Приближенное численно-аналитическое решение плоских задач об образовании отверстий в телах конечных размеров при больших деформациях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат технических наук Людский, Владимир Анатольевич

• Людский, Владимир Анатольевич
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Людский, Владимир Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ МНОГОКРАТНОГО НАЛОЖЕНИЯ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ТЕЛ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ.:.

1.1. Понятийный аппарат теории многократного . наложения больших деформаций.

1.2. Перемещения и деформации.

1.2.1 Векторные базисы.

1.2.2. Аффиноры и тензоры деформаций.

1.2.3. Изменение элементарного объема и элементарной площадки при деформации.

1.3. Определяющие соотношения.

1.4. Уравнения равновесия и граничные условия.

1.5. Постановка плоских краевых задач теории наложения больших деформаций для тел конечных размеров.

2. ПРИБЛИЖЕННОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ МНОГОКРАТНОГО НАЛОЖЕНИЯ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ ДЛЯ ТЕЛ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ.

2.1. Аналитическое решение плоских задач для тел конечных размеров методом последовательных приближений.

2.1.1. Основные обозначения.

2.1.2. Сущность метода последовательных приближений применительно к задачам теории наложения больших деформаций для тел конечных размеров.

2.1.3. Постановка краевой задачи в перемещениях в нулевом и первом приближении.

2.1.4. Алгоритм решения краевой задачи для первого приближения.

2.2. Аналитическое решение линеаризованных краевых задач теории упругости.

2.2.1. Комплексное представление линеаризованных краевых задач теории упругости.

2.2.2. Частные решения линеаризованных краевых задач

2.2.3. Решение линеаризованной краевой задачи для однородной системы уравнений.

2.3. Решение задач вязкоупругости.

2.3.1. Постановка задачи.

2.3.2. Постановка задачи в приближениях.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ОБ ОБРАЗОВАНИИ ОТВЕРСТИЙ В ТЕЛАХ КРУГОВОЙ ФОРМЫ.

3.1. Задачи об одном отверстии.

3.1.1. Круговое отверстие.

3.1.2. Сравненне результатов решения задачи для одного отверстия с точным решением для осесимметричной задачи.

3.1.3. Эллиптическое отверстие.

3.2. Задачи о нескольких отверстиях.

3.2.1. Одновременное образование двух и более отверстий.

Их взаимодействие.

3.2.2. Последовательное образование двух и более отверстий.

Их взаимодействие.

3.3. Задачи вязкоупругости.

3.3.1. Образование одного отверстия.

3.3.2. Взаимовлияние нескольких отверстий.:.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближенное численно-аналитическое решение плоских задач об образовании отверстий в телах конечных размеров при больших деформациях»

Обоснование актуальности работы

Диссертация посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния в телах конечных размеров при образовании в них отверстий. При этом учитываются нелинейные эффекты, связанные как с геометрической нелинейностью, проявляющейся при больших деформациях, так и с физической нелинейностью, источником которой являются свойства материала. Используется физическая модель образования полости, разработанная Тарасье-вым Г.С. [98, 99].

Вклад в развитие нелинейной теории упругости внесли многие отечественные и зарубежные специалисты, в частности, Бартенев Г.М., Бидерман B.JL, Бондарь В.Д., Блох И.И., Ворович И.И., Гольденблат И.И., Зволинский Н.В., Крутков Ю.А., Савин Г.Н., Толоконников JI.A., Хазанович Т.Н., Цурпал И.А., Черных К.Ф., Blats P.J., Green А.Е., Moony М.А., Murnaghan F.D., Rivlin R.S., Treloar L.R.G., Truesdell C., Zema W. [11, 13, 16, 24, 26, 35, 43, 44, 101, 103, 104, 108, 110, 118] и многие другие.

Многие важные общие и частные прикладные задачи рассмотрены в работах Новожилова В.В., Седова Л.И., Лурье А.И., Колосова Г.В, Мусхели-швили Н.И., Грина А. и Адкинса Дж., Кутилина Л.И. [15, 41, 49, 57, 58, 76, 77,91,92, 93] и др.

Применение аналитических методов к решению плоских задач о концентрации напряжений в упругих и вязкоупругих телах в нелинейной постановке рассмотрено Болом Дж., Бондарем В.Д., Громовым В.Г., Гузем А.Н., Зубовым Л.М., Койфманом Ю.И., Космодамианским А.С., Морозовым Н.Ф., Райсом Дж., Савиным Г.Н., Тарасьевым Г.С., Угодчиковым А.Г., Хорганом К.О., Цур-палом И.А., Черепановым Г.П. [13, 25, 26, 40, 45, 46, 75, 80, 87, 88, 89, 109].

