Моделирование межфазного массопереноса в условиях естественной конвекции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Обвинцева, Нина Юрьевна

• Обвинцева, Нина Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Обвинцева, Нина Юрьевна

ВВЕДЕНИЕ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

ГЛАВА 1. Возникновение и развитие неустойчивости в системах с тепломассопереносом (литературный обзор)

1.1. Механизмы возникновения межфазных неустойчивостей

1.1.1. Гравитационная конвекция Релея

1.1.2. Неустойчивость Марангони

1.3. Математические методы исследования межфазных неустойчивостей

1.3.1 Метод линейного анализа

1.3.2 Численные методы исследования конвекции

1.2 Возникновение конвективных течений в газовой фазе при испарении

1.2.1 Стефановский поток

1.2.2 Развитие конвективной неустойчивости -.

Выводы из обзора литературы и постановка задач исследований

ГЛАВА 2. Постановка начально-краевой задачи и алгоритмы численного решения

2.1 Модельная задача

2.2. Уравнения в безразмерных переменных и безразмерные параметры

2.3. Постановка задачи в переменных "функция тока - вихрь"

2.4. Постановка задачи в переменных скорость-давление

ГЛАВА 3. Математическое моделирование нестационарного процесса испарения однокомпонентных жидкостей

3.1 Конвективная неустойчивость Релея в процессе испарения

3.2 Стадии развития процесса в конвективном режиме

3.3 Влияние развитой конвекции на интенсивность массопереноса

3.4 Критические условия потери устойчивости в нестационарном процессе испарения

3.5 Сравнение численных методов, используемых при расчетах

3.6 Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными

3.7 Моделирование процесса испарения в плоском вертикальном канале

3.8 Моделирование испарения в условиях естественной и вынужденной конвекции

ГЛАВА 4. Моделирование процесса нестационарного испарения двухкомпонентных растворов

4.1 Условия конвективной неустойчивости при испарении бинарных растворов

4.2 Стационарная задача об испарении бинарного раствора

4.3 Изучение режима испарения в зависимости от начальных условий и физико-химических параметров системы

4.4 Сравнение результатов численного моделирования с экспериментальными данными

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование межфазного массопереноса в условиях естественной конвекции»

Актуальность проблемы

Межфазный перенос в системах жидкость-газ играет важную роль в различных природных и технологических процессах. Интенсивность тепломассооотдачи во многом определяется режимом переноса в системе, который может осуществляться в результате молекулярного или конвективного механизма, в турбулентных потоках — за счет хаотического движения вихрей. В связи с этим исследование режима переноса в зависимости от физико-химических параметров является важной задачей при описании конкретных процессов.

Ряд процессов, таких как испарение, экстракция, растворение и др. в отсутствие вынужденной конвекции протекает в молекулярном режиме. Возникновение конвективной неустойчивости в системе приводит к развитию самопроизвольных течений, которые могут образовывать упорядоченные диссипативные структуры. По механизму возникновения разделяют неустойчивости, вызванные капиллярными либо плотностными эффектами, связанными, в свою очередь, с концентрационной или температурной неоднородностью. Переход к режиму развитой конвекции характеризуется интенсификацией межфазного тепломассопереноса. Исследование развития конвекции включает изучение следующих вопросов: определение критических условий потери устойчивости, определение скорости развития конвективной неустойчивости, анализ структуры стационарных конвективных течений и ее влияние на характеристики тепломассопереноса.

Развитие конвективной неустойчивости в основном исследуется в задачах теплопереноса. В задачах массопереноса конвективная неустойчивость исследуется реже, причем такие задачи имеют ряд особенностей: в общем случае необходимо рассматривать двухфазную систему и учитывать возникновение конвективных потоков, связанных с межфазным переходом. Данная работа направлена на исследование возникновения конвективных течений в газовой фазе при испарении жидкостей. Возможность возникновения гравитационной конвекции в газовой фазе в процессе испарения часто не учитывается, в связи с этим его описание в литературе является недостаточно полным. Результаты экспериментальных исследований нестационарного процесса испарения чистых жидкостей и бинарных растворов [1,2] показали, что при определенных условиях, происходит возрастание скорости испарения. Переход к интенсивному режиму объяснялся сменой диффузионного режима испарения на конвективный.

