Аналитические приближения плоской задачи наложения больших деформаций для различных моделей нелинейно-упругих материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Рыбалка, Екатерина Викторовна

• Рыбалка, Екатерина Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рыбалка, Екатерина Викторовна

Введение.

1 Основные соотношения теории наложения больших деформаций.

1.1 Основные термины и обозначения теории наложения больших деформаций.

1.2 Кинематика деформаций.

1.3 Определяющие соотношения.

1.4 Уравнения равновесия и граничные условия.

1.5 О постановке граничных задач теории наложения больших деформаций.

1.6 Плоская деформация и плоское напряженное состояние.

2 Постановка задачи и метод решения.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Применение метода Синьорини к решению задачи.

2.3 Алгоритм решения задачи об образовании полости.

2.4 Решение задачи с помощью метода Колосова-Мусхелишвили.

3 Результаты расчетов и их анализ.

3.1 Сжимаемые материалы.

3.2 Несжимаемые материалы.

3.3 Сравнение результатов решения задачи с частным случаем точного решения и конечно-элементным решением.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические приближения плоской задачи наложения больших деформаций для различных моделей нелинейно-упругих материалов»

В диссертационной работе средствами компьютерной алгебры впервые получено приближенное аналитическое решение плоской задачи об образовании круговой полости в предварительно нагруженном теле из нелинейно-упругого материала. Свойства материала описываются различными моделями сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих материалов. Форма полости задается в момент образования. Рассматривается как вариант решения задачи, когда образованная граничная поверхность свободна от нагрузки, так и вариант, когда по границе полости распределено давление. Учитывается, что возникновение в теле полости приводит (по крайней мере, в окрестности образованной граничной поверхности) к появлению в теле больших дополнительных деформаций, которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие. Постановка задачи осуществляется на основе теории многократного наложения больших деформаций [35, 36].

Следует отметить, что вклад в развитие как нелинейной теории упругости, так и эксперимента для нее внесли многие отечественные и зарубежные специалисты, в частности, Г.М.Бартенев, В.Л.Бидерман, В.Д.Бондарь, И.И.Блох, М.Ф.Бухина, И.И.Ворович, И.И.Гольденблат, А.Н.Гузь, Н.В.Зволинский, Л.М.Зубов, Ю.И.Койфман, Ю.А.Крутков, Л.И.Кутилин, А.И.Лурье, Н.Ф.Морозов, В.В.Новожилов, В.А.Пальмов, П.М.Риз, Г.Н.Савин, Л.И.Седов, Л.А.Толоконников, Т.Н.Хазанович, И.А.Цурпал, К.Ф.Черных, P.J.Blats, A.E.Green, W.L.Ko, M.A.Moony, F.D.Murnaghan, W.Noll, R.S.Rivlin, L.R.G.Treloar, C.Truesdell, O.Watanabe, W.Zerna и многие другие. История развития нелинейной теории упругости достаточно подробно описана, например, в монографии А.И.Лурье «Нелинейная теория упругости» [51]. Подробные исторические обзоры становления линейной теории упругости приведены в монографиях А.Лява [52] и Е.Треффтца [87], а также обзоры в книгах С.П.Тимошенко, например [79], ориентированных на инженеров, связанных с конкретными практическими расчетами. Ссылки на вышеперечисленные работы показывают, что решения для задач линейной теории упругости существуют давно, и математический аппарат в этой области хорошо проработан. Начало и бурный рост нелинейной теории упругости пришелся на середину и вторую половину XX века. На сегодняшний день общее число публикаций в данном направлении огромно. Поэтому понятно, что модели и методы решения задач в данной области тоже достаточно подробно проработаны. Однако небольшое число (по сравнению с количеством экспериментов для линейной теории упругости) корректно выполненных работ и обработанных экспериментальных данных по определению механических характеристик для различных групп материалов является одной из преград развития и применения теории моделей, связанных с учетом конечности деформаций.

