Численные методы решения нелинейного уравнения Ландау-Фоккера-Планка и их приложения в задачах столкновительной плазмы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Потапенко, Ирина Фёдоровна

• Потапенко, Ирина Фёдоровна
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Потапенко, Ирина Фёдоровна

ВВЕДЕНИЕ

I. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ПОЛНОСТЬЮ КОНСЕРВАТИВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА ЛАНДАУ И ФОККЕРА-ПЛАНКА

1.1 -Общие закономерности при конструировании консервативных разностных схем

1.2- Формы записи интеграла столкновений Ландау-Фоккера-Планка и полностью консервативная разностная схема

И. РЕЛАКСАЦИЯ К РАВНОВЕСИЮ НАЧАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАЗА ЧАСТИЦ С ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИМИ СТЕПЕННЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [7 ~ г/

2.1 -Асимптотическое решение уравнения типа Ландау в высокоэнергетичной части распределения

2.2-Полностью консервативная разностная схема для изотропного уравнения типа Ландау

2.3- Релаксация начального распределения к равновесию для частиц со степенными потенциалами взаимодействия U ~ г"'

III. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА ЛАНДАУ (ФОККЕРА - ПЛАНКА) ПРИ НАЛИЧИИ ИСТОЧНИКОВ

3.1-Асимптотическое решение уравнения типа Ландау-Фоккера-Планка с источниками, локализованными в высокоэнергетичной области

3.2-Эволюция функции распределения при наличии внешней накачки

3.3 -Сравнение с экспериментальными результатами по облучению полупроводниковой плёнки

IV. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛАНДАУ-ФОККЕРА-ПЛАНКА. РЕЛАКСАЦИЯ ДВУХТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ

4.1- Релаксация двухтемпературной плазмы. Асимптотические оценки

4.2-Полностью консервативная разностная схема для системы изотропных уравнений Фоккера-Планка

4.3- Численный расчёт процесса релаксации ионов и электронов для начальных условий далёких от равновесия

4.4-Выводы

V. ДВУМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛАНДАУ - ФОККЕРА - ПЛАНКА. РЕЛАКСАЦИЯ ИМПУЛЬСА

5.1 -Полностью консервативная разностная схема для двумерного уравнения Фоккера-Планка

5.2- Уравнение Фоккера-Планка для изотропных потенциалов Розенблюта-Трубникова

5.3-Релаксация моноэнергетического анизотропного пучка ионов

5.4г Сравнение с результатами дискретного статистического моделирования

VI. ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ СТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ, НАХОДЯЩЕЙСЯ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

6.1- Распад и заполнение плазмы в открытой магнитной ловушке

6.2- Нагрев и ускорение электронов при воздействии статического и высокочастотного электромагнитных полей

6.3- Электронная функция распределения при алъфвеновском нагреве в токомаке и токи увлечения

6.4- Ускорение электронов алъфвеновской волной с переменной фазовой скоростью и поведение хоров во время суббури

6.5- Аномальное высыпание электронов в авроралъной зоне Земли

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы решения нелинейного уравнения Ландау-Фоккера-Планка и их приложения в задачах столкновительной плазмы»

Кинетическими уравнениями описывается динамика систем, состоящих из большого числа слабо взаимодействующих частиц. Типичными примерами служат разреженные нейтральные газы и плазма. Наиболее известное кинетическое уравнение - это нелинейное кинетическое уравнение Больцмана [1-3], которое описывает систему многих частиц, взаимодействующих по законам классической механики и является основным уравнением в моделях динамики разреженного газа. В общем виде уравнение для функции распределения частиц /, зависящей от пространственной координаты г, скорости V и времени £ > О может быть представлено следующим образом

Здесь т - масса частиц, Г -внешняя сила, 5 - источники (стоки) частиц и энергии. В правой части уравнения стоит так называемый оператор (интеграл) столкновений

Дифференциальное сечение рассеяния а(и, ц) задаётся как функция модуля относительной скорости ад =| V — лу | > 0 и косинуса угла рассеяния ц — совв £

Кроме других классических примеров, таких как уравнение Ландау [4,5] в физике плазмы, или как его ещё называют в литературе, уравнение Фоккераг Планка [6], кинетические уравнения играют важную роль в моделировании гранулированных газов, заряженных частиц в полупроводниках, переносе

-М]. нейтронов, динамике народонаселения и во многих других областях (см., например, [7-10]).

Самый общий подход к численному решению полного кинетического уравнения основан на его расщеплении по физическим параметрам. Решение на одном шаге по времени Д£ состоит из последовательности двух этапов. Вначале, на этапе столкновений. интегрируется пространственно однородное уравнение (внешняя сила и источники отсутствуют) для всех пространственных переменных с шагом по времени Д£:

ДЛ/Ь /(г)V)0) — /о(г,V). Затем интегрируется уравнение переноса (левая часть полного уравнения) для того же шага Д£, используя функцию распределения, полученную на предыдущем шаге в качестве начального условия: = /(г,у,0) = /(г,у,Д*).

По окончании этих двух этапов процесс может итерироваться для получения численного решеиия в последующие временные шаги. Первый этап действует только на скорость V, в то время как на втором этапе действие оказывается лишь на пространственную переменную г.

Хотя реализация этой идеи остаётся достаточно нелёгкой задачей, тем не менее, методологически она обладает определённым преимуществом из-за распараллеливания схемы расчёта [9,11-13].

Настоящая работа посвящена разработке численных методов решения пространственно-однородного нелинейного кинетического уравнения (системы уравнений) типа Лаидау-ФоккерагПланка (ЛФП) и исследованию на их основе ряда задач динамики разреженных газов и плазмы. Основное внимание уделяется конструированию численной схемы, которая обладает физическими особенностями исходного уравнения: законы сохранения, положительность функции распределения, //-теорема, поскольку все эти свойства существенно зависят от моделирования именно столкновительного шага.

Нелинейный интеграл столкновений типа ЛФП является приближением интеграла столкновений Больцмана при учёте рассеяния на малые углы. Кинетическое уравнение ЛФП лежит в основе всех математических моделей, описывающих динамику столкновительной плазмы, и на протяжении десятилетий имеет самое широкое применение в чисто научных и прикладных задачах.

Это уравнение, широко используемое в приложениях, является предельным случаем уравнения Больцмана для экранированного кулоновского взаимодействия [4-6,14]. Модели кинетических процессов, обусловленных кулоновскими столкновениями, занимают значительное место в практических приложениях, связанных с высокотемпературной плазмой, как лабораторной так и магнитосферной, полупроводниковой плазмой, а также в плазмохимических задачах [15 - 21].

В кулоновских столкновениях рассеяние на малые углы вносит основной вклад в столкновительный член. Интеграл столкновений для заряженных частиц впервые был получен Ландау [4] из уравнения Больцмана с учетом эффекта малости передаваемого при кулоновских столкновениях импульса и эффекта экранирования заряда частицы вне сферы дебаевского радиуса другими частицами. Столкновительный член в уравнении Ландау явялется интегродифференциальным оператором и имеет симметричную форму, схожую с формой интеграла столкновений Больцмана:

2) где Г = 27ге4 Ь/т2, относительная скорость и = V — мг, Ь - так называемый кулоновский логарифм и симметричное ядро Щ определено как (иЧг] - щи,) . .123 ил

Грубым условием применимости уравнения (2) служит неравенство е2п1/3 < Т, означающее, что средняя энергия кулоновскго взаимодействия мала по сравнению со средней кинетической энергией (п - плотность числа частиц, Т - температура, выраженная в энергетических единицах).

