Модели "копула" в управлении рыночным риском российских банков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат экономических наук Пеникас, Генрих Иозович

• Пеникас, Генрих Иозович
• кандидат экономических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат экономических наук Пеникас, Генрих Иозович

ВВЕДЕНИЕ.

Актуальность вопроса.

Цель, объект, предмет и задачи исследования.

ГЛАВА 1. ГЕНЕЗИС ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ РЫНОЧНЫМ РИСКОМ БАНКА.

1.1. Традиционные подходы к решению задач управления рыночным риском банка.

1.1.1. Оптимизация валютного риска.

1.1.2. Оценка и оптимизация процентного риска.

1.1.3. Хеджирование ценового риска.

1.2. Теоретические основы моделей «копула».

1.2.1. Двумерные копулы.

1.2.2. Многомерные копулы.

1.2.3. Способы оценки и проверки статистической значимости моделей «копула».

1.3. Неадекватность предпосылки о многомерном нормальном распределении.

1.4. Применение моделей «копула» к задачам управления рыночным риском банка.

1.4.1. Оптимизация валютного риска.

1.4.2. Оценка процентного риска.

1.4.3. Хеджирование ценового риска.

1.5. Краткий обзор альтернативных моделей.

ГЛАВА 2.ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ИССЛЕДОВАНИЯ.

2.1. Оценка структурного сдвига в копулах.

2.1.1. Постановка задачи и метод решения.

2.1.2. Утверждение 1. Определение вероятности ошибки Iрода.

2.1.3. Утверэ/сдение 2. Определение вероятности ошибки IIрода.

2.1.4. Экспериментальное тестирование метода.

2.2. Методология решения задач управления рыночным риском на основе копу л.

2.2.1. Статическая оптимизация валютного риска.

2.2.2. Динамическая оптимизация процентного риска.

2.2.3. Динамическое хеджирование ценового риска.

2.3. Критерии выбора наилучшей модели.

ГЛАВА 3.ЭМПИРИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ. СРАВНЕНИЕ С

ТРАДИЦИОННЫМИ ПОДХОДАМИ.

3.1. Статическая оптимизация валютного риска.

3.2. Динамическая оптимизация процентного риска.

3.3. Динамическое хеджирование ценового риска.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели "копула" в управлении рыночным риском российских банков»

Актуальность вопроса

В 2006 г. Базельский Комитет по банковскому надзору опубликовал документ Базель II [6], описывающий порядок оценки рисков для цели расчета достаточности капитала банков. Основным нововведением стала возможность использования вероятностных (внутрибанковских, ШВ) моделей для оценки отдельных рисков банка.

По результатам событий кризисного периода базельский комитет опубликовал рекомендации по видам подходов, которые более предпочтительны для целей расчета совокупного риска банка в рамках Базель II. Так эксперты Базельского Комитета проранжировали все способы оценки рисков по возрастанию сложности, гибкости и

1 Перевод и курсив автора. Оригинальная версия текста следующая: «. institutions either needed to do more work in this area, or were not yet sophisticated enough to model diversification benefits using more promising approaches, such as copulas» (подробнее см. рекомендации базельского комитета по агрегированию рисков [5], р. 25). одновременно предпочтительности при использовании риск-менеджерами (см. обзор Базельского Комитета практик оценки экономического капитала [7], р. 28):

1) суммирование рисков;

2) метод простой диверсификации ;

3) дисперсионно-ковариационный подход;

4) модели «копула»;

5) полное моделирование зависимостей рисков (метод имитационного моделирования)3;

Таким образом, моделям «копула» отдано предпочтения перед наиболее распространенными в банковской практике подходами (суммирование, простая диверсификация и дисперсионно-ковариационный подход).

В октябре 2010 г. Базельский Комитет обобщил основные наблюдения по вопросам агрегирования рисков и вынес их в отдельных документ «Развитие подходов к моделированию агрегирования рисков», особенно выделив преимущества, получаемые от применения моделей «копула» (см. рекомендации Базельского Комитета по агрегированию рисков [5], р. 76 -82).

Центральный Банк РФ ведет активную работу по внедрению соглашения Базель II в банковской системе России, вероятные последствия на достаточность капитала всей системы были оценены в работе Андриевской и коллег [12]. Так если 20 октября 2009 г. первый заместитель председателя Банка России Геннадий Меликьян отметил

2 Подход простой диверсификации отличается от метода суммирования тем, что предполагает наличие заранее известной доли экономии риска при суммировании (так называемой выгоды от диверсификации).

3 Подход предполагает выявление общих факторов риска и построение общей модели зависимости совокупного риска от движения риск-факторов. По мнению экспертов базельского комитета метод является чрезвычайно затратным по ресурсам (включая временные). намерение ввести Базель II с 1 июля 2010 г. (цит. по работе Алескерова и др. [10], с. 27), то 21 июля 2010 г. были уже опубликованы4 результаты обследования крупнейших банков на предмет их готовности к внедрению внутрибанковских моделей в части кредитного риска.