Внимание к теории конечных деформаций обусловлено применением в современной технике изделий из высокоэластичных материалов, испытывающих в процессе эксплуатации большие упругие деформации [67], а также развитием механики разрушения, связанного с зарождением и ростом микродефектов при нагружении [59, 66]. Положения этой теории применительно к высокоэластичным материалам сформулированы в работах Р.Ривлина [99], М.Муни [97], Л.Трелоара [85, 86], подробно проработаны в монографиях В.В.Новожилова [64, 65], Л.И.Седова [72], А.И.Лурье [51], А.Грина и Дж.Адкинса [1, 15], К.Трусделла [88], Д.И.Кутилина [31]. Многие важные частные задачи рассмотрены в работах [8, 25, 26, 28, 102]. Большой вклад в развитие нелинейной теории упругости, вязкоупругости, пластичности внесла тульская школа механики, основанная Л.А.Толоконниковым [80, 81, 82, 83]. Это, например, работы Г.С.Тарасьева [74, 75, 77, 78], Н.М.Матченко [53, 54, 55], А.А.Маркина [57, 58], В.А.Левина [33, 35] и их учеников.

Исследование эффектов наложения деформаций является одним из важных направлений теории больших деформаций. Создание и развитие теории многократного наложения больших деформаций было осуществлено Г.С.Тарасьевым [74, 75] и В.А.Левиным [34, 35, 48, 49, 84]. В работах

В.А.Левина рассмотрены также вопросы зарождения и развития дефектов в рамках механики деформируемого твердого тела при конечных деформациях. В.А.Левиным (совместно с Е.М.Морозовым) предложены нелокальные критерии прочности и модели, учитывающие возникновение и развитие зон предразрушения [41, 42]. В.А.Левиным (совместно с В.В.Лохиным и К.М.Зингерманом) разработаны методы оценки эффективных характеристик пористых материалов при конечных деформациях и их наложении [36, 94, 96]. Задача наложения деформаций для двухконстантного потенциала (с учетом ряда упрощающих допущений) была рассмотрена Л.М. Нечаевым [62]. Развитие теории наложения малых деформаций на большие началось с середины 60-х годов прошлого века. Наиболее подробно вопросы теории были исследованы в работах киевской школы механиков под руководством А.Н.Гузя [17-21]. Многократное наложение малых деформаций на большие рассмотрено в [11]. Свойствами высокоэластичных материалов занималась школа известного исследователя Г.М.Бартенева [3, 4]. Существенны также работы [9, 10].

В теории многократного наложения больших деформаций рассматривается нагружение тел в несколько этапов, когда дискретно изменяются границы и граничные условия, причем деформации, вызванные переходом в новое состояние (конфигурацию), конечны. Такой подход позволяет в рамках статических и квазистатических постановок задачи учесть влияние последовательности, в которой к телу прикладываются внешние воздействия. Под внешним воздействием понимается не только приложение к телу внешних поверхностных или массовых сил, но и изменение связности области, занимаемой телом (т.е. добавление или удаление в процессе нагружения частей тела).

Подчеркнем, что используемый термин «наложение больших деформаций» не следует понимать как математическую суперпозицию деформаций. Это означает, что мы не можем определять параметры напряженно-деформированного состояния тела от суммарного внешнего воздействия на него как сложение параметров напряженно-деформированного состояния тела от каждого воздействия на него, как в случае малых деформаций. Кроме того, связь между тензором напряжений и соответствующим ему тензором деформаций, входящих в определяющие соотношения, является нелинейной. Представления тензоров деформаций через градиенты векторов перемещений также нелинейны. Решение такой задачи крайне сложно, так как в этом случае необходимо решить систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с нелинейными граничными условиями.

Именно поэтому постановка и решение задачи, в которой в процессе нагружения дискретно изменяются граница и граничные условия (задача о поэтапном нагружении тела), достаточно сложна.

