Моделирование и анализ эффективности ценообразования опционов на российском срочном рынке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат экономических наук Морозова, Марианна Михайловна

• Морозова, Марианна Михайловна
• кандидат экономических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат экономических наук Морозова, Марианна Михайловна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМЫ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ОПЦИОНОВ И ПОДХОДЫ К МОДЕЛИРОВАНИЮ РЫНКА ПРОИЗВОДНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ.

1.1. Механизм функционирования и характеристики рынка производных финансовых инструментов.

1.2. Ценообразование опционов на российском срочном рынке.

1.3. Модели оценки стоимости производных инструментов на полных и неполных рынках.

1.4. Обоснование выбора класса безгранично делимых распределений в задаче моделирования динамики цен базовых активов.

Выводы.

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ В РАМКАХ РИСК-НЕЙТРАЛЬНОГО ПОДХОДА.:.

2.1. Риск-нейтральное оценивание производных финансовых инструментов.

2.2. Спецификации безгранично делимых распределений в рамках экспоненциальной модели Леви.

2.3. Методы оценки параметров безгранично делимых распределений.

2.4. Методы перехода к эквивалентным мартингальным мерам.

2.5. Методы вычисления цен опционов.

Выводы.

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ОПЦИОНОВ

НА РОССИЙСКОМ СРОЧНОМ РЫНКЕ.

3.1. Информационная база исследования.

3.2. Алгоритм исследования.

3.3. Исследование статистических свойств рыночной динамики базовых активов.

3.4. Моделирование динамики цен фьючерсных контрактов на основе геометрических процессов Леви.

3.5. Вычисление справедливой стоимости опциона с применением метода Монте-Карло.

3.6. Построение гипотез об эффективности ценообразования российского срочного рынка.

3.7. Анализ полученных результатов.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и анализ эффективности ценообразования опционов на российском срочном рынке»

Актуальность темы исследования. Последние десятилетия стали периодом интенсивного развития срочного сегмента финансового рынка, важной экономической функцией которого является функция первичного ценообразования. В цене срочного контракта заложена информация относительно рыночных перспектив базового актива, поэтому их эффективное ценообразование играет определяющую роль в функционировании финансового рынка. Однако процесс развития российского срочного рынка сдерживают проблемы оценки стоимости опционов.

С научной точки зрения неэффективное ценообразование выражается в несоответствии между эмпирическими свойствами динамики цен базовых активов и свойствами используемых моделей. В основе традиционных моделей оценки справедливой стоимости опционов лежит предположения о нормальном распределении доходностей базовых активов и полноте рынка. Однако чрезвычайно большие ценовые движения (скачки) не столь редки, как предсказывает нормальная кривая. Скачкообразные изменения приводят к неполноте рынка, т. е. невозможности полного хеджирования рисков. Ценообразование, основанное исключительно на нормальном распределении, не способно адекватно отражать все многообразие рынка, что приводит к серьезным неточностям в оценках.

С практической точки зрения существующее рыночное ценообразование опционов приводит к искаженным ожиданиям участников относительно будущего состояния рыночной динамики базового актива, что снижает активность торгов и увеличивает риски инвестиционной деятельности.

Актуальность исследования обусловлена высокой практической значимостью и недостаточной проработкой проблемы оценки справедливой стоимости опционов на неполном неликвидном рынке. Эта проблема особенно актуальна в условиях развивающегося российского срочного рынка, что вызвало необходимость в создании эффективного инструмента адекватной оценки стоимости опционных контрактов.

Степень разработанности проблемы. Изучением теоретических вопросов функционирования срочного рынка и формирования цен производных активов занимались такие классики экономической науки как Дж. М. Кейнс, Дж. Р. Хикс, Н. Калдор, К. Эрроу, Д. Дебре.

Теория производных финансовых инструментов, в частности, опционов представлена в трудах П. Джеймса, Дж. Халла, Э. Хауга, С. Нэфчи, Л. Макмиллана, С. Вайна, Ш. Натенберга, А. Бэйрда, М. Чекулаева, А. Н. Буренина, А. Б. Фельдмана, А. Н. Балабушкина.

Решение задачи ценообразования опционных контрактов обусловило появление целого ряда исследовательских работ, посвященных построению реалистичных моделей расчета справедливой стоимости опционов. Под справедливой понимается такая цена опциона, которая исключает проведение сделок, позволяющих получить прибыль лишь за счет неправильной оценки опциона, т.е. не создающая возможностей для арбитража. Математический аппарат оценки стоимости производных финансовых инструментов развит такими учеными как П. Блэк, М. Шоулз, Дж. Кокс, С. Росс, М. Рубинштейн, Р. Мертон, С. Г. Коу, Р. Джэрроу, Д. Хиз. Модели оценки опционов, охватывающие современные достижения в области ценового моделирования, изложены в работах: К. Конолли, М. Томсета, Р. Колба, А. Н. Ширяева, А. Мортона, М. Гармана, С. Колхагена, Р. Ролла, Р. Джеске, X. Джонсона, Э. Дермана, У. Тойя.

