Моделирование и интерпретация характеристик акустического поля в скважине, генерируемого фильтрационным шумом продуктивного пласта тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Мутовкин Никита Владимирович

• Мутовкин Никита Владимирович
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Мутовкин Никита Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования

Степень разработанности темы исследования

Цель работы

Задачи работы

Научная новизна

Теоретическая и практическая значимость работы

Методология и методы исследования

Положения, выносимые на защиту

Степень достоверности и апробация результатов

Публикации

Личный вклад

Структура и объем диссертации

Благодарности

ГЛАВА 1. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В СКВАЖИНЕ, ВЫЗВАННОГО ФИЛЬТРАЦИОННЫМ ШУМОМ В ПЛАСТЕ

1.1 Модели распространения волн в пористой среде

1.2 Математическая постановка задачи

1.2.1 Область моделирования

1.2.2 Определяющие уравнения для пористой среды

1.2.3 Определяющие уравнения для флюида в скважине

1.2.4 Определяющие уравнения для сплошной упругой среды

1.3 Численная реализация задачи моделирования

1.3.1 Разностная схема

1.3.2 Условия на внешней границе и на границе скважина-порода

1.4 Основные параметры моделирования

1.5 Оценка точности численного алгоритма

1.6 Результаты и выводы главы

ГЛАВА 2. ДВУМЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В СКВАЖИНЕ, ВЫЗВАННОГО ФИЛЬТРАЦИОННЫМ ШУМОМ

2.1 Анализ особенностей акустического поля в скважине

2.2 Моделирование газодобывающей скважины

2.3 Результаты моделирования для случая прорыва воды в нефтедобывающую скважину

2.3.1 Влияние ширины зоны притока и слоистости пласта на акустическое поле

2.3.2 Оценка влияния параметров нефтенасыщенных пластов

2.3.3 Влияние фазового состава флюида в скважине на акустическое поле

2.3.4 Влияние конструкции скважины

2.4 Результаты и выводы главы

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ТРЕХМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ

3.1 Математическое описание задачи

3.1.1 Область моделирования

3.1.2 Определяющие уравнения и условия на границах

3.2 Численная реализация решения задачи

3.3 Сравнение результатов расчетов по двумерной и трехмерной моделям

3.4 Исследование случая секторного источника

3.5 Результаты и выводы главы

ГЛАВА 4. ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМА ИНТЕРПРЕТАЦИИ ДАННЫХ ПАССИВНОЙ АКУСТИЧЕСКОЙ ШУМОМЕТРИИ

4.1 Постановка задачи интерпретации

4.2 Описание алгоритма интерпретации

4.2.1 Формирование набора данных акустических полей

4.2.2 Процедура конструирования признаков

4.2.3 Алгоритм машинного обучения

4.3 Сравнение подходов регрессии и классификации

4.3.1 Описание набора данных

4.3.2 Анализ признакового вектора

4.3.3 Результаты интерпретации

4.4 Результаты и выводы главы

ГЛАВА 5. АНАЛИЗ РАЗЛИЧНЫХ АЛГОРИТМОВ МАШИННОГО ОБУЧЕНИЯ ДЛЯ ОЦЕНКИ ФАЗОВОГО СОСТАВА ФЛЮИДА ПО ДАННЫМ СКВАЖИННОЙ ШУМОМЕТРИИ

5.1 Анализ различных алгоритмов машинного обучения

5.1.1 Описание набора данных

5.1.2 Выбор подходящих моделей машинного обучения

5.2 Исследование влияния факторов, затрудняющих интерпретацию шума

5.2.1 Влияние вариации формы спектра источника

5.2.2 Влияние наличия корпуса акустического прибора в скважине

5.3 Проверка точности интерпретации на дополнительном наборе данных

5.4 Результаты и выводы главы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

11РИЛОЖКН И К Л. РАЗНОСТНАЯ СХЕМА

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ВЫБОР РАЗМЕРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

Б.1 Случай заполнения скважины нефтью

Б.2 Случай заполнения скважины газом

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования

Повышение коэффициентов извлечения нефти и газа требует решения многих проблем, одной из которых является взаимодействие пласта со скважиной. Сбор необходимой информации для получения ответов на ряд вопросов, связанных с этой проблемой, осуществляется с помощью промыслово-геофизических методов исследования скважин. В число этих методов входит пассивная акустическая шумометрия, поставляющая результаты измерения естественного широкополосного акустического шума, возбуждаемого, например, фильтрацией флюида через пористую среду в околоскважинной зоне пласта. Последующий спектральный анализ характеристик шумов, вызванных источниками разного типа, позволяет решать такие важные технологические задачи, как выявление заколонных перетоков и определение местоположения работающих интервалов пласта [1,2].

Акустический шум, регистрируемый шумомером, вызван многими причинами, включая и такой источник как течение жидкости или газа в скважине. Следуя [3], можно подразделить спектр шума на несколько частотных интервалов. Поток жидкости в насосно-компрессорной трубе (НКТ) создает акустические колебания с частотой до 100 Гц, фильтрация флюида в трещиноватых средах - в полосе от 100 Гц до 2 кГц, а фильтрация флюида в породах-коллекторах - от 2 до 20 кГц. В начале развития метода шумометрии применялись датчики, позволявшие регистрировать акустический шум в диапазоне частот, не превышающем 10 кГц, в связи с чем акцент был на изучении шума, вызванного течением флюида по стволу скважины или в заколонном пространстве [4,5]. Развитие технической аппаратуры [6-8] позволило регистрировать шум в более широком диапазоне частот, в том числе охватить шум, вызываемый фильтрацией жидкости или газа в пористых средах.

Интерпретация данных пассивной акустической шумометрии с целью определения таких параметров притока флюида в скважину, как его местоположение, фазовый состав, удельный расход, требует изучения многих

процессов: формирование шума в породе, трансформация спектра шума при проникновении в скважину (представляющую собой сложную акустическую систему (резонатор) ввиду наличия элементов заканчивания, наполняющего флюида и приборов каротажа), влияние посторонних шумов (вызванных течением многофазного флюида в скважине, технологическими особенностями измерений и др.).

Важную помощь в анализе указанных процессов и последующем создании методики интерпретации результатов шумометрии может оказать моделирование путем решения соответствующих прямых задач [1].

Таким образом, для решения некоторых из обозначенных проблем существует необходимость создания, во-первых, математической модели для детального исследования акустического поля в скважине, вызванного фильтрацией флюида в околоскважинной пластовой зоне, и, во-вторых, подходов к интерпретации данных шумомера с учетом наблюдаемой сложной трансформации акустического сигнала по пути от источника к гидрофону. Эти задачи и рассматриваются в данной работе.

Степень разработанности темы исследования

Применить методы, основанные на регистрации акустического шума в скважинах при помощи шумомера, для обнаружения утечек в обсадной колонне, было предложено еще в 1955 г. в работе Enright [9].

В 1973 году МакКинли в работе [5] описал усовершенствованный метод пассивной скважинной шумометрии, позволивший обнаруживать утечки в обсадной колонне. Позже скважинная шумометрия была рассмотрена в приложении к оценке притока газа или жидкости через перфорации в обсадной колонне, через каналы, а также для определения местоположение заколонных перетоков [4,10-12].