Одним из направлений нелинейной теории упругости является развитие нелинейной теории наложения больших деформаций, значительный вклад в которое внесла школа механики, основанная Толоконниковым Л.А. К этой школе относятся, например, работы Тарасьева Г.С., Матченко Н.М., Маркина А.А., Левина В.А. и их учеников (Зингермана К.М и др.) [33], [51]-[55], [72], [97, 98, 99, 101, 113].

С практической точки зрения модели и методы нелинейной теории упругости и вязкоупругости в случае больших деформаций наиболее важны для прочностных расчетов изделий из резины и резиноподобных (высокоэластичных) материалов. Численные методы таких расчетов рассмотрены в работах Лавендела Э.Э., Дымникова С.И., Бухина Б.Л. [14] и других авторов.

Большое значение в нелинейной упругости имеет выбор определяющих соотношений, корректно описывающих свойства материалов. В работе используются апробированные определяющие соотношения, предложенные различными исследователями (в том числе Мурнаганом Ф.Д., Муни М.А., Черных К.Ф. [110, 114, 115] и др.). Отметим, что для описания механического поведения резин также применяется ряд более сложных упругих потенциалов. Соответствующие вопросы рассмотрены в работах Гамлицкого Ю.А. [17, 18, 19, 112].

Постановки и методы решения задач вязкоупругости рассмотрены в работах Арутюняна Н.Х., Зубчанинова В.Г., Ильюшина А.А., Матвеенко В.П., Победри Б.Е. [8, 9, 10, 35, 81] и др. При решении задач вязкоупругости используется определяющее соотношение, предложенное Адамовым А.А [1].

Актуальность темы работы определяется широким применением высокоэластичных материалов в современной технике, необходимостью прогнозировать напряженно-деформированное состояние (НДС) высокоэластичных элементов конструкций, в том числе и в ситуациях, связанных с образованием полостей и пустот. Примером таких конструкций являются изделия сложной формы из наполненных эластомеров, подвергающиеся нагрузкам высокой интенсивности: резиновые и резинометаллические амортизаторы, шины и др. "

Для исследования напряженно-деформированного состояния тел с отверстиями можно использовать различные методы, как численные (например, метод конечных элементов (Зенкевич, Оден [32, 78])), так и аналитические. Недостатком численных методов является то, что их применение требует значительных ресурсов ЭВМ. Кроме того, в существующих «коммерческих» конечно-элементных пакетах (ANSYS, ABAQUS и др.) не предусмотрена возможность задавать граничные условия на той части границы тела, которая возникает при образовании отверстий. Возможен и другой подход, основанный на применении приближенных аналитических методов и проблемно-ориентированной системы аналитических вычислений на ЭВМ [54]. Этот подход позволяет существенно сократить затраты времени на решение задач. Ранее он был применен только для бесконечно протяженных тел.

Для описания деформации тел с возникающими в них отверстиями необходимо учесть, что тела имеют конечные размеры. Однако приближенное аналитическое решение плоских задач данного класса для тел конечных размеров ранее не было получено.

В связи с этим целью диссертации является исследование напряженно-деформированного состояния в нелинейно-упругих и вязкоупругих телах конечных размеров для случая больших деформаций при образовании в этих телах отверстий.

Для достижения цели исследования в работе поставлена актуальная научная задача решения плоских задач об образовании отверстий в предварительно нагруженных нелинейно-упругих и вязкоупругих телах конечных размеров при больших деформациях.

Частными задачами исследования являются:

- развитие приближенного численно-аналитического метода, разработанного ранее для бесконечно протяженных тел, для расчета напряженно-деформированного состояния в предварительно нагруженных упругих и вязкоупругих телах конечных размеров при образовании в этих телах отверстий;

- разработка алгоритмов и программного комплекса, реализующих данный метод для тел круговой формы с одним или несколькими отверстиями произвольной формы;

- проведение тестовых расчетов для оценки погрешности результатов, полученных с помощью программного комплекса, путем сравнения их с имеющимися точными решениями;

- проведение серии вычислительных экспериментов с целью исследования зависимости напряженно-деформированного состояния в теле от параметров модели: величины приложенного давления на внешнем контуре тела и на контурах отверстий, материала тела, формы контуров отверстий, их взаимного расположения и порядка образования (для вязкоупругих тел - и от времени образования).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Структура диссертации определена последовательностью решения поставленной научной задачи в соответствии с выделенными частными задачами исследования.

В первой главе приведен понятийный аппарат, включающий основные термины и обозначения теории многократного наложения больших деформаций. Изложены основные соотношения теории многократного наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций. Сформулирована постановка краевых задач этой теории для тел конечных размеров.

Приведены примеры задач о последовательном или одновременном образовании концентраторов напряжений (отверстий) в предварительно напряженном нелинейно-упругом или вязкоупругом теле конечных размеров, в котором в случае одновременного образования форма отверстий может быть задана как в момент их образования, так и в конечном состоянии (для вязкоупругого материала — в некоторый заданный момент времени).

