Моделирование функциональных методов решения двумерных и трехмерных обратных задач акустического рассеяния тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.06, кандидат физико-математических наук Алексеенко, Николай Васильевич

• Алексеенко, Николай Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Алексеенко, Николай Васильевич

1. ВВЕДЕНИЕ.

1.1. Актуальность темы и цели исследования. Структура диссертационной работы.

1.2. Общее состояние проблемы (по материалам научных публикаций).

2. МНОГОЧАСТОТНОЕ ОБОБЩЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ДВУМЕРНОЙ

МОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ.

2.1. Формализм комплексных волновых векторов. Основные понятия, уравнения и обозначения функциональных методов решения обратных задач.

2.2. Модифицированный двумерный алгоритм Новикова в монохроматическом и полихроматическом режимах.

2.3. Алгебраизация уравнений при численной реализации алгоритма.

2.4. Решение прямой задачи рассеяния для цилиндрических рассеивателей с произвольным показателем преломления.

2.5. Численное моделирование двумерного модифицированного алгоритма.

2.6. Выводы.

3. ТРЕХМЕРНАЯ ОБРАТНАЯ АКУСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ - АЛГОРИТМ НОВИКОВА-ХЕНКИНА.

3.1. Основные обозначения и уравнения алгоритма.

3.2. Алгебраизация уравнений при сборе экспериментальных данных и численной реализации алгоритма.

3.3. Результаты численного моделирования алгоритма.

3.4. Выводы.

4. ТРЕХМЕРНАЯ ОБРАТНАЯ АКУСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ - МОДИФИЦИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ

НОВИКОВА.

4.1. Основные обозначения и уравнения алгоритма.

4.2. Численное моделирование алгоритма.

4.3. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование функциональных методов решения двумерных и трехмерных обратных задач акустического рассеяния»

Работа посвящена моделированию функционально-аналитических методов решения- двумерных и трехмерных обратных задач акустического рассеяния. В настоящее время такие методы представляются более мощными и перспективными, чем итерационные; изначально они были ориентированы на решение обратных задач квантового рассеяния, но в последние годы появились общие функциональные методы, пригодные для решения обратных задач< рассеяния различной физической природы (в том числе акустической). Анализ возможности применения» подобных методов на практике очень, важен. В представляемой диссертационной! работе исследуется возможность, расширения уже хорошо зарекомендовавшего себя двумерного алгоритма Новикова-Гриневича на немонохроматический случай, а также ранее не исследовавшиеся, с точки зрения акустических приложений, трехмерные алгоритм Новикова-Хенкина и новый алгоритм Новикова.

1.1г Актуальность темы и цели исследования. Структура диссертационной работы*

Актуальность темы

Решение обратных волновых задач представляет собой активно развивающееся-направление-как математической, так и прикладной • физики (акустики и оптики). В' акустике под обратными волновыми задачами понимается восстановление источников звука (обратная задача' излучения) или характеристик неоднородностей, рассеивающих первичное поле (обратная? задача рассеяния); по измерениям акустического поля. Наиболее актуальными направлениями <■ применения на практике результатов разработок в теории обратных задач рассеяния являются медицинская!диагностика и акустика океана. Проблемам разработки медицинских акустических томографов, решающих задачу ранней диагностики, более безопасных, чем рентгеновские, и менее дорогостоящих, чем ЯМР-томографы, посвящено в последнее время большое количество как теоретических, так и экспериментальных исследований. Помимо медицинских приложений, результаты исследований различных обратных задач рассеяния имеют широкое применение в задачах создания систем промышленной диагностики (дефектоскопии), решения прикладных проблем геоакустики и акустики океана.

Существует два крупных класса подходов к решению обратной задачи-рассеяния* один из которых основан на итерационных методах, а другой — на методах функционального анализа. Преимуществом итерационных методов является то, что они могут базироваться на фрагментарных данных, полученных при различной геометрии эксперимента, различных частотах. В этих методах не накладывается жестких требований на полноту данных рассеяния отдельно для, каждой из частот или каждой конфигурации падающего поля в эксперименте, любая априорная и апостериорная информация может быть также использована. Основные же преимущества функционального подхода заключаются как в получении строгого (или почти строгого) решения, так и (в ряде случаев) в меньшем количестве вычислительных операций, по сравнению с итерационными методами.

Функционально-аналитические методы имеют свои корни в математических и физико-теоретических работах, исследовавших процессы квантовой" теории рассеяния и, соответственно, решения прямых и обратных задач потенциального рассеяния. В силу ряда принципиальных отличий природы потенциального рассеяния в квантовой механике и рассеяния волн на неоднородностях фазовой скорости, такие методы не всегда» применимы в полной мере к обратным задачам акустики. Однако в последние годы наблюдается стремление разработать общие подходы, пригодные для решения обратных задач рассеяния различной физической природы (как квантово-механических, так и акустических, электродинамических, эластодинамических), в том числе изоэнергетических (монохроматических) обратных задач.-Проведенные исследования опираются^ на методы функционального и многомерного комплексного анализа- и отличаются высокой математической строгостью.

