Моделирование аномально больших поверхностных волн в океане тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.28, доктор физико-математических наук Шамин, Роман Вячеславович

• Шамин, Роман Вячеславович
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шамин, Роман Вячеславович

Введение

Глава I. Аномально большие поверхностные волны в океане: натурные данные и численные расчеты

1. Описания волн-убийц.

2. Различные подходы к теоретическому изучению волн-убийц

3. Сравнение натурных данных и численного моделирования

Глава II. Исследование нелинейных уравнений, описывающих волны на воде

4. Основные уравнения.

5. Корректность математической модели.

6. Конструктивное исследование уравнений, описывающих волны на воде

Глава III. Вычислительные эксперименты в моделировании поверхностных волн

7. Численные методы.

8. Исследование различных режимов динамики поверхностных .волн на воде.

9. Исследование волн-убийц с помощью вычислительных экспериментов.

Глава IV. Качественные и статистические исследования волн-убийц в океане

10. Вероятности возникновения волн-убийц.

11. Качественные характеристики волн-убийц.

12. Вычислительная устойчивость решений, описывающих волны-убийцы.

13. Эвристические методы исследования волн-убийц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование аномально больших поверхностных волн в океане»

Актуальность темы

Актуальность темы исследования поверхностных воли аномально большой амплитуды обусловлена тем, что поверхностные волны играют важнейшую роль для морского судоходства, морских и береговых сооружений. Волны аномально большой амплитуды, так называемые волны-убийцы представляют серьезную опасность на море. После получения неопровержимых свидетельств возникновения волн-убийц исследования этих волн стало отдельной и темой в физической океанологии. Между тем, тема описания волн-убийц еще далека от своей завершенности. В настоящей работе поверхностные волны аномально большой амплитуды изучаются с помощью вычислительных экспериментов. Этот подход имеет большие преимущества, поскольку проведение лабораторных и, тем более, натурных экспериментов с целью изучения волн-убийц крайне затруднительно.

Под волнами-убийцами понимают внезапно возникающие одиночные волны огромной (до 30 м) амплитуды. Само название «волна-убийца» происходит из того, что эти волны приводят к крушениям морских судов, в том числе и с человеческими жертвами, разрушениям морских платформ, а также береговых сооружений. В англоязычной литературе такие волны обычно называют «Freak waves» или «Rogue waves», чем подчеркивается нерегулярность и опасность этого явления в океане. Единого определения волн-убийц не существует. В настоящей работе используется определение, общепринятое в современных работах, посвященных волнам-убийцам [39]. Это определение основано па амплитудном критерии, согласно которому волна-убийца — это такая волна, амплитуда которой более чем в два раза превышает значительную высоту волн в данном районе.

По нашему мнению, главной целью исследования волн-убийц является разработка методов прогноза аномально больших волн в океане. Изучение статистики возникновения этих волн позволит подойти к проблеме районирования акватории Мирового океана по уровню опасности возникновения экстремально больших волн. Необходимо также описать физические механизмы возникновения волн-убийц и построить адекватные модели, описывающие динамику этих волн. Наличие динамического описания такого явления, как волны-убийцы, необходимо для вычисления количественных параметров аномальных волн, что является основным для разработки новых норм безопасности строительства кораблей и морских платформ.

Поскольку феномен волны-убийцы является относительно редким и непредсказуемым, то натурное изучение этих волн весьма затруднительно. С другой стороны, и лабораторные исследования аномально больших волн тоже имеют большие ограничения. Поэтому в последнее время все более актуальным становятся теоретические исследования. Поскольку мы имеем дело с существенно нелинейным физическим процессом, то проведение аналитических исследований является крайне сложной задачей. Таким образом, основным средством изучения волн-убийц становится вычислительный эксперимент.

В настоящее время существуют фотографии и инструментальные записи фактов возникновения поверхностных волн аномально большой амплитуды — волн-убийц. Однако наше представление об этих волнах базируется в основном на отдельных случаях [21,22,40]. В то же время, по данным С.К. Гулева и В.Г. Григорьевой (2004) [105], существует значительная межгодовая изменчивость ветрового волнения. В частности, в некоторых районах Мирового океана обнаруживается рост интенсивности штормовых волн. В связи с этим вопрос о связи вероятности таких аномальных событий, как волны-убийцы, с характеристиками поля ветрового волнения приобретает большое значение.

