Киев:Наукова думка, 1983.-296с.

19. Разрушение и устойчивость тонких тел с трещинами/ А.Н. Гузь и др.. Киев:Наукова думка, 1981 -184с.

20. Гузь А.Н. К теории распространения волн в упругом изотропном теле с начальными деформациями/ А.Н. Гузь и др.. // Прикладная механика. -Т.6.-№ 12.-С.42-49.

21. Гузь А.Н. О построении теории разрушения нанокомпозитов при сжатии/ А.Н. Гузь, А.А. Роджер, И.А. Гузь // Прикладная механика. -2005 -Т.41 .-№3 -С.3-29.

22. Дьяконов В.П. Системы символьной математики Mathematica 2 и Mathematica 3/ В.П. Дьяконов. М.:СК Пресс, 1998.-256с.

23. Зингерман К.М. Решение класса плоских задач теории многократного наложения больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах/ К.М. Зингерман // Дис. . до-pa физ.-мат. наук.-Тверь,2001.-234с.

24. Зубов Л.М. О дополнительной энергии упругого тела с начальными па-пряжениями/ Л.М. Зубов // Изв.Сев-Кавказ.науч.центра высш.школы. Сер. «Естественные пауки», 1988.-№4.-С.71-75.

25. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории/ А.А. Ильюшин. М.:Изд-во АН СССР,1963.-272с.

26. Колосов Г.В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости/ Г.В. Колосов. Юрьев:Типогр.Маттисена, 1909.-187с.

27. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной к теории упругости. М.;Л. :ОНТИ, 1935.-224с.

28. Кутилин Д.И. Теория конечных деформаций/ Д.И. Кутилии. М:Гос-техиздат, 1947.-275с.

29. Левин В.А. К использованию метода последовательных приближений в задачах наложения конечных деформаций/ В.А. Левин // Прикладная механика.-1987.-Т.23 № 5.

30. Левин В.А. Краевые задачи наложения больших деформаций в телах из упругого или вязкоупругого материала/ В.А. Левин // Дис. . до-ра физ.-мат. наук.-Тверь, 1990-365 с.

31. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах/ В.А. Левин. М.:Наука.1999.-224с.

32. Левин В.А. Плоские задачи многократного наложения больших деформаций. Методы решения/ В.А. Левин, К.М Зингерман. М.:Физмат-лит.2002- 272с.

33. Левин В.А. Плоская задача об образовании включения в упругом нагруженном теле. Конечные деформации/ В.А. Левин, И.А. Мишин, А.В. Вершинин // Вестник МГУ. Серия 1, «Математика. Механика».-2006-№1.-С.56-59.

34. Левин В.А. Наложение больших упругих деформаций в пространстве конечных состояний/ В.А. Левин, Г.С. Тарасьев // Доклады АН СССР. -1980.-251.-№1.-С.63-66.

35. Левин В.А. О напряженном состоянии вблизи вертикальной круговой скважины в полубесконечном массиве из вязкоупругого материала/ В.А. Левин, Г.С. Тарасьев // Доклады АН СССР.-1982.-264,-№6.-С. 1316-1318.

36. Лурье А.И. Теория упругости/ А.И. Лурье. М.:Наука, 1970.-940с.

37. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости/ А.И. Лурье. -М.:Наука,1980, -512 с.

38. Ляв А. Математическая теория упругости/ А. Ляв.- М.:ОНТИ,1935 -674 с.

39. Матченко II.М. О нелинейных соотношениях разномодульной теории упругости/ Н.М. Матченко, Л.А. Толоконников // Сборник работ по теории упругости.-Тула.ТПИ,1968- С.69-72.

40. Матченко Н.М. О связи между напряжениями и деформациями в раз-номодульных изотропных средах/ Н.М. Матченко, Л.А. Толоконников // Инж.журнал МДТТ.-1968.-№6.-С. 108-110.

41. Матченко Н.М. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов: Прикладные задачи теории упругости/ Н.М. Матченко, А.А. Трещев. -М.;Тула:РААСН;ТулГУ,2004.-211с.

42. Маркин А.А. Нелинейная теория упругости: учеб. Пособие/ А.А. Маркин. -Тула;ТулГУ,2000.-72с.

43. Маркин А.А. Об изменении упругих и пластических свойств при конечном деформировании/ А.А. Маркин // Известия АН СССР. Механика твердого тела.-1990 №2.-С. 120-126.