Известно, что распространение акустических колебаний в цилиндрической скважине часто сопровождается явлениями резонанса [13]. В скважинной акустике это один из хорошо известных эффектов. К примеру, он используется для усиления слабого сигнала от продольной, поперечной или волны Стоунли

пришедших из породы, изначально возбудив излучателем сигнал на резонансной частоте [14]. Иное применение описано в [15], где предложен метод определения коэффициента проницаемости на основе его сильной связи с разницей скоростей на интерфейсе пористой среды и скважины на резонансных частотах.

Для простых конфигураций положение резонансных частот в спектре возможно оценить теоретически, решая уравнение Гельмгольца для цилиндрической скважины с абсолютно жесткой стенкой [16].

Тем не менее, в литературе посвященной пассивной акустике эффекты, связанные с наличием скважинных резонансов в спектрах зарегистрированных сигналов, не обсуждаются несмотря на то, что их проявление весьма заметно. Их появление может привести к ошибочной интерпретации природы регистрируемого шума.

Предпринятое в работе исследование, основанное на использовании современных достижений математического моделирования в сочетании с подходами машинного обучения, является по сути первым вкладом такого рода в обозначенную тему.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и интерпретация характеристик акустического поля в скважине, генерируемого фильтрационным шумом продуктивного пласта»

Цель работы

Разработка и применение методов численного моделирования и машинного обучения для интерпретации данных пассивной акустической скважинной шумометрии при решении задач определения местоположения зоны притока и оценки изменения фазового состава скважинного флюида.

Задачи работы

Для достижения поставленной цели формулируются следующие задачи:

1. Построение математической и численной модели для исследования акустического поля в скважине, генерируемого фильтрационным шумом в продуктивном пласте.

2. Проведение вычислительных экспериментов и анализ их результатов для выявления физических параметров модели, существенно влияющих на формирование акустического поля в скважине.

3. Разработка алгоритма интерпретации данных шумометрии на основе методов машинного обучения с использованием обучающих наборов данных, сформированных численным моделированием.

4. Создание программного комплекса, реализующего предложенный алгоритм интерпретации акустического шума, регистрируемого в точках расположения гидрофонов.

5. Исследование точности разработанного подхода интерпретации путем проведения массовых расчетов на тестовых наборах данных при различных вариантах а) конструкции скважины, б) проведения измерений (включая искажения сигнала), в) фазового состава флюида, г) конфигурации и свойств примыкающих пластов.

Научная новизна

Впервые построены математическая и численная модели для исследования акустического поля в скважине, возбуждаемого шумом притока из пласта, учитывающие различные варианты конструкции скважины, наличия шумомера, изменения фазового состава флюида, конфигурации и свойств пластов.

Впервые на основе проведенных вычислительных экспериментов и анализа их результатов для примеров нефтяной и газовой скважин выявлены зависимости резонансных мод пространственно-частотных характеристик сигнала, измеряемого шумомером, от строения и свойств пласта и от типа флюида, заполняющего скважину.

Впервые в рамках задачи интерпретации данных пассивной акустической шумометрии разработан подход оценки изменения фазового состава скважинного флюида в зоне притока, учитывающий наличие и преобладающий вклад радиальных резонансных мод пространственно-частотных характеристик в измеряемый сигнал.

Теоретическая и практическая значимость работы

Разработаны математическая и численная модели исследования акустических полей в скважине, возникающих от шума флюида в зоне притока. Изучены

скважинные резонансные эффекты усиления регистрируемого шумомером сигнала и выявлены основные параметры модели, влияющие на них.

Практическая значимость работы состоит в разработке метода оценки изменения фазового состава флюида на основе учета указанных резонансных эффектов и дальнейшем развитии предложенного подхода в применении к задачам интерпретации реальных данных пассивной акустической шумометрии.

Методология и методы исследования

Анализ характеристик акустического поля в скважине, возбуждаемого притоком флюида, в зависимости от параметров скважины, флюида и околоскважинной зоны пласта основан на методологии математического моделирования. Для этого построена модель, учитывающая основную физику рассматриваемого явления, и численно решены соответствующие начально -краевые задачи на основе:

1. Конечно-разностного метода в двумерной постановке при наличии вращательной симметрии.

2. Метод спектральных элементов в трехмерной постановке.

Решение задачи интерпретации данных шумомера для оценки фазового состава скважинного флюида основано на методах машинного обучения с учителем.

Положения, выносимые на защиту

1. Построена математическая модель для исследования акустического поля в скважине, вызванного шумом от притока флюида, учитывающая различные варианты а) конструкции скважины (открытый ствол, обсадная колонна, хвостовик), б) параметров формации (пластовая структура, упругие среды, пороупругие среды с различной проницаемостью и сцементированностью), в) параметров скважинного флюида (смеси нефти, воды и газа), г) параметров шумомера.

2. Разработаны алгоритмы численного расчета нестационарного акустического поля по данной модели на основе двумерной конечно-

разностной схемы в приближении вращательной симметрии и на основе трехмерного метода спектральных элементов. Конечно-разностный алгоритм реализован на основе предоставленной компанией Шлюмберже программы на Fortran, в которую были внесены необходимые изменения с целью построения рассматриваемых в исследовании типов источников, геометрии, сеток, организации ввода/вывода для формирования данных для машинного обучения. Второй алгоритм реализован на основе открытого кода SPECFEM3D Cartesian на Fortran, который был дополнен модулями для формирования геометрии, сеток, и источников с необходимыми для исследований параметрами.

3. На основе многочисленных расчетов акустического поля по двумерному конечно-разностному алгоритму обнаружен и исследован эффект резкого усиления регистрируемого в скважине сигнала на дискретных интервалах частот, соответствующих радиальным резонансным модам скважины. Выявлены параметры пластов и конструкции скважин, существенно влияющие на характер усиления и распространения по стволу сигнала на этих частотах. Установлена прямая зависимость интервалов резонансных частот от фазового состава флюида в скважине. Обнаружена устойчивая локализация радиальных резонансных мод в зоне источника шума для нефтяных скважин, что позволяет хорошо идентифицировать местоположение притока. В то же время для газовых скважин наблюдается кратное увеличение протяженности зоны резонанса по стволу. Проверочные расчеты по трехмерной модели на основе метода спектральных элементов подтвердили точность двумерной модели, и, главное, формирование одинаковой резонансной структуры спектра вдоль оси скважины при возбуждении шума как кольцевым, так и секторным источником (аналог перфорационного отверстия).

4. Разработан алгоритм интерпретации акустических сигналов, замеряемых шумомером на основе методов машинного обучения для оценки изменения фазового состава флюида в нефтяной скважине. Создан

программный комплекс на языке Python, реализующий а) проведение массовых расчетов прямого моделирования конечно-разностным кодом (написанным на Fortran) для формирования обучающих наборов данных, б) визуализацию результатов моделирования для анализа акустических полей, в) построение модели предсказания фазового состава флюида на основе применения ряда алгоритмов машинного обучения (регрессия, решающие деревья, нейронные сети и др.), г) использование этой модели для интерпретации данных шумомера.

5. На многочисленных тестах для смоделированных акустических полей показано, что, в зависимости от величины отклонения тестовых параметров от параметров обучающего множества и от амплитуды постороннего шума, добавляемого в сигнал, предложенная модель интерпретации данных шумомера в нефтяной скважине предсказывает фазовый состав флюида с ошибкой от одного до четырех процентов в зоне притока (где наблюдаются сильные резонансы) и с примерно в три раза большей ошибкой до зоны притока (где интенсивность резонансов ослабевает).

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным проведением теоретических и численных исследований с использованием методов математического моделирования и применением общепринятых подходов для верификации построенных алгоритмов.