Используется следующая механическая модель образования полости [35]. В начальном состоянии (в начальной конфигурации) в теле отсутствуют напряжения и деформации. Затем под действием внешних сил тело приобретает большие начальные деформации. Тело переходит в первое промежуточное состояние. В этом состоянии в теле намечается некоторый замкнутый контур (будущая граница отверстия). Часть тела, ограниченная этим контуром, удаляется, а ее действие на оставшуюся часть тела заменяется (по принципу освобождаемости от связей) силами, распределенными по этому контуру. Далее эти силы, перешедшие в разряд внешних, «мгновенно» (без динамических эффектов) изменяются на большую величину. В результате тело приобретает (теряет) большие дополнительные деформации и напряжения (по крайней мере, в окрестности вновь образованной граничной поверхности), которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие начальные. Изменяется форма граничной поверхности. Тело переходит во второе промежуточное состояние. Такое образование отверстий может быть продолжено и дальше. Понятно, что предложенная модель образования отверстий является упрощенной, т.к. не учитывает способа их образования. Но в ряде случаев применение такой модели представляется целесообразным, например, когда механизм образования отверстия не известен или очень сложен для описания.

Представленная модель образования отверстий может быть применена при исследовании следующих явлений, связанных с образованием отверстий (пор, полостей): кавитация (образование полостей) в изделиях из резины [92, 93]; возникновение субмикротрещин при нагружении полимерных материалов [68]; вязкое разрушение — поглощение основной трещиной вторичных трещин, в том числе и возникающих в теле в процессе нагружения, и микро-пор, раскрывающихся при нагружении; вязкий рост трещины [6], когда микроповреждения моделируются концентраторами напряжений, длина которых намного меньше длины трещины.

Все вышеописанное обуславливает интерес к задачам теории многократного наложения больших упругих деформаций.

Приближенное аналитическое решение исследуемой задачи позволяет найти метод Синьорини с использованием средств компьютерной алгебры. Метод Синьорини применительно к механике деформируемого твердого тела рассмотрен первоначально в работах Ф.Стопели и А.Синьорини [100, 101]. Применение метода Синьорини к решению задач нелинейной упругости при конечных деформациях рассмотрено, например, Л.А.Толоконниковым [78, 84], Г.С.Тарасьевым [75], Г.Н.Савиным [71], В.А.Левиным [32]. Отметим, что этим методом решены, например, Л.А.Толоконниковым [16], Г.Н.Савиным [71], Г.С.Тарасьевым [77], некоторые конкретные задачи о концентрации напряжений около отверстий различной формы в нелинейно-упругих телах при конечных деформациях (при отсутствии их наложения). Физически нелинейные задачи при малых деформациях для упругих тел рассмотрены, в частности, И.И.Воровичем [12], И.А.Цурпалом [89]. Применение метода Синьорини к решению задач теории многократного наложения больших деформаций рассмотрено в работах [23, 24, 34, 35, 36, 43, 45, 62, 63, 69, 76].

Использование метода Синьорини и системы компьютерной алгебры позволяет найти приближенное аналитическое решение задачи. При этом I I решение исходной нелинейной задачи сводится к решению бесконечной последовательности линеаризованных задач. Преимущество такого подхода состоит в том, что плоская задача линеаризованной упругости для однородного тела с отверстием может быть решена аналитически методом Колосова-Мусхелишвили [29, 30, 61]. При расчетах в данной работе ограничились вычислением двух первых членов последовательности линеаризованных задач. I

Недостатком метода Синьорини является нерешенность (в общем случае) вопроса о его сходимости. Поэтому очень важным является сравнение I результатов, полученных с использованием этого метода, с результатами i численных расчетов и с известными точными решениями. Точные решения известны для ряда плоских задач нелинейной упругости при больших деформациях [7, 51, 90, 91]. Однако следует отметить, что точные решения могут быть получены либо для областей частного вида при специальным образом заданных нагрузках, либо для определяющих соотношений, которые заданы специальным образом, что не всегда пригодно для описания механических свойств реального материала.

