Модели и методы управления параметризованной структуры тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Фесько, Олесь Владимирович

• Фесько, Олесь Владимирович
• кандидат технических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат технических наук Фесько, Олесь Владимирович

Оглавление

Введение

1 Модели параметризации задач управления

1.1 Постановка задачи

1.2 Сведение задачи оптимального управления к задаче нелинейного программирования

1.3 Задача оптимального управления с нефиксированными моментами переключений

1.4 Учет фазовых ограничений

1.5 Выбор начального приближения

1.5.1 Дискретизация непрерывной системы

1.6 Методы улучшения дискретного оптимального управления

2 Методы управления

2.1 Алгоритм на основе декомпозиции области управления

2.2 Алгоритм решения задачи оптимального управления на основе достаточных условий оптимальности

2.3 Программная реализация алгоритмов

3 Вычислительные эксперименты и приложения

3.1 Тестовые задачи

3.1.1 Задача с нефиксированными моментами переключений

3.1.2 Нештатная посадка вертолета

3.1.3 Задача с фазовым ограничением

3.2 Приложение модели к преобразованию вырожденных задач оптимального управления

3.2.1 Предельная и производная системы

3.2.2 Преобразование с использованием семейства производных систем

3.2.3 Пример. Преобразование управляемого уравнения Шредингера

3.3 Прикладные задачи

3.3.1 Подпитываемый биореактор по производству пенициллина

3.3.2 Управление экзотермической химической реакцией в реакторе идеального вытеснения

3.3.3 Нелинейная модель системы из двух химических реакторов с непрерывным перемешиванием

3.3.4 Задача об оптимизации бифункциональной каталитической смеси

3.3.5 Оптимальное производство белка в биореакторе

3.3.6 Реактор идеального вытеснения с сингулярным управлением

3.3.7 Задача с последовательной реакцией

3.3.8 Задача с параллельной реакцией

Заключение

Список литературы

Приложения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели и методы управления параметризованной структуры»

Введение

Известно, что математическое моделирование и проблема принятия решений при исследовании разнообразных процессов и систем тесно взаимосвязаны между собой. С этой целью строятся математические модели объектов, удобные для применения математических методов, в том числе методов современной теории оптимального управления, основы которых составляют принцип максимума Л .С. Понтрягина [56], метод динамического программирования [4], достаточные условия В.Ф. Кротова [40], [41]. Во многих достаточно регулярных случаях типичное предположение о классе процессов управления, в котором ищется оптимальное управление (предположение о кусочной непрерывности, при котором строятся такие модели), дает возможность непосредственной практической реализации получаемых решений. Однако также типичны и нерегулярные ситуации, характерные для нелинейных систем, когда решение в рассматриваемом классе не достигается, и речь идет о бесконечной минимизирующей последовательности, причем число переключений управления и/или величина управляющего воздействия неограниченно растет. Разумеется, возможны и регулярные случаи, при которых число переключений оптимального управления ограничено, но достаточно велико, либо оно меняется слишком быстро с точки зрения применения реальных управляющих устройств.

В таких случаях встает проблема изменения исходной модели так, чтобы она учитывала возможности практической реализации. Естественный путь ее решения — параметризация программ управления, когда

множество допустимых составляют параметрические семейства процессов определенного типа с достаточно богатым набором параметров. При этом получаются модели и задачи той или иной общности. Как частный случай параметризации выступает дискретизация непрерывных систем путем задания на дискретных шагах непрерывного управления постоянным, линейным и возможно более сложным (с большим числом параметров).

В диссертации подробно рассматриваются дискретизованные модели управления простой структуры с постоянным и линейным законом изменения на шагах. Они приводят к двухуровневым дискретно-непрерывным моделям, как частным случаям более общего класса моделей, ориентированных на представление и исследование разнообразных систем неоднородной структуры [25], [26], [58], которые широко представлены в литературе под различными терминами, такими как системы переменной структуры [33], дискретно-непрерывные системы [43], логико-динамические системы [8], гибридные системы [61], импульсные процессы [46] и т.п.

Часто к дискретизации прибегают для приближенного решения задач оптимального управления, непрерывных в исходной постановке (например, с помощью развитых пакетов нелинейного программирования [91]), однако область применения подобных моделей значительно шире.

В частности, в диссертации предлагается применение дискретизован-ной модели с кусочно-постоянным управлением для эффективного преобразования непрерывной системы с неограниченными управляющими воздействиями и соответствующей ей вырожденной задачи оптимального управления к новой модели, регулярной с точки зрения применения известных общих методов оптимального управления.

При этом для решения задач управления дискретными однородными системами в общем случае не разработано аналога принципа максимума, что делает актуальным развитие и применение конкретных методов их ре-

шения на основе общих достаточных условий Кротова для дискретных систем [3], [18], [21], [40].

Для оптимизации дискретизованных систем применимы подходы, основанные на методах нелинейного программирования для оптимизации динамических систем [13], [30], [32].

Диссертационная работа посвящена развитию и применению указанных подходов, в частности, разработке прикладного программного обеспечения для приближенного решения задач оптимального управления на кластерной высокопроизводительной системе.

К настоящему времени разработано большое число приближенных методов решения задач; их можно условно разделить на следующие группы.