Результаты работы обсуждались и докладывались на семинарах Московского научно-исследовательского центра Шлюмберже, кафедры информатики и вычислительной математики МФТИ, а также на следующих научных конференциях:

1. Международные научные конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2017» и «Ломоносов-2019», Москва, 2017, 2019.

2. 60-я, 61-я и 62-я научные конференция МФТИ, Долгопрудный, 20172019.

3. 72-я международная молодежная научная конференция «Нефть и газ - 2018», Москва, 2018.

4. XXII Всероссийская научная конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики», посвященная памяти К.И. Бабенко, Абрау-Дюрсо, 2018.

5. 20-я юбилейная научно-практическая конференция по вопросам геологоразведки и разработки месторождений нефти и газа «Геомодель 2018», Геленджик, 2018.

6. Российская нефтегазовая техническая конференция SPE, Москва, 2019.

Публикации

Основные результаты по теме диссертационного исследования опубликованы в пяти научных работах, из которых две ([17,18]) - в изданиях, индексируемых системой Scopus, две ([19,20]) - в изданиях, индексируемых системой RSCI, одна ([21]) - в издании, входящем в список ВАК.

Личный вклад

Личный вклад автора заключается в: работе по построению математической модели для исследования акустического поля в скважине (формулы для источника шума в правой части определяющих уравнений, учет особенностей конструкции скважины и наличия корпуса шумомера в модели); построении численных моделей путем модификации исходного двумерного конечно-разностного алгоритма (разработанного в Шлюмберже для других приложений) и трехмерного алгоритма метода спектральных элементов (открытый код SPECFEM3D) для задач, рассматриваемых в исследовании; проведении численных экспериментов, анализе и обработке их результатов; работе по разработке алгоритма интерпретации акустического шума (выбор моделей

машинного обучения и их параметров); программной реализации алгоритма интерпретации и анализе его точности.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы из 64 наименований и двух приложений. Общий объем диссертации составляет 124 страницы с 45 рисунками и 13 таблицами.

Благодарности

Автор прежде всего выражает благодарность своему научному руководителю И.Л. Софронову за постановки задач и плодотворные дискуссии, мотивировавшие автора к активной работе над диссертацией, а также за неоценимую помощь в процессе проведения исследования. Также автор благодарит Д.Н. Михайлова за помощь и поддержку по ходу всех этапов работы над диссертацией.

ГЛАВА 1. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В СКВАЖИНЕ, ВЫЗВАННОГО ФИЛЬТРАЦИОННЫМ ШУМОМ В ПЛАСТЕ

В данной главе диссертации описано построение модели для исследования акустического поля в скважине, порождаемого шумом от фильтрации жидкости или газа через пористую среду в околоскважинной зоне пласта.

Но, прежде чем перейти к основному вопросу, опишем кратко механизмы генерации акустического фильтрационного шума. Они являются предметом оживленной дискуссии в литературе в последние несколько десятилетий. На настоящий момент предлагается несколько возможных механизмов.

Одна из возможных гипотез - это формирование и осцилляция микровихрей в поровом пространстве при переходе течения фильтрационного потока из режима Дарси в режим Форчхаймера. В [22] источники данного типа выявлены на основе уравнений динамики насыщенных пористых сред. В работах [23-25] описаны лабораторные эксперименты, подтверждающие, что при высоких скоростях фильтрации начинается отклонение от линейного закона Дарси к нелинейному закону фильтрации Форчхаймера, сопровождающееся генерацией шума.

Другое возможное объяснение процесса генерации фильтрационного шума дано в [26,27]. Авторами предполагается, что источником колебаний являются самосогласованные колебания частиц жидкости и зерен скелета в потоке.

Процессы, протекающие при вытеснении в пористой среде одного флюида другим, также могут служить возможным объяснением излучения звука. В частности, генерация шума объясняется скачками капиллярного давления в пористой среде при вытеснении [28-32], а также мобилизацией и движением остаточной фазы в порах [33]. Спектр фильтрационного шума характеризуется литологией пласта, вследствие этого для каждого образца породы свойственна своя амплитудно-частотная характеристика [26].

Экспериментальные данные показывают, что характерные частоты для генерируемого при фильтрационном течении в пористых средах шума лежат в

диапазоне от 2 до 20 кГц [24,26,28,31,34,35], а его интенсивность зависит степенным образом от скорости фильтрации флюида [36-39].

1.1 Модели распространения волн в пористой среде

Для описания распространения волн в пористых средах существует несколько моделей. Механизм деформации пористых сред, насыщенных флюидом изложил Терцаги в работе [40], где изучалась задача одномерного плоского сжатия водонасыщенного грунта. В частности, было введено понятие эффективного напряжения. В нижеследующем изложении мы следуем работе [41].

Чтобы получить соотношение между прикладываемым напряжением и результирующей деформацией образца пористой среды проводятся лабораторные эксперименты, в которых образец подвергается, например, трехосному напряжению.

Полное напряжение Г^, приложенное к произвольному поперечному сечению образца пористой среды складывается (Рис. 1.1) из истинных напряжений о^, действующих на скелет породы и давления в порах Р:

Гц = (1- Ф)°ц - (рР8ц,

где р - коэффициент пористости среды.

В лабораторных экспериментах непосредственно могут быть измерены только величины Гу, Р и тензор деформаций скелета е^. Поэтому, так как истинные напряжения о^ не могут быть измерены, вводится тензор эффективных

напряжений о{- :

о?/ = ГИ + Р8ц = (1- р)(оц + Рбц).

Данный тензор интерпретируется как та часть истинного тензора напряжений, которая отвечает за передачу импульса через контакты между зернами скелета и, как следствие, определяет его деформацию. Далее, под тензором напряжений будет подразумеваться именно тензор эффективных напряжений и для удобства индекс eff будет опускаться.

Одна из моделей пористых сред основана на уравнениях Гассмана [42] и описывает упругие характеристики пористой среды, состоящей из твердой и жидкой фазы. При этом вывод уравнений происходит в предположении, что среда представляет собой однородный изотропный материал, который при нагрузке ведет себя как пористая среда. Соответственно, в модели вводятся эффективные упругие модули среды для насыщенной и ненасыщенной породы; упругие модули материала, из которого состоит порода; свойства флюида, насыщающего породу, а также коэффициент пористости.

Рис. 1. 1 Схема распределения напряжений в насыщенной пористой среде (адаптировано из

[41])

Среди основных ограничений применения модели Гассмана выделяют [43] то, что порода и насыщающий ее флюида движутся вместе и не учитывается вязкое взаимодействие между ними. Также накладывается ограничение на частотный диапазон, в рамках которого данная модель хорошо объясняет поведение волн в пористой среде. Лучше всего она работает [43] на частотах до 100 Гц, но при достижении типичных для рассматриваемой задачи частот (от 2 кГц до 20 кГц) ее точность падает.

В 1956 году была предложена система уравнений Био, описывающая поведение и распространение волн в насыщенной пористой среде [41,44-46]. Среди её основных отличий от модели сплошной упругой среды выделяются следующие:

• Каждый элементарный объем среды состоит из двух сжимаемых фаз -скелет горной породы и насыщающий ее флюид

• В среде могут распространяться продольные волны двух типов (одна -быстрая, другая - медленная) и поперечные волны

Деформация скелета в модели Био предполагается упругой и характеризуется отдельным материальным уравнением. Модель учитывает вязкое взаимодействие между зернами скелета и насыщающим флюидом.