В ценообразовании опционов первоочередной задачей является построение достоверного вероятностного прогноза цены базового актива. Вопросы моделирования ценовой динамики отражены в трудах ученых: Л. Башелье, П. Самуэльсон, Ч. Доу, которые описывали ценовое движение гауссовскими процессами. Начиная с 90-х гг. широко используются негауссовские безгранично делимые распределения, которые представлены в работах Р. Конта, П. Танкова, К. Сато, В. Шоутенса, Д. Апплебаума, О. Баендорф-Нильсона, Дж. Бертоина, С. 3. Боярченко, С. И. Левандорского, Д. Мадана, Е. Сенете, Е. Мордеки, Г. Бакши, 3. Чена и др.

Среди общего класса безгранично делимых распределений особого внимания заслуживает класс устойчивых распределений. Наибольший вклад в развитие теории устойчивых распределений внесли работы В. М. Золотарева, В. В. Учайкина, Дж. П. Нолана, Б. Мальденброта, Г. Самординского, М. Такку.

На протяжении последних лет исследования в области статистического моделирования привели к появлению безгранично делимых модификаций устойчивого распределения. Наиболее известными являются работы С. Рачева, Ч. Менна, Ф. Фабози, Й. Кима, Дж. Росинского, Д. Чанга, И. Копонена.

Необходимость совершенствования подходов к оценке справедливой стоимости опционов на неполных и неликвидных рынках обуславливает актуальность темы исследования, предопределяя ее структуру, цель и задачи.

Цель диссертационного исследования состоит в разработке методического подхода к оценке справедливой стоимости опционов в условиях российского срочного рынка.

Сформулированная цель предполагает решение следующих задач:

1. Выявить проблемы существующего ценообразования опционов на российском срочном рынке и определить перспективные направления развития математического аппарата оценки стоимости опционов.

2. Обосновать выбор безгранично делимых распределений для моделирования цен базовых активов, позволяющих адекватно отразить эмпирические свойства их динамики.

3. Предложить процедуру поиска риск-нейтральной меры в условиях неликвидного срочного рынка.

4. Разработать основанную на риск-нейтральном подходе методику определения справедливой цены опциона, отражающую специфику российского срочного рынка.

5. Выполнить численное моделирование справедливой стоимости опционов на основе разработанного методического подхода и осуществить сравнительный анализ модельных и рыночных цен.

6. Провести анализ функционирования срочного рынка в рамках гипотез относительно эффективности ценообразования, обращающихся на нем производных инструментов на разных временных периодах рыночной динамики.

Объект исследования — ценообразование опционов на российском срочном рынке.

Предмет исследования — модели и методы оценки справедливой стоимости опционов на неполном и неликвидном рынке.

Область исследования соответствует паспорту специальности ВАК РФ 08.00.13 «Математические и инструментальные методы экономики» пунктам 1.1. Разработка и развитие математического аппарата анализа экономических систем: математической экономики, эконометрики, прикладной статистики, теории игр, оптимизации, теории принятия решений, дискретной математики и других методов, используемых в экономико-математическом моделировании, 1.6. Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов.

Теоретической и методологической основой являются исследования в области стохастической финансовой математики, математической статистики и эконометрики, теории вероятностей и случайных процессов, методы статистического анализа финансовых временных рядов, численные методы оценки параметров и характеристик распределений доходностей финансовых активов.

Программный комплекс статистического анализа финансовых временных рядов и моделирования справедливой стоимости производных активов реализован с использованием пакетов прикладных программ MS Excel, Oracle Crystal Ball, Math Works MATLAB, IHS Econometric Views, Matrixer.

Информационную базу исследования составили: данные информационно-аналитических материалов по исследуемой проблеме, представленные в научной литературе, периодической печати и сети интернет; статистические источники в виде итогов торгов срочного сектора фондовой биржи РТС - ФОРТС (www.ФOPTC.ш), и информация, полученная из отчетов брокерской фирмы ФИНАМ (www.fmam.ru).

Научная новизна работы заключается в разработке методического подхода к оценке справедливой стоимости опционных контрактов с учетом специфики российского срочного рынка. Новыми являются следующие результаты:

1. Обосновано использование моделей динамики цен базовых активов, основанных на безгранично делимых распределениях, которые позволяют учесть скачкообразные изменения финансовых показателей на неполных рынках в отличие от модели геометрического броуновского движения.

2. Предложена процедура оценки рыночной меры, в основу которой положена калибровка моделируемых безгранично делимых распределений к эмпирическим распределениям доходностей базовых активов, в условиях, когда калибровка модельных и рыночных цен опционов невозможна (в случае неликвидного рынка), либо не позволяет получить корректные оценки меры (в случае неэффективного рынка).

3. В рамках риск-нейтрального подхода разработана методика оценки справедливой стоимости производных инструментов на неполном и неликвидном рынке.

4. На основе сопоставления справедливых цен опционов с их рыночными котировками показано, что на российском рынке опционов наблюдаются нереализуемые арбитражные возможности, препятствующие обеспечению эффективности рынка и выполнению им информационной функции.

Теоретическая значимость результатов. Сформулированные в диссертационном исследовании положения и выводы развивают методологическую базу анализа динамики цен финансовых активов и оценки справедливой стоимости производных инструментов, адаптируя ее к российским условиям.

