Эффективные математические методы вычисления цен опционов в моделях, допускающих скачки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, доктор физико-математических наук Кудрявцев, Олег Евгеньевич

• Кудрявцев, Олег Евгеньевич
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кудрявцев, Олег Евгеньевич

Введение

Обзор литературы.

Глава 1. Метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа" для моделей Леви.

1.1. Процессы Леви: определения и основные свойства.

1.2. Виды процессов Леви, применяемые при моделировании финансовых рынков

1.3. Некоторые обобщения моделей Леви

1.4. Факторизация Винера-Хопфа.

1.5. Метод "Быстрой факторизации Винера-Хонфа".

1.6. Интегро-дифференциальиое уравнение для расчёта цен опционов

1.7. Выводы к первой главе.

Глава 2. Эффективные математические методы вычисления барьерных опционов в моделях, допускающих скачки.

2.1. Начально-краевые задачи для уравнения Колмогорова: случай барьерных опционов.

2.2. Метод горизонтальных линий и метод БФВХ для вычисления безарбитражных цен барьерных опционов.

2.3. Преобразование Лапласа и метод БФВХ для вычисления безарбитражных цен барьерных опционов.

2.4. Метод Винера-Хопфа для конечно-разностных схем: барьерные опционы.

2.5. Начально-краевая задача для системы обратных уравнений Колмогорова: случай модели Леви с переключением режимов

2.6. Выводы к второй главе

Глава 3. Эффективные математические методы вычисления цифровых опционов первого касания в моделях Леви.

3.1. Начально-краевая задача для уравнения Колмогорова: вычисление вероятности первого перехода через барьер.

3.2. Метод горизонтальных линий и метод БФВХ для цифровых опционов первого касания

3.3. Цифровые опционы первого касания в модели Коу.

3.4. Асимптотические методы вычисления цифровых опционов первого касания.

3.5. Выводы к третьей главе.

Глава 4. Математические методы оценки рисков в таможенной деятельности.

4.1. Риски в таможенной деятельности.

4.2. Анализ и оценка таможенных рисков.

4.3. Оценка риска получения платежей ниже планового показателя

4.4. Реальные опционы в контексте управления рисками в таможенной деятельности

4.5. Выводы к четвёртой главе.

Глава 5. Результаты численных экспериментов.

5.1. Барьерные опционы.

5.2. Цифровые опционы первого касания.

5.3. Метод Винера-Хопфа для конечно-разностных схем.

5.4. Выводы к пятой главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффективные математические методы вычисления цен опционов в моделях, допускающих скачки»

Актуальность темы исследования. В развитых странах срочный рынок - рынок фьючерсных и опционных контрактов - является важнейшей составляющей финансового рынка, поскольку его оборот в десятки раз превышает объем торгов на рынке базовых активов. Срочный рынок является весьма популярным среди большого круга инвесторов благодаря широким возможностям при минимальных затратах эффективно управлять ценовыми рисками рынков акций, валют, а также долгового и товарного рынков.

В России появление рынка фьючерсов и опционов в РТС (FORTS) в значительной степени обусловлено финансовым кризисом 1998 г., когда деятельность участников фондового рынка была практически парализована. В настоящее время рынок FORTS стал ведущей площадкой по торговле производными финансовыми инструментами не только в нашей стране, но и в странах Восточной Европы. Задача создания самостоятельного финансового центра в России является важнейшим приоритетом долгосрочной экономической политики страны.

Согласно "Стратегии развития финансового рынка Российской Федерации на период до 2020 года", в рамках решения задачи по повышению ёмкости и прозрачности российского финансового рынка планируется расширить спектр производных финансовых инструментов и укрепить нормативно-правовую базу срочного рынка. Таким образом, в ближайшем будущем следует ожидать качественный рост объёмов сделок с производными финансовыми инструментами. В связи с этим, важной актуальной задачей является применение на российском срочном рынке адекватных математических моделей ценообразования деривативов. Поскольку российский финансовый рынок достаточно молод, имеет смысл воспользоваться накопленным опытом стран Западной Европы и США в вопросах моделирования и ценообразования производных финансовых инструментов.

Производные инструменты неоднократно становились объектом исследования учёных. При этом, в силу более позднего формирования структур рынка деривативов в нашей стране, большая часть работ по данной тематике принадлежит иностранным исследователям, в число которых входят: S. Asmussen, F. Avram, О. Е. Barndorff-Nielsen, D. S. Bates, M. N. Broadie, A. Bensoussan, F. Black, P. Carr, R. Cont, J. С. Сох, F. Delbaen, D. Duffie, E. Eberlein, P. Glasserman, S. L. Heston, A. Hirsa, J. E. Ingersoll, P. Jaillet, I. Karatzas, А. E. Kyprianou, S. Kou, D. Lamberton, B. Lapeyre, F. Longstaff, D. B. Madan, R. Merton, E. Mordecki, G. Peskir, H. Pham, L. C. G. Rogers, S. A. Ross, W. Schachermayer, M. Scholes, W. Schoutens, C. Schwab, E. Schwartz, N. Touzi, M. Yor, X. L. Zhang и другие.

В нашей стране большое влияние на формирование и развитие финансовой математики было оказано членом-корреспондентом РАН, профессором А.Н.Ширяевым и его учениками. На юге России указанное направление первым стал развивать профессор С.З.Левендорский. В настоящее время многие российские учёные активно работают в области финансовой математики в России и зарубежом, являются консультантами финансовых институтов, входят в редколлегии ведущих международных журналов. В список этих учёных входят К. А. Боровков, С. И. Боярченко, Г. И. Белявский, А. А. Гущин, Ю. М. Кабанов, Д. О. Крамков, С. 3. Левендорский, А. В. Мельников,

A. А. Новиков, И. В. Павлов, Э. Л. Пресман, Д. Б. Рохлин, В. Н. Тутубалин,

B. М. Хаметов, А. С. Чёрный, А. Н. Ширяев и др.

Напомним, что одновременно с началом первых торгов на Чикагской бирже в 1973 году, появляются работы P.C. Мертона, Ф. Блэка и М. Шоулса, посвящённые ценообразованию опционов. На основе этих работ была построена теория ценообразования деривативов, использующая гауссовские процессы для моделирования финансовых рынков. Согласно этой теории, справедливые цены опционов представляют собой определённые функционалы от моделирующего процесса. По сути, опцион представляет собой контракт, который в обмен на премию (цену опциона) даёт право его владельцу при осуществлении определённых условий продать или купить некоторый финансовый актив по фиксированной цене. Вычисление справедливой цены опциона в модели Блэка-Шоулса, как правило, сводится к решению дифференциального уравнения в частных производных с определёнными начальными и краевыми условиями или свободной границей. Данное уравнение в финансовой математике носит имя Блэка-Шоулса и является ничем иным, как обратным уравнением Колмогорова. Вместе с тем, непрерывность траекторий и "тонкие хвосты", приводящие к недооцениванию ценовых рисков, делали эту модель не слишком близкой к реальности.

С конца прошлого века выделился определённый класс более реалистичных негауссовских процессов Леви, обобщающих модель Блэка-Шоулса. Преимуществом новых моделей является с одной стороны возможность моделирования скачков цены акции, с другой - более реальная оценка ценовых рисков. В отличие от гауссова случая, соответствующие функционалы от процессов Леви связаны с интегро-дифференциальным уравнением Колмогорова (обобщённым уравнением Блэка-Шоулса).

Наличие стохастической волатильности в модели Леви увеличивает размерность задачи и значительно усложняет ее решение. В последнее время многих авторов привлекает задача, когда модель зависит от марковской цепи с конечным числом состояний, которые могут быть интерпретированы как случайно изменяющиеся факторы среды (напр., финансового рынка). Наибольший интерес представляет моделирование скачков (напр., цены акции) с помощью негауссовских процессов Леви с переключениями режима по параметрам. В частности, такие процессы позволяют приблизить модели Леви со стохастической волатильностью. Важные для приложений задачи вычисления функционалов от процессов Леви с переключениями режима сводятся к решению достаточно сложных систем интегро-дифференциальных уравнений с частными производными.

С точки зрения банковской практики для принятия оперативных решений широко востребованы быстрые алгоритмы ценообразования производных финансовых инструментов; в частности, это необходимо для калибровки моделей финансового рынка. Наибольший практический интерес представляет подбор параметров модели по ценам экзотических опционов. Однако в настоящий момент, методы ценообразования таких опционов в общих моделях Леви являются затратными по времени.

Теория опционов может применяться не только на финансовом рынке, но и в реальном секторе экономики. В частности, метод реальных опционов позволяет вычислить стоимость инвестиционного проекта. Вместе с тем, реальные опционы могут быть найдены в таможенно-тарифной и налоговой политике. Следует отметить, что поступления от внешнеэкономической деятельности (таможенные пошлины, сборы, НДС, акцизы и др. платежи) представляют значительную долю доходной части государственного бюджета Российской Федерации (от 30% до 50%). Таким образом, актуальность проведения научно-исследовательской работы, посвящённой задачам анализа финансовых рисков, связанных с таможенной деятельностью, определяется значимостью данного вопроса для Федеральной таможенной службы России.