В силу того, что модель Био описывает достаточно широкий класс явлений, происходящих при распространении волн в пористой среде, она была взята за основу для исследования акустических сигналов в скважине, вызванных фильтрацией флюида в породе.

1.2 Математическая постановка задачи

1.2.1 Область моделирования

В качестве основной модели для исследования акустического поля в скважине рассматривается задача в двумерной осесимметричной постановке в цилиндрической системе координат (г, г). Область моделирования П = {0 < г < гтах, |г| < Ь/2] включает в себя цилиндрическую скважину и примыкающую к ней околоскважинную зону пласта (Рис. 1.2). Радиус скважины задается величиной В общем случае скважина заполнена жидкостью или газом, порода может состоять из нескольких пластов вдоль оси z.

Предполагается, что в некоторых пластах происходит фильтрация флюида через пористую среду со скоростью фильтрации достаточно высокой для генерации шума. В них имитируются объемные источники акустического шума с некоторыми заданными амплитудой и спектром. В тех пластах, в которых скорость фильтрации мала по сравнению с остальными, генерацией шума пренебрегается.

Рис. 1.2 Геометрия модели скважины в двумерной постановке (r-z) при наличии вращательной симметрии для скважины с открытым стволом

Также геометрия может учитывать различные типы заканчивания и особенности конструкции скважины. Скважина может быть с открытым стволом (Рис. 1.3, слева), либо с обсаженным стволом (Рис. 1.3, посередине), либо включать незацементированный хвостовик (Рис. 1.3, справа).

В случае обсаженной скважины в конфигурации появляются обсадная колонна (casing) и цементное кольцо с толщинами Arcas и Arcem соответственно. Внутренний радиус колонны обозначается посредством rcas.

Для варианта с хвостовиком (liner) обсадная колонна и цементное кольцо протянуты не по всей длине скважины. Некоторые геометрические параметры

имеют другие значения по сравнению с остальными вариантами конструкции скважины (будет оговорено далее). Внутренний радиус хвостовика и его толщина обозначаются как гИп и ДгИп.

Основной задачей является исследование периодического по времени акустического поля и его спектральных характеристик на оси скважины, где происходит регистрация сигнала.

Рис. 1.3 Варианты конструкции скважины: слева - скважина с открытым стволом, посередине - скважина с обсаженным стволом, справа - скважина с незацементированным

хвостовиком

1.2.2 Определяющие уравнения для пористой среды

Для описания распространения волн в пористой среде используется линеаризованная система уравнений модели Био. Пористая среда считается изотропной и изотермической. Система включает в себя уравнение связи между тензором эффективных напряжений и тензором деформаций, выведенное из закона Гука. К этому уравнению добавляются линеаризованные уравнения неразрывности для твердой и жидкой фазы, уравнения на импульс для твердой и жидкой фазы.

За основу взята система уравнений относительно неизвестных у^ ш, а, р,

записанная в следующей форме [47]: г 9у5

р-5Г + р'эТ —7.а = Fs''c

9р 1 1 — У , \ /

_ + _7.№ + __7.У8 = 0

9а /1 — у ( (1 — у)2\ \

— — —с(7®у5 + (7®у5)г) = 0

где I - время, ш = ф0(уу — у5); у5 - скорость смещения частиц скелета; Уу - скорость смещения частиц флюида; - стационарное значение

коэффициента пористости; « 3 - эмпирический коэффициент [48]; р - малое отклонение от стационарного значения давления флюида в порах; а - малое отклонение от стационарного значения тензора эффективных напряжений; Ру - стационарное значение плотности флюида; р5 - стационарное значение плотности материала скелета породы; и - модули всестороннего сжатия порового флюида и материала скелета соответственно; р = (1 — ^0)р5 + ^0Р/; Р = + (1 — — у)Р5; Ру = 1/^/; Р5 = ; - модуль сдвига материала скелета; Л = К — 26/3; К = ; £ = ; Л и параметры Ламе для насыщенной пористой среды; % - коэффициент сцементированности пористой среды.

Величины ф0, , ру, р5, Р, Ру, Р5, , , у, Л, К, £, считаются кусочно-постоянными с разрывами на границах между пластами с различными свойствами, а также на границе со скважиной. Под стационарными значениями подразумеваются значения величин, соответствующих начальному стационарному состоянию, относительно которого была проведена линеаризация уравнений в системе (1.1).

Правая часть во втором уравнении системы Р^ отвечает за вязкое взаимодействие между скелетом породы и насыщающим флюидом. Для модели

Био в низкочастотном приближении данное слагаемое может быть записано в виде:

^ атргМды

Ffr =--1-----—, (12)

1Г к дt

где ^ - вязкость насыщающего флюида, к - проницаемость породы,

М« 1 - параметр, зависящий от геометрии пор [49]. Под низкочастотным

приближением подразумевается, что частоты распространяющихся волн много

меньше частоты Био:

_ ЛФо

атргк' (13)

Более общая формула для вязкого взаимодействия может быть найдена в [47,49].

В правую часть в первом уравнении системы добавлен источниковый член Р^, имитирующий генерацию шума, вызванного фильтрацией флюида в пористой среде.

Как упоминалось в начале главы, преобладающий механизм генерации фильтрационного шума может зависеть от структуры пористой среды и характера фильтрационного потока. В рамках излагаемой модели мы полагаем, что фильтрационный шум вызван колебаниями твердых частиц среды [26,27], и поэтому источник принадлежит к дипольному типу и действует на твердую компоненту пористой среды.

Источник предполагается объемным с постоянной амплитудой по 2. По мере удаления от скважины амплитуда источника убывает как г-3 в силу падения скорости фильтрации с учетом особенности цилиндрической системы координат. На некотором расстоянии Лг5 (Рис. 1.2) от скважины амплитуда источника задается равной нулю. Таким образом, формула для источникового члена представляется в виде:

/V \ з

Fsrc(Г, г, 0 = (у) 5(0ег, < г < + Аг31 И < Я/2. (14)

Здесь, 5( - сигнал, генерируемый источником, Я - толщина зоны источника шума по г, ег - единичный радиальный вектор цилиндрической системы координат, задающий выбранное нами направление действия силового источника (для определенности, но без потери общности).

В скважине для моделирования распространения волн используется линеаризованная система уравнений акустики. Формальный переход от системы уравнений (1.1) к системе уравнений акустики можно осуществить рассматривая флюид как среду с к/ = к5, р5 = р/ и = 0. Сжимаемость среды при этом Р = 1/к/. В результате коэффициенты у, Л, 6 и К обнуляются и, при допущении, что в данной среде источник отсутствует, система может быть сведена к двум уравнениям:

где ру - малое отклонение от стационарного значения давления флюида в скважине (далее - акустическое давление), У/ - скорость смещения частиц флюида в скважине, к/ = 1/Р/. Скорость звука в этой среде рассчитывается по

Если скважина заполнена двумя флюидами, например, нефть и вода, то мы применяем модель однородной смеси. Для расчета свойств такого однородного флюида используются эмпирические зависимости [50]:

где индекс т соответствует смеси, а индексы Л, В - двум флюидам, р - плотность флюида, Р = 1/к - сжимаемость флюида, к - модуль сжатия флюида, уд и ув = 1 — - объемные доли флюидов.

1.2.3 Определяющие уравнения для флюида в скважине

формуле с = ук/Тр/.

рш = Хдрд + уВрВ . Рш = ХдРд + УвРв.

