Методы и алгоритмы оптимизации динамических систем, описываемых линейными уравнениями с управляемыми коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Батурина, Ольга Владимировна

• Батурина, Ольга Владимировна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Батурина, Ольга Владимировна

Оглавление

Введение

1. Основы теории

1.1. Достаточные условия оптимальности и улучшения управления В.Ф. Кротова для непрерывных систем

1.2. Глобальный метод улучшения

1.3. Вырожденные задачи.

Разрывные (импульсные) и магистральные решения

1.4. Достаточные условия оптимальности и улучшения для дискретно-непрерывных систем

2. Оптимизация систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями

2.1. Постановка задачи

2.2. Билинейная система и гамильтонова система

2.3. Необходимые условия оптимальности

(в форме принципа максимума Понтрягина)

2.4. Особенности реализации глобального метода

улучшения управления

2.5. Вычислительные эксперименты

2.6. Квантовая система

2.7. Основные результаты главы

3. Оптимизация дискретно-непрерывных систем

3.1. Линейные по состоянию дискретно-непрерывные системы. Постановка задачи

3.2. Достаточные условия оптимальности и улучшения

3.3. Итерационный алгоритм

3.4. Пример. Экономический рост с учетом инноваций

3.5. Приложение к нелинейным системам

3.6. Пример

3.7. Основные результаты главы

4. Исследование глобального метода улучшения применительно к магистральным решениям билинейной задачи оптимального управления

4.1. Билинейная задача оптимального управления. Постановка задачи

4.2. Переход к производной задаче

4.3. Итерационный алгоритм

4.4. Дискретно-непрерывное представление

магистрального решения

4.5. Пример

4.6. Оптимизация передачи возбуждения в спиновой цепочке с использованием магистральных решений

4.7. Основные результаты главы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы и алгоритмы оптимизации динамических систем, описываемых линейными уравнениями с управляемыми коэффициентами»

Введение

К настоящему времени теория оптимального управления, возникшая на рубеже 50-х, 60-х годов прошлого века, стала полноценной математической дисциплиной, а ее основные результаты - принцип максимума Понтрягина и метод динамического программирования Беллмана - классическими. Однако прямое использование указанного аппарата сопряжено со значительными трудностями, и построение аналитических решений задач оптимального управления возможно лишь в отдельных случаях. Поэтому важное значение имеют приближенные и численные методы итерационного типа для исследования и решения оптимизационных задач. Исторически в этой области определились и активно развиваются различные подходы и направления исследований в зависимости от их теоретических основ, каковыми являются общие методы вариационного исчисления и оптимального управления.

Еще в начале 1950-х гг. A.A. Фельдбаум сформулировал задачу оптимального управления динамической системой [194, 195]. Основополагающими результатами математической теории оптимального управления, как уже указывалось, являются принцип максимума Л.С. Понтрягина [162, 163], метод динамического программирования Р. Беллмана [31], а также достаточные условия оптимальности В.Ф. Кротова [121, 124].

Большой вклад в становление теории оптимального управления внесли A.A. Милютин [148, 149], A.A. Красовский [117], H.H. Красовский [119, 118], А.Б. Куржанский [134, 135]. Основы теории активных систем разработаны в работе [44].

Большую группу численных методов составляют методы градиентного типа [204, 205, 124, 193] и их разнообразные модификации [215, 224, 139, 71, 158, 47, 98, 192, 193, 4].

Другое направление, основанное на принципе расширения и достаточных условиях оптимальности, получило развитие в работах В.Ф. Кротова и В.И. Гурмана [124] и в серии работ их последователей. В них предложен

ряд новых нетрадиционных схем, которые используют линейное и линейно-квадратичное задание функции Кротова и соответственно делятся на методы первого и второго порядков [78, 84, 17, 18, 81, 188].

В работах [83, 12, 69] исследуются методы улучшения, основанные на локальной аппроксимации множества достижимости. Для систем с линейным неограниченным управлением существует преобразование исходной задачи к производной, первое упоминание о которой было в работе [72]. Алгоритмы улучшения для систем с неограниченным управлением приведены в работах [84, 101, 102]. Прямое использование достаточных условий оптимальности в форме Беллмана [124] невозможно из-за известного эффекта проклятия размерности. В работе [89] предлагается интересная схема частичного решения указанной проблемы путем задания функции Кротова в форме многомерных полиномов и глобальной аппроксимацией в заданной области соотношений типа Беллмана на некоторой сетке узлов.

Эпоха освоения космоса привела к необходимости расчета траекторий перелета с одной планеты Солнечной системы на другую и разработки алгоритмов передвижения шагающих аппаратов по поверхностям других планет. Особенность указанных задач состоит в том, что на заданном отрезке времени управляемый процесс разбивается на отдельные этапы, каждый из которых имеет свое описание в терминах дифференциальных (либо дискретных) уравнений. Все эти этапы связаны общим функционалом. Такие процессы получили название дискретно-непрерывных, в частном случае - многоэтапных. В настоящее время их часто называют гибридными.

В работе В.И. Гурмана [73] впервые была приведена математическая модель дискретно-непрерывного процесса и сформулированы достаточные условия оптимальности. Модель такого процесса содержит два уровня. Нижний уровень представляет собой непосредственное описание управляемого процесса. На этом уровне действует непрерывная модель. Верхний уровень в ряде случаев создается искусственно в виде дискретного процесса, связывающего моменты изменения описания исходной системы управления. На этой основе разработана серия приближенных численных методов, которыми возможно практическое исследование столь сложных процессов [67, 79, 81, 168].

Как уже отмечалось, многие реальные объекты управления, в том числе и непрерывные, по своей природе таковы, что в различных ситуациях проявляют различные свойства и плохо представимы или вообще не пред-

ставимы целиком в терминах классических дифференциальных систем. К ним относятся объекты, описываемые дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями, дифференциальными уравнениями различных порядков на различных временных отрезках, либо содержащие, кроме дифференциальных уравнений, объекты другой природы. Спектр подобных объектов достаточно широк: системы переменной структуры [107], дискретно-непрерывные системы [73], непрерывно-дискретные [55], многоэтапные процессы [67], логико-динамические системы [226, 54, 33, 34, 35], импульсные процессы [200, 103, 208, 146] и, наконец, возникший в последние годы термин "гетерогенные системы". В [45] рассматриваются непрерывно-дискретные системы как обобщающий (самый общий и самый сложный) класс сложных систем и называются такие системы агрегативными. Подобные объекты объединяются в настоящее время общим термином - гибридные системы. Как указывается в [220], этот термин возник в 1993 году. Сам термин "гибридные системы" не является устоявшимся, на это обращается внимание в [143], и разные исследователи вкладывают в него разный смысл. Так в [227] под терминами "импульсные и гибридные" понимаются разные динамические системы, а в [144] уточняется, какие именно гибридные системы рассматриваются. Хотя следует заметить, что авторами работы [211] была предпринята попытка классификации указанных систем.

Существуют также процессы подобного вида, описываемые дискретными уравнениями [168]. В этом случае модели верхнего и нижнего уровней дискретные.

В работе К.Н. Габелко [67] приведен первый алгоритм градиентного типа для решения многоэтапной задачи и решена задача космического перелета Земля-Марс. С помощью аналогичного метода также была решена задача оптимизации химического процесса [3]. Позднее в работах В.И. Гурмана и А.Г. Орлова [76, 79] были приведены более общая модель и достаточные условия оптимальности и решена задача управления шагающим аппаратом. Затем в работе [169] впервые построен для сложных процессов метод улучшения второго порядка.