К первой группе относятся методы, основанные на сведении задачи оптимального управления к краевой задаче за счет необходимых условий оптимальности (с применением принципа максимума Понтрягина или вариационного анализа). Описание данного подхода содержится в работах Г.Л. Гроздовского, Ю.Н. Иванова, В.В. Токарева, H.H. Моисеева, А. Брай-сона, Хо Ю-Ши, Ф.Л. Черноусько, В.Б. Колмановского, Р.П. Федоренко, Ф.П. Васильева, А.И. Тятюшкина, A.A. Любушина, В.А. Срочко, О.В. Васильева, В.А. Терлецкого, A.B. Аргучинцева [2, 5, 6, 10, 11,16, 45,48, 49, 50, 51,52, 53, 60, 67, 77].

Вторую группу составляют градиентные методы в пространстве управлений [5, 7, 9, 38, 43, 59, 67, 78, 79, 124], иногда в виде модификаций методов штрафных функций, условного градиента, возможных направлений, проекции градиента или сопряженных градиентов [5, 29, 31, 35, 55, 66, 67].

В основе методов третьей группы лежит метод динамического программирования [12,47,48,53,67]. Из разновидностей этого подхода выделяют метод локальных вариаций [44,76] и метод блуждающей трубки [48].

Четвертую группу составляют методы, основанные на применении алгоритмов нелинейного программирования к задачам оптимального управления, представленным в конечномерной форме [32, 53, 57]. В работе Ю.М. Ермольева, В.П. Гуленко [34] сведение задачи оптимального управления к конечномерной задаче осуществлено с помощью замены дифференциального оператора конечно-разностным. Вопрос об аппроксимации оптимального управления кусочно-постоянными функциями рассматривается в работе Ю.Н. Иванова [36]. В некоторых методах производится аппроксимация управления при помощи ортогональных функций или полиномов: и (t) « ^/Ii (0' ГДе {Ф/ (0) — семейство N ортогональных функций или полиномов [96, 107, 108, 110, 128, 129, 130, 131, 133]. Иногда таким способом аппроксимируется не только управление, но и траектории [82,84,100,101,106,107,108,112,126]. Как следствие, первоначальная задача оптимального управления сводится к задаче оптимизации, которая заключается в поиске параметров {a¡ (í)}. Выбирая разные {0/ (0} > мы получаем разные методы. Типичные примеры ортогональных функций: полиномы Чебышева [87, 111, 119], ряд Фурье [92, 120, 126] и Тейлора [99, 121, 123, 127], функции Уолша [83, 84, 85, 105], полиномы Ле-жандра [86, 102, 135] и Ляггера [101], сплайны [103, 107, 110] и некоторые другие [96, 129, 130, 131, 133, 136]. Однако наибольшей популярностью пользуется метод, при котором аппроксимируется только управление [134].

К пятой группе относятся методы, основанные на принципе расширения. С его помощью были сформулированы достаточные условия оптимальности. В основополагающей работе [43, 39] была предложена общая схема итеративного поиска функции Кротова. Эта работа послужила толчком к созданию целого ряда алгоритмов. Первые такие алгоритмы описаны в работах [39, 40, 42, 43]. Позже был разработан алгоритм последовательных улучшений, серия методов первого и второго порядков

слабого и сильного улучшений [3, 18, 21].

Наряду с указанными вычислительными методами решения задач оптимального управления стоит выделить класс так называемых мулъти-методных алгоритмов. В их основе лежит идея применения в процессе решения не одного выделенного алгоритма, а последовательности различных методов, за счет чего ожидается повышение эффективности процесса вычислений. В работах А.И. Тятюшкина [64, 65] предлагается использование последовательности алгоритмов в диалоговом режиме, когда пользователь самостоятельно определяет алгоритм вычисления на каждом шаге оптимизации. Иная схема предложена в работе А.И. Тятюшкина и А.Ю. Горнова [15], в основе которой лежит параллельный запуск нескольких алгоритмов с последующим выбором наилучшего решения по заданному критерию и последующим повторением этой процедуры до достижения оптимума. Позднее, в работе В.И. Гурмана и Д.В. Белышева [20] были предложены многометодные интеллектуальные процедуры поиска оптимального управления — методика, заключающаяся в построении цепочек алгоритмов, содержащих в себе наряду с вычислительными процедурами, интеллектуальные операторы, управляющие дальнейшим процессом оптимизации.

Одновременно с развитием вычислительных методов решения задач оптимального управления велась разработка программных средств их решения: программный комплекс CONTROL (Р.П. Федоренко, B.C. Попов, ИПМ АН СССР им. Келдыша); программный комплекс ДИСО — «Диалоговая Система Оптимизации», в котором были реализованы методы сведения к задаче математического программирования (Ю.Г. Евтушенко, Н.И. Грачев, ВЦ АН СССР, блок «Оптимальное управление»); пакет прикладных программ ППП ЛЗОУ для линейных задач (А.И. Тятюшкин, ИрВЦ СО РАН); ППП МАПР — «Математическое программирование в многомерных задачах» (А.И. Тятюшкин, ИрВЦ СО РАН); пакет «ППП