(1.6)

1.2.4 Определяющие уравнения для сплошной упругой среды

Обсадная колонна, цемент и хвостовик рассматриваются как сплошные упругие среды. Также, в ряде ситуаций порода может быть рассмотрена как сплошная среда с усредненными упругими свойствами. В этих случаях распространение волн в породе моделируется при помощи уравнений линейной упругости.

Формальный переход в таких средах от системы (1.1) к системе уравнений линейной упругости происходит при умножении второго уравнения системы на а третьего - на х- Далее, <р0 устремляется к 0, а х к 1. После этого предельного перехода получается система следующего вида:

где р5 - плотность упругой среды, у5 - скорость смещения частиц упругой среды, ст - малое отклонение от стационарного значения тензора напряжений упругой среды; Л и - параметры Ламе для упругой среды. Источниковый член Р;гс записывается согласно (1.4). Он присутствует только в тех средах, где генерируется фильтрационный шум.

При решении двумерной задачи моделирования применяется метод, основанный на конечно-разностной схеме [47] на разнесенной сетке (см. подробное описание разностной схемы в Приложении А). Эта схема является консервативной, имеет второй порядок аппроксимации по времени, второй порядок аппроксимации по пространству внутри областей, но первый порядок аппроксимации на интерфейсах между областями.

В компании Шлюмберже имеется код, написанный на языке Фортран, реализующий данную схему. Автором была произведена модификация алгоритма и кода в ряде модулей для численного моделирования рассматриваемых в

1.3 Численная реализация задачи моделирования

1.3.1 Разностная схема

исследовании задач. В частности, в разностную схему добавлен объемный источник, имитирующий фильтрационный шум в породе в соответствии с (1.4), в препроцессор добавлено формирование необходимых элементов геометрии задачи и построение адаптивной сетки для учета расположения шумомера, в постпроцессор добавлены операции вывода результатов решения, формирующих данные гидрофона.

Объемный источник необходим в первом уравнении системы (1.1). Соответствующее разностное представление для, например, радиальной компоненты выглядит следующим образом (ср. Приложение А, уравнение (А.2)):

(Р/)тД + 1/2^т,й+1/2 + (Р/)тД + 1/2+ + 02°т,Л + 1/2 - ^£+1/2 (1.8)

Здесь, Щ£+1/2 - ^гег(гт, ^+1/2, ^+1/2), где Fsrcr - функция, определяющаяся согласно (1.4), а индексы т и к пробегают такие значения, чтобы сеточные узлы принадлежали области объемного источника.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мутовкин Никита Владимирович, 2020 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ипатов А.И., Кременецкий М.И. Геофизический и гидродинамический контроль разработки месторождений углеводородов. М: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика, 2006.

2. Марфин Е.А. et al. Исследование спектров фильтрационных шумов // Учен. зап. физ. фак-та Моск. ун-та. 2014. Т. 6. С. 146316.

3. Овчинников М.Н., Каримов Ф.Ф., Николаев А.С. Акустический контроль гидродинамических потоков в скважинах // Георесурсы. 2001. № 1.

С. 31-33.

4. Коротаев Ю.П., Ширковский А.И. Добыча, транспорт и подземное хранение газа. М: Недра, 1984.

5. McKinley R.M., Bower F.M., Rumble R.C. The structure and interpretation of noise from flow behind cemented casing // J. Pet. Technol. 1973. Vol. 25, N. 3. P. 329-338.

6. Ипатов А.И. et al. Апробация метода анализа амплитудно-частотных спектров сигналов акустического и электромагнитного шума при оценке фильтрации флюидов в породах // НТВ Каротажник. 2004. № 122.

C. 51-66.

7. Ipatov A.I. et al. Multiphase Inflow Quantification for Horizontal Wells Based on High-Sensitivity Spectral Noise Logging and Temperature Modelling // SPE Russian Petroleum Technology Conference. SPE-181984-MS. 2016.

8. Ghalem S. et al. Innovative Noise and High-Precision Temperature Logging Tool for Diagnosing Complex Well Problems // Abu Dhabi International Petroleum Exhibition & Conference. SPE 161712. 2012.

9. Enright R.J. Sleuth for Down-Hole Leaks // Oil Gas J. 1955. Vol. 28. P. 78-79.

10. McKinley R.M., Bower F.M. Specialized Applications of Noise Logging // J. Pet. Technol. 1979. Vol. 31, N. 11. P. 1387-1395.

11. Robinson W.S. Field Results From the Noise-Logging Technique // J. Pet. Technol. 1976. Vol. 28, N. 11. P. 1370-1376.

12. Hill A.D. Production Logging - Theoretical and Interpretive Elements. 1990.

13. Medlin W.L. Frequency effects in acoustic logging // SPE Form. Eval. 1989. Vol. 4, N. 4. P. 497-504.

14. Medlin W.L., Schmitt D.P. Acoustic logging based on wellbore resonance // SPE Form. Eval. 1996. Vol. 11, N. 2. P. 80-88.

15. Dorovsky V.N. et al. A resonance method for measuring permeability // Russ. Geol. Geophys. Elsevier B.V., 2011. Vol. 52, N. 7. P. 745-752.

16. Kaufman A.., Levshin A.L. Acoustic and elastic wave fields in geophysics: III, Vol. 32. 2005.

17. Mutovkin N.V., Mikhailov D.N., Sofronov I.L. Analysis of Modeling of Acoustic Fields Excited by the Flow Noise in the Formation Inflow Zones // Geomodel 2018 - 20th Conference on Oil and Gas Geological Exploration and Development. 2018.

18. Mutovkin N., Mikhailov D., Sofronov I. Estimation of Fluid Phase Composition Variation Along the Wellbore by Analyzing Passive Acoustic Logging Data // SPE Russian Petroleum Technology Conference. SPE-19684-MS. 2019.

19. Мутовкин Н.В., Михайлов Д.Н., Софронов И.Л. Трехмерное моделирование акустического поля в скважине, возбуждаемого источником в пласте // Труды МФТИ. 2020. Т. 12, № 1. С. 143-153.

20. Мутовкин Н.В., Михайлов Д.Н., Софронов И.Л. Моделирование акустических полей, генерируемых фильтрационным потоком в околоскважинной зоне // Математическое моделирование. 2019. Vol. 31, № 6. С. 95-106. (Перевод на английский язык: Mutovkin N.V., Mikhailov D.N., Sofronov I.L. Modeling acoustic fields, induced by the flow noise in the near-wellbore zone // Mathematical models and Computer Simulations. 2020. Vol. 12, N. 1, P. 70-76.)

21. Мутовкин Н.В. Анализ подходов машинного обучения для интерпретации акустических полей, полученных моделированием данных скважинной шумометрии // Известия высших учебных заведений. Геология и разведка. 2019. № 6. С. 73-79.

22. Афанасьев Е.Ф., Грдзелова К.Л., Плющев Д.В. Об источниках генерации звука в насыщенных флюидом пористых средах // Доклады Ак. Наук СССР. 1987. Vol. 293, № 3. С. 554-557.

23. Коротаев Ю.П. Акустико-гидродинамический метод исследований пористых сред и скважин // Газовая промышленность. 2001. № 8. С. 15-18.

24. Красновидов Е.Ю. Создание методики акустико-гидродинамических исследований пористых сред и скважин. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Москва, 2005.

25. Sergeev S.I., Ryzhikov N.I., Mikhailov D.N. Laboratory investigation of sound induced by gas flow in porous media // J. Pet. Sci. Eng. 2019. Vol. 172.