Приведены уравнения равновесия, уравнения несжимаемости, граничные условия, уравнения, связывающие тензор истинных напряжений с аффинором деформаций, для материала Мурнагана (в базисе начального состояния), материала Муни, материала Черных, для несжимаемого вязкоупругого материала. Завершают постановку задач геометрические соотношения.

Во второй главе рассмотрены приближенные аналитические методы решения плоских задач об образовании отверстий в телах конечных размеров из нелинейно-упругого или вязкоупругого материала при наложении больших деформациях.

Изложено приближенное аналитическое решение плоских задач теории наложения больших деформаций для тел конечных размеров методом последовательных приближений. Этот подход основан на методах и алгоритмах, изложенных в [51, 54]. Приведены расчетные уравнения в приближениях для нулевого и первого приближений (линейная и квадратичная аппроксимации решения) в следующей последовательности: уравнения равновесия и граничные условия, определяющие соотношения (для материалов Мурнагана, Му-ни, Черных и вязкоупругого материала), геометрические соотношения. Представлен алгоритм решения краевой задачи для первого приближения.

Представлено аналитическое решение краевых линеаризованных задач для тел конечных размеров, поскольку рассматриваемые задачи для всех приближений представляют собой линеаризованные задачи теории упругости. Приведены уравнения, граничные условия, частные решения линеаризованной задачи в комплексной форме для следующих случаев: сжимаемый материал при плоской деформации, несжимаемый материал при плоской деформации, сжимаемый материал при обобщенном плосконапряженном состоянии, несжимаемый материал при обобщенном плосконапряженном состоянии.

Приведено решение линеаризованной краевой задачи для тел конечных размеров для однородной системы уравнений с помощью комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили, которые являются аналитическими функциями комплексной переменной в области, занимаемой телом, и определяются из граничных условий соответствующей краевой задачи. Оно справедливо как для плоской деформации, так и для обобщенного плосконапряженного состояния, как для сжимаемых, так и для несжимаемых материалов.

Область, занимаемая телом, является многосвязной, поскольку содержит отверстия. К краевой задаче применяется метод последовательных приближений Шварца. Начальное приближение берется из решения задачи для тела без полостей. Далее решается ряд краевых задач для односвязных областей.

В третьей главе приведены результаты решения плоских задач, постановки и методы решения которых представлены в первых двух главах. Исследована зависимость напряженно-деформированного состояния от величины нагружения как на внешнем контуре тела, так и на контурах отверстий; от материала тела, от формы контуров отверстий, от их взаимного расположения и порядка образования (для вязкоупругих тел — и от времени образования). Проанализировано влияние нелинейных эффектов.

Для решения плоских задач об образовании отверстий в теле круговой формы при больших деформациях разработан специализированный программный комплекс «Наложение». Все приведенные в данной главе результаты получены с помощью разработанного программного комплекса.

Во всех задачах давление приложено к внешней границе тела, в некоторых задачах давление также приложено к границам отверстий. Решены следующие основные задачи:

- задачи об образовании кругового отверстия, произвольно расположенного в теле круговой формы;

- задачи об образовании эллиптического отверстия, произвольно расположенного в теле круговой формы;

- задачи об одновременном образовании двух круговых отверстий в теле круговой формы;

- задачи об одновременном образовании двух эллиптических отверстий в теле круговой формы;

- задачи об одновременном образовании нескольких круговых и эллиптических отверстий в теле круговой формы;

- задачи о последовательном образовании трех круговых отверстий в теле круговой формы.

Исследована зависимость невязки граничных условий от числа итераций метода Шварца. Поправки от учета нелинейных эффектов по напряжениям составляют до 35^40%.

Выполнено сравнение результатов, полученных с применением разработанного специализированного программного комплекса для частного случая задачи об образовании отверстия в центре предварительно нагруженного тела круговой формы из материала Бартенева-Хазановича, с точным решением; выполнено сравнение линейного решения для частного случая с точным решением задачи Ламе.

Приложение посвящено описанию специализированного программного комплекса «Наложение». Приводится описание пользовательского интерфейса программного комплекса, его основных функций, задач и возможностей.

ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

На защиту выносятся:

1. Приближенный численно-аналитический метод для решения плоских задач об образовании отверстий в телах конечного размера из нелинейно-упругих и вязкоупругих материалов при больших деформациях.

2. Проблемно-ориентированный программный комплекс «Наложение», предназначенный для решения плоских задач нелинейной упругости и вязко-упругости для тел с круговой внешней границей, в которых образуется одно или несколько отверстий.

3. Результаты приближенного решения плоских задач для тел с круговой внешней границей, полученные с помощью данного программного комплекса.

Научная новизна полученных результатов.

1. Найдены приближенные численно-аналитические решения плоских задач об образовании концентраторов напряжений в теле из нелинейно-упругого (сжимаемого и несжимаемого), а также вязкоупругого материала для тел конечных размеров с круговой внешней границей при больших деформациях.

