Характеристики аномально больших поверхностных волн в океане на основе вычислительных экспериментов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.28, кандидат физико-математических наук Юдин, Александр Викторович

• Юдин, Александр Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Юдин, Александр Викторович

Оглавление

Введение

Глава I. Статистика возникновения аномально больших волн

в вычислительных экспериментах

1. Основные динамические уравнения, описывающие волны на воде

2. Постановка вычислительных экспериментов

3. Амплитудный критерий регистрации аномально больших волн

4. Результаты вычислительных экспериментов

5. Характерный профиль аномально большой волны

Глава II. Процессы концентрации характеристик при формировании аномально больших волн

6. Динамические и геометрические характеристики волн

7. Концентрация характеристик аномально больших поверхностных волн

Глава III. Оценка времени ожидания аномально большой волны в заданном бассейне

8. Вероятность возникновения аномально больших волн в заданном бассейне

9. Оценка среднего времени встречи с аномально большой волной

Заключение

Благодарности

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Характеристики аномально больших поверхностных волн в океане на основе вычислительных экспериментов»

Введение

Актуальность темы

Аномально большие поверхностные волны, называемые волнами-убийцами, представляют собой внезапные одиночные волны с амплитудой, более чем в 2 раза превосходящей значительную высоту волн. Внезапность возникновения аномально больших волн в океане определяет серьезную опасность, которую они представляют для морских судов и сооружений, (см. [81], [87]).

На поверхности океана протекает большое количество физических явлений, поэтому изучение поверхностных волн является сложной задачей. Изучению поверхностных волн посвящены работы М.С. Лонге-Хиггинса [27], И.Н. Давидана [5], [6], В.Е. Захарова [14], [15], А.С. Монина [28], [33], О.М. Филлипса [41], К. Хассельмана [74], В.П. Красицкого [13], [29], С.А. Китайгородского [19], В.Г. Глуховского [4], Дж. Уизема [40], В. Крейга и К.Е. Вейна [21], В.И. Юдовича [55], П.И. Плотникова [94]- [94] и других исследователей.

Первые работы по изучению аномально больших волн были выполнены в рамках линейной теории их формирования. Рассматривались такие механизмы как дисперсионное сжатие (A. Torum, О.Т. Gudmestad, [ЮЗ]), пространственная фокусировка (Т.В. Johannessen, С. Swan [78], [79]), взаимодействие волн с течениями (И.В. Лавренов [25], [24], [83], [84]; M.G.

Brown [59]; D.H. Peregrine [92]; B.S. White [105]). Важно подчеркнуть, что исследователями были проведены демонстрирующие эти механизмы лабораторные эксперименты, в которых были получены аномально большие волны. В ряде работ (например, И.В. Лавренов [25], J.K. Mallory [86]) рассматривается роль атмосферных факторов в поцессе формирования волн-убийц. Отмечается, что усиление ветра играет важную роль в механизме дисперсионного сжатия, а изменение направления ветра является важным для пространственной фокусировки волн.

В рамках нелинейной теории аномально большие волны рассматривались как результат модуляционной неустойчивости. Изучение аномально больших волн также проводилось методами, основанными на кинетических уравнениях и уравнении Захарова (S.I. Badulin, V.l. Shrira, С. Kharif, М. Ioualalen [56]).

Начиная с 2006 года Институтом морской геологии и геофизики ДВО РАН проводятся натурные эксперименты по изучению аномально больших волн под руководством П.Д. Ковалева и Г.В. Шевченко (например, [82], [18]). Результаты натурных экспериментов близ побережья о. Сахалин представлены также в статье А.И. Зайцева, А.Е. Малашенко и E.H. Пелиновского [11].

Описанию наблюдаемого в океане экстремального волнения посвящены, например, работы [7], [8], [39], [85], [72].

Различные аспекты явления аномально больших поверхностных волн и подходы к их изучению описаны в работах E.H. Пелиновского и коллег (например, [23], [34], [35], [61], [66], [67], [68], [101], [88], [89], [90], [91]), К. Traisen [104], B.S. White [105], K.B. Dyste [71], A. Islas и С.М. Schober [77], Е.М. Bitner-Gregersen и A. Toffoli [58]. В рамках исходных нелинейных

уравнений гидродинамики моделирование аномально больших волн впервые было выполнено в работе K.L. Henderson, D.H. Peregrine, J.W. Dold [76]. В экспериментах были получены группы крутых и высоких волн, которые интерпретировались в рамках бризерных решений нелинейного уравнения Шредингера.

В настоящей работе для моделирования аномально больших волн используются нелинейные уравнения гидродинамики, записанные в конформных переменных. Впервые такой метод изучения динамики жидкости со свободной поверхностью был предложен в работе J.C. Whitney [106], рассматривался в теоретических работах (JI.B. Овсянников [32], В.И. Налимов [30], [31]). В работе [107] (В.Е. Захаров, А.И. Дьяченко, O.A. Васильев) впервые рассматривался метод моделирования аномально больших волн, основанный на конформном преобразовании области, занятой жидкостью. В этой работе начальное волнение задавалось в виде суперпозиции волны Стокса крутизны 0.1 и слабого Гауссова шума. В вычислительном эксперименте была получена аномально большая волна, амплитуда которой в 3 раза превышает начальное значение. Необходимо отметить другие работы А.И. Дьяченко и В.Е. Захарова (например, [70], [10], [108], [109]), в которых моделирование аномально больших волн осуществлялось на основе уравнений в конформных переменных. В этих работах, в частности, обсуждаются физические механизмы возникновения волн-убийц в рамках сильнонелинейной теории, на основе результатов численного решения полных нелинейных уравнений демонстрируется существование на поверхности глубокой воды гигантского бризера, что может объяснять появление аномально больших волн.