Изучение поверхностных ветровых волн сопряжено с известными трудностями, связанными со сложностью и большой разнообразностью физических явлений на поверхности океана. Изучению ветровых волн посвящено большое количество фундаментальных работ таких авторов, как И.Н. Давидан, В.Е. Захаров, С.А. Китайгородский, В.П. Красицкий, И.В. Лавренов, М.С. Лонге-Хиггинс, A.C. Монин, О.М. Филлипс, К. Хассельман и др. Современные теории ветрового волнения, основанные на статистических подходах, позволяют получить закономерности развития волнения в среднем. Важную роль при этом играют и эмпирические зависимости роста волнения (Г.С. Голицын (2010) [16]), связь которых с современными теоретическими представлениями удалось установить совсем недавно (С.И. Бадулин, A.B. Бабанин, Д. Ресио, В.Е. Захаров (2007) [90]). Однако при статистическом описании волнения не учитывается информация о конкретной форме поверхности, а волны-убийцы представляют собой индивидуальное событие с нехарактерным профилем волны. Поэтому аномально большие волны (волны-убийцы), очевидно, не могут быть описаны в рамках статистического подхода. Необходимо обращение к нелинейным уравнениям, описывающим динамику поверхностных волн.

Для решения принципиальной проблемы прогноза волн-убийц необходимо иметь строгое обоснование нелинейных математических моделей, описывающих поверхностные волны на больших временных интервалах вплоть до обрушения, и эффективные численные методы расчета динамики волн на воде. В настоящей диссертации предложена целостная математическая теория на основе нелинейных уравнений, позволяющая вычислять вероятности возникновения волнубийц в зависимости от параметров начального волнения и вопросы устойчивости волн-убийц относительно внешних воздействий. В рамках этой теории разработаны эффективные численные методы для расчета поверхностных волн в океане. Дано доказательство сходимости этих методов, а также получены важные для практического применения результаты о регуляризации вычислительных процедур в условиях машинной точности. Полученные математические результаты применяются для организации масштабных вычислительных экспериментов по моделированию поверхностных волн с целью получения большого массива расчетных данных необходимых для изучения волн-убийц.

Новизна результатов

Научная новизна состоит в том, что волны убийцы изучаются на основе полных нелинейных уравнений с использованием строго доказанных математических методов.

В математической теории нестационарных уравнений, описывающие динамику поверхностных волн на воде, научная новизна состоит в том, что уравнения были систематически исследованы не на малых временных интервалах, а на максимальных временных интервалах, на которых существует решение. В области построения и обоснования численных методов научная новизна состоит в том, что вычислительные процедуры, рассматриваются в условиях машинной точности, а также эти процедуры проектируются таким образом, чтобы служить основой для проведения доказательных вычислений в области моделирования динамики поверхностных волн экстремальной амплитуды. В исследовании качественных и статистических характеристик волн-убийц новизна состоит в оригинальных постановках задачи и проведении масштабных экспериментов на основе полных уравнений с большой точностью. Новыми являются теоретико-игровые методы интерпретации возникновения волн-убийц.

Структура диссертации

Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и списка используемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Океанология», Шамин, Роман Вячеславович

Заключение

В заключении сформулируем основные результаты, представленные в диссератации:

1. Установлена корректность точной математической модели поверхностных волн на воде вплоть до момента обрушения.

2. Предложен новый метод построения точных решений уравнений, описывающих поверхностные волны на основе дифференциальных включений.

3. Доказана сходимость численных методов расчета волн на воде на основании динамических уравнений в конформных переменных. Предложен метод регуляризации этих вычислительных процедур в условиях машинной точности.

4. На основе проведенных масштабных вычислительных экспериментов получены оценки вероятности возникновения волн-убийц в зависимости от параметров начальных данных и функция распределения вероятности возникновения волн-убийц от времени.

5. Установлена устойчивость (теоретическая и вычислительная) волн-убийц относительно возмущений начальных данных и внешних воздействий в ходе вычислительных экспериментов.

