Непрерывные и импульсные акустические сигналы в дважды отрицательных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.06, кандидат физико-математических наук Дмитриев, Константин Вячеславович

• Дмитриев, Константин Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дмитриев, Константин Вячеславович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1. Актуальность темы

2. Цели и задачи

3. Научная новизна работы

4. Научная и практическая значимость работы

5. Основные положения, выносимые на защиту

6. Апробация работы

7. Публикации

8. Структура и объем диссертации

9. Личный вклад автора 15 Глава 1. Уравнение Липпмана-Швингера для уравнений первого порядка в волновых задачах акустики 16 §1.1. Левые среды в электродинамике и возможность их практической реализации 16 §1.2. Отрицательное преломление в левых средах 24 §1.3. «Идеальная» фокусировка 35 §1.4. Акустические «левые» среды 40 Глава 2. Использование уравнений первого порядка в волновых задачах акустики 46 §2.1. Восстановление знака показателя преломления в уравнении Гельмгольца и волновом уравнении 46 §2.2. Решение прямой задачи рассеяния в монохроматическом случае 50 §2.3. Особенности численного моделирования полученных уравнений 55 §2.4. Основные результаты главы 2 59 Глава 3. Дважды отрицательные среды в акустике 61 §3.1. Акустические параметры, характеризующие среду как дважды отрицательную и их физический смысл 61 §3.2. Пример системы, обладающей отрицательной эффективной плотностью и сжимаемостью 70 §3.3. Одномерные волновые процессы в акустических отрицательных средах 73 §3.4. Преломление на границе акустических отрицательных сред 77 §3.5. Роль дискретизации левой среды и затухания в описании

распространения волн и численном моделировании

§3.6. Эффект сокрытия рассеивателя в дважды отрицательных средах

§3.7. Основные результаты главы 3 99 Глава 4. Переходные импульсные процессы в акустических дважды

отрицательных средах

§4.1. Дважды отрицательные среды без дисперсии 101 §4.2. Дважды отрицательные среды с дисперсионной характеристикой, не

содержащей пиков

§4.3. Дважды отрицательные среды резонансного типа

§4.4. Основные результаты главы 4

Основные выводы и результаты работы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Непрерывные и импульсные акустические сигналы в дважды отрицательных средах»

Введение

1. Актуальность темы

В течение нескольких последних лет в литературе присутствует

повышенный интерес к средам с отрицательным показателем преломления. Впервые на возможность их существования и ряд присущих им особенностей было указано в работах Л.И.Мандельштама [1,2]. Более подробно они рассматривались в работе В.Г. Веселаго [3], где изучалось распространение электромагнитных монохроматических волн через среду, диэлектрическая г и магнитная р проницаемость которой одновременно являются отрицательными. Хотя в процессе поиска сред с такими характеристиками были проанализированы многие возможности, до сих пор практических реализаций в области «естественных» материалов не известно. Тем не менее, современные технологии позволяют искусственно создавать метаматериалы -структуры, состоящие из периодически или хаотически расположенных элементов малого волнового размера. При специальном подборе конструкции каждого из таких элементов характеристики всей структуры могут быть весьма необычными. В частности, в электродинамике были экспериментально получены метаматериалы с отрицательными эффективными значениями вир, [4, 5]. Появление материалов с такими свойствами делает актуальной задачу разработки методов описания сред с произвольным как по величине, так и по знаку распределением параметров и волновых процессов в них.

В средах с отрицательными вир волновой вектор составляет с векторами электромагнитного поля Е и Н левую тройку, а не правую, как это имеет место в «обычных» средах. Поэтому они названы в [3] «левыми», а среды с положительными вир- правыми. Существование левых сред обеспечивает целый ряд эффектов, которые могут иметь практическую пользу. Часть из них обсуждалась в [3]. Это обращенные эффекты Доплера и Вавилова-Черенкова, эффекты отрицательного давления света («световое притяжение») и отрицательного преломления. Из них серьезной значимостью обладает последний эффект, с ним же так или иначе связана значительная часть публикаций по рассматриваемой тематике. Смысл его состоит в том, что падающий и преломленный лучи лежат по одну сторону относительно

нормали к границе правой и левой сред. Чтобы описать такое поведение луча с помощью закона Снеллиуса, необходимо приписать левой среде отрицательный показатель преломления.

При описании волновых процессов в левых средах с помощью волнового уравнения или уравнения Гельмгольца возникает проблема выбора знака показателя преломления, поскольку он входит в эти уравнения в квадрате, и левая среда оказывается с этой точки зрения неотличима от обычной. Для решения данной проблемы обычно используются дополнительные соображения, такие как выполнение принципа причинности или аналитичность корневой зависимости. Поэтому важно использовать более последовательные методы, основанные на уравнениях первого порядка, куда параметры среды входят раздельно, и проблемы выбора знака не возникает.

Особый интерес представляет среда, у которой показатель преломления равен в точности -1. Это достигается в электродинамических задачах за счет идеального согласования с вакуумом: £ = -1 и р = -1. В таком случае ее импеданс равен импедансу вакуума, и на границе раздела отсутствует отраженная волна. Плоскопараллельная пластина, обладающая таким показателем преломления, является фокусирующим элементом. Однако, в отличие от обычной линзы, у нее отсутствует фокальная плоскость, и изображение можно получить лишь для источников, находящихся от пластины на расстоянии, не превышающем ее толщину. Тем не менее, отсутствие отражения на границах существенно улучшает характеристики такой пластины в качестве линзы. Второй ее особенностью является отсутствие сферических аберраций: обе поверхности плоские. Третья особенность заключается в том, что граничные условия приводит к симметрии поля относительно границ пластины, что вызывает экспоненциальное усиление в левой среде неоднородных нераспространяющихся волн [6]. Именно эти волны отвечают за субволновые детали изображения источника. Будучи восстановленными в области фокуса, они позволяют получить разрешение, превышающее дифракционный предел. В этом смысле рассматриваемая пластина является «идеальной» линзой. Однако дальнейшие исследования показали, что повышенная разрешающая способность достигается лишь при

очень точном выполнении условий е = -1 и Ц = —1 [7]. Если допустить возможность некоторого отклонения от них, то обеспечение повышенной разрешающей способности требует ограничения толщины пластины, которая оказывается сравнимой или даже существенно меньшей длины волны.