Основной задачей при изучении испарения является определение скорости испарения в различных режимах процесса, а при испарении бинарных и более сложных растворов - кроме того, определение состава отходящего пара в зависимости от физико-химических свойств и условий протекания процесса. Для развития представлений о механизме процессов, протекающих при нестационарном испарении, необходимы теоретические исследования, которых к настоящему моменту недостаточно. Одним из основных методов исследования устойчивости систем является линейный анализ, однако его возможности ограничены классом стационарных задач, т.е. изучением систем с линейным распределением плотности по высоте в начальный момент времени. При изучении нестационарных процессов линейная теория не позволяет точно определить критические условия потери устойчивости и может быть применена при определенных допущениях, которые требуют обоснования в каждом конкретном случае. Кроме того, невозможно на основе линейной теории описать структуру конвективных течений, а также кинетику массопереноса в условиях развитой межфазной неустойчивости. Данные вопросы могут быть решены с помощью численных методов математического моделирования.

Использование численных методов для решения уравнений динамики движения среды с учетом свободной и вынужденной конвекции позволяет моделировать физико-химические процессы в широком диапазоне параметров. В данной работе проводится моделирование массопереноса при испарении в условиях развитой конвекции на основе решения нестационарных уравнений Навье-Стокса и конвективной диффузии.

Цель работы — исследование условий возникновения и закономерностей развития гравитационной конвекции, изучение режимов массопереноса в процессе нестационарного испарения чистой жидкости и бинарных растворов.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. разработка численного алгоритма, его верификация и создание на его основе программ для решения уравнений конвективного массопереноса при моделировании процессов испарения чистых жидкостей и бинарных растворов в газовой фазе;

2. анализ условий возникновения конвективной неустойчивости и изучение скорости испарения при разных режимах процесса в зависимости от физико-химических параметров системы и начальных условий;

3. исследование динамики развития конвективных течений и их структуры в газовой фазе;

4. исследование влияния конвекции на массоперенос.

Научная новизна

На основании результатов численных расчетов для одно- и двухкомпонентных систем определены критические условия потери устойчивости для нестационарных процессов испарения. Рассчитана скорость испарения жидкости и определена структура течений в режиме интенсивной конвекции. Для бинарных систем установлено существование более одного стационарного режима, т.е. скорость испарения и состав пара могут различаться в зависимости от распределения концентрации компонентов пара по высоте газовой фазы в начальный момент времени. Показано, что вынужденная конвекция может как увеличивать, так и уменьшать скорость испарения в условиях развития естественной конвекции.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ х, z - декартовы координаты, м; U = U(x,z,t) —скорость, м/с;

С, = С;.(x,z,t) —концентрация компонента /, моль/м3;

С* —концентрации насыщенного пара компонента i в газовой фазе моль/м3; Т— температура, К; t — время, с; р = p(x,z,t) —общее давление, Па; а - коэффициент температуропроводности, м /с; v - коэффициент кинематической вязкости, м /с; о р0- плотность принимающего газа, кг/м ; о р - плотность парогазовой смеси, кг/м ; Н - высота слоя, в который происходит испарение, м; л

Mq — молекулярная масса принимающего газа, кг/м ; о

М{ - молекулярная масса компонента /, кг/м ; о - коэффициент молекулярной диффузии компонента /, м /с; Д - коэффициент линейной зависимости плотности газовой фазы от о концентрации компонента i м /моль; g — ускорение силы тяжести, м2/с;' е - единичный вектор вдоль оси z;

R - универсальная газовая постоянная, 8.31 Дж/(моль К); <7 — коэффициент поверхностного натяжения, Н/м; qt - поток компонента г, моль/(м с); qidif - поток компонента i без учета конвекции моль/(м2с); Gr, = /3jC*gH3 /v2 —число Грасгофа компонента z; Ra = gPC*Нъ jvD — число Релея компонента z;

Scj = v / Dj — число Шмидта компонента i;

Sht = qtH / (DtC*) — число Шервуда компонента г; r - безразмерное время; у/ - функция тока; со - вектор вихря скорости; tcr - критическое время;

Нижние индексы

1 - тяжелый компонент;

2 - легкий компонент бинарной смеси; st - стационарный режим; сг - критический параметр; dif- значение величины в диффузионном режиме. число

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Обвинцева, Нина Юрьевна

Основные результаты и выводы

1. Разработан численный алгоритм и созданы программы для математического моделирования динамики развития систем при нестационарных процессах конвективного тепломассопереноса применительно к задаче об испарении чистых жидкостей и бинарных растворов.