для ЗОУ», реализующий методы, основанные на достаточных условиях оптимальности (В.И. Гурман, В.А. Бутурин); ППП КОНУС — «Комплексная Оптимизация Нелинейных Управляемых Систем» (А.И. Жо-лудев, ИрВЦ СО РАН, ЕС ЭВМ); программный комплекс OPTCON, в котором реализован мультиметодный подход решения ЗОУ (А.Ю. Горнов, ИДСТУ СО РАН), программный комплекс ISCON, в котором задействованы высокопроизводительные вычисления для приближенного решения задач улучшения и оптимизации законов управления динамическими системами (В.И. Гурман, Е.А. Трушкова, ИПС им. А.К. Айлама-зяна РАН); модуль RIOTS для MATLAB — «Recursive Integration Optimal Trajectory Solver» (A. Schwartz, E. Polak, Y. Chen); комплекс SOCS — «Sparse Optimal Control Software», реализующий алгоритмы последовательного квадратичного программирования (J. Betts, Boeing Computer Services); комплекс PDECON (К. Schittkowski, University of Bayreuth); DONLP2, LANCELOT, MINOS, SNOPT, LOQO (J. More, A. Bondarenko, D. Bortz, Argonne National Laboratory); комплекс MISER3, основанный на идеологии параметризации управления (K.L. Тео, C.J. Goh, Hong Kong Polytechnic University); пакет DIRCOL, реализующий методы редукции к задаче математического программирования (О. von Stryk, Technische Universität Darmstadt); пакет MINOPT для решения широкого круга оптимизационных задач (С. Schweiger, С. Floudas, CASL laboratory, Department of Chemical Engineering at Princeton University); коммерческий модуль PROPT для MATLAB для оптимизации динамических систем (Tomlab OPtimization Inc.); модуль DOTcvp для MATLAB для решения ЗОУ на основе сводения к задаче нелинейного программирования (Т. Hirmajer, Е. Balsa-Canto, J.R. Banga).

Большинство существующих методов оптимизации предназначены для поиска локального оптимума (требуя при этом хорошего начального приближения), однако на практике при решении задач оптимального

управления сталкиваются с проблемой многоэкстремальности. Методы поиска глобального экстремума в задачах оптимального управления сейчас находятся в стадии теоретической разработки. Одним из подходов к решению этой проблемы служит идея случайного мулътистарта [14].

Несмотря на значительные усилия многих специалистов, которые направлены на построение новых численных процедур поиска оптимума, решение практических прикладных задач оптимального управления до сих пор продолжает оставаться трудной злободневной проблемой. Одна из причин состоит в том, что разработанные алгоритмы часто требуют больших затрат машинного времени и объемов оперативной памяти. В сочетании с усовершенствованием вычислительных методов решением данной проблемы может служить применение высокопроизводительных вычислений.

Целью диссертационного исследования является разработка моделей управления простой структуры на основе параметризации управления, их программно-алгоритмическая реализация в виде параллельных алгоритмов и апробация на тестовых и прикладных задачах.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Разработка моделей управления простой структуры как дискретно-непрерывных с кусочно-постоянным и кусочно-линейным управлением на дискретных шагах.

2. Разработка параллельных алгоритмов для поиска приближенно оптимального управления с использованием метода мультистарт и для поиска начального приближения управления на основе достаточных условий оптимальности Кротова.

3. Создание программного комплекса, реализующего предлагаемые алгоритмы на высокопроизводительной кластерной системе семейства

«СКИФ», с соответствующим интерфейсом.

4. Разработка модели преобразования вырожденных задач оптимального управления к регулярным.

5. Проведение вычислительных экспериментов на тестовых и прикладных задачах.

Методы исследования включают численные методы решения задач Коши (метод Рунге-Кутта и метод Рунге-Кутта-Фельберга с адаптивным шагом), задач конечномерной оптимизации (метод наискорейшего спуска, метод Ньютона-Рафсона), достаточные условия оптимальности Кротова, принципы расширения и локализации Гурмана [18]. При программной реализации параллельных алгоритмов в среде OpenTS использовались языки программирования С++, Т++. Интерфейс созданного ПК «SControl» выполнен с использованием Visual С++.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общее количество страниц — 106, рисунков — 31, таблиц — 6, наименований в списке литературы — 136.

В первой главе строится параметризованная модель управления кусочно-постоянными и кусочно-линейными функциями, предлагается применение различных подходов к исследованию соответствующих задач оптимального управления. Теоретически обосновывается возможность сведения задачи оптимального управления к задаче нелинейного программирования. Рассматривается задача управления с нефиксированными моментами переключений, а также предлагается подход к решению задачи оптимального управления, который учитывает фазовые ограничения. Непрерывная задача оптимального управления преобразуется к эквивалентной дискретно-непрерывной.

Во второй главе представлены вычислительные алгоритмы решения поставленной задачи двумя алгоритмами, а именно: параллельный алго-

ритм поиска приближенно оптимального управления с помощью параметрических множеств управлений простой структуры на основе метода мультистарт и параллельный алгоритм поиска начального параметрического управления на сетке значений параметров в допустимой области и дальнейшего улучшения найденного управления с помощью алгоритма 1.

В третьей главе строится модель с кусочно-постоянным управлением для исследования важного класса вырожденных задач оптимального управления, дающая возможность их практической реализации. Также решается ряд тестовых и прикладных задач из области химической и биохимической инженерии (подпитываемый биореактор по производству пенициллина, управление экзотермической химической реакцией в реакторе идеального вытеснения, нелинейная модель системы из двух химических реакторов с непрерывным перемешиванием, задача об оптимизации бифункциональной каталитической смеси, оптимальное производство белка в биореакторе, реактор идеального вытеснения с сингулярным управлением, задачи с последовательной и параллельной реакцией). Исследована эффективность параллельных версий программ, приводится сравнение полученных результатов с известными.