2. Развит приближенный численно-аналитический метод для решения указанного класса задач. Метод основан на модификации математических методов, применяемых ранее для решения плоской задачи для бесконечно протяженных тел (метода последовательных приближений и итерационного метода Шварца) в связи с необходимостью учета граничных условий на внешнем контуре. Расчетные формулы и алгоритмы для тел конечных размеN ров отличаются от соответствующих формул и алгоритмов для бесконечно протяженных тел. Это обусловило изменение метода решения линеаризованной задачи на тех шагах метода Шварца, на которых требуется удовлетворить граничным условиям на внешнем контуре.

Теоретическая значимость работы заключается в дальнейшем развитии приближенных аналитических методов решения плоских задач нелинейной теории упругости (в частности, задач теории многократного наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций).

Практическая значимость.

Разработан программный комплекс, реализующий математический метод и алгоритм. Программный комплекс разработан с использованием проблемно-ориентированной системы численно-аналитических вычислений на ЭВМ. Этот комплекс позволяет приближенно решать задачи для тел из нелинейно-упругих сжимаемых и несжимаемых материалов (Мурнагана, Муни, Черных) и несжимаемого вязкоупругого материала в случаях плоской деформации и обобщенного плоско-напряженного состояния. Предусмотрена возможность расчета как для одновременного, так и для последовательного образования отверстий. Форма контура отверстия определяется посредством задания функции, осуществляющей конформное отображение этого контура на единичную окружность с помощью полиномов. С помощью программного комплекса можно решать практические задачи по выполнению прочностных расчетов и анализу возможности разрушения элементов конструкций.

Обоснованность и достоверность результатов.

Обоснованность базируется на использовании при постановке задачи уравнений и граничных условий, корректно записанных для случая больших деформаций и использованных ранее другими авторами, и апробированных определяющих соотношений, реалистично описывающих механические свойства материалов.

Достоверность полученных результатов подтверждается: сравнением результатов с точным решением задачи Ламе об осесиммет-ричной плоской деформации полого цилиндра из материала Бартенева-Хазановича. Максимальная погрешность результатов, полученных приближенным методом, составила менее 4 % при внешней нагрузке 0.5 {л , отношении внешнего и внутреннего радиусов цилиндра 1:10; проверкой выполнения граничных условий для каждого приближения на каждом шаге итерационного процесса; сравнением результатов для тела конечных размеров, содержащего малые по сравнению с размерами тела полости различной формы, расположенные вблизи центра тела, с результатами расчетов для бесконечно протяженных тел с полостями такой же формы, полученными ранее другими авторами [54]. Для рассмотренных в диссертации случаев результаты различаются не более чем на 1.5%.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на XVI и XVIII симпозиумах «Проблемы шин и резинокордных композитов» в 2005 и 2007 г. (г. Москва); на VI Международном научном симпозиуме «Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела» в 2006 г. (г. Тверь); на седьмом Всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения» в 2007 г. (г. Казань).

Результаты, полученные в диссертации, частично использованы при выполнении работ по гранту РФФИ (№ 06-01-00682). Публикации.

Основные результаты диссертации представлены в 10 публикациях, из них 2 в изданиях, рекомендованных ВАК.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Людский, Владимир Анатольевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В работе осуществлены математическое описание и постановка краевых плоских задач теории многократного наложения больших деформаций для тел конечных размеров. Приведены примеры задач о последовательном или одновременном образовании концентраторов напряжений (отверстий) в предварительно напряженном нелинейно-упругом или вязкоупругом теле конечных размеров, в котором форма отверстий может быть задана как в момент их образования, так и в конечном состоянии (для вязкоупругого материала - в некоторый заданный момент времени).

2. Предложен подход к нахождению приближенного численно-аналитического решения плоских задач об образовании концентраторов напряжений в телах конечных размеров из нелинейно-упругого или вязкоупругого материала. Этот подход развит автором на базе метода, разработанного ранее для бесконечно протяженных тел. Он основан на методе последовательных приближений (в качестве начального приближения используется решение линейной задачи, соответствующей исходной нелинейной задаче). Краевые задачи для всех приближений представляют собой линеаризованные задачи теории упругости и формулируются в комплексной форме. Линеаризованные задачи решаются методом Колосова-Мусхелишвили. Решение линеаризованной краевой задачи для однородной системы уравнений отыскивается с помощью комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили. Для многосвязных областей используется метод последовательных приближений Шварца.

3. Разработан алгоритм и специализированный программный комплекс и с его помощью получено численно-аналитическое решение плоских задач теории многократного наложения больших деформаций для тела круговой формы. В задачах, решенных с использованием данного комплекса исследована зависимость напряженно-деформированного состояния от величины на-гружения как на внешнем контуре тела, так и на контурах отверстий, от материала тела, от формы контуров отверстий, от их взаимного расположения и порядка образования (для вязкоупругих тел - и от времени образования).