Уравнение Ландау (2) было переоткрыто через 20 лет в работе [6] в форме нелинейного уравнения Фоккера-Планка. Другая форма записи того же самого уравнения оказалась очень полезной для численных расчётов, связанных с физикой горячей плазмы. Это уравнение часто называют в литературе уравнением Лапдау-Фоккера-Планка (ЛФП), мы используем ту же терминологию. Уравнение ЛФП для п-компонентной плазмы имеет вид дЩ д Г дЬ. 1 1 д / д*9а ^ а)/3 = 1!.)П) (3) где функции ha = ,y Kaß( 1 + —) f dwfß(w, t) I V - w I-1 mß J и д = ^Ка0 / dwfß(w, t) | v - w | (4) J

- так называемые потенциалы Розенблюта-Трубникова [5,6]. Здесь Га = 47гZQ4/mQ2, Кaß = (ZQ/Zßf haß, mQ, Za - масса и заряд.

Симметричная форма уравнения, полученная Ландау ближе по характеру к оператору столкновений Больцмана. Однако, в этом операторе содержится симметричное ядро Щ (неотрицательная симметричная матрица), требующее при численной реализации большой объем компьютерной памяти даже для двумерного случая. В частности, возможно поэтому форма Фоккера-Планка была более употребительна в численных расчетах. Кроме того, разделение столкновительного интеграла на две части (трение и диффузия) иногда облегчает анализ конкретной математической модели, связанной с физической задачей.

Позже классическое уравнение Ландау было обобщено на случай произвольных потенциалов взаимодействия [22,23]. Подробнее об этой модели будет сказано в главе I.

В отсутствие источников и стоков частиц и энергии для уравнения (2-4) справедливы три закона сохранения: плотности числа частиц, импульса (средней скорости), энергии (температуры): п = [ fdv, V = - [ fvdv, Т = [ /(v - v)2dv.

Ум з п7мз SkenJ^

Для интеграла столкновений справедлива Я—теорема Больцмана. Если определить Я-функцию как я(/) = [ к3 то

Я-функция монотонно убывает, достигая своего минимума на распределении Максвелла т3/2 / т\ V — V |2\

--2ЙГ~)

Я—теорема Больцмана означает, что любая равновесная функция распределения, т.е., любая функция, для которой интеграл столкновений = 0, </(/, /) = 0, имеет форму локального максвелловского распределения.

С математической точки зрения кинетическое уравнение ЛФП представляет собой весьма сложный инструмент для добывания необходимой физической информации и поддаётся аналитическому решению с трудом и при существенных упрощениях. Поэтому даже в линеаризованном и линейном случаях для задач, имеющих практическое значение, используются численные методы решения уравнения ЛФП.

Численные модели кинетических процессов, обусловленных кулоновскими столкновениями, занимают значительное место в приложениях. Существует обширная литература, посвященная этой теме (см., например, [16,17]) . Однако следует отметить, разработка математических моделей на основе нелинейного кинетического уравнения ЛФП, как и развитие численных алгоритмов, адекватно отражающих основные физические законы, остаётся весьма сложной проблемой.

Необходимо добавить, что нелинейное кинетическое уравнение ЛФП содержит в себе многие основные особенности уравнений физической кинетики. Поэтому актуальность его исследования обусловлена как чисто математическим интересом в пониманиии качественных свойств решений нелинейных кинетических уравнений, так и важностью проблемы количественного описания, связанного с практическими приложениями этих уравнений в теории газов и плазмы.

Классической проблемой теории разностных схем является исследование асимптотических свойств схемы при неограниченном измельчении пространственно-временной сетки. Однако, значительное внимание уделяется аспектам теории, связанным со свойствами схемы, обеспечивающей заданную точность на реальных грубых сетках. Кроме того, практические задачи физики в большинстве своём очень сложные и не покрываются доказанными теоремами. При проведении практических расчётов приходится сочетать физическую интуицию с соображениями здравого смысла, поскольку зачастую трудно найти аналитические тесты для реальных задач. Численное моделирование всё более обращается к комплексным задачам и результаты его трактуются как численный эксперимент, при этом проверкой корректности расчёта служит сравнение с результатами физического эксперимента. Такой подход конечно же не может рассматриваться в качестве надёжной верификации модели. В связи с этим численное решение уравнения, максимально приближенное по своим основным свойствам к решению точного уравнения, является важнейшим тестом для более сложных моделей. Именно это является одной из целей настоящей работы: решение некоторых базовых моделей и как результат создание своего рода набора тестовых задач (бенчмарк).

Важность корректного решения оператора ЛФП заключается, в частности, в том, что для пространственно неоднородного уравнения зачастую необходимо включать эффект столкновений. В этом случае используются упрощённые модели интегралов столкновений, поскольку полновесное описание столкновительных эффектов слишком сложно и дорого в вычислительном смысле. Тогда применяется, например, модель БГК [24] и проверяется её надёжность. Если рассматривается поглощение (затухание) волн, то этой моделью можно пользоваться в случае, когда надо модифицировать экстремальные эффекты пространственой неоднородности функции распределения в разреженной космической плазме и если специально аккуратно проверять используемые скорости релаксации. Для высоких же моментов функции распределения (выше второго), или реалистического описания хвостовой части распределения эта модель не годится. Надёжность этой модели можно сверить с полным оператором ЛФП (для расчета температуры) и упростить расчет пространственно-неоднородной задачи [25].

При решении физических задач естественно рассматривать разностную схему как дискретную математическую модель реального физического процесса. При этом необходимо потребовать, чтобы модель правильно отражала принципиальные стороны исследуемого процесса. В физике такими базовыми сторонами являются в первую очередь фундаментальные законы сохранения -массы, энергии, импульса. Разностные схемы, обладающие аналогами законов сохранения, называются консервативными [26-28].

Принцип консервативности как один из основных принципов построения разностных схем был выдвинут в [29,30]. Интегро-интерполяционный метод конструирования консервативных схем широко применяется в настоящее время. Там же был указан пример расходимости неконсервативной схемы в классе разрывных коэффициентов. При численном расчёте практических задач предпочтение отдается консервативным разностным схемам.

Далее принцип консервативности был усилен и сформулирован принцип полной консервативности [31,32]. С физической точки зрения необходимость такого усиления связана с тем, что помимо законов сохранения, могут оказаться важными некоторые балансные соотношения (например, между различными видами энергии - внутренней и кинетической). Дисбаланс вносят фиктивные источники, причина появления которых состоит в несогласованности системы разностных уравнений. В [33] сформулировано следующее правило отбора: разностная схема должна одновременно аппроксимировать различные виды записи исходной системы дифференциальных уравнений, имеющие непосредственный физический смысл. В [34] полная консервативность для уравнений магнитной гидродинамики в двумерном случае была достигнута в результате применения вариационного метода.

Ясно, что сама проблема построения консервативных и полностью консервативных схем связана с тем, что эквивалентные формы записи дифференциального уравнения (системы) приводят, вообще говоря, к неэквивалентным разностным схемам. Даже из приведенных выше уравнений (2) и (3) видно, что записать уравнение можно в разных формах - это будет по сути одно и то же уравнение. При переходе к дискретному случаю и построению разностных схем мы должны выбрать для аппроксимации конкретный вид уравнения. Как оказывается, это зачастую является атрибутивным условием при наложении определенных требований на модель. В частности, если мы требуем от численной модели таких же макроскопических зависимостей (сохранения инвариантов), что и от точной модели. Именно эта сторона понятия полной консервативности является главной для уравнения типа ЛФП.

Дело в том, что для нелинейных кинетических уравнений типа Больцмана и ЛФП возникает нетривиальная ситуация, когда для одного уравнения справедливы несколько законов сохранения. Разностные схемы для кинетического уравнения, допускающие аналогичные ему эквивалентные представления, будем называть полностью консервативными схемами.