Отсутствие волны, отраженной от идеально согласованной левой среды, приводит к идее о возможности создания систем, не искажающих падающее поле, т.е. реализующих эффект невидимости. Помимо отсутствия отражения левая среда имеет отрицательную фазовую скорость, а, следовательно, может быть использована для создания механизма компенсации фазового набега, возникающего в правой среде. Практическую значимость такая система приобретает, если система содержит область тени, куда не проникает внешнее излучение, а значит, и сама система, и помещенный внутрь нее объект не виден внешнему наблюдателю. Для того чтобы получить пространственное распределение параметров системы, обеспечивающее такой эффект, был предложен метод трансформационной оптики [8,9]. Рассчитанные с его помощью конфигурации использовали сильно анизотропные и неоднородные материалы с чисто положительными значениями е и которые принимали экстремальные (нулевые или бесконечные) значения на внутренних и внешних границах конструкции. Всё это обуславливает сложность практического изготовления элементов таких конфигураций. Поэтому желательно разработать систему, не использующую «экстремальных» значений параметров, а также их анизотропию.

Левые среды предполагают противоположную направленность волнового вектора и вектора Умова-Пойнтинга. Отсюда делается вывод о противоположной направленности фазовой и групповой скорости, наличии дисперсии и поглощения. Эти факторы существенно усложняют анализ волновых процессов в левых средах и вызывают во многих случаях спорные ситуации (некоторые из них описаны в разделах 1.2 и 1.3 диссертации), к которым следует вернуться, подвергнув их внимательному рассмотрению. Также представляется актуальным проведение строгого анализа выполнения принципа причинности и выявление существенной роли характера дисперсии

и ограничений, возникающих из наличия поглощения в рассматриваемых средах и его величины.

Вопросы, связанные с левыми средами, в основном обсуждаются в электродинамике, в акустике им уделено существенно меньшее внимание. В то же время, рассмотрение аналогичных сред в акустике также представляет большой интерес. Во-первых, формальный переход от электродинамики к акустике невозможен, поскольку в акустике, по крайней мере, жидких сред волны являются продольными, и невозможно выделять тройки векторов, которые позволили бы характеризовать среду как левую. Во-вторых, изучение нового класса явлений, связанных с рассматриваемыми средами, требует пересмотра многих «устоявшихся» закономерностей и связей. В-третьих, в основе акустики лежат уравнения «классической» механики сплошных сред, и поэтому проведение такого анализа именно в акустике представляется более простым, наглядным и заслуживающим внимания.

2. Цели и задачи

Основной целью работы является изучение акустических волновых

процессов в средах, аналогичных левым средам в электродинамике. В рамках данной цели ставились и решались следующие конкретные задачи:

1. Провести анализ свойств и явлений, аналогичных характерным для левых сред в электродинамике. На этой основе определить класс сред, являющихся их акустическим аналогом. Обсудить сделанный рядом авторов выбор механических параметров, отрицательность которых определяет среду в качестве такого аналога и выяснить их физический смысл.

2. Разработать аналитический метод, позволяющий рассчитывать акустические поля в системах с произвольным по величине и знаку распределением найденных параметров. Этот метод не должен опираться на какие-либо априори известные свойства левых сред. Метод должен предполагать возможность реализации численных расчетов. При этом аналитические возможности подходов, основанных на уравнении типа

Липпмаиа-Швингера представляются достаточно привлекательными как при решении прямых, гак и обратных волновых задач.

3. На основе разработанного метода провести моделирование волновых процессов в системах, содержащих рассматриваемые среды. Показать, что наблюдаемые при этом эффекты аналогичны эффектам, характерным для левых сред в электродинамике, что подтверждает верность выбора параметров, характеризующих среду.

4. Показать рост разрешающей способности плоскопараллельной пластины при применении рассматриваемых сред.

5. Разработать и промоделировать в волновом и лучевом представлениях акустическую систему, позволяющую скрывать рассеиватель и содержащую изотропные среды, параметры которых не обращаются в ноль или в бесконечность.

6. Изучить влияние пространственной дискретизации среды на процессы в рассматриваемых средах. Дискретизация имеет не только численный, но и физический смысл, поскольку среды, реализующие рассматриваемые свойства, являются метаматериалами, 1 содержащими локальные включения.

7. Исследовать влияние дисперсии в рассматриваемых средах. Провести анализ принципиальной возможности создания недиспергирую щих. непоглощающих или слабопоглощающих сред, обладающих отрицательными параметрами (как будет ясно из дальнейшего, такими параметрами является эффективные плотность и сжимаемость). Изучить процессы прохождения нестационарных сигналов при различном характере дисперсии и рассмотреть вопрос о выполнении принципа причинности в каждом из случаев.

3. Научная новизна работы

В работе впервые:

1. Показано, что среды с отрицательной эффективной плотностью и сжимаемостью являются акустическими аналогами левых сред в электродинамике. Этот вывод сделан на основе рассмотрения всей совокупности явлений в таких средах. Приведен пример механической системы, обладающей такими свойствами в определенной полосе и описывающейся уравнениями гидродинамики.

2. Получено уравнение типа Липпмана-Швингера для системы уравнений гидродинамики. На его базе разработан аналитический, а затем и численный методы, позволяющие анализировать и рассчитывать акустические поля колебательной скорости и давления в системах с произвольным по знаку и величине распределением эффективной плотности и сжимаемости. Метод позволяет рассматривать как монохроматические процессы, так и процессы распространения сигналов произвольной формы. Характеристики среды при этом могут произвольным образом зависеть от времени или представлять собой интегральные операторы типа свертки по временной переменной.

3. Изучены акустические процессы в плоскопараллельной пластине с отрицательными эффективными плотностью и сжимаемостью, а также в неоднородной системе, скрывающей заключенный в ней рассеиватель. Проведен анализ влияния пространственной дискретизации среды.