Анализ возможности применения на практике разработанных в последние десятилетия функционально-аналитических методов решения двумерных обратных задач рассеяния был подробно проведен в последнее время в работах сотрудников кафедры акустики физического факультета МГУ. Созданы работоспособные компьютерные программы, позволяющие достаточно быстро восстанавливать двумерные рассеиватели любой формы по данным рассеяния- на основе функционально-аналитического двумерного монохроматического алгоритма Новикова-Гриневича [1,2,3], и показано, что область работоспособности этого алгоритма реально намного больше, чем первоначально предполагалось [4]. Тем не менее, при увеличении силы, рассеяния, на модельных численных решениях двумерных задач наблюдалось возникновение неустойчивости и повышенной чувствительности к ошибкам в данных рассеяния [4]. Основная и принципиальная причина этого явления, кроется в размерностной безызбыточности данных рассеяния для двумерной монохроматической задачи. А именно, массив таких данных соответствует двумерной параметрической области углов падения и рассеяния

Той- же размерносгью> характеризуется искомая двумерная неоднородность-конечных размеров: Отсутствие- размерностной избыточности данных для монохроматической задачи приводит к тому, что условия многочисленных теорем и утверждений относительно единственности решения таких задач (одна из ранних работ в этом направлении - [5] ) носят ограничительный характер

Импульсный, или, во многом-эквивалентный ему, многочастотный режим снимает это ограничение (поскольку в параметризации данных рассеяния появляется дополнительное измерение - частота). Однако простое аддитивное объединение множества решений монохроматических задач не является эффективным методом и не эквивалентно решению единой задачи, в котором, используется факт общности рассеивателя для каждой монохроматической' задачи. Поэтому необходим более полный метод объединения решений, который не лежит «на поверхности» и нуждается в дополнительном исследовании.'

Обратные-задачи рассеяния в трех измерениях обладают размерностной избыточностью даже в монохроматическом случае. Поэтому проблемы обеспечения единственности, свойственные двумерной задаче, здесь не возникают [6, 7, 8]. В настоящее время основным методом синтеза трехмерных акустических томограмм является простое объединение послойных двумерных

6, 7]. изображений. В этом методе пренебрегается «обменом» рассеянными полями между слоями. Между тем, ошибки, вызываемые этим пренебрежением, имеют порядок второго борновского члена (при разложении рассеянного поля в ряд Борна-Неймана), т.е. достаточно существенны.

Строгое решение трехмерной обратной задачи рассеяния функциональными методами не удается получить простой модификацией двумерных алгоритмов, что требует разработки новых методов решения. Результаты этих исследований появились в самое последнее время, но их практическая пригодность в акустических системах отнюдь не очевидна, а требуемый объем вычислений в настоящее время представляется чрезвычайно большим. Тем не менее, быстрый прогресс в данной области позволяет поставить вопрос о первых попытках реализации этих новых подходов при решении трехмерных обратных задач акустического рассеяния (хотя бы самых простых). Любой способ решения обратных задач рассеяния на практике требует детального исследования алгоритмов восстановления рассеивателей с целью их наилучшего функционального и технического согласования с измерительной установкой (томографом), методом получения первичных данных рассеяния и способами отображения итоговых результатов. При этом с одной стороны, функциональные методы являются наиболее продвинутыми и мощными в теоретическом и принципиальном плане, а с другой стороны, их применение для решения обратных задач рассеяния классических полей находится только в начальной стадии исследования, что делает несомненно важным дальнейшее продвижение в этом направлении. Поэтому актуальность представляемой работы заключается в создании метода решения единой акустической многочастотной двумерной задачи томографического типа, основанной на функциональном подходе. Это открыло возможность применения данного метода для импульсного режима медицинских томографов, повысив, тем самым, информативность и расширив область их работоспособности. Вторая часть работы носит исключительно пионерский характер и открывает цикл исследований по применению в решении трехмерных обратных задач акустического рассеяния строгих функциональных методов их решения. Эти исследования направлены, в конечном счете, на создание трехмерных систем акустоскопии принципиально нового типа.

В связи с этим, можно выделить следующие основные цели диссертационной работы.

• Найти и апробировать на численных моделях метод органичного объединения многочастотных данных и методов решения множества монохроматических двумерных обратных задач акустического рассеяния в виде единого функционального алгоритма, базирующегося' на монохроматических вариантах решения, развитых в работах С.П.Новикова, Л.Д.Фаддеева, П.Г.Гриневича, С.В.Манакова и включающих последние результаты Р.Г.Новикова.

• Реализовать и апробировать на простейших моделях функциональный метод решения обратной трехмерной» задачи акустического рассеяния, основываясь на результатах исследований и алгоритмах Г.М.Хенкина и Р.Г.Новикова.

• Провести- сравнительную оценку практической области работоспособности указанных подходов.

В связи с двумя основными! направлениями работы основные задачи диссертационной работы можно разбить на две группы.