В работе В.П. Рубана [37] на основе численного моделирования пол-

ных нелинейных уравнений рассматривается вопрос о зависимости процесса образования волн-убийц от взаимного расположения спектральных максимумов, делается вывод о том, что нередко аномальные морские волны связаны с присутствием некоторых когерентных волновых структур (например, косых солитонов огибающей).

Моделированию аномально больших волн на основе конформных уравнений посвящен цикл работ Д.В. Чаликова (например, [62], [42], [63], [64]), где, в частности, отмечается, что первичное образование экстремальных волн происходит не только в результате групповых эффектов, но и в результате эволюции нелинейных волн. Также необходимо подчеркнуть, что Д.В. Чаликовым отмечается увеличение энергии вокруг вертикали, проходящей через пик волны в момент ее роста. При этом волна сильно заостряется, а ее высота увеличивается. Также в этих работах отмечается систематический характер возникновения волн-убийц в вычислительных экспериментах.

В работах A.B. Слюняева (например, [100], [38]) также отмечается роль нелинейной динамики морских волн как наиболее вероятного источника опасности волн-убийц.

Актуальность изучения аномально больших волн с помощью вычислительных экспериментов обусловлена объективными трудностями при изучении экстремальных волн на основе натурных измерений и лабораторных опытов. В последнее время возможности вычислительных экспериментов значительно выросли. Вычислительным экспериментам по изучению поверхностного волнения посвящены работы многих исследователей (например, [1], [2], [36], [65], [78]). В ряде работ (например, [76], [57], [70], [62], [37]) волны-убийцы изучались с помощью компьютерного моде-

лирования. Настоящая работа наиболее близка к вычислительным экспериментам, описанным в статьях В.Е. Захарова и Р.В. Шамина [16] и [17], где волны-убийцы описываются как нелинейный эффект гидродинамики идеальной жидкости со свободной поверхностью. В этих работах с помощью численных методов решались соответствующие полные нелинейные уравнения (дно предполагалось бесконечно глубоким) и были получены первые оценки вероятности возникновения аномально больших волн. Однако эти эксперименты имели значительные ограничения. В частности, довольно актуальной была проблема зависимости статистики возникновения волн-убийц от размеров расчетной области. Другая возникшая принципиальная проблема состояла в том, что накачка энергии, использованная в работе [17], не давала возможности проводить вычислительные эксперименты длительностью свыше 1000 периодов. В настоящий диссертации предложены подходы, с помощью которых эти задачи успешно решаются. При этом феномен возникновения волны-убийцы также предполагается следствием нелинейной динамики морских волн.

Другая важная задача в теории аномально больших поверхностных волн связана также с процессами изменения энергии и импульса волн, происходящими в момент образования волн-убийц. Физически на качественном уровне это проявляется в том, что в одной-двух волнах происходит концентрация энергии. Актуальной являлась задача получения количественных оценок концентрации энергии и импульса, что является необходимым для оценки риска опасного воздействия волн-убийц на суда и морские сооружения.

Цель и задачи работы

Целью настоящей работы является разработка устойчивых вычислительных экспериментов для моделирования нелинейного распространения поверхностных волн и получения на основе экспериментов статистики аномально больших поверхностных волн и их характеристик. Для достижения этой цели решались следующие задачи: (1) реализовать вычислительные эксперименты по моделированию поверхностных волн на потенциально неограниченных временых интервалах; (2) на основе результатов масштабных вычислительных экспериментов получить статистику аномально больших поверхностных волн при различных размерах расчетной области; (3) получить количественные оценки концентрации энергии и импульса при формировании аномально большой волны; (4) получить количественные и качественные картины геометрии волн-убийц; (5) получить оценки вероятности возникновения аномально больших поверхностных волн на глубокой воде в заданном бассейне.

Научная новизна

В диссертации предложены принципиальные изменения в постановке вычислительных экспериментов, описанных в [16] и [17]. Во-первых, была предложена новая накачка энергии. Если в работе [17] накачка энергии осуществлялась с помощью линейного оператора, который не имел четкого физического смысла, то в диссертации накачка представлена нелинейными членами, соответствующими поверхностной силе, пропорциональной наклону профиля волны. Во-вторых, был модифицирован амплитудный критерий аномально больших поверхностных волн, который позволил повысить точность регистрации волн-убийц в вычислительных экспери-

ментах. В-третьих, в настоящей диссертации результаты вычислительных экспериментов не зависят от размера вычислительной области (интенсивность возникновения аномально больших волн прямо пропорциональна размеру вычислительной области, а среднее время их жизни примерно одинаково при различных размерах вычислительной области), что является принципиально важным для получения статистики волн-убийц.

На основе проведенных вычислительных экспериментов получена новая статистика аномально больших поверхностных волн, дающая новую возможность оценивать вероятности возникновения волн-убийц для заданного типичного волнения.