Диссертационная работа посвящена эффективным математическим методам вычисления специального вида функционалов, возникающих в финансовой математике при ценообразовании опционов в моделях, допускающих скачки. Работа выполнена в рамках федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России", государственный контракт № 02.740.11.0208 от 7 июля 2009 г.

Следует отметить, что большое влияние на автора оказали научные работы С. 3. Левендорского, которому хотелось бы выразить глубокую благодарность за введение в область финансовой математики.

Цель диссертационной работы состоит в разработке эффективных и универсальных математических методов вычисления безарбитражных цен широкого спектра производных финансовых инструментов в моделях, допускающих скачки.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

• разработан универсальный и эффективный метод приближенной факторизации Винера-Хопфа для широкого класса моделей Леви (метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа");

• разработаны эффективные методы ценообразования барьерных и цифровых опционов первого касания в моделях Леви;

• разработаны эффективные методы ценообразования барьерных и цифровых опционов первого касания в моделях Леви с переключением режимов по параметрам процесса, обобщаемые на модели Леви со стохастической волатильностью

• применён асимптотический метод вычисления безарбитражной цены цифровых опционов первого касания в негауссовой модели Леви;

• предложена методика оценки финансового риска, связанного с получением таможенных платежей ниже планового задания;

• предложен метод реальных опционов для обоснованного формирования плановых показателей получения таможенных платежей.

Область исследования. Содержание диссертации соответствует п. 1.6. "Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов" и п. 2.6. "Развитие теоретических основ методологии и инструментария проектирования, разработки и сопровождения информационных систем субъектов экономической деятельности: методы формализованного представления предметной области, программные средства, базы данных, корпоративные хранилища данных, базы знаний, коммуникационные технологии" специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики -паспорта специальности ВАК РФ.

Научная новизна. Центральным результатом работы является метод приближенной факторизации Винера-Хопфа для широкого класса моделей Леви в контексте ценообразования опционов. Указанный метод позволяет за секунды и даже доли секунды решать огромный спектр задач финансовой математики. В частности, с помощью разработанного метода "Быстрой факторизации Винера-Хопфа" (БФВХ) можно вычислять безарбитражные цены барьерных, бермудских опционов, цифровых опционов первого касания в общих моделях Леви. Метод легко обобщается на случай моделей Леви с переключением режимов по параметрам и моделей со стохастической вола-тильностью. Вместе с тем, возможно распространение разработанного метода и на другие виды опционов (напр., американские, Swing, lookback и др.). Метод БФВХ - это первое применение метода приближенной факторизации к задачам финансовой математики.

В работе предложена эффективная асимптотическая формула для опционов первого касания в модели Normal Inverse Gaussian, опирающаяся на факторизацию Винера-Хопфа. Разработана точная конечно-разностная схема для негауссовых моделей Леви. Предложен общий подход, основывающийся на факторизации матриц Теплица, для решения неявных конечно-разностных схем в контексте ценообразования опционов. Разработаны новые математические методы анализа и оценки рисков, возникающих в таможенной деятельности. В качестве элемента управления финансовыми рисками, связанными с получением таможенных платежей, предложен метод реальных опционов.

Практическая значимость. Результаты диссертации нашли практическое применение и внедрены в программный продукт Premia (web-портал: www.premia.fr) в рамках участия в международном научно-исследовательском проекте по финансовой математике "Mathfi" на базе французского национального научно-исследовательского института информатики и автоматизации в Париже (INRIA-Rocquencourt, Paris, web-портал: www.inria.fr). Программный продукт Premia решает задачи по ценообразованию опционов, хеджированию и калибровке моделей финансовых рынков. Данный проект реализуется в тесном сотрудничестве с консорциумом финансовых институтов, включающим в себя ведущие банки Франции и Австрии.

В настоящее время автор входит в группу постоянных разработчиков этого программного продукта. Разработанные автором алгоритмы вошли в выпуски Premia И, Premia 12 и Premia 13. Программный продукт Premia зарегистрирован "Французским агентством по защите программ" (web-портал: http://app.legalis.net/), номер лицензии IDDN FR 001.190010.007.

В частности, автором разработаны и внедрены в программную платформу Premia:

• метод БФВХ для барьерных и цифровых опционов первого касания в 4 моделях Леви: TSL, NIG, Kou, VG;

• метод БФВХ для барьерных и цифровых опционов первого касания в 2 моделях Леви с переключением режимов: TSL, Кои;

• метод БФВХ для барьерных опционов в модели Хестона;

• конечно-разностная схема для модели Леви KoBoL.

Предложенные в диссертационном исследовании методы оценки финансовых рисков могут быть использованы региональными таможенными управлениями при составлении и контроле за выполнением плановых заданий по таможенным платежам.

Материалы диссертационного исследования используются в учебном процессе в Южном федеральном университете при преподавании специального курса "Финансовая математика".

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Универсальная и эффективная процедура приближенной факторизации Винера-Хопфа в терминах характеристических функций (рабочее название: метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа", сокращённо: метод БФВХ), основанная на свойствах безгранично делимых распределений. Метод БФВХ применим для широкого класса процессов Леви, включающего в себя популярные модели финансовых рынков. По простоте практической реализации метод БФВХ сравним с конечно-разностными схемами, но даёт существенные преимущества при решении аналогичных задач финансовой математики. Более того, для применения метода БФВХ достаточно знать только характеристическую экспоненту модели Леви, в то время как для других методов (например, конечно-разностных схем), как правило, требуется дополнительный анализ особенностей меры Леви в окрестности нуля. Отметим, что мера Леви обычно значительно сложнее характеристической функции с вычислительной точки зрения, в частности, может выражаться с помощью специальных функций.

2. Алгоритм метода "Быстрой факторизации Винера-Хопфа", включающий в себя эффективную практическую реализацию операторной формы факторов Винера-Хопфа с помощью быстрого преобразования Фурье для вещественнозначных функций. Данный подход позволяет аппроксимировать операторы (факторы Винера-Хопфа в операторной форме) в формуле для цены опциона, в то время как для других методов (например, конечно-разностных схем) аппроксимируется оператор в уравнении для цены, а затем решается приближенная задача. Следовательно, метод БФВХ позволяет разрабатывать более точные численные методы вычисления безарбитражных цен опционов.

3. Эффективные математические методы ценообразования барьерных и цифровых опционов в моделях Леви без переключения режимов и с переключением режимов по параметрам процесса, которые легко обобщаются на случай моделей Леви со стохастической волатильностью. С помощью метода горизонтальных линий (дискретизации времени) или преобразования Лапласа начально-краевая задача для обобщённого уравнения Блэка-Шоулса (или системы уравнений) сводится к семейству задач на полуоси, которые можно быстро и эффективно решить с помощью метода "Выстрой факторизации Винера-Хопфа". Более того, в предложенных методах приближённые формулы для факторов Винера-Хопфа применяются однократно, что позволяет значительно сократить вычислительные ошибки. Обоснована сходимость метода горизонтальных линий, указан порядок сходимости и предложены формулы ускорения сходимости.

4, Эффективный асимптотический метод вычисления безарбитражных цен цифровых опционов первого касания в чисто негауссовой модели Normal Inverse Gaussian. Если необходимо с точностью до нескольких процентов определить цену опциона для одного значения цены базового актива не позднее, чем за 5 дней до окончания срока действия опциона, то асимптотическая формула может быть хорошей альтернативой методу БФВХ в смысле скорости.

5. Программная реализация метода БФВХ для ценообразования барьерных и цифровых опционов первого касания для различных моделей, допускающих скачки. Большинство разработанных алгоритмов внедрены в программный платформу Premia.

6. Преимущества метода БФВХ в контексте ценообразования различных видов опционов по сравнению с другими методами (Монте-Карло и конечно-разностные схемы) подтверждены разнообразными вычислительными экспериментами на модельных примерах. Метод БФВХ позволяет за секунды и даже доли секунды решать задачи ценообразования опционов в адекватных моделях финансовых рынков. Следовательно, подбор параметров моделей базовых активов можно достаточно быстро проводить на качественно более высоком уровне: калибровать модели по безарбитражным ценам экзотических опционов.

7. Общий подход к решению вспомогательных систем, возникающих после применения конечно-разностной схем к интегро-дифференциально-му уравнению с частными производными для цены барьерного опциона. Метод использует приближенную факторизацию Винера-Хопфа в терминах тёплицевых матриц и эффективно применим к полностью неявным схемам относительно дифференциальной и интегральной частей оператора. Существующие конечно-разностные методы вычисления безарбитражных цен опционов применяются к явно-неявным схемам; явным (относительно дифференциальной части) и неявным (относительно интегральной части), что приводит к потери точности.