Следует отметить, что для решения конкретных задач о концентрации напряжений при конечных деформациях метод Синьорини (и подобные ему) до последнего времени использовался нечасто. Это было связано с большими вычислительными сложностями при проведении аналитических выкладок для каждого приближения. С появлением и последующим развитием вычислительных машин и в том числе систем компьютерной алгебры стало возможно получение приближенного аналитического решения нелинейных задач этим методом. Развитие систем компьютерной математики началось с середины 80-х годов прошлого века. Наиболее известные из них в настоящее время - это интегрированные системы символьной математики для персональных компьютеров: Derive, MathCad, Mathematica, Maple V, MathLab. Отметим, что в нашей стране значительный вклад в развитие систем символьной математики внесла школа академика В.М.Глушкова. В конце 70-х годов были созданы малые инженерные ЭВМ класса «Мир», способные выполнять аналитические вычисления даже на аппаратном уровне. Был разработан и успешно применялся язык символьных вычислений «Аналитик». Следует отметить, что еще в середине 50-х годов аналогичные идеи высказывались и развивались школой академика Л.В.Канторовича (например, в работах Л.Т.Петровой). Система символьных вычислений «Mathematica» разработана компанией Wolfram Research Inc., основанной известным математиком и физиком Стефаном Вольфрамом, одним из создателей теории сложных систем. Первая версия программы появилась в 1988 г. Возможность применения современной системы компьютерной алгебры «Mathematica» к решению конкретных задач нелинейной теории упругости рассмотрена в работах [38, 70].

Очевидно, что наличие аналитического решения (пусть и приближенного) обладает неоспоримыми преимуществами. Например, в расчетной практике существование приближенных аналитических решений для данного элемента конструкции при данном типе нагружения дает проектировщику возможность в момент числового задания параметров нагружения сразу получить значения параметров напряженно-деформированного состояния элемента конструкции. Также конструктор (проектировщик) может воспользоваться промышленными расчетными пакетами, основанными на использовании метода конечных элементов (ANSYS, ABAQUS и др.). Но в этом случае желательно до применения для расчета проектируемого элемента конструкции осуществить тестирование решений, предоставляемых этими пакетами, на упрощенной модели элемента, например, путем сравнения с результатами, полученными на основе приближенного аналитического решения. Такое тестирование для случая конечности деформаций, по мнению автора, полезно из-за идеологии универсальности таких пакетов. Таким образом, проектировщик, использующий в качестве расчетной модели модель нелинейной теории упругости, может для элемента конструкции при любом виде внешних воздействий, приложенных к этому элементу, получать значения параметров напряженно-деформированного состояния элемента конструкции практически в момент их задания. Естественно это возможно, когда определены экспериментально механические свойства материала.

Повторим, из-за того, что полость образуется в процессе нагружения, следует учитывать изменение границы и граничных условий. Например, изменение связности занимаемой телом области. Такое изменение приводит к «физическому» наложению дополнительных больших (по крайней мере, в окрестности полости) деформаций на уже имеющиеся в теле большие деформации. Для инженера это означает, в частности, необходимость решения системы из нескольких уравнений равновесия для нескольких векторов перемещений. Промышленные расчетные пакеты на базе МКЭ (метода конечных элементов) пока не могут быть использованы для таких расчетов, так как, в частности, не предполагают решения вышеуказанных систем уравнений. Поэтому возникла необходимость в разработке, создании и использовании специализированных программных комплексов, основанных на теории многократного наложения больших деформаций и реализованных на современных математических пакетах для персональных компьютеров.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. Развитие техники инициирует создание новых материалов, способных испытывать большие деформации, что в свою очередь требует совершенствовать методы мониторинга, особенно для случая возникновения и развития дефектов в процессе эксплуатации элементов конструкций из таких материалов. Учитывая, что дефект (повреждение) возникает в теле с конечными деформациями, то его возникновение приводит к перераспределению в теле конечных деформаций, последнее определяет актуальность рассмотрения задач теории многократного наложения больших деформаций. Применение средств компьютерной алгебры в ряде случаев позволяет получать приближенное аналитическое решение плоских задач данной теории. Использование таких решений полезно и эффективно как при анализе результатов мониторинга, так и на стадии эскизного проектирования, что позволяет, в частности, получать предварительную оценку прочности в формульной форме.

Основными целями диссертационной работы являются: математическая формулировка плоской задачи теории наложения больших деформаций, а именно задачи о круговой в момент образования полости в предварительно нагруженном теле для различных моделей нелинейно-упругих материалов;

- получение приближенного аналитического решения поставленной задачи с использованием системы компьютерной алгебры «Mathematica 5.0».