В статье [170] приведены достаточные условия оптимальности как в форме Кротова, так и в форме Веллмана. Сочетание этих условий и специальное преобразование части приращения функционала позволило построить алгоритм второго порядка, содержащий меньшее число сопряженных переменных

на каждом этапе по сравнению с более ранними вариантами метода для частного случая дискретно-непрерывного процесса. В [170, 171] рассматривались достаточные условия оптимальности для сложных процессов с параметрами и процессов с запаздыванием по состоянию. Для последних получен алгоритм градиентного типа.

Другие подходы к оптимизации гибридных процессов, как процессов в логико-динамических системах, развиваются в [53] и в [35]. В статье [56] рассматриваются гибридные системы, описываемые нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с переключениями правых частей и скачками по состоянию.

В конце 1980-х, в 1990-ые годы и в первые годы 21-го века, с одной стороны, шла шлифовка разработанных методов, а с другой - продолжался процесс создания новых алгоритмов по ранее описанным направлениям. В монографии [51] наряду с методами решения экстремальных задач подробно освещаются итерационные процессы, основанные на принципе максимума. Большое внимание уделено градиентным методам и задаче с дополнительными функциональными ограничениями. Широкий спектр методов и их приложения для решения практических задач представлены в [17]. Там же, помимо изложения методов улучшения и исследования вопросов их настройки, рассматриваются вопросы сходимости.

Своеобразным итогом и обобщением многолетних исследований достаточных условий оптимальности и методов улучшения, построенных на базе достаточных условий оптимальности, служит монография В.Ф. Крото-ва [219]. В ней, в частности, описан общий метод глобального улучшения управления и его конкретная реализация с линейной разрешающей функцией, оказавшаяся особенно эффективной в приложении к управлению квантовыми системами [216].

В монографии В.А. Срочко [179] для классов линейных и квадратичных задач проводится их анализ на основе нелокальных представлений для приращения функционала. Строятся итерационные процедуры улучшения на основе этого анализа. Для повышения качества методов вводится итеративная регуляризация целевого функционала. Кроме того, рассматриваются методы линеаризации и аппроксимации для сведения задачи к рассматриваемым классам. Эти методы развиваются в работах A.C. Булдаева [41, 43, 42].

К нелокальным следует также отнести процедуры улучшения в вырож-

денных задачах оптимального управления, которые характеризуются наличием пассивных дифференциальных связей. Их исключение не меняет искомого решения задачи, но приводит к задаче меньшего порядка (производной задаче). При этом известные локальные улучшения в производной задаче автоматически ведут к нелокальным в исходной [75, 93].

Другие подходы к решению задач улучшения, использующие схемы динамического программирования, представлены в [151, 197, 152].

Развитие вычислительной техники, появление суперкомпьютеров создало предпосылки для активного использования в задачах улучшения и приближенно-оптимального синтеза схем многомерной аппроксимации уравнения Беллмана, непосредственное использование которого связано с катастрофическим ростом объемов вычислений и памяти с увеличением размерности решаемой задачи. В.Ф. Кротовым впервые предложена схема приближенного синтеза с оценкой на основе достаточных условий оптимальности [120]. Она может реализоваться с помощью различных аппроксимирующих конструкций.

Одна из них - композиция одномерных полиномов - предложенная и реализованная в свое время в [38, 39, 74], позволяет проводить интерполяцию на прямоугольной сетке. Другие варианты интерполяции функции Кротова--Беллмана рассмотрены в [84]. Наиболее широкие возможности для применения разнообразных конструкций предоставляет аппроксимация по методу наименьших квадратов. Сами аппроксимирующие конструкции при этом тоже могут улучшаться. Разные аспекты такого подхода рассматривались в [88, 191]. Последний вариант подобной схемы, как уже указывалось, дан в работе [89].

Теми же методами возможно приближенное аналитическое представление моделей объектов управления, необходимое для применения методов теории управления, как точных, так и приближенных, в то время как в реальности эти модели зачастую представлены сложными зависимостями, в том числе эмпирическими, табличными, и компьютерными программами. Наглядным примером может служить модель вертолета при оптимизации режимов нештатной посадки [32, 90].

Отметим, что в связи с этим повысился интерес к дискретизации непрерывных систем - переходу от непрерывной модели к дискретной на ранних стадиях исследования задачи, а не в конце, при численном интегрировании

конечных дифференциальных соотношений оптимального процесса. Такое преобразование модели управляемой системы позволяет обойти обременительные теоретико-функциональные требования в применяемых схемах аппроксимации и оценках приближенных решений. Кроме того, в терминах постановки дискретной задачи оптимального управления и соответствующих достаточных условий возможна интерпретация самых разнообразных задач. Эти вопросы затрагивались в работах [73, 82]. Дискретные модели естественно используются для применения развитых методов нелинейного программирования к решению задач оптимального управления [105, 66, 70].

Как известно, выбор начального приближения, достаточно близкого к оптимуму, играет важную роль при проведении расчетов любым итерационным методом. Общих методик и рекомендаций на этот счет не существует. Однако для вырожденных задач, широко распространенных на практике, предлагается в качестве начальных приближений находить магистральные решения таких задач специальными методами [86, 87].

Изложенное говорит о том, что развитие, использование, апробация и применение итерационных процедур для решения задач оптимального управления остаются по-прежнему актуальными.

Цель исследования. Данная работа посвящена развитию и применению в итерационных процедурах метода Кротова глобального улучшения управления для систем, линейных по состоянию.

Основные задачи исследования. 1. Экспериментальное исследование глобального метода применительно к гамильтоновым системам, линейным по состоянию, и выработка рекомендаций по его совершенствованию и расширению областей применения. 2. Распространение метода на дискретно-непрерывные задачи оптимального управления. 3. Модификация метода применительно к вырожденным задачам с неограниченным линейным управлением. 4. Разработка вычислительных процедур для решения модельных и прикладных задач.

Методы исследования. В работе используются достаточные условия оптимальности Кротова для непрерывных систем, модели и условия оптимальности дискретно-непрерывных систем, принципы расширения и локализации, теория вырожденных задач Гурмана.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общее количество страниц

-100, рисунков - 26, таблиц - 16, наименований в списке литературы - 227.

В первой главе рассматривается общая постановка задачи оптимального управления, методы ее решения. Приводятся понятия вырожденной задачи и магистрального решения. Рассматривается дискретно-непрерывная система и достаточные условия оптимальности для нее.

Во второй главе исследуются характерные свойства линейных дифференциальных систем с управляемыми коэффициентами, их динамические инварианты и ограничения области достижимости, существенные для проблем управления, свойства понтрягинских экстремалей данного класса задач, численные методы оптимизации управления. Рассматривается применение метода Кротова для таких задач, решаются экспериментальные примеры.

В третьей главе предлагается итерационный метод оптимизации процессов в линейных по состоянию дискретно-непрерывных системах (ДНС), разработанный на основе аналога достаточных условий оптимальности Кротова и минимаксной схемы нелокального улучшения. В частности, он сводится к новому по сути методу для дискретных систем. Рассматриваются возможности приложения к общим нелинейным системам путем аппроксимаций системами рассматриваемого класса. Приводятся примеры.

В четвертой главе рассматриваются задачи оптимизации для билинейных непрерывных систем. С учетом специфики таких задач (вырожденность, магистральный характер решений) предлагается применять нелокальный итерационный метод Кротова в сочетании с преобразованием Гурмана-Дыхты к регулярной производной задаче, что существенно повышает эффективность этого метода. Предлагаемая процедура иллюстрирутся на представительном примере.