По первой части работы (немонохроматическому двумерному функциональному алгоритму):

1. Найти метод объединения последовательности операций при решении монохроматических частных задач в единый взаимосвязанный процесс.

2. Продемонстрировать расширение области работоспособности немонохроматического двумерного алгоритма решения обратной задачи акустического рассеяния по сравнению с простой суммой монохроматических решений.

3. Оценить вычислительную сложность алгоритмической реализации этого метода и физические ограничения на область его применимости.

По второй части работы (трехмерным функциональным алгоритмам) задачи соответствуют начальному этапу исследований:

4. Реализовать трехмерные функциональные алгоритмы в виде конкретных работающих программ и исследовать с их помощью восстановление характерных рассеивателей простейшей формы.

5. Оценить возможности и перспективы реализации этих алгоритмов для» практических целей.

Научная новизна работы:

Г. Поставлена не рассматривавшаяся ранее задача поиска методов объединения невзаимосвязанных решений множества монохроматических задач акустического рассеяния в единый процесс согласованного использования всей совокупности данных рассеяния. Найдено, обобщение двумерного метода Новикова-Гриневича- и модифицированного метода Новикова на немонохроматический случай.

2. Проведен цикл модельных исследований возможностей предложенного» метода решения полихроматической обратной задачи томографического типа. Полученные результаты позволяют прийти^ к выводу о перспективности использования модифицированного полихроматического двумерного алгоритма Новикова для прикладных задач акустического томографирования медицинской направленности. Полихроматическийt алгоритм более устойчив и информативен, чем результат аддитивного синтеза одночастотных решений при тех же исходных данных.

3. Впервые выполнена конкретная реализация математических алгоритмов решения трехмерной обратной задачи акустического рассеяния и проведено исследование возможностей этих методов на примерах различных модельных задач на основе алгоритмов Новиоква-Хенкина и нового алгоритма Новикова.

4. Проведен цикл численных модельных экспериментов, продемонстрировавший широкие возможности нового функциональноаналитического трехмерного алгоритма Новикова и выявивший его работоспособность для рассеивателей произвольной силы.

Обоснование идостоверность полученных результатов: Достоверность результатов,- представленных в- диссертации, подтверждается решением обратных модельных задач, давших оценки, близкие к исходным характеристикам двумерных и трехмерных рассеивателей, использованным при синтезе тестовых данных рассеяния.

Практическая ценность работы

1. Показана практическая реализуемость и. широкие прикладные, возможности предложенного обобщения двумерного функционально-аналитического метода на немонохроматический случай, что открывает возможность его применения в< реальных ультразвуковых томографах, работающих в импульсном или многочастотном режиме.

2. Показана практическая реализуемость алгоритма» решения трехмерной* монохроматической обратной задачи, а также возросшая* устойчивость решения? по сравнению с двумерной задачей, что позволяет, говорить о практической перспективности данного направления, требующего, однако, высокой производительности используемых вычислительных средств.

3. На численных примерах исследована помехоустойчивость перечисленных алгоритмов, которая оказалась достаточно высокой для практических целей медицинской диагностики.

Личный вклад автора заключается» в= проведении - физического анализа основных методов решения обратной задачи акустического рассеяния в двумерном и трехмерном пространстве, позволившего найти органичное объединение монохроматических методов в единый процесс нахождения полихроматического решения, в анализе физического смысла операций многошагового процесса решения трехмерной обратной задачи и в разработке конкретных численных схем всех обсуждаемых в работе подходов и их конкретной реализации. Большинство работ по моделированию и анализу полученных результатов проведены им лично.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Совокупность отдельных (независимых) процедур решения монохроматических обратных задач акустического рассеяния может быть объединена предложенным в'диссертации образом во взаимосвязанный единый процесс поиска решения, приспособленного для применения в акустических томографических системах, работающих в импульсном режиме. Результат такого объединения - возросшая информативность и помехоустойчивость томограмм.

2. Трехмерная,обратная задача рассеяния имеет практически реализуемый и промоделированный в диссертации путь решения, учитывающего всю сложность многократного* рассеяния сильными неоднородностями, пригодный к практическому применению в системах акустоскопии, снабженных многоэлементной* приемно-излучающей системой и высокопроизводительными вычислительными устройствами.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на конференции «Ломоносов-2004»* (Москва, апрель 2004), XV сессии Российского Акустического Общества (Нижний Новгород, ноябрь 2004), конференции «Ломоносов-2007» (Москва, апрель 2007), XIX сессии Российского Акустического Общества (Нижний Новгород, сентябрь 2007) и семинарах кафедры акустики физического факультета МРУ.

Публикации: основные результаты диссертации изложены в семи работах [102-108] (две из них - в рецензируемых журналах), приведенных в списке литературы.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из пяти глав объемом 155 страниц, включающих 130 страниц текста и 23 рисунка, а также списка цитируемой литературы.