8. Методика оценки финансового риска, связанного с получением таможенных платежей ниже планового показателя. Модель потока таможенных платежей в виде процесса Леви с положительными приращениями. Применение метода реальных опционов при формировании контрольных показателей.

Достоверность полученных выводов подтверждается математическим анализом разработанных алгоритмов, проведением вычислительных экспериментов для модельных задач и сравнением результатов с контрольными расчётами альтернативными методами других авторов (метод Монте-Карло, конечно-разностные схемы для достаточно мелкой сетки).

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на международных, российских и региональных конференция и научных семинарах в России и зарубежом, в том числе:

• Конференция АМаМеР по численным методам в финансах, Французский национальный научно-исследовательский институт информатики и управления (ЩША-Носяиепсош^), 1-3 февраля, 2006, Париж, Франция

• Встречи Американского математического общества, Международный университет Флориды, Майами, США, 1-2 апреля, 2006

• Пятый Всемирный Конгресс Финансового Общества Вашелье, Лондон, Великобритания, 15-19 июля, 2008.

• Пятая международная конференции "Передовые математические методы в области финансов", АМаМеР 2010, 3 мая - 9 мая 2010 г., Блед, Словения;

• Международная научно-практическая видео-конференция "Модернизация таможенного дела - актуальная задача современного развития ФТС России", 22 октября 2010 года, г.Москва-Люберцы)

Международный научный семинар "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения", Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону, 24-28 апреля 2011

Всероссийские симпозиумы по прикладной и промышленной математике (Ростов-на-Дону, май 2002 г., Йошкар-Ола, декабрь 2006 г, Сочи-Дагомыс, октябрь 2010г, Казань, май 2011г). научно-практические семинары и конференции на базе Ростовского филиала Российской таможенной академии, посвящённые вопросам оптимизация таможенных процедур, 2005-2009 годы. научный семинар на кафедре исследования операций, Южного федерального университета, Ростов-на-Дону, октябрь, 2009г заседание Ростовского математического общества, Ростов-на-Дону, декабрь, 2009 научный семинар "Вероятностные методы в финансах" в университете Пари-Эст Марн-ля-Валле (Paris-Est Marne-la-Vallée), Париж, февраль 2009 г, январь 2010 г (среди участников семинара D.Lamberton, B.Lapeyre) встреча разработчиков программного продукта PREMIA и аналитиков банков Франции и Австрии, институт Башелье, Париж, Франция, февраль 2009 г. научный семинар на факультете экономики и финансов, университет г. Удине, Италия, май 2010 г научный семинар "Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании", Центральный экономико-математический институт РАН, ноябрь, 2010 г

• научный семинар кафедры математики "Современная математика и концепции инновационного математического образования", Финансовый университет при Правительстве РФ, декабрь, 2010 г

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 35 печатных работах, в том числе 2 монографии, 3 статьи в международных научных журналах, входящих в международные системы цитирования (Web of Science, Mathematics Abstracts, Scopus), 10 публикаций в ведущих российских рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК России.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 5 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 273 страницы, из них 245 страницы текста, включая 9 таблиц и 11 рисунков. Библиография включает 216 наименований на 28 страницах.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Кудрявцев, Олег Евгеньевич

5.4. Выводы к пятой главе

Разработанные в главах 1-3 алгоритмы эффективных математических методов, решающих задачи финансовой математики, внедрены в программный продукт PREMIA [199] в рамках участия автора диссертации в международном научно-исследовательском проекте по финансовой математике "Mathfi" на базе французского национального научно-исследовательского института информатики и автоматизации в Париже (INRIA-Rocquencourt, Paris, web-портал: www.inria.fr). Программный продукт PREMIA решает задачи по оцениванию опционов, хеджированию и калибровке моделей финансовых рынков.

Проведённые вычислительные эксперименты показывают, что разработанные автором методы быстро сходятся и согласуются с результатами, полученными другими методами, но существенно превосходят их в скорости расчётов.

Заключение

С точки зрения практики широко востребованы быстрые алгоритмы оценивания производных финансовых инструментов; в частности, это необходимо для калибровки моделей финансового рынка. Наибольший практический интерес представляет подбор параметров модели по ценам экзотических и американских опционов. Однако в настоящий момент, методы вычисления таких опционов в общих моделях Леви являются затратными по времени.

Метод Винера-Хопфа является стандартным аналитическим методом решения задач на полуоси типа (1.93)-(1.94), которые возникают в процессе решения различных задач финансовой математики. Для ряда опционов в моделях Леви были получены аналитические формулы для преобразования Лапласа цены опциона в терминах факторов Винера-Хопфа (см., напр., [93, 190]). В общем случае, практическая реализация указанных формул связана с необходимостью вычислять 2-или 3-мерные интегралы. Вместе с тем, явные формулы для факторов известны только в небольшом числе частных случаев, когда характеристическая экспонента моделирующего процесса является рациональной функцией (модели Блэка-Шоулса, Коу и некоторые другие).

Главным результатом работы является метод приближенной факторизации Винера-Хопфа, применимый для широкого класса моделей Леви. Разработанный метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа" (БФВХ) включает в себя эффективную практическую реализацию операторов £+ и £~, являющихся факторами Винера-Хопфа в факторизационном тождестве (1.84). Вычислительная сложность алгоритма численной реализации действия операторов £+ и £~ равна О(МЫМ), где М - число точек дискретизации по пространственной переменной. Управлять точностью аппроксимации факторов можно увеличивая область локализации и число М, которое одновременно является количеством слагаемых в Фурье-разложении факторов. Метод БФВХ, основанный на свойствах безгранично делимых распределений и алгоритме быстрого преобразования Фурье, по простоте реализации близок к конечно-разностным схемам, но существенно выигрывает в скорости и точности. Более того, построение конечно-разностных схем обычно требует серьёзного анализа поведения в окрестности нуля меры Леви, которая часто выражается через специальные функции. Напротив, метод БФВХ использует формулу характеристической экспоненты процесса Леви, вид которой обычно достаточно прост с вычислительной точки зрения.

Как показывают вычислительные эксперименты, проведённые в работе, метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа" позволяет за секунды и даже доли секунды решать огромный спектр задач финансовой математики. В частности, с помощью метода "Быстрой факторизации Винера-Хопфа" в диссертации разработаны эффективные универсальные математические методы вычисления безарбитражных цен барьерных опционов и цифровых опционов первого касания в общих моделях Леви. Вычислительная сложность соответствующих алгоритмов равна 0(NMh\M), где М - число точек дискретизации по пространственной переменной, N - количество периодов дискретизации временной переменной. Доказана сходимость метода линий, указан порядок сходимости и формулы ускорения сходимости. Разработанные методы имеют важную отличительную особенность: приближённые формулы для факторов Винера-Хопфа применяются однократно.

Метод обобщён на случай моделей Леви с переключением режимов по параметрам и моделей со стохастической волатильностью (например, модели Хестона или Бейтса). Метод может быть применён и к другим задачам финансовой математики, не рассмотренным в диссертации. Например, к задачам ценообразования американских опционов, опционов Swing, частично барьерных опционов, опционов lookback, lookbarrier и других гибридов экзотических опционов, в частности, см. [36, 40, 41, 45, 46, 153, 157, 167].

Отметим, что предложенный автором метод БФВХ - это первое применение приближенной факторизации Винера-Хопфа к решению задач финансовой математики для общих моделей Леви. Альтернативой методу БФВХ могла бы быть приближённая факторизация Паде [63], которая заключается в аппроксимации отношением двух полиномов характеристической функции q(q + ФЮ)-1) гДе Ф(£) ~ характеристическая экспонента процесса Леви (1.2), см. также [53, 54]. Указанное отношение сравнительно просто раскладывается в произведение двух рациональных функций с нулями и полюсами в верхней и нижней полуплоскостях комплексной плоскости, соответственно. Обсуждение возможности применения аппроксимации Паде в задачах ценообразования некоторых экзотических опционов в моделях Леви см. в [128]. Однако, данный метод, наряду с рядом технических трудностей, не позволяет интерпретировать факторы Винера-Хопфа, как характеристические функции безгранично делимых распределений. Следовательно, для факторов Винера-Хопфа в операторной форме не будут выполняться в полной мере утверждения 1.3-1.5, что не позволит, в частности, решать задачи об оптимальной остановке.

В связи с этим, ряд авторов (см., например, [111, 117, 141]) предлагают аппроксимировать исходный процесс моделью Коу или ее обобщением - диффузией с гиперэкспоненциальными скачками, характеристические экспоненты которых уже являются рациональными функциями. Однако, такое приближение приводит к дополнительному источнику ошибок, которые могут быть весьма значительными для опционов с барьерами (см. примеры в [88, 89]).