В заключении приводятся основные результаты работы. По материалам диссертации были представлены доклады на следующих научных конференциях и семинарах: "Методы оптимизации и их приложения". Ссверобай-кальск, 2008. III Всероссийская молодежная научная конференция по проблемам управления. Москва, 2008. 32-я конференция молодых ученых и специалистов ИППИ РАН "Информационные технологии и системы". Москва, 2009. Молодежный симпозиум с международным участием "Теория управления: новые методы и приложения". Переславль-Залесский, 2009. VI школа-семинар молодых ученых "Управление большими системами". Ижевск, 2009. XI Международная конференция "Устойчивость и колебания нелинейных

систем управления "(конференция Пятницкого). Москва, 2010. VII Всероссийская школа-конференция молодых ученых "Управление большими системами". Пермь, 2010. Всероссийская конференция "Устойчивость и процессы управления". Санкт-Петербург, 2010. Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения - XXI" Современные методы теории краевых задач. Воронеж, 2010. III Международная конференция "Ин-фокоммуниционные и вычислительные технологии и системы". Улан-Удэ, 2010. Modeling and Simulation on systems, Улан-Батор, 2010. XV Байкальская международная школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск, 2011. Российско-монгольская конференция молодых ученых по математическому моделированию, вычислительно-информационным технологиям и управлению. Иркутск - Ханх, 2011. VIII Всероссийская школа-конференция молодых ученых "Управление большими системами". Магнитогорск, 2011. Школа-семинар "Модели, оптимизация и приложения импульсных и гибридных систем". Геленджик, 2011. VI Международный научный семинар GSSCP-2012 "Обобщенные постановки и решения задач управления". Геленджик, 2012. Всероссийская конференция "Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах". Санкт-Петербург, 2012. Российско-Китайский семинар "Теория оптимального управления и научные вычисления". Шанхай, 2012. X Всероссийская школа-конференция молодых ученых "Управление большими системами". Уфа, 2013. Numerical Computations: Theory and Algorithms. International Conference and Summer School. Фалерна, Италия, 2013. 5th IFAC International Workshop on Periodic Control Systems. Кан, Франция, 2013. Семинар Лаборатории 45 ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН (рук. проф. В.Ф. Кротов). Семинар ИПС им. А.К. Айла-мазянаРАН "Модели и методы теории управления"(рук. проф. В.И. Гурман). Основные результаты опубликованы в [18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 130, 131, 174, 175, 176].

Глава 1

Основы теории

В данной главе излагается кратко основной математический аппарат, используемый далее в работе.

1.1. Достаточные условия оптимальности и улучшения управления В.Ф. Кротова для непрерывных систем

Рассматривается задача оптимального управления в следующей постановке:

х = f(t,x,u), t е [ti,tF], = xi, x eRn, ue и с мг, (1.1.1)

I = F(x(tF)) -> inf. (1.1.2)

Отрезок [ti^tp], вектор ж/, вектор-функция f(t,x, u), функция F(x) и множество U заданы. Множество пар вектор-функций т = (x(t),u(t)), определенных на отрезке Т = [tj, tp] и удовлетворяющих перечисленным условиям (1.1.1), будем называть множеством допустимых процессов и обозначать через D. Предполагается, что f(t,x,u) непрерывна, u(t) кусочно-непрерывны, x(t) непрерывны, кусочно-дифференцируемы, множество D не пусто.

Заметим, что распространенная в литературе постановка задачи с интегральным функционалом

Т7,,-,\ f ХО fj. „ „ .\ J-l I 77" ( — /л \\

I \Ш) = J J {L, ib, Lb) CLi + Г {¿{bp))

T

легко сводится к данной простым преобразованием: добавлением к системе (1.1.1) дополнительной дифференциальной связи с соответствующим начальным условием

±° = /° (£, ж, и), (tj) = О, 12

иначе говоря, за счет увеличения размерности пространства состояний на единицу.

Одним из подходов к решению задачи (1.1.1)—(1.1.2) является решение задачи улучшения процесса. Имеется допустимый процесс га1. Требуется его улучшить, т.е. найти другой допустимый процесс га11, для которого /(m11) < /(m1). Решение этой задачи может быть использовано для построения численных методов оптимизации итеративного типа так, что на каждой s-й итерации обеспечивается выполнение условия I{ms+i) < I(ms). При этом если функционал ограничен снизу, то существует предел 7 = lim I(ms).

s->oo

Рассматриваемые подходы к решению сформулированных задач опираются на общие принципы расширения [124], локализации [78, 81, 82] и минимаксный принцип [126, 219].

Принцип расширения выражает следующее утверждение. Лемма 1.1.1. ([124]) Пусть имеются функционал I : M —> Ш, множество D см, последовательность {ms} с D, функционал L: m —»• R; множество EcMti число I такие, что:

1) D с Е; 2) L (m) ^ I (га) (в частности, L(m) = 1{т) при m g Dj;

3) l^L(m), me E; 4) I(ma) -> /.

Тогда

1) L(mu) < L{ml) =>■ /(m11) < /(m1); 2) l = inf L = inf I;

E D

3) L(ms) —>• l на любой минимизирующей I на D последовательности {ms}. Этот принцип состоит в замене исходной задачи (D, I) другой аналогичной задачей (E,L), в каком-то смысле более простой, которая и дает решение исходной задачи.

Принцип локализации состоит в том, чтобы сводить задачу улучшения к задаче оптимизации на приближенной упрощенной модели (описании функционала / на D) в окрестности улучшаемого элемента т1. Для того, чтобы решение не вышло из заданной окрестности, задача локализуется либо путем непосредственного сужения множества D, либо добавлением с определенным весом к I функционала J(ml,m) типа нормы, такого, что J(mI,mI) = О, J(mI,m) > 0 при m ^ га1. Получается вспомогательный функционал

1а(т) = (1 — ot)I{m) + aJ(mI, m), a G [0,1].

Тем самым "штрафуется" отклонение m от m1. В работах [108], [223] показано, что существует такое 0 < а < 1, что приближенная минимизация

вспомогательного функционала 1а(т) на упрощенной модели приводит к локальному уменьшению исходного функционала I. Другой путь - ввести дополнительное ограничение ^гп^т) ^ а, чтобы непосредственно выделить желаемую окрестность. В обоих случаях, меняя параметр а, можно добиться наиболее эффективного улучшения, т.е. его можно рассматривать как регулятор метода улучшения.

Минимаксный принцип состоит в задании функционала Ь так, чтобы он достигал максимума на ш1, тогда выбор любого элемента т ф т1 из Е, в том числе из О, например, из условия минимума Ь на Е, приведет к улучшению, точнее, обеспечит неравенство 1(т) ^ /(т1).

По принципу расширения В.Ф. Кротовым получены известные достаточные условия оптимальности и улучшения управления для задачи (1.1.1), (1.1.2). Вводится в рассмотрение скалярная функция </?(£,х), непрерывная и имеющая непрерывные частные производные, и строятся следующие конструкции [124]:

Я (£, х, и) = (£, х, и) + (рг, 8иР Я(^,х,и), (1.1.3)

(э^еБ^)

С (х) = ^ (х) + <р х)-<р (£/, х7), 1 = т! в (х) , (1.1.4)

tF

Ь = С (х(г^) - J Я (£, х (¿), и (£)) СЙ, (1.1.5)

и

где — вектор частных производных, фхг = д(р/дхг, — скалярное

произведение.