В заключении представлены основные положения, выносимые на защиту, научная новизна, практическая и теоретическая значимость результатов, апробация, публикации и личный вклад автора, связь исследований с научными программами.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю к.ф.-м.н. Трушковой Екатерине Александровне, к.ф.-м.н. Расиной Ирине Викторовне и д.т.н., профессору Гурману Владимиру Иосифовичу за проявленное внимание к работе.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Фесько, Олесь Владимирович

Заключение

Основные научные результаты, полученные в диссертации:

1. Разработаны модели управления параметризованной структуры с кусочно-постоянными и кусочно-линейными функциями.

2. Построены параллельные алгоритмы последовательного улучшения и поиска начального приближения для предлагаемых моделей на основе достаточных условий оптимальности Кротова.

3. Разработана модель с кусочно-постоянным управлением для преобразования вырожденных задач оптимального управления к регулярным, получены решения модельных задач, которые иллюстрируют сравнительную эффективность предложенных подходов.

Научная новизна результатов. Новыми являются:

- разработанные и ориентированные на параллельные вычисления методы и алгоритмы улучшения управления на основе параметризации управления, поиска начального приближения управления на основе достаточных условий оптимальности;

- модель с кусочно-постоянным управлением для преобразования вырожденных задач оптимального управления к регулярным;

- полученные результаты численного исследования содержательных примеров и прикладных задач, которые иллюстрируют высокую эффективность разработанных методов на суперкомпьютерах семейства «СКИФ».

Теоретическая и практическая значимость результатов, полученных в диссертации, заключается в разработке методического, алгоритмического и программного обеспечения для решения задач управления, позволяющего реализовать предлагаемые подходы к поиску приближенных решений в среде параллельных вычислений, повышая тем самым показатели эффективности при решении прикладных задач.

На основании результатов работы разработан программный комплекс «5Соп1:го1 1.0» и человеко-машинный интерфейс, который обеспечивает взаимодействие пользователя с суперЭВМ и предназначенный для удаленного решения задач оптимизации динамических систем на множествах управлений простой структуры. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012613687 от 19 апреля 2012 года. Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс НОУ ВПО «Университет города Переславля». Апробация работы:

- Молодежная научная конференция «Наукоемкие информационные технологии», «Университет города Переславля» им. А.К. Айламазяна, г. Переславль-Залесский, 22-25 апреля 2009 г.;

- Молодежный симпозиум с международным участием «Теория управления: новые методы и приложения», г. Переславль-Залесский: ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский, 22-26 сентября 2009 г.;

- Международная научная конференция «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ) 2010», Уфимский государственный авиационный технический университет, г. Уфа, 29 марта-2 апреля 2010 г.;

- Школа-семинар «Приближенные методы оптимального управления в параллельных вычислениях», ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский, 2-5 января 2011 г.;

- Международная научная конференция «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ) 2011», Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, г. Москва, 28 марта-1 апреля 2011 г.;

- IV сессия научной школы-практикума молодых ученых и специалистов «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования», Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, г. Санкт-Петербург, 12-15 апреля 2011 г.;

- Школа-семинар «Модели, оптимизация и приложения импульсных и гибридных систем», г. Геленджик, 2-6 октября 2011 г.;

- Международная научная конференция «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ) 2012», Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН, г. Новосибирск, 26-30 марта 2012 г.;

- Семинары молодых ученых в рамках международных конференций ПаВТ'2010, ПаВТ'2011, ПаВТ'2012;

- International Young Scientists Conference "High Performance Computing and Simulation", Netherlands, Amsterdam, Universiteit van Amsterdam, Science Park 123, 2-6 april 2012;

- Школа-семинар «Модели и методы исследования гетерогенных систем», г. Геленджик, 24-29 сентября 2012 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ, включая статьи в журналах, трудах конференций, школ, среди которых [27, 28, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 94, 95], получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ (см. Приложения). Статьи [73, 74, 95] представлены в журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. В работе [27] автором решалась задача управления квантовой системой. В работе [28] автором проводилась оптимизация природоохранной деятельности в водосборном бассейне реки с использованием двухуровневой модели сетевой структуры.

Связь исследований с научными программами. Результаты диссертационной работы использованы при выполнении следующих проектов:

• проекты РФФИ (№09-01-00170-а «Вырожденные задачи оптимального управления» (2009-2011 гг.), №12-01-00256-а «Исследование импульсных и гибридных управляемых систем на основе дискретно-непрерывных моделей» (2012-2014 гг.), №12-01-16088-мобзрос);

• научно-исследовательская разработка «Методы исследования гибридных систем с переменной структурой» (номер государственной регистрации - 01201255131);

• НИОКР «Параллельный алгоритм оценки приближенно оптимальных управлений» (контракт с НИУ ИТМО JVfcll.G34.31.0019) в рамках 220-го Постановления Правительства Российской Федерации «О мерах по привлечению ведущих ученых в российские образовательные учреждения высшего профессионального образования»;

• научно-техническая программа Союзного государства «Разработка и использование программно-аппаратных средств Грид-технологий перспективных высокопроизводительных (суперкомпьютерных) вычислительных систем семейства «СКИФ» (шифр «СКИФ-ГРИД»), подпроект «Многовариантные расчеты стратегии устойчивого развития Байкальского региона с применением ПК 15С(Ж на суперЭВМ «СКИФ» (2010 г.);

• проект РГНФ «Системный анализ стратегий устойчивого развития 3 на примере Бурятской части Байкальского региона» №11-02-00171

2011 г.—н.в.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Фесько, Олесь Владимирович, 2013 год

Список литературы

[1] Аграчев A.A., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. М.: Физматлит, 2005.