6. Предложены теоретико-игровые трактовки возникновения волн-убийц в ходе нелинейной динамики. Построена формальная игра, где в качестве игроков выступают отдельные волны. В вычислительных экспериментах случайным образом выбирается профиль волны, что соответствует смешанным стратегиям. Для рассматриваемой игры вводится понятие справедливости игры. Факт возникновения аномально большой волны трактуется как несправедливая игра.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шамин, Роман Вячеславович, 2011 год

1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения,—М.: Мир. 1972.

2. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления.—М.: Мир, 1987.

3. Бабенко К. И. Основы численного анализа. — М.: Наука, 1986.

4. Бабенко К. И. О доказательных вычислениях и математическом эксперименте на ЭВМ // УМН. — 1985. — Т. 40. — № 4(244). С. 137-138.

5. Бабенко К. И., Васильев М. М. О доказательных вычислениях в задаче об устойчивости течения Пуазейля // ДАН СССР. — 1983. — Т. 273. — №6. — С. 1289-1294.

6. Бабенко К. И., Петрович В. Ю., Рахманов А. И. Вычислительный эксперимент в теории поверхностных волн конечной амплитуды// Докл. АН. -1988. 302, №4. - С. 781-785.

7. Бабенко К. И., Петрович В. Ю., Рахманов А. И. О доказательном эксперименте в теории поверхностных волн конечной амплитуды// Докл. АН.-1988.-303, №5.-С. 1033-1037.

8. Белоцерковский О.М., Опарин A.M. Численный эксперимент в турбулентности: От порядка к хаосу. —М.: Наука, 2001.

9. Борисович Ю.Г., Гельман В.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифферен-циаотных включений. — М.: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2011.

10. Василенко В. А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. — Новосибирск: Наука, 1983.

11. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1981.

12. Власов В.В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // Матем. сборник, 1995, т. 186, вып. 8, с. 67-92.

13. Воинов В. В., Воинов О. В. Численный метод расчета нестационарных движений идеальной несжимаемой жидкости со свободными поверхностями// Докл. АН. —1975. — 221, № 3. — С. 559562.

14. Гайер Д. Лекции по теории аппроксимации в комплексных областях,—М.: Мир, 1986.

15. Гарипов Р. М. Неустановившиеся волны над подводным хребтом// Докл. АН. -1965. -161, № 3. С. 547-550.

16. Голицын Г.С. Энергетический цикл волн на поверхности океана // Изв. АН. ФАО. 2010. Т. 46. N 1. С. 10-18.

17. Гуревич П. Л., Егер В., Скубачевский А. Л. О существовании периодических решений некоторых нелинейных задач термоконтроля // Докл. РАН. — 2008. 418, №2. — С. 151-154.

18. Ггонтер Н. М. Об основной задаче гидродинамики// Известия Физико-математического института им. В. А. Стеклова. — 1927, —2.-С. 1-168.

19. Давидан И.Н., Лопатухин Л.И., Рожков В.А. Ветровое волнение в Мировом океане. Л.: Гидрометеоиздат, 1985.

20. Давидан И.Н., Лопатухин Л.И., Рожков В.А. Ветровое волнение как вероятностный гидродинамический процесс — Л:, Гидрометеоиздат, 1978.

21. Дивинский Б.В., Косьян Р.Д., Подымов И.С., Пушкарев О.В. Экстремальное волнение в северо-восточной части Черного моря в феврале 2003 г. // Океанология. 2003. Т. 43. №6. С. 948-950.

22. Дивинский Б.В., Левин Б.В., Лопатухин Л.И., Пелиновский E.H., Слюняев A.B. Аномально высокая волна в Черном море: наблюдения и моделирование // ДАН , 2004, т. 395, № 5, с. 690-695.

23. Доброхотов С.Ю. Методы Маслова в линейной теории гравитационных волн на поверхности жидкости // ДАН СССР. 1983. Т. 28. С. 229-231.

24. Дьяченко А. И., Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. Нелинейная динамика свободной поверхности идеальной жидкости// Физика плазмы.-1999. —22, № 10, —С. 916-928.

25. Захаров В.Е., Заславский М.М. Кинетическое уравнение и кол-могоровские спектры в слаботурбулентной теории ветровых волн // Изв. АН ФАО. 1982. Т. 18. №9. С. 970-979.

26. Захаров В.Е., Шамин Р.В. О вероятности возникновения волн-убийц // Письма в ЖЭТФ, т. 91, вып. 2, с. 68-71.