2. На основе результатов математического моделирования определены критические условия возникновения конвективной неустойчивости для ряда исследуемых систем.

3. Установлено, что для нестационарных процессов массопереноса существует задержка развития конвекции по сравнению с критическим временем, определяемым по линейной теории.

4. Определена структура конвективных течений в режиме развитой конвекции.

5. Установлена зависимость скорости переноса в конвективном режиме от физико-химических параметров при испарении чистых жидкостей и бинарных смесей.

6. Установлено существование более одного стационарного режима для бинарных систем.

7. Показано, что вынужденная конвекция может как увеличивать, так и уменьшать скорость испарения в условиях естественной конвекции.

В заключение выражаю глубокую благодарность: своему научному руководителю профессору, доктору химических наук В.А. Каминскому за предоставление интересной темы для диссертации и руководство работой в аспирантуре, своему научному консультанту кандидату физико-математических наук И.С. Калачинской за внимательное отношение к моей работе и помощь при освоении численных методов расчетов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Обвинцева, Нина Юрьевна, 2009 год

1. Дильман В.В., Лотхов В.А., Кулов Н.Н., Найденов В.И. Динамика испарения // Теор. основы хим. технол., 2000, т.34, №3, с.227-236.

2. Липатов Д.А. Динамика нестационарного испарения в условиях естественной конвекции в газовой фазе. — М.: НИФХИ, 2006, диссертация канд. техн. наук.

3. Касаткин А.Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. М. Химия, 1971.

4. Общий курс процессов и аппаратов химической технологии: под ред. В.Г. Айнштейна. М.: Университетская книга; Логос; Физматкнига, 2006. Кн. 1.912с.

5. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1972, 392 с.

6. Spiegel Е.А., Veronis G. On the Boussinesq approximation for a compressible fluid. Astrophys. J., 131(2), 442-447, 1960.

7. Гетлинг A.B. Конвекция Рэлея Бенара. Структуры и динамика.- М.: Эдиториал УРСС, 1999, 247 с.

8. Дразин Ф. Введений в теорию гидродинамической устойчивости / пер. с англ. Г.Г. Цыпкина, под. ред. А.Т. Ильичева. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. -288 с.

9. Krishnamurti R. On Cellular Cloud Patterns. Part 3: Applicability of the Mathematical and Laboratory Models // J. of the Atmospheric Sciences, 1975, V. 32, P. 1373-1383.

10. Cieszelski R. A case study of Rayleigh-Benard convection with clouds // Boundary-Layer Meteorology, 1998, Vol. 88, №2, P. 211-237.

11. Никитин Н.В., Никитин С.А., Полежаев В.И. Конвективные неустойчивости в гидродинамической модели роста кристаллов методом Чохральского. Успехи механики. №4. 2003.

12. Бессонов О.А., Брайловская В.А., Полежаев В.И. Пространственные эффекты конвекции в расплавах: концентрационные неоднородности, возникновение несимметрии и колебания. Изв. РАН МЖГ., 3, 74-82, 1997.

13. Химическая гидродинамика: Справочное пособие / A.M. Кутепов, А.Д. Полянин и др. — М.: Бюро Квантум, 1996. 336 с.

14. Эйдельман Е.Д. Влияние толщины слоя жидкости на соотношение размеров ячейки конвекции // Журнал технической физики. 1998. Т. 68, №11, С. 7-11.

15. Гетлинг А.В. Формирование пространственных структур конвекции Рэлея-Бенара // УФН. 1991. Т. 161, № 9, С. 1-81.

16. Busse F.H. Non-linear properties of thermal convection // Rep. Prog. Phys., 1978, Vol. 41, P. 1929-1967.

17. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1989. - 320с.

18. Lord Rayleigh. Investigation of the Character of the Equilibrium of an Incompressible Heavy Fluid of Variable Density // Proc. London Math. Soc. 1883. V.14. P.170; reprinted in: Scientific Papers. Dover, New York. 1964. V.II. P.200.

19. Whitehead J.A., Chen M.M. Thermal instability and convection of a thin fluid layer bounded by a stably stratified region // J. Fluid Mech, 1970, v.40, part 3, p. 549-576.