Легко убедиться, что функционал Ь совпадает на Б с / . В самом деле, при т ЕТ> имеем

/ (£, х(г),и (*)) = х, Я (£, х (£), и (£)) = (р^х + ^ = ^ (£, ж (£)),

п ^

Ь = ^ (х(^))+</> X (¿7, X (£/))- I -<р (£, х (£)) (И = ^ (х(^)) = /.

и

В этих терминах из принципа расширения вытекают следующие общие утверждения для рассматриваемой задачи. Теорема 1.1.1. Пусть имеется последовательность {ш5} = {х5 (£), щ (£)} СБ, и функция (р такие, что:

1) ¡1 (£) — кусочно-непрерывна;

Ю / (м №) - Л (*, ^ М, (£)) Л 0; и

3)С(х3) -)> /.

Тогда эта последовательность - минимизирующая, и любая минимизирующая последовательность удовлетворяет условиям 2), 3). Теорема 1.1.2. Пусть имеются два процесса т1 бБ и т11 Е Е и функция (р, такие, что

Я (¿, хи (¿), и11 (£)) > Я (г, ж1 (£), и1 (£)) , £ (хп(^)) < С (ж1^)) ,

ит11 е В. Тогда /(т11) < 1{т1).

Как известно, необходимые условия максимума Я и минимума С? на некотором процессе т^бБ (при условии, что и компактно)

ж*(£),и,(£)) = тахЕ(£,ж,(£),м), ЯД*, х*(£), «*(£)) = 0, ОДж*^)) = 0

совпадают с необходимыми условиями оптимальности т* в терминах принципа максимума Понтрягина

дх

с начальными условиями

</>(Ы = Ф, и) = «), (1-1-7)

где -0(£) = х*(£)). При этом

ЯХ = НХ + вх = Рх + ф{1Р). (1.1.8)

В этих условиях фигурируют лишь значения градиента (р в пространстве (х), в точках искомой оптимальной траектории.

1.2. Глобальный метод улучшения

Достаточные условия реализуются по минимаксному принципу в следующей общей процедуре. 1. Функция (р задается так, чтобы

Я(г,х1{г),и\г)) =ттЯ(1,х,и1)), (^(х1^)) = тахС(х). (1.2.1)

2. Находится

u(t,x) G maxR(t,x,u).

u€ U

3. Решается задача Коши

х = /(i, х, u(t, х)), x(tj) = хи

получается улучшенный процесс га11 = (xn(i), un(i)), wn(i) = u{t, xll(t)).

В частности, условия (1.2.1) могут быть выполнены как тождественные равенства

R(t, х, ul(t)) = const, G(x) = const, (1.2.2)

т.е. сводятся к задаче Коши для линейного уравнения в частных производных относительно <р с начальным условием на правом конце. В данной задаче неулучшаемым будет процесс, удовлетворяющий условиям принципа максимума Понтрягина.

1.3. Вырожденные задачи.

Разрывные (импульсные) и магистральные решения

В данном разделе рассматриваются понятия вырожденной задачи оптимального управления и магистрального решения для дальнейшего использования в других разделах. Многие задачи оптимального управления, в том числе некоторые из рассматриваемых в диссертации задач, обладают свойством вырожденности, т.е. содержат среди условий скрытые пассивные дифференциальные связи или дискретные цепочки, исключение которых понижает порядок задачи. Таким образом, искомое решение не изменяется при упрощении задачи. Траектория, соответствующая такому решению, называется магистралью [86]. Полученные магистральные решения могут быть в дальнейшем использованы как начальные приближения для искомой задачи.

В работах, посвященных теории вырожденных задач [93, 75, 86, 212], выявляются общие признаки вырожденности и предлагается подход, основанный на исключении пассивных связей и сведении задачи к регулярной. Особенно эффективным такой подход является, если пассивную связь можно исключить на всем промежутке времени. Тогда исходная задача полностью сводится к задаче меньшего порядка, которая называется производной. При понижении порядка решение производной задачи в общем случае не удовлетворяет всем граничным условиям исходной задачи. Полученная траектория

является инвариантной относительно определенного множества этих условий, так что их выполнение происходит разрывно. Пусть имеется система вида

х = д(ь,х.и) + к{ь,х)у, ¿еТ = [£/;£р], ие и(г,х),у ешк. (1-3 1)

Здесь к ^ п, /г — п х /с-матрица, имеющая ранг к. Ставится задача минимизации функционала / =

При некоторых дополнительных предположениях система (1.3.1) может быть преобразована к эквивалентной системе меньшего порядка. Для этого строится вспомогательная предельная система, которая характеризует поведение исходной системы при больших значениях ь:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Батурина, Ольга Владимировна, 2013 год

Список литературы

1. Абгарян К.А. Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем. М.: Вузовская книга, 2006.

2. Аввакумов С.Н., Киселев Ю.Н., Орлов М.В. Методы решения задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина // Тр. Матем. ин-та РАН. 1995. Т. 211. С. 3-31.

3. Агафонова И.АГулин Л.Л., Расина И.В. Математическое моделирование и оптимизация процесса метилирования динатриевой соли сульфа-мина антипирина. - Деп. в ВИНИТИ 10.11.78, №3457-98 ДЕП.

4. Антипин A.C. Об оценках скорости сходимости метода проекции градиента // Изв. вузов. Матем. 1995. №6. С. 16-24.

5. Антоник В.Г., Срочко В.А. Метод нелокального улучшения экстремальных управлений в задаче на максимум нормы конечного состояния // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49. №5. С. 791-804.

6. Аргучинцев A.B., Поплевко В.П. Оптимальное управление начальными условиями канонической гиперболической системы первого порядка на основе нестандартных формул приращения // Изв. вузов. Матем. 2008. М. С. 3-10.

7. Аргучинцев A.B., Дыхта В.А., Срочко В.А. Оптимальное управление: нелокальные условия, вычислительные методы и вариационный принцип максимума // Изв. вузов. Матем. 2009. №1. С. 3-43.

8. Арутюнов A.B., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Принцип максимума Понтрягина. Доказательство и приложения. М.: Факториал Пресс, 2006. 144 с.

9. Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин A.A., Чуканов С.А. Необходимое условие в оптимальном управлении. М.: Наука, 1990. 319 с.

10. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 2003. 615 с.

11. Ащепков Л.Т., Новосельский A.B., Тятюшкин А.И. Идентификация динамических систем как задача управления параметрами // Автоматика и телемеханика. 1975. №3. С. 178-182.

12. Батурин В. А., Гончарова Е. В. Метод улучшения, основанный на приближенном представлении множества достижимости. Теорема о релаксации// Автоматика и телемеханика. 1999. №11. С. 19-29.

13. Батурин В.А., Лемперт A.A., Урбанович Д.Е. Программная система идентификации динамических моделей // Матем. моделирование. 2004. Т. 16. №6. С. 110-113.

14. Батурин В.А., Малтугуева Н.С. Метод улучшения второго порядка для решения задач оптимального управления логико-динамическими системами // Автоматика и телемеханика. 2011. №4. С. 144-154.

15. Батурин В.А., Малтугуева Н.С. Модификации методов последовательных приближений для задач оптимального управления логико-динамическими системами // Автоматика и телемеханика. 2011. №6. С. 18-26.

16. Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Методы улучшения второго порядка для задач оптимального управления // Изв. РАН. Теория и системы управл. 1997. №3. С. 99-103.

17. Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения. Новосибирск: Наука, 1997. 175 с.

18. Батурина О.В. Билинейные динамические системы: исследование итеративных методов оптимизации // Пробл. управл. 2010. №5. С. 22-27.

19. Батурина О.В., Моржин О.В. Оптимальное управление системой спинов на основе метода глобального улучшения // Автоматика и телемеханика. 2011. №6. С. 79-86.