Заметим, что если вопросы риск-менеджмента получили достаточно широкое и глубокое освещение в российском научном сообществе (см. например, работы Смирнова [23], [24], [25], Шоломицкого [28], Алескерова и др. [10]), то приложению моделей «копула» посвящено лишь несколько работ (например, Алексеева и др. [9], Фантаццини [26]).

Поэтому ввиду инициатив Банка России и рекомендаций Базельского Комитета по банковскому надзору возникает потребность в выработке вероятностных моделей (включая модели «копула»), которые позволят более корректно оценивать риски банков по сравнению с подходами, основанными на предположении совместного нормального закона распределения.

Цель, объект, предмет и задачи исследования

Хотя модели «копула» уже нашли успешное применение при моделировании природных явлений (например, по океанологии и гидрологии см. работы Дэ Мишели [59], Женеста и Фавре [70]), при исследовании способов перемешивания данных как способа защиты базы данных (подробнее см. Сарати и др. [142]), при анализе микроэкономических данных (см. статьи Смита [149], Джиниуса и Старццеры [78], Сана [150], Кима и др. [94]), учитывая рекомендации Базельского Комитета по подходам к агрегированию рисков [5] и инициативы Банка России, их приложение к управлению рисками требует дополнительной проработки, особенно в части управления рыночными рисками российских коммерческих банков.

4 Источник: http://www.vedomosti.ru/newspapcr/articlc/2010/07/21 /241160; http://www.cbr.ru/todav/PIC/GAP.pdf

Цель исследования состоит в разработке инструмента управления рыночными рисками российского банка на основе использования моделей «копула», позволяющего по сравнению с традиционно используемыми подходами дать более точную оценку рисков при восстановлении совместных распределений доходностей риск-факторов.

Задачи исследования включают в себя:

1) Анализ литературы для систематизации существующих подходов к приложению моделей «копула» в задачах управления рыночным риском.

2) Разработка алгоритма поиска момента структурного сдвига в копуле, разделяющего выборку на две части, однородные в терминах копулы совместного распределения.

3) Разработка методологии, позволяющей на основе ограниченного набора критериев выбрать наилучшую модель «копула» для каждой из трех вышеперечисленных задач управления рыночным риском российского банка.

4) Моделирование совместного распределения доходностей риск-факторов российской экономики для корректного решения выбранных задач управления рыночным риском российского банка. Объектом исследования выбраны рыночные риски российских банков, т.е. вероятные убытки (прибыли) от изменения таких рыночных факторов риска («риск-факторов»), как обменные курсы валют (валютный риск), процентные ставки (процентный риск), котировки ценных бумаг (ценовой, или фондовый, риск).

Предметом исследования выступают способы моделирования многомерных распределений доходности (приростов значений за период) для факторов риска в трех задачах управления ими (оптимизация валютного и процентного рисков; хеджирование ценового риска).

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Пеникас, Генрих Иозович

Основные выводы о приложении моделей «копула» для хеджирования фондового риска банка

Проведенное исследование показало, что применение моделей «копула» позволяет повысить эффективность операций прямого хеджирования по сравнению с применением моделей, основанных на предпосылке двумерного гауссовского закона распределения доходностей хеджируемого и хеджирующего инструментов. Результатом повышения эффективности является снижение волатильности финансового результата от изменения стоимости захеджированного портфеля и одновременное повышение суммарного финансового результата от хеджирования. Объяснением такого феномена является то, что при использовании метода МНК предполагается эллипсообразный характер гауссовского распределения доходностей, минимизация степени разброса которого накладывает ограничения на уровень достижимой доходности от операций хеджирования.

При этом автор отдает себе отчет в том, что предложенная модель несовершенна, поскольку основана на трех допущениях и одном ограничении. Во-первых, предполагается, что возможность хеджирования (прямого и перекрестного) существует бесконечно; во-вторых, что операции хеджирования не обременяют их инициировавшего агента издержками ликвидности; и, в-третьих, что контрагент по такой сделке сможет в любой момент исполнить свои обязательства по срочному контракту. Так в практической деятельности, с одной стороны, использование фьючерсных (биржевых) контрактов действительно защищает агента от третьей проблемы неплатежеспособности контрагента, так как биржа на ежедневной основе использует механизм перечисления вариационной маржи (равной изменению стоимости срочного контракта за торговый день) от контрагента с отрицательной переоценкой срочного контракта к контрагенту с положительной. Тем не менее, именно в данном случае возникают издержки ликвидности, поскольку в отдельные моменты времени агенту, проводящему операции хеджирования, могут потребоваться значительные денежные суммы на перечисление вариационной маржи. С другой стороны, использование форвардных (внебиржевых) контрактов не обременяет контрагентов такими издержками ликвидности. Как правило, в качестве залога по операциям одним из контрагентов вносится залоговый (маржинальный) депозит (аналог вариационной маржи), на который начисляются проценты, и который пополняется только при значительном изменении ожидаемых рисков неисполнения обязательства. При этом риск неплатежа (третья обозначенная проблема) возникает именно в такой момент, когда требуется существенное пополнение маржинального депозита.