В [11] обсуждается проблема построения консервативного вычислительного алгоритма для кинетического уравнения Больцмана. При решении и других проблем сейчас общепринято использовать модели, сохраняющие инварианты системы при численном расчёте. Симметрии дифференциальных уравнений математической физики являются их неотъемлимым свойством и, следовательно, должны учитываться при построении дискретных аналогов (см.,например, [35,36]).

Наиболее распространенный метод для численного моделирования уравнения

ЛФП - это метод конечных разностей. Существует другой подход к решению уравнений больцмановского типа [37-39], описывающих столкновительные и излунательные процессы в разреженном газе и плазме, ставящие в соответствие системе уравнений математической физики систему стохастических дифференциальных уравнений для скачкообразных марковских процессов. Система уравнений так называемого физико-вероятностного аналога решается численно (см.,например, [40-42]). Однако эффективность (быстродействие) этих методов остаётся не очень высокой.

Для описания дальнодействующих потенциалов взаимодействия применение методов расчёта типа Монте-Карло, в отличие от газов больцмановского типа, обладают существенными трудностями. Лишь недавно появился алгоритм, позволяющий эффективно моделировать статистически уравнение типа ЛФП [43,44]. Пример прямого статистического моделирования уравнения ЛФП будет рассмотрен ниже в диссертации. Методы типа Монте Карло обладают тем преимуществом, что позволяют рассчитывать трёхмерные задачи и в принципе могут объединяться естественно алгоритмически с PIC (particle in cell) методом расчёта бесстолкновительного уравнения Власова. Следует отметить, что методы типа Монте Карло хорошо работают, когда нужно знать лишь несколько первых моментов функции распределения. Для высоких моментов функции распределения и при приближении к стационарному состоянию эти методы дают сильные статистические флуктуации. В частности, хвосты распределения считаются с помощью этих методов плохо. Так что при выборе метода расчёта надо исходить из требований конкретной физической задачи.

Уравнения Ландау и Фоккера-Планка можно рассматривать как одну из двух стартовых точек для данной диссертации. Другой стартовой точкой являются известные работы А.Н.Тихонова, A.A.Самарского, Ю.П.Попова, А.П.Фаворского и др., по консервативным и полностью консервативным разностным схемам (ПКРС) для уравнений математической физики.

Большую роль в развитии численных методов и применении их к задачам физики плазмы сыграли работы Ю.Н. Днестровского, Д.П. Костомарова, J.Killeen, A.A.Mirin и других авторов. Первый шаг в построении ПКРС для кинетического уравнения ЛФП был сделан A.B. Бобылевым и В.А. Чуяновым [45]. Эта работа и исследования автора диссертации были обобщены и развиты в последующих работах ([46-50]).

В диссертации обсуждаются основные проблемы, возникающие при построении разностных схем для уравнения ЛФП (2,3). Фактически, в диссертации рассматриваются не только уравнения ЛФП для кулоновского взаимодействия, но и их обобщение на произвольные потенциалы - так называемые уравнения типа Ландау [22, 23]. Обосновывается важность различных форм записи уравнения ЛФП для последующего использования их при конструировании разностной схемы в численном алгоритме. Отмечается роль инвариантов, имеющих непосредственный физический смысл для математической модели. Разработан подход к построению конечно разностных схем в сочетании со сравнительно высокой точностью (второй порядок аппроксимации по пространству скоростей) дал возможность в ряде случаев получить асимптотические решения, проверить аналитические подходы и другие методы моделирования, решить численно важные прикладные задачи. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22,44,51-91].

В отсутствие источников и стоков уравнение ЛФП описывает процесс релаксации начального распределения к равновесному максвелловскому распределению. Задача релаксации - классическая задача кинетической теории газов и плазмы, решение которой является стартовой точки любой столкновительной модели [92-95]. Для нелинейного уравнения ЛФП эта задача не может быть численно решена корректно без использования полностью консервативных разностных схем. Она также является естественным тестом для любой более сложной численной модели кулоновских столкновений и рассматривается подробно в диссертации. Во второй главе рассматривается релаксация к равновесию начального распределения модельного газа частиц со степенными потенциалами взаимодействия II — а/г^) 1 < /3 < 4 на основе изотропного кинетического уравнения типа Ландау.

В связи с разработкой и широким использованием мощных источников частиц и энергии в последние десятилетия постоянно возрастает интерес к неравновесным состояниям разнообразных физических систем. Источник и сток энергии (частиц) может обеспечиваться ионными пучками, мощным лазерным излучением, током эмиссии, потоками заряженных частиц, выделяемых при реакциях синтеза или деления, и т.п. [96-101]. В работах [102-107] найдены степенные стационарные решения кинетического уравнения Больцмана, описывающие распределение частиц с потоком от источника к стоку. Показано, что при кулоновском взаимодействии распределение с постоянным потоком энергии является локальным. Найдены точные степенные решения, обращающие в нуль интеграл столкновений Больцмана. Эти решения аналогичны колмогоровским спектрам в инерционном интервале [108,109]. Однако это формальная, методическая общность. Найденные, в том числе и в данной работе, решения устанавливаются в результате прямого взаимодействия (столкновений) частиц. В третьей главе исследуются квазистационарные функции распределения для уравнения ЛФП при наличии источников и стоков для изотропной однокомпонентной плазмы. Проводится сравнение с экспериментальными результатами по облучению полупроводниковой плёнки.

В четвёртой главе подробно исследована задача о релаксации в двухтемпературной электрон-ионной плазме. Хорошо известны классические результаты для этой задачи: приближённая формула Ландау для температур электронов и ионов и формально уточняющая этот результат так называемая формула Спитцера [110]. Возможно ли уточнить эти формулы путём численных расчётов? Ответ оказывается положительным, что свидетельствует о высоком качестве построенных в диссертации разностных схем. Задача о релаксации температуры электронов и ионов является тестом для более сложных задач.

Пятая глава посвящена численным методам для пеизотропного уравнения ЛФП с аксиальной симметрией (кулоновское взаимодействие). Обсуждается важный вопрос о приближенном вычислении потенциалов Розенблюта. Насколько законно это приближение? Частичный ответ на этот вопрос даёт сравнение с результатами, полученными методом Монте-Карло для системы частиц с кулоновским взаимодействием. Этот метод, предложенный в 2000 году в [43] является, по-видимому, самым быстрым из существующих методов решения трёхмерных задач для уравнения ЛФП. Для сравнения была выбрана классическая задача о релаксации продольной и поперечной температур (иногда её называют задачей о релаксации импульса).

В шестой главе описаны основные для данной диссертации приложения развитых в работе численных методов к конкретным задачам столкновительной плазмы, находящейся во внешнем электромагнитном поле. Рассматривается ускорение и нагрев частиц в магнитных ловушках: открытых (пробочные, или зеркальные ловушки и магнитосфера планет) и замкнутых (токамаках). Глава 6 является самой большой по объёму, причём основное место в ней уделено приложениям, а используемые численные методы уже были описаны в предыдущих главах.

В предыдущих главах уравнение ЛФП для функции распределения ¡(у, ц, рассматривались в полном пространстве скоростей 0<и<оо,—1</х<1. При численном моделировании поведения плазмы в открытой магнитной ловушке (классическом пробкотроне Будкера-Поста [111-114]) появляется область потерь, где частицы отсутствуют.

Поскольку в простом пробкотроне даже при больших пробочных отношениях нельзя добиться больших коэффициентов мощности, в разное время был предложен ряд усовершенствованных вариантов простого пробкотрона: центробежные ловушки, многопробочные и другие соленоидальные системы. Открытая магнитная ловушка является полезным инструментом для изучения общефизических свойств плазмы. Кроме того, на их основе можно создать высокопоточный генератор "термоядерных" (14 МэВ) нейтронов для материаловедческих и других исследований [115-120].