Практическая значимость результатов. Разработанный методический подход дает участникам срочного рынка математически корректный инструмент оценки справедливой стоимости производных активов, имеющий: а) более реалистичные предпосылки по сравнению с существующими методами; б) потенциал практического применения в деятельности частных и институциональных инвесторов, давая им возможность принимать обоснованные решения по хеджированию риска и планированию своей деятельности в будущем, что, в свою очередь, поможет привлечь на опционный рынок новых участников и повысить его ликвидность и эффективность.

Результаты исследования также могут быть использованы в учебных дисциплинах «Финансовая математика» и «Экономико-математическое моделирование» для студентов экономических специальностей.

Апробация работы. Основные положения и результаты исследования обсуждались на международной научной конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2008), конференции студентов и аспирантов (с международным участием) «Экономика и бизнес: позиция молодых ученых» (г. Барнаул, 2008, 2009), конференции молодых ученых «Социально-экономическое развитие России: идеи молодых ученых» (ИЭОПП СО РАН, г. Новосибирск, 2008 - 2010), методическом семинаре в Институте Экономики и организации промышленного производства СО РАН (г. Новосибирск, 2009), Первом Российском Экономическом Конгрессе, Новая Экономическая Ассоциация (г. Москва, 2009), Всероссийском Симпозиуме с международным участием «Сложные системы в экстремальных условиях» (г. Красноярск, 2010), IX Международном Симпозиуме «Экономика и Бизнес:

Экономическое Развитие и Рост» (г. Несебр, Болгария, 2010), Пермской зимней школе: «Рыночный риск» (г. Пермь, 2011).

В работе ООО «УК «Теллура Капитал» использован модельный комплекс как аналитический инструмент для оценки справедливой стоимости производных финансовых инструментов.

Материалы, методы и результаты диссертации используются на кафедре «Математическое моделирование бизнес-процессов» Сибирского государственного университета телекоммуникаций и информатики в преподавании учебных дисциплин «Модели рисковых инвестиционных процессов» и «Интегрированный риск-менеджмент на уровне предприятия».

Внедрение результатов исследования в указанных организациях подтверждено соответствующими документами.

Научные положения, выносимые на защиту.

1. Показано, что российский срочный рынок является неполным (не позволяет полностью хеджировать риски). В этих условиях цены опционов, рассчитанные с помощью модели полного рынка, формируют у его участников нереалистичные ожидания относительно будущих исходов, поскольку заложенное в модель цен базовых активов логнормальное распределение неадекватно отражает процессы на рынке базовых активов.

2. Для моделирования динамики цен базовых активов предложено использовать ряд моделей, основанных на экспоненциальных процессах Леви, которые позволяют учесть скачкообразные изменения цен, что невозможно осуществить в рамках диффузионной модели геометрического броуновского движения. Спецификация скачкообразной компоненты в процессе ценовых изменений позволяет формализовать неполноту рынка (нехеджируемый риск).

3. Обоснован подход к оценке риск-нейтральной меры неликвидного рынка производных инструментов на основе калибровки модельных и рыночных цен базовых активов.

4. Разработанная методика определения справедливой цены производных инструментов на основе риск-нейтрального подхода позволяет: находить законы распределений цен базовых активов, отвечающих эмпирическим свойствам и способных давать адекватное представление вероятностной меры рынка базовых активов; оценивать стоимости производных инструментов на неполных рынках для произвольных значений цен исполнения; определять степень соответствия рыночных цен опционов их безарбитражным оценкам.

5. Выдвинуты три гипотезы об эффективности ценообразования на российском срочном рынке. Показано, что на нем наблюдаются систематические отличия рыночных цен опционов от справедливых, которые из-за отсутствия механизмов конвергенции, не приводят к коррекции цены в направлении безарбитражной. Продемонстрировано, что текущее состояние рынка не позволяет его участникам использовать рыночные цены опционов в качестве информационных сигналов о будущей динамике развития базового рынка.

Публикации. По теме диссертации опубликовано двадцать работ общим объемом 8.2 п.л., в том числе две статьи в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций результатов диссертаций (1.2 а.л.), семнадцать в сборниках материалов и научных трудов конференций (5.9 а.л.) и одна в монографии (1.1 а.л.).

Содержание диссертационного исследования. Структура диссертации обусловлена целью, задачами и логикой исследования. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы из 156 источников и 9 приложений. Работа содержит 148 страниц машинописного текста, 17 рисунков и 8 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Морозова, Марианна Михайловна

ВЫВОДЫ

1. Выдвинуты два тезиса о ценообразовании российского срочного рынка, основанные на положениях о колл-пут диспаритете и близости рыночной и теоретической цены Блэка-Шоулза, определившие ход практического исследования.

2. Оценка выборок распределениями из класса безгранично делимых подтвердила наличие в динамике цен фьючерсных контрактов на индекс РТС, акции ОАО «Газпром» и акции ОАО «Сбербанк» скачкообразного поведения. При этом вид распределения варьируется в зависимости от рыночной конъюнктуры: стабильные этапы функционирования рынка описываются процессами, которые включают наряду с броуновской компонентой умеренные (с конечной активностью) скачки. На рассматриваемом временном горизонте чисто диффузионное поведение ценовых приращений наблюдалось в 14% случаев, а диффузионно-скачкообразное — в более 10%. В нестабильные периоды движения цен соответствуют диффузионно-скачкообразным процессам примерно в 87% случаев, при этом в ~ 80% выбираются модели с бесконечной активностью — риски изменения цен в такие периоды высоки и практически не поддаются хеджированию.