Существенным же ограничением модели является предположение о том, что всегда существует возможность захеджировать (минимизировать) риск изменения стоимости актива, переложив его на другого контрагента в результате заключения с ним сделки купли-продажи хеджирующего инструмента. Тем не менее, при условии эффективности операций хеджирования отдельных экономических агентов существует конечный агент (будь то правительство или налогоплательщики), который несет непередаваемое бремя изменения стоимости активов, поскольку он не имеет возможности данный риск минимизировать, переложив его еще на кого-либо.

Поэтому в свете имевшей место турбулентности на финансовых рынках особый интерес сейчас может представлять изучение системного риска, риска, который может быть передан от одного агента другому, но не может быть выведен из всей экономической системы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. На основе анализа существующих подходов по приложению моделей «копула» к управлению рыночным риском российских банков выявлены преимущества и недостатки существующих подходов.

2. Разработан алгоритм поиска момента структурного сдвига в копуле совместного распределения. В основе алгоритма лежит принцип поиска максимальной дистанции Колмогорова-Смирнова между эмпирическими копулами до и после момента структурного сдвига в копуле совместного распределения. Разработанный алгоритм был успешно апробирован при исследовании совместных распределений факторов рыночного риска российской экономики. Обнаруженные даты структурных сдвигов в копуле многомерного распределения риск-факторов полностью согласуются с датами принятия ключевых решений Центральными Банками соответствующих валютных зон решений об изменении ставки рефинансирования.

3. Предложена новая постановка задачи хеджирования, основанная на минимизации уровня ценового риска хеджируемого портфеля, оцененного с помощью модели «копула». Предложенная модель показала свою эффективность путем увеличения доходности и снижения стандартного отклонения стоимости захеджированного портфеля в задачах прямого хеджирования ценового риска в сравнении с традиционным способом хеджирования, имеющим целью минимизировать стандартное отклонение стоимости захеджированного портфеля.

4. Определен перечень критериев, которые необходимо использовать для выбора наилучшей модели «копула». В число критериев входят следующие: количество пробоев границы потерь рыночного риска; величина максимального пробоя границы потерь рыночного риска; среднеквадратическая ошибка ретроспективного прогноза величины рыночного риска; кумулятивная доходности рыночного риска; стандартного отклонение реализованного рыночного риска.

5. Разработана методология выбора наилучшей модели «копула» на основе ограниченного набора критериев, которая была успешно апробирована при решении задач управления рыночным риском российских банков (включая оптимизацию валютного и процентного рисков и хеджирование ценового риска). Критерии, перечисленные в п. 4, измеряются на наборе экзаменующей выборки данных, не обучающей, формируя иерархическую * систему, которая методом последовательного сопоставления расчетных значений критериев позволяет выбрать наилучшую модель «копула».

6. Определены семейства копул, которые необходимо использовать при решении конкретных задач управления рыночным риском российского банка, позволяющих наилучшим образом смоделировать динамику соответствующих риск-факторов.

При решении задачи оптимизации валютного риска российского банка необходимо использовать копулу Гумбеля для совместного распределения доходностей обменных курсов иностранных валют к рублю РФ, что соответствует тенденции данных обменных курсов одновременно расти, но не одновременно падать, что имело место в России в период девальвации национальной валюты осенью 2008 г. -весной 2009 г.;

При решении задачи управления процентным риском российского банка необходимо использовать копулу Гумбеля для совместного распределения процентных ставок в рублях РФ, что позволяет смоделировать тенденцию процентных ставок одновременно повышаться, но не одновременно снижаться, что наблюдалось осенью 2008 г. в период кризиса ликвидности на межбанковском рынке России;

Для решения задачи прямого хеджирования ценового риска российского банка необходимо использовать экстремальные копулы (Коши, Галамбоса, Хайслера-Райса) для совместного распределения доходностей котировок активов и фьючерсов на них, что отражает тенденцию котировок на ценные бумаги и фьючерсные контракты на те же ценные бумаги одновременно резко падать и одновременно резко расти, что наблюдалось в период массового обесценения финансовых активов на фондовых рынках (весной -осенью 2008 г.).

При решении задачи перекрестного хеджирования ценового риска российского банка необходимо использовать копулу Плаке при моделировании совместного распределения доходностей актива и фьючерсов на аналогичные ему активы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат экономических наук Пеникас, Генрих Иозович, 2011 год

1. Инструкция ЦБ РФ от 15 июля 2005 г. N 124-И «Об установлении размеров (лимитов) открытых валютных позиций, методике их расчета и особенностях осуществления надзора за их соблюдением кредитными организациями».

2. Положение ЦБ РФ № 215-П от 10 февраля 2003 г. «О методике определения собственных средств (капитала) кредитной организации».

3. Положение ЦБ РФ № 313-П от 14 ноября 2007 г. «О порядке расчета кредитными организациями величины рыночного риска».