4. Проведено изучение характера дисперсии в акустических средах с отрицательными эффективными плотностью и сжимаемостью. Показано, что недиспергирующих сред с такими характеристиками не существует. В предположении отсутствия у дисперсионной характеристики пиков такая среда оказывается сильно поглощающей. Если частотные зависимости эффективных плотности и сжимаемости носят резонансный характер, поглощение в требуемой полосе частот может быть невелико.

5. Проанализировано прохождение импульсных сигналов через среду с плотностью и сжимаемостью в виде причинных резонансных функций отклика. Показано, что в диапазоне частот, соответствующем отрицательным

параметрам, область развития переходного процесса в среде распространяется с конечной скоростью. В рамках установившегося режима на несущей частоте импульса процесс происходит аналогично протеканию монохроматического процесса в среде с отрицательными эффективными параметрами.

Достоверность полученных результатов обеспечивается совпадением итогов численного моделирования с известными аналогами в электродинамике, в тех случаях, где такое сравнение возможно. Проверка корректности используемых численных схем производилась путем замены отрицательных параметров среды на положительные, для которых часто существовало аналитическое решение задачи.

4. Научная и практическая значимость работы

1. Модели акустических дважды отрицательных сред дают обильный материал для изучения присущих этим средам явлений, сохраняя высокую степень наглядности изучаемых процессов.

2. Предложенные аналитический и, основанный на нем, численный методы позволяют решать прямую задачу рассеяния акустических волн в очень широком классе акустических систем. Использование в основе метода уравнения типа Липпмана-Швингера делает возможным обобщение существующего аппарата решения обратных задач на случаи участия сред с отрицательной эффективной плотностью и сжимаемостью. Особое значение при этом имеет возможность сокрытия рассеивателя, которая может реализоваться даже при применении изотропных материалов.

3. Анализ характера дисперсии показывает, что для создания сред с отрицательными эффективными значениями плотности и сжимаемости нужно использовать резонансные системы, создающие рассеяние как дипольного, так и монопольного типа.

4. Предложенный вариант одномерной акустической системы, в котором могут проявляться отрицательные эффективные параметры, может быть реализован на практике. Подобная структура может быть использована в двумерных системах.

5. Основные положения, выносимые на защиту

1. Среды, характеризующиеся одновременно отрицательными

значениями эффективной плотности и сжимаемости (дважды отрицательные среды), являются акустическим аналогом левых сред в электродинамике не только по наличию двух отрицательных параметров, характеризующих их в качестве таковых, но и по совокупности наблюдаемых в них эффектов.

2. Предложенное для системы уравнений гидродинамики матричное уравнение Липпмана-Швингера позволяет анализировать монохроматические и нестационарные процессы в средах с произвольным знаком и величиной плотности и сжимаемости без необходимости привлечения каких-либо дополнительных соображений. В этом случае открываются возможности анализа не только прямых, но и обратных волновых задач для таких процессов.

3. Использование изотропных дважды отрицательных акустических сред дает возможность построения акустических конфигураций, реализующих эффект сокрытия рассеивателя, аналогичный имеющему место в электродинамике.

4. Волновые свойства дважды отрицательных сред без дисперсии не удовлетворяют принципу причинности. В предположении об отсутствии резких перепадов характеристики со(&) поглощение в таких средах велико и составляет десятки Дб на длину волны. Среды с резонансными функциями отклика по плотности и сжимаемости могут обладать отрицательной эффективной плотностью и сжимаемостью при, одновременно, небольшом поглощении в требуемой полосе частот.

5. При распространении импульсного сигнала через среду с резонансными функциями отклика по плотности и сжимаемости соблюдается принцип причинности. В установившемся режиме поведение среды можно описывать установившимися эффективными параметрами, значения которых могут быть отрицательны.

6. Апробация работы

Вошедшие в диссертацию материалы докладывались на основных

профильных российских и международных конференциях последних лет:

1. XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2008)

2. XI Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах» (Звенигород, Московская область, 2008)

3. XX сессии Российского Акустического Общества (Москва, 2008)

4. 9th International Conference on Theoretical and Computational Acoustics (Dresden, Germany, 2009)

5. XII Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах» (Звенигород, Московская область, 2010)

6. XIII Всероссийской школы-семинара «Физика и применение микроволн» (Звенигород, Московская область, 2011)

7. Семинар Научного Центра Волновых Исследования ИОФ РАН (Москва, 2008)

8. Научная сессия Отделения физических наук РАН «Электромагнитные и акустические волны в метаматериалах и структурах» (Москва, 2011)

Кроме того, результаты обсуждались на научных семинарах кафедр акустики и математики физического факультета МГУ, а также Лаборатории геометрических методов математической физики им. H.H. Боголюбова механико-математического факультета МГУ.

7. Публикации

Основные результаты диссертации изложены в 13 печатных работах

[* 10 - *22], 5 из которых опубликованы в реферируемых журналах.

8. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы из 103 наименований. Общий объем работы составляет 129 страниц, включающих 39 рисунков.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, излагается современное состояние проблемы, формулируется общая постановка задачи.

В первой главе представлен обзор основных публикаций, посвященных левым средам в электродинамике и их аналогам в акустике.

Во второй главе проводится построение теоретического аппарата, позволяющего вести рассмотрение волновых процессов в неоднородных средах, включающих неоднородности с произвольной величиной и знаком эффективной плотности и сжимаемости среды. Для этого за основу необходимо брать не волновое уравнение или уравнение Гельмгольца, а систему исходных для акустики уравнений гидродинамики, куда плотность и сжимаемость входят раздельно, и не возникает проблема выбора знака корня при определении значения показателя преломления среды. На основе системы уравнений получен аналог уравнения Липпмана-Швингера. Показано, каким образом оно может быть решено строгим образом, без использования разложения в ряд Борна-Неймана или каких-то иных упрощений, основанных на слабости рассеивателей (в рамках рассматриваемых задач рассеиватели являются сильными, и связанные с ними возмущения плотности и сжимаемости по абсолютной величине могут превышать фоновые значения).