3. Полученные в работе результаты сопоставления справедливых оценок опционов с рыночными котировками показали, что на российском срочном рынке наличие арбитражных возможностей не приводит к росту активности торгов с последующей коррекцией рыночных цен в направлении справедливых, что порождает нереалистичные ожидания участников о будущей динамике базового рынка и в ряде случаев приводит к торговле по заведомо несправедливым ценам (неэффективный рынок Н2 — 52%) или создает высокий барьер для входа участников на рынок из-за существенной разницы между рыночными котировками и справедливыми ценами опционов (высокий риск ликвидности арбитражных операций, рынок неликвидный Н] — 36%). Лишь 12%) выборок подтверждают гипотезу Н0.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенное исследование теоретических основ и практических механизмов ценообразования на рынке опционных контрактов позволило сделать следующие выводы.

Анализ российского рынка базовых активов (фьючерсных контрактов) показал, что предположения традиционных моделей ценообразования в современных условиях, характеризующихся неустойчивостью, стохастическими и кризисными явлениями, приводят к некорректной оценке справедливой стоимости опционов.

Распределение доходностей фьючерсных контрактов имеет существенные отклонения от нормального, возникающие в результате скачкообразных изменений ценовой динамики. Эти изменения являются источниками нехеджируемого риска, приводящего к неполноте рынка. Данное исследование дает возможность находить справедливую стоимость опционов на неполном рынке, так как для описания рыночных траекторий используется класс диффузионно-скачкообразных процессов (безгранично делимых распределений), позволяющих разделить хеджируемый и нехеджируемый риск и таким образом характеризовать рискованность инвестиций.

С помощью выбранного ряда из класса безгранично делимых распределений описано многообразие рыночных ситуаций, выраженных в учете дополнительных характеристик скачкообразной составляющей, которые дают представление об ожидаемом размере и направлении скачков и, следовательно, движении цены базового актива. Таким образом, оценка рыночной меры дает информацию о структуре процесса, обладая которой участники срочного рынка могут принимать более обоснованные решения о потенциале опционных контрактов и стратегиях хеджирования и осознанно управлять размещением активов.

Разработанная методика ценообразования производных инструментов позволяет при текущих состоянии характеристиках российских рынков базовых и производных активов — неполноте базового рынка и неликвидности срочного — моделировать справедливую стоимость опционных контрактов в рамках риск-нейтральной модели на основе безгранично делимых распределений логарифмических доходностей базовых активов.

Особенностью методики является используемый подход к калибровке модели рынка базовых активов на неликвидном опционном рынке, позволяющий получить оценку риск-нейтральной меры, лежащей в основе образования справедливой стоимости опциона. Калибровка модели рынка базовых активов к наблюдаемым рыночным ценам опционных контрактов, осуществляемая на ликвидных рынках, для российского рынка неправомерна. Поэтому характеристики риск-нейтральной меры определялись из решения задачи калибровки рыночной меры базовых активов к эмпирическому закону распределения их логарифмических доходностей и дальнейшего перехода к эквивалентной мартингальной мере.

Предложенная методика расширяет практический инструментарий оценивания производных инструментов на неполном неликвидном рынке и позволяет с большей степенью объективности оценивать опционные контракты, а именно:

1) находить оценку вероятностной меры рынка базовых активов, отражающую адекватное представление о поведении их рыночной динамики и позволяющую строить опционные модели с наиболее гибкими предположениями относительно поведения рынка;

2) оценивать стоимости любых производных инструментов на неполных рынках и анализировать влияние скачкообразных ценовых изменений на динамические инвестиционные решения;

3) определять степень соответствия рыночных цен производных активов безарбитражным оценкам и характеризовать эффективность ценообразования рынка производных активов.

Проведенный анализ взаимосвязей полученных оценок справедливой стоимости рассматриваемых опционных контрактов и их рыночных котировок, выраженный в гипотезах об эффективности ценообразования российского срочного рынка показал, что в настоящее время рыночная цена опционных контрактов несет в себе искаженную информацию о цене на рынке базовых активов. Таким образом, участники не могут извлечь из рынка объективную информацию о справедливой цене опционных контрактов, и арбитражные сделки являются либо нереализуемыми (на неликвидном рынке), либо неинформирующими (на неэффективном рынке).

Оценка справедливой стоимости опционов в условиях неполноты и неликвидности финансовых рынков показала, что концепция теоретической цены биржи и результаты торгов не соответствуют ситуации эффективного рыночного функционирования, а, следовательно, рыночная цена опционов не несет реалистичной информации, т. е. опционный рынок не выполняет функцию первичного ценообразования.

Разработанные в диссертации методические положения могут способствовать справедливому ценообразованию на неполном неликвидном рынке и ориентированы на практическое использование индивидуальными и институциональными инвесторами, а также регулирующими органами, ответственными за разработку механизмов, обеспечивающих повышение эффективности функционирования рынка срочных финансовых инструментов в России.