4. BCBS. Amendment to the Capital Accord to Incorporate Market Risks. 1996. http://www.bis.org/publ/bcbsl 19.pdf

5. BCBS. Developments in Modelling Risk Aggregation. Joint Forum. 2010. http: // www. b i s. о r g/publ /j oint2 5 .pdf

6. BCBS. International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards. Comprehensive version. 2006. http://www.bis.org/publ/bcbsl28.pdf

7. BCBS. Range of practices and issues in economic capital frameworks. 2009. http://www.bis.org/publ/bcbs 152.pdf

8. International Accounting Standard 39. Financial Instruments: Recognition and Measurement. IASCF. 2008.

9. Научные статьи и монографии

10. Алексеев В.В., Шоколов В.В., Соложенцев Е.Д. Логико-вероятностное моделирование портфеля ценных бумаг с использованием копул // Управление финансовыми рисками. 2006. №3. С. 272-283.

11. Алескеров Ф.Т., Андриевская И.К., Пеникас Г.И., Солодков В.М. Анализ математических моделей Базель II. М.: Физматлит, 2010. — 288 с.

12. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Физматгиз 1963.

13. Андриевская И.К., Пеникас Г.И., Пильник Н.П. Моделирование динамики рисков по Базелю II // Банковское Дело. 2010. № 11. С. 66 -71.

14. Бродский Б.Е., Пеникас Г.И., Сафарян И.А. Обнаружение структурных сдвигов в моделях копул // Прикладная эконометрика. 2009. №4 (16). С. 3—15.

15. Гамбаров Г., Шевчук И., Балабушкин А. Кривая бескупонной доходности на рынке ГКО-ОФЗ // Рынок ценных бумаг. 2006. № 3.

16. Гамбаров Г., Шевчук И., Балабушкин А., Никитин А. Оценка срочной структуры процентных ставок // Рынок ценных бумаг. 2004. № 11, 13.

17. Канторович Г.Г. Анализ временных рядов // Экономический журнал ВШЭ. 2002. № 1. С. 85 116; № 2. С. 251 - 272; № 3. С. 379 - 401; № 4. С. 498-523.

18. Кучинский К., Пеникас Г. Риск рыночной ликвидности: вопросы практической оценки // Банковское дело. 2007. № 11. С. 74 80.

19. Пеникас Г.И. Модели «копула» в управлении валютным риском банка // Прикладная эконометрика. 2010. № 1 (17). С. 62—87.

20. Пеникас Г.И. Модели «копула» в приложении к задачам финансов // Журнал Новой Экономической Ассоциации. 2010. № 7. С. 24 44.

21. Пеникас Г.И., Симакова В.Б. Управление процентным риском на основе копулы-ОАЯСН моделей // Прикладная эконометрика. 2009. № 1 (13). С. 3—36.

22. Пеникас Г.И. Прогнозирование кривой доходности в задачах управления активами и пассивами банка // Прикладная эконометрика. 2008. № 4 (12). С. 3 26.

23. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987.

24. Смирнов С.Н. Кредитные риски: сравнительный анализ подходов Базеля II по достаточности капитала // Банковское дело. 2008. № 10.

25. Смирнов С.Н. Риски рыночной ликвидности: измерение и управление // Международная конференция «Международный опыт риск-менеджмента и особенности развивающихся рынков». Москва. 2004.

26. Смирнов С.Н., Дзигоева Е.С., Скворцов А.А. Адекватность капитала по отношению к рыночным рискам: соотношение стандартной методики и внутренних моделей // Управление финансовыми рисками. 2006. №1.

27. Фантаццини Д. Эконометрический анализ финансовых данных в задачах управления риском // Прикладная эконометрика. 2008. № 2 (10). С. 91 137; № 3 (11). С. 87 - 122; № 4 (12). С. 84 - 138.

28. Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. М.: Мир, 1965.

29. Шоломицкий А.Г. Теория риска. Выбор при неопределенности и моделирование риска. М.: ГУ-ВШЭ, 2005.

30. Aas К., Czado С., Frigessi A., Bakken Н. Pair-copula construction of multiple dependence // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. № 44. P. 182- 198.

31. Adam A., Houkari M., Laurent J.-P. Spectral risk measures and portfolio selection. 2007. http://laurent.jeanpaul.free.fr

32. Alexander C., Pezier J. Assessment and Aggregation of Banking Risks // 9th Annual Round Table International Financial Risk Institute (IFCI). 2003.http://www.gloriamundi.org/libraryJournalview.asp?journalid=6828

33. Anderson Т., Darling D. A Test of Goodness-of-Fit // Journal of The American Statistical Association. 1954. № 49 (268). P. 765 769.

34. Andrade J., Da Fonseca J. Co-Integration and VAR Analysis of the Term Structure of Interest Rates. An Empirical Study of the Portuguese Money and Bond Markets. 1997. http://gemf.fe.uc.pt/workingpapers/pdf/1997/gemf972.pdf

35. Ane Th., Kharoubi C. Dependence Structure and Risk Measure // Journal of Business. 2003. № 3 (76). P. 411 438.

36. Bangia A., Diebold F.X., Stroughair J.D. Modeling Liquidity Risk, With Implications for Traditional Market Risk Measurement and Management. Wharton. 1999. fic.wharton.upenn.edu/fic/papers/99/9906.pdf

37. Bauwens L., Laurent S., Rombouts J. Multivariate GARCH models: a survey // Journal of Applied Econometrics. 2006. № 1 (21). P. 79-109.