4. Проанализировано влияние нелинейных эффектов. Поправка от учета нелинейных эффектов для тех параметров модели, которые рассмотрены в работе, составила до 34 %.

5. Исследована зависимость невязки граничных условий от числа итераций метода Шварца. Для рассмотренных в диссертации задач погрешность не превышает 0.1% для тридцати двух и более итераций.

6. Выполнено сопоставление результатов, полученных для тел конечных размеров, с известными результатами для бесконечно протяженных тел с отверстиями такой же формы. Это сравнение позволило оценить, насколько существенным является учет ограниченности тела при расчете напряженно-деформированного состояния. В задачах об образовании кругового отверстия при соотношении внутреннего и внешнего радиусов 1:2 в теле круговой формы отличие от результатов для бесконечно протяженного тела по напряжениям составило 29 %. Вместе с тем, при соотношении внутреннего и внешнего радиусов 1:10 в теле круговой формы отличие от результатов для бесконечно протяженного тела по напряжениям составило не более 1.5%, что является одним из подтверждений достоверности полученного решения.

7. Выполнено сравнение результатов, полученных на разработанном специализированном программном комплексе для частного случая задачи об образовании кругового (форма контура задана в конечном состоянии) отверстия в центре предварительно нагруженного тела круговой формы из материала Бартенева-Хазановича, с точным решением; выполнено сравнение линейного решения с точным решением задачи Ламе.

Результат решения задачи методом последовательных приближений для нулевого приближения отличается на 15—20% от точного, а для первого приближения наибольшая погрешность по отношению к точному решению составляет менее 4 % для сги и менее 3 % для су22 . Такая погрешность является вполне приемлемой для практики. По сравнению с точным решением задачи

Ламе результаты линейного решения практически полностью совпадают.

С помощью разработанного программного комплекса получены результаты решения ряда практических задач. Основными из них являются:

А. Задачи об одном отверстии (случай плоской деформации):

1) Задача о круговом отверстии в центре тела, когда давление приложено к внешней и внутренней границам тела, задача решена для различных типов материалов (сжимаемых, описываемых потенциалом Мурнагана и несжимаемых, описанных потенциалами Муни и Черных). При давлении на внешнем контуре р =0.3 ц, на внутреннем р =0.05 /л и соотношении радиусов 0.2, поправка от учета нелинейных эффектов составила от 12 % для тела из материала Муни и до 14 % для тела из материала Черных.

2) Серия задач для предварительно нагруженного тела из материала Муни, в котором центр образованного отверстия перемещается вдоль оси X. При давлении на внешнем контуре р = 0.4// и соотношении радиусов 0.1, наблюдается результат учета нелинейных эффектов при смещении полости ближе к краю тела.

3) Задача о предварительно нагруженном теле из материала Муни, в котором образуется трещиноподобное отверстие (форма контура описывается узким эллипсом). При давлении на внешнем контуре р = 0.06// и расположении эллипса в центре тела с радиусом 1 (размеры полуосей составляют 0.438 и 0.063, большая ось эллипса совпадает с осью X) в вершине эллипса поправка от учета нелинейных эффектов составила 30 %.

4) Серия задач для предварительно нагруженного тела из материала Муни, в центре которого образуется эллиптическое отверстие. При давлении на внешнем контуре ^=0.3 ц в теле с радиусом 1, размеры полуосей эллипса изменяются от 0.065 и 0.035 до 0.65 и 0.35 , для данного случая расположения концентратора напряжений в зависимости от увеличения размера его влияние сильно сказывается на поле напряжений как на внешнем, так и на внутреннем контуре (нелинейные эффекты составляют 28%).

Б. Задачи о нескольких отверстиях:

1) Задача о предварительно нагруженном теле из материала Мурнагана, в котором образуются два круговых отверстия. К внешней границе тела радиуса 1 приложено давление р = 0А/и . Центр первого отверстия находится в точке В(0, 0.25), второго - в точке В(0, -0.25), радиусы отверстий равны и составляют 0.15, поправка от учета нелинейных эффектов составила 32 %.

2) Серия задач для нагруженного тела из материала Мурнагана, о последовательном образовании двух отверстий (три варианта задачи: а) в теле уже имеются два круговых отверстия; б) в теле имеется одно-круговое отверстие, после чего образуется второе; в) последовательно образуется сначала первое, а затем и второе отверстия). К внешней границе тела радиуса 1 приложено давление р = 03ju, к внутренней (круговое отверстие в центре) р = 0.05//, соотношение радиусов 0.2. Центр второго отверстия круговой формы находится в точке В(0.5, 0), радиус равен 0.05. Для всех вариантов значителен учет нелинейных эффектов. Во втором случае величина поправок по напряжениям в точках с максимальной концентрацией напряжений составляет 34 %.