Список литературы диссертационного исследования кандидат экономических наук Морозова, Марианна Михайловна, 2011 год

1. Боди В. 3., Мертон Р. К. Финансы, пер. с англ. — М.: Вильяме, 2007.

2. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. — М.: Научно-техническое общество им. С. И. Вавилова, 2003.

3. Золотарев В. М. Одномерные устойчивые распределения. — М.: Наука, 1983.

4. Лычагин М.В. Финансовая экономика: курс лекций для магистрантов: Учеб. пособие для студентов вузов — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2005.

5. Макмиллан Л.Г. Опционы как стратегическое инвестирование. — М.: Евро, 2003.

6. Мандельброт Б., Хадсон Р. Л. (Не)послушные рынки. Фрактальная революция в финансах. — М.: Вильяме. 2006.

7. Морозова М.М., Пырлик В.Н. Проверка свойства полноты российского фондового и валютного рынков // Сборник научных трудов молодых уче-ных «Социально-экономическое развитие России: идеи молодых ученых». — Новосибирск, 2008.

8. Морозова М.М. Проблемы ценообразования опционов на российском срочном рынке // Сборник научных трудов молодых ученых «Социально-экономическое развитие России: идеи молодых ученых». — Новосибирск, 2009.

9. Ю.Морозова М.М. Расчет справедливой цены опциона на неполных рынках с арбитражными возможностями // Материалы Первого Российского Экономического Конгресса, Новая Экономическая Ассоциация — М., 2009.

10. Пырлик В.Н., Морозова М.М. Устойчивое распределение и его модификации и ценообразование производных финансовых активов // Вестник НГУ. Серия: Социально-экономические науки, №1, 2009.

11. Томсетт М. Торговля опционами: Спекулятивные стратегии, хеджирование, управление рисками. —М.: «Альпина», 2001.

12. Фельмер Г., Шид А. Введение в стохастические финансы. Дискретное время. — М.:МЦМНО, 2008.

13. Халл Д. К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. —М.: Вильяме, 2007.

14. Хинчин А. Я., Предельные законы для сумм независимых случайных величин. — M.-JL, 1938.

15. Чекулаев М. Загадки и тайны опционной торговли: Механика биржевого успеха. — М.: ИК «Аналитика», 2001.

16. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты, модели. Т. 2. Теория. — М.: Фазис, 2004.

17. Aase К. Contingent claims valuation when the security price is a combination of an Ito process and a random point process, Stochastic Processes Applications, 28, 1988.

18. Adler R., Feldman R., Taqqu M. A Practical Guide to Heavy Tails: Statistical Techniques and Applications, Birkhauser, 1998.

19. Ait-Sahalia, Y., Y. Wang, and F. Yared. Do options markets correctly price the probabilities of movement of the underlying asset? Journal of Econometrics, 102, 2001.

20. Applebaum D. Levy Processes and Stochastic Calculus, Cambridge University Press, 2004.

21. Arrow K. J., Debreu G. Existence of equilibrium for a competitive economy. Econometrica, 22, 1954.

22. Artzner Ph., Heath D. Approximate Completeness with Multiple Martingale Measures. Math. Finance., Vol. 5, 1995.

23. Attari M. Option Pricing Using Fourier Transforms: A Numerically Efficient Simplification. Working Paper, Charles River Associates, 2004.

24. Bachelier L. Theorie de la speculation, Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Superieure, 17, 1900.

25. Bakshi G., Cao C., and Chen Z. Empirical performance of alternative option pricing models, The Journal of Finance, 52, issue 5, 1997/

26. Bandorf-Nielsen O.E. Hyperbolic distributions and distributions on hyperbolae, Proceedings of the Royal Society London, A 353, 1977.

27. Bandorf-Nielssen, O. Processes of normal inverse Gaussian type. Finance Stoch., 2, No. 1, 1998.

28. Bertoin J. Levy Processes, Cambridge University Press, 1996.

29. Bingham N. H. Risk-Neutral Valuation. Pricing and Hedging of Financial Derivatives., Riidiger Kiesel, 2004

30. Black F., Scholes M. Valuation of Option Contracts and a Test of Market Efficiency. Journal of Finance, Vol. 27, 1972.

31. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, Vol. 81, 1973.

32. Bouchaud J-P., Potters M. Theory of Financial Risk and Derivative Pricing, 2003.

33. Bryant J. L., Paulson A. S. Estimation of mixing properties via distance between characteristic functions, Commun. Statist. Theory Methods, 12, 1983.

34. Buhlmann, H., Delbaen, F., Embrecht, P., Shiryaev, A.: No-arbitrage, change of measure and conditional Esscher transform in a semi-martingale model of stock price. CWI Quaterly 9, 1996.

35. Campbell et al. The Econometrics of Financial Markets, Princeton University Press, New Jersey, 1997.

36. Carr, P., Madan, D. Option Valuation Using the Fast Fourier Transform. Journal of Computational Finance, 3, 1999.

37. Carr P., Geman H., Madan D., and Yor M. The Fine Structure of Asset Returns: An Empirical Investigation, Journal of Business, 75, 2002.

38. Carrasco M., Florens J. Efficient GMM estimation using the empirical characteristic function, Department of Economics: University of Rochester, 2002.