P. 654-661.

26. Николаев С.А., Овчинников М.Н. Генерация звука фильтрационным потоком в пористых средах // Акустический журнал. 1992. Т. 38, № 1. С. 114-118.

27. Овчинников М.Н. Реологические модели и эволюция физических полей в

подземной гидросфере. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математичечких наук. Казань, 2004.

28. DiCarlo D.A., Cidoncha J.I.G., Hickey C. Acoustic measurements of pore-scale displacements // Geophys. Res. Lett. 2003. Vol. 30, N. 17.

29. Moebius F., Canone D., Or D. Characteristics of acoustic emissions induced by fluid front displacement in porous media // Water Resour. Res. 2012. Vol. 48, N. 11. P. 1-12.

30. Sygouni V., Tsakiroglou C.D., Payatakes A.C. Capillary pressure spectrometry: Toward a new method for the measurement of the fractional wettability of porous media // Phys. Fluids. 2006. Vol. 18, N. 5.

31. Grapsas N., Shokri N. Acoustic characteristics of fluid interface displacement in drying porous media // Int. J. Multiph. Flow. Elsevier Ltd, 2014. Vol. 62. P. 30-36.

32. Mikhailov D., Sergeev S. Investigation Parameters for Sound Induced by Fluid Displacement in Rock Samples // Water Resour. Res. 2019. Vol. 55, N. 5.

P. 4220-4232.

33. Заславский Ю.М. К теории акустической эмиссии при фильтрации газа частично флюидонасыщенной средой // Техническая акустика. 2005. Т. 5, № 5.

34. Marfin E.A., Abdrashitov A.A., Metelev I.S. Spectral Characteristics of Acoustic Emission in Porous Media // Engineering Geophysics. 2017. P. 24-28.

35. Метелёв И.С., Марфин Е.А., Гайфутдинов Р.Р. Применение спектральной шумометрии при исследовании физических свойств коллекторов нефти и газа // 12-ая научно-практическая конференция и выставка «Инженерная геофизика 2016». 2016.

36. Chen K., Zhu D., Hill A.D. Acoustic Signature of Flow From a Fractured Wellbore // SPE Annual Technical Conference and Exhibition. SPE-174877-MS. 2015.

37. Marfin E.A., Gaifutdinov R.R., Metelev I.S. Investigation of the Intensity of Acoustic Emission During Gas Filtration Through Porous Media // Geomodel 2018 - 20th Conf. Oil Gas Geol. Explor. Dev. 2018.

38. Martinez R. et al. Laboratory Investigation of Acoustic Behavior for Flow from Fracture to a Wellbore // SPE Annual Technical Conference and Exhibition. SPE-170788-MS. 2014.

39. Martinez R., Hill A.D., Zhu D. Diagnosis of Fracture Flow Conditions With Acoustic Sensing // SPE Hydraulic Fracturing Technology Conference. SPE 168601. 2014.

40. Terzaghi K. Theoretical Soil Mechanics. 1943.

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

Николаевский В.Н. et al. Механика насыщенных пористых сред. М: Недра, 1970.

Gassmann F. Uber die elastizitat poroser medien // Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft Zurich. 1951. Vol. 96. P. 1-23.

Mavko G., Mukerji T., Dvorkin J. The Rock Physics Handbook. 2009.

Biot M.A. Theory of Propagation of Elastic Waves in a Fluid-Saturated Porous Solid. I. Low-Frequency Range // J. Acoust. Soc. Am. 1956. Vol. 28, N. 2. P. 168-178.

Biot M.A. Theory of Propagation of Elastic Waves in a Fluid Saturated Porous Solid. II. Higher Frequency Range // J. Acoust. Soc. Am. 1956. Vol. 28, N. 2. P. 179-191.

Biot M.A. Generalized Theory of Acoustic Propagation in Porous Dissipative Media // J. Acoust. Soc. Am. 1962. Vol. 34, N. 5. P. 1254-1264.

Plyushchenkov B.D., Turchaninov V.I. Acoustic Logging Modeling by Refined Biot's Equations // Int. J. Mod. Phys. C. 2000. Vol. 11, N. 2. P. 365-397.

Johnson D.L. Probing porous media with first and second sound. 1. Dynamic permeability. 1994. Vol. 10, N. 1. P. 104-114.

Johnson D.L., Koplik J., Dashen R. Theory of dynamic permeability and tortuosity in fluid saturated porous media // J. Fluid Mech. 1987. Vol. 176. P. 379-402.

Batzle M., Wang Z. Seismic properties of pore fluids // Geophysics. 1992. Vol. 57, N. 11. P. 1396-1408.

Liu H.-L., Johnson D.L. Effects of an elastic membrane on tube waves in permeable formations // J. Acoust. Soc. Am. 1997. Vol. 101, N. 6. P. 3322-3329.

Rosenbaum J.H. Synthetic microseismograms; logging in porous formations // Geophysics. 1974. Vol. 39, N. 1. P. 14-32.

Исакович М.А. Общая акустика. М: Наука, 1973.

Clayton R., Engquist B. Absorbing boundary conditions for acoustic and elastic wave equations // Bull. Seismol. Soc. Am. 1977. Vol. 67, N. 6. P. 1529-1540.

Komatitsch D., Tromp J. Introduction to the spectral element method for three-dimensional seismic wave propagation // Geophys. J. Int. 1999. Vol. 139. P. 806-822.

Komatitsch D., Vilotte J.-P., Tromp J. SPECFEM3D Cartesian v2.0.2 [software] [Electronic resource] // Computational Infrastructure for Geodynamics. 2012. URL: https://geodynamics.org/cig/software/specfem3d/ (accessed: 06.03.2020).

57. Komatitsch D., Barnes C., Tromp J. Wave propagation near a fluid-solid interface: A spectral-element approach // Geophysics. 2000. Vol. 65, N. 2. P. 623-631.

58. Pedregosa F. et al. Scikit-learn: Machine Learning in Python // J. Mach. Learn. Res. 2011. Vol. 12. P. 2825-2830.

59. Ромм Е.С. Структурные модели порового пространства горных пород. Л.: Недра, 1985.

60. Dullien F.A.L. Porous media: fluid transport and pore sturcture. 2nd ed. Academic Press, 1991.

61. Hastie T., Tibshirani R., Friedman J. The elements of statistical learning: data mining, inference, and prediction // Springer Series in Statistics. 2009.

62. Bishop P. Pattern Recognition and Machine Learning // Springer, Heidelberg. 2006.

63. Ballmann J., Britten G., Sofronov I. Time-Accurate Inlet and Outlet Conditions for Unsteady Transonic Channel Flow // AIAA J. American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2002. Vol. 40, N. 9. P. 1745-1754.

64. Софронов И.Л. О применении прозрачных граничных условий в задачах аэроакустики // Математическое моделирование. 2007. Т. 19, № 8.

С. 105-112.

ПРИЛОЖЕНИИ Д. РАЗНОСТНАЯ СХЕМА

В данном приложении приводится описание разностной схемы, использовавшейся для расчета в задаче двумерного моделирования. Нижеследующее описание соответствует работе [47].

Так как сетка является разнесенной, то искомые величины могут задаваться в целых и полуцелых узлах по времени: и Ьп+1/2; и по пространству: гт, гт+1/2, гк, гк+1/2. Время моделирования обозначим как Т. Расчетная область задается как а = {0 < г < гтах, И < Ь/2}.

Сетка по времени задается следующим образом:

гп = т, гп+1/2 = 1п +^п+1, ^ = г-1/2 = = т, п = 0,...,ы.