Новыми являются количественные оценки концентрации энергии при формировании аномально больших волн, а также качественные картины геометрии волн-убийц.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Разработана постановка устойчивых на больших временных масштабах (более 10000 периодов) вычислительных экспериментов по моделированию динамики нелинейных поверхностных волн.

2. На основе результатов масштабных вычислительных экспериментов получена статистика аномально больших поверхностных волн, не зависящая от размеров расчетной области.

3. Получены количественные оценки концентрации энергии и импульса при формировании аномально большой волны. Показано, что при образовании волн-убийц энергия одной волны может быть в 8-10 раз больше, чем средняя энергия окрестных волн.

4. Выявлены качественные картины геометрии аномально больших поверхностных волн. Из анализа профилей этих волн следует, что примерно 95% волн-убийц имеют характерный профиль: крутой гребень на протяжении всего жизненного цикла. Остальные 5% волн-убийц на протяжении своего жизненного цикла приобретают форму как крутого гребня, так и впадины («дыры в море»).

5. Получены оценки вероятности возникновения аномально больших поверхностных волн в заданном бассейне. Для волн с высотой 4-5 м, длиной 200-250 м и периодом 11-12 с в фиксированной точке среднее время встречи с аномально большой волной равняется 20.5 час.

Достоверность полученных результатов

Достоверность численного моделирования в вычислительных экспериментах подтверждается известными математическими работами (см. [45]), в которых доказана корректность уравнений и численных методов. Геометрические результаты подтверждаются сравнением волн-убийц с известными инструментальными данными (например, с «Новогодней волной»). Оценки вероятности возникновения волн-убийц качественно согласуются с результатами натурных наблюдений (см. [11] и [75]).

Научная и практическая значимость работы

Диссертационная работа носит теоретический характер. Однако ряд полученных результатов может быть использован в качестве основы для построения инженерных методик, связанных с оценкой риска воздействия аномально больших поверхностных волн на суда и сооружения. В частности, вероятности возникновения волн-убийц могут быть использованы для районирования Мирового океана с точки зрения опасности

возникновения аномально больших волн. Полученные в работе типичные профили волн-убийц и количественные оценки концентрации энергии при формировании этих волн могут быть использованы для создания модели типичной волны-убийцы.

Структура диссертации

Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения и списка используемой литературы.

В первой главе описаны результаты вычислительных экспериментов по изучению статистики аномально больших поверхностных волн. В разделе 1.1 представлены основные уравнения, описывающие нестационарное течение идеальной жидкости в двумерной геометрии со свободной поверхностью и бесконечно глубоким дном. С целью проведения эффективных вычислений используются уравнения гидродинамики, записанные в конформных переменных. Описываются нелинейные члены, соответствующие накачке и диссипации, использование которых позволяет проводить вычисления на больших временных интервалах (свыше 10000 периодов) и не останавливать счет при возникновении аномально большой волны.

Раздел 1.2 посвящен постановке вычислительных экспериментов, определению начального возмущения поверхности, удовлетворяющего заданным значениям квадрата средней крутизны и дисперсии.

В разделе 1.3 представлен модифицированный амплитудный критерий аномально большой волны, учитывающий информацию о характерных высотах волн за весь период проведения вычислительного эксперимента.

Раздел 1.4 посвящен статистике аномально больших волн в вы-

числительных экспериментах. Описаны результаты больших серий однотипных вычислительных экспериментов, в которых количество отдельных волн в начальном профиле волновой поверхности, квадрат средней крутизны и дисперсия принимали различные заданные значения. Для каждой тройки этих параметров приведены графики интенсивности (в смысле Пуассона) возникновения аномально больших поверхностных волн. На основании результатов вычислительных экспериментов сделан вывод о влиянии размеров расчетной области на интенсивность возникновения аномально больших волн.

В заключительном разделе главы представлены характерные профили аномально больших волн в вычислительных экспериментах, проведено сравнение некоторых полученных в вычислительных экспериментах волнограмм с известными инструментальными записями аномально больших поверхностных волн.

Вторая глава посвящена процессам концентрации динамических (кинетическая энергия, потенциальная энергия, полная энергия, горизонтальный импульс, вертикальный импульс, модуль импульса) и геометрических (амплитуда, максимальная крутизна, максимальная кривизна, длина) характеристик при формировании аномально больших волн. Для этого в разделе 2.1 вводится понятие отдельной волны и для нее описываются перечисленные выше характеристики.

В разделе 2.2 рассматриваются процессы концентрации характеристик отдельных волн. Концентрация показывает, во сколько раз значение какой-либо характеристики для рассматриваемой волны превосходит среднее значение характеристики для всех волн или какую часть значение какой-либо характеристики для рассматриваемой волны составляет

от среднего значения характеристики для всех волн. Приведены значения концентрации характеристик аномально больших поверхностных волн, а также максимальные значения концентрации в течение всего вычислительного эксперимента.

Третья глава посвящена оценке времени ожидания аномально большой волны в заданном бассейне при наличии длинных поверхностных волн. На основании результатов большой серии вычислительных экспериментов с различными размерами расчетной области в разделе 3.1 предложена формула, позволяющая вычислить интенсивность возникновения аномально больших волн в зависимости от размера расчетной области.

В раздел 3.2 приводится оценка среднего времени жизни аномально большой волны и среднего времени встречи с ней.

В Заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

Апробация результатов

Результаты диссертационной работы докладывались: на Ученом совете Физического направления Института океанологии им П.П. Ширшова РАН (г. Москва, 2012 и 2013 гг.), на Научной сессии Совета РАН по нелинейной динамике (г. Москва, ИО РАН, 2012 г.); на семинаре в Российском университете дружбы народов под руководством A. JI. Скубачевского (г. Москва, 2012 г.); в University of Heidelberg (Германия, 2012 г.); на Ученом совете ИМГиГ ДВО РАН (г. Южно-Сахалинск, 2012 г.), на заседании секции «Геофизика и геоэкология» в Институте морской геологии и геофизики ДВО РАН (г. Южно-Сахалинск, 2013 г.); на семинаре Научного центра по изучению волн-убийц под руководством Р.В. Шамина (г. Южно-Сахалинск, 2013 г.); на Международном научном семинаре «Сильно нели-

нейные волновые процессы в океане» в Нижегородском государственном техническом университете им. P.E. Алексеева (г. Нижний Новгород, 2012 г.).

Также результаты диссертационной работы излагались на конференциях: International Conference «Science and Progress» (Peterhof, Russia,

2011); International Conference «Science and Progress» (Peterhof, Russia,

2012); Крымская осенняя математическая школа (Украина, 2011); Нефть и Газ Сахалина 2012 (г. Южно-Сахалинск); General Assembly 2013 of the European Geosciences Union (Вена, Австрия).

Публикации и вклад автора

Основные результаты диссертации опубликованы в 9-ти научных работах, 4 из которых — статьи в рецензируемых журналах (все из списка ВАК), 5 — тезисы докладов на конференциях.

В первых двух работах автору принадлежит частично постановка вычислительных экспериментов. Во всех работах автору принадлежит обработка результатов вычислительных экспериментов, их интерпретация и участие в написании статей.

1. Шамин Р.В., Юдин A.B. Моделирование пространственно-временного распространения волн-убийц // Доклады Академии наук. 2013. Т. 448. №5. С. 592-594.

2. Шамин Р.В., Смирнова А.И., Юдин A.B. Вопросы обнаружения и прогнозирования волн-убийц в вычислительных экспериментах // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2012. Т. 5. №3. С. 23-33.

3. Горленко А.В., Смирнова А.И., Шамин Р.В., Юдин А.В. Численное моделирование волн-убийц в океане //Вестник Российского университета дружбы народов. Серия Математика. Информатика. Физика. 2013. №1. С. 111-119.

4. Костенко И.С., Кузнецов К.И., Юдин А.В., Зарочинцев B.C. Инструментальное изучение аномально больших поверхностных волн в районе о. Сахалин // Датчики и системы. 2013. №2. С. 22-27.

5. Юдин А.В. Моделирование волн-убийц // Тезисы докладов. Двадцать вторая ежегодная международная конференция «Крымская Осенняя Математическая Школа (КРОМШ-20011)» — 2011. Симферополь. С. 58.

6. Yudin А. V. On Qualitative Characteristics of Rogue Waves // Conference abstracts. International Student Conference «Science and Progress» -SPb.: SOLO, 2011. P. 88.

7. Шамин P.В., Юдин А.В. Моделирование пространственно-временного распространения волн-убийц // Тезисы докладов. Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании». 2012. Уфа. С. 92.

8. Kostenko I.S., Yudin A.V., Kuznetsov К.I., Zarochintsev V.S. Instrumental measurements of freak waves in the southeast area of Sakhalin Island // International Student Conference «Science and Progress». Conference abstracts. St. Petersburg. November 12-16 2012. P. 142.

9. Yudin A. V., Shamin R. V. The calculation of probabilities of occurences

of the freak waves in various regions of the ocean // Geophysical Research Abstracts. 2013. Vol. 15. EGU2013-703-1. EGU General Assembly 2013.

Заключение диссертации по теме «Океанология», Юдин, Александр Викторович

Заключение

В заключении сформулируем основные результаты, представленные в дис-сератации:

1. Предложена постановка устойчивых на больших временных интервалах вычислительных экспериментов по моделированию динамики нелинейных поверхностных волн.

2. Получена статистика аномально больших поверхностных волн, которая не зависит от размеров расчетной области. В частности, удвоение размеров расчетной области приводит к удвоению интенсивности возникновения аномально больших волн, при этом среднее время жизни таких волн примерно сохраняется.

3. Получены количественные оценки концентрации энергии и импульса в процессе возникновения аномально большой волны. Показано, что при образовании аномально больших волн энергия одной волны может быть в 8-10 раз больше, а модуль импульса примерно в 4 раза больше, чем средняя энергия других волн в один и тот же момент времени.

4. Получены качественные картины геометрии аномально больших поверхностных волн. Показано, что примерно 95% аномально больших волн на протяжении всего жизненного цикла имеют форму крутого гребня.

5. Получены оценки вероятности возникновения аномально больших поверхностных волн и среднего время встречи с ними в заданном бассейне. Для волн с высотой 4-5 м, длиной 200-250 м и периодом 1112 с среднее время встречи с аномально большой волной равняется 20.5 ч для фиксированной точки.