В. Задача для тел из вязкоупругого материала:

1) Задача о предварительно нагруженном теле из вязкоупругого материала, в котором образуются два круговых отверстия. К внешней границе тела радиуса 1 приложено давление р = 0AjU. Центр первого отверстия находится в точке В(0, 0.25), второго - в точке В(0, -0.25), радиусы отверстий равны и составляют 0.15, отверстия образуются в момент времени f,=0.1, наибольшие изменения в напряженно-деформированном состоянии в теле произошли к моменту времени ^=0.101, поправка от учета нелинейных эффектов составила 18 %.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Людский, Владимир Анатольевич, 2008 год

1. Адамов А.А., Матвиенко В.П., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. — 411 с.

2. Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. М.: Наука, 1969.-352 с.

3. Александров А.В., Потапов В.Д. Сопротивление материалов. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. для строит, спец. вузов. М.: Высш. шк, 2002. - 400 с.

4. Алтуфов Н.А. Основа расчета на устойчивость упругих систем. — М.: Машиносторение, 1978. 312 с.

5. Аляев Ю.А., Гладков В.П., Козлов О.А. Практикум по алгоритмизации и программированию на языке Паскаль. Учебное пособие. — М.: Финансы и статистика, 2007. 528 с.

6. Ануфриев И.Е. MATLAB 7.0. Наиболее полное руководство. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 1104 с.

7. Архангельский А.Я. Программирование в Delphi для Widows. Версии 2006, 2007, Turbo Delphi. М.: Бином-Пресс, 2007. - 1248 с.

8. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вяз-коупругопластических тел. — М.: Наука, 1987. 472 с.

9. Арутюнян Н.Х., Манжиров А.В. Контактные задачи теории ползучести. Ереван.: Изд-во АА АрмССР, 1990. - 320 с.

10. Арутюнян Н.Х., Манжиров А.В., Наумов В.Э. Контактные задачи механики растущих тел. М.: Наука, 1991. - 176 с.

11. Бартенев Г.М., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластичных деформаций сеточных полимеров//Высокомолек. соед. 1960. Т. 2, № 1. С.20-28.

12. Безухов Н.И. Введение в теорию упругости и пластичности. М.: Госиздат строительной литературы, 1953. - 420 с.

13. Бондарь В.Д. Плоская задача геометрически нелинейной упругости- Новосибирск: Новосибирский ун-т, 1980. 70 с.

14. Бухин Б.Л. Введение в механику пневматических шин. М: Химия, 1978.-224 с.

15. Векуа И.Н., Мусхелишвили Н.И. Методы теории аналитических функций в теории упругости// Труды Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М.;Л., 1962. - С. 310-338.

16. Ворович И.И. Некоторые проблемы концентрации напряжений// Концентрация напряжений. Киев, 1968. - Вып. 2. - С. 45-53. .

17. Гамлицкий Ю.А., Мудрук В.И., Швачич М.В. Упругий потенциал , наполненных резин. Теория и эксперимент// Труды XI симпозиума «Проблемы шин и резинокордных композитов». — М.: ГУП НИИ шинной пром-ти, 2000. Т. 1.-С. 162-183.

18. Гамлицкий Ю.А., Мудрук В.И., Швачич М.В. Басс Ю.П. Упругий потенциал наполненных резин// Каучук и резина, 2002. N. 3. — с. 29-39.

19. Гамлицкий Ю.А., Швачич М.В. Прочность резины. Модель и расчет.// Высокомолекулярные соединения. Серия А. 2005. Т. 47. N. 4. С. 660668.

20. Гафаров Р.Х., Жернаков B.C. Что нужно знать о сопротивлении материалов. М.: Машиностроение, 2001. - 276 с.

21. Глушко В.Т., Долинина Н.Н., Розовский М.И. Концентрация напряжений около отверстия при нелинейной ползучести// Прикладная механика. 1970. Т.6, № 10. - С. 71-78.

22. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple 5. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997. - 208 с.

23. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1969.-336 с.

24. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М: Мир, 1965. - 445 с.

25. Громов В.Г., Толоконников JI.A. К вычислению приближений в задаче о конечных плоских деформациях несжимаемого материала// Известия АН СССР. Отделение технических наук, сер. Механика и машиностроение. -1963. -№ 2. -С. 81-87.

26. Гузь А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. Киев: Наукова думка, 1983. - 296 с.

27. Дьяконов В.П. Компьютерная математика, теория и практика. М.: Нолидж, 2000. - 1296 с

28. Дьяконов В.П. Mathematica 4 с пакетами расширения. М.: Нолидж, 2000. - 608 с. ,

29. Дьяконов В. П. MATLAB 6.5 SP1/7 + Simulink 5/6: Основы применения. М.: СОЛОН-пресс, 2005. 800 с.

30. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 8 Pro в математике, физике и Internet. М.: Нолидж, 1999. - 512 с.