[2] Аргучинцев A.B., Васильев О.В. Итерационные процессы принципа максимума и их модификации в системах с распределенными параметрами // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № 6. С. 797-803.

[3] Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения. Новосибирск: Наука, 1997. 175 с.

[4] Беллман Р. Динамическое программирование. Изд-во ин. лит., 1960. 400 с.

[5] Брайсон Д., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления / Пер. с англ. М.: Мир, 1972. 544 с.

[6] БудакБ.М., Васильев Ф.П. Некоторые вычислительные аспекты задач оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1975. 172 с.

[7] Васильев О.В. Лекции по методам оптимизации. Иркутск: Изд-во Иркутск. ун-та, 1994. 344 с.

[8] Васильев С.Н. Теория и применение логико-управляемых си-стем./С.Н. Васильев // Труды 2-ой Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» (SICPRO'03).— 2003— С. 23-52.

[9] Васильев О.В., Аргучинцев A.B. Методы оптимизации в задачах и упражнениях. М.: Физматлит, 1999. 208 с.

[10] Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения. 4.2. Оптимальное управление. Новосибирск: Наука, 1990. 151 с.

[11] Васильев О.В., ТятюшкинА.И. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном на принципе максимума // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1981. № 6. С. 1376-1384.

[12] Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. 549 с.

[13] Габасов Р. Конструктивные методы оптимизации. 4.1: Линейные задачи. /Р. Габасов, Ф.М.Кириллова. А.И. Тятюшкин — Минск: Университетское, 1984,—207 с.

[14] Горнов А.Ю. Реализация метода случайного мультистарта для задачи оптимального управления // «Ляпуновские чтения». Тез. докл. Иркутск, 2003. С. 38.

[15] Горнов А.Ю., Тятюшкин А.И. Программная реализация мультиме-тодной технологии для задач оптимального управления // Проблемы управления и моделирования в сложных системах, Тр. III междунар. конф., ИПУСС РАН, Самара, 2001, 301-307

[16] Гроздовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета с малой тягой. М.: Наука, 1966. 679 с.

[17] Гурман В. И. Вырожденные задачи оптимального управления: монография/ В.И. Гурман — М.: Наука, 1977,—304с.

[18] Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. 2-е изд. М.: Наука, Физматлит, 1997. 288 с.

[19] Гурман В.И. Метод кратных максимумов и условия оптимальности особых экстремалей // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. №, 11.

[20] Гурман В.И., Белышев Д.В. Интеллектуальные процедуры оптимального управления // Автомат, и телемех. 2002. № 5. С. 147-155.

[21] Гурман В.И., Батурин В.А., Расина И.В. Приближенные методы оптимального управления. Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1983. 180 с.

[22] Гурман В.И., Квоков В.Н., Ухин М.Ю. Приближенные методы оптимизации управления летательным аппаратом // Автоматика и телемеханика. 2008. № 4. С. 191-201.

[23] Гурман В.И., Ни Минь Кань. Вырожденные задачи оптимального управления. I, II, III // Автомат, и телемех. 2011. № 3, с. 36-50. № 4, с. 57-70. № 5, с. 32-46.

[24] Гурман В.И., Ни Минь Кань. Траектории импульсных режимов управляемых систем// Изв. ИГУ. 2009. Т. 2. №1. С. 170-182.

[25] Гурман В. И.. Сложные процессы. / В.И.Гурман, И.В.Расина //В кн.: Методы решения задач оптимального управления на основе принципа расширения: монография— Новосибирск: Наука— 1990.— С. 84-94.

[26] Гурман В.И. Дискретно-непрерывные представления импульсных решений управляемых систем / В.И.Гурман, И.В.Расина // Автомат, и телемех.— 2012— №8— С. 16-29.

[27] Гурман В.И., Расина И.В., Фесько О.В. О практических преобразованиях вырожденных задач оптимального управления // Электронный научный журнал «Программные системы: теория и приложения»—

Переславль-Залесский: Институт программных систем имени А.К. Айламазяна Российской академии наук.— 2013— №2— С. 1-11.

[28] Гурман В.И., Расина И.В., Фесько О.В. Моделирование водоохранных мероприятий в бассейне реки // Вестн. Бурят, гос. ун-та. - 2013. - С. 4-15.

[29] Гюрджиев В.Г. Метод возможных направлений для решения задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями. М., рукопись депонирована в ВИНИТИ 18.09.1980, №4099-80 Деп.

[30] Горбунов В.К. О сведении задач оптимального управления к конечномерным./ В.К.Горбунов // Журнал выч. мат. и мат. физ.— 1978— Т. 18. №5— С. 1083-1095.

[31] Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Приближенные методы решения экстремальных задач. Л.: Изд-во ЛГУ, 1968. 180 с.

[32] Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. 432 с.

[33] Емельянов C.B. Теория систем с переменной структурой: монография /под ред. C.B. Емельянова. М.: Наука, 1970 -592 с.

[34] Ермольев Ю.М., Гуленко В.П. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления // Кибернетика, 1967. №3. С. 1-20.

[35] Зойтендейк Г. Методы возможных направлений. Изд-во иностранной литературы, 1963. 176 с.

[36] Иванов Ю.Н. Ступенчатая аппроксимация оптимальных управлений // Прикл. мат. и мех., 1964, Т. 28, №3, С. 528-533.