Уравнение Липпмана-Швингера лежит в основе решения и последующего анализа прямых и обратных волновых задач, задач квантового рассеяния и обратных задач проводимости. Поэтому аналитические возможности этого уравнения и вытекающих из него соотношений представляются перспективными и при изучении волновых процессов в дважды отрицательных средах.

Проведен анализ возможности численного решения задач на основе предложенного аналитического метода. Показано, каким образом можно существенно сократить объем вычислений при его использовании.

В третьей главе проводится анализ возможных кандидатов на роль аналога левых сред в акустике. Этот вопрос сложен, поскольку в акустике, по крайней мере, жидких сред волны являются продольными, и невозможно

выделять тройки векторов, поэтому невозможно характеризовать среду как «левую» в исходном смысле. Показано, что на роль таких сред могут претендовать дважды отрицательные среды - те, где эффективная плотность и сжимаемость являются отрицательными. Приведен пример системы, описывающейся уравнениями гидродинамики, куда входят эффективные плотность и сжимаемость среды. Поскольку система содержит резонансные элементы дипольного и монопольного типов, и эффективная плотность, и сжимаемость являются функциями частоты, причем в определенном диапазоне они обе могут быть отрицательны. Тем самым, с одной стороны, проясняется физический смысл рассматриваемых параметров, а именно, это динамические характеристики, отрицательность которых означает сдвиг фаз между ускорением и силой, а также между объемом и давлением в монохроматической волне.

Для того чтобы подтвердить аналогичность выбранных характеристик отрицательным параметрам в электродинамике, был проведен ряд расчетов волновых процессов в характерных системах с включениями таких сред. Было показано, что фазовая скорость в акустической дважды отрицательной среде является отрицательной. На границе дважды отрицательной среды с фоновой, дважды положительной, наблюдается явление отрицательного преломления. Плоскопараллельная пластина из дважды отрицательной среды является фокусирующей «линзой», при этом отмечается ее повышенная по сравнению с классической линзой разрешающая способность. Аналогичность этих явлений процессам в левых средах в электродинамике позволяет характеризовать рассматриваемые акустические среды как аналоги левых.

Для акустики решался вопрос о роли шага пространственной дискретизации. Этот чисто вычислительный параметр имеет физический смысл, поскольку реальная реализация рассматриваемых сред -метаматериалы, которые имеют дискретную структуру. Оказалось, что для устойчивого протекания процесса необходимо иметь на длине волны, по крайней мере, десяток элементов разрешения при моделировании или элементов физической среды на практике.

В четвертой главе рассматривается дисперсия и поглощение в дважды отрицательных средах. При этом анализируются все возможные типы дисперсии без каких-либо априорных предположений. Вначале предполагается, что среда не обладает дисперсией. Рассматривается

прохождение через слой дважды отрицательной среды монохроматической волны, сигнала со спектром, состоящим из нескольких дискретных частот, а также сигнала с непрерывным гауссовым спектром. Во всех случаях оказывается, что сигнал в точках, расположенных с разных сторон от слоя на расстоянии друг от друга, равном удвоенной толщине слоя, совпадает в любой момент времени. Это приводит к тому, что при приближении импульса к одной из границ слоя на его противоположной стороне формируется импульс-предвестник». Это происходит еще до того, как исходный импульс коснулся самого слоя, т.е. при этом нарушается принцип причинности. На основе этого делается вывод, что дважды отрицательные среды без дисперсии существовать не могут.

Второй случай предполагает, что в дважды отрицательной среде дисперсия присутствует, но она носит плавный характер и дисперсионная кривая не содержит резонансных всплесков. В таком случае на основе соотношений Крамерса-Кронига удается получить локальную связь между поглощением, фазовой и групповой скоростями. Оказывается, что слабое поглощение возможно в этом случае, только если фазовая и групповая скорости близки друг к другу. Если это не так, поглощение чрезвычайно велико. В частности, когда скорости имеют противоположный знак, т.е. с = -с на длине волны амплитуда должна убывать в ехр(2л2) « 3,7 хЮ8 раз.

При предположении о равенстве этих скоростей реализуется ситуация, близкая к ситуации с недиспергирующей средой, т.е. нарушающая принцип причинности. Следовательно, среды, у которых дисперсионная характеристика не содержит пиков, не могут представлять интереса в контексте рассматриваемых явлений.

Третий случай касается сред с резким характером дисперсионной кривой. В частности, рассматриваются среды с резонансным откликом. При этом рассуждения, относящиеся к частотной локализации соотношений Крамерса-Кронига, уже не справедливы, и вывод о поглощении на их основе сделать не удается. Поэтому необходимо рассмотрение процессов распространения нестационарных сигналов через слой резонансной среды. В качестве таких сигналов использовались импульсы с гауссовой формой огибающей, несущая частота которых варьировалась в широких пределах. Моделирование распространения таких импульсов через среду с нелокальным по времени откликом потребовало расширения математического аппарата, изложенного в

первой главе. Проведенный на его основе анализ показал, что в средах с резонансным откликом, как по функции плотности, так и по сжимаемости, частотная область сильного поглощения может не совпадать с областью, где эти характеристики являются отрицательными. Тем самым, принципиально возможна ситуация отрицательного преломления и слабого поглощения.

Распространение импульса в такой среде выглядит следующим образом. При достижении передней границы слоя импульс начинает «раскачивать» среду. При этом зона переходного процесса движется от передней границы к задней с групповой скоростью. Пока «раскачанная» область среды не заняла весь объем слоя, сигнала на выходе не наблюдается. Поэтому принцип причинности здесь не нарушается. В рамках области «раскачанной» среды волновой процесс происходит таким образом, что фронты волн движутся навстречу импульсу, т.е. фазовая скорость отрицательна. Когда процесс «раскачки» завершился, волновая картина поля становится аналогичной той, которая наблюдалась в чисто монохроматическом случае при моделировании дважды отрицательной среды. При этом удается ввести эффективные параметры, что позволяет сильно упростить рассмотрение, абстрагируясь на этом этапе от конкретного вида функции отклика среды, а значит, и конкретного устройства ее физических элементов.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты работы.