20. Veronis G. Penetrative convection. Astrophys. J. 137 (2), 641 663 (1963).

21. Townsend A. A. Nutural convection in water over an ice surface. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 9 (385), 248 259 (1964).

22. Полежаев В.И., Яремчук В.П. Численное моделирование двумерной нестационарной конвекции в горизонтальном слое конечной длины, подогреваемом снизу // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2001. № 4. С.34.

23. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981.

24. Krishnamurti R. On the transition to turbulent convection. Part l. The transition from two- to three-dimensional flow // J. Fluid Mech. 1970. V. 42. P. 295-307.

25. Krishnamurti R. On the transition to turbulent convection. Part 2. The transition to time dependent flow // J. Fluid Mech. 1970. V. 42. P. 309-320.

26. Krishnamitrti R. Some further studies on the transition to turbulent convection // J. Fluid Mech. 1973. V. 60. P. 285-303.

27. Berge, P. Rayleigh-Benard convection: experimental study of time-dependent instabilities //Experiments in Fluids, 1988, Vol. 6, p. 316-322.

28. Busse F.H., Clever R.M. Instabilities of convection rolls in a fluid of moderate Prandtl number. J. Fluid Mech., 91(2), 319-335, 1979.

29. Krishnamurti R. Finite amplitude convection with changing mean temperature. Part 1. Theory. J. Fluid Mech., 33, 457-463, 1968.

30. Krishnamurti R. Further studies on transition to turbulent convection. J. Fluid Mech., 60(2), 285-304, 1974.

31. Rehberg I., Bodenschatz E., Winkler В., Busse F.H.//Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 282.

32. Eberhard Bodenschatz Werner Pesch and Guenter Ahlers. Recent developments in Rayleigh-Benard convection // Annu. Rev. Fluid Mech. 2000. 32:709-778.

33. Bodenschatz E., Pesch W., Ahlers G. Recent developments in Rayleigh-Benard convection. Annu. Rev. Fluid. Mech., 32, 2000.

34. Newell A.C., Passot Т., Lega J. Order parameter equations for patters. Ann. Rev. Fluid. Mech. 25, 399-453 (1993).

35. John С. Berg, A. Acrivos, M. Boudart. Evaporative convection. Advances in Chemical Engineering Academic Press. N. Y. London. 1966. V.6.

36. Martinet B. and Adrian R.J. Rayleygh-Benard convection: experimental study of time-dependent instabilities // Experiments in Fluids 6, 316-322 (1988).

37. Gollub J.P., McCarriar A.R., Steinman J.F. Convective pattern evolution and secondary instabilities, J. Fluid Mech. 125, 259-281. 1982.

38. Иваницкий Г.Р., Деев A.A., Хижняк Е.П. Структуры на поверхности воды, наблюдаемые с помощью инфракрасной техники // УФЫ. 2005. Т. 175, № 11, С. 1207-1216.

39. Pearson J.K.A. On convection cells induced by surface tension // J. Fluid Mech. 1958. V.4, №5. P. 489-500.

40. Последние достижения в области жидкостной экстракции: Под ред. К. Хансона. М.: Химия, 1974. 448 с.

41. Калачинская И.С., Велижанцева И.В. О неустойчивости Марангони в системе жидкость-жидкость // Математическое моделирование. 1991. Т.З. №11.

42. Еленин Г.Г., Калачинская И.С. Линейный анализ задачи о конвекции Марангони. Решение дисперсионного уравнения. Препр. №129. М.: ИПМ АН СССР.- 1984.

43. Непомнящий А.А., Симановский И.Б. О колебательной конвективной неустойчивости равновесия двухслойных систем при наличии термокапиллярного эффекта // Журн. прикл. мех. и техн. физ. 1985. №1. С.62-65.

44. Бирих Р.В., Брискман В.А., Веларде М.Г., Рудаков Р.Н. Термокапиллярная неустойчивость поверхностей раздела реальных жидкостей // Конвекция в системах несмешивающихся жидкостей: сб. науч. тр. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. С. 26.

45. Renardy Y.Y., Stoltz C.G. Time-depend pattern formation for convection in two layers of immiscible liquids // International journal of multiphase flow, 2000, vol. 26, №11, p. 1875-1889

46. Каминский B.A., Дильман B.B. О динамике развития неустойчивости Марангони в процессах межфазного переноса в системе жидкость газ. Журн. физ. химии, 2003, т.77, №3.