[37] В. Н. Квоков, Е. А. Труилкова, М. Ю. Ухин Метод улучшения управления на имитационной модели объекта и его приложение к задаче оптимизации маневров нештатной посадки вертолета // Сборник

научных трудов «Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С. П. Королева». 2009. № 1. С. 161-169.

[38] Келли Г.Дж. Метод градиентов // Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета. М.: Наука, 1965. С. 101-116.

[39] Кротов В.Ф. Вычислительные алгоритмы решения и оптимизации управляемых систем уравнений. I, II // Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1975. № 5, с. 3-15. № 6, с. 3-13.

[40] Кротов В.Ф. Достаточные условия оптимальности для дискретных управляемых систем // Докл. АН СССР. 1967. Т. 172. № 1. С. 18-21.

[41] Кротов В.Ф. Методы решения вариационных задач на основе достаточных условий абсолютного минимума. I - IV // Автомат, и телемех. 1962, т. 23, № 12, с. 1571-1583. 1963, т. 24, № 5, с. 81-598. 1963, т. 24, № 7, с. 826-843. 1965, т. 26, № 1, с. 24-41.

[42] Кротов В.Ф., Букреев В.З., Гурман В.И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета. М.: Машиностроение, 1969. 288 с.

[43] Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. 448 с.

[44] Крылов H.A., Черноусько Ф.Л. Решение задач оптимального управления методом локальных вариаций // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1966. Т. 6. № 2. С. 203-217.

[45] Любушын A.A., Черноусько Ф.Л. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления // Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1983. № 2. С. 147-159.

[46] Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями. М.: Наука, 2005. 429 с.

[47] Моисеев H.H. Методы динамического программирования в теории оптимальных управлений. I. Системы, допускающие использование шкалы управлений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т.4, №3, С. 485-494.

[48] Моисеев H.H. Численные методы теории оптимальных управлений, использующие вариации в пространстве состояний // Кибернетика, 1966. №3. С. 1-29.

[49] Моисеев H.H. Численные методы, использующие вариацию в пространстве состояний. Тр. Межд. конгресса математиков, 1966. М.: Мир, 1968. С. 602-626.

[50] Моисеев H.H. Численные методы теории оптимального управления. Изд-во ВЦ АН СССР, 1968, 161 с.

[51] Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969. 379 с.

[52] Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971. 424 с.

[53] Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975. 528 с.

[54] Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974. 376 с.

[55] Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. 382 с.

[56] Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов: монография / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко— М.: Физматгиз, 1961,— 391 с.

[57] Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. 320 с.

[58] Расина И.В. Дискретно-непрерывные модели и оптимизация управляемых процессов. / И.В. Расина // Электронный научный журнал «Программные системы: теория и приложения»— Переславль-Залесский: Институт программных систем имени А.К. Айламазяна Российской академии наук.— 2011— №5(9)— С. 49-72. URL: http://psta.psiras.ru/read/ psta2011_5_49-72.pdf.

[59] Cea Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973. 244 с.

[60] Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.: Физматлит, 2000. 160 с.

[61] Точилин П. А. Задачи достижимости и синтеза управлений для гибридных систем./ П.А. Точилин , А.Б. Куржанский —М.: МГУ, 2008,—176 с

[62] Трушкова Е.А. Алгоритмы глобального поиска оптимального управления // Автомат, и телемех. 2011. № 6. С. 151-159.

[63] Трушкова Е.А. Оценка приближенно оптимальных решений на основе преобразований модели объекта // Вестник Бурятского государственного университета. Вып. 9: Матем. и информатика. 2011. С. 47 -51.

[64] Тятюшкин А.И. Мультиметодная технология и параллельные вычисления в задачах оптимального управления // Методы оптимизации и их приложения, Тр. XII Байк. междунар. конф. (Иркутск, Байкал, 2001), Т.2, С. 172-178.

[65] Тятюшкин А.И. Многометодная технология оптимизации управляемых систем. Новосибирск: Наука, 2006. 343 с.

[66] Федоренко Р.П. Метод проекции градиента в задачах оптимального управления. М., 1975. 70 с. (Препр. / Ин-т прикл. матем. АН СССР; № 45).

[67] Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 408 с.

[68] Фесько О.В. Оптимизация динамических систем на множестве кусочно-постоянных управлений // Наукоемкие информационные технологии: Труды молодежной научно-практической конференции / УГП им. А.К. Айламазяна. Переславль-Залесский: Изд-во «Университет города Переславля», 2009. С. 206-217.

[69] Фесько О.В. Параллельный алгоритм оптимизации динамических систем с управлением // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2010): Труды международной научной конференции (Уфа, 29 марта - 2 апреля 2010 г.) [Электронный ресурс] - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2010. С. 689.

[70] Фесько О.В. Программный комплекс оптимизации динамических систем на множествах управлений // Программные системы: теория и приложения: электронный научный журнал. 2010. №4(4). С. 53-66.

[71] Фесько О.В. Программный комплекс поиска оптимальных управлений на множествах простой структуры // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2011): Труды международной научной конференции (Москва, 28 марта - 1 апреля 2011 г.) [Электронный ресурс] - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2011. С. 712.

[72] Фесько О.В. Алгоритм вычисления оценок приближенно оптимальных управлений простой структуры // Программные системы: теория и приложения: электронный научный журнал. 2011. №5(9). С. 83-89.