20. Батурина, О.В., Моржин О.В. Оптимизация управления квантовой системой на модели Ландау-Зинера// Программные системы: теория и приложения. 2011. 2:1. С. 51-61.

21. Батурина О.В., Булатов A.B., Моржин О.В. Алгоритмы нелокального улучшения управлений в классах нелинейных дифференциальных систем // Программные системы: теория и приложения. 2011. №5(9). С. 31-48.

22. Батурина О.В., Булатов A.B., Кротов В.Ф. Оптимизация линейных систем с управляемыми коэффициентами / / Тр. XI Между народи. Конф. "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления "(конференция Пятницкого). 1-4 июня 2010 г. Москва, ИПУ РАН.

23. Батурина О.В. Глобальный метод улучшения для задачи оптимального управления с невогнутым квадратичным функционалом и гамильтоно-вой системой уравнений // Тр. VII Всерос. школы-конф. молодых ученых "Управление большими системами". Пермь, 27-29 мая 2010 г. С. 11-15.

24. Батурина О.В. Сингулярный режим в задаче оптимизации линейных динамических систем с управляемыми коэффициентами // Всерос. Конф. "Устойчивость и процессы управления". Санкт-Петербург, 1-2 июля 2010 г. С. 61-62.

25. Батурина О. В. Решение задачи улучшения управления для линейных систем с управляемыми коэффициентами // Тез. Докл. Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения -XXI"СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ. Воронеж. 3-9 мая 2010 г. С. 29.

26. Батурина О.В. Влияние регуляризующего слагаемого на решение задачи улучшения управления линейными динамическими системами с управляемыми коэффициентами // Тр. III Мсждупар. конф. "Инфокоммуници-онные и вычислительные технологии и системы". Улан-Удэ. 5-7 сентября 2010 г.

27. Батурина О.В. Глобальный метод улучшения для задачи управления системой спинов // Тр. XV Байкальской междунар. школы-семинара "Ме-

тоды оптимизации и их приложения". Иркутск, 23-29 июня 2011 г. Т.5: Прикладные задачи. С. 6-9.

28. Батурина О.В., Моржин О.В. Методы нелокального улучшения управления в дифференциальных системах / / Тез. докл. Российско-монгольской конф. молодых ученых по математическому моделированию, вычислительно-информационным технологиям и управлению. Иркутск - Ханх, 17-21 июня 2011 г. С.11.

29. Батурина О.В. Глобальный метод улучшения управления квантомеха-нической системой // Тр. VIII Всерос. школы-конф. молодых ученых "Управление большими системами". Магнитогорск, 25-27 мая 2011 г. С. 14-16.

30. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. 6-е изд. М.: БИНОМ, 2008. 636 с.

31. Р.Беллман Динамическое программирование. М.:ИЛ, 1960.

32. Блинов А.О., Гурман В.И., Фраленко В.П. Аналитическая аппроксимация модели динамики летательного аппарата в задачах приближенно-оптимального синтеза управления // Вестник СГАУ. 2009. №4. С. 16-25.

33. Бортаковский A.C. Достаточные условия оптимальности управления детерминированными логико-динамическими системами // Информатика. Сер. Автоматизация проектирования. 1992. Вып. 2-3. С. 72-79.

34. Бортаковский A.C. Достаточные условия оптимальности автоматной части логико-динамической системы // Известия РАН. Теория и системы управления. 2006. №6. С. 77-92.

35. Бортаковский A.C., Пантелеев A.B. Достаточные условия оптимальности управления непрерывно-дискретными системами // Автоматика и

TonmíovQUTJi/Q 1Q87 No7 Р

36. Брайсон Д., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления / Пер. с англ. М.: Мир, 1972. 544 с.

37. Будак Б.М., Васильев Ф.П. Некоторые вычислительные аспекты задач оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1975. 172 с.

38. Букреев В.З. Об одном методе приближенного синтеза оптимального управления // Автоматика и телемеханика. №11. 1968.

39. Букреев В.З. Синтез оптимального управления летательным аппаратом на активном участке // Космические исследования. Т. 8, №6. 1970.

40. Булатов A.B., Кротов В.Ф. О численном решении линейно-квадратичной задачи оптимального управления двойственным методом // Автоматика и телемеханика. 2009. №7. С. 3-14.

41. Булдаев A.C. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем. Улан-Удэ: Изд-во Бурятск. гос. ун-та, 2008. 256 с.

42. Булдаев A.C. Проекционные процедуры нелокального улучшения линейно управляемых процессов // Известия вузов. Математика. 2004. №1. С. 18-24.

43. Булдаев A.C., Моржин О.В. Улучшение управлений в нелинейных системах на основе краевых задач // Известия Иркутск, гос. ун-та. Математика. 2009. Т. 2, №1. С. 94-107.

44. Бурков В.Н. Основы математической теории активных систем. М.: Наука, 1977.

45. Бусленко Н.П. Имитационное моделирование сложных систем. М.: Наука, 1978.

46. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. 476 с.

47. Вайсборд Э.М. Метод последовательного проектирования для приближенного решения одной задачи оптимального управления // Журн. вы-числ. матем. и матем. физ. 1966. Т. 6, №6. С. 971-980.

48. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал-Пресс, 2002. 824 с.

49. Васильев Ф.П., Хорошилова Е.В., Антипин A.C. Экстраградиентный метод поиска седловой точки в задаче оптимального управления // Вестник Московского ун-та. Сер. 15: Вычисл. матем. и киберн. 2010. №3. С. 18-22.

50. Васильев О.В. Лекции по методам оптимизации. Иркутск: Изд-во Иркутск. ун-та, 1994. 344 с.

51. Васильев О.В., Аргучинцев A.B. Методы оптимизации в задачах и упражнениях. М.: Физматлит, 1999. 208 с.

52. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном на принципе максимума // Журн. вы-числ. матем. и матем. физ. 1981. №6. С. 1376-1384.

53. Васильев С.Н., Жерлов А.К., Федосов Е.А., Федунов Б.Е. Интеллектное управление динамическими системами. М.: Физматлит, 2000. 352 с.

54. Васильев С.Н. Теория и применение логико-управляемых систем / / Тр. 2-ой Междунар. конф. "Идентификация систем и задачи управления" (SICPRO'03). Москва, 2003. С. 23-52.

55. Васильев С.Н., Козлов Р.И., Лакеев A.B. Метод редукции в анализе непрерывно-дискретных динамических систем // Тез. докл. Междунар. конф., посвященной 100-летию Соболева "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений". Новосибирск: НГУ, 2008. С. 54.

56. Васильев С.Н., Косов A.A. Анализ динамики гибридных систем с помощью общих функций Ляпунова и множественных гомоморфизмов / / Автоматика и телемеханика. 2011. №6. С. 27-47.

57. Величенко В.В. Численный метод решения задач оптимального управления // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1966. Т. 6, №4. С. 635-647.

58. Габасов Р. К теории необходимых условий оптимальности особых управлений // Докл. АН СССР. 1968. Т. 183, №2. С. 300-302.

59. Габасов Р. К теории оптимальных процессов в дискретных системах // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8, №4. С. 780-796.

60. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. 508 с.

61. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Современное состояние теории оптимальных процессов // Автоматика и телемеханика, №9. 1972.

62. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем. Минск: Изд-во Белорус, ун-та, 1973. 248 с.

63. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимального управления // Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Т. 6. М.: ВИНИТИ, 1976. С. 133-259.

64. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Павленок Н.С. Оптимальное управление гибридными системами // Изв. РАН. Теория и системы управл. 2010. №6. С. 42-52.

65. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Поясок Е.И. Оптимальное управление объектом при его наведении на подвижную цель в условиях неопределенности // Автоматика и телемеханика. 2011. №3. С. 15-35.

66. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Тятюшкин А.И. Конструктивные методы оптимизации. 4.1: Линейные задачи. Минск: Университетское, 1984.

67. Габелко К.И. Последовательное улучшение многоэтапных процессов // Автоматика и телемеханика. №12. 1974.

68. Гайшун И.В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения. Минск: Наука и техника, 1983.

69. Гончарова Е.В., Гуркало E.H. Численная реализация алгоритмов улучшения, основанных на локальных оценках множеств достижимости // Вычислительные технологии. 2004. Т.9, ч.2. С. 113-119.

70. Горнов А.Ю. Вычислительные технологии решения задач оптимального управления. Новосибирск: Наука, 2009. 279 с.

71. Гурин Л.Г., Поляк Б.Т., Райк Э.В. Методы проекций для отыскания общей точки выпуклых множеств // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1967. Т. 7, №6. С. 1211-1228.

72. Гурман В.И. Об оптимальных процессах особого управления // Автоматика и телемеханика. 1965. №5.

73. Гурман В. И. К теории оптимальных дискретных процесов / / Автоматика и телемеханика. 1973. №7. С. 53-58.

74. Гурман В.И. Приближенный синтез оптимального управления // Автоматика и телемеханика. №5, 1976.

75. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. М.: Наука, 1977.

76. Гурман В.И., Орлов А.Г. Достаточные условия оптимальности сложных процессов // Автоматика и телемеханика, 1978, №4.

77. Гурман В.И., Расина ИВ. Достаточные условия оптимальности сложных дискретных процессов / Сб. Численные методы. Иркутск. 1978.

78. Гурман В. И., Расина И. В. О практических приложениях достаточных условий сильного относительного минимума // Автоматика и телемеханика. 1979. №10. С. 12-18.

79. Гурман В.И., Орлов А.Г. Сложные процессы двуногой ходьбы. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша. №95. 1979.

80. Гурман В.И., Константинов Г.Н. Множества достижимости управляемых систем. Связь с управлением Беллмана. Иркутск, 1981. 14с.

81. Гурман В.И., Батурин В.А., Расина И.В. Приближенные методы оптимального управления. Иркутск: Изд-во Иркутск, ун-та, 1983. 180 с.

82. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука, Физматлит, 1985. 288 с.

83. Гурман В.И., Батурин В.А. Алгоритм улучшения управления, основанный на оценках областей достижимости. Деп. в ВИНИТИ, №651-85. 1985.

84. Гурман В.И., Батурин В. А., Данилина Е.В. и др. Новые методы улучшения управляемых процессов. Новосибирск: Наука, 1987. 184 с.

85. Гурман В.И., Батурин В.А., Москаленко А.И. и др. Методы улучшения в вычислительном эксперименте. Новосибирск: Наука, 1988. 184 с.

86. Гурман В.И. Магистральные решения в процедурах поиска оптимальных управлений // Автоматика и телемеханика. 2003. №3. С. 61-71.

87. Гурман В.И., У хин М.Ю. Магистральные решения в задачах оптимизации развития регионов // Автоматика и телемеханика. 2004. №4.

88. Гурман В. И., У хин М.Ю. Метод улучшения дискретного управления, основанный на аппроксимации множества достижимости. - Сборник научных трудов, посвященный 20-летию ИПС РАН.- М.: Физматлит. 2004.

89. Гурман В.И., Блинов А.О. Аналитическая аппроксимация динамических систем в задачах приближенной оптимизации управления //Вестник Бурятского гос. ун-та. Математика и информатика. 2008. С. 25-30.

90. Гурман В.И., Квоков В.Н., Ухин М.Ю. Приближенные методы оптимизации управления летательным апаратом // Автоматика и телемеханика. 2008. №4. С. 191-201.

91. Гурман В.И. Магистральные решения в задачах оптимального управления квантомеханическими системами // Автоматика и телемеханика.

2011, №6. С.115-126.

92. Гурман В.И., Блинов А.О. Синтез оптимального управления квантоме-ханической системой // Программные системы: теория и приложения. Электронный научный журнал ИПС им. А.К. Айламазяна РАН. 2011. Вып.1. С. 9-18. URL: http//psta/priras/ru/read/psta 2011 1 9-18/pdf

93. Гурман В.И., Ни Минь Кань. Вырожденные задачи оптимального управления. I, II, III // Автоматика и Телемеханика. 2011. №3. С. 36-50; №4. С. 57-70; №5. С. 32-46.

94. Гурман В.И., Расина И.В., Блинов А.О. Эволюция и перспективы приближенных методов оптимального управления // Программные системы: теория и приложения: электрон, научн. журн. 2011. Т. 2. №2. С. 11-29. URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2011_2_ll-29.pdf.

95. Гурман В.И., Расина И.В. Дискретно-непрерывные представления импульсных решений управляемых систем // Автоматика и телемеханика.

2012. т. С. 16-29.

96. Дарьин А.Н., Малакаева А.Ю. Численные методы синтеза импульсных управлений для линейных систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. Ш2. С. 50-56.

97. Дарьин А.Н., Минаева Ю.Ю. Аппроксимация импульсных управлений физически реализуемыми быстрыми управлениями // Прикладная математика и информатика. 2010. №35. С. 36-45.

98. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Приближенные методы решения экстремальных задач. JI.: Изд-во ЛГУ, 1968. 180 с.

99. Дикусар В.В., Кошька М., Фигура А. Метод продолжения по параметру при решении краевых задач в оптимальном управлении // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, №4. С. 453-457.

100. Дикусар В.В., Милютин A.A. Качественные и численные методы в принципе максимума. М.: Наука, 1989. 144 с.

101. Дыхта В.А., Деренко Н.В. Численные методы решения задач импульсного управления, основанные на обобщенном условии стационарности // Компьютерная логика, алгебра и интеллектное управление. Иркутск, 1994. Т.2. С. 59-70.

102. Дыхта В. А. Вариационный принцип максимума и квадратичные условия оптимальности импульсных и особых режимов // Сиб. матем. журнал. 1994. Т.35, №1. С. 70-82.

103. Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. 2-е изд. М.: Физматлит, 2003. 256 с.

104. Дыхта В.А. Некоторые приложения неравенств Гамильтона-Якоби в оптимальном управлении // Изв. Иркутск, гос. ун-та. Матем. 2009. Т. 2, №1. С. 183-196.

105. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. 432 с.

106. Егоров А.И. Основы теории управления. М.: Физматлит, 2007. 504 с.

107. Емельянов С.В.(ред.) Теория систем с переменной структурой. М. Наука, 1970.

108. Емельянов С.В., Коровин С.К., Бобылев H.A., Булатов A.B. Гомотопии экстремальных задач. М.: Наука, 2001.

109. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

110. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. М.: Физматлит, 2008. 320 с.

111. Иоффе АД., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

112. Казаков В.А., Кротов В.Ф. Оптимальное управление взаимодействием света и вещества АиТ. 1987. №4. С. 9 - 15.

113. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 3-е изд. М.: Наука, 1984. 752 с.

114. Кирин Н.Е. Вычислительные методы теории оптимального управления. Л.: Изд-во ЛГУ, 1968. 144 с.

115. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. М.: Физматлит, 2009. 572 с.

116. Константинов Г.Н. Нормирование воздействий на динамические системы. Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1983. 187 стр.