В первой главе (введении) обсуждается актуальность темы диссертационной работы, определяются ее цели, формулируется постановка задач, излагаются результаты диссертации, выносимые на защиту. Приведена краткая характеристика научных работ по теме, также кратко описана история и специфика существующих функциональных методов решения обратной задачи рассеяния, рассказано о работах по моделированию таких методов.

Вторая глава состоит из шести разделов и посвящена решению двумерной обратной акустической задачи рассеяния в полихроматическом режиме. В разделе 2.1 приводится общая характеристика основных понятий, уравнений и обозначений, принятых в современной литературе, посвященной решению обратных задач методами функционального анализа. В первой части раздела, описана процедура формального распространения действительных волновых векторов падающего и рассеянного полей на область комплексных значений при заданной ориентации их действительных и мнимых частей: Во второй части раздела определены классическая и обобщенная* амплитуды рассеяния, рассмотрены обобщенное уравнение типа Липпмана-Швингера и уравнение Фадцеева. В» последующих разделах дано подробное описание, с физической точки зрения, модифицированного монохроматического двумерного алгоритма Новикова, и приведены соображения о возможном расширении его возможностей за счет введения немонохроматичности в алгоритм. Показано, как дополнительно к основным уравнениям вводятся уравнения связи при использовании совокупности данных рассеяния для набора частот (раздел 2.2). Алгебраизация монохроматического алгоритма и изменения в численной реализации алгоритма при введении немонохроматичности приведены, в разделе 2.3. Далее приведены решение прямой задачи для цилиндрических рассеивателей (раздел 2.4) и результаты восстановления полихроматическим алгоритмом (раздел 2.5) цилиндрических рассеивателей с заданным показателем преломления, обладающих как рефракцией, так и поглощением. В разделе 2.6 приводятся выводы о перспективности применения полихроматического алгоритма в акустических обратных задачах.

Третья глава состоит из четырех разделов. В ней анализируется решение трехмерной обратной акустической задачи рассеяния алгоритмом Новикова-Хенкина. В разделе 3.1 приведены основные уравнения и обозначения алгоритма, введены необходимые приближения и упрощения, проведен анализ уравнений Фаддеева для нахождения обобщенной амплитуды рассеяния в трехмерии, а также проанализированы решения прямой задачи, уравнений Фаддеева и конструкции данного алгоритма в приближении сферической симметрии. Раздел 3.2 посвящен алгебраизации уравнений при сборе экспериментальных данных и численной реализации алгоритма: приведена алгебраизация решений прямой задачи, уравнений Фаддеева, основного соотношения алгоритма, а также схема получения «обрезанного» пространственного спектра и оценки функции рассеивателя для такого спектра в случае сферически-симметричного рассеивателя. Результаты восстановления данным алгоритмом сферически-симметричных рассеивателей разной силы приведены в разделе 3.3. В разделе 3.4 обсуждается вывод о применимости алгоритма Новикова-Хенкина для восстановления рассеивателей средней силы.

Четвертая глава состоит из трех разделов и посвящена второму (новому) алгоритму Новикова решения трехмерной обратной акустической задачи рассеяния. Описаны новые вводимые переменные и векторы, установлено взаимооднозначное соответствие между пространством трехмерных комплексных волновых векторов и комплексной Х--плоскостью. Приведены основные уравнения алгоритма и схема их итерационного решения. Проведен анализ итерационного решения уравнений алгоритма применительно к случаю сферически-симметричного рассеивателя (раздел 4.1). В разделе 4.2 выполняется алгебраизация уравнений при численной реализации алгоритма в общем случае и в случае сферической симметрии рассеивателя, а также приведены результаты восстановления рассматриваемым алгоритмом сферически-симметричных рассеивателей разной силы и размера. Раздел 4.3 содержит выводы о применимости нового алгоритма Новикова для рассеивателей достаточно большой силы.

-14В пятой главе (заключении) сформулированы основные результаты работы.

В диссертации принята трехзначная нумерация формул. Обращение к формулам осуществляется в виде, например, (1.3.2), что означает вторую формулу третьего параграфа первой главы. Нумерация рисунков - сплошная по всему тексту.

Заключение диссертации по теме «Акустика», Алексеенко, Николай Васильевич

5. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Проведено детальное исследование модифицированного двумерного монохроматического алгоритма Новикова, предназначенного для решения обратных задач рассеяния. Показано, что этот алгоритм имеет ряд преимуществ по сравнению с предшествовавшим ему алгоритмом Новикова-Гриневича: меньшее число вычислительных операций, возможность оценить ширину области локализации пространственного спектра вторичных источников, допускает результативное обобщение на полихроматический режим.

2. Впервые разработано обобщение модифицированного алгоритма Новикова на полихроматический режим. Разработана и апробирована на содержательном наборе модельных акустических рассеивателей программная реализация этого обобщения. Полученные результаты восстановления рассеивателей полихроматическим алгоритмом свидетельствуют о перспективности его использования. Алгоритм обеспечивает значительно более устойчивое восстановление акустических характеристик рассеивателя, чем одночастотные решения или результат их аддитивного синтеза.