Научная новизна.

Впервые получены приближенные аналитические решения плоской задачи о круговой в момент образования полости в предварительно нагруженном теле при конечных деформациях. Решения найдены для разных типов сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих материалов, в том числе и для случая приложения давления по вновь образованной границе.

Достоверность результатов базируется на использовании соотношений теории многократного наложения больших деформаций, корректной математической постановке задачи, применении определяющих соотношений, апробированных ранее другими авторами, использовании для решения задачи метода Синьорини и средств компьютерной алгебры (пакет «Mathematica 5.0»). Полученные в работе результаты согласуются с точным решением (полученным для частного случая) для материала Трелоара и результатами решения задачи для материала Мурнагана с помощью метода конечных элементов.

Практическая значимость. Получены аналитические выражения (для различных моделей сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих материалов) основных характеристик напряженно-деформированного состояния тела после образования в нем полости. Эти результаты можно применять для анализа прочности при конечных деформациях с использованием нелокальных критериев, проводить предварительную оценку результатов мониторинга, учитывать приложение давления к границе, образованной в нагруженном теле полости. Результаты работы использовались при выполнении работ по грантам РФФИ (№№98-01-00458, 03-01-00233), по программе «Университеты России» (№ 990858), по договору с ОАО «Тверьнефтьгеофизика». Результаты работы использовались в учебном процессе и будут использоваться в дальнейшем (результаты работы применялись для написания двух учебных пособий1, рекомендованных УМО для использования в учебном процессе, и при чтении спецкурсов для магистрантов и аспирантов).

На защиту выносятся: математическая формулировка плоской задачи о круговой в момент образования полости в предварительно нагруженном теле из различных типов нелинейно-упругих сжимаемых и несжимаемых материалов; приближенные аналитические решения, полученные средствами компьютерной алгебры, задачи об образовании круговой полости в предварительно нагруженном теле, включая случай приложения давления по вновь образованной поверхности (для различных моделей нелинейно-упругих сжимаемых и несжимаемых материалов).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Рыбалка, Екатерина Викторовна

Основные результаты и выводы диссертационной работы

1. Дана математическая постановка плоской задачи теории наложения больших упругих деформаций, а именно задачи о круговой в момент образования полости в предварительно нагруженном теле для различных моделей сжимаемых и несжимаемых материалов.

2. Получены приближенные аналитические решения плоской задачи о круговой в момент образования полости для разных типов нелинейно-упругих материалов. Разработан алгоритм и программное обеспечение для решения этой задачи на базе системы компьютерной алгебры «Mathematica 5.0» с использованием метода Синьорини.

3. Показано, что учет нелинейных эффектов в задачах такого типа является существенным. Разница между решениями задачи, полученными для разных моделей сжимаемых нелинейно-упругих материалов, составляет около 10-15%. Выявлено, что для несжимаемого материала (брекерная резина 2э-2560), разница между решениями, полученными для различных видов определяющих соотношений, составляет порядка 15%.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рыбалка, Екатерина Викторовна, 2006 год

1. Адкинс Дж. Большие упругие деформации // Механика. Сб. переводов. -М.: Мир, 1957. -Т.1. - С. 67-74.

2. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязко-упругопластических тел. М.: Наука, 1987. - 471 с.

3. Бартенев Г.М., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластичных деформаций сеточных полимеров // Высокомолек. соед. 1960. - Т. 2. - № 1. - С. 2028.

4. Бартенев Г.М., Шерматов Д., Бартенева А.Г. Влияние масштабного фактора на механизм разрушения и долговечность полимеров в твердом состоянии // Высокомолек. соед. 1998. - Т. А40. - № 9. - С. 1465-1473.

5. Бидерман B.JI. Вопросы расчета резиновых деталей. В кн.: Расчеты на прочность. - М.: ГНТИ, 1958. - Вып. 3.

6. Болотин В.В. Распространение усталостных трещин как случайный процесс // Известия АН. Механика твердого тела. 1993. - № 4. - С. 174183.