117. Красовский A.A., Поспелов, Г.С. Основы автоматики и технической кибернетики . Госэнергоиздат. (1962).

118. Красовский H.H. Теория управления движением: линейные системы. Наука, 1968.

119. Красовский H.H. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985. 520 с.

120. Кротов В.Ф. Приближенный синтез оптимального управления // Автоматика и телемеханика. Т.25, №11. 1964.

121. Кротов В.Ф. Методы решения вариационных задач на основе достаточных условий абсолютного минимума. I-IV // Автоматика и телемеханика. 1962. Т. 23, №12. С. 1571-1583; 1963. Т. 24, №5. С. 581-598; 1963. Т. 24, №7. С. 826-843; 1965. Т. 26, №1. С. 24-41.

122. Кротов В.Ф. Достаточные условия оптимальности для дискретных управляемых систем // Докл. АН СССР. 1967. Т. 172, №1. С. 18-21.

123. Кротов В.Ф., Букреев В.З., Гурман В.И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета. М.: Машиностроение, 1969. 288 с.

124. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. 448 с.

125. Кротов В.Ф. Вычислительные алгоритмы решения и оптимизации управляемых систем уравнений. I, II // Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1975. №5. С. 3-15; №6. С. 3-13.

126. Кротов В.Ф., Фельдман И.Н. Итерационные методы решения экстремальных задач. В кн.: «Моделирование технико-экономических процессов». М.: Изд-во Московского экономико-статистического института, 1978.

127. Кротов В.Ф., Фельдман H.H. Итерационный метод решения задач оптимального управления // Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1983. №2. С. 160-168.

128. Кротов В.Ф. Об оптимизации управления квантовыми системами // Докл. РАН. 2008. Т. 423, №3. С. 316 - 319.

129. Кротов В.Ф. Управление квантовыми системами и некоторые идеи теории оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 2009. №3. С. 15-23.

130. Кротов В. Ф., Булатов А. В., Батурина О. В. К оптимизации линейных систем с управляемыми коэффициентами // Тр. V Междунар. симпозиума "Обобщенные постановки и решения задач управления". Монголия, г. Улан-Батор, 13-17 сент. 2010 г.

131. Кротов В.Ф., Булатов A.B., Батурина О.В. К оптимизации линейных систем с управляемыми коэффициентами // Автоматика и телемеханика. 2011. №6. С. 64-78.

132. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Алгоритмы метода последовательных приближений для задач оптимального управления // Журн. вычисл. ма-тем. и матем. физ. 1972.'Т. 12. М. С. 14-34.

133. Крылов И.А.., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для задач оптимального управления // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1962. Т. 2, №6. С. 1132-1138.

134. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977.

135. Куржанский А. Б. Дифференциальные уравнения в задачах синтеза управлений // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, №1. С. 12-22.

136. Лагота Б.А. Оптимальное управление в экономике. М.: Финансы и статистика, 2003. 192 с.

137. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3: Квантовая механика (нерелятивистская теория). 6-е изд. М.: Физматлит, 2008.

138. Лемперт A.A., Батурин В.А. Методы слабого улучшения в задаче оптимального управления на сети операторов // Тр. Междунар. конф. Вычислительные и информационные технологии в науке и образовании. Павлодар, 2006.

139. Левитин Е.С., Поляк Б.Т. Методы минимизации при наличии ограничений // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1966. Т. 6, №5. С. 787-823.

140. Лернер А.Я., Розенман Е.А. Оптимальное управление. М.: Энергия, 1970. 360 с.

141. Любушин A.A., Черноусько Ф.Л. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления // Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1983. №2. С. 147-159.

142. Малтугуева Н.С. Достаточные условия оптимальности для задач оптимального управления логико-динамическими системами // Программные системы: теория и приложения. 2011. 2:1. С. 63-70.

143. Марченко В.М. О полной наблюдаемости гибридных дифференциально-разностных систем // ДАН. 2011. Т. 441, №2.

144. Марченко В.М., Луазо Ж.Ж. Об устойчивости гибридных дифференциально-разностных систем // Дифференц. уравн. 2009. Т. 45, №5. С.728-740.

145. Мерриэм К.У. Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью. М.: Мир, 1967.

146. Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями. М.: Наука, 2005. 429 с.

147. Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. // Автоматика и телемеханика. 2013.

148. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений. Журн. вычисл. мат. и матем. Физики. 1965. Т. 5, №3. С. 395-453.

149. Милютин A.A. Общие схемы получения необходимых условий экстремума и задачи оптимального управления // Успехи математических наук. 1970. Т. 25, №. 5. С. 110-116.

150. Милютин A.A. Принцип максимума в общей задаче оптимального управления. М.: Физматлит, 2001.

151. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971. 424 с.

152. Моисеев H.H. Методы динамического программирования в теории оптимальных управлений. 1-11// Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1964. Т. 4, №3; 1965. Т.5, №1.

153. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988. 360 с.

154. Орлов В.Л., Поляк Б.Т., Ребрий В.А., Третьяков Н.В. Опыт решения задач оптимального управления // В сб. Вычисл. методы и программирование. Вып. 9. М.: Изд-во МГУ, 1967. С. 179-193.

155. Орлов А.Г., Расина И.В. Метод улучшения второго порядка сложных процессов. Новосибирск, 1977.

156. Пантелеев A.B., Бортаковский A.C. Теория управления в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 2003. 583 с.

157. Полак Э. Численные методы оптимизации. М.: Мир, 1974. 376 с.

158. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. 382 с.

159. Поляк Б.Т. Градиентные методы минимизации функционалов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. Т. 3, №4. С. 643-654.

160. Поляк Б.Т. Метод сопряженных градиентов в задачах на экстремум // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. Т. 9, №4. С. 807-821.

161. Поляк Б.Т. Развитие теории автоматического управления // Проблемы управл. 2009. Спецвыпуск, посвященный 70-летию ИПУ РАН. С. 13-18.

162. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961.

163. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. 3-е изд. М.: Физматгиз, 1976. 392 с.

164. Пропой А.И. О принципе максимума для дискретных систем управления // Автоматика и телемеханика. 1965. Т. 26, №7. С. 1177-1187.

165. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973. 256 с.

166. Пшеничный Б.Н. Метод линеаризации. М.: Наука, 1983. 138 с.

167. Пшеничный Б.Н. Об одном алгоритме для решения нелинейной задачи оптимального управления // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. Т. 5, вып. 2. С. 236-241.

168. Расина И.В. Сложные дискретные процессы. В кн.: Методы оптимизации и исследование операций (прикладная математика). Иркутск, СЭИ СО АН СССР, 1976. С. 64-70.

169. Расина И.В. Метод улучшения второго порядка для сложных процессов. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 23.07.91, №3137-В91.

170. Расина И.В. Две формы достаточных условий оптимальности и метод улучшения второго порядка для сложных процессов. Юбилейный сборник научных трудов к 10 летию СИПЭУ. - Иркутск: Макаров, 2004. С. 180-192.

171. Расина И.В. Сложные процессы с параметрами // Актуальные проблемы права, экономики и управления в Сибирском регионе. Сборник статей Междунар. научно-практич. конф. Иркутск: СИПЭУ, 2005. Вып. I, т. II. С. 42-44.

172. Расина И. В. Сложные дискретные процессы с запаздыванием по состоянию // Актуальные проблемы права, экономики и управления в Сибирском регионе. Сборник статей Между нар. научно-практич. конф. Иркутск: СИПЭУ, 2007. Вып. III, т.1. С. 348-351.