3. Определена основная трудность при восстановлении цилиндрических рассеивателей полихроматическим алгоритмом: влияние рассеяния назад обобщенных волн. Картину восстановления удается улучшить путем фильтрации обобщенной амплитуды рассеяния.

4. Проведено детальное исследование трехмерного монохроматического алгоритма Новикова-Хенкина. Впервые осуществлена программная реализация и выполнено численное моделирование приближенной версии алгоритма, получены результаты восстановления акустических рефракционно-поглощающих рассеивателей разной силы, размера и знака контраста. Выявлено, что для рассеивателей средней силы качество восстановления существенно лучше, чем в борновском приближении. Адекватное же восстановление сильных рассеивателей возможно только при использовании строгой версии алгоритма.

- 1455. Исследование и проведенное впервые численное моделирование трехмерного модифицированного алгоритма Новикова показало, что этот алгоритм, строго учитывающий процессы многократного рассеяния, работоспособен для рассеивателей любой силы, однако требует большого количества вычислительных операций как в силу трехмерности задачи, так и за счет итерационной процедуры решения.

Выявлено, что дополнительная пространственно-спектральная фильтрация является регуляризацией решения. Достоинство алгоритма состоит в том, что критичность итоговой оценки рассеивателя к деталям такой регуляризации невысока.

6. Проиллюстрировано, что, в отличие от двумерной монохроматической задачи рассеяния, трехмерная монохроматическая задача снимает ограничение на силу восстанавливаемого рассеивателя при обеспечении единственности и устойчивости решения задачи.

7. Во всех случаях применения исследованных алгоритмов помехоустойчивость к случайным ошибкам в экспериментальных данных рассеяния достаточно высока для их практического использования в системах медицинской диагностики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Алексеенко, Николай Васильевич, 2008 год

1. Гриневич П.Г., Манаков С.В. Обратная задача теории рассеяния для двумерного оператора Шредингера, д -метод и нелинейные уравнения // Функцион. анализ и его прил. - 1986. - Т.20, вып.2. - С.14-24.

2. Новиков Р.Г. Восстановление двумерного оператора Шредингера по амплитуде рассеяния при фиксированной энергии // Функцион. анализ и его прил. 1986. - Т.20, вып.З. - С.90-91.

3. Буров В.А., Румянцева О.Д. Решение двумерной обратной задачи акустического рассеяния на основе функционально-аналитических методов. II. Область эффективного применения // Акустич. журн. 1993. - Т.39, вып.5. -С.793-803.

4. Бадалян Н.П., Буров В.А., Морозов С.А., Румянцева О.Д. Восстановление акустических граничных и точечных рассеивателей алгоритмом Новикова-Гриневича // Акустич. журн. Представлено в редакцию.

5. Березанский Ю.М. О теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера // Труды ММО. 1958. - Т.7. -С.3-62.

6. Новиков Р.Г. Многомерная обратная спектральная задача для уравнения Ai|/ + (v(x) — £и(х))\}/ = 0 // Функцион. анализ и его прил. - 1988. - Т.22, вып.4. - С.11-22.

7. Буров В.А., Румянцева О.Д. Единственность и устойчивость решения обратной задачи акустического рассеяния // Акустич. журн. 2003. - Т.49, вып.5. -С.590-603.

8. Weder R. Global uniqueness at fixed energy in multidimensional inverse scattering theory // Inverse problems. 1991. - V.7. -P.927-938.

9. Горюнов A.A., Сасковец A.B. Обратные задачи рассеяния в акустике. -М.: Изд-во МГУ, 1989. 152 с.

10. Newton R.G. Inverse Schroedinger scattering in three dimensions. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1989.

11. Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния -М.: Мир, 1980.-408 с.-14712. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. - 240 с.

12. Захарьев Б.Н., Мельников В.Н., Рудяк Б.В., Сузько А.А. Обратная задача рассеяния (конечно-разностный подход). // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1977. - Т.8, вып.2. - С. 290-329.

13. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния // УМН. -1959. Т. 14, вып.4 (88). - С.57-119.

14. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния II // Сб.: Соврем, проблемы математики. М.: ВИНИТИ. - 1974. - Т.З. - С.93-180.

15. Новиков Р.Г., Хенкин Г.М. д -уравнение в многомерной обратной задаче рассеяния // УМН. 1987. - Т.42, вып.З (255). - С.93-152.

16. Буров В.А., Горюнов А.А., Сасковец А.В., Тихонова Т.А. Обратные задачи рассеяния в акустике // Акустич. журн. 1986. - Т.32, вып.4. — С.433-449.

17. Johnson S.A., Stenger F., Wilcox С., Ball J., Berggren M.J. Wave equation and inverse solution for soft tissue // Acoust. Imag. 1982. - V.l 1. - P.409-423.

18. Буров В.А., Румянцева О.Д., Сасковец А.В. Акустическая томография и дефектоскопия как обратные задачи рассеяния // Вестник Моск. Унив. Сер.З. Физика. Астрономия. 1994. - Т.35, вып.6. - С.61-71.