38. Bauwens L., Omrane W., Rengifo E. Intra-Daily FX Optimal Portfolio Allocation. 2006.www.core.ucl.ac.be/econometrics/Bauwens/papers/2006-10.pdf

39. Benninga S., Wiener Z. Term Structure of Interest Rates // Mathematica in Education and Research. 1998. № 2 (7). P. 1 9.

40. Berg D. Copula goodness-of-fit testing: An overview and power comparison. 2009. http://www.danielberg.no/dunder/research.php

41. Bouye E. Multivariate Extremes at Work for Portfolio Risk Measurement. 2002. http://ssm.com/abstract= 1272351

42. Bouye E., Durrleman V., Nikeghbali A., Riboulet G., Roncalli T. Copulas for Finance. A Reading Guide and Some Applications. 2000. http ://s srn. com/ab stract= 1032533

43. Breymann W., Dias A., Embrechts P. Dependence structures for multivariate high-frequency data in finance // Quantitative Finance. 2003. № 3. P. 1-14.

44. Busetti F., Harvey A. When is Copula Constant? A Test for Changing Relationships. 2008. CWPE 0841. http://www.econ.cam.ac.uk/dae/repec/cam/pdf/cwpe0841.pdf

45. Cardin M., Manzi M. A Copula-based Approach to Aggregation Functions. 2006. http://ideas.repec.Org/p/vnm/wpaper/139.html

46. Cecchetti S., Cumby R., Figlewski S. Estimation of the Optimal Futures Hedge // The Review of Economics and Statistics. 1988. № 4 (70). P. 623-630.

47. Cech C. Copula-Based Top-Down Approaches in Financial Risk Aggregation. 2006. http://ssrn.com/abstract=953888

48. Chang E., Wong K-P. Cross-Hedging with Currency Options and Futures // The Journal of Financial and Quantitative Analysis. 2003. № 3 (38). P. 555 -574.

49. Cherubini U., Luciano E. Multivariate option pricing with copulas. 2000. http://ssrn.com/abstract=269868

50. Cherubini U., Luciano E., Vecchiato W. Copula Methods in Finance. N.Y.: John Wiley & Sons Ltd. 2004.

51. Chóllete L., Heinen A. Frequent Turbulence? A Dynamic Copula Approach. 2006. http://ssm.com/abstract=968923

52. Choudhry T., Wu IT. Time-Varying Beta and Forecasting UK Company Stock Returns: GARCH Models vs Kalman Filter Method. 2007. http://ssrn.com/abstract=963452

53. Clayton D. A Model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence. Biometrica. 1978. № 65. P. 141 151.

54. Clemen R., Reilly T. Correlations and Copulas for Decision and Risk Analysis // Management Science. 1999. № 2 (45). P. 208 224.

55. Cook R. D., Johnson M. E. A family of distributions for modeling non-elliptically symmetric multivariate data // Journal of the Royal Statistical Society. 1981. №43. P. 210-218.

56. Cox J., Ingersoll J., Ross S. A Theory of the Term Structure of Interest Rates // Econometrica. 1985. № 2 (53). P. 385 408.

57. Cui S., Sun Y. Checking for the gamma frailty distribution under the marginal proportional hazards frailty model // Statistica Sinica. 2004. № 14. P. 249-267.

58. Dai Q., Philippon T. Fiscal Policy and the Term Structure of Interest Rates. 2004. http://ssrn.com/abstract=640582

59. Dai Q., Singleton K. Specification Analysis of Affine Term Structure Models. 1998. http://ssm.com/abstract=139422

60. De Michele C., Salvadori G., Passoni G., Vezzoli R. A Multivariate Model of Sea Storms Using Copulas // Coastal Engineering. 2007. № 54. P. 734-751.

61. Diebold F., Li C. Forecasting the Term Structure of Government Bond Yields. PIER Working Paper 02-026. 2002. http://ssrn.com/abstract=325300

62. Dobric J., Schmid F. Testing goodness of fit for parametric families of copulas: Application to financial data // Communications in statistics. Simulation and Computation. 2005. № 34. P. 1053-1068.

63. Dobric J., Schmid F. A goodness of fit test for copulas based on Rosenblatt's transformation // Computational Statistics and Data Analysis. 2007. № 51. P. 4633-4642.

64. Duffie D., Kan R. A Yield-Factor Model of Interest Rates // Mathematical Finance. 1996. № 4 (6). P. 376 406.

65. Embrechts P., McNeil A., Straumann D. Correlation and Dependence in Risk Management: Properties and Pitfalls. 1999. http://www.math.ethz.ch/~strauman/preprints/pitfalls.pdf

66. Fantazzini D. The effects of misspecified marginals and copulas on computing the value at risk: A Monte Carlo study // Computational Statistics and Data Analysis. 2009. № 6 (53). P. 2168-2188.

67. Fantazzini D. Dynamic Copula Modelling for Value at Risk // Frontiers in Finance and Economics. 2008. № 2 (5). P. 1-38.