Благодарности

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Роману Вячеславовичу Шамину, заведующему кафедрой дифференциальных уравнений и математической физики Российского университета дружбы народов Александру Леонидовичу Скубачевскому, академику Владимиру Евгеньевичу Захарову, директору Института морской геологии и геофизики ДВО РАН, члену-корреспонденту РАН Борису Вульфовичу Левину. Автор также благодарит С.И. Бадулина, А.И. Смирнову, К.И. Кузнецова за полезные обсуждения результатов работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Юдин, Александр Викторович, 2013 год

Список используемых источников

[1] Бабенко К. И., Петрович В.Ю., Рахманов А. И. Вычислительный эксперимент в теории поверхностных волн конечной амплитуды/ / Докл. АН. -1988. -302. №4.-С. 781-785.

[2] Бабенко К. И., Петрович В.Ю., Рахманов А. И. О доказательном эксперименте в теории поверхностных волн конечной амплитуды/ / Докл. АН. —1988. — 303, №5.-С. 1033-1037.

[3] Горленко A.B., Смирнова А.П., Шамин Р.В., Юдин A.B. Численное моделирование волн-убийц в океане //Вестник Российского университета дружбы народов. Серия Математика. Информатика. Физика. 2013. Ш. С. 111-119.

[4] Глуховский В.Г. Исследование морского ветрового волнения. - Л.: Гидрометеоиздат, 1966. 284 с

[5] Давидан И.Н., Лопатухин Л.И., Рожков В.А. Ветровое волнение в Мировом океане. Л.: Гидрометеоиздат. 1985.

[6] Давидан И.Н., Лопатухин Л.И., Рожков В.А. Ветровое волнение как вероятностный гидродинамический процесс - Л:. Гидрометеоиздат. 1978.

[7] Дивинский Б.В., Косьян Р.Д., Подымов И.С., Пушкарев О.В. Экстремальное волнение в северо-восточной части Черного моря в феврале 2003 г. // Океанология. 2003. Т. 43. №6. С. 948-950.

[8] Дивинский Б.В., Левин Б.В., Лопатухин Л.И., Пелиновский E.H., Слюняев A.B. Аномально высокая волна в Черном море: наблюдения и моделирование // ДАН. 2004. Т. 395. №5. С. 690-695.

[9] Дьяченко А.И. О динамике идеальной жидкости со свободной поверхностью // Докл. Акад. наук. 2001. Т. 376. No 1. С. 27-29.

[10] Дьяченко А. И., Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. Нелинейная динамика свободной поверхности идеальной жидкости// Физика плазмы. 1999. Т. 22. № 10. С. 916-928.

[11] Зайцев А.И., Малашенко А.Е., Пелиновский E.H. Аномально большие волны вблизи южного побережья о. Сахалин // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2011. Т. 4. №4. С. 35-42.

[12] Зайцев А.И., Малашенко А.Е., Костенко И.С., Пелиновский E.H., Кузнецов К.И. Регистрация волн-убийц в заливе Анива Охотского моря / / Труды Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева. 2012. №1 Т. 94. С. 33-41.

[13] Заславский М. М., Красицкий В. П. О пересчете данных волнографа с датчиком давления на спектр поверхностных волн // Океанология. 2001. Т. 41. №2. С. 195-200.

[14] Захаров В.Е., Филоненко H.H. Спектр энергии стохастических гравитационных волн // Докл. АН СССР. 1966. Т. 170. №6. С. 1292-1295.

[15] Захаров В. Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости// Прикладная механика и теоретическая физика. — 1968. — № 2. — С. 86-94.

[16] Захаров В.Е., Шамин Р.В. О вероятности возникновения волн-убийц // Письма в ЖЭТФ. 2010. Т. 91. Вып. 2. С. 68-71.

[17] Захаров В.Е., Шамин Р.В. Статистика волн-убийц в вычислительных экспериментах // Письма в ЖЭТФ. 2012. Т. 96. Вып. 1. С. 68-71.

[18] Иволгин В.И., Ковалев Д.П., Ковалев П.Д., Кузнецов К.И. Регистрация ветрового волнения донным датчиком гидростатического давления // Вестник Тамбовского университета, Серия Естественные и технические науки. 2011. Т. 16. Вып. 5. С. 1272-1276.

[19] Китайгородский С.А. Физика взаимодействия атмосферы и океана. JI. Гидрометеоиздат, 1970.

[20] Костенко И.С., Кузнецов К.И., Юдин A.B., Зарочинцев B.C. Инструментальное изучение аномально больших поверхностных волн в районе о. Сахалин // Датчики и системы. 2013. №2. С. 22-27.

[21] Крейг В., Вейн К.Е. Математические аспекты поверхностных волн на воде. УМН. 62:3(375). 2007. С. 95-116.

[22] Куркин A.A., Пелиновский E.H. Волны-убийцы: факты, теория и моделирование. — Нижний Новгород: Нижегородский гос. тех. университет. 2004. 158 с.

[23] Куркин A.A. Пелиновский E.H., Слюняев A.B. Физика волн-убийц в океане // Нелинейные волны 2004. Нижний Новгород: ИПФ РАН. 2005. С. 37-51.

[24] Лавренов И.В. Встреча с волной-убийцей // Морской флот. 1985. №12. С. 28-30.

[25] Лавренов И.В. Математическое моделирование ветрового волнения в пространственно-неоднородном океане. - СПБ.: Гидрометеоиздат,-1998.