7. Бондарь В.Д. Об одном классе точных решений уравнений нелинейной упругости // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1987. - Вып. 28. -С. 30-42.

8. Бровко Г.Л., Ткаченко JI.B. Некоторые определяющие эксперименты для моделей нелинейно-упругих тел при конечных деформациях // Вестник МГУ. Серия «Математика, механика». 1993. — № 4. - С.45-49.

9. Бухина М.Ф. Кристаллизация каучуков и резин. М.: Химия, 1973. -239 с.

10. Бухина М.Ф. Техническая физика эластомеров. М.: Химия, 1984. -224 с.

11. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987.-542 с.

12. Ворович И.И. Некоторые проблемы концентраций напряжений // Концентрация напряжений. Киев, 1968. - Вып. 2. С. 45-53.

13. Гамлицкий Ю.А., Мудрук В.И., Швачич М.В. Упругий потенциал наполненных резин. Теория и эксперимент // Труды XI симпозиума «Проблемы шин и резинокордных композитов». М.: ГУП «НИИ шинной промышленности». - 2000. - Т. 1.

14. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука,1969.-336 с.

15. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М: Мир, 1965. - 445 с.

16. Громов В.Г., Толоконников JI.A. К вычислению приближений в задаче о конечных плоских деформациях несжимаемого материала // Известия АН СССР. Отделение техн. наук, сер. Механика и машиностроение. -1963.-№ 2.-С. 81-87.

17. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев: Наукова думка, 1973. - 272 с.

18. Гузь А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. Киев: Наукова думка, 1983. - 296 с.

19. Гузь А.Н., Дышель JI.UI., Кулиев Г.Г., Милованова О.Б. Разрушение и устойчивость тонких тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1981. -184 с.

20. Гузь А.Н., Махорт Ф.Г., Гуща О.И., Лебедев В.К. К теории распространения волн в упругом изотропном теле с начальными деформациями // Прикладная механика. Т. 6. - №12. - С. 42-49.

21. Гузь А.Н., Роджер А.А., Гузь И.А. О построении теории разрушения на-нокомпозитов при сжатии // Прикладная механика, 2005. Т. 41. - №3. С. 3-29.

22. Дьяконов В.П. Системы символьной математики Mathematica 2 и Mathematica 3. М.: СК Пресс, 1998. - 256 с.

23. Зингерман К.М. Решение класса плоских задач теории многократного наложения больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. Дис. . доктора физ.-мат. наук. - Тверь, 2001. - 234 с.

24. Зубов JI.M. Нелинейная теория изолированных дислокаций и дисклина-ций в упругих оболочках // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. - №4. - С. 139145.

25. Зубов JI.M. О дополнительной энергии упругого тела с начальными напряжениями // Изв. Сев-Кавказ, научн. центра высш. школы. Сер. ес-теств. н., 1988. -№4.- С. 71-75.

26. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. -М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.

27. Койфман Ю.И., Ланглейбен А.Ш. Напряженно-деформированное состояние пластины с двумя равными отверстиями при высокоэластичных деформациях // Механика полимеров. 1967. - № 2. - С. 318-320.

28. Колосов Г.В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости. Юрьев: Типогр. Маттисена, 1909. 187 с.

29. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной к теории упругости. М.; Л.: ОНТИ, 1935. - 224с.

30. Кутилин Д.И. Теория конечных деформаций. М: Гостехиздат, 1947. -275с.

31. Левин В.А. К использованию метода последовательных приближений в задачах наложения конечных деформаций // Прикладная механика. -1987.-Т. 23.-№5.

32. Левин В.А. Концентрация напряжений около кругового в момент образования отверстия в теле из вязкоупругого материала // Доклады АН СССР. 1988. - 299, № 5. - С. 1079-1082.

33. Левин В.А. Краевые задачи наложения больших деформаций в телах из упругого или вязкоупругого материала. Дис. . доктора физ.-мат. наук. - Тверь, 1990. - 365 с.

34. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. М.: Наука, 1999. - 224 с.

35. Левин В.А., Зингерман К.М. Плоские задачи многократного наложения больших деформаций. Методы решения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. -272с.