Отметим, что в недавних работах А.Кузнецова с соавторами [159, 160] были построены два широких класса моделей Леви: /?-класс и гипергеометрическое семейство, для которых определены полуявные формулы для факторов Винера-Хопфа в виде бесконечных произведений дробно-линейных функций. Недостатком, является тот факт, что типичные модели не входят в эти классы и для факторизации необходимо находить корни полиномов высоких степеней. Ещё одно неудобство (в частности, для калибровки модели) связано с большим числом параметров модели.

Метод БФВХ может быть использован и для построения эффективного Монте-Карло, симулирующего траектории процессов супремума и инфиму-ма. Хорошо известно, что сходимость оценок вероятности первого перехода через барьер стандартными методами Монте-Карло в случае моделей Леви является достаточно медленной. Следовательно, необходимо большое количество симуляций траекторий с достаточно малым временным лагом. Недавно, в работе 2011 года [160] был предложен новый метод симуляции совместного распределения максимума и значения процесса Леви в фиксированный момент времени с помощью факторизации Винера-Хопфа. Указанный метод значительно превосходит с вычислительной точки зрения стандартный метод Монте-Карло для процессов Леви, мера Леви которых представима в виде суммы меры Леви, принадлежащей ^-классу или гипергеометрическое семейству, и конечной меры. Метод БФВХ позволит обобщить данную методику на более широкий класс моделей Леви. Как одно из приложений, новый метод Монте-Карло можно будет эффективно использовать в финансовой математике при вычислении цен широкого класса экзотических опционов.

Наряду с вышеизложенным в диссертации была разработана конечно-разностная схема для вычисления безарбитражных цен барьерных опционов. В отличие от известных конечно-разностных схем ([110, 116, 130]), в которых малые скачки приближаются дополнительной диффузионной компонентой, построенный метод не изменяет порядка инфинитезимального оператора, аппроксимируя малые скачки дополнительным сносом. Следовательно, сохраняются качественные свойства решения.

Вместе с тем предложен общий подход решения систем линейных уравнений, возникающих после применения конечно-разностных схем к обратному уравнению Колмогорова для цен барьерных и других опционов. Метод конечных разностей достаточно популярен на практике, поскольку в диффузионных моделях соответствующая матрица системы является трехдиагональ-ной и легко обращается. Однако, в случае моделей финансового рынка, допускающих скачки, возникает необходимость обращать "плотные" теплицевы матрицы. Для того, чтобы обойти эту проблему многие авторы предлагают явно-неявные схемы, в которых после дискретизации получается трехдиаго-нальная система ([110, 115, 116, 130]).

Большинство конечно-разностных схем, применяемых в финансовой математике, можно интерпретировать с вероятностной точки зрения, как аппроксимацию исходного процесса Леви марковской цепью с непрерывным временем со счётным числом состояний, генератор которой является лоренце-вой матрицей, тесно связанной с теплицевой матрицей системы. Такая интерпретация даёт возможность построить приближенный метод факторизации матриц Теплица, который позволяет обращать "плотные" теплицевы матрицы соответствующих систем.

Результаты диссертации нашли практическое применение и внедрены в программный продукт Premia [199] в рамках участия в международном научно-исследовательском проекте по финансовой математике "Mathfi" на базе французского национального научно-исследовательского института информатики и автоматизации в Париже (INRIA-Rocquencourt, Paris, web-портал: www.inria.fr).

Программная платформа Premia решает задачи по вычислению безарбитражных цен опционов, хеджированию и подбору параметров для моделей финансовых рынков. Данный проект реализуется в тесном сотрудничестве с консорциумом финансовых институтов, включающим в себя ведущие банки Франции и Австрии.

В настоящее время автор входит в группу постоянных разработчиков этого программного продукта. Разработанные автором алгоритмы вошли в выпуски Premia 11, Premia 12 и Premia 13. Программный продукт Premia зарегистрирован "Французским агентством по защите программ" (web-портал: http://app.legalis.net/), номер лицензии IDDN FR 001.190010.007.

В частности, автором разработаны и внедрены в программную платформу Premia:

• конечно-разностная схема для модели Леви KoBoL;

• метод БФВХ для барьерных и цифровых опционов первого касания в 4 моделях Леви: KoBoL, NIG, Kou, VG;

• метод БФВХ для барьерных и цифровых опционов первого касания в 2 моделях Леви с переключением режимов: KoBoL, Kou;

• метод БФВХ для барьерных опционов в модели Хестона;

Проведённые вычислительные эксперименты показывают, что разработанные автором методы быстро сходятся и согласуются с результатами, полученными другими методами (Монте-Карло, конечно-разностные схемы), но существенно превосходят их в скорости расчётов.

В диссертации проведён анализ рисков в таможенной деятельности. Большое внимание уделено финансовым рискам, связанным с таможенными платежами. Впервые предложено сместить акцент с прогнозирования таможенных платежей, которое не приносит удовлетворительных результатов, на анализ финансовых рисков в таможенной сфере. В данном ключе разработана новая методика оценки риска получения таможенных платежей ниже планового задания с помощью метода реальных опционов. В качестве адекватной модели для процесса доходов федерального бюджета предполагается использовать субординатор, а вероятность выполнения контрольных показателей вычислять как цифровой опцион первого касания. Продолжение исследований в данном направлении представляется весьма актуальным и перспективным.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кудрявцев, Олег Евгеньевич, 2012 год

1. Международная конвенция об упрощении и гармонизации таможенных процедур (Киотская конвенция), заключена в г. Киото 18.05.1973, в редакции от 1999 г.

2. Таможенный кодекс Таможенного союза.

3. Таможенный кодекс Российской Федерации: федеральный закон № 61-ФЗ от 28.05.2003: по состоянию на 13.04.2010. Режим доступа: СПС «КонсультантПлюс».

4. Об основах государственного регулирования внешнеторговой деятельности: федеральный закон №164-ФЗ от 08.12.2003: по состоянию на 22.02.2010. Режим доступа : СПС «КонсультантПлюс».

5. О таможенном тарифе: федеральный закон РФ № 5003-1 от 21.05.1993 : по состоянию на 28.05.2010 Режим доступа: СПС «КонсультантПлюс».

6. Об утверждении Концепции системы управления рисками в таможенной службе Российской Федерации : приказ ГТК от 26.09.2003 г. № 1069 : по состоянию на 02.05.2010 Режим доступа : СПС «Консультант Плюс».

7. Об утверждении Порядка работы таможенных органов с генеральным обеспечением уплаты таможенных платежей : распоряжение ГТК России. № 700-р от 25 декабря 2003 г : по состоянию на 01.05.2010. Режим доступа : СПС «КонсультантПлюс».

8. О контрольных показателях эффективности деятельности региональных таможенных управлений и таможен, непосредственно подчиненных ФТС России на 2007 год : приказ ФТС России. № 250 от 02.03.2007 г: по состоянию на 02.05.2010 Режим доступа : СПС «Гарант».

9. Об утверждении Общего положения о региональном таможенном управлении и Общего положения о таможне. : приказ ФТС РФ №7 от 12.01.2005 г. : по состоянию на 19.05.2010 Режим доступа : СПС «КонсультантПлюс».

10. И. Письмо ГНИВЦ ФТС России от 19.10.2007 № 11-04/9181 «О внесении изменений в структуру электронной копии ГТД»

11. Аркин, В. И. Вариационный подход к задачам оптимальной остановки диффузионных процессов / В. И. Аркин, А. Д. Сластников // ТВП. -2008. Т.53, Вып.З. С. 516-533.

12. Богомолов, С. В. Метод частиц. Несжимаемая жидкость / С. В. Богомолов // Матем. моделирование. 2003. - Т. 15. № 1. - С. 46-58.

13. Брусланова, Н. Оценка инвестиционных проектов методом реальныхопционов / Н. Брусланова // Финансовый директор.- 2004. №7-8. -Режим доступа : www.fd.rud.ru/article/10485.html.

14. Дубков, A.A. Стационарные вероятностные характеристики супердиффузии / А. А. Дубков, Б. Спаньоло // Актуальные проблемы статистической радиофизики. 2006. - Т. 5. - С. 55-65.

15. Беляева, Е. Н. Актуальные проблемы прогнозирования внешней торговли Южного федерального округа / Е. Н. Беляева, О. Е. Кудрявцев // Академический вестник. Ростов-на-Дону: РИО РФ РТА, 2003.- Вып. 1.- С. 4-7.

16. Беляева, Е. Н. Математические методы оценки таможенных рисков / Е. Н. Беляева, О. Е. Кудрявцев // Академический Вестник. 2005 - Вып. 3.- С. 6-8.

17. Гамидуллаев, С. Н. Современные методы оценки и анализа рисков в таможенной деятельности : монография / С. Н. Гамидуллаев, О. Е. Кудрявцев, И. В. Хоршева. М.: Вузовская книга, 2011. - 152 с.