[26] Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и и хаотическая динамика». 2003. 416 С.

[27] Лонге-Хиггинс М.С. Статистический анализ случайной движущийся поверхности. - В кн.: Ветровые волны. М.: ИЛ, 1962. С. 125-218.

[28] Монин A.C. Теоретические основы геофизической гидродинамики. Л.: Гидрометеоиздат, 1988.

[29] Монин A.C., Красицкий В.П. Явления на поверхности океана. - Л.: Гидрометеоиздат, 1982.

[30] Налимов В. И. Задача Коши—Пуассона// Динамика сплошной среды. - 1974. - 18. - С. 104-210.

[31] Налимов В. И., Пухначев В. В. Неустановившиеся движения идеальной жидкости со свободной границей, НГУ, Новосибирск, 1975.

[32] Овсянников Л. В. К обоснованию теории мелкой воды // Динамика сплошной среды: сб. науч. тр. / Акад. наук СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т гидродинамики. - Новосибирск, 1973. Вып. 15. С. 104-125.

[33] Океанология. Физика океана. Том 2. Гидродинамика океана (ред. В.М. Каменкович, A.C. Монин) М.: Наука, 1978.

[34] Пелиновский E.H., Слюняев A.B., Талипова Т.Г. и др. Нелинейное параболическое уравнение и экстремальные волны на морской поверхности // Изв. вузов. Радиофизика. 2003. Т. 46. №7. С. 499-512.

[35] Пелиновский E.H., Хариф К. Дисперсионное сжатие волновых пакетов как механизм возникновения аномально высоких волн на поверхности океана // Изв. ФИН РФ. 2000. Т. 1. С. 50-61.

[36] Протопопов Б. Е. Численное моделирование поверхностных волн в канале переменной глубины// Вычислительные методы прикладной гидродинамики. — 1988. — 84. — С. 91-105.

[37] Рубан В.П. Гигантские волны в слабо-скрещенных состояниях морской поверхности// ЖЭТФ. 2010. Т. 137(3). С. 599-607.

[38] Слюняев A.B., Сергеева A.B. Численное моделирование и анализ пространственно-временных полей аномальных морских волн // Фундаментальная и прикладная гидрофизика, 2012, Т.5, №1, С. 2436.

[39] Соомере Т., Куркина O.E. Статистика экстремального волнения в юго-западной части Балтийского моря //Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2011. Том 4. №4. С.43-57.

[40] Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.

[41] Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. -Л.:Гидрометеоиздат, 1980.

[42] Чаликов Д.В. Статистика экстремальных ветровых волн // Фунд. и прикл. гидрофизика. 2009. Т.5. Вып. 3. С. 4-24.

[43] Шамин Р.В. О существовании гладких решений уравнений Дьяченко, описывающих неустановившиеся течения идеальной жидкости со свободной поверхностью // Доклады Российской академии наук. 2006. Т. 406. №5. С. 112-113.

[44] Шамин Р.В. Вычислительные эксперименты в моделировании поверхностных волн в океане. — М.: Наука, 2008.

[45] Шамин Р.В. Динамика идеальной жидкости со свободной поверхностью в конформных переменных // Современная математика. Фундаментальные направления. — М.: РУДН. Т. 28. 2008. С. 3-144.

[46] Шамин Р. В. Об одном численном методе в задаче о движении идеальной жидкости со свободной поверхностью / / Сиб. журн. выч. мат. — 2006. — 9, № 4. - С. 325-340.

[47] Шамин Р.В. Об оценке времени существования решений уравнения, описывающего поверхностные волны / / Доклады Российской академии наук. 2008. Т. 418. №5. С. 603-604.

[48] Шамин Р.В. Поверхностные волны на воде минимальной гладкости // Современная математика. Фундаментальные направления. Том 35. 2010. С. 126-140.

[49] Шамин P.B. Разрешимость уравнений, описывающих волны минимальной гладкости // Доклады Академии наук. 2010. Т. 432. №4. С. 458-460.

[50] Шамин Р.В. Описание динамики волн на воде на основе дифференциальных включений // Доклады Академии наук. 2011. Т. 438. №4. С. 453-455.

[51] Шамин Р.В. Актуальные проблемы компьютерного моделирования нелинейных волновых процессов. М.: РУДН, 2008. 186 с.

[52] Шамин Р.В., Юдин A.B. Моделирование пространственно-временного распространения волн-убийц // Доклады Академии наук. 2013. Т. 448. №5. С. 592-594.

[53] Шамин Р.В. Моделирование волн-убийц на основе эволюционных дифференциальных включений // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2012. Т. 5. №1. С. 14-23.

[54] Шамин Р.В., Смирнова А.И., Юдин A.B. Вопросы обнаружения и прогнозирования волн-убийц в вычислительных экспериментах // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2012. Т.5. №3. С.23-33.

[55] Юдович В. И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости// Журнал выч. мат. и мат. физ. —1963. — 3. № 6.— С. 1032-1066.

[56] Badulin S.I., Shrira V.I., Kharif С., Ioualalen М. On two approaches to the problem of instability of short-crested water waves //J. Fluid Mech. 1995. V. 303. P. 297-325.

[57] Baterman W. J.D., Swan C., Taylor P.H., On the efficient numerical simulation of directionally spread surface water waves // J. Comput. Physics. 2001. V. 174. Pp. 277-305.