31. Евлампиева С.Е., Мошев В.В. Плоские континуальные модели и их исследование средствами теории функций комплексного переменного // Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов. Екатеринбург, 1997. С. 204-253.

32. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М: Мир, 1975. - 543 с.

33. Зингерман К.М., Левин В.А. Последовательное образование двух неравных эллиптических отверстий в теле из вязкоупругого несжимаемого материала. Конечные деформации.// Известия АН. Механика твердого тела. 1999, №4.-С. 162-169.

34. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопла-стимческого тела. М.: Наука, 1978. — 208 с.

35. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории тер-мовязкоупругости. М.: Наука, 1970. - 280 с.

36. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.-752 с.

37. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.-М.: Гостехиздат, 1949. - 695 с.

38. Кетков А., Кетков Ю. Практика программирования: Бейсик, Си, Паскаль. Самоучитель. С.-Петербург, БХВ-Петербург, 2001. - 480 с.

39. Клойзнер С.М. Нелинейная задача для пластинки, ослабленной неодинаковыми отверстиями// Механика твердого тела. — Киев, 1970, Вып. 20. — С. 130-135.

40. Койфман Ю.И. Плоские нелинейные задачи упругого равновесия многосвязных тел// Прикладная механика. 1970. - 6, № 2. — С. 58-65.

41. Колосов Г.В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости. Юрьев: Типогр. Маттисена, 1909. 187 с.

42. Копнов В.А., Кривошапко С.Н. Сопротивление материалов. Руководство для решения задач и выполнения лабораторных и расчетно-графических работ. — М.: Высшая школа, 2005. — 352 с.

43. Космодамианский А.С. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступами. Киев: Вища школа, 1975. - 228 с.

44. Космодамианский А.С. Многосвязные задачи плоской теории упругости (обзор)//Прикладная механика. 1967. — 3, № 2. - С. 3-19.

45. Космодамианский А.С., Калоеров С.А. Температурные напряжения в многосвязных пластинках.— Киев; Донецк: Вища школа, 1983. — 160 с.

46. Космодамианский А.С., Клойзнер С.М. Некоторые задачи нелинейной теории упругости. Донецк: Донецкий ун-т, 1971. - 219 с.

47. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Наука, 1965.- 427 с.

48. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. — М: Мир, 1974. -338 с.

49. Кутилин Д.И. Теория конечных деформаций. М: .Гостехиздат, 1947.-275 с.

50. Кэнту М. Delphi 2005. Для профессионалов. — С.-Петербург.: Питер, 2006.-912 с.

51. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. М.: Наука, 1999. - 224 с.

52. Левин В.А. Концентрация напряжений около кругового в момент образования отверстия в теле из вязкоупругого материала// Доклады АН СССР. 1988. - 299, № 5. - С. 1079-1082.

53. Левин В.А., Булатов Л.А. Концентрация напряжений около кругового отверстия в теле из вязкоупругого материала// Механика композитных материалов. 1983. - № 3. - С. 423-426.

54. Левин В.А., Зингерман К.М. Плоские задачи теории многократного наложения больших деформаций. Методы решения. — М.: Физматлит, 2002. -272 с.

55. Левин В.А., Тарасьев Г.С. Наложение больших упругих деформаций в пространстве конечных состояний// Доклады АН СССР, 1980. — 251, № 1.-С. 63-66.

56. Лобанова О.В. Практикум по решению задач в математической системе Derive: Учеб. пособие для вузов. М.: Финансы и статистика, 1999. -544 с.

57. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 940 с.

58. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.-512 с.

59. Людский В.А. Практический справочник по системе компьютерной математики MATLAB/SIMULINK. Учебное пособие. ГОУ ВПО «Тверской государственный университет». 2007. — 148 с.

60. Мак-конел А. Дж. Введение в тензорный анализ. С приложениями к геометрии, механике и физике. Пер. с англ. — М.: Гос изд-во физ-мат лит-ры, 1963.-411 с.

61. Маркин А.А. Об изменении упругих и пластических свойств при конечном деформировании. // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1990, № 2. С.120-126.

62. Михлин С.Г. Приложения интегральных уравнений к некоторым проблемам механики, математической физики и техники. — Л., Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1947. — 304 с.

63. Моргун А.Н., Кривель И.А. Программирование на языке Паскаль. Основы обработки структур данных. — М.: Издательство Вильяме, 2006. — 576 с.

64. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. - 255 с.

65. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 708 с.

66. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. - 370 с.

67. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. - 464 с.

68. Очков В.Ф. MathCAD 7 Pro для студентов и инженеров. М.: Компьютер Press, 1998. - 384 с.

69. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. -М.: Наука, 1985. 502 с.

70. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. — М.: Изд-во МГУ, 1984.-336 с.