19. Jost R., Kohn W. Construction of a potential from a phase shift // Physical Review. 1952. - V.87, N.6. - P.977-994.

20. Prosser R.T. Formal solutions of inverse scattering problems // J. Math. Phys. -1969. V. 10, N. 10. - P. 1819-1822.

21. Prosser R.T. Formal solutions of inverse scattering problems II // J. Math. Phys. 1976. - V.17, N.10. - P. 1775-1779.

22. Prosser R.T. Formal solutions of inverse scattering problems III // J. Math. Phys. 1980. - V.21, N.l 1. - P.2648-2653.

23. Рычагов М.Н. Ультразвуковая медицинская визуализация. В-сканирование и цифровая реконструкция. М.: МИЭТ, 2001. - 140 с.

24. Буров В.А., Горюнов А.А., Сасковец А.В. Итерационный алгоритм решения обратной задачи рассеяния // Вестник Моск. Унив. Сер.З. Физика. Астрономия. 1982. - Т.23, вып.6. - С.87-89.

25. Johnson S.A., Zhou Y., Tracy M.L., Berggren M.J., Stenger F. Inverse scattering solutions by a sine basis, multiple source, moment method. Pt. Ill: Fast algorithms // Ultrasonic Imaging. 1984. - V.6, N.4. - P.103-106.

26. Буров B.A., Румянцева О.Д. Решение двумерной обратной задачи акустического рассеяния на основе функционально-аналитических методов // Акустич. журн. 1992. - Т.38, вып.З. - С.413-420.

27. Burov V.A., Rumiantseva O.D. The functional-analytical methods for the scalar inverse scattering problems // Proceedings SPIE. Optical Tomography. 1992. -V.1843. -P.194-205.

28. Румянцева О.Д. Решение акустической обратной задачи рассеяния методами функционального анализа // Дисс. .канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1992. -179 с.

29. Burov V.A., Morozov S.A., Rumyantseva O.D. Reconstruction of fine-scale structure of acoustical scatterer on large-scale contrast background // Acoust. Imag. -2002. V.26. -P.231-238

30. Rychagov M.N., Ermert H. Cross-flow visualization by acoustic CT measurements // Ultrasonics. 1996. - V. 34. - P. 517-522.

31. Буров B.A., Грачева T.B., Сергеев С.С., Шуруп А.С. Двумерная модель томографического восстановления океанических неоднородностей при волновом и лучевом описании акустического поля // Акустич. журн. 2008. - Т.54, вып.2. -С.291-306.

32. Ramm A.J. Some inverse scattering problems in geophysics // Inverse Problems. 1985. - V.l. -P.133-172.

33. Бухгейм A.JI. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983.-208 с.

34. Бакушинский А.Б., Левитан С.Ю. Некоторые модели и численные методы нелинейной вычислительной диагностики // Сб. трудов научно-исслед. ин-та Системных Исследований. 1992.

35. Belishev M.I. Boundary control in reconstruction of manifolds and metrics (the ВС method) // Inverse Problems. 1997. - V.13. -R1-R45.

36. Belishev M.I. Recent progress in the boundary control method // Inverse Problems. 2007. - V.23. - R1-R67.

37. Захарьев Б.Н., Ниязгулов С.А., Сузько А.А. Приближенные методы обратной задачи теории ядра. // Ядерная физика. 1974. - Т.20, вып.12. - С.1273-1281.

38. Захарьев Б.Н., Мельников В.Н., Сузько А.А. Обратная задача в квантовой механике и ее практическое решение. Минск: ИТМО, 1981. - 30 с.

39. Захарьев Б.Н., Сузько А.А. Потенциалы и квантовое рассеяние. Прямая и обратная задачи.-М.: Энергоатомиздат, 1985.-221 с.

40. Newton R.G. Inverse scattering II. Three dimensions // J. Math. Phys. 1980. -V.21, N.7. -P.1698-1715.

41. Rose J.H., Cheney M., DeFacio B. Three-dimensional inverse scattering: plasma and variable velocity wave equations // J. Math. Phys. 1985. - V.26, N.l 1. -P.2803-2813.

42. Budreck D., Rose J.H. Three-dimensional inverse scattering in anisotropic elastic media// Inverse Problems. 1990. - V.6. - P.331-348.

43. Гриневич П.Г., Новиков Р.Г. Аналоги многосолитонных потенциалов для двумерного оператора Шредингера // Функцион. анализ и его прил. 1985. -Т. 19, вып.4. - С.32-42.

44. Гриневич П.Г., Новиков Р.Г. Аналоги многосолитонных потенциалов для двумерного оператора Шредингера и нелокальная задача Римана // ДАН СССР. -1986. Т.286, вып.1. - С. 19-22.

45. Новиков Р.Г. Построение двумерного оператора Шредингера с данной амплитудой рассеяния при фиксированной энергии // Теор. и мат. физика.1986. Т.66, вып.2. - С.234-240.