18. Гетман, А. Н. Оценка финансового риска получения таможенных платежей / А. Н. Гетман, О. Е. Кудрявцев // Научно-технические ведомости СПбГПУ, серия "Информатика. Телекоммуникации. Управление". 2010. - №5. - С. 115-122.

19. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В. Е. Гмурман. М.: Высшая школа, 2007.

20. Разработка методологии прогнозирования объемов внешней торговли Южного Федерального округа: отчет о НИР (заключительный) / рук. О. Е. Кудрявцев. Ростов-на-Дону : Ростовский филиал Российской таможенной академии, 2003. - 46 с.

21. Принципы формирования информационной базы для выявления и статистической оценки таможенных рисков : отчет о НИР (заключительный) / рук. О. Е. Кудрявцев. Ростов-на-Дону : Ростовский филиал Российской таможенной академии, 2004. - 40 с.

22. Кудрявцев, О. Е. Спектральные асимптотики для магнитных операторов Шредингера / О. Е. Кудрявцев // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения. Межвуз. сб. научн. тр. ДГТУ. Ростов н/Д. -1999. Вып. 4. - С. 55-58.

23. Кудрявцев, О. Е. Асимптотика спектра магнитных операторов Шредингера и нильпотентные алгебры Ли / О. Е. Кудрявцев // Интегро-диф-ференциальные операторы и их приложения. Межвуз. сб. научн. тр. ДГТУ. Ростов Н/Д. 2002. - Вып. 5. С. 21-27.

24. Кудрявцев, О. Е. Спектральные асимптотики для магнитных операторов Шредингера и нильпотентные алгебры Ли. / О. Е. Кудрявцев // Доклады Академии Наук. 2002. - Т. 382. - № 2. - С. 158-161.

25. Кудрявцев, О. Е. Выбор объектов таможенного аудита с использованием системы анализа и управления рисками : учеб. пособие / О. Е. Кудрявцев, В. В. Соловьев, И. В. Соловьева. Ростов н/Д : РИО РФ РТА, 2005. - С. 46-103.

26. Статистические методы оценки таможенного риска на основе расчёта величин риска количественных граф ГТД/ТД : отчет о НИР (заключительный) / рук. О. Е. Кудрявцев. Ростов-на-Дону : Ростовский филиал Российской таможенной академии, 2007. - 39 с.

27. Анализ финансовых рисков, связанных с таможенной деятельностью: отчет о НИР (заключительный) / рук. О. Е. Кудрявцев. Ростов-на-Дону : Ростовский филиал Российской таможенной академии, 2010. -85 с.

28. Кудрявцев, О. Е. Математические методы оценки рисков: Учеб. пособ. / O.E. Кудрявцев // Ростов н/Д: Российская таможенная академия, Ростовский филиал, 2010.

29. Кудрявцев, О. Е. Современные численные методы решения интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в приложениях: монография / О. Е. Кудрявцев // М.: Вузовская книга, 2010. 144 с.

30. Кудрявцев, O.E. Методика автоматизированного выявления потенциального риска перетекания товаропотоков между различными таможенными органами / О. Е. Кудрявцев, О. В. Лисейкина // Управление риском. 2010. - № 3. - С.52-58.

31. Кудрявцев, О. Е. Вычисление цен барьерных и американских опционов в моделях Леви / О. Е. Кудрявцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. - Т. 17. - № 2. - С. 210-220.

32. Кудрявцев, О. Е. Эффективный численный метод оценивания американских опционов в моделях Леви с переключением режимов по параметрам процесса / О. Е. Кудрявцев // Вестник РГУПС. 2010. - Т. 39.- № 3. С.158-167.

33. Кудрявцев, О. Е. Эффективные численные методы оценивания барьерных опционов в моделях Леви / О. Е. Кудрявцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. - Т. 17. - № 4. - С.575.

34. Кудрявцев, О. Е. Целевые методики выявления рисков как один из элементов построения полнофункциональной модели системы управления рисками / О. Е. Кудрявцев, И. Б. Татарова // Вестник Российской таможенной академии. -2011. 1. С. 42-47.

35. Кудрявцев, О. Е. Эффективный численный метод решения специального класса интегро-дифференциальных уравнений, связанных с моделями Леви / О. Е. Кудрявцев // Математическое моделирование. 2011,- Т. 23, № 5. - С.95-104.

36. Кудрявцев, О. Е. Эффективный численный метод вычисления цен барьерных опционов в моделях Леви / О. Е. Кудрявцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2011, - Т. 18, - № 3. - С. 355-372.

37. Кудрявцев, О. Е. Численный метод оценивания барьерных и американских опционов в моделях Хестона и Бейтса / О. Е. Кудрявцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2011, - Т. 18, - № 2.- С. 285.

38. Лаврентьева, А. А. Проектирование систем управления рисками организации / А. А. Лаврентьева // Вестник Поволжской академии государственной службы. 2004. - № 6. - С. 68-74.

39. Лисицина, Е. В. Технология риск-менеджмента / Е. В. Лисицина, Г. С. Токаренко // Управление риском. 2004. - № 1. - С. 11-14.

40. Лепешкина, М.В. Измерение степени неопределенности / М.В. Лепеш-кина // Риск: ресурсы, информация, снабжение, конкуренция. 2003. -№ 2. - С. 39-44.

41. Селиванов, А. В. О мартингальных мерах в экспоненциальных моделях Леви / A.B. Селиванов // ТВП. 2004. - Т.49. - № 2. - С. 317-334.

42. Тихоненко, Н. Я. О методе приближенной факторизации / Н. Я. Тихо-ненко // Изв. вузов. Математика. 1976. - № 4. - С. 74-86.253

43. Тихоненко, Н. Я. Конечномерные методы приближённого решения линейных уравнений типа свёртки / Н. Я. Тихоненко // Изв. вузов. Математика. 2004. - № 8. - С. 71-80.

44. Учайкин, В. В. Метод дробных производных / В. В. Учайкин // Ульяновск : Артишок, 2008. 512 с.

45. Федорюк, М.В. Метод перевала / М. В. Федорюк // М.: Либроком, 2010. 368.

46. Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ / Б. В. Шабат //М.: Наука, 1969,- 576 с.

47. Ширяев, А. Н. Основы стохастической финансовой математики / А. Н. Ширяев // Факты. Модели. М.: Фазис, 1998. - Т. 1.

48. Ширяев, А. Н. Основы стохастической финансовой математики / А. Н. Ширяев // Теория. М.: Фазис, 1998. - Т. 2.

49. Эскин, Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений / Г. И. Эскин. М. : Наука, 1973.

50. Abate, J. Numerical inversion of Laplace transforms of probability distributions / J. Abate, W. Whitt // ORSA Journal on Computing. -1995. 7. - P. 36-43.

51. Abate, J. A unified framework for numerically inverting Laplace transforms / J. Abate, W. Whitt // INFORMS Journal on Computing. 2006. - Vol. 18, - № 4. - P. 408-421.

52. Abrahams, I.D. The application of Pade approximants to Wiener-Hopf factorization / I. D. Abrahams // IMA Journal of Applied Mathematics. 2000. - Vol. 65. - P. 257-281.

53. Albanese, C. Jumping in line / C. Albanese, S. Jaimungal, D. H. Rubisov // Risk Magazine. 2001.

54. Alili, L. Some remarks on first passage of Levy processes, the American put option and pasting principals / L. Alili, A. Kyprianou // Annals of Applied Probability. 2005. - Vol. 15, - № 3. - P. 2062-2080.

55. Amadi, C. W. Corporate Income Tax As a Real Option on Corporate Earnings / C. W. Amadi // International Business Research. 2011. - Vol. 4, - № 2. - P. 3-10.

56. Amin, K. Jump-diffusion option valuation in discrete time / K. Amin // J. Finance. 1993. - Vol. 48. - P. 1833-1863.

57. Anagnou, I. The Relation Between Implied and Realised Probability Density Functions / I. Anagnou, M.Bedendo, S. Hodges, R. Tompkins // Working paper, University of Warwick, 2003.

58. Andersen, L. Jump-diffusion processes: volatility smile fitting and numerical methods for option pricing / L. Andersen, J. Andreasen // Review of derivative research. 2000. - Vol. 4. - P. 231-262.

59. Avram, F. On the valuation of constant barrier options under spectrally one-sided exponential Levy models and Carr's approximation for American puts / F. Avram, T. Chan, M.Usabel // Stoch. Proc. Appl. 2002. - Vol. 100. - P. 75-107.

60. Asmussen, A. Russian and American put options under exponential phasetype Levy models / A. Asmussen, F. Avram, M. R. Pistorius // Stoch. Proc. Appl. 2004. - Vol. 109. - P. 79-111.

61. Barles, G. Convergence of numerical Schemes for problems arising in Finance theory / G. Barles, C.Daher, M.Romano // Mathematical models and methods in applied Sciences. 1995. - Vol. 5. - № 1. - P. 125-143.