В диссертации задача рассматривается в постановке [16,18,113,114], когда для магнитного поля берётся приближение магнитной ямы. Тогда при аксиальной симметрии задачи магнитное поле входит лишь в граничные условия для функции распределения в пространстве скоростей. Характерным параметром задачи является пробочное отношение Я — Вт/Во, где Вт и Во величина магнитного поля на конце и в центре ловушки. В качестве источника частиц выбирается моноэнергетический пучок, а стоки моделируются уходом через пробки частиц с большой продольной скоростью. Здесь важно отметить важность используемых ПКРС, поскольку при длительных расчётах не накапливаются ошибки, искажающие решение. Эта простая модель может быть полезна как базовая и в задачах, связанных с магнитосферной плазмой, где есть пробочные конфигурации, и в применении к токамакам (например, для расчёта влияния захваченных частиц).

Поскольку статическое электрическое поле и МГД волны могут генерироваться и сосуществовать одновременно как в космической, так и в лабораторной плазме, их совместной действие остаётся открытой проблемой и объектом изучения, благодаря широкому приложению . Задача ускорения потока частиц и появления убегания электронов за счет воздействия МГД волны и прямого электрического поля, или за счет воздействия нескольких пакетов МГД волн изучалась многими авторами (см., например, [121-132]). Понимание структуры функции распределения - важный вопрос как с точки зрения объяснения наблюдаемых явлений, так и понимания основных плазменных процессов. В данной работе нагрев и ускорение электронов при воздействии статического и высокочастотного электрических полей рассматривается во втором разделе главы 6. Вводится основная для этой главы математическая модель: анизотропное (осесимметричное) уравнение ЛФП для электронной функции распределения f(v,fi,t) (v v |, pL — cos в) с учётом постоянного внешнего электрического поля Е и квазилинейной диффузии dtf = /[/,/] + Df + Ef.

Операторы Df и Ef моделируют поглощение ВЧ поля и влияние постоянного электрического поля, соответственно. Принимая за выделенное направление электрическое поле Е: Ец — Ez, в цилиндрических координатах имеем = 7V, 7 = v2c = 1.5/7.

Ejc Ctg

Здесь Ес - так называемое поле Драйсера, vc - соответствующая ему критическая скорость, vth - тепловая скорость, te - время электрон-электронных соударений. Величина 7 1, например, для параметров солнечных факелов (flares) она равна 7 = 0.1-0.2 [133-135].

Уравнение ЛФП является в диссертации базовым уравнением в моделях, связанных с взаимодействием волна-частица, которые используют квазилинейную теорию (формально это означает добавление к интегралу столкновений диффузионного оператора). Диффузионный оператор и уравнение ЛФП объединяется в алгоритме расчета естественным образом. Зачастую оператор столкновений играет роль регуляризирующей добавки. Механизм поглощения волн за счёт электронного затухания Ландау рассматривается в рамках стандартной квазилинейной теории взаимодействия волна-частица [136138]. Проведена серия вычислений для максвелловских начальных условий при различных параметрах задачи. Детально изучается структура функции распределения, ток, индуцированный волнами, качественные и количественные аспекты явления убегания, влияние квазилинейной диффузии на убегание электронов, а также возможности использования в рамках единого алгоритма двух систем координат: сферической и цилиндрической. Рассмотренная задача, которая носит в значительной степени методический характер, далее применяется к конкретной физической задаче о нагреве плазмы альфвеновскими волнами и создании токов увлечения в токамаке. Эта задача имеет долгую историю в литературе [139-145]. Исследование генерации тока увлечения в диссертации проведено на базе дрейфово-кинетического уравнения с интегралом ЛФП. Эта работа была первоначально сделана для строящегося в СФТИ токамака. В дальнейшем продолжение этой работы связано с токамаком ТСЛ/В11. Эффекты влияния хвостовых электронов важны для при экспериментальных измерениях дисперсии альфвеновских волн, которые, в свою очередь, определяют так называемую альфвеновскую диагностику эффективной массы атомов или д-рго/г/е в больших токамаках.

Известно, что высыпание электронов во время суббури связано с взаимодействием волна-частица в магнитосферной экваториальной плоскости [146,147]. Эти волны могут генерироваться в магнитосфере Земли благодаря мазер-эффекту [148]. Динамика процесса высыпания обычно оценивается при условии, что фазовая скорость свистов постоянна во времени. В следующем разделе изучается ускорение электронов гидродинамическими волнами с переменной фазовой скоростью, при этом типичные параметры динамики хоров взяты из наблюдаемых данных [149,150].

В последнем разделе исследуется аномальное высыпание электронов около земной авроральной зоны, индуцированное волнами [151-160]. Математическая модель, используемая нами, базируется на модели достаточно проста. Однако наблюдаемые данные, взятые из спутниковых измерений, могут быть объяснены с помощью результатов численного моделирования и имеют хорошее качественное согласие. Результаты моделирования могут быть использованы для более сложной физической модели.

Основные результаты, полученные в диссертации состоят в следующем:

• Для нелинейного многокомпонентного одномерного и двумерного в пространстве скоростей уравнения типа Ландау и Фоккера-Планка впервые построен класс полностью консервативных разностных схем, наиболее адекватно отражающих симметрию точных уравнений и выполняющих основные законы сохранения.

• На базе построенных полностью консервативных разностных схем разработаны эффективные вычислительные алгоритмы, позволяющие вести расчеты длительное время без накопления ошибок.

• На основе разработанных математических моделей и комплексов программ впервые и систематически исследованы:

- задача нелинейной релаксации двухтемпературной электрон-ионной плазмы в сильно неравновесном случае;

- релаксация функции распределения и формирование высокоэнергетичного хвоста для газов частиц с дальнодействующими потенциалами взаимодействия; формирование квазистационарных неравновесных распределений электронов плазмы, подверженной облучению пучками быстрых ионов или электромагнитного излучения;

- нагрев и ускорение ионов альфвеновскими волнами, нейтральными пучками и генерация токов увлечения в магнитных ловушках;

- ускорение и высыпание электронов в авроральной зоне Земли, а также формирование протяженных плато в распределении частиц для магнитосферной плазмы.

Теоретическая и практическая ценность результатов диссертации заключается в разработке эффективных численных методов решения пространственно однородного нелинейного кинетического уравнения ЛФП и изучении общих закономерностей нелинейной динамики слабо столкновительной плазмы.

Исследованы конкретные прикладные физические задачи. Полученные результаты, разработанные математические модели и численные методы могут быть инкорпорированы в более сложные физические модели, а также служить для них надёжными тестами.

Работа выполнялась в рамках научных планов Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, проектов Государственного фонда фундаментальных исследований Российской Федерации.

Создано достаточно обширное программное хозяйство, отлаженное и оттестированное, которое может быть рекомендовано в научных учреждениях, проводящих исследования в области разреженного газа и плазмы. Научные положения диссертации и разработанные на их основе методики, алгоритмы и программные комплексы использовались для совместных исследований лабораторной, космической и полупроводниковой плазмы в следующих научных организациях: РНЦ "Курчатовский институт", ИЯФ им. Г.И.Будкера СО РАН, ННЦ ХФТИ HAH Украины, Сухумский физико-технический институт (Сухуми, СССР), Институт физики плазмы Макса Планка (Гархинг, Германия), Университеты Рио-де-Жанейро, Кампинаса, Сан Пауло (Бразилия), Институт физики А. Вольта ( Павия, Италия).