39. Chan T. Some applications of Levy processes in insurance and finance. Finance, 25, 2004.

40. Cont R., Empirical properties of asset returns: Stylized facts and statistical issues, Quant. Finance, Vol. 1, 2001.

41. Cont R., Bouchaud J.-P., and Potters M. Scaling in financial data: Stable laws and beyond, in Scale Invariance and Beyond, Dubrulle, B., Graner, F., and Sornette. D., eds., Springer: Berlin, 1997.

42. Cont R., Tankov P. R. Financial Modelling with Jump Processes, Chapman & Hall / CRC Press, 2004.

43. Cox J.C., Ross S. The valuation of options for alternative stochastic processes, Journal of Financial Economics, 3, 1976.

44. D'Agostino R. B., Stephens M. A. Goodness-of-Fit Techniques, Marcel Dekker, New York, 1986.

45. Dai Q., Singleton K. Specification Analysis of Affine Term Structure Models, Journal of Finance, LV, 5, 2000.

46. Danielsson J, deVries C. G. Tail Index and Quantile Estimation with very high frequency data, Journal of Empirical Finance, 4, 1997.

47. Davis M.H.A. Option pricing in Incomplete markets. In: Demtser M.H.A., Pliska S.R. (eds.), Mathematics of Derivative Securities. Publication of the Newton Institute, Cambridge: Cambridge University Press 1997.

48. Delbaen F., Schachermayer W. A General Version of the Fundamental Theorem of Asset Pricing, Math. Annalen, Vol. 300, 1994.

49. Delbaen F., Schachermayer W. The No-Arbitrage Property under a change of numeraire, Stochastics and Stochastic Reports, Vol. 53, 1995.

50. Delbaen F., Schachermayer W. The Fundamental Theorem of Asset Pricing for Unbounded Stochastic Processes, Mathematische Annalen, Vol. 312, 1998.

51. Derman E., Kani I., and Chriss N. Implied Trinomial Trees of the Volatility Smile, The Journal of Derivatives 3(4), 1996.

52. Derman E. Laughter in the dark the problem of the volatility smile. Lecture Notes, Master Program in Financial Engineering, Columbia University, 2003. http://www.ederman.com/new/docs/laughter.html.

53. Duan J. The GARCH option pricing model, Mathematical Finance 5, 1995.

54. Duan J., Simonato J.G. Empirical Martingale Simulation for Asset Prices, Management Science, 44, 1998.

55. Duffie D., Kan R. A Yield Factor Model of Interest Rates, Mathematical Finance 6(4), 1996.

56. Duffie D., Pan J., and Singleton K. Transform Analysis and Asset Pricing for Affine Jump-Diffusions, Econometrica, 68, 2000.

57. Dupire B. Pricing with a Smile, Risk, 7(1), 1994.

58. Eberlein E., Keller U. Hyperbolic distributions in finance. Bernoulli, 1, 1995.l.Eberlein E., Jacod J. On the range of option pricing. Finance and Stochast, 1, 1997.

59. Eberlein E. Prause K. The Generalized Hyperbolic Model: Financial Derivatives and Risk Measures, FDM-Preprint 56, University of Freiburg, 1998.

60. Esche F. Schweizer M. Minimal entropy preserves the Levy property: How and why, working paper, University of Munich, 2003.

61. Fama E.F. Mandelbrot and the Stable Paretian Distribution, Journal of Business, 36, 1963.

62. Fama E. F. The behavior of stock market prices, Journal of Business, 38, 1965.

63. Fama E. Market efficiency, long-term returns, and behavioral finance, J. Financial Econom, 49, 1998.

64. Feuerverger A., Mureika R. A. The empirical characteristic function and its applications, Ann. Statist., 5, 1977.

65. Follmer H., Schweizer M. Hedging of contingent claims under incomplete information, in: Davis H. and Elliott R.J. (eds.). Applied Stochastic Analysis, London: Gordon and Breach, 1991.

66. Fouque J.-P., Papanicolaou G., and Sircar K. R. Derivatives in Financial Markets with Stochastic Volatility. Cambridge University Press, September, 2000.

67. French K.R., Roll R. Stock Return Variances: The Arrival of Information and the Reaction of Traders, Journal of Financial Economics, 17, 1986.

68. Frittelli M. The minimal entropy martingale measure and the valuation problem in incomplete markets, Mathematical Finance, 1(10), 2000.

69. Gabaix X., Gopikrishnan P., Plerou V., and Stanley H.E. A theory of power laws in financial market fluctuations, Nature, 423, 2003.

70. Geman H. Pure Jump Levy Processes for Asset Price Modelling, Journal of Banking and Finance, Vol. 26, 2002.

71. Geman H., Madan D. B. Risks in Return: A Pure Jump Perspective, in Kyprianou, A., Schoulents, W., Wilmott, P. (Eds), Exotic Option Pricing and Advanced Levy Models, John Wiley, 2005.

72. Gerber H. U., Shiu E. S. W. Option Pricing by Esscher Transforms, Transactions of the Society of Actuaries, XL VI, 1994.

73. Gnedenko B.V., Kolmogorov A.N. Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables, Addison-Wesley, 1968.

74. Haas M., Pigorsch C. Financial Economics, Fat-tailed Distributions, 2007

75. Hall J. A., Brorsen B. W., and Irwin S. H. The Distribution of Futures Prices: A test of the Stable Paretian and Mixture of Normals Hypothesis, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 24, 1989.