47. Веларде М., Кастилло Дж. Явления переноса и реакции, приводящие к межфазной неустойчивости // Гидродинамика межфазных поверхностей: Сб. статей 1979-1981 г. Пер. с англ./ Сост. Ю.А. Буевич, JI.M. Рабинович. -М.: Мир, 1984. С.157

48. Бирих Р.В., Бушуева С.В. Влияние деформации границы раздела на термокапиллярную неустойчивость в двухслойной системе // Конвекция в системах несмешивающихся жидкостей: Сб. науч. тр.. Екатеринбург: УрОРАН, 1999. С. 44

49. Tavener S. J. and Cliffe К. A. Two-fluid Marangoni-Benard convection with a deformable interface // Journal of Computational Physics, 2002, Vol. 182, Issue 1,P. 277-300.

50. Зейтунян P.X. Проблема термокапиллярной неустойчивости Бенара-Марангони // УФН. 1998. Т. 168, № 3, С. 259-286.

51. Juel A., Burgess J. М., McCormick W.D., Swift J.B., Swinney H. L. Surface tension-driven convection patterns in two liquid layers // Physica D, 2000, Vol. 143, № l,pp. 169-186

52. Foster T.D. Onset of convection in a layer of fluid cooled from above // Phys. Fluids, 1965, v.8, №10, p.1770.

53. McGillis W.R., Carey V.P. On the Role of Marangoni Effects on the Critical Heat Flux for Pool Boiling of Binary Mixtures. Journal of Heat Transfer, 1996, v. 118/103.

54. Каминский В.А., Дильман В.В. Неустойчивость Релея в процессах испарения//Журн. физ. химии, 2004, Т.78, N3, С.558-562.

55. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т.VI. Гидродинамика. 4-е. изд., стер. - М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат. лит., 1988. - 736 с.

56. Schluter A., Lortz D., Busse F. On the stability of steady finite amplitude convection. J. Fluid Mech., 23(1), 129-144, 1965.

57. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах: Т. 1: Пер. с англ. М.: Мир, 1991.

58. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. 288с.

59. Госмен А.Д., Пан В.М., Ранчел А.К., Сполдинг Д.Б., Вольфштейн М. Численные методы исследования течений вязкой жидкости. Пер. с аггл. -М.: Мир, 1972.

60. Bucchignani Е., Mansutti D. Rayleigh-Marangoni horizontal convection of low Prandtl number fluids // Physics of Fluids, 2004, Vol.16, No.9

61. Белоцерковский O.M. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: ФизМатЛит, 1994.

62. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции диффузии. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 248 с.

63. Герасимов Б.П. Один метод расчета задачи конвекции несжимаемой жидкости. М.: Препринт/ИПМ №13, 1975. 33 с.

64. Полежаев В.И., Грязнов В.Л. Метод расчета граничных условий для уравнений Навье-Стокса в переменных "вихрь, функция тока" // Докл. АН СССР. 1974. Т. 219. № 2. С. 301.

65. Брацун Д.А., Де Вит А. Об управлении хемоконвективными структурами в плоском реакторе // Журнал технической физики. 2008. том 78, вып. 2, С. 6.

66. Мажорова О.С., Попов Ю.П. Матричный метод численного решения двумерных уравнений Навье-Стокса. // ДАН СССР, 1981, т.259, № 3.

67. Воеводин А.Ф., Гончарова О.Н. Метод расчета двумерных задач конвекции на основе расщепления по физическим процессам // Вычислительные технологии. 2002. Т. 7. № 1. С. 66-74

68. Самарский А. А. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1977, 656 с.

69. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. 3-е изд. М.: Наука, 1992.

70. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики М.: Научный мир, 2003.

71. Колмычков В.В., Мажорова О.С., Попов Ю.П. К расчету уравнений Навье-Стокса в естественных переменных. М.: Препринт ИПМ №60, 2001.

72. Колмычков В.В., Мажорова О.С., Попов Ю.П. Анализ алгоритмов решения трехмерных уравнений Навье-Стокса в естественных переменных. Дифференциальные уравнения, 2006, т.42, №7. С. 932-942.