46. Новиков Р.Г. Обратная задача рассеяния для двумерного уравнения Шредингера при фиксированной энергии и нелинейные уравнения // Дисс. . .канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1989. - 87 с.

47. Новиков Р.Г., Хенкин Г.М. д-уравнение в многомерной обратной задаче рассеяния. Красноярск: препринт ин-та Физики им. Л.В.Киренского. - N 27М/1986. -35 с.

48. Новиков Р.Г., Хенкин Г.М. Решение многомерной обратной задачи рассеяния на основе обобщенных дисперсионных соотношений // ДАН СССР.1987. Т.292, вып.4. - С.814-818.

49. Martin Р.А. Acoustic scattering by inhomogeneous spheres. // J.Acoust. Soc. Am. -2002. -V. Ill, N.5, Pt.l. -P.2013-2018.

50. Jin В., Zheng Y. A meshless method for some inverse problems associated with the Helmholtz equation // Computer methods in applied mechanics and engineering. -2006. V.195. - P.2270-2288.

51. Doubova A., Osses A. Application of global Carleman estimates with rotated weights to an inverse problem for the wave equation // Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. 2005. - Ser. 1341. - P.555-560.

52. Marston P.L., Kingsbury D.L. Acoustic scattering from fluid spheres: Diffraction and interference near the critical scattering angle // J. Acoust. Soc. Am. -1981. V.70, N.5. -P.1488-1495.

53. Буров В.А., Рычагов M.H., Сасковец A.B. Учет многократных рассеяний в задачах дифракционной томографии: Г-матричный подход // Вестник Моск. Унив. Сер.З. Физика. Астрономия. 1989. - Т.ЗО, вып.1. - С.44-48.

54. Фаддеев Л.Д. Единственность решения обратной задачи рассеяния // Вестн. ЛГУ. 1956. - Т.7. - С.126-130.

55. Новиков Р.Г. Многомерная1 обратная задача рассеяния и приложения // Дисс .докт.физ.-мат.наук. С.-П.: РАН С.-П. отделение матем. института им. В.А.Стеклова, 1998. - 236 с.

56. Фаддеев Л.Д. Растущие решения уравнения Шредингера // ДАН СССР. -1965 Т.165, вып.З. - С.514-517.

57. Фаддеев Л.Д. Факторизация S-матрицы многомерного оператора Шредингера // ДАН СССР. 1966. - Т.167, вып.1. - С.69-72.

58. Фаддеев Л.Д. Трехмерная обратная- задача квантовой теории рассеяния. -Сб. тр. Всес. симпозиума по обратным задачам для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. - 1972.

59. Newton R.G. The Gel'fand-Levitan method in the inverse scattering problems. // Scattering theory in mathematical physics, Reidel Publ. Co. Dordrecht, 1974. -P.193-235.

60. Burov V.A., Morozov S.A., Rumiantseva O.D. Reconstruction of inner field by Marchenko-Newton-Rose method and solution of multi-dimensional inverse scattering problem // Acoust. Imag. 2000. - V.24. - P.101-106.

61. Буров В.А., Морозов С.А. Связь между амплитудой и фазой сигнала, рассеянного "точечной" акустической неоднородностью // Акустич. журн. -2001. Т.47, вып.6. - С.751-756.

62. Морозов С.А. Моделирование строгих методов решения обратных двумерных задач акустического рассеяния // Дисс. .канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2007.-194 с.

63. Beals R., Coifman R.R. Scattering, transformations spectrales et equations d'evolution nonlineare I, II // Seminaire Goulaouic Meyer-Schwartz. - 1980-1981. -Exp.22; 1981-1982. -Exp.21, Ecole Polytechnique, Palaiseau.

64. Burov V.A., Morozov S.A., Rumiantseva O.D., Sukhov E.G., Vecherin S.N., Zhucovets A.Yu. Exact solution of two-dimensional monochromatic inverse scattering problem and secondary sources space spectrum // Acoust. Imag. 2000. - V.24 -P.73-78.

65. Bogatyrev A.V., Burov V.A., Morozov S.A., Rumyantseva O.D., Sukhov E.G. Numerical realization of algorithm for exact solution of two-dimensional monochromatic inverse problem of acoustical scattering // Acoust. Imag. 2000. -V.25.-P.65-70.

66. Буров В.А., Морозов С.А., Румянцева О.Д., Сергеев С.Н. Активная и пассивная медицинская акустическая томография сильно неоднородных сред // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. 2002. - Т.З — С.5-13.

67. Буров В.А., Морозов С.А., Румянцева О.Д., Сергеев С.Н. Медицинская акустическая томография сильно неоднородных сред // Сб.: Медицинская физика, под ред. Трухина В.И. и др. М.: физич. ф-т МГУ. - 2002. - С.35-48.

68. Han В., Feng G.F., Liu J.Q. A widely convergent generalized pulse-spectrum technique for the inversion of two-dimensional acoustic wave equation // Applied Mathematics and Computation. 2006. - V.172. -P.406-420.