68. Fermanian J., Scaillet O. Nonparametric estimation of copulas for time series // Journal of Risk. 2003. № 4 (5). P. 25-54. www.hec.unige.ch/scaillet/riskmngt/copula.pdf

69. Frank M. J. On the simultaneous associativity of F(x, y) and xyF(x, y) //Aequationes Mathematica. 1979. № 19. P. 194-226.

70. Frees E., Valdez E. Understanding Relationships Using Copulas // North American Actuarial Journal. 1998. № 1 (2). P. 1-25.

71. Genest C., Favre A.-C. Everything you always wanted to know about copula modeling but were afraid to ask // Journal of Hydrologic Engineering. 2007. № 12. P. 347-368.

72. Genest C. Frank's Family of Bivariate Distributions // Biometrika. 1987. № 3 (74). P. 549 555.

73. Genest C., Ghoudi K., Rivest L.-P. Discussions of papers already published: "Understanding relationships using copulas", by E. Frees and E.Valdez // North American Actuarían Journal. 1998. № 2 (3). P. 143-149.

74. Genest C., MacKay R. J. Copules archimediennes et families de lois bidimensionnelles dont les marges sont donnees // The Canadian Journal of Statistics. 1986. № 2 (14). P. 145 159.

75. Genest C., Neslehová J. A Primer on Copulas for Count Data // Astin Bulletin. 2007. № 2 (37). http://www.actuaries.org/LIBRARY/ASTIN/vol37no2/475.pdf

76. Genest C., Quessy J.F., Remillard B. Goodness-of-fit procedures for copula models based on the integral probability transformation // Scandinavian Journal of Statistics. 2006. 33. P. 337-366.

77. Genest C., Remillard B., Beaudoin D. Goodness-of-fît tests for copulas: a review and a power study // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. № 2 (44). P. 199-213.

78. Genest C., Remillard B. Tests of Independence and Randomness Based on the Empirical Copula Process // Test. 2004. № 2. P. 335 369.

79. Genius M., Strazzera E. The Copula Approach to Sample Selection Modelling: An Application to the Recreational Value of Forests. 2004. http://ssrn.com/abstract=546522

80. Ghosh A. Cointegration and Error Correction Models: Intertemporal Causality between Index and Futures Prices // The Journal of Futures Markets. 1993. № 2 (13). P. 193-198.

81. Ghoudi K., Khoudraji A., Rivest L.-P. Propriétés statistiques des copules des valeurs extremes bidiminsionnelles // The Canadian Journal of Statistics. 1998. № 1 (26). P. 187- 197.

82. Glidden D.V. Checking the adequacy of the gamma frailty model for multivariate failure times // Biometrica. 1999. № 86. P. 381-393.

83. Gumbel E. J. Bivariate exponential distributions // Journal of the American Statistical Association. 1960. № 55. P. 698-707.

84. Harvey A. Dynamic Distributions and Changing Copulas. 2008. CWPE 0839. http://www.econ.cam.ac.uk/dae/repec/cam/pdf/cwpe0839.pdf

85. Hennessy D., Lapan H. The Use of Archimedean Copulas to Model Portfolio Allocations // Mathematical Finance. 2002. № 12. P. 143-154.

86. Hofert M. Sampling Archimedean Copulas // Computational Statistics and Data Analysis. 2008. № 52. P. 5163 5174.

87. Houle M. The Relevant-Set Correlation Model for Data Clustering. 2008. www.siam.org/proceedings/datamining/2008/dm0870-houle-rev.pdf

88. Hsu Ch.-Ch., Tseng Ch.-P., Wang Y.-H. Dynamic Hedging with Futures: A Copula-based GARCH Model. 2007. http://ssrn.com/abstract= 1083890

89. Huffer F., Park C. A Test for elliptical symmetry // Journal of Multivariate Analysis. 2007. № 98. P. 256 281.

90. Joe H. Multivariate Models and Dependence Concepts, Monographs on Statistics and Applied Probability 73. Chapman and Hall. London. 1997.

91. Jouanin J.-F., Ribouler G., Roncalli Th. Financial Applications of Copula Functions // Szego G. (ed). Risk Measures for the 21st Centuiy. 2004. http://ssrn.com/abstract—1 032588

92. Junker M., May A. Measurement of aggregate risk with copulas // The Econometrics Journal. 2005. № 8. P. 428-454.

93. Junker M., Szimayer A., Wagner N. Nonlinear Term Structure Dependence: Copula Functions, Empirics, and Risk Implications. 2003. http://ssrn.com/abstract-407240

94. Kalman R. A new approach to linear filtering and prediction problems // Journal of basic Engineering. 1960. № 82. P. 34 45.

95. Kim G., Silvapulle M., Silvapulle P. Comparison of semiparametric and parametric methods for estimating copulas // Computational Statistics and Data Analysis. 2007. № 51. P. 2836-2850.