В диссертации используется двухзначная нумерация формул и рисунков. Обращение к формулам осуществляется в виде (3.2), что означает вторую формулу в третьей главе. Рисунки обозначаются аналогичным образом, но с указанием на «рисунок», например (рис. 2.1) означает первый рисунок второй главы.

9. Личный вклад автора

Все изложенные в диссертационной работе оригинальные результаты получены автором лично, либо при его непосредственном участии.

Заключение диссертации по теме «Акустика», Дмитриев, Константин Вячеславович

Основные выводы и результаты работы

1. Проведено сравнение двух подходов к описанию акустического волнового процесса: традиционного, основанного на решении волнового уравнения (или уравнения Гельмгольца) и предлагаемого, основанного на решении уравнений гидродинамики первого порядка. Первый из них оказывается сложнее не только в вычислительном отношении, но и при описании феноменологии волновых явлений в неоднородных по плотности средах. Преимущество подхода, основанного на уравнениях гидродинамики, состоит в том, что он не опирается на показатель преломления и позволяет анализировать системы с произвольным по величине и знаку распределением плотности и сжимаемости на основе только пространственного распределения этих параметров.

2. На основе системы уравнений гидродинамики получен аналог уравнения Липпмана-Швингера и его решение, позволяющее описывать волновые процессы в монохроматическом и нестационарном случаях. При этом не требуется введения каких-либо дополнительных предположений о «знаке» анализируемых сред. На его основе разработан численный метод расчета полей.

3. Рассмотренные волновые явления подтверждают сложившееся мнение, что дважды отрицательные среды с отрицательной эффективной плотностью и сжимаемостью являются акустическим аналогом левых сред в электродинамике. Физический смысл отрицательной эффективной плотности и сжимаемости состоит в том, что это динамические величины, реализующие причинно-следственную связь между параметрами акустической волны.

4. Проведенное моделирование волновых процессов в ряде систем с включениями дважды отрицательных сред показало наличие отрицательного преломления на границе с такими средами и возможности в акустике «сверхфокусировки» с помощью плоскопараллельной пластины из отрицательной среды. При этом качество изображения, полученного с помощью такой пластины, оказывается лучшим по сравнению с обычной линзой. Показано, что для наблюдения эффекта шаг дискретизации в долях длины волны, физически соответствующий шагу размещения элементов метасреды, должен быть достаточно малым.

5. Исследована возможность сокрытия рассеивателя оболочкой из дважды отрицательной среды. Показано, что такое сокрытие позволяет ослабить по крайней мере на порядок изменение поля, происходящее при внесении маскируемого рассеивателя.

6. Рассмотрены все три возможных характера дисперсии в дважды отрицательных средах. Показано, что в дважды отрицательных средах без дисперсии нарушается принцип причинности. Отсутствие в дисперсионной характеристике пиков приводит к чрезвычайно сильному поглощению. Дисперсия, носящая резонансный характер, позволяет получить отрицательные параметры среды и небольшое поглощение в рабочей полосе частот.

7. Исследовано распространение импульсных сигналов в среде с резонансными функциями отклика по плотности и сжимаемости. Область «раскачки» среды, т.е. огибающая зоны возбуждения, движется с конечной групповой скоростью, и принцип причинности соблюдается. Установившийся режим имеет много черт, сходных со случаем монохроматического сигнала в среде без дисперсии.

В заключение мне хотелось бы выразить благодарность Валентину Андреевичу Бурову и Сергею Николаевичу Сергееву за интересную тематику, теоретические наставления и постоянное внимание к работе. Особую благодарность выражаю Ольге Дмитриевне Румянцевой за многократные полезные советы и замечания. Кроме того, благодарю весь коллектив кафедры акустики за моральную поддержку и ценные советы.

Также выражаю искреннюю признательность профессору Анатолию Петровичу Сухорукову, чьи замечания и критика по излагаемым вопросам, побудили внимательно изучить роль дисперсии и поглощения в средах, рассматриваемых в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дмитриев, Константин Вячеславович, 2012 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мандельштам Л.И. Групповая скорость в кристаллической решетке // ЖЭТФ. 1945. Т.15. С.475-478.

2. Мандельштам Л.И. Полное собрание трудов [в 5 томах]. Том 5. Под ред. М.А. Леонтовича. М.: Изд-во АН СССР, 1950. 468с.

3. Веселаго В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями е и р // УФН. 1967. Т.92. Вып.З. С.517-526.

A.SmithD.R., PadillaW.J., VierD.C., Nemat-Nasser S.C., Schultz S. Composite Medium with Simultaneously Negative Permeability and Permittivity // Phys. Rev. Lett. 2000. V.84. №18. P.4184-4187.

5. Shelby R.A., Smith D.R., Nemat-Nasser S.C., Schultz S. Microwave transmission through a two-dimensional, isotropic, left-handed metamaterial // App. Phys. Lett. 2001. V.78. №4. P.489.-491.

6. Pendry J.B. Negative refraction makes a perfect lens // Phys. Rev. Lett. 2000. V.85. №18. P.3966-3969.

7. Smith D.R., SchurigD, Rosenbluth M., ShultzS., Ramakrishna S.A., Pendry J.B. Limitations on subdifraction imaging with a negative refractive index slab // App. Phys. Lett. 2001. V.82. №10. P.1506-1508.

8 .Pendry J.B., SchurigD., Smith D.R. Controlling electromagnetic fields. //

Science, 2006. V.312. N.5781. P.1780 - 1782. 9.D. Schurig, J.B. Pendry, D.R. Smith. Calculation of material properties and ray tracing in transformation media. // Optics Express, 2009. V.14. N.21. P. 9794-9804.

*10. Бурое В.А., Дмитриев К.В., Сергеев С.Н. Волновые эффекты в акустических средах с отрицательным показателем преломления // Известия Российской Академии Наук. Серия Физическая. 2008. Т.72. №12. С.1695-1699.

*11 .К.В.Дмитриев. Применение методов теории рассеяния волн для акустических сред с отрицательным показателем преломления //

Материалы докладов XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» / [Электронный ресурс] — М.: Издательство МГУ; СП МЫСЛЬ, 2008.