44. Маркин А.А. Меры и определяющие соотношения конечного упруго-пластического деформирования/ А.А. Маркин, Л.А. Толоконников // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк.гос.ун-т.-Горький,1987 С.32-37.

45. Мишин И.А. Задача о влиянии давления, прикладываемого к берегам эллиптической щели/ И.А. Мишин //Региональная научная студенчеекая конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики»,Тула,23-25 мая 2000г.-Тула,2000 С.52.

46. Морозов Е.М. Контактные задачи механики разрушения/ Е.М. Морозов, М.В. Зернин. -М.Машиностроение, 1999.—544с.

47. Муехелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости/ Н.И. Муехелишвили. М.:Наука,1966.-708с.

48. Нечаев JI.M. О распределении напряжений около отверстий в упругих телах с начальными напряжениями/ JI.M. Нечаев // Работы по механике сплошных сред.-Тула,1985.-С.103-113.

49. Нечаев J1.M. Концентрация напряжений вокруг кругового в промежуточном состоянии тоннеля в нелинейно-упругом теле/ JI.M. Нечаев, Г.С. Тарасьев // Доклады АН СССР.-1974.- 215.-№2.-С.ЗО 1-304.

50. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости/ В.В. Новожилов. М.:Гостехиздат,1948.

51. Новожилов В.В. Теория упругости/ В.В. Новожилов. Л.:Судпромгиз, 1958.—370с.

52. Новожилов В.В. нелинейная теория упругости/ В.В. Новожилов, Л.А. Толоконников, К.Ф. Черных //Механика в СССР за 50 лет. М.,1972-Т.З.-С.71-78.

53. Применение резиновых технических изделий в народном хозяйстве: справочное пособие /под ред. Федюкина Д.Л./. -М.:Химия, 1986.240с.

54. Привалов И.И. Введение в теорию функции комплексного переменного/ И.И. Привалов. -Учебп. для вузов,-14-е изд.,стер.-М.:Высш.Шк., 1999.—432с.

55. Регель В.Р. Кинетическая природа прочности твердых тел/ В.Р. Регель, А.И. Слуцкер, Э.Е. Томашевский. -М.:Наука,1974.-560с.

56. Рыбалка Е.В. К решению плоской задачи теории многократного наложения больших деформаций средствами компьютерной алгебры/ Е.В. Рыбалка и др. // Всерос. научн. конф. «Современные проблемы математики, механики, информатики» -Тула,2002.-С. 141-142.

57. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий/ Г.Н. Савин. -Киев:Наукова Думка, 1968-887с.

58. Свистков A.J1. Итерационный метод расчета напряженно-деформированного состояния в ансамблях включений/ A.J1. Свистков, Е.С. Евлампиева // Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов. -Екатеринбург, 1997.

59. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды/ Л.И. Седов. М.: Гос.изд-во физ.-мат.лит-ры, 1962.-284с.

60. Седов Л.И. Механика сплошной среды/ Л.И. Седов. -Т.2.-М.:Наука, 1994-560с.

61. Тарасьев Г.С. К теории наложения конечных упругих деформаций/ Г.С. Тарасьев // Технология машиностроения. -Тула,1970.Вып.20.С.142-149.

62. Тарасьев Г.С. Некоторые вопросы и задачи нелинейной теории упругости/ Г.С. Тарасьев. Дис. . до-pa физ.-мат. наук. -М.;1975.-258с.

63. Тарасьев Г.С. Концентрация напряжений около эллиптической в конечном состоянии полости/ Г.С. Тарасьев, В.А. Левин, Л.М. Нечаев // Прикладная механика.-1980.-16.-№6.-С.92-97.

64. Тарасьев Г.С. Конечные плоские деформации сжимаемого материала/ Г.С. Тарасьев, Л.А.Толоконников // Прикладная механика.-1966.-2,-№2.-С.22-27.

65. Тарасьев Г.С. Концентрация напряжений около полостей в несжимаемом материале/ Г.С. Тарасьев, Л.А. Толоконников // Концентрация напряжений- Киев, 1965 Вып. 1 -С.251 -255.

66. Тимошенко С.П. Теория упругости/ С.П. Тимошенко М.:ОНТИ, 1934.

67. Толоконников Л.А. Конечные плоские деформации несжимаемого материала/ Л.А Толоконников // Прикладная математика и механика-1959.- Т.21.-№1.

68. Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости/Л.А. Толоконников // ПММ.-1956.-Т.20. Вып,3,-С.439-444.

69. Толокошшков J1.A. Плоская деформация несжимаемого материала/ Л.А. Толокошшков //Доклады АН.-1958.-Т.119.-№6.-С.1124-1126.

70. Толоконников Л.А. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях/ Л.А. Толоконников // Прикладная математика и механика. -1957.-Т.21.-№6.-С.815-822.

71. Толоконников Л.А. Многократное наложение больших деформаций в телах из упругого и вязкоупругого материала/ Л.А. Толоконников, Г.С. Тарасьев, В.А. Левин // Вопросы судостроения. Серия 1. Проектирование судов.-Л.; 1985.Вып.42,-С. 146-152.

72. Трелоар Л. Введение в науку о полимерах/ Л. Трелоар. М.:Мир,1973-238с.

73. Трелоар Л. Физика упругости каучука/ Л. Трелоар. -М.:Изд-во иностр. лит., 1953.-240с.

74. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред/ К. Труссделл. -М.: Мир,1975.-592с.

75. Черных К.Ф. Обобщенная плоская деформация в нелинейной теории упругости/К.Ф. Черных // Прикладная механика.-1977.-3.-№ 1.-C.3-30.

76. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах/ К.Ф. Черных -Л.:Машиностроение,1986.-336с.

77. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций/ Дж. Эшелби. -М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

78. Ball J.M. Discontinuous equilibrium solutions and cavitation in non-linear elasticity// J.M. Ball // Phil. Trans.Roy.Soc.-London. -V.A306.-P. 557-611.

79. Biwa S. Nonlinear analysis of particle cavitation and matrix yielding under equitriaxial stress/ S. Biva // Trans.Asme.J.Appl.Mech.-1999.-V.66.-№3-P.780-785.

80. Horvay G.O. Cavitation in nonlinearly elastic solids: A review/ Horvay G.O., D.A. Poligone // Appl.Mech.Reviews.-l 995.-V.48.-№8.-P.471-485.

81. Horvay G.O. The Plane-Stress Problem of Perforated Plates/G.O. Horvay //Trans. ASM E.Jourlal of Applied Mechanics.-1952.-V.19.-P.355-360.

82. Levin V.A. Effective Elastic Properties of Porous Materials With Randomly Disposed Pores. Finite Deformation/ V.A. Levin, V.V.Lokhin, K.M Zinger-man //Trans.ASMEJ.Appl-Mech.2000-Vol. 67.-№4.-P.667-670.

83. Levin V.A. Interaction and Microfracturing Pattern for Successive Origination (Introduction) of Pores in Elastic Bodies: Finite Deformation/ V.A. Levin, K.M. Zingerman //Trans.ASME.J.Appl.- Mech.1998.-V.65 .-№2.-P.431-435.

84. Moony M.A. Theory of large elastic deformation/ M.A. Moony //Journal of Applied Physics-1940-№1 l-P.582-592.

85. Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid/ F.D. Murnaghan New York:Willey, 1951.-140 p.

86. Rivlin R.S. Large elastic deformations of isotropic materials/ R.S. Rivlin // Philos.Trans.Roy.Soc.-London, 1948.-A240.-P.459-508.

87. Signorini A. Transformation termoelastiche finite/ A. Signorini // Ann.Mat.Pur.Appl. 1949.-V.30.-№4.-P. 1 -72.

88. Stoppelli F. Sulla sviluppabilita in serie di potense di purmametro delle equazioni dell' Elastatica isoterma/ F. Stroppelli // Rendironti dell' Acad.di Scienze.Fiz.e.Mat.Della Soc.Naz.di Scienze.-1955.-V.22.-№4.-P.427-467.

89. Zienkiewicz O.C., The Finite Element Method in Engineering Science/ O.C. Zienkiewich. McGraw-Hill,London, 1971.

90. Zienkiewicz O.C. The finite element method. The basis/ O.C. Zienkiewich, R.L. Taylor. 2000.-Vol.-1. -707p.

91. Zienkiewicz O.C. The finite element method. Solid mechanics/ O.C. Zienkiewich, R.L. Taylor. 2000-Vol. -2. -479p.

92. Zubov L.M., Nonlinear Theory of Dislocations and Declinations in Elastic Bodies/ L.M. Zubov Berlin:Springer,1997.