[73] Фесъко О.В. Параллельный алгоритм оптимизации динамических систем на множестве кусочно-линейных управлений // Вестник Бурятского гос. ун-та. Вып. 9: Матем. и информатика. 2010. С. 79-87.

[74] Фесько О.В. Алгоритм поиска кусочно-линейного управления с нефиксированными моментами переключений // Вестник Бурятского гос. ун-та. Вып. 9: Матем. и информатика. 2011. С. 52-56.

[75] Фесько О.В. Параллельное вычисление оценки приближенно оптимальных управлений // Вестник Южно-Уральского государственного университета. No46(305): Вычислительная математика и информатика. 2012. С. 56-66.

[76] Черноусько Ф.Л., Баничук В.П. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973. 238 с.

[77] Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления // Итоги науки и техн. Матем. анализ. Т. 14. М.: ВИНИТИ, 1977. С. 101-166.

[78] Шатровский Л.И. Об одном численном методе решения задач оптимального управления // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1962. Т. 2. № 3. С. 488-491.

[79] Энеев Т.М. О применении градиентного метода в задачах теории оптимального управления // Космич. исследования. 1966. Т. 4. вып. 5. С. 651-669.

[80] Balsa-Canto Е. Algoritmos Eficientes para la optimización dinamica de procesos distribuidos // PhD thesis, University of Vigo, Vigo, Spain, 4 2001.

[81] Banga J.R., Irizarry-Rivera R., Seider W.D. Stochastic optimization for optimal and model-predictive control // Computers and Chemical Engineering. 22(10). 1998. P. 603-612.

[82] Chang Y.F., Lee T. T. General orthogonal polynomials approximation of the linear-quadratic-guassian control design. Int. J. Control 43(1986), 18791895.

[83] Chen C.F., Hsiao C.H. Design of piecewise constant gains for optimal control via Walsh functions. IEEE Trans. Automatic Control AC-20( 1975), 596-603.

[84] Chen C.F., Hsiao C.H. Walsh series analysis in optimal control. Int. J. Control 216(1975), 881-897.

[85] Chen C.F., Shih Y.P. Analysis and optimal control of time-varying linear systems via Walsh functions. Int. J. Control 27(1978), 917-932.

[86] Chou J.H. Application of Legendre series to the optimal control of integro-diiferential equations. Int. J. Control 45(1987), 269-277.

[87] Chou J.H., Horng I.R. Application of Chebyshev polynomials to the optimal control time-varying linear systems. Int. J. Control 41(1985), 135144.

[88] Cuthrell J.E., Biegler L. T. Simultaneous optimization and solution methods for batch reactor control profiles. Computers and Chemical Engineering 13(1989), 49-62.

[89] Cizniar M., Salhi D., Fikar M., Latifi M.A. DYNOPT — dynamic optimisation code for matlab 11 Proceedings of Technical Computing Prague, 2005.

[90] Dadebo S.A., McAuley K.B. Dynamic optimization of constrained chemical engineering problems using dynamic programming // Computers chem. Engng. 19(5). 1995, 513-525.

[91] Evtushenko Yu.G., Grachev N.I. A library of programs for solving optimal control problems // Comput. Maths. Math. Phys., Pergamon Press, Vol. 19, № 2, pp. 313-316.

[92] Endow T. Optimal control via fourier series of operational matrix integration. IEEE Trans. Automatic Control AC-347(1989), 770-773.

[93] Fikar M., Calik K. Automatic differentiation with DYNO // 15th Int. Conference Process Control. 3. 2005, 1-9.

[94] Fesko O. A parallel approach to improvement and estimation of the approximate optimal control // Proceedings of High Performance Computing and Simulation. 2012.

[95] Fesko O. A parallel approach to improvement and estimation of the approximate optimal control // Journal of Computational Science 3(6), 2012, 486-491, DOI: 10.1016/j.jocs.2012.08.014.

[96] Goh C.J., Teo K.L. Control parametrization: a unified approach to optimal control problems with general constraints. Automatica 24 (1988), 3-18.

[97] Gurman V.I. Singularization of control systems // Singular solutions and perturbations in control systems (Pereslavl-Zalessky, 1997), 5-12, IFAC Proc. Ser., IFAC, Laxenburg, 1997.

[98] Hirmajer T., Balsa-Canto E., Banga J.R. DOTcvp: Dynamic Optimization Toolbox with Control Vector Parameterization approach for handling continuous and mixed-integer dynamic optimization problems // Technical report. 2010. 66 p.

[99] Horng I.R., Chou J.H., Tsai R.Y. Taylor series analysis of linear optimal control systems incorporating observers. Int J. Control 44(1986), 12651272.

[100] Hsu N.S., Cheng B. Analysis and optimal control of time-varying linear systems via block-pulse functions. Int. J. Control 33(1981), 1107-1122.

[101] Hwang C., Chen M.Y. Laguerre series direct method for variational problems. Journal of Optimization Theory and Applications 39(1983), 143-149.

[102] Hwang C., Chen M. Y. Analysis and optimal control of time-varying linear systems via shifted Legendre polynomials. Int. J. Control 41(1985), 13171330.

[103] Jacobson D.H., Mayne D.Q. Differential Dynamic Programming. American Elsevier Pub. Comp., New York, 1970.

[104] Jaczson R. Optimal use of mixed catalysts for two successive chemical reactions // Journal of Optimization Theory and Applications. 2(1), 1968. P.:27-39.

[105] Kawaji S., Tada R.I. Walsh series analysis in optimal control systems incorporating observes. Int. J. Control 373(1983), 455-462.