27. Захаров В.Е., Филоненко H.H. Спектр энергии стохастических гравитационных волн // Докл. АН СССР. 1966. Т. 170. №6. С. 1292-1295.

28. Захаров В. Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости// Прикладная механика и теоретическая физика. —1968. — № 2. — С. 86-94.

29. Инногамов H.A. Турбулентная стадия тейлоровской неустойчивости// Письма ЖТФ. —1978.-4, № 12. —С. 743-747.

30. Калиниченко В.А. О разрушении волн Фарадея и формировании струйного всплеска // Изв. РАН. МЖГ. 2009. № 4. С. 113123.

31. Калмыков С. А., Шокин Ю.И., Юлдашев 3. X. Методы интервального анализа. — Новосибирск: Наука, 1986.

32. Китайгородский С.А. Физика взаимодействия атмосферы и океана. JL Гидрометеоиздат, 1970.

33. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Издательство ЛКИ, 2007.

34. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004.

35. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближений. — М.: Наука, 1984.

36. Крамер Г. Математические методы статистики. — М.: Мир, 1975.

37. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М., Наука, 1966.

38. Крейг В., Вейн К.Е. Математические аспекты поверхностных волн на воде, УМН, 62:3(375) (2007), 95-116

39. Куркин A.A., Пелиновский E.H. Волны-убийцы: факты, теория и моделирование. — Нижний Новгород: Нижегородский гос. тех. университет, 2004.

40. Лавренов И.В. Встреча с волной-убийцей // Морской флот. 1985. №12. С. 28-30.

41. Лавренов И.В. Математическое моделирование ветрового волнения в пространственно-неоднородном океане. СПБ.: Гидро-метеоиздат- 1998.

42. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и и хаотическая динамика», 2003, 416 с.

43. Ладыженская O.A. О нестационарных операторных уравнениях и их приложениях к линейным задачам математической физики // Математический сборник, т. 45, N 2, 1958, с. 123-158.

44. Ладыженская O.A. О решении нестационарных операторных уравнений // Математический сборник, т. 39, N 4, 1956, с. 491524.

45. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003.

46. Лонге-Хиггинс М.С. Статистический анализ случайной движущийся поверхности. В кн.: Ветровые волны. М.: ИЛ, 1962, с. 125-218.

47. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1965.

48. Монин A.C. Теоретические основы геофизической гидродинамики. Л.: Гидрометеоиздат, 1988.

49. Монин A.C., Красицкий В.П. Явления на поверхности океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1982.

50. Никонов A.A. «Русалка» найдена! // Природа. 2004. №10. С. 93-96.

51. Налимов В. И. Априорные оценки решений эллиптических уравнений в классе аналитических функций и их приложения к задаче Коши—Пуассона// Докл. АН. —1969. —189, № 1.— С. 45-49.

52. Налимов В. И. Задача Коши—Пуассона// Динамика сплошной среды. -1974. 18. — С. 104-210.

53. Налимов В. И. Нестационарные вихревые волны// Сиб. мат. журн. —1996. — 37, № 6. — С. 1356-1366.

54. Налимов В. И., Пухначев В. В. Неустановившиеся движения идеальной жидкости со свободной границей, НГУ, Новосибирск, 1975.

55. Некрасов А. И. О волнах установившегося вида// Известия Иваново-Вознесенского политехнического института. —1921.— 3. С. 52-65.

56. Некрасов А. И. Точная теория волн установившигося вида на поверхности тяжелой жидкости. — М.: Издательство АН СССР, 1951.

57. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу.— М.: Мир, 1977.

58. Овсянников Л. В. Нелинейная задача Коши в шкале банаховых пространств// Докл. АН. —1971. — 200, № 4. — С. 789-792.

59. Овсянников Л. В. К обоснованию теории мелкой воды // Динамика сплошной среды: сб. науч. тр. / Акад. наук СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т гидродинамики. Новосибирск, 1973. - Вып. 15. -С.104-125.

60. Океанология. Физика океана. Том 2. Гидродинамика океана (ред. В.М. Каменкович, A.C. Монин) М.: Наука, 1978.

61. Пелиновский E.H., Хариф К. Дисперсионное сжатие волновых пакетов как механизм возникновения аномально высоких волн па поверхности океана // Изв. ФИН РФ. 2000. Т. 1. С. 50-61.