69. Кузьмина Ю.В. Обобщение функционального метода решения обратной монохроматической задачи рассеяния на случай многочастотного облучения. Дипломная работа // М.: физический ф-т МГУ. 2005.

70. Новиков Р.Г. Приближенное решение обратной задачи квантовой теории рассеяния при фиксированной энергии в размерности 2. // Труды Мат. Инст. Стеклова. 1999.-Т.225 - С.285-302.

71. Stotzka R., Widmann Н., Muller Т., Schlote-Holubek К., Gemmeke Н., Ruiter N., Gobel G. Prototype of a new 3D ultrasound computer tomography system: transducer design and data recording // Proceedings SPIE. Medical Imaging. 2004. -V.5373. — P.70-79.

72. Gzyl H. Inverse problem for the acoustic wave equation: a probabilistic approach to approximations and uniqueness // Applied Mathematics and Computation. -2001. — V.122. -P.179-194.

73. Wiskin J., Borup D.T., Johnson S.A., Berggren M., Abbott Т., Hanover R. Full-wave, non-linear, inverse scattering // Acoust. Imag. 2007. - V.28. - P.183-193.

74. Marmarelis V.Z., Jeong J., Shin D.C., Do S. Hign-resolution 3-D imaging and tissue differentiation with transmission tomography // Acoust. Imag. 2007. - V.28. -P.195-206.

75. Johnson S.A., Abbott Т., Bell R, Berggren M., Borup D., Robinson D., Wiskin J., Olsen S., Hanover B. Non-invasive breast tissue characterization using ultrasound speed and attenuation // Acoust. Imag. 2007. - V.28. - P. 147-154.

76. Novikov R.G. The д-approach to approximate .inverse scattering at fixed energy in three dimensions // International Mathematics Research Papers. 2005. -V.6. -P.287-349.

77. Novikov R.G. The д -approach to monochromatic inverse scattering in three dimensions // Journal of Geometric Analysis. 2008. - V. 18, N.2. - P.612-631.

78. Буров B.A., Конюшкин A.JI., Румянцева О.Д., Шарапов H.A. Повышение разрешения акустического томографа по третьей координате и раздельное восстановление упругих и вязких характеристик рассеивателя // Акустич. журн. Представлено в редакцию.

79. Novikov R.G. Rapidly converging approximation in inverse quantum scattering in dimension 2 // Physics Letters A. 1998. V.238. - P.73-78.

80. Применение ультразвука в медицине. Физические основы. Под ред. К.Хилла. М.: Мир. - 1989. - .568 с.

81. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. - 1969. - 576 с.

82. Nachman A. Reconstructions from boundary measurements // Annuals of Mathematics. 1988. - V. 128. -P.531-576.

83. Novikov R.G. The inverse scattering problem on a fixed energy level for the two-dimensional Schrodinger operator // J. Funkt. Anal. 1992. - V.103. - P.409-463.

84. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: Изд. иностранной литературы. - T.I: 1958. 930 е.; т.П: 1960. 886 с.

85. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. - 1990. -232 с.

86. Хейгеман JL, Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир. -1986.-448 с.

87. Кюркчан А.Г., Скородумова Е.А. Решение трехмерной задачи дифракции волн на группе объектов // Акустич. журн. 2007. - Т.53, вып.1. - С.5-14.

88. Румелиотис Дж.А., Котсис А.Д. Рассеяние звуковых волн на двух сферических телах, одно из которых имеет малый радиус // Акустич. журн. -2007. Т.53, вып. 1. - С.З8-49.

89. Марпл-мл. C.JI. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир.- 1990.-584 с.

90. Алексеенко Н.В., Буров В.А., Румянцева О.Д. Решение трехмерной обратной задачи акустического рассеяния на основе алгоритма Новикова-Хенкина // Акустич. журн. 2005. - Т.51, вып.4. - С.437-446.

91. Алексеенко Н.В., Буров В.А., Румянцева О.Д. Решение трехмерной обратной задачи акустического рассеяния. Модифицированный алгоритм Новикова // Акустич. журн. 2008. - Т.54, вып.З. - С.469-482.

92. Буров В.А., Алексеенко Н.В., Румянцева О.Д. Многочастотное обобщение функционального метода. решения обратной двумерной монохроматической задачи рассеяния // Препринт физического факультета МГУ. -N 10/2008. 36 с.

93. Алексеенко Н.В., Буров В .А., Румянцева О.Д. Моделирование решения трехмерной обратной задачи рассеяния по алгоритму Новикова-Хенкина // Сборник трудов XV сессии Российского Акустического Общества. М: ГЕОС. -2004. -Т.1. - С.192-195.

94. Алексеенко Н.В., Буров В.А., Румянцева О.Д. Решение трехмерной обратной задачи рассеяния по модифицированному алгоритму Новикова // Сборник трудов XIX сессии Российского Акустического Общества. М: ГЕОС. - 2007.-Т.1.-С.211-215.