*12 .В.А.Буров, К.В.Дмитриев, С.Н.Сергеев. Волновые эффекты в акустических средах с отрицательным показателем преломления // Труды XI Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах". Звенигород, Московская область, 26-31 мая 2008. Часть 2 "Фотонные кристаллы и метаматериалы". М.: физич. ф-т МГУ, 2008. С.12-14.

*13 .В.А.Буров, К.В. Дмитриев, С.Н.Сергеев. Численная модель акустической среды с отрицательным показателем преломления // Сборник трудов XX сессии Российского Акустического Общества. М.: ГЕОС, 2008. Т.1. С.213-217.

*14 .В.А.Буров, К.В.Дмитриев, С.Н.Сергеев. Акустические дважды отрицательные среды // Препринт физического факультета МГУ, № 13/2008. 32с.

*15 .В.А.Буров, К.В.Дмитриев, С.Н.Сергеев. Акустические дважды отрицательные среды // Акустич. журн, 2009. Т.55. № 3. С. 292-306.

*16. V. Burov, К. Dmitriev, S. Sergeev. Calculations of acoustical fields on base of the hydrodynamic equations system // Abstracts of 9th International Conference on Theoretical and Computational Acoustics. Dresden, Germany, September 711. P.86

*17. V.A. Burov, K.V. Dmitriev, S.N. Sergeev. Calculations of acoustical fields in media with arbitrary signs and values of density and compressibility // Proceedings of the 9th International Conference on Theoretical and Computational Acoustics. Dresden, Germany, September 7-11. 2009. Published by Universität der Bundeswehr, 85579 Neubiberg, Germany, P.341-350

*18 .К.В.Дмитриев, И.В. Коршунов. Эффект сокрытия рассеивателя акустическими дважды отрицательными средами // Труды XII Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных

средах". Звенигород, Московская область, 24-29 мая 2010. Секция 7 "Метаматериалы, наноструктуры, фотонные кристаллы". М.: физич. ф-т МГУ, 2010. С.32-35. *19.К.В.Дмитриев, И.В. Коршунов. Эффект сокрытия рассеивателя акустическими дважды отрицательными средами // Известия РАН. Серия Физическая, 2010. Т.74. №12. С. 128-133. *20 .В.А.Буров, К.В.Дмитриев, С.Н.Сергеев. Выполнение принципа причинности в акустических дважды отрицательных средах // Труды XIII Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн". Звенигород, Московская область, 23-24 мая 2011. Секция 5 "Метаматериалы и фотонные кристаллы". М.: физич. ф-т МГУ, 2011. С. 1519.

*21 .В.А.Буров, К.В.Дмитриев, С.Н.Сергеев. Принцип причинности в акустических дважды отрицательных средах // Известия РАН. Серия Физическая, 2011. Т.75. №12. С. 1745-1750. *22. В.А. Буров, В.Б. Волошинов, К.В. Дмитриев, Н.В. Поликарпова. Акустические волны в метаматериалах, кристаллах и структурах с аномальным преломлением. //УФН, 2011, Т.181. №11, С. 5-11.

23. Pendry J.B. Negative refraction makes light run backwards in time. // Phys. World. 2000. V.13. №27. P.l-4.

24. Li Jensen, ChanC.T. Double-negative acoustic metamaterial // Phys. Rev. E. 2004. V.70. №5. P.055602-1-4.

25. ChanC.T., Li Jensen, FungK.H. On extending the concept of double negativity to acoustic waves // J. Zhejiang Univ. SCIENCE A. 2006. V.7. №1. P.24-28.

26. FangN., XiD., XuJ., AmbatiM., Strituravanich W., SunC., ZhangX. Ultrasonic metamaterials with negative modulus // Nature Materials. 2006. V.5. Iss.6. P.452-456.

27. Zhang S., YinL., Fang N. Focusing ultrasound with an acoustic metamaterial network. //Phys. Rev. Lett. 2009. V. 102. N. 19. P. 194301-1-4.

28.LiuZ.Y., ZhangX., Mao Y., ZhuY.Y., ChanC.T., ShengP. Locally resonant sonic materials. // Science 2000. V.289. P.1734-1736.

29. Pendry J.B., HoldenA.J., Stewart W.J., Youngs I. Extremely low frequency plasmons in metallic mesostructures // Phys. Rev. Lett. 1996. V.76. №.25. P.4773.-4776.

30. Pendry J.В., Holden A.J., Robbins D.J., Stewart W.J. Low frequency plasmons in thin-wire structures // J. Phys.: Condens. Matter. 1998. V.10. P.4785.-4809.

31. Pendry J. В., HoldenA.J., Robbins D.J., Stewart W.J. Magnetism from conductors and enchanced nonlinear phenomena // IEEE Transactions on microwave theory and techniques. 1999. V.47. №.11. P.2075.-2084.

32. T. Weiland, R. Schuhmann, R. B. Greegor, C. G. Parazzoli,, A. M. Vetter, D. R. Smith, D. C. Vier, S. Schultz. Ab initio numerical simulation of left-handed metamaterials: Comparison of calculations and experiments // J. App. Phys. 2001. V.90. N.10. P.5419-5424.

33. D. R. Smith, S. Schultz, P. Markos, С. M. Soukoulis. Determination of effective permittivity and permeability of metamaterials from reflection and transmission coefficients // Phys. Rev. B. 2002. V.65. N.10. P. 195104-1-5.

34. Раутман С.Г. Об отражении и преломлении на границе среды с отрицательной групповой скоростью // УФЫ. 2008. Т.178. №10. С.1017-1024.

35. A. L. Pokrovsky, A. L. Efros. Sign of refractive index and group velocity in left-handed media. // Solid State Communications. 2002. N.124. P.283-287.

36. Shelby R.A., Smith D.R., Schultz S. Experimental verification of a negative index of refraction // Science 2001. V.292. P.77.-79.

37. Ноиск A.A., Brock J.В., Chuangl.L. Experimental observations of a left-handed material that obeys Snell's law. // Phys. Rev. Lett. 2003. V.90. N.13. P.137401-1-4.