62. Протопопов Б.Е. Численное моделирование поверхностных волн в канале переменной глубины// Вычислительные методы прикладной гидродинамики. —1988. — 84. — С. 91-105.

63. Рубан В.П. Гигантские волны в слабо-скрещенных состояниях морской поверхности // ЖЭТФ. 2010. Т. 137(3). С. 599-607.

64. Соболев С. J1. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — М.: Наука, 1988.

65. Солонников В. А. Разрешимость задачи об эволюции вязкой несжимаемой жидкости, ограниченной свободной поверхностью, на конечном интервале времени// Алгебра и анализ.— 1991. — 1. — С. 222-257.

66. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. — М.: Мир, 1973.

67. Толстоногов A.A. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. — Новосибирск: Наука, 1986.

68. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. —М.: Мир, 1977.

69. Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. -Л.:Гидрометеоиздат, 1980.

70. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970.

71. Шамин Р. В. О пространствах начальных данных для дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве// Мат. сб.-2003. 194, № 9.-С. 1411-1426.

72. Шамин Р. В. Об одном численном методе в задаче о движении идеальной жидкости со свободной поверхностью// Сиб. журн. выч. мат. — 2006. — 9, № 4. — С. 325-340.

73. Шамин Р. В. О существовании гладких решений уравнений Дьяченко, описывающих неустановившиеся течения идеальной жидкости со свободной поверхностью// Докл. АН.— 2006.— 406, № 5.-С. 112-113.

74. Шамин Р. В. К вопросу об оценке времени существования решений системы Коши—Ковалевской с примерами в гидродинамике со свободной поверхностью// Современная математика. Фундаментальные направления. — 2007. — 21. — С. 133-148.

75. Шамин Р. В. Вычислительные эксперименты в моделировании поверхностных волн в океане. — М.: Наука, 2008.

76. Шамин Р. В. Об оценке времени существования решений уравнения, описывающего поверхностные волны// Докл. АН.— 2008.-418, № 5.-С. 112-113.

77. Шамин Р. В. Динамика идеальной жидкости со свободной поверхностью в конформных переменных // Современная математика. Фундаментальные направления. — М.: РУДН, т. 28, 2008, с. 3-144.

78. Шамин Р.В. Поверхностные волны на воде минимальной гладкости // Современная математика. Фундаментальные направления. Том 35 (2010). С. 126-140

79. Шамин Р.В. Разрешимость уравнений, описывающих волны минимальной гладкости // Доклады Академии наук, 2010, т. 432, N 4, с. 458-460

80. Шамин Р.В. Аппроксимация эволюционных дифференциальных уравнений в шкалах гильбертовых пространств. Математические заметки. Том 85. 2009. N 2. С. 318-320

81. Шамин Р.В. Регуляризация метода прямых в условиях машинной точности с примерами в гидродинамике со свободной поверхностью. Вычислительные технологии. Том 13. 2008. N 5. С. 113-124

82. Шамин Р.В. Пространства начальных данных для параболических функционально-дифференциальных уравнений. Математические заметки, 2002, т. 71, вып. 4, с. 636-640

83. Шамин Р.В. Модели ветрового волнения на основе функционально-дифференциальных уравнений // Актуальные проблемы фундаментальной и прикладной математики: сб. науч. тр. М.: МФТИ. 2009. С. 143-149

84. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. — Новосибирск: Наука, 1981.

85. Юдович В. И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости// Журнал выч. мат. и мат. физ. —1963. — 3, № 6. — С. 1032-1066.

86. Ashyralyev A., Sobolevskii Р.Е. Well-posedness of parabolic difference equations. Basel-Boston-Berlin, Birkhauser, 1994.

87. Badulin S. I., Pushkarev A. N., Resio D., Zakharov V.E. Self-similarity of wind-driven seas // Nonl. Proc. Geophys. 2005. Vol. 12. P. 891-946.

88. Badulin S.I., Babanin A.V., Resio D., Zakharov V. Weakly turbulent laws of wind-wave growth //J. Fluid Mech. 2007. V. 591. P. 339-378.

89. Badulin S.I., Shrira V.I., Kharif C., Iualalen M. On two approaches to the problem of instability of short-crested water waves // J. Fluid Mech. 1995. V. 303. P. 297-325.