62. Barndorff-Nielsen, O. E. Exponentially decreasing distributions for the logarithm of particle size / 0. E. Barndorff-Nielsen // Proc. Roy. Soc. London. 1977. - Vol. A. - № 353. - P. 401-419.

63. Barndorff-Nielsen, 0. E. Processes of Normal Inverse Gaussian Type / O. E. Barndorff-Nielsen // Finance and Stochastics. 1998. - Vol. 2. - P. 41-68.

64. Barndorff-Nielsen, 0. E. Feller Processes of Normal Inverse Gaussian type / 0. E. Barndorff-Nielsen, S. Levendorskii // Quantitative Finance. 2001. -Vol. 1. - P. 318-331.

65. Bates, D. S. Jumps and Stochastic Volatility: Exchange Rate Processes Implicit in Deutshe Mark Options / D. S. Bates // Review of Financial Studies. 1996. - Vol. 9. - P. 69-107.

66. Baxendale, P. Stochastic differential equations: theory and applications / P. Baxendale, S. Lototsky // Hackensack, NJ : World Scientific. Interdisciplinary Mathematical Sciences, 2007. Vol. 2. - 420 p.

67. Bensoussan, A. On the theory of option pricing / A. Bensoussan // Acta Appl. Math. 1984. - Vol. 2. - P. 139-158.

68. Bensoussan, A. Contrôle Impulsionnel et Inéquations Quasi-Variationelles / A. Bensoussan, J. L. Lions // Paris : Dunod, 1982.

69. Bakshia, G. First-Passage Probability, Jump Models, and Intra-Horizon Risk / G. Bakshia, G. Panayotov // Journal of Financial Economics. -2010. Vol. 95. - № 1. - P. 20-40.

70. Becker, M. Unbiased Monte Carlo valuation of lookback, swing and barrier options with continuous monitoring under variance gamma models / M. Becker // Computational Finance. 2010. - Vol. 13. - № 4.

71. Bermin, H.-P. Essays on Lookback & Barrier Options A Malliavin Calculus Approach, Working Paper // University of Lund, 1998.

72. Black, F. The Pricing of Options and Corporate Liabilities / F. Black, M. Scholes // Journal of Political Economy. 1973. - Vol. 81. - № 3.- P. 637-654.

73. Bouchard, B. Maturity randomisation for stochastic control problems / B. Bouchard, N. El Karoui, N. Touzi // Annals of Applied Probability. 2005.- Vol. 15. № 4, - P. 2575-2605.

74. Bouchaud, J-P. Theory of Financial Risk. / J-P. Bouchaud and M. Potters.- Paris, Alea-Saclay, Eurolles, 1997.

75. Boyarchenko, M. Carr's randomization for finite-lived barrier options: proof of convergence / M. Boyarchenko // Working paper. 2008. - Available at http: / / ssrn.com/abstract=1275666.

76. Boyarchenko, M. Prices and Sensitivities of Barrier and First-Touch Digital Options in Levy-Driven Models / M. Boyarchenko, S. Levendorskn // International Journal of Theoretical and Applied Finance. 2009. - № 8. -P. 1125-1170.

77. Boyarchenko, M. Valuation of continuously monitored double barrier options and related securities / M. Boyarchenko, S. Levendorskii // Mathematical Finance. 2011. 21: no. doi: 10.1111/j.l467-9965.2010.00469.x

78. Boyarchenko, S. I. Generalizations of the Black-Scholes equation for truncated Levy processes / S. I. Boyarchenko, S. Z. Levendorskii // Working Paper. University of Pennsylvania, Philadelphia. - 1999.

79. Boyarchenko, S. I. Option pricing for truncated Levy processes / S. I. Boyarchenko, S. Z. Levendorskii // International Journal of Theoretical and Applied Finance. 2000. - Vol. 3. - P. 549-552.

80. Boyarchenko, S. I. Perpetual American options under L6vy processes / S. I. Boyarchenko, S. Z. Levendorskii // SIAM Journal of Control and Optimization. 2002. - Vol. 40.

81. Boyarchenko, S. I. Non-Gaussian Merton-Black-Scholes theory / S. I. Boyarchenko, S. Z. Levendorskii. New Jercey, London, Singapore, Hong Kong : World Scientific, 2002.

82. Boyarchenko, S. I. Barrier options and touch-and-out options under regular Levy processes of exponential type / S. I. Boyarchenko, S. Z. Levendorskii // Annals of Applied Probability. 2002.

83. Boyarchenko S. I. American options: the EPV pricing model / S. I. Boyarchenko // Annals of Finance. 2005. - Vol. 1. - № 3. - P. 267-292.

84. Boyarchenko, S. I. General Option Exercise Rules, with Applications to Embedded Options and Monopolistic Expansion / S. I. Boyarchenko, S. Z.1.vendorskii // Contributions to Theoretical Economics 2006 - Vol. 6. -№ 1.

85. Boyarchenko S. I. Irreversible Decisions under Uncertainty (Optimal Stopping Made Easy) / S. I. Boyarchenko, S. Z. Levendorskii // Series: Studies in Economic Theory. Berlin : Springer-Ver lag, 2007. - Vol. 27.

86. Boyarchenko S. I. Pricing American options in regime-switching models / S. I. Boyarchenko, S. Z. Levendorskii // SIAM J. Control Optim. 2009. -Vol. 48. - P. 1353-1376.

87. Boyer R. H. An integro-differential equation for a Markov process / R. H. Boyer // J. Soc. Industr. and Appl. Math. 1959. - Vol. 7. - №4,-P. 473-486.

88. Bottcher, A. Introduction to large truncated Toeplitz matrices / A. Bottcher, B. Silbermann // Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 1999.

89. Broadie, M. Option pricing: valuation models and applications / M. Broadie, J. Detemple // Management Science. 2004. - Vol. 50. - P. 1145-1177.

90. Broadie, M. Connecting discrete and continuous path-dependent options / M. Broadie, P. Glasserman, S. G. Kou // Finance Stochastics. 1999. -Vol. 3. - № 1. - P. 55-82.

91. Briani, M. Convergence of numerical schemes for viscosity solutions to integro-differential degenerate parabolic problems arising in financial theory / M. Briani, C. La Chioma, R. Natalini // Numer. Math. 2004. - Vol. 98. - № 4. - P. 607-646.

92. Cherny, A. S. Change of time and measure for Lévy processes.

93. A.S. Cherny, A.N. Shiryaev// MaPhySto lecture notes series MPS-LN 2002-13, September 2002.

94. Carr, P. Randomization and the American put / P. Carr // Review of Financial Studies. 1998. - Vol. 11. - P. 597-626.

95. Carr, P. Fast accurate valuation of American options / P. Carr, D. Faguet // Working paper, Cornell University, Ithaca, 1994.

96. Carr, P. Option valuation using the Fast Fourier Transform / P. Carr, D. Madan // Journal of Computational Finance. 1999. - Vol. 3. -P. 463-520.

97. Copeland, N. Real Options A Practitioner's Guide / N. Copeland, V. Antikarov. - Texere, 2001.

98. Carr, P. The fine structure of asset returns: an empirical investigation / P. Carr, H. Geman, D. B. Madan, M. Yor // Journal of Business. 2002. -Vol. 75. - P. 305-332.

99. Carr, P. Why be backward? / P. Carr, A. Hirsa // Risk. 2003. - Vol. 26. - P. 103-107.

100. Carr, P. A class of Levy process models with almost exact calibration to both barrier and vanilla FX options / P. Carr, P. and J. Crosby // Quantitative Finance. 2010. - Vol. 10. - № 10. - P. 1115-1136.

101. Chourdakis, K. Non-affine option pricing / K. Chourdakis // Journal of Derivatives. 2004. - Vol. 11. - № 3. - P. 10-25.

102. Chourdakis, K. Levy processes driven by stochastic volatility / K.Chourdakis // Asia-Pacific Finan. Markets. 2005. - № 12. - P. 333-352.

103. Cont, R. Financial modelling with jump processes / R. Cont, P. Tankov // Chapman & Hall/CRC Press. 2004.

104. Cont, R. A finite difference scheme for option pricing in jump diffusion and exponential Levy models / R. Cont, E. Voltchkova // SIAM Journal on Numerical Analysis. 2005. - Vol. 43. - № 4. 1596-1626.

105. Crosby, J. Approximating Levy processes with a view to option pricing / J. Crosby, N. Le Saux, A. Mijatovic // International Journal of Theoretical and Applied Finance. 2010. - Vol. 13. - P. 63-91.

106. Cox, J. C. A Theory of the Term Structure of Interest Rates / J. C. Cox, J. E. Ingersoll, S. A. Ross // Econometrica. 1985. - Vol. 53. - P. 385-408.

107. Delbaen, F. The fundamental theorem of asset pricing for unbounded stochastic processes. / F. Delbaen, W. Schachermayer // Math. Ann. 1998. - Vol.312. - P. 215-250.