[58] Bitner-Gregersen E. M. and Toffoli A. On the probability of occurrence of rogue waves // Nat. Hazards Earth Syst. Sci., 12, 751- 762, doi:10.5194/nhess-12-751-2012, 2012.

[59] Brown M.G. The Maslov integral representation of slowly varying dispersive wavetrains in inhomogeneous moving media // Wave Motion. 2000. V. 32. P. 247-266.

[60] Brown M.G., Jensen A. Experiments on focusing unidirectional water waves // J. Geophys. Research. 2001. V. 106. №C6. P. 16917-16928.

[61] Chabchoub A., Hoffmann N., Onorato M., Slunyaev A., Sergeeva A.V., Pelinovsky E., Akhmediev N.. Observation of a hierarchy of up

to fifth-order rogue waves in a water tank // Physical Review E -Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics, 2012. T. 86. №5. C. 156601-1-156601-6

[62] Chalikov D. Freak waves: Their occurrence and probability // Phys. Fluids. 2009. V. 21, issue 7.

[63] Chalikov D., Sheinin D. Modeling of Extreme Waves Based on Equations of Potential Flow with a Free Surface // Journ. Comp. Phys. 2005. V. 210. P. 247-273.

[64] Chalikov D., Rainchik S. Coupled numerical modelling of wind and waves and the theory of the wave boundary layer // Boundary-layer meteorology. 2010. Vol. 138. №1. P. 1-41.

[65] Craig W., Sulem C. Numerical simulation of gravity waves// J. Comput. Phys. - 1993. - 108. - C. 73-83.

[66] Didenkulova I., Nikolkina I., Pelinovsky E. Rogue waves in the basin of intermediate depth and the possibility of their formation due to the modulational instability // JETP Letters. 2013. Vol. 97. No. 4. P. 221225.

[67] Didenkulova I., Slunyaev A., Pelinovsky E. Rogue waters // Contemporary Physics, 2011. T. 52. №6. C. 571-590.

[68] Didenkulova I., Pelinovsky E. Rogue waves in nonlinear hyperbolic systems (shallow-water framework) // Nonlinearity, 2011. №24. C. R1-R18.

[69] Dyachenko A. I., Kuznetsov E.A., Spector M. D., Zakharov V. E. Analytical description of the free surface dynamics of an ideal fluid (canonical formalism and conformal mapping)// Phys. Lett. A. — 1996. - 221. -C. 73-79.

[70] Dyachenko A.I., Zakharov V.E., On the Formation of Freak Waves on the Surface of Deep Water // Письма в ЖЭТФ, 2008, т. 88, №5, с. 356-359.

[71] Dysthe К.В., Trulsen К. Note on breather type solutions of the NLS as a model for freak-waves // Physica Scripta. 1999. V. 82. P. 48-52.

[72] Forristall G.Z. On the statistical distribution of wave heights is a storm // J. Geophys. Res. 1978. №C5. P. 2353 - 2358.

[73] Gemmrich, J. and Garrett, C. Dynamical and statistical explanations of observed occurrence rates of rogue waves // Nat. Hazards Earth Syst. Sci., 11, 1437-1446, doi: 10.5194/nhess-l 1-1437- 2011, 2011.

[74] Hasselmann K. On the nonlinear energy transfer in a gravity wave spectrum. Part 1. General theory //J. Fluid Mech. 1962. Vol. 12. Pp. 481-500.

[75] Holt M., Fullerton G., Li J.-G. Forecasting sea state with a spectral wave model // Rogue Waves 2004 Brest, 20-22 October 2004.

[76] Henderson K.L., Peregrine D.H., Dold J.W. Unstready water wave modulations: fully nonlinear solutions and comparison with the nonlinear Schrodinger equation // Wave Motion. 1999. V. 29. P. 341-361.

[77] Islas A. and Schober C. M. Rogue waves and downshifting in the presence of damping // Nat. Hazards Earth Syst. Sci. 11. P. 383-399. doi: 10.5194/nhess-11-383-2011,2011.

[78] Johannessen T.B., Swan C. Nonlinear transient water waves - Pt. 1. A numerical method of computation with comparisons to 2-D laboratory data // Applied Ocean Research. 1997. V. 19. P. 293-308.

[79] Johannessen T.B., Swan C. A laboratory study of the focusing of transient and directionally spread surface water waves // Proc. Royal Soc. London. 2001. V. A457. P. 971-1006.

[80] Kharif C., Pelinovsky E. Outcomes of the Special issue of Extreme and Rogue Waves // Natural Hazards and Earth System Sciences. 2011. №11 (No 7). C. 2043-2046.

[81] Kharif C., Pelinovsky E., Slunyaev A. Rogue Waves in the Ocean. Springer, 2009.

[82] Kovalev P.D., Shevchenko G.V., Kyrkin A.A., Chernov A.G., Kovalev D.P., Gorbunov A.O. Experiment in area of the mouth of Izmenchivoe lake // The Proceedings of the 19 International Offshore and Polar Engineering Conference (ISOPE 2009), Osaka, June 21-26, 2009, Cupertino (Calif.): ISOPE. 2009. Vol. 3. P. 820-824.

[83] Lavrenov I. The wave energy concentration at the Agulhas current of South Africa // Natural Hazards. 1988. V. 17. P. 117-127.