96. Kiwitt S., Neumeyer N. Nonparametric copula density estimation: testing for independence and other applications. University of Hamburg. 2008. www.math.uni-hamburg.de/research/papers/prst/prst2008-02.pdf

97. Kole E., Koedijk K., Verbeek M. Selecting Copulas for Risk Management. 2006. http://ssrn.com/abstract-920870

98. Kyle A.S. Continuous Auctions and Insider Trading // Econometrica. 1985. №53. P. 1315 1335.

99. Laforge Ch. Construction of multivariate copulas and the compatibility problem. 2008. http://ssrn.com/abstract-956041

100. Laforge Ch. M-Pivot copulas: Multivariate copulas defined on their 2-margins. 2008. http://ssrn.com/abstract-977991

101. Lai Y., Chen C., Gerlach R. Optimal dynamic hedging via copula-threshold-GARCH models // Mathematical Computation and Simulation. 2009. № 79 (8). P. 2609-2624.

102. Laurent J.-P., Gregory J. Basket Default Swaps, CDO's and Factor Copulas. 2003. http://laurent.jeanpaul.free.fr

103. Liebscher E. Semiparametric density estimators using copulas // Communications in Statistics Theory and Methods. 2005. № 34. P. 59 -71.

104. Liebscher E. Construction of asymmetric multivariate copulas // Journal of Multivariate Analysis. 2008. № 99. P. 2234 2250.

105. Lien D. Cointegration and the optimal hedge ratio: the general case // The Quarterly Review of Economics and Finance. 2004. № 44. P. 654-658.

106. Lintner J. The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets // The Review of Economics and Statistics. 1965. № 47. P. 13-37.

107. Lintner J. Securities Prices, Risk and Maximal Gains from Diversification // The Journal of Finance. 1965. № 40. P. 587-615.

108. Longin F., Solnik B. Correlation Structure of International Equity Markets During Extremely Volatile Periods. Mimeo. Group HEC. 1998. http://www.hec.lr/var/fre/storage/original/application/ed3704c78bea6863 If4dc769d554aled.pdf

109. Malevergne Y., Sornette D. Testing the Gaussian copula hypothesis for financial assets dependencies // Quantitative Fianance. 2003. № 3. P. 231250.

110. Markowitz H. Foundations of Portfolio Theory. Nobel Lecture. December 7. 1990. http://nobelprize.org/nobelprizes/economics/laureates/1990/markowitz-lecture.pdf

111. Markowitz H. Portfolio selection // Journal of Finance. 1952. № 7. P. 7791.

112. Masala G., Menzietti M., Micocci M. Pricing credit derivatives with a copula-based actuarial model for credit risk // Economia. Societa ed istituzioni. 2005. № 1 (5). P. 79-102. http://ssrn.com/abstract=968682

113. McNeil A.J., Frey R., Embrechts P. Quantitative Risk Management, Princeton University Press, Princeton, NJ. 2005.

114. Mello A., Parsons J. Hedging and Liquidity // The Review of Financial Studies. 2000. № 1 (13). P. 127-153.

115. Merton R. An Intertemporal Capital Asset Pricing Model // Econometrica. 1973. №41. P. 867-887.

116. Merton R. Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous Time Case // Review of Economics and Statistics. 1969. № 51. P. 247-257.

117. Merton R. Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous-Time Model // Journal of Economic Theory. 1971. № 3. P. 373-413.

118. Meucci A. Estimation of Structured t-Copulas. 2008. www.symmys.com

119. Modugno M., Nikolaou K. The forecasting power of international yield curve linkages. 2007. http://ssrn.com/abstract== 1095369

120. Mönch E. Forecasting the Yield Curve in a Data-Rich Environment: A No-Arbitrage Factor-Augmented VAR Approach. 2006. http://ssrn.com/abstract=676909

121. Morone M., Cornaglia A., Mignola G. Economic Capital Assessment via Copulas: Aggregation and Allocation of Different Risk Types. 2007. http://www.riskwhoswho.com/Resources/MignolaGiulio 1 .pdf

122. Mossin J. Equilibrium in a Capital Asset Market // Econometrica. 1966. №34. P. 768-783.

123. Mossin J. Optimal Multiperiod Portfolio Policies // The Journal of Business. 1968. № 41. P. 215-229.

124. Myers R., Hanson S. Optimal Dynamic Hedging in Unbiased Futures Markets // American Journal of Agricultural Economics. 1996. № 1 (78). P. 13-20.

125. Natale F. Optimization With Tail-Dependence and Tail Risk: A Copula Based Approach For Strategic Asset Allocation. 2006. http://ssrn.com/abstract:=942275

126. Nelsen R. An Introduction to Copulas. Second Edition. Springer. New York. 2006.

127. Nelson C., Siegel A. Parsimonious Modeling of Yield Curves // The Journal of Business. 1987. № 4 (60). P. 473 489.

128. Ng W. Modeling duration clusters with dynamic copulas // Finance Research Letters. 2008. № 5. P. 96 103.

129. Nikoloulopoulos A., Karlis D. Copula Model Evaluation Based on Parametric Bootstrap // Computational Statistics and Data Analysis. 2008. №52. P. 3342-3353.