108. DufRe, D. Transform analysis and asset pricing for affine jump-diffusions / D. Duffie, J. Pan, K. Singleton // Econometrica. 2000. - Vol. 68. -P. 1343-1376.

109. Dupuis, P. G. Numerical methods for stochastic control problems in continuous time / P. G. Dupuis, Kushner H. J. // In Applications of Mathematics. New York, NY : Springer Verlag, 2001. - Vol. 24.

110. Eberlein, E. On the Range of Options Prices / E. Eberlein, J. Jacob // Finance Stochastics. 1997. - №1.- P.131-140.

111. Eberlein, E. New insights into smile, mispricing and value at risk: The hyperbolic model / E. Eberlein, U. Keller, K. Prause // Journal of Business. 1998. - Vol. 71.

112. Eisenberg, L. K. Option Pricing with Random Volatilities in Complete Markets / L. K. Eisenberg, R. A. Jarrow // Federal Reserve Bank of Atlanta. Working Paper. 1991. - P. 91-116.

113. Feng, L. Pricing discretely monitored barrier options and defaultable bonds in Levy process models: A fast Hilbert transform approach / L. Feng, V. Linetsky // Math. Finance. 2008. - Vol. 18. - P. 337-384.

114. Frolov, G. A. Improvement of accuracy in numerical methods for inverting Laplace transforms based on the Post-Widder formula / G.A. Frolov, M.Y. Kitaev, //Computers and Mathematics with Applications. 1998.-Vol. 36, № 5.- P.23-34.

115. Glasserman, P. Monte Carlo Methods in Financial Engineering / P. Glasserman // New York : Springer. 2003.

116. Green, R. Pricing financial claims contingent upon an underlying asset monitored at discrete times / R. Green, I. D. Abrahams // Journal of Engineering Mathematics. 2007. - Vol. 59. - P. 373-384.

117. Heston, S.L. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options / S.L. Heston // Review of Financial Studies. 1993. - Vol. 6. - P. 327-344.

118. Hirsa, A. Pricing American options under Variance Gamma / A. Hirsa, D. B. Madan // Journal of Computational Finance. 2003. - Vol. 7. - № 2.

119. Hormaner, L. Analysis of Partial Differential Opertors / L. Hormaner. -Berlin : Springer-Verlag, 1985. Vol. 3.

120. Hull, J.C. Numerical procedures for implementing term structure models I: Single factor models / J.C. Hull, A. White // The Journal of Derivatives.- 1994. Vol. 2. - P. 7-16.

121. Ingersoll, Jr., J. E. Digital contracts: simple tools for pricing complex derivatives / J. E. Ingersoll Jr. // Journ. of Business. 2000. - Vol. 73.

122. Jackson, K.R. Fourier Space Time-Stepping for Option Pricing With Levy Models / K.R. Jackson, S. Jaimungal, V. Surkov // Journal of Computational Finance. 2008. - Vol. 12. - № 2. - P. 1-29. .

123. Jacob, N. Pseudo-Differential Operators and Markov Processes / N. Jacob // Vol. I: Fourier Analysis and Semigroups, London, Imperial College Press, 2001.

124. Jacob, N. Pseudo-Differential Operators and Markov Processes / N. Jacob // Vol. 2: Generators and their Potential Theory, London, Imperial College Press, 2002.

125. Jakubenas, P. On option pricing in certain incomplete markets / P. Jakubenas // Proceedings of the Steklov Mathematical Institute. 2002. -Vol. 237.

126. Jaillet, P. Variational inequalities and the pricing of American options / P. Jaillet, D. Lamberton, B. Lapeyre // Acta Appl. Math. 1990. - Vol. 21.- P. 263-289.

127. Jagerman, D. L. An inversion technique for the Laplace transform with applications / D. L. Jagerman // Bell System Tech. J. 1978. - Vol. 57. -P. 669-710.

128. Jagerman, D. L. An inversion technique for the Laplace transform / D. L. Jagerman // Bell System Tech. J. 1982. - Vol. 61. P. 1995-2002.

129. Jeannin, M. A transform approach to compute prices and greeks of barrier options driven by a class of Lévy processes / M. Jeannin, M. Pistorius // Quant. Finance. 2010. - Vol. 10. - № 6. - P. 629-644.

130. Jiang, Z. On perpetual American put valuation and first-passage in a regime-switching model with jumps / Z. Jiang, M. Pistorius // Finance Stoch. -2008. Vol. 12. - № 3. - P. 331-355.

131. Karatzas, I. On the pricing of American options / I. Karatzas // Appl. Math. Optim. 1988. - Vol. 17. - P. 37-60.

132. Keller, U. Realistic modelling of financial derivatives / U. Keller Dissertation, University of Freiburg, 1997.

133. Kou, S. First passage times of a jump diffusion process / S. Kou, H. Wang // Advances in Applied Probability. 2003. - Vol. 35. - P. 504-531.

134. Kou, S. G. Pricing path-dependent options with jump risk via Laplace transforms / S. G. Kou, G. Petrella, H. Wang // The Kyoto Economic Review, 2005. Vol. 74. - № 1. - P. 1-23.

135. Kou, S. Option Pricing Under a Double Exponential Jump Diffusion Model / S. Kou, H. Wang // Management Science. 2004.

136. Kritzman, M. The mismeasurement of risk / M. Kritzman, D. Rich // Financial Analysts Journal. 2002. - Vol. 58.

137. Kudryavtsev, 0. E. Efficient pricing options under regime switching / 0. E. Kudryavtsev //Research Report № RR-7184. Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique, Paris Rocquencourt. - 2010.

138. Kudryavtsev, O. Efficient pricing barrier options under Levy Processes / O. Kudryavtsev // Abstracts of the 5th General Conference on Advanced Mathematical Methods in Finance, Bled Slovenia, 2010. - P. 92.

139. Kudryavtsev, O. E. Pricing of first touch digitals under normal inverse Gaussian processes / O. E. Kudryavtsev, S. Z. Levendorskii // International Journal of Theoretical and Applied Finance. 2006. Vol. 9. - № 6. P. 915-949.

140. Kudryavtsev, O. Fast and Accurate Pricing of Barrier Options Under Levy Processes //O. Kudryavtsev, S. Levendorskii // Research Report № 6670, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique, Paris -Rocquencourt. 2008. - 37 P.

141. Kudryavtsev, O. Fast and Accurate Pricing of Barrier Options Under Levy

142. Processes / O. Kudryavtsev, S. Levendorskii // Abstracts of the 5th World Congress of the Bachelier finance society, London, 2008. P. 33

143. Kudryavtsev, 0. Fast and accurate pricing of barrier options under Levy processes / 0. Kudryavtsev, S. Levendorskii // Finance Stock. 2009. -Vol. 13. - № 4. - P. 531-562.

144. Kudryavtsev O., Efficient pricing of Swing options in Levy-driven models / O. Kudryavtsev, A. Zanette //Working Paper 1-2010, Dipartimento di Finanza dell'Impresa e dei Mercati Finanziari, Udine University (Italy), 2010. 15 P.

145. Kushner, H. J. Numerical methods for stochastic control problems in continuous time / H. J. Kushner // SIAM Journal of Control and Optimization. 1990. - Vol. 28. - № 5. - P. 999-1048.

146. Kuznetsov, A. Wiener-Hopf factorization and distribution of extrema for a family of Levy processes / A. Kuznetsov // Ann.Appl.Prob. 2010. - Vol. 20. - P. 1801-1830.

147. Kuznetsov, A. A Wiener-Hopf Monte Carlo simulation technique for Levy processes //A. Kuznetsov, A. E. Kyprianou, J. C. Pardo, K. van Schaik // To appear in Ann.Appl.Prob. 2011.

148. Lamberton, D. Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance / D. Lamberton, B. Lapeyre. London : Chapman & Hall, 1996.

149. Lamberton, D. The critical price for the American put in an exponential Levy model / D. Lamberton, M. Mikou // Finance Stock. 2008. - Vol. 12. - № 4. - P. 561-581.

150. Lari-Lavassani, A. A Discrete Valuation of Swing Options / A. Lari-Lavassani, M.Simchi, A.Ware // Canadian Applied Mathematics Quarterly.- 2001. Vol. 9. - № 1. - P. 35-73.

151. Lemieux, C. Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Sampling. / C. Lemieux // Series: Springer Series in Statistics. 2009,

152. Levendorskii, S. Z. Pricing of the American put under Levy processes / S. Z. Levendorskii // International Journal of Theoretical and Applied Finance.- 2004. Vol. 7. - P. 303-335.

153. Levendorskii, S. Z The American put and European options near expiry, under Levy processes / S. Z. Levendorskii // Abstract, February 26, 2004.- Available at http://ssrn.com/abstract=520062

154. Levendorskii, S. The relative efficiency of numerical methods for pricing American options under Levy processes / S. Levendorskii, O. Kudryavtsev, V. Zherder // Journal of Computational Finance. 2005/06. - Vol. 9. - № 2.