[84] Lavrenov I.V. Wind waves in Ocean. Springer, 2003. 386 p.

[85] Lopatoukhin L.J., Boukhanovhky A.V. Freak wave generation and their probability // Int. Shipbuild. Progr. 2004. V.51, N 2/3. P.157-171.

[86] Mallory J.K. Abnormal waves on the south-east of South Africa // Inst. Hydrog. Review. 1974. №51. P. 89-129.

[87] Nikolkina, I. and Didenkulova, I. Rogue waves in 2006-2010 // Nat. Hazards Earth Syst. Sci., 11, 2913-2924, doi:10.5194/nhess-ll- 29132011. 2011.

[88] Pelinovsky E., Talipova T., Kharif C. Nonlinear dispersive mechanism of the freak wave formation in shallow water // Physica D. 2000. V. 147. №1-2. P. 83-94.

[89] Pelinovsky E., Kharif C., Talipova T. Nonlinear Wave Focusing as a Mechanism of the Freak Wave Generation in the Ocean// rogue Waves 2000 (Brest, France, 2000) / Eds.: M. Olagnon, G.A. Athanassoulis. -Ifremer. 2001. P. 193-204.

[90] Pelinovsky E., Talipova T., Sergeeva A., Grimshaw R.H.J. Rogue internal waves in the ocean: long wave model // European Physical Journal Special Topics, 2010. №185. C. 195-208.

[91] Pelinovsky, E., Shurgalina, E., and Chaikovskaya, N. The scenario of a single freak wave appearance in deep water — dispersive focusing mechanism framewor //, Nat. Hazards Earth Syst. Sci., 11. 127-134. doi:10.5194/nhess-ll-127-2011, 2011.

[92] Peregrine D.H. Interaction of water waves and currents // Advanced Applied Mech. 1976. V. 16. P. 9-17.

[93] Peregrine D.H. Water-wave impact on walls // Ammual Review Fluid Mechanica. 2003. V.35 P. 23-43.

[94] Plotnikov P. I. A Proof of the Stokes Conjecture in the Theory of Surface Waves // Studies in Applied Mathematics. V. 108. 2002. P. 217-244.

[95] Plotnikov P.I., Toland J. F. Convexity of Stokes waves of extreme form // Arch. Rat. Mech. Anal. V. 171. 2004. P. 349-416.

[96] Ruban V.P. Water waves over a time-dependent bottom: Exact description for 2D potential flows // Phys. Lett. A. 2005. V. 340. №1-4. P. 194-200.

[97] Shamin R.V. About Analytic Solvability of Nonstationary Flow of Ideal Fluid with a Free Surface // Alexey V. Borisov, Valery V. Kozlov, Ivan S. Mamaev and Mikhail A. Sokolovskiy. IUTAM Symposium on Hamiltonian Dynamics, Vortex Structures, Turbulence. Springer Netherlands, 2008. P. 323-329

[98] Shamin R.V., Moiseeva S.N. Functional Differential Equations and Freak Waves. Functional Differential Equations. V. 16. 2009. №4. P. 627-637.

[99] Shamin R.V. Dynamics of an Ideal Liquid with a Free Surface in Conformal Variables // Journal of Mathematical Sciences. V. 160. №. 5. 2009. P. 537-678.

[100] Slunyaev A. Primary Title: Freak wave events and the wave phase coherence // The European Physical Journal - Special Topics. 2010. V. 185. №1. P. 67-80.

[101] Slunyaev A., Kharif C., Pelinovsky E. et al. Nonlinear wave focusing on water of finite depth // Physica D. 2002. V. 173. №1-2. P. 77-96.

[102] Taylor G. The instability of liguid surface when accelerated in direction perpendicular to their planes. I// Proc. Roy. Soc. Sect. A. — 1950. — 201, № 1065. - C. 192-196.

[103] Torum A., Gudmestad O.T. Water Wave Kinematics. - Dordrecht: Kluwer, 1990.

[104] Trulsen K. Simulating the spatial evolutions of a measured time series of a freak wave // Rogue Waves 2000 (Brest, France, 2000) / Eds.: M. Olagnon, G.A. Athanassoulis. Ifremer, 2001. P. 265-274.

[105] White B.S., Fornberg B. On the change of freak waves at the sea //J. Fluid Mech. 1998. V. 225. P. 113-138.

[106] Whitney J. C. The numerical solution of unsteady free-surface flows by conformal mapping // In: Proc. Second Inter. Conf. on Numer. Fluid Dynamics (ed. M. Holt). 1971. Springer-Verlag. P. 458-462.

[107] Zakharov V.E., Dyachenko A.I., Vasilyev O.A. New method for numerical simulation of a nonstationary potential flow of incompressible fluid with a free surface// Eur. J. Mech. B Fluids. — 2002. — 21. — C. 283 - 291.

[108] Zakharov V.E., Dyachenko A.I, Prokofiev A.O. Freak waves as nonlinear stage of Stokes wave modulation instability// Eur. J. Mech. B Fluids. 2006. 25. P. 677-692.

[109] Zakharov V.E., Dyachenko A.I., Shamin R.V. How probability for freak wave formation can be found // THE EUROPEAN PHYSICAL JOURNAL - SPECIAL TOPICS Volume 185, Number 1, 113-124, DOI: 10.1140 / epjst / e2010-01242-y