36. Левин В.А., Калинин В.В., Рыбалка Е.В. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии на базе пакета «Mathematica»: учебное пособие. М.:, ФИЗМАТЛИТ, 2006 - 208 с. (в печати)

37. Левин В.А., Лохин В.В., Зингерман К.М. Рост узкой щели, образованной в предварительно нагруженном нелинейно-упругом теле. Анализ с помощью теории многократного наложения больших деформаций // Доклады РАН. 1995. - Т. 343. - №6. - С. 764-766.

38. Левин В.А., Морозов Е.М. Нелокальный критерий прочности. Конечные деформации // Доклады РАН. 2002. Т. 346. - №1. - С. 62-67.

39. Левин В.А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. (Под редакцией В.А.Левина) Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 408 с.

40. Левин В.А., Рыбалка Е.В. Решение нелинейных задач прочности средствами компьютерной алгебры. На базе пакета «Mathematica»: учебное пособие. Москва, ФГУП. Издательство «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. ИМ.Губкина. - 2006 - 288 с. (в печати)

41. Левин В.А., Тарасьев Г.С. Наложение больших упругих деформаций в пространстве конечных состояний // Доклады АН ССР, 1980. 251, № 1. -С. 63-66.

42. Левин В.А., Тарасьев Г.С. О напряженном состоянии вблизи вертикальной круговой скважины в полубесконечном массиве из вязкоупругого материала//Доклады АН ССР, 1982.-264, № 6. С. 1316-1318.

43. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 940 с.

44. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости.-М.: Наука, 1980-512 с.

45. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935. - 674 с.

46. Матченко Н.М., Толоконников Л.А. О нелинейных соотношениях раз-номодульной теории упругости // Сборник работ по теории упругости. -Тула. ТЛИ, 1968. С.69-72.

47. Матченко Н.М., Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в разномодульных изотропных средах // Инж. журнал МДТТ. 1968. - №6. - С. 108-110.

48. Матченко Н.М., Трещев А.А. Теория деформирования разносопротив-ляющихся материалов: Прикладные задачи теории упругости. ТулГУ. -М.: РААСН; Тула: ТулГУ, 2004. 211 с.

49. Маркин А.А. Нелинейная теория упругости: учебн. пособие / Гул. гос. ун-т. Тула, 2000. - 72 с.

50. Маркин А.А. Об изменении упругих и пластических свойств при конечном деформировании // Известия АН СССР. Механика твердого тела. -1990.- №2. -С. 120-126.

51. Маркин А.А., Толоконников Л.А. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. гос. ун-т. Горький, 1987. - С. 32-37.

52. Морозов Е.М., Зернин М.В. Контактные задачи механики разрушения. -М.: Машиностроение, 1999. 544 с.

53. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.-255 с.

54. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 708 с.

55. Нечаев JI.M. О распределении напряжений около отверстий в упругих телах с начальными напряжениями // Работы по механике сплошных сред.-Тула, 1985.-С. 103-113.

56. Нечаев JI.M., Тарасьев Г.С. Концентрация напряжений вокруг кругового в промежуточном состоянии тоннеля в нелинейно-упругом теле // Доклады АН СССР, 1974. 215. - № 2. - С. 301-304.

57. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиз-дат, 1948.

58. Новожилов В.В. Теория упругости. JL: Судпромгиз, 1958. - 370 с.

59. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. -М.: Наука, 1985.-502 с.

60. Применение резиновых технических изделий в народном хозяйстве. Справочное пособие (Под ред. Федюкина Д.Л.). М.: Химия, 1986. -240 с.

61. Регель В.Р., Слуцкер А.И., Томашевский Э.Е. Кинетическая природа прочности твердых тел. М.: Наука, 1974. - 560 с.

62. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова Думка, 1968.-887с.

63. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1962. 284 с.

64. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. - М.: Наука, 1994. — 560 с.

65. Тарасьев Г.С. К теории наложения конечных упругих деформаций // Технология машиностроения. Тула, 1970. - Вып. 20. - С. 142-149.