155. Levendorskii, S. Z. Fast Option Pricing Under Regular Levy Processes of Exponential type / S. Z. Levendorskii, V. M. Zherder // Working paper.- 2002.

156. Levendorskii, S. (2011): "Convergence of Carr's Randomization Approximation Near Barrier". SI AM J. Finan. Math., 2, 79-111.

157. Lewis, A. L. Wiener-Hopf factorization for Levy processes having positive jumps with rational transforms / A.L. Lewis, E. Mordecki // J. Appl. Probab. 2008. - Vol. 45. - P. 118-134.

158. Lipton, A. Assets with jumps / A. Lipton // Risk. 2002. - P. 149-153.

159. Longstaff, F. Valuing American options by simulation: a simple least-squares approach / F. Longstaff, E. Schwartz // Rev. Fin. Studies. 2001. - Vol. 14. - P. 113-147.

160. Lukacs, E. Characteristic functions / E. Lukacs. // London : Charles Griffin & Company limited, 1960.

161. Madan, D. B. The variance Gamma process and option pricing / D. B. Madan, P. Carr, E. C. Chang // European Finance Review. 1998. - Vol. 2. - P. 79-105.

162. Madan, D. B. Representing the CGMY and Meixner processes as time changed Brownian motions / D. B. Madan, M. Yor // Computational Finance. 2008. - Vol. 12. - №1. - P. 27-47.

163. Madan, D. B. Option pricing with VG martingale components // D. B. Madan, F. Milne // Mathem. Finance. 1991. - Vol. 1. - P. 39-55.

164. Matache, A.-M. Fast deterministic pricing of options on Levy driven assets / A.-M. Matache, T. von Petersdorff, C. Schwab // M2AN Math. Model. Numer. Anal. 2004. - Vol. 38. - P. 37-71.

165. Matache, A. -M. Wavelet Galerkin Pricing of American Options on Levy Driven Assets / A. -M. Matache, P. -A. Nitsche, C. Schwab // Quantitative Finance. 2005. - Vol. 5. - № 4. - P. 403-424.

166. Matsumoto, M. Mersenne twister: A 623-dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number generator / M. Matsumoto, T. Nishimura // ACM Trans, on Modeling and Computer Simulations. 1998. - Vol. 8.-m i.

167. McKean, H. P., Jr. Appendix: A free boundary problem for the heat equation arising from a problem in mathematical economics / H. P. McKean, Jr. // Indust. Manage. Rev. 1965. - Vol. 6. - P. 32-39.

168. Merton, R. (1976): "Option pricing when underlying stock returns are discontinuous". J. Financ. Econ. 3, 125-144

169. Metwally, S. Using Brownian bridge for fast simulation of jump-diffusion processes and barrier options / S. Metwally, A. Atiya // Journal of Derivatives. 2002. - Vol. 10. - P. 43-54.

170. Mijatovic, A. Continuously monitored barrier options under Markov processes / A. Mijatovic, M. Pistorius // Mathematical Finance-2011.-To appear

171. Mordecki, E. Optimal stopping and perpetual options for Levy processes / E. Mordecki // Finance Stoch. 2002. - Vol. 6. - P. 473-493.

172. Mulinacci, S. The efficient hedging problem for American options / S. Mulinacci // Finance and Stochastics. 2011. - Vol. 15. - № 2. - P. 65-397.

173. Myneni, R. The Pricing of the American Option / R. Myneni // The Annals of Applied Probability. 1992. - Vol. 2. - № 1. - P. 1-23.

174. Mnif, M. Optimal Multiple stopping and Valuation of Swing Options in Levy Models / M. Mnif, A. B. Zhegal // International Journal of Theoretical and Applied Finance. 2006. - Vol. 9. - № 8. - P. 1267-1298.

175. Nelder, J. A. A Simplex Method for Function Minimization / J. A. Nelder, R. Mead // Computer Journal 1965. - Vol. 7. - P. 308-313.

176. Novikov, A. On a solution of the optimal stopping problem for processeswith independent increments / A. Novikov, A. Shiryaev // Stochastics. -2007. Vol. 79. - P. 393-406.

177. Nguyen-Ngoc, L. Lookback and barrier options under general Levy processes / L. Nguyen-Ngoc, M. Yor //in Handbook of Financial Econometrics, Y. Ait-Sahalia and L.-P. Hansen, eds., North-Holland, Amsterdam, 2007.

178. Novikov, A. First passage time of filtered Poisson process with exponential shape function / A. Novikov, R. E. Melchers, E. Shinjikashvili, N. Kordzakhia // Probab. Eng. Mech. 2005. - Vol. 20. - № 1. - P. 57-65.

179. Peskir, G. Optimal Stopping and Free Boundary Problems / G. Peskir, A. N. Shiryaev // Lectures in Mathematics. ETH Zurich. 2006.

180. Petrella, G. Numerical pricing of discrete barrier and lookback options via Laplace transforms / G. Petrella, S. G. Kou //J. Comput. Finance. 2004.- Vol. 8. P. 1-37.

181. Pham, H. Optimal stopping, free boundary and American option in a jumpdiffusion model / H. Pham // Appl. Math. Optim. 1997. - Vol. 35. - P. 145-164.

182. Poirot, J. Monte Carlo option pricing for tempered stable (CGMY) processes / J. Poirot, P. Tankov // Asia Pacific Financial Markets. 2006. - Vol. 13.- № 4. P. 327-344.

183. Prause, K. Modelling financial data using generalized hyperbolic distributions / K. Prause // FDM Preprint, Univ. of Freiburg, 1997. Vol. 48.

184. Prause, K. The Generalized Hyperbolic Model: Estimation, Financial Derivatives, and Risk Measures / K. Prause // Dissertation, University of Freiburg, 1999.

185. PREMIA: An Option Pricer Project CERMICS INRIA, available at http://www.premia.fr.

186. Presman, E. L. Solution of optimal stopping problem based on a modification of payoff function / E. L. Presman // Musela Festschrift, Springer Verlag, 2011.

187. Numerical recipes in C: The Art of Scientific Computing / W. Press et al].- Cambridge Univ. Press, available at www.nr.com, 1992.

188. Rogers, L. C. G. Diffusions, Markov Processes and Martingales / L. C. G. Rogers, D. Williams. Cambridge : Cambridge University Press, 2000.

189. Rothe, E. Zweidimensionale parabolische Randwertaufgaben als Grenzfall eindimensinaler Randwerttaufgaben / E. Rothe // Math. Ann. 1930.- Vol. 102.

190. Rydberg, T. The normal inverse Gaussian Levy processes: simulation andapproximation / T. Rydberg // Commun. Statist.-Stochastic Models. -1997. Vol. 13. - № 4 - P. 887-910.

191. Sarantis, N. Credibility, macroeconomic fundamentals and Markov regime switching in the EMS / N. Sarantis, S. Piard // Scottish Journal of Political Economy. 2004. - Vol. 51. - P. 453-476.

192. Sato, K. Levy processes and infinitely divisible distributions / K. Sato. -Cambridge : Cambridge University Press, 1999.

193. Scott, L. Option pricing when the variance changes randomly: Theory, estimation and an application / L. Scott // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1987. - Vol. 22. - P. 419-438.

194. Sepp, A. Analytical Pricing of Double-Barrier Options under a Double-Exponential Jump Diffusion Process: Applications of Laplace Transform / A. Sepp // International Journal of Theoretical and Applied Finance. -2004. Vol. 7. - № 2. - P. 151-175.

195. Shiryaev, A. N. Essentials of stochastic Finance. Facts, models, theory / A. N. Shiryaev // World Scientific, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong, 1999.

196. Schoutens, W. Exotic options under Levy models: An overview / W. Schoutens // J. Comput. Appl. Math. 2006. - Vol. 189. - P. 526-538.

197. Tankov, P. Pricing and Hedging in Exponential Levy Models: Review of Recent Results / P. Tankov // In: R.A. Carmona et al. (eds.), Paris-Princeton Lectures on Mathematical Finance 2010. Berlin: Springer. Lecture Notes in Mathematics, 2011. P. 319-359.

198. Valko, P. P. Comparison of sequence accelerators for the Gaver method of numerical Laplace transform inversion / P. P. Valko, J. Abate // Computers and Math, with Applies. 2004. - Vol. 48. - P. 629-636.

199. Wiggins, J. B. Option Values under Stochastic Volatilities / J. B. Wiggins // Journal of Financial Economics. 1987. - Vol. 19. - P. 351-372.

200. Wilhelm, M. Finite element valuation of swing options / M. Wilhelm, C. Winter // Journal of Computationl Finance. 2008. - Vol. 11. - № 3. - P. 107-132. and

201. Zhang, X. L. Valuation of American options in a jump-diffusion model, in Numerical methods in finance / X. L. Zhang // Cambridge University Press, Cambridge, 1997. P. 93-114.