[106] Kekkeris G.T., Paraskevopoulos P.N. Hermite series approach to optimal control. Int. J. Control 47(1988), 557-567.

[107] Kraft D. Comparing mathematical programming algorithms based on Lagrangian functions for solving optimal control problems. In Control Applications of Nonlinear Programming, H.E. Rauch, Ed. Pergamon Press, New York, 1980, 71-84.

[108] Kraft D. On converting optimal control problems into nonlinear programming problems. In Computational Mathematical Programming — NATO ASI Series, Vol. F15, K. Schittkowski, Ed. Springer-Verlag, New York, 1985, 261-280.

[109] Larrosa J.A.E. New heuristics for global optimization of complex bioprocesses. PhD thesis, 2008. 235 p.

[110] Litt EX., Delcommune J. Implementation of spline approximations algorithms in numerical optimal control. Presented at IFAC Applications of Nonlinear Programming to Optimization and Control, Palo, Alto, Ca, USA (1983).

[111] Liu C.C., Shih Y.P. Analysis and optimal control of time-varying systems via Chebyshev polynomials. Int. J. Control 38(1983), 1003-1012.

[112] Liu C.C., Shih Y.P. System analysis, parameter estimation, and optimal regulator design of linear system via Jacobi series. Int. J. Control 42(1985), 211-224.

[113] Logsdon J.S., Biegler L.T. Accurate solution of differential-algebraic optimization problems. Chem. Eng. Sci. 28(1989), 1628-1639.

[114] Luus R. Iterative Dynamic Programming. Boca Raton, Chapman and Hall/CRC 2000. 344 p.

[115] Luus R. Application of dynamic programming to differential-algebraic process systems. Computers and Chemical Engineering, 17(1993), 373377.

[116] Luus R., Dittrich J., Keil F.J. Multiplicity of solutions in the optimization of a bifunctional catalyst blend in a tubular reactor // Can. J. Chem. Eng. 70. 1992. P. 780-785.

[117] Moskovsky A., Roganov V., Ahramov S. Parallelism granules aggregation with the T-system // 9th International Conference on Parallel Computing Technologies. LNCS 4671, 2007. P. 293-302.

[118] Murphy et dl. (2010) M. Murphy., S. Montangero, V. Giovannetti, T. Calarco. Communication at the Quantum Speed Limit Along a Spin Chain. Phys. Rev. Lett., 2010. URL:http://arxiv.org/abs/1004.3445vl.

[119] Paraskevopoulos P.N. Chebyshev series approach to systems identification, analysis and optimal control. Journal of Franklin Institute 3162(1983), 135-157.

[120] Paraskevopoulos P.N., Sparis P.D., Mouroutsos S.G. The fourier series operational matrix of integration. International Journal of Systems Science 16(1985), 171-176.

[121] Paraskevopoulos P.N., Tsirikos A.S., Arvanitis K.G. New Taylor series approach to state-space analysis and optimal control of linear systems. Journal of Optimization Theory and Applications 71(1991), 315-340.

[122] Park S., Ramirez W.F. Optimal production of secreted protein in fed-batch reactors // AIChE J. 34. 1988. P. 1550-1558.

[123] Perng M.H. An effective approach to the optimal control problem for time-varying linear systems via Taylor series. Int J. Control 44(1986), 1225-1231.

[124] Polak E. An historical survey of computational methods in optimal control. SLAM Review 15 (1973), 553-584.

[125] Rajesh J., Gupta K., Kusumakar H.S., Jayaraman V.K., Kulkarni B.D. Dynamic optimization of chemical processes using ant colony framework // Computers and Chemistry. 25. 2001, 583-595.

[126] Razzaghi M. Optimal control of linear time-varying systems via fourier series. Journal of Optimization Theory and Applications 65(1990), 375384.

[127] Razzaghi M., Razzaghi M. Taylor series direct method for variational problems. Journal of Franklin Institute 325(1988), 125-131.

[128] Rosen O., Luus R. Evaluation of gradients for piecewise constant optimal control. Computers Chem. Engng. 154 (1991), 273-281.

[129] Sargent R.W., Sullivan G.R. The development of an efficient optimal control package. In Optimization Techniques — Part 2, J. Stoer, Ed. Springer-Verlag, New York, 1978, 158-168.

[130] Sirisena H.R. Computation of optimal controls using a piecewise polynomial parameterization. IEEE Trans. Automatic Control AC-18(1973), 409-411.

[131] Sirisena H.R., Tan K.S. Computation of constrained optimal controls using parameterization techniques. IEEE Trans. Automatic Control AC-19(1974), 431-433.

[132] Ko D.Y.C.y Stevens W.F. Study of singular solutions in dynamic optimization. AIChE J. 17(1971), 160-166.

[133] Teo K.L., Goh C.J., Wong K.H. A Unified Computational Approach to Optimal Control Problems. Longman Scientific and Technical, 1991.

[134] Vassiliadis V.S., Sargent R.W.H., Pantelides C.C. Solution of a class of multistage dynamic optimization problems. Industrial and Engineering Chemistry Research 33(9), 1994, 2111-2133. 333-340.

[135] Wang M.L., Chang R.Y. Optimal control of lumped-parameter systems via shifted Legendre polynomials approximation. Journal of Optimization Theory and Applications 45(1985), 313-324.

[136] Wong K.H. Nonlinearly constrained optimal control problems. J. Austral Math. Soc. Ser. B33(1992), 507-530.