Всего по теме диссертации опубликовано около 70 научных работ. Результаты исследований, приведенных в диссертационной работе, были представлены и обсуждались на Всесоюзных, Всероссийских и Международных конференциях, в том числе: о XXV International Congress on Rarefied Gas Dynamics, St.Petersburg, July, 2006 о Международный конгресс по физике плазмы - ICCP06, Киев, май, 2006 о Сессия Совета по нелинейной динамике РАН, Москва, декабрь, 2004,2005 о International Conference on Conservation Laws and Kinetic Theory, Shanghai, China, July, 2005 о Международная Конференция MCC-04, Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность, Москва, ноябрь, 2004 о International Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion, Alushta, Crimea, Ukraine, September, 2004 о Межгосударственное рабочее совещание "Плазменная электроника и новые методы ускорения", Харьков, Украина, 2000, 2003 о International Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion, St.Petersburg, July, 2004 о Всесоюзные и Всероссийские конференции по физике плазмы, Звенигород, 1986, 1988, 1989, 2002, 2003 о International Topical Conference on Plasma Physics, Faro, Portugal, September, 2001 о International Topical Conference on Frontiers in Plasma Physics, ICTP, Trieste, Italy, 1997, 2000, 2006 о VIII Latin American Workshop on Plasma Physics, Tandil, Argentina, 1998 о International Conference on Computational Physics, Granada, Spain, 1998 о II Panamerican Workshop of Computational and Applied Mathematics, Gramado, Brazil, 1997 о V Latin American Workshop on Non- Linear Phenomena, Canela, RS, Brazil, 1997 о International Workshop on Astrophysics and Space Plasma, Guaruja, Brazil, June, 1995. о VI Latin American Workshop and International Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion, Foz do Iguacu, Brazil, 1994 о II Symposium on Plasma Dynamics. Theory and Applications. Trieste, Italy, July, 1992 о XVII European Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion, Amsterdam, Netherlands, 1990 о Всесоюзное рабочее совещание по открытым ловушкам, Сухуми, СССР, 1990 о XVI European Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion, Venice, Italy, 1989 о International Symposium on Matematical Models, Analytical and Numerical Methods in Transport Theory, Minsk, USSR, 1986

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Потапенко, Ирина Фёдоровна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном разделе формулируются основные положения, выносимые на защиту, перечисляются положения, характеризующие достоверность результатов, и выносится благодарность.

Основные положения, выносимые на защиту.

• Полностью консервативные разностные схемы для системы одномерных и двумерных в пространстве скоростей нелинейных кинетических уравнений типа Ландау и Фоккера-Планка и численные алгоритмы, разработанные на их основе.

• Изотропная релаксация к равновесию газов частиц с дальнодействующими степенными потенциалами взаимодействия:

- детальное исследование эволюции функции распределения частиц для дальнодействующих степенных потенциалов взаимодействия во всём диапазоне энергий.

• Пространственно однородная релаксация электрон-ионной плазмы для сильно неравновесных параметров:

- изучен немонотонный характер приближения электронной функции распределения к равновесию;

- показано, что возмущение электронной функции распределения носит характер пограничного слоя в холодной части спектра;

- получена новая корректирующая формула для обмена температур и установлена (существенно расширена) область ее применимости в электронионной плазме.

• Формирование квазистационарной неравновесной функции распределения частиц, взаимодействующих с дальнодействующим потенциалом отталкивания при наличии источников (стоков) частиц и/или энергии:

- исследование эволюции функции распределения при наличии внешней накачки и локального стационарного распределения, существующего внутри интервала скоростей между источником и стоком частиц (энергии);

- результаты численного моделирования функции неравновесных электронов, формирующихся в твердотельной плазме полупроводников.

• Результаты численного моделирования задач динамики столкновительной плазмы, находящейся во внешнем электромагнитном поле:

- исследование процесса нагрева и ускорения электронов за счет нелинейного взаимодействия постоянного электрического поля и поля альфвеновских волн и формирования токов увлечения;

- резльтаты моделирования распада плазмы в открытой ловушке, исследование аномального высыпания электронов в авроральной зоне земли, индуцированном взаимодействием волна-частица;

- результаты моделирования процесса нагрева и ускорения электронов МГД волнами с изменяющейся во времени фазовой скоростью, объясняющие появление протяженных плато в структуре электронной функции распределения в наблюдаемых данных в магнитосферной плазме и поведение хоров во время суббури.

Достоверность результатов диссертационной работы определяется их верификацией при разнообразном тестировании (сравнение с точными решениями, с асимптотическими решениями, с результатами других численных методов, проверка сходимости при сгущении сеток), согласием полученных результатов с данными экспериментов и теоретическими работами других авторов, четким физическим смыслом и согласованностью с современными представлениями о предмете исследования.

БЛАГОДАРНОСТЬ

Эта работа является свидетельством и знаком глубокой благодарности за предоставленную мне в жизни бесценную возможность жить и работать рядом и вместе с моими близкими, друзьями, единомышленниками, сотрудниками, учителями: А.В.Бобылевым, И.А.Бобылевой, К.В.Брушлинским,

A.Г.Елфимовым, Г.Г.Зукакишвили, А.А.Ивановым, В.И. Карасем, Н.В.Каржавых, Л.В.Крупновой, М.Г.Кузьминой, М.В.Масленниковым, Е.А.Минервиной, Ю.Н.Орловым, Т.С.Повещенко, Ю.П.Поповым, А.А.Самарским, В.П.Силиным,

B.А.Чуяновым, А.С.Агеуеск», Ь.К^епАо и светлой памяти В.Я.Арсениным, Т.А.Гермогеновой, Ф.И.Каржавых, Б-Рии.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Потапенко, Ирина Фёдоровна, 2006 год

1. Больцман J1. Лекции по теории газов. М.: Гостехиздат, 1956

2. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978

3. Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. М.: Мир, 1974

4. Ландау Л.Д. Кинетическое уравнение в случае кулоновского взаимодействия, ЖЭТФ,1937,т.7,с.203

5. Б.А.Трубников В сб.: Вопросы теории плазмы. Вып.1, М.:- Госатомиздат, 1963,с.98

6. М. Rosenbluth, W. MacDonald and D. Judd. Phys. Rev., 107, 1 (1957).

7. S. Jin, L.Pareschi, G.Toscani, Diffusive relaxation schemes for multiscale transport equations, SIAM J.Numer.Anal.38 (2000), 913-936

8. P.A.Markowich, C.Pareschi, C.Schmeiser Semiconductor equations. SpringerVerlag, Wien-New York, 1989

9. Degond P., Pareschi L. and J.Russo Modelling and computational methods for kinetic equations, Series: Modeling and simulation inScience, engineering and technology, Birkhauser, Boston 2004

10. Bobylev A.V., Carillo J.A., Gamba I.M. On some properties of kinetic and hydrodynamics equations for inealstic interactions, J. of Stat. Phys. 2000, v.98,p.743-773.

11. Аристов В.В., Черемисин В.А. ЖВМиМФ, 1979, т.19, с.185

12. В.В.Аристов, Ф.Г.Черемисин, Прямое численное решение кинетического уравнения Больцмана, ВЦ РАН,М.,1992

13. Берд Г. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1981

14. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов. М.: Наука, 1971

15. Вычислительные методы в физике плазмы. М.: Мир, 1974.

16. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы, Наука, 1982

17. Вычислительные методы в физике. Управляемый термоядерный синтез. -М.: Мир, 1980

18. J.Killeen,A.A.Mirin, M.E.Rensink, Controlled Fusion, v.16 of Methods in Computational Physics (Academic, New York, 1976), p.389

19. V. Yu. Bychenkov, J. Myatt, W. Rozmus, and V. T. Tikhonchuk, Phys. Review E 52, 6759 (1995).

20. Параил В.В., О.П. Погуце. Ускоренные электроны в токамаке. В сб. Вопросы теории плазмы, вып.11. М.: Энергоиздат, 1982, с.5-55

21. Бобылев A.B., Потапенко И.Ф., Чуянов В.А. Кинетические уравнения типа Ландау как модель уравнения Больцмана и полностью консервативные разностные схемы // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 1980, т. 20, с. 993-1004.

22. Бобылев A.B. Точные и приближенные методы в теории нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Ландау. М.: Труды ИПМ АН СССР, 1987. 251 с.

23. P.I.Bhatnagar, E.P.Gross, M.Krook, A model for collision process in gases.1. Phys.Rev. 94, 1954,p.511.

24. S.Livi, E.Marsch, Comparison of the BGK approximation with the exact Coulomb collision operator Phys.Rev A, 1986,v.34, n.l, p.533-540.

25. Самарский A.A. Теория разностных схем. M.: Наука, 1977

26. Яненко Н.Н., Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Наука, СО, 1967

27. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. Введение в теорию. Наука, 1977

28. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Консервативная разностная схема дискретных ординат для решения кинетических уравнений методом расщепления // Чис. методы в динамике разреж. газов. М.: ВЦ АН СССР, 1977

29. Тихонов А.Н.,Самарский А.А. ДАН, 1959,т.124, с.529

30. Тихонов А.Н.,Самарский А.А. ЖВМиМФ, 1961, т.1,с.5

31. Попов Ю.П., Самарский А.А. ЖВМиМФ, 1969, т.9, с.953

32. Попов Ю.П., Самарский А.А. ЖВМиМФ, 1970, т.Ю, с.990

33. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1970

34. Головизнин В.М., Самарский А.А., Фаворский А.П. ДАН, 1979, т.246, с. 1083

35. D.Greenspan, Conservative motion of discrete, tetrahedral tops and gyroscopes, Applied Mathem.Modelling, 22,1998, p.57-68, Conservative difference formulations of Carogero and Toda Hamiltonian systems, Computers Math. Applic., v.l9,n2,pp.91-95,1990

36. B.A. Дородницин, Конечно-разностный аналог теоремы Нётер, ДАН,т.328,1993, б, с.678-682

37. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М., Мир, 1986 -528с.

38. Арсеньев A.A. О приближении уравнения Больцмана решениями стохастических дифференциальных уравнений Ито // ЖВМиМФ 1986. т.27, с.560-567

39. Арсеньев A.A. О приближении уравнения Больцмана стохастическими уравнениями // ЖВМиМФ 1988. т.29, с.400-410

40. Змиевская Г.И.,Пярнпуу A.A., Шематович В.И. ДАН СССР, 1979, т.258,4, 815-820

41. Змиевская Г.И.,Пярнпуу A.A., Шематович В.И. ДАН СССР, 1982, т.266, 3,573-576

42. Артемьев С.С., Аверина Т.А. Новое семейство численных методов решения СДУ. ДАН СССР, 1986, т.288,4, 777-780

43. A.V. Bobylev and К. Nanbu, Phys. Rev E., 61, 4576-4586 (2000)

44. A.V. Bobylev, E. Mossberg, I.F. Potapenko In Proceed. 25 Int. Conf. on Rarefied Gas Dynamics, St.Pitersburg, Russian Federation, July, 2006

45. A.B. Бобылев, B.A. Чуянов О численном решении кинетического уравнения Ландау, ЖВМиМФ, 1976, т.16, с.407-416

46. Волосов В.И., Пеккер М.С. В сб. Численные методы механики сплошной среду. Новосибирск, Наука,1979,т.10,с.45

47. Волосов В.И., Пеккер М.С. О методах решения двумерной задачи для уравнения Фоккера-Планка. ЖВМиМФ, 1980, т.20, с. 1341

48. Пеккер М.С. Продольное удержание в магнитной ловушке с вращающейся плазмой (численный эксперимент). Диссертация на соискание уч.ст. канд. физмат. наук. Новосибирск, 1983, ИЯФ СО АН СССР

49. Дагман Г.Э., Пеккер М.С. Препринт ИЯФ 81-81, 1981, ИЯФ СО АН СССР

50. Degond P. and В. Lucquin-Desreux An entropy scheme for the Fokker-Planck collision operator of plasma kinetic theory, Numer.Math. 1994, v.68 p.239-262.

51. И.Ф. Потапенко, B.A. Чуянов. О полностью консервативных разностных схемах для системы уравнений Ландау // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 1979, т. 19, с. 458-463.

52. Потапенко И.Ф., Чуянов В.А. Полностью консервативная разностная схема для двумерного уравнения Ландау // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 1980, т. 20, с. 513-526.

53. Бобылев A.B., Потапенко И.Ф., Чуянов В.А. Кинетические уравнения типа Ландау как модель уравнения Больцмана и полностью консервативные разностные схемы // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 1980, т. 20, с. 993-1004.

54. Бобылев A.B., Потапенко И.Ф., Чуянов В.А. Законы сохранения и полностью консервативные разностные схемы для кинетических уравнений типа Ландау-ФоккерагПланка // ДАН СССР. 1980, т.255, с. 1348-1352.

55. Потапенко И.Ф., Чуянов В.А. Полностью консервативная схема для двумерного уравнения Ландау (анизотропные потенциалы Розенблюта). Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1982, т. 22, с. 751-756.

56. Потапенко И.Ф. Численное моделирование столкновительных процессов на основе нелинейного уравнения Фоккера-Планка в задачах физики плазмы.

57. Дискретное моделирование плазмы. //Сборник трудов под ред. Ю.С.Сигова ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, Москва, с. 197-223, 1990.

58. Potapenko I.F., Azevedo С.А. The completely conservative difference schemes for the nonlinear Fokker-Planck equations // J. of Comput. and Appl. Mathem. 1999, v.103, p.115-123

59. Potapenko I.F., Bobylev A.V., Azevedo C.A., Assis A.S. Evolution of the distribution function tails for the power law interaction potentials // Phys. Rev. E. 1997, v.56, p. 7159-7166.

60. Potapenko I.F., Bornatici M., Karas V.I. Quasi steady-state distributions for particles with power-law interaction potentials // J. of Plasma Physics. 2005, v.71, p.859-875.

61. Бобылев A.B., Потапенко И.Ф. Релаксация в двухтемпературной плазме. В сб. Современные методы магнитного удержания, нагрева и диагностики плазмы. Харьков: ХФТИ, 1982, т.2, с.124-126.

62. Bobylev A.V., Potapenko I.F., Sakanaka Р.Н. Relaxation of two-temperature plasma // Phys. Rev. E. 1997, v.56, p. 2081-2093.

63. Potapenko I.F., Bobylev A.V., Azevedo C.A., Assis A.S. Temperature relaxation in collisional non equilibrium plasmas // Physica A. 1998, v.257, p.483-487.

64. Potapenko I.F., Bobylev A.V., Azevedo C.A., Sakanaka P.H., Assis A.S. On the relaxation of cold electrons and hot ions // Phys. of Plasmas. 1998, v.5, p.36-44.

65. Karas V.I., Karas I.V., Potapenko I.F. Formation of steady-state nonequilibrium distributions of the Coulomb interacting particles// Physica Scripta. 2002, T98. p.141 -142.

66. Карась В.И., Потапенко И.Ф. Численное моделирование формирования неравновесных стационарных распределений частиц со степенными потенциалами взаимодействия // Физика плазмы. 2002, т.28, с. 837-846.