76. Harrison J. M., Kreps D. Martingales and arbitrage in multi periods security markets, J. Econom. Theory, 20, No. 3, 1979.

77. Harrison J. M., Pliska S. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading, Stochastic Process. Appl., 11, No. 3, 1981.

78. Heston S. A closed-form solutions for options with stochastic volatility, Review of Financial Studies, 6, 1993.

79. Heston S., Nandi S. A Closed Form GARCH Option Pricing Model, The Review of Financial Studies, 13, 2000.

80. Hubalek F. and Sgarra C. Esscher transforms and the minimal entropy martingale measure for exponential Levy models, (preprint), 2005.

81. Hull J., White A. The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities, The Journal of Finance, 42(2), 1987.

82. Jacka S.D. A martingale representation result and an application to incomplete financial markets, Mathematical Finance, Vol. 2, 1992.

83. Jacod J., Shiryaev A.N. Limit theorems for stochastic processes, A series of comprehensive studies in mathematics: Springer-Verlag, Journal of Econometrics, 102, 1987.

84. Kallsen J. Utility-based derivative pricing in incomplete markets. In Mathematical Finance-Bachelier Congress 2000, Springer, Berlin, 2001.

85. Kallsen J., Shiryaev A.N. The cumulant process and Esscher's change of measure, Finance and Stochastics, 6, 2002.

86. Kearns P., Pagan A. Estimating The Density Tail Index For Financial Time Series, The Review of Economics and Statistics, MIT Press, vol. 79(2), 1997.

87. Kim Y. S., Lee J. H. The Relative Entropy in CGMY Processes and Its Applications to Finance, Mathematical Methods of Operations Research 66, 2007.

88. Kim Y.S., Chung D. M., Rachev S. T., and Bianchi M. L. The modified tempered stable distribution, GARCH models and option pricing, Probability and Mathematical Statistics, 29 (1), 2009.

89. Kim Y.S., Rachev S.T., Bianchi M.L. and Fabozzi F.J. A New Tempered Stable Distribution and Its Application to Finance G. Bol, et al, (eds.), Risk Assessment: Decisions in Banking and Finance, Physika Verlag, Springer, 2007.

90. Kogon S. M., Williams D. B. Characteristic function based estimation of stable parameters, in R. Adler, R. Feldman, M. Taqqu (eds.), A Practical Guide to Heavy Tails, Birkhauser, 1998.

91. Kolb R. W. Financial derivatives. 3rd ed. New York: John Wiley, 2003

92. Kon S.J. Models of stock returns a comparison, Journal of Finance, 39, issue 1, 1984.

93. Koponen I. Analytic approach to the problem of convergence of truncated Levy flights towards the Gaussian stochastic process, Physical Review E 52, 1, 1995.

94. Kou S. G., Wang H. Option pricing under a double exponential jump diffusion model. Working paper, Columbia University, New York, 2001.

95. Koutrouvelis I. A. Regression-type estimation of the parameters of stable laws, Journal of the American Statistical Association 75, 1980.

96. Kreps D.M. Arbitrage and equilibrium in economies with infinitely many commodities, Journal of Mathematical Economics., Vol. 8, 1981.

97. Levendorskii S. Pricing of the American Put under Levy processes. Research Report 2002-44, Maphysto, 2002.

98. Levy P. Calcul des Probabilités, Gauthier Villars, Paris, 1925.

99. Lewis A. A Simple Option Formula for General Jump Diffusion and Other Exponential Levy Processes, Working paper, 2001.

100. Lo A. Reconciling Efficient Markets with Behavioral Finance: The Adaptive Markets Hypothesis, 2005.

101. Loretan M., Phillips P. C. B. Testing the covariance stationarity of heavy-tailed time series, Journal of Empirical Finance, 1, 1994.

102. Luogen Y., Gang Y., Xiangqun Y.: A note on the mean correcting martingale measure for geometric Levy processes. Appl. Math. Lett. 24(5), 2011.

103. MaCbeth J.D., Merville L.J. An empirical examination of the Black-Scholes Call option pricing model, J. Finance, 34, 1979.

104. Madan D., Financial modeling with discontinuous price processes, in Levy Processes Theory and Applications, Barndorff-Nielsen O., Mikosch T., and Resnick S., eds., Birkhauser: Boston, 2001.

105. Madan D. B., Seneta E. Simulation of estimates using the empirical characteristic function, Internat. Statist. Rev. 55, 1987.

106. Madan D B., Seneta E. The Variance Gamma (V.G.) Model for Share Market Returns, The Journal of Business, 63(4), 1990.

107. Madan D B., Carr P P. and Chang E C. The Variance Gamma Process and Option Pricing, European Finance Review 2, 1998.

108. Madan D B., Milne F. Option Pricing with V.G. Martingale Components, Mathematical Finance, Vol. 1, No. 4, 1991.

109. Malone S.W. Alternative Price Process for Black-Sholes Empirical Evidence and Theory, 2002.

110. Mandelbrot B. New Methods in Statistical Economics, Jour, of Political Economy, 1963.

111. Mandelbrot B. The Variation of Certain Speculative Prices, Jour, of Business, 1963.

112. Mantegna R.N., and Stanley H.E. Stochastic process with ultraslow convergence to the Gaussian: the truncated Levy flight, Physical Review Letters 73, no. 22, 1994.