90. Baterman W.J.D., Swan C., Taylor P.H. On the efficient numerical simulation of directionally spread surface water waves //J. comput. Physics, 2001, v. 174, pp. 277-305.

91. Brown M.G., Jensen A. Experiments on focusing unidirectional water waves // J. Geophys. Research. 2001. V. 106. №C6. P. 1691716928.

92. Brown M.G. The Maslov integral representation of slowly varying dispersive wavetrains in inhomogeneous moving media // Wave Motion. 2000. V. 32. P. 247-266.

93. Chalikov D. Freak waves: Their occurrence and probability // Phys. Fluids, 2009, v. 21, issue 7.

94. Chalikov D., Sheinin D. Modeling of Extreme Waves Based on Equations of Potential Flow with a Free Surface // Journ. Сотр. Phys. 2005. 210. P.247-273.

95. Chalikov D., Rainchik S. Coupled numerical modelling of wind and waves and the theory of the wave boundary layer // Boundary-layer meteorology. 2010. Vol. 138. №1. P. 1-41.

96. Craig W., Sulem C. Numerical simulation of gravity waves// J. Comput. Phys. —1993. —108. — C. 73-83.

97. Craig W., Wayne С. E. Mathematical aspects of surface water waves// Round Table «Open Problems» Int. Workshop Math. Hydrod., Moscow, June 12-17. —2006.

98. Deimling K. Multivalued differential equations. — Berlin New York, Walther de Gruyter, 1992.

99. Dyachenko A. I., Kuznetsov E. A., SpectorM.D., ZakharovV. E. Analytical description of the free surface dynamics of an ideal fluid (canonical formalism and conformal mapping)// Phys. Lett. A. — 1996. — 221. — C. 73-79.

100. Dyachenko A.I., Zakharov V.E., On the Formation of Freak Waves on the Surface of Deep Water // Письма в ЖЭТФ, 2008, т. 88, №5, с. 356-359.

101. Dysthe K.B., Trulsen K. Note on breather type solutions of the NLS as a model for freak-waves // Physica Scripta. 1999. V. 82. P. 48-52.

102. Faraday M. On the forms and states assumed by fluids in contact with vibrating elastic surfaces // Philos.Trans. R. Soc. London. 1831. V. 121. P 319-340

103. Gulev S.K., Grigorieva V. Last century changes in ocean wind wave height from global visual wave data // Geophys. Res. Lett. 2004, v. 31. L24302.

104. Gurevich P. L., Jaeger W., Skubachevskii A. L. On periodicity of solutions for thermocontrol problems with hysteresis-type switches // SIAM J. Math. Anal. 2009. - 41, № 2. — C. 733-752.

105. Hasselmann K. On the nonlinear energy transfer in a gravity wave spectrum. Part 1. General theory //J. Fluid Mech. 1962. Vol. 12. Pp. 481-500.

106. Henderson K.L., Peregrine D.H., Dold J.W. Unstready water wave modulations: fully nonlinear solutions and comparison with the nonlinear Schrodinger equation // Wave Motion, 1999, v. 29, pp. 341-361.

107. Johannessen T.B., Swan C. A laboratory study of the focusing of transient and directionally spread surface water waves // Proc. Royal Soc. London. 2001. V. A457. P. 971-1006.

108. Kano'T., Nishida T. Sur les ondes de surface de l'eau avec une justification mathématique des ^equations des ondes en eau peu profonde, J. Math. Kyoto Univ., 19:2 (1979), 335-370.

109. Kato T. On classical solutions of the two-dimensional non- ■ stationary Euler equation// ARMA. —1967. — 25. — C. 188-200.

110. Kharif C., Pelinovsky E., Slunyaev A. Rogue Waves in the Ocean. Springer, 2009.

111. Korotkevich A.O., Pushkarev A.N., Resio D., Zakharov V.E. Numerical verification of the weak turbulent model for swell evolution, Eur. J. Mech. B Fluids, 27(4), 361-387 (2008).

112. Lannes D. Well-posedness of the water-waves equations, J. Amer. Math. Soc., 18:3 (2005), 605-654.

113. Levi-Civita T. Determination rigoreuse des ondes permanentes d'ampleur finie// Math. Ann. —1925. — 93. — C. 264-314.