38.NotomiM. Theory of light propagation in strongly modulated photonic crystals: Refractionlike behavior in the vicinity of the photonic band gap // Phys. Rev. B. V.62. P.10696.-10705.

39. H. Kosaka, Т. Kawashima, A. Tomita, М. Notomi, Т. Tamamura, Т. Sato, S. Kawakami. Superprism phenomena in photonic crystals. // Phys. Rev. B. 1998. V.58. N.16. P.10096-1-4.

40. R. Kronig. On the theory of dispersion of X-rays. // J. Opt. Soc. Am. 1926. V.12. P.547-557.

41. H. A. Kramers. Some remarks on the theory of absorption and refraction of of x-rays. //Nature. 1926. V.117.P.775.

42. JI. Д. Ландау, E. M. Лишфиц. Теоретическая физика. Том VIII. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука. 1982. 621с.

43. К.-Е. Peiponen, V. Lucarini, Е.М. Vartiainen, J.J. Saarinen. Kramers-Kronig relations and sum rules of negative refractive index media. // European Physical Journal B. 2004. T.41. P.61-65.

44 .PendryJ.B., Smith D.R. Reversing light with negative refraction // Phys. Today. 2004. V.57. №6. P.37.-43.

45. Smith D.R., Kroll N. Negative refractive index in left-handed materials // Phys. Rev. Lett. 2000. V.85. №14. P.2933.-2936.

46. Ramakrishna S.A., Martin O.J.F. Resolving the wave vector in negative refractive index media // Opt. Lett. 2005. V.30. №19. P.2626.-2628.

47. Garcia N., Nieto-Vespiranas M. Left-handed materials do not make a perfect lens // Phys. Rev. Lett. 2002. V.88. №20. P.207403-1-4.

48. P. Markos, С. M. Soukoulis. Transmission studies of left-handed materials. // Phys. Rev. B. 2001. V.65. N.3. P.033401-1-4.

49. Давидович M.В. О парадоксе Хартмана, туннелировании электромагнитных волн и сверхсветовых скоростях. // УФН. 2009. Т. 179. Вып.4. С.443-446.

50. L. Brillouin. Wave propagation and group velocity. Academic press. New York and London.1960.154p.

51. Шевченко В.В. Прямые и обратные волны: три определения, их взаимосвязь и условия применимости. // УФН. 2007. Т.177. Вып.З. С.301-306.

52. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн. М.: Наука. 1979. 384с.

53. Valanju P.M., Walser R.M., Valanju A.P. Wave refraction in negative-index media: always positive and very inhomogeneous // Phys. Rev. Lett. 2002. V.88. №18. P.187401-1-4.

54. Блиох К.Ю., Блиох Ю.П. Что такое левые среды и чем они интересны? // УФН. 2004. Т.174. №4. С.439-447.

55. Pendry J.В., Smith D.R. Comment on « Wave refraction in negative-index media: always positive and very inhomogeneous» // Phys. Rev. Lett. 2003. V.90. №2. P.029703-1.

56. Boardman A.D., KingL., Velasco L. Negative refraction in perspective. // arXiv:cond-mat/0508501. 2005. P.1-34.

57. J. Pacheco, T.M. Grzegorczyk, B.-I.Wu, Y.Zhang, J.A.Kong. Power propagation in homogeneous isotropic frequency-dispersive left-handed media. // Phys. Rev. Lett. 2002. V.89. N.5. P.257401-1-4.

58. Горюнов A.A., СасковецА.В. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд-во МГУ. 1989. 152с.

59. МессиаА. Квантовая механика. М.: Наука. 1979. Т.2. С. 300.

60. Pendry J.В. Comment on «Left-handed materials do not make a perfect lens» // Phys. Rev. Lett. 2003. V.91. №9. P.099701-1.

61. Garcia N., Nieto-Vespiranas M. Answer to Comment by J.B. Pendry on «Left-handed materials do not make a perfect lens» // arXiv:cond-mat/0207413vl. 2002. P.l-2.

62. 't Hooft G. W. Comment on «Negative refraction makes a perfect lens» // Phys. Rev. Lett. 2001. V.87. №24. P.249701-1.

63. Pendry J.B. Pendry replies // Phys. Rev. Lett. 2001. V.87. №24. P.249702-1.

64. Williams J.M. Some problems with negative refraction // Phys. Rev. Lett. 2001. V.87. №24. P.249703-1.

65. Pendry J.B. Pendry replies // Phys. Rev. Lett. 2001. V.87. №24. P.249704-1.

66.PendryJ.B. Perfect cylindrical lenses. // Optics Express. 2003. V.ll. N.7. P.755-760.

*67. Буров В.А., Дмитриев КВ., Евтухов С.Н., Румянцева ОД. Активно-пассивные термотомографические системы с фокусировкой акустических полей //Известия РАН. Серия Физическая, 2009. Т. 73. С.551-557.

68. Kolinko P., Smith. D.R. Numerical study of electromagnetic waves interacting with negative index materials // Optics Express. 2003. V.l 1. №7. P.640-648.

69. Wiltshire M.C.K., PendryJ.B., Young I.R., LarkmanD.J., Gilderdale D.J., Hajnal J. V. Microstructured magnetic materials for RJF flux guides in magneric resonance imaging. // Science. 2001. Y.291. P.849-851.

70. Pre ire M.J., Marques R., JelinekL. Experimental demonstration of |Ll = —1 metamaterial lens for magnetic resonance imaging // arXiv medical -ph/0810.1689vl. 2008. P.1-12.

ll.FarhatM., GuenneauS., EnochS., Tayeb G., MovchanA.B., MovchanN.V. Negative refraction for linear surface water waves. Procedings of the 8th International conference on Mathematical and numerical aspects of waves. Waves 2007. University of Reading. Reading:Reading University press. 2007. P.214-216.

72. Xinhua H., YifengS., Xiaohan L., RongtangP, JianZ. Superlensing effect in liquid surface waves. //Phys. Rev. E. 2004. V.69. №3. P.030201-1-4.