130. Okhrin O., Okhrin Y., Schmid W. Properties of Hierarchical Archimedean Copulas. SFB 649 Discussion Paper 2009-014. 2009. http://sfb649.wiwi.hu-berlin.de/papers/pdf/SFB649DP2009-014.pdf

131. Pages H. Interbank Interest Rates and The Risk Premium. BIS WP № 81. 1999. http://www.bis.org/publ/work81.pdf

132. Patel K., Pereira R. The Determinants of Default Correlations // Advances in Econometrics: Econometrics and Risk-Management. 2008. № 22. P. 123-158.

133. Patton A. Modelling Asymmetric Exchange Rate Dependence // International Economic Review. 2006. № 2 (47). P. 527 556.

134. Perron P. Dealing with Structural Breaks // Palgrave Handbook of Econometrics. 2005. №1. http://swsl.bu.edu/perron/papers/dealing.pdf

135. Pooter M., Ravazzolo F., Van Dijk D. Predicting the Term Structure of Interest Rates. Incorporating parameter uncertainty, model uncertainty and macroeconomic information. 2007. http://ssrn.com/abstract=967914

136. Prefontaine J., Desrochers J. How Useful Are Banks' Earnings-At-Risk and Economic Value Of Equity-At-Risk Public Disclosures? // International Business & Economics Research Journal. 2006. № 5 (9). P. 87-94.

137. Remillard B., Scaillet O. Testing for Equality Between Two Copulas // Journal of Multivariate Analysis. 2009. № 100. P. 377 386.

138. RiskMetrics. Technical Document. J.P.Morgan/Reuters. Fourth Edition. New York. 1996.

139. Rosenberg J., Schuermann T. A. General Approach to Integrated Risk Management with Skewed, Fat-Tailed Risks // Journal of Financial Economics. 2006. № 79. P. 569-614.

140. Rosenblatt M. Remarks on a Multivariate Transformation // The Annals of Mathematical Statistics. 1952. № 3 (23). P. 470-472.

141. Samuelson P. Lifetime Portfolio Selection by Dynamic Stochastic Programming // Review of Economics and Statistics. 1969. № 51. P. 239246.

142. Sanddorf-Koehle W., Friedmann R. A conditional distribution model for limited stock index returns // Econometric Society 2004 Far Eastern Meetings 437, Econometric Society. 2004. http://ideas.repec.Org/p/ecm/feam04/437.html

143. Sarathy R., Muralidher K., Parsa R. Pertubating Nonnormal Confidental Attributes: The Copula Approach // Management Science. 2002. № 12 (48). P. 1613- 1627.

144. Savu C., Ng W. The SCoD Model: Analyzing Durations with a Semiparametric Copula Approach // International Review of Finance. 2005. № 1-2 (5). P. 55-74.

145. Savu C., Trede M. Hierarchical Archimedean Copulas. Munster. 2006. www.uni-konstanz.de/micfmma/conference/Files/papers/SavuTrede.pdf

146. Savu C., Trede M. Goodness-of-fit test for parametric families of Archimedean copulas // Quantitative Finance. 2008. № 2 (8). P. 109 -116.

147. Shih J.H. A goodness-of-fit test for association of bivariate survival model //Biometrica. 1998. № 85. P. 189-200.

148. Slclar A. Fonctions de repartition a n dimensions et leurs marges. Publications de 1'Instituí de Síaíisíique de l'Universite de París. 1959. № 8.P. 229-31.

149. Sklar A. Random Variables, Disíribuíion Functions, and Copulas: Personal Look Backward and Forward // Lecture Notes-Monograph Series. 1996. №28. P. 1 14.

150. Smith M. Modelling sample selection using Archimedean copulas // Economeirics Journal. 2003. № 6. P. 99 123.

151. Sun J., Frees E,, Rosenberg M. Heavy-tailed longitudinal data modeling using copulas // Insurance: Mathematics and Economics. 2008. № 42. P. 817-830.

152. Tang A., Valdez E. Economic Capital and the Aggregation of Risks using Copulas. Sydney. 2006. www.ica2006.com/Papiers/282/282.pdf

153. Tobin J. Liquidity Preference as Behavior Toward Risk // Review of Economic Studies. 1958. № 26. P. 65-86.

154. Tsukahara H. Semiparametric estimation in copula models // The Canadian Journal of Statistics. 2005. № 3 (33). P. 357-375.

155. Representatives, GAO/GGD-98-153. 1998. URL: www.gao.gov/cgi-bin/getrpt?GGD-98-153.

156. Van den Goorbergh R., Genest C., Werker B. Bivariate option pricing using dynamic copula models // Insurance: Mathematics and Economics. 2005. №37. P. 101-114.

157. Vasicek O.A. An Equilibrium Characterization of the Term Structure // Journal of Financial Economics. 1977. № 5. P. 177 188.

158. Wang Sh. Discussions of papers already published: "Understanding relationships using copulas", by E. Frees and E.Valdez, Jan. 1998 // North American Actuarían Journal. 1999. № 1 (3). P.137-141.

159. Whelan N. Sampling from Archimedean Copulas // Quantitative Finance. 2004. № 3 (4). P. 339-352.

160. Zezula I. On Multivariate Gaussian Copula // 8th Tartu conference on multivariate statistics (Conference Proceedings). 2007. www.ms.ut.ee/tartu07/presentations/zezula.pdf