67. Карась В.И., Потапенко И.Ф. Формирование стационарных неравновесных распределений кулоновски взаимодействующих частиц // Вопросы атомной науки и техники. Серия "Плазменная электроника и новые методы ускорения". 2003, 4(3), с. 137-142 .

68. Карась В.И., Потапенко И.Ф. Квазистационарные функции распределений частиц для уравнения типа Ландау-Фоккера-Планка при наличии источников // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 2006, т.46, с. 307-317.

69. Елфимов А.Г., Потапенко И.Ф., Сидоров В.П. Функция распределения электронов и токи увлечения в статическом электрическом и высокочастотном полях в квазилинейном приближении // Физика плазмы. 1989, т.15, с. 1180-1186.

70. Потапенко И.Ф., Чуркина Г.П., Чуянов В.А. Численное моделирование нагрева электронов в лазерной плазме // Математическое моделирование. 1994, т.6, с.49-62.

71. Potapenko I.F., Assis A.S., Azevedo С.А. Electron acceleration due to the syn-ergetic effect of DC electric field and waves // Physica Scripta. 1998, v.T75, p. 142-144.

72. Potapenko I.F., Azevedo C.A. Numerical simulation of heating problems for aweakly collisional plasma // Computer Phys. Communications. 1999, v. 121-122, p.274-277.

73. Potapenko I.F. , Elfimov A.G., Assis A.S., Azevedo C.A. Anamalous electron precipitation near the Earth's auroral zone unduced by the wave-particle interaction // Phys. of Plasmas. 1997, v.4, p. 2269-2275.

74. Potapenko I.F., Azevedo C.A., Sakanaka P.H. Electron heating and acceleration by Alfvén waves with varying phase velocity // Physica Scripta. 2000, v.62, p.486-490.

75. Потапенко И.Ф. Нагрев и ускорение электронов при изменении фазовой скорости волн в магнитосфере Земли // Вопросы атомной науки и техники. Серия "Плазменная электроника и новые методы ускорения". 2006, 5, с. 163-170. .

76. А.Г.Елфимов, И.Ф.Потапенко. Численное моделирование влияния запертых частиц на альфвеновский ток увлечения в присутствии электрического поля. М.:-ИПМ АН СССР, N 197,1988

77. А.Г.Елфимов, И.Ф.Потапенко, Г.П.Чуркина. Численное моделирование генерации альфвеновского тока увлечения пролётными частицами. М.:- ИПМ АН СССР, N 128, 1991

78. И.Ф.Потапенко. Функция распределения убегающих электронов. М.:- ИПМ АН СССР, N 67, 1986

79. Елфимов А.Г., Потапенко И.Ф., Сидоров В.П. Функция распределения электронов и генерация тока увлечения в статическом электрическом поле. М.:-ИПМ АН СССР, N 164, 1987

80. Бобылев А.В., Потапенко И.Ф. Асимптотические решения кинетического уравнения типа Ландау. М.:- ИПМ АН СССР, N 5, 1985

81. F.Potapenko, C.A. de Azevedo. Numerical simulation of heating problems for a weakly collisional plasma // Computer Physics Communications, 1999. v. 121-122, pp.274-277.

82. A.G.Elfimov, A.S.de Assis, C.A. de Azevedo, N.I.Grishanov , F.M.Nekrasov, I.F.Potapenko, V.S.Tsypin. Alfven wave heating and current drive analysis in magnetized plasma structures. //Brazilian Journal of Physics, 1995, v.24, p.224 70.

83. Garina S.M., I.F.Potapenko, Grishanov N.I., Elfimov A.G. RF- heating of plasma in gas-dynamic trap. // Proc. of the Workshop on Open Traps, Moscow, USSR, 1989, pp.82-90

84. I.F.Potapenko, de Assis A.S., A.G. Elfimov, de Azevedo C.A. A study on auroral electron precipitation. //In: Proc. of VII Latin American Workshop on Plasma Physics 1997, January, Caracas, Venezuela.

85. Elfimov A.G., I.F.Potapenko, Churkina G.P., Dmitrieva M.V. Spectral and Impedance Plasma Properties in Helical Magnetic Field. //In: Proceed, of 18 European Confer. CONTROLLED FUSION AND PLASMA PHYSICS. Berlin, June 1991, v.III, p.2.

86. Garina S.M., Grishanov N.I., Elfimov A.G.,I.F.Potapenko. RF plasma Heating in the Gas-Dynamics Mirror Trap.// //In: Proceed, of 17 Europ.Confer. CONTROLLED FUSION AND PLASMA PHYSICS. Amsterdam, June 1990, v.III,p.1064

87. Elfimov A.G., I.F.Potapenko, Sidorov V.P. Electrical field effect on Alfven driving currents// In: Proceed, of 15th European Confer. CONTROLLED FUSION AND PLASMA PHYSICS. Dubrovnik, May 1988, part 3, p.1019.

88. Коган В.И. О скорости выравнивания температур заряженных частиц в плазме. В сб. Физика плазмы и проблема упр.терм. реакций, т.1 М.: Изд. АН СССР, 1958, с.130-137

89. Маслова Н.Б., Чубенко Р.П. Релаксация в одноатомном пространственно-одномерном газе. Вестник ЛГУ, 1976 вып. 13, с.90-97

90. Григорьев Ю.Н., Михалицын А.Н. Численное исследование изотропнойрелаксации в газе с максвелловским взаимодействием // ЖВМ и МФ, т.25, N 5, с. 742-756

91. B.R.Beck, J.Fajans, J.H.Malmberg. Temperature and anisotropic-temperature relaxation measurements in cold, pure-electron plasmas //Phys.Plasmas 3(4),1996,c.1250-1258.

92. Карась В. И. // Письма в ЖЭТФ. 1975. - Т. 1. С. 1020.

93. Асеевская А. С., Ивкин Е. В., Коломиец Б. Г.// Письма в ЖЭТФ. 1976. Т. 2. С. 305.

94. P.M. Platzmann, Р.А. Wolf. Waves and interactions in solid state plasmas, Academic Press, New York and London, 1973.

95. Анисимов С. И., Имас Я. А., Романов Г. С., Ходыко Ю. В. Действие излучения большой мощности на металлы. М.: Наука, 1970. 272 с. 8.

96. R.A. Baragiola, С.А. Dukes, P. Riccardi Plasmon excitation in ion-solid interactions Nucl. Instr. and Meth. B182, 73 (2001).

97. Karas'V. I., Moiseev S. S., Novikov V. E. Nonequilibrium power disribution functions of particles and their application. // Proc. XV Int. Conf. on phenomena in ionized Gases, 14-18 July 1981, Minsk. 1981. V. 1. P. 73.

98. Кац А. В., Конторович В. M., Моисеев С. С., Новиков В. Е. // Письма в ЖЭТФ. 1975. Т. 21. С. 13.

99. Карась В. И., Моисеев С. С., Новиков В. Е. Механизм образования "быстрых электронов"эмиссии из металла, индуцированной лазером // Письма в ЖЭТФ. 1975. Т. 21. С. 525.

100. Карась В. И., Моисеев С. С., Новиков В. Е. Неравновесные стационарныераспределения частиц в твердотельной плазме // ЖЭТФ. 1976. - Т. 71. С. 14

101. Карась В. И., Моисеев С. С., Шуклин А. П. // УФЖ. 1980. Т. 25. С. 820.

102. Кац A.B., Конторович В.М., Моисеев С.С., Новиков В.Е. Точные степенные решения кинетических уравнений для частиц, 1976, ЖЭТФ, т.71, 1, 177-192

103. Журенко В.П., Кононенко С.И., Карась В.И. и др. Диссипация энергии быстрой заряженной частицей в твердотельной плазме // Физика плазмы. 2003, т. 29, №2, с. 1-7.