66. Тарасьев Г.С. Некоторые вопросы и задачи нелинейной теории упругости. Дис. доктора физ.-мат. наук. - М.: 1975. -258 с.

67. Тарасьев Г.С., Левин В.А., Нечаев Л.М. Концентрация напряжений около эллиптической в конечном состоянии полости // Прикладная механика. 1980. - 16, № 6. - С. 92-97.

68. Тарасьев Г.С., Толоконников Л.А. Конечные плоские деформации сжимаемого материала // Прикладная механика. 1966. 2, № 2. - С. 22-27.

69. Тарасьев Г.С., Толоконников Л.А. Концентрация напряжений около полостей в несжимаемом материале // Концентрация напряжений. Киев, 1965. - Вып. 1.-С. 251-255.

70. Тимошенко С.П. Теория упругости. М.: ОНТИ, 1934.

71. Толоконников Л.А. Конечные плоские деформации несжимаемого материала // Прикладная математика и механика. 1959. Т. 21, № 1.

72. Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости. ПММ. 1956. - Т. 20. - Вып. 3. - С. 439444.

73. Толоконников Л.А. Плоская деформация несжимаемого материала // Доклады АН СССР. 1958. - Т. 119, № 6. - С. 1124-1126.

74. Толоконников Л.А. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях // Прикладная математика и механика. 1957. Т. 21, № 6. - С. 815-822.

75. Толоконников JI.A., Тарасьев Г.С., Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в телах из упругого и вязкоупругого материала // Вопросы судостроения. Серия 1. Проектирование судов. Л.: 1985. -Вып. 42. С. 146-152.

76. Трелоар Л. Введение в науку о полимерах. М.: Мир, 1973. - 238 с.

77. Трелоар Л. Физика упругости каучука. М.: Иностранная лит-ра, 1953. - 240 с.

78. Треффтц Е. Математическая теория упругости. М.: ГТТИ, 1934. -170 с.

79. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. - 592 с.

80. Цурпал И.А. Физически нелинейные упругие пластины, ослабленные произвольными отверстиями // Концентрация напряжений. Киев, 1965. -Вып. 1.-С. 305-311.

81. Черных К.Ф. Обобщенная плоская деформация в нелинейной теории упругости // Прикладная механика. 1977. - 13, № 1. - С. 3-30.

82. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. - 336 с.

83. Ball J.M. Discontinuous equilibrium solutions and cavitation in non-linear elasticity // Phil. Trans. Roy. Soc. London. V. A306. - P. 557-611.

84. Biwa S. Nonlinear analysis of particle cavitation and matrix yielding under equitriaxial stress // Trans. Asme. J. Appl. Mech. - 1999. - V. 66, № 3. - P. 780-785.

85. Levin V.A., Lokhin V.V., Zingerman K.M. Effective Elastic Properties of Porous Materials With Randomly Disposed Pores. Finite Deformation // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2000. - Vol. 67. - №4. - P. 667-670.

86. Levin V.A., Zingerman K.M. Interaction and Microfracturing Pattern for Successive Origination (Introduction) of Pores in Elastic Bodies: Finite Deformation // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1998. - V. 65. - № 2. - P. 431-435.

87. Moony M.A. Theory of large elastic deformation // Journal of Applied Physics. 1940.-№ 11. - P. 582-592.

88. Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid. New York: Willey, 1951.- 140 p.

89. Rivlin R.S. Large elastic deformations of isotropic materials // Philos. Trans. Roy. Soc. London, 1948. A240. - P. 459-508.

90. Signorini A. Transformation termoelastiche finite // Ann. Mat. Pur. Appl. 1949. V. 30. - № 4. - P. 1-72.

91. Stoppelli F. Sulla sviluppabilita in serie di potense di purmametro delle equazioni dell' Elastatica isoterma // Rendironti dell' Acad, di Scienze. Fiz. e. Mat. Delia Soc.Naz. di Scienze. 1955. - V. 22. -№ 4. p. 427-467.

92. Zubov L.M. Nonlinear Theory of Dislocations and Declinations in Elastic Bodies. Berlin: Springer, 1997.