Вдоль радиальной координаты г для сеточных узлов и шагов вводятся следующие обозначения:

Тт + ^т+1

У

'У* - уу* - | 1 уу* --- /уч I

'1/2 = '1 = 0, 'М+1/2 = 'М = 'тах>

гт+1 =гт + Агт, гт+1/2 =---, т = 1,...,М -1;

Агт + Агт-1 Аг1 А:гм-1

ЬГт-1/2 = -2-, т=2,.~,М -1, АГ1/2 = —, АГМ-1/2 = .

Аналогичные обозначения вводятся для величин по оси г:

2к+1 = гк+ Аzk, гк+1/2 = ——2 К+1, ^ = 1,.,К -1;

21/2 = 21 = -Ь/2, гк+1/2 = гк = Ь/2 ;

Агк + Агк-1 Аг1 АгК-1

А^к-1/2 =-2-, к = 2,.,К-1, А21/2 = —, АгК-1/2

В цилиндрической системе координат система уравнений (1.1) задается относительно величин уг, уг, , , огг, огг, , авв, р, где верхние индексы г, в, г означают соответствующую компоненту величины. У скоростей частиц скелета верхний индекс (5) будет опускаться для упрощения обозначений.

Сеточный шаблон для данной разностной схемы с указанием в каких точках определяются величины приводится на Рис. А.1. Остальные коэффициенты системы (р, и т.д.) определены в полуцелых точках по обоим направлениям и

считаются постоянными во времени. Величины уг, Vх, wr, wz определяются в целых узлах по времени, а остальные величины в полуцелых узлах по времени.

Рис. А. 1 Сеточный шаблон для разностной схемы Первые два уравнения из системы (1.1) без учета источникового члена дискретизируются следующим образом:

(р)т+1/2,к^т+1/2,к + (Р/)т+1/2,к^/-т+1/2,к + ^-1ат+1/2,к = 0 (Р/)т,к+1/2^^т,к+1/2 + (Р/)т,к+1/2^тт.,к+1/2 + Щат,к+1/2 = 0

(Р/)т+1/2,кУт+1/2,к + Р/)т+1/2,к^^п+1/2,к

Фо

+ Щ°т+1/2,к = РГгт+1/2,к

{Рг)т,к+1/2^Гт,к+1/2 + (~~Р/)т,к+1/2 Щт,к+1/2

Фо

(А.1) (А.2)

(А.3)

(А.4)

+ ЩОт,к+1/2 = РГгтк+1/2 В уравнениях (А.1) и (А.3) т = 1,..., М — 1; к = 1,..., К, а в уравнениях (А.2) и (А.4) т = 1,...,М; к = 1,...,К — 1.

Первая производная по времени в данной выше системе аппроксимируется как 5 = (бп+1 — бп)/т, где под 5 подразумевается одна из величин уг, V7,, , ш7.

Величины в угловых скобках представляют собой усредненные скорости по двух соседним сеточным узлам с полуцелыми индексами:

м - Ar™-1 , | Arm 7 .

W/т,к+1/2 — ъ т-1/2, к+1/2 1 ¿ т+1/2,к+1/2'

2Arm-1/2 т-1/2

, . _ AZk-1 , AZk

\s fm+1/2, к — sm+1/2,k-1/2 + sm+1/2, к+1/2.

2AZu_-[ /9 2AZu_-[ /9

(А.5)

'к-1/2 2A^-1/2 В (А.5) m — 1,...,M;k — 1,...,K,Ar0 — ArM — Az0 — AzK — 0. Операторы производных по пространству в системе (А.1)-(А.4)

записываются следующим образом:

rrzz — rrzz Т nrz — Т nrz

л* °т+1/2,к+1/2 °т+1/2,к-1/2 гт+1°т+1,к гт°т,к , К г\

Р1°т+1/2,к —--7"-----7"-, (А6)

AZк-1/2 rm+1/2Arm

r r r r

W* _ Гт+1/2ат+1/2„к+1/2 — Гт-1/2°т-1/2„к + 1/2

í^2°m,к+1/2 —

rmAr т-1/2

r z r z

°т+1,к °т,к . 1

(А.7)

A к т

+ ав в)т, к+1/2,

Я* Рт+1/2,к+1/2 Рт+1/2,к-1/2

о^^т+1/2,к=-г:-, (А.8)

А2к-1/2

Я* Рт+1/2,к+1/2 — Рт-1/2,к+1/2

к+1/2 =-7--. (А.9)

АТ т-1/2

Выпишем член, отвечающий за вязкое взаимодействие между твердой средой и флюидом (в расчетах используется низкочастотное приближение):

+ 1/2,к™т+1/2,к + (У+ У1)т+1/2„^^1+1/2^ (А. 10)

РГгт,к+1/2 = Т(у)тЛ + 1/2™т,к+1/2 + (У + у1)т,к+1/2™т„к+1/2. (А.11) Здесь задано V = ц/к(\/2 + 1/(2х)), V1 = ц/к(\/2 — 1/(2х)), где введено обозначение х = 2шьт/М, где определяется по формуле (1.3).

Далее, приведем аппроксимацию вторых двух уравнений из системы (1.1):

'(1 — у)2 \ 1 — у

+ Р)Р + + *ГГ + *вв) = Д¡У, (А. 12)

^^Р + ^+^а™--—(&гг + &вв) = Д2у, (А.13)

3К у 3Кв 6Кв( ) гу, \ >

1-Х. Л л +в л

-р--дгг +-&гг--авв = Б3у, (А.14)

'1^Хр- — {6гг + 6гг)+Л+-в6вв=т>у. (А.15)

3К у 6К} 3Кв 5У v У

В вышеприведенных уравнениях все величины взяты в полуцелых узлах (т+ 1/2, к + 1/2), где т = 1,..., М — 1; к = 1,... ,К — 1. Система включает в себя еще одно уравнение, взятое в целых точках:

—^а%к = Щу. (А.16)

2{ и}т, к

В данном уравнении индексы пробегают: т = 1, ...,М; к = 1,..., К. Величина в фигурных скобках выражается как {С}тк = ((( С-1)т)к)-1.

Первая производная по времени в системе (А.12)-(А.16) дискретизируется по формуле 5 = ( бп+1/2 — $п-1/2)/1, где 5 является одной из величин агг, агг, , а", р.

Дискретные операторы дифференцирования по пространству из системы (А.12)-(А.16) выписываются в виде:

_ ™т+1/2,к+1 — ™т+1/2,к V1ут+1/2,к+1/2 =

Агк

г г

Тт+1^т+1,к+1/2 — Тт}^т+1,к+1/2

(А.17)

гт+1/2Агт

-рг- _ут+1/2,к+1 ут+1/2,к 1 еч

и2ут+1/2,к + 1/2 =-Т~-, (А.18)

Агк

г г

■рг- _ ут+1,к+1/2 ут,к+1/2 10ч

и3ут+1/2,к + 1/2 =-Т~-, (А19)

А'ш

—1(У™+1/2к — Уш-1/2,к ^ уГт,к+1/2 — утп,к-1/2\ ^

, 2 \ Агт-1/2 Агк-1/2 )

_ ут,к+1/2 + ут+1,к+1/2 и5ут+1/2,к + 1/2 = .

2Т т+1/2 (А.21)

Начальные условия заданы как б1/2 = 0 для величин уг, уг, , и = 0 для величин агг, агг, , авв, р.