71. Подкур M.JL, Подкур П.Н., Смоленцев Н.К. Программирование в среде Borland С++ Builder с математическими библиотеками MATLAB C/C++. М: ДМК пресс, 2006. 496 с.

72. Половко A.M., Бутусов П.Н. MATLAB для студента. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 320 с.

73. Попов В. Паскаль и Дельфи. Серия: Учебный курс. С.-Петербург, Питер, 2005. - 576 с.

74. Почтаренко М.В. Применение систем аналитических вычислений в задачах механики// Пакеты прикладных программ. Функциональное наполнение. Новосибирск, 1985. - С. 3-11.

75. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. — М.: Наука, 1966.-752 с.

76. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. - 887 с.

77. Савин Г.Н., Койфман Ю.И. Общая нелинейная теория упругости (обзор)// Прикладная механика. 1970. - 6, № 12. - С. 3-26.

78. Савин Г.Н., Космодамианский А.С., Гузь А.Н. Концентрация напряжений возле отверстий// Прикладная механика. — 1967. 3, № 10. - С. 2338.

79. Свистков А.Л., Евлампиева С.Е. Итерационный метод расчета напряженно-деформированного состояния в ансамблях включений // Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых- полимерных композитов. Екатеринбург, 1997. С. 171-203.

80. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. — 284 с.

81. Седов Л.И. Механика сплошной среды. T.l. М.: Наука, 1994. 528 с.

82. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. М.: Наука, 1994. — 560 с.

83. Соболев СЛ. Алгоритм Шварца в теории упругости// Доклады АН СССР, новая серия. 1936. Т. 13. С. 235-238.

84. Суетин П.К. Ряды по многочленам Фабера. М.: Наука, 1984. - 336 с.

85. Тамуж В.П., Куксенко B.C. Микромеханика разрушения полимерных материалов. Рига: Зинатне, 1978. 294 с.

86. Тарасьев Г.С. Об одной оценке "малого" параметра в одной задаче нелинейной теории упругости. // Прикладная механика. 1980. Т. 16, № 7. С. 137-139.

87. Тарасьев Г.С., Толоконников Л.А. Концентрация напряжений около полостей в несжимаемом материале// Концентрация напряжений. — Киев, 1965. Вып. 1.-С. 251-255.

88. Тарасьев Г.С., Толоконников Л.А. Конечные плоские деформации сжимаемого материала// Прикладная механика. — 1966. 2, № 2. — С. 22-27.

89. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. Пер. с англ. М.: Наука, 1975.-576 с.

90. Толоконников Jl.А. Плоская деформация несжимаемого материала//Доклады АН СССР.-1958.-119, № 6.- С. 1124-1126.

91. Точилин Э.Л. Об использовании комплексных потенциалов при решении краевых задач наследственной упругости// Прикладная механика. 1971. - 7, № 10.-С. 114-118.

92. Трелоар Л. Физика упругости каучука. М.: Иностранная литература, 1953.-240 с.

93. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. -М.: Мир, 1975. 592 с.

94. Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. Киев: Наук, думка, 1964. - 536 с.

95. Фленов М. Библия Delphi. С.-Петербург.: БХВ-Петербург, 2005. -880 с.

96. Хорошун Л.П. Влияние ползучести материала на концентрацию напряжений около кругового отверстия в пластинке// Концентрация напряжений. -Киев, 1965. Вып. 1. - С. 299-304.

97. Цурпал И.А. Расчет элементов конструкций из нелинейно-упругих материалов. Киев: Техшка, 1976. - 175 с.

98. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.-640 с.

99. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. - 336 с.

100. Шерман Д.И. Об одном методе решения статической задачи о на- -пряжениях для многосвязных областей// Доклады АН СССР, новая серия. • 1934.- 1,№7.-С. 376-378.

101. Яновский Ю.Г., Гамлицкий Ю.А., Згаевский В.Э., Басс Ю.П. Некоторые проблемы механики эластомерных нанокомпозитов: объекты, модели, методы.// Каучук и резина. 2002. N. 5. С. 21-25.

102. Levin V.A. Zingerman К.М. Interaction and microfracturing pattern for successive origination (introduction) of pores in elastic bodies: finite deformation//Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. -1998.-V/ 65 . # 2/ Р/ 431-435/

103. Moony M.A. Theory of large elastic deformation// Journal of Applied Phusics. 1940. - № 11. - P 582-592.115/ Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid. N.Y.: Wiley, 1951.- 140 p.

104. Sergey E. Lyshevski. Engineering and Scientific Computations Using MATLAB. John Wiley & Sons, Inc, 2003.

105. Signorini A. Transformazioni termoelastiche finite. I// Annali di Matematica Pure Appl. 1943. - V.22. - P. 33-143.

106. Tsukrov I/. Kachanov M. Stress concentrations and microffracturing patterns in a brittle-elastic solid with interacting pores of diverse shapes// International Journal of Solids and Structures. 1997. - V. 34 № 22. - P. 28872904.