104. Колмогоров А. Н. // ДАН СССР. 1941. Т. 30. С. 299.

105. Захаров В.Е. // ЖПМТФ. 1965. N 4. С. 35.

106. L. Spitzer, Physics of fully ionized gases, Interscience, Wiley, New York 1962.

107. Будкер Г.И. Термоядерные реакции в системе с магнитными пробками. К вопросу о непосредственном преобразовании ядерной энергии в электрическую. -В сб. "Физика плазмы и проблема упр.терм.реакций",т.1. М.: Изд.АН СССР,1958.

108. Post R.F., Fowler Т.К., Killeen J., Mirin A.A. Phys. Rev. Lett.,1973, v.31, n 5, p.280

109. J. Killeen, Nuclear Fusion v. 16, p. 841, 1976.

110. В.П. Пастухов В сб.: Вопросы теории плазмы. Вып.15, М.:- Госатомиздат,1983,с. 160

111. В.В. Мирнов, В.П.Нагорный, Д.Д.Рютов Газодинамическая ловушка с двухкомпонентной плазмой. Препринт ИЯС СО АН СССР 84-40, Новосибирск,

112. В.В. Мирнов, Д.Д.Рютов Газодинамическая ловушка. Препринт ИЯС СО

113. АН СССР 88-70, Новосибирск, 1988.

114. Димов Г.И. Препринт ИЯС СО АН СССР 77-46, Новосибирск, 1977

115. A tandem mirror technology demonstration facility. Preprint UCID-19328, Livermore, 1983

116. Zukakishvili G.G., Ryzhkov V.N., Salukvadze R.G., Tikhanov Eh.K., et al. In.: Proc. of the X Int/ Conference on Plasma Physics and Controleed Nuclear Fusion Research (London, 1984). Vienna, IAEA, 1985, v.2, p. 359.

117. Велихов Е.П., Карташев К.Б. В сб.: Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез. 1986, вып.1, с.З.

118. Cordey, J.A., J. Eldington, D.F.H. Start, 1982 Plasma Physics 24, p.73

119. Benz A.O. and Smith D.F. Sol. Phys. 107,p.299, 1987

120. R.O. Dendy, B.M. Harvey, M.O. O'Brien, R.Bingham. JGR, 100, 21973 (1995).

121. Hasegawa A. & Mima K., 1978; JGR 96,3533

122. Hasegawa A. and T.Sato, 1989; Space Plasma Physics.

123. Kaplan & Tsytovich 1973; Plasma Astrophysics. Pergamon, Oxford

124. Kulsrud R.M., Sun Y-C., Winsor N.K., Fallon H.A., 1973; Phys. Rev. Lett 31,690

125. Kundu, M. R., and Vlahos, L. 1982, Space Sci. Rev., 32, 405.

126. Melrose D.B., 1980; Plasma Astrophysics, Vols.l & 2. Gordan and Breach, New York

127. Melrose D.B., 1989; Instabilities in Space and in Laboratory Plasmas. Cambridge University Press, Cambridge

128. Melrose D.B., 1993; Turbulent Acceleration in Solar Flares, Invited Paper, IAU

129. Colloq. No. 142, University of Maryland, USA

130. Ubertoi, C., Vedenov, A.A., 1967; in: Leontovich M.A. (ed) Reviews of Plasma Physics, Vol. 3. Consultants Bureau, New York

131. Dreicer, H. (1960). Electron and ion runaway in fully ionized gas. II, Phys. Rev. 117, 329.

132. Yu.N. Dnestrovskij, D.P. Kostomarov, A.P. Smirnov Nuclear Fusion, 17, 433 (1977).

133. Moghaddam-Taaheri, E,, and Goerts, С. K., Acceleration of runaway electrons in solar flares// The Astrophysical Journal, 352, p.361, 1990.

134. Веденов A.A., Велихов Е.П., Сагдеев Р.З. Ядерный синтез, т.1, с.82,1961.

135. Рудаков Л.И., Сагдеев Р.З. В сб. "Физика плазмы и проблема упр.терм.реакций", т.З, с.268 М.: Изд.АН СССР, 1958.

136. Веденов А.А. В сб.: Вопросы теории плазмы. Вып.1, М.:- Госатомиздат, 1963.

137. Б.Н.Брейзман, Я.Вейланд. О вычислении коэффициента квазилинейной диффузии. Препринт ИЯС СО АН СССР 83-32, Новосибирск, 1983.

138. Колесниченко Я.И, Параил В.В., Переверзев Г.В. Генерация неиндуктивного тока в токамаке. Вопросы теории плазмы. Вып.17, М.:-Госатомиздат, с.3-156, 1989.

139. Yu.N. Dnestrovskij, V.V. Parail, D.P. Kostomarov, et al. // 12th Europ. Conf. on Contr. Fusion and Plasma Phys. Budapesht, 1985. Contrib. Papers. P.II, p.200.

140. Гуревич А.В., Димант Я.С., Днестровский Ю.Н., Смирнов А.П., Физика плазмы, 1979, т.5, с.777

141. Fisch N.J., C.F.F.Karney. Current generation with frequency waves // Phys.1. Fluids, v.24, p.27, 1981

142. Yu.N. Dnestrovskij, D.P. Kostomarov, et al. Toroidal and electric field effects on current drive in tokamaks by lower hybrid and electron cyclotron waves // Nuclear Fusion, v.28, p.267, 1988.

143. Yoshioka K., Antonsen T.M. Neoclassical effects on RF current drive in toka-mak // Nuclear Fusion, v.24 p.27, 1984

144. Elfimov A.G., Puri S. Current drive via Landau damping of kinetic Alfven wave in toroidal geometry // Nuclear Fusion, v.30, p.1215, 1990

145. Lundin R., G. Gustafsson, A.I. Eriksson, and G. Marklund, On the importance of high- altitude low-frequency electric fluctuations for the escape of ionospheric ions, J. Geophys. Res., 95, 5905, 1990.

146. Ungstrup , E., A.Bahnsen, H.K. Wong, M. Andr'e, and L. Matson, J. Geophys. Res., 95, p.5973, 1990.

147. Trakhtengerts, V.Yu., Alfven masers in active experiments in space, Eur. Space Agency Spec. Publ., ESA SP-195, 67, 1983.

148. П.А. Беспалов, В.Ю.Трахтенгерц. Альфвеновские лазеры. Горький: ИПФ АН СССР, 1986

149. T.G.Rosenberg, J.C.Siren, D.L.Matthews, et al., J.Geophys. Res., 86, p.5819-5832, 1981.

150. Davidson G.T., Space Sci. Rev., 53, 45, 1990.

151. Villalon E., W. J. Burke, P.L.Rothwell, M. B. Silevitch, J. Geophys. Res., 94, 15243, 1989.

152. Alpert, Ya.L. The Near Earth and Interplanetary Plasma, 1, Cambridge University Press, 1976.

153. Knudsen, D.J., M.C. Kelley, J.F. Vickrey, J. Geophys. Res., 95, p.5905, 1990.

154. Smith, M.J.,D.A.Bryant,and T.Edwards, J. Atmos. Terr. Phys., 42, p. 167,1980.

155. Lindqvist, P.-A. and G.T. Marklund, J. Geophys. Res., 95, 5867, (1990).

156. Mozer F.S., C.A. Cattell, M.K. Hudson, R.L. Lysak, M.Temerin, and R.B. Torbert, Space Science Reviews, 27, p. 155, 1980.

157. Ionson, J. A., Resonant absorption of Alfvinic surface waves and the heating of solar coronal loops, The Astrophys. Journal, 226, p.650, 1978.