114. Lewis D. J. The instability of liguid surface when accelerated in direction perpendicular to their planes. II// Proc. Roy. Soc. Sect. A. —1950. — 202, № 1068. — C. 81-96.

115. Liechtenstein L. Grundlagen der Hydromechanik. — Berlin, 1929.

116. Nishida T. A note on a theorem of Nirenberg// J. Differential Geom. —1977. —12. — C. 629-633.

117. Olagnon M.j Athanassoulis G.A. Rogue Waves 2000. (Brest, France, 2000). Ifremer, 2001.

118. Ovsiannikov L.V. Non local Cauchy problems in fluid dynamics, Actes du congr'es international des mathematiciens, vol. 3 (Nice, 1970), Gauthier-Villars, Paris, 1971, 137-142.

119. Peregrine D.H. Interaction of water waves and currents // Advanced Applied Mech. 1976. V. 16. P. 9-17.

120. Pelinovsky E., Talipova T., Kharif C. Nonlinear dispersive mechanism of the freak wave formation in shallow water / / Physica D. 2000. V. 147. №1-2. P. 83-94.

121. Plotnikov P. I. A Proof of the Stokes Conjecture in the Theory of Surface Waves // Studies in Applied Mathematics, v. 108, 2002, pp. 217-244.

122. Plotnikov P.I., Toland J. F. Convexity of Stokes waves of extreme form // Arch. Rat. Mech. Anal. v. 171, 2004, pp. 349-416.

123. Reeder J., Shinbrot M. The initial value problem for surface waves under gravity. II. The simplest 3-dimensional case, Indiana Univ. Math. J., 25:11 (1976), 1049-1071.

124. Reeder J., Shinbrot M. he initial value problem for surface waves under gravity. III. Uniformly analytic initial domains, J. Math. Anal. Appl., 67:2 (1979), 340-391.

125. Shamin R.V., Moiseeva S.N. Functional Differential Equations and Freak Waves. Functional Differential Equations, v. 16, 2009, No 4, pp. 627-637.

126. Shinbrot M. The initial value problem for surface waves under gravity. I. The simplest case, Indiana Univ. Math. J., 25:3 (1976), 281-300.

127. Stokes G.G. Mathematical and physical papers. Cambridge University Press. —1. —1880.

128. Taylor G. The instability of liguid surface when accelerated in direction perpendicular to their planes. I// Proc. Roy. Soc. Sect. A. 1950. — 201, № 1065. — C. 192-196.

129. Treves F. Ovsyannicov theorem and hyperdifïerential operatore. — Rio de Janeiro, Instituto de Mathematica Pure e Aplicada, 1968.

130. Tsai W., Yue D. Computations of nonlinear free-surface flows// Annu. Rev. Fluid Mech. -1996. — 28. — C. 249-278.

131. White B.S., Fornberg B. On the change of freak waves at the sea //J. Fluid Mech. 1998. V. 225. P. 113-138.

132. Wu S. Well-posedness in Sobolev spaces of the full water wave problem in 2-D, Invent. Math., 130:1 (1997), 39-72.

133. Wu S. Well-posedness in Sobolev spaces of the full water wave problem in 3-D// J. Amer. Math. Soc. —1999. —12, № 2. — C. 445495.

134. Yosihara H. Gravity waves on the free surface of an incompressible perfect fluid of finite depth, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 18:1 (1982), 49-96.

135. Yudovich V.I., Zenkovskaya S.M., Novossiadliy V.A., Shleykel A.L. Parametric excitation of waves on a free boundary of a horizontal fluid layer // Comptes Rendus Mecanique. V. 332. 2004. P. 257-262.

136. Zakharov V.E., Dyachenko A. I., Vasilyev O.A. New method for numerical simulation of a nonstationary potential flow of incompressible fluid with a free surface// Eur. J. Mech. B Fluids. — 2002. — 21.— C. 283 291.

137. Zakharov V.E., Dyachenko A.I, Prokofiev A.O. Freak waves as nonlinear stage of Stokes wave modulation instability// Eur. J. Mech. B Fluids. 2006. 25. P. 677-692.

138. Zakharov V.E., Dyachenko A.I., Shamin R.V. How probability for freak wave formation can be found // THE EUROPEAN PHYSICAL JOURNAL SPECIAL TOPICS Volume 185, Number 1, 113-124, DOI: 10.1140/epjst/e2010-01242-y