73. Колмычков В.В., Мажорова О.С., Попов Ю.П., Федосеев Е.Э. О численном моделировании конвекции Рэлея-Бенара. — М.: Препринт ИПМ №7,2007.

74. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

75. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 612 с.

76. Шеретов Ю.В. Динамика сплошных сред при пространственно-временном осреднении. 2009 г. 400 с.

77. Шеретов Ю.В. Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 2000. 235 с.

78. Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Теоретическое и численное исследование квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений. // ЖВМиМФ, 2001, т. 41, №2, с.239-255.

79. Елизарова Т.Г., Калачинская И.С., Шеретов Ю.В., Широков И.А. Численное моделирование течений электропроводной жидкости во внешнем магнитном поле. // Радиотехника и электроника, 2005, т. 50, №2, с. 245-251.

80. Елизарова Т.Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. М.: Научный мир, 2007. 352с.

81. Елизарова Т.Г., Калачинская И.С., Ключникова А.В., Шеретов Ю.В. Использование квазигидродинамических уравнений для моделирования тепловой конвекции при малых числах Прандтля. // ЖВМиМФ, 1998, т. 38, №10, с.1732-1742.

82. Берд Р., Стюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса. Пер. с англ.- М.: Химия, 1974, 687 с.

83. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1987. 502 с.

84. Arnold J.H. Studies in diffusion: III Unsteady-state vaporization and absorbtion // Trans. A. I. Ch. E. 1944. V. 40. P. 361-378.

85. Kwon K.C., Ibrahim Т.Н., Park Yoon Kook, Simmons C.M. Pseudo-binary molecular diffusion of vapors into air // Advances in Environmental Research 128 2004. V. 8 . P. 667-678.

86. Дильман B.B., Лотхов B.A., Каминский B.A., Липатов Д.А. Испарение бинарных растворов при неустойчивости Рэлея газовой фазе // Журн. физ. химии. 2004. Т. 78. № 12. С. 2284.

87. Лотхов В.А., Дильман В.В., Василевский Д.И., Липатов Д.А. Самоорганизация в процессе нестационарного испарения бинарных растворов в инертные газы. Докл. РАН 2003. Т. 389. №1. С. 1-3.

88. Лотхов В.А., Дильман В.В., Василевский Д.И., Липатов Д.А. Динамика нестационарного испарения бинарных растворов в закрытых системах // Теор. основы хим. технол. 2003. Т. 37. №2. С. 147-152.

89. Найденов В.И., Крутова Н.М. Тепловая неустойчивость испарения // Теор. основы хим. технол., 2003, т.37, №5, с.493-496.

90. Boyadjiev Chr. Non-linear transfer, natural convection and Marangoni effect in gas-liquid systems. 3rd Workshop "Transport Phenomena in two-phase flow", Nessebar, Bulgaria, 1998.

91. Boyadjiev Chr., Boyadjiev B. On the non-stationary evaporation kinetics. I. Mathematical model and experimental data. International Journal of Heat and Mass Transfer. 46. (2003). P. 1679-1685.

92. Boyadjiev В., Boyadjiev Chr. On the non-stationary evaporation kinetics. II. Stability. International Journal of Heat and Mass Transfer. 46. (2003). P. 1687-1692.

93. Дильман B.B., Лотхов B.A., Кулов H.H., Найденов В.И. Неустойчивость Рэлея в газовой фазе при испарении чистых жидкостей// Докл. РАН. 2000. Т.371. №6. С. 781-783.

94. Дильман В.В., Лотхов В.А. Кинетика нестационарного испарения. // ДАН. 2007. Т.416. №4. С. 506-509.

95. Демьянов А.Ю., Иванов Е.Н. Численное моделирование неустойчивых конвективных течений в задачах испарения// ММТТ-19. Т.1. Воронеж: ВГТА, 2006.

96. Вяткин Г.П., Коренченко А.Е., Измайлов Ю.Г. Испарение жидкостей в условиях свободной конвекции// Докл. РАН. 1998. Т.363. №1. С.56-58.

97. Дильман В.В., Лотхов В.А., Каминский В.А., Липатов Д.А. Испарение бинарных растворов при неустойчивости Релея газовой фазе // Журн. физ. химии. 2004. Т.78. №12. С.2284.