ПРИЛОЖЕНИИ Б ВЫБОР РАЗМЕРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ

ОБЛАСТИ

При решении задачи моделирования на внешней границе вычислительной области задаются неотражающие граничные условия, специально разработанные в [47]. Вспомогательные расчеты, проведенные с импульсным источником, показали высокую эффективность этих условий. В области интереса интенсивность отраженного сигнала убывает приблизительно в 7-8 раз при удвоении размера расчетной области по оси z (с учетом естественной задержки отраженного сигнала, возникающей в этом случае).

Если источник шума является периодическим по времени, как в изучаемом нами случае, то в скважине на определенных диапазонах частот возбуждаются резонансные моды. При этом значительно увеличивается время моделирования, необходимое для выхода на периодический режим. Поэтому, искусственные неотражающие условия могут существенно влиять на решение задачи, см., например, анализ аналогичных ситуаций в других приложениях [63,64]. В связи с этим был проведен анализ по выбору оптимальных размеров области моделирования, чтобы найти некоторый компромисс между точностью решения и вычислительными затратами.

Б.1 Случай заполнения скважины нефтью

Для оценки изменения волнового поля вдоль ствола скважины при отодвигании внешних границ вычислительной области исследовалась скважина, заполненная нефтью, в однородной формации. Формация представляет собой сплошную упругую среду с параметрами ps = 2125 кг/м3, ср = 3953 м/c, cs = 2603 м/c, а нефти задается плотностью рj = 800 кг/м3 и скоростью звука с = 927 м/с. Были рассмотрены следующие размеры области: по вертикали: L = 6.24 м и L = 24.96 м; в радиальном направлении: rmax = 1.2 ми rmax = 2.4 м.

Сначала сравним решения для конфигураций с L = 6.24 м и L = 24.96 м при фиксированном rmax = 1.2 м. На Рис. Б.1 дан спектр для двух размеров в точке z = 0 м. Из рисунков видно, что небольшие отличия в акустическом поле

наблюдаются только в окрестности пиковых частот, где относительная ошибка решения составляет несколько процентов. Вне резонансов влияние размера области по 2 становится практически незаметным. При этом интервалы резонансных частот совпадают.

Аналогично сравним поля для разных размеров вычислительной области по радиусу, взяв гтах = 1.2 м и гтах = 2.4 м при фиксированном Ь = 6.24 м.

Можно видеть, что спектры акустического давления для этих двух конфигураций (Рис. Б.2) практически идентичны, что указывает на слабую зависимость акустического поля в скважине от размера области моделирования по оси т.

1е-5

б

ГС 5 (64

¡2 <

1

^ 4 б 8 10 12 14 '

Частота, кГц

Рис. Б.1 Спектр акустического давления для Ь = 6.24 м и Ь = 24.96 м в точке г = 0 м

1е-5

б - гтах = 1.2 м

°2 4 6 8 10 12 14

Частота, кГц

Рис. Б.2 Спектр акустического давления для гтах = 1.2 м и гтах = 2.4 м в точке г = 0 м

Далее, изучим как ведет себя интенсивность акустического шума / = р2/(2 рс) вдоль оси z, см. (2.3).

Распределение интенсивности для разных размеров области моделирования по г представлено на Рис. Б.3. Интенсивности даны в логарифмическом масштабе и нормированы на максимальное значение /тах (общее для двух конфигураций). Горизонтальные пунктирные линии соответствуют границам зоны источника шума.

1д гг

1 их <тах

Рис. Б.3 Распределение интенсивности по глубине для разных размеров области по оси г: слева - скважина в полном размере, справа - участок скважины [-3 м, 3 м]. Пунктирные линии соответствуют границам зоны источника

Распределения для разных размеров по г хорошо соотносятся друг с другом вне зоны притока и практически совпадают внутри нее. Это свидетельствует о том, что основные характеристики акустического поля в скважине возможно смоделировать на участке скважины достаточного малого размера. Аналогичный результат наблюдается и при изменении размера области по г (Рис. Б.4).

Таким образом, если скважина заполнена жидкостью, то выбор размеров расчетной области Ь = 6.24 м и гтах = 1.2 м близок к оптимальному.

Рис. Б.4 Распределение интенсивности по глубине для разных размеров области по оси г.

Пунктирные линии соответствуют границам зоны источника

Б.2 Случай заполнения скважины газом

Теперь проведем аналогичный эксперимент по изменению размера области для скважины, заполненной газом в однородной формации (случай наиболее сильных резонансов). Параметры формации совпадают с ранее рассмотренным случаем заполнения скважины нефтью (параграф Б.1). Параметры газа соответствуют метану при давлении 200 бар и температуре 70°С и заданы следующими: плотность р^ = 123 кг/м3, скорость звука с = 535 м/с. Рассматриваются те же

самые размеры областей: по вертикали: Ь = 6.24 м и Ь = 24.96 м; в радиальном направлении: гтах = 1.2 м и гтах = 2.4 м.

Существенные отличия в спектрах акустического поля для конфигураций с разными размерами области по 2 (Рис. Б.5) наблюдаются только в окрестности пиковых частот, при этом относительная ошибка может достигать почти 100%. Относительная ошибка решения на нерезонансных частотах составляет доли процента. Интервалы резонансов очень близки друг к другу.

При увеличении же гтах с 1.2 м до 2.4 м (Рис. Б.6) относительная ошибка для решения на пиковых частотах не превышает 5% и составляет доли процента в нерезонансной полосе, что указывает на слабую зависимость решения от размера области моделирования по г.

Рис. Б.5 Спектр акустического давления для Ь = 6.24 м и Ь = 24.96 м в точке 2 = 0 м

1е-5

1.2

гтах

= 1.2 м = 2.4 м

г,

тах

1.0

ь 0.6

<

0.2

0.0

2

3

4

Частота, кГц

5

6

Рис. Б.6 Спектр акустического давления для гтах = 1.2 м и гтах = 2.4 м в точке г = 0 м

По аналогии с заметным отличием резонансных участков спектра в решении при разных размерах области (Рис. Б.5), наблюдается также различие в распределении интенсивности шума вдоль оси ъ (Рис. Б.7). В отличие от случая, когда скважина заполнена нефтью, в газовой скважине резонансные колебания спадают медленно по мере удаления от зоны источника шума по оси 2 . Видно, что при увеличении размера области уменьшается размах этих колебаний. Также уменьшается и сам средний уровень интенсивности, в том числе и в пиковой зоне.

Поэтому мы можем сделать вывод, что в случае, если скважина заполнена газом, то из-за возникающих резонансных мод, необходимо брать размер области моделирования достаточно большим, чтобы избежать заметного искажения решения. Поэтому, для газовых скважин размер области по оси 2 задается

I = 24.96 м.

2-10 -2-10

'Эг- "9 ¿7

'тзх *тзх

Рис. Б.7 Распределение интенсивности по глубине для разных размеров области по оси х: слева - скважина в полном размере, справа - участок скважины [-3 м, 3 м]. Пунктирные линии соответствуют границам зоны источника

Изменение размера области по радиусу слабо влияет на распределение интенсивности шума (Рис. Б.8). Поэтому, можно ограничиться заданием размера гтах = 1.2 м и в случае газа.

Таким образом, характерное число узлов сетки для рассматриваемой геометрии составляет 300 по радиальному направлению. По вертикальному направлению в зависимости от размера области число сеточных узлов равно 1560 (I = 6.24 м) или 6240 (I = 24.96 м).

Рис. Б.8 Распределение интенсивности по глубине для разных размеров области по оси г. Пунктирные линии соответствуют границам зоны источника