13. S.Yang, J.H.Page, Z.Liu, M.L. Cowan, C.T.Chan, P.Sheng. Focusing of Sound in a 3D Phononic Crystal. // Phys. Rev. Lett. 2004. V.93. N.2. P.024301-1-4.

74. C. Qiu, X. Zhang, ZLiu. Far-field imaging of acoustic waves by a two-dimensional sonic crystal. //Phys. Rev. Lett. 2005. V.71. N.5. P. 054302-1-6.

75. M. Ke, Z. Liu,C. Qiu, W. Wang, J. Shi, W. Wen, P. Sheng. Negative-refraction imaging with two-dimensional phononic crystals. // Phys. Rev. Lett. 2005. V.72. N.6. P.064306-1-5.

16. A. Sukhovich, L. Jing, JohnH. Negative refraction and focusing of ultrasound in two-dimensional phononic crystals. // Phys. Rev. Lett. 2008. V.77. N.l. P.014301-1-9.

77. Z. Liu, C.T. Chan, P. Sheng. Analytic model of phononic crystals with local resonances. // Phys. Rev. Lett. 2005. V.71. N.l. P.014103-1-8.

78. Yiqun Ding, Zhengyou Liu, Chunyin Qiu, Jing Shi. Metamaterial with simultaneously negative bulk modulus and mass density. // Phys. Rev. Lett. 2007. V.99. N.9. P.093904-1-4.

79. J. Mobley. The time-domain signature of negative acoustic group velocity in microsphere suspensions. // JASA. 2007. T.122. N1. P.8-14.

*80 .В.А.Буров, К.В.Дмитриев, С.В.Логинов. Акустические свойства органических порошков как ультразвуковых контрастных агентов // Акустич. журн. 2011. Т.57. №6. С.771-777.

81. Bergmann P.G. The wave equation in a medium with a variable index of refraction. //JASA. 1645. T.17. №4. C.329-333.

82. Войтович H.H., Каценеленбаум Б.З., Сизов A.H. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. М.: Наука, 1977. 416с.

83. Горюнов А.А., Румянцева ОД. Функционально-матричный формализм в обратных задачах рассеяния скалярной линейной акустики. М.: Ин-т океанологии АН СССР, 1991. 68с.

84. Бархатов А.Н., Горская Н.В., Горюнов А.А., Гурбатов С.Н., Можаев В.Г., Руденко О.В. Акустика в задачах. М.: Наука. Физматлит, 1996. 336с.

85. Буров В.А., Венерин С.Н., Румянцева ОД. Статистическая оценка пространственного спектра вторичных источников. // Акустич. журн. 2004. Т.50. №1. С.14-25.

86. Киржниц Д.А. Всегда ли справедливы соотношения Крамерса-Кронига для диэлектрической проницаемости вещества? // УФН. 1976. Т.119. Вып.2. С.357-369.

87. Киржниц Д.А. Общие свойства электромагнитных функций отклика. // УФН. 1987. Т.152. Вып.З. С.399-422.

88. Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Университетский курс общей физики. Колебания и волны. М.: Физический факультет МГУ, 2001. 144с.

89. В.М. Бабич, М.Б. Капилевич, С.Г. Михлин, Г.И. Натансон, П.М. Риз, Л.Н. Слободецкий, М.М. Смирнов. Линейные уравнения математической физики. М.: Наука, 1964. 368с.

90. Морозов С.А. Обратная задача восстановления поля внутри рассеивателя по данным рассеяния в монохроматическом режиме. Дипломная работа. М.: Физический факультет МГУ, 1997.

91. Алексеенко Н.В. Моделирование функциональных методов решения двумерных и трехмерных обратных задач акустического рассеяния. Дисс. канд. физ.-мат. наук М.: МГУ, 2008.

92. Fokin V., Ambati M., Cheng S., ZhangX. Method for retrieving effective properties of local resonant acoustic metamaterials //Phys. Rev. B, 2007, V. 76. P. 144302-1.

93. Cummer S.A., PopaB.-I., SchurigD, Smith D.R. Full-wave simulations of electromagnetic cloacking structures. //Phys. Rev. B, 2006. V. 76. P. 036621-1.

94 .SchurigD., Mock J. J., Justice B.J., Cummer S.A., PendryJ.B., Starr A.F., Smith D.R. Metamaterial electromagnetic cloak at microwave frequencies. // Science, 2006. V.314. N.5801. P.977-980.

95 .RahmM., SchurigD., Roberts D. A., Cummer S.A., Smith D.R., PendryJ.B. Design of electromagnetic cloaks and concentrators using form-invariant coordinate transformations of Maxwell's equations. // arXiv:0706.2452vl [physics.optics], 2007. P.1-17.

96.Xiang W.J., YaoJ.C., Jun T.C.. Anisotropic metamaterial devices. // Materials Today, 2009. V.12. N.12. P.26-33.

97. Cummer S.A., PopaB.-I., SchurigD., Smith D.R., PendryJ.B., RahmM., Starr A. Scattering theory derivation of a 3D acoustic cloaking shell // Phys. Rev. Lett., 2008. V. 100. P. 24301.

98. Cummer S.A., Schurig .D. One path to acoustical cloaking. // New J. Phys, 2007. V. 9. N3. P. 45.

99. Milton G.M., Briane M., Willis J,R. On cloaking for elasticity and physical equations with a transformation invariant. // New J. Phys, 2006. V.8. N10. P.248-267.

100. Дубинов A.E., МытареваЛ.А. Маскировка материальных тел методом волнового обтекания. // УФН, 2010, Т.180. №5, С.475-501.

101. Luo Y., Zhang J.-J., ChenH.-S., WuB.-I., Ran L.~X. Wave and ray analysis of a type of cloak exhibited magnified and shifted scattering effect. // PIER, 2009. V. 95. P.167.

102. Бадалян Н.П., Буров B.A., Морозов C.A., Румянцева ОД. Восстановление акустических граничных рассеивателей алгоритмом Новикова-Гриневича-Манакова.//Акустич. журн. 2007. Т.55. №1. С.3-10.

103. O'Donnel М., Jaynes Е.Т., Miller J.G. //JASA. 1981. V. 69. N 3. P. 696.