98. Дильман В.В., Липатов Д.А., Лотхов В.А., Каминский В.А. Возникновение неустойчивости при нестационарном испарениибинарных растворов в инертный газ // Теорет. основы хим. технологии. 2005. Т.39. №3. С.600.

99. Dondlinger M., Margerit J., Dauby P.C. Weakly nonlinear study of Marangoni instabilities in an evaporating liquid layer // Journal of Colloid and Interface Science, 2005, Vol. 283, p. 522-532

100. Margerit J., Dondlinger M., Dauby P.C. Improved 1.5-sided model for the weakly nonlinear study of Benard-Marangoni instabilities in an evaporating liquid layer // Journal of Colloid and Interface Science 290 (2005) 220-230.

101. Бахвалов H.C., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином, 2006. 636с.

102. Вабищевич П.Н., Макаров М.М., Чуданов В.В., Чурбанов А.Г. Численное моделирование течений в переменных "функция^ тока, вихрь скорости, температура". Препринт №28, Москва, ИММ РАН, 1993.

103. Каминский В.А., Обвинцева Н.Ю., Калачинская И.С., Дильман В.В. Моделирование конвекции Релея в нестационарном процессе испарения //Матем. моделирование. 2007. Т. 19. № И. С. 3-10.

104. Каминский В.А., Обвинцева Н.Ю. Испарение жидкости в условиях конвективной неустойчивости в газовой фазе // Журн. физ. химии. 2008. Т. 82. №7. С. 1368-1373.

105. Обвинцева Н.Ю., Калачинская И.С., Каминский В.А. Моделирование гравитационной конвекции в нестационарном процессе испарения //

106. Математика. Компьютер. Образование". Сб. трудов XIV международной конференции. Пущино. 2007. Том 2. С. 173-178.

107. Обвинцева Н.Ю., Каминский В.А., Калачинская И.С. Моделирование динамических режимов испарения // Сб. тр. МНК ММТТ-20. Т.З. Ярославль: Изд-во Яросл. гос. техн. ун-та, 2007.

108. Обвинцева Н.Ю., Каминский В.А., Калачинская И.С. Моделирование нестационарного процесса испарения в замкнутый объем // Тез. докл. "Дисперсные системы" XXII научная конференция стран СНГ, Одесса. 2006.

109. Физические величины: Справочик/А.П. Бабичев и др.; Под. ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. -М.; Энергоатомиздат, 1991. 1232с.

110. Каминский В.А., Дильман В.В. Влияние стенок на развитие конвективной неустойчивости в вертикальном канале ограниченной высоты // Теор. основы хим. технол., 2007, т.41, №1, с.1-4.

111. Обвинцева Н.Ю., Каминский В.А. Моделирование процесса испарения в условиях естественной и вынужденной конвекции в газовой фазе // Сб. тр. МНК ММТТ-22. Т.З. Псков: Изд-во Псков, гос. политехи, ин-та, 2009.

112. Kaminsky V.A., Obvintseva N.Yu., Kalachinskaya I.S. Numerical simulation of unsteady two-dimensional convection in evaporation process // Modeling of Nonlinear Processes and Systems, Nova Science Publishers, NY, USA, 2009 (IV Quarter), (in press).

113. Каминский В.А., Обвинцева Н.Ю. О режимах испарения бинарных растворов // Теор. основы хим. технол. 2007. Т. 41. № 5. С. 536-542.

114. Обвинцева Н.Ю., Каминский В.А., Калачинская И.С. Моделирование динамических режимов испарения // Сб. тр. МНК ММТТ-20. Т.З. Ярославль: Изд-во Яросл. гос. техн. ун-та, 2007.

115. Дильман В.В., Липатов Д.А., JIotxob В.А., Каминский В.А. Коэффициентконвективной диффузии в газовой фазе при испарении бинарных жидкостей // Теор. основы хим. технол. 2006. Т. 40. № 1. С. 3-6.

116. Жуховицкий А.А., Шварцман Л.А. Физическая химия. М.: «Металлургия». 1976. 544 с.

117. Шьюмон П. Диффузия в твердых телах. Перевод с английского Бокштейна Б.С. // Изд-во "Металлургия", М. 1966.

118. Прикладная математика и информатика: Труды факультета ВМиК МГУим. Ломоносова / Под. ред. Д.П. Костомарова, В.И. Дмитриева. М.: МАКС Пресс, 2003. - № 13. - 129с.