113. McCulloch J. H. Financial applications of stable distributions, in G. S. Maddala, C. R. Rao (eds.), Handbook of Statistics, Vol. 14, Elsevier, 1996.

114. McCulloch J.H. Measuring Tail Thickness to Estimate the Stable Index a: A Critique, J. Business & Economic Statistics 15, 1997.

115. Menn C., Rachev S. T. A New Class of Probability Distributions and its Application to Finance, Tech. Report at UCSB, 2004.

116. Menn C., Rachev S. T. Smoothly Truncated Stable Distributions, GARCH-Models, and Option Pricing, Technical report: Chair of Econometrics, Statistics and Mathematical Finance School of Economics and Business Engineering University of Karlsruhe, 2005.

117. Merton R.C. Theory of rational option pricing, Bell Journal of Economics and Management Science, 4, 1973.

118. Merton R. C., Subrahmanyam M. G. The Optimality of a Competitive Stock Market, Bell Journal of Economics and Management Science 5, no. 1, 1974.

119. Merton R.C. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous, Journal of Financial Economics, 3, 1976.

120. Merton R. C. Continuous-Time Finance, Oxford, U.K.: Basil Blackwell, 1990.

121. Mittnik S., Doganoglu T., and Chenyao D. Computing the probability density function of the stable Paretian distribution, Mathematical and Computer Modelling, 29, 1999.

122. Nolan J. P. Numerical Calculation of Stable Densities and Distribution Functions, Communications in Statistics-Stochastic Models, 13(4), 1997.

123. Nolan J. P. An algorithm for evaluating stable densities in Zolotarev's (M) parametrization, Mathematical and Computer Modelling, 29, 1999.

124. Nolan J. P. Stable Distributions: Models for Heavy Tailed Data, American University, 2005.

125. Officer R.R. The distribution of stock returns, Journal of the American Statistical Association, 67, issue 340, 1972.

126. Peters E. E. Chaos and Order in the Capital Markets: a New View of Cycles, Prices, and Market Volatility, 2nd ed. New York: John Wiley & Sons, 1996.

127. Poirot J., Tankov P. Monte Carlo option pricing for tempered stable (CGMY) processes. Unpublished manuscript, 2006.

128. Praetz P.D. The distribution of share price changes, Journal of Business, 45, issue 1, 1972.

129. Prause K. The Generalized Hyperbolic Model: Estimation, Financial Derivatives, and Risk Measures. Ph.D. thesis, Freiburg i. Br., 1999.

130. Press S. J. Estimation in univariate and multivariate stable distribution, Journal of the American Statistical Association, 67, 1972.

131. Pyrlik V.N., Morozova M.M. On effectiveness of Russian option market // 9th International Symposium «Economy & Business: Economic Development and Growth», Bulgaria, 2010. pp.456 — 465. (http://www.science-journals.eu/economy/2010/ISP-EB-Vol4-Part3.swf

132. Rachev S. T., Mittnik S. Stable Paretian Models in Finance, New York: John Wiley, 2000.

133. Rachev S. T. Handbook of Heavy Tailed Distributions in Finance, Elsevier, 2003.

134. Rachev S. T., Menn C., and Fabozzi Frank J., Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distributions: Implications for Risk Management, Portfolio selection, and Option Pricing, John Wiley & Sons, 2005.

135. Rogers L. C. G. Arbitrage from fractional Brownian motion. Math. Finance, 7, 1997.

136. Rosinski J. Tempering Stable Processes, Stochastic Processes and their Applications, 117, 2007.

137. Ross S. Options and efficiency, Quarterly Journal of Economics, 90, 1976.

138. Samorodnitsky G., Taqqu M. S. Stable Non-Gaussian Random Processes: Stochastic Models with Infinite Variance. Chapman and Hall, New York, 1994.

139. Samuelson P. Rational theory of warrant pricing, Industrial management review, 6, 1965.

140. Sato K. Levy processes and Infinitely Divisible Distributions, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1999.

141. Schoutens W. The Meixner Process: Theory and Applications in Finance. EURANDOM Report 2002-004, EURANDOM, Eindhoven, 2002.

142. Schoutens W. Levy Processes in Finance: Pricing Financial Derivatives, John Wiley & Sons, 2003.

143. Schweizer M. Approximation pricing and the variance optimal martingale measure, The Annals of Probability, 24, 1996.

144. Sharpe W. Investments, Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1978.

145. Skorohod A. V. Random processes with independent increments, Kluwer, Dordrecht, Netherlands, 1991.

146. Uchaikin V. V., Zolotarev V. M. Chance and Stability: Stable Distributions and their Applications. VSP, 1999.

147. Weron R. Levy-stable distributions revisited: Tail index >2 does not exclude the Levy-stable regime, International Journal of Modern Physics, C 12, 2001.

148. Zhang X. Valuation of American options in a jump-diffusion model, in Numerical methods in finance, Cambridge University Press: Cambridge, 1997.