173. Расина И.В. Итерационные алгоритмы оптимизации дискретно-непрерывных процессов // Автоматика и телемеханика. 2012. №10. С. 3-17.

174. Расина И.В., Батурина OB. Дискретно-непрерывные линейные и билинейные системы // Материалы конф. "Управление в технических, эрга-тических, организационных и сетевых системах". С. 215-218.

175. Расина И.В., Батурина О.В. Оптимизация линейных по состоянию дискретно-непрерывных систем // Автоматика и телемеханика. 2013. №4. С. 80-90.

176. Расина И.В., Батурина О.В. Оптимизация управления в билинейных системах. // Автоматика и телемеханика. 2013. №5. С. 102-113.

177. Розоноэр Л.И. Принцип максимума JI.С. Понтрягина в теории оптимальных систем. I—III // Автоматика и телемеханика. 1959. Т. 20, №10-12. С. 1320-1334, 1441-1458, 1561-1578.

178. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.

179. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.: Физматлит, 2000. 160 с.

180. Срочко В.А., Антоник В.Г. Метод проекций в линейно-квадратичных задачах оптимального управления // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1998. Т. 38, №4. С. 564-572.

181. Срочко В.А., Антоник В.Г., Мамонова Н.В. Вычислительное сравнение методов градиентного типа в задачах оптимального управления // Изв. Иркутского гос. ун-та. Матем. 2007. Т. I, №1. С. 275-290.

182. Срочко В.А., Душутина С.Н., Пудалова Е.И. Регуляризация принципа максимума и методов улучшения в квадратичных задачах оптимального управления // Изв. вузов. Матем. 1998. №12. С. 82-92.

183. Срочко В.А., Пудалова Е.И. Методы нелокального улучшения допустимых управлений в линейных задачах с запаздыванием // Изв. вузов. Матем. 2000. №12. С. 78-88.

184. Срочко В.А., Розинова Н.С. Некоторые вопросы поиска и улучшения эк-тремальных процессов в невыпуклых задачах оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 2011. №6. С. 140-150.

185. Сухарев А.Г., Тимохов A.B., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. 2-е изд. М.: Физматлит, 2005. 368 с.

186. Точилин П.А., Куржанский A.B. Задачи достижимости и синтеза управлений для гибридных систем. М.: МГУ, 2008.

187. Треногин В.А. Функциональный анализ. 4-е изд. М.: Физматлит, 2007. 488 с.

188. Трушкова Е.А. Алгоритмы глобального поиска оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 2011. №6. С. 151-159.

189. Трушкова Е.А. Об одном классе задач оптимального управления для квантовых систем // Автоматика и телемеханика. 2013. №1. С. 35-46.

190. Тятюшкин А.И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем. Новосибирск: Наука, 1992. 193 с.

191. Ухин М.Ю. Приближенный синтез оптимального управления. М.: Физматлит, 2006.

192. Федоренко Р.П. Метод проекции градиента в задачах оптимального управления. М., 1975. 70 с. (Препр. / Ин-т прикл. матем. АН СССР; №45).

193. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 408 с.

194. Фельдбаум A.A. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1963. 552 с.

195. Фельдбаум A.A., Вутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. М.: Наука, 1971. 744 с.

196. Ф. Хартман Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1972.

197. Хрусталев М.М. Необходимые и достаточные условия оптимальности в форме уравнения Беллмана // Докл. АН СССР. 1975. Т. 242, №5.

198. Хрусталев М.М. Точное описание множеств достижимости и условия глобальной оптимальности динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1988. №5. С. 62-70; №7. С. 70-80.

199. Цирлин A.M., Балакирев B.C., Дудников Е.Г. Вариационные методы оптимизации управляемых объектов. М.: Энергия, 1976. 448 с.

200. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С.Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973.

201. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988. 320 с.

202. Черноусько Ф.Л., Баничук В.П. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973. 238 с.

203. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления // Итоги науки и техн. Матем. анализ. Т. 14. М.: ВИНИТИ, 1977. С. 101-166.

204. Шатровский Л. И. Об одном численном методе решения задач оптимального управления // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1962. Т. 2. №3. С. 488-491.

205. Энеев Т.М. О применении градиентного метода в задачах теории оптимального управления // Космич. исследования. 1966. Т. 4, вып. 5. С. 651-669.

206. Юсубов Ш.Ш. О необходимых условиях оптимальности для особых управлений // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47, №9. С. 1506-1511.

207. Branicky M.S., Hebbar R. Fast marching for hybrid control // Proc. of the 38th IEEE Conference on Decision and Control, 1999.

208. Bensoussan A., Lions J.-L. Controle impulsionnel et in?quations quasi-variationnelles. Paris, 1982.

209. Betts J.T. Practical methods for optimal control using nonlinear programming. Philadelphia: SIAM, 2001. 190 p.

210. Bazaraa M.S., Sherali H.D., Shetty C.M. Nonlinear programming: theory and algorithms. 3rd ed. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., 2006. 854 p.

211. Branicky M.S., Borkar V.S., Mitter K.A. Unified framework for hybrid control: model and optimal control theory // IEEE Trans. Automation Control. 1998. V., 43? №1. P. 31-45.

212. Dihta V.A. Optimality conditionsfor impulsive processesand their applications // Preprint 13th World Congr. of the IFAC. V. D: Control Design II, Optimization. 1996. P. 345-350.

213. Control Handbook / Ed. by W. Levine. 2nd ed. Boca Raton: CRC Press, 2011. Vol. 1. 788 p. Vol. 2. 1702 p. Vol. 3. 883 p.

214. Dyer P., McReynolds S.R. The computation and theory of optimal control. NY: Academic Press, 1970. 250 p. (Ser. "Mathematics in science and engineering". Vol. 65.)

215. Encyclopedia of optimization // Ed. by C. Floudas, P. Pardalos. 2nd ed. NY: Springer-Verlag, 2009. 4640 p.

216. Caneva T., Murphy M., Calarco T., Fazio R., Montangero S., Giovannetti V., Santoro G.E. Optimal control at the quantum speed limit // Phys. Review Lett. 103, 240501 (2009). URL: http://arxiv.org/abs/0902.4193v2.

217. Kirk D.E. Optimal control theory. An introduction. NY: Dover Publ., 2004. 472 p.

218. Knowles G. An introduction to applied optimal control. NY: Academic Press, 1981. 180 p. (Ser. "Mathematics in science and engineering". Vol. 159.)

219. Krotov V.F. Global methods in optimal control theory. NY: Marcel Dekker, 1996. 408 p.

220. Lygeros Lecture Notes on Hybrid Systems. Cambridge: University of Cambridge, 2003.

221. Murphy M., Montangero S., Giovannetti V., Calarco T. Communication at the Quantum Speed Limit Along a Spin Chain // Phys. Rev. Lett. 2010. URL:http: / / arxiv.org/abs/1004.3445vl.

222. Murray R.M., ed. Control in an Information Rich World. Report of the panel on future directions in control, dynamics, and systems. Philadelphia: SIAM, 2003. 102 p.

223. Ortega J.M., Rheinboldt W.C. Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. NY: Academic Press, 1970.

224. Rosen J.B. The gradient projection method for nonlinear programming // SIAM J. Appl. Math. 1960. Vol. 8, No. 1. P. 181-217; 1961. Vol. 9, No. 4. P. 514-532.

225. Santis E. Digital idle speed control of automotive engines: a safety problem of hybrid systems // Automatica. 1999. V.35. P. 349-370.

226. Vassilyev S.N. Logical Approach in Knowledge-Based Control // Proc. of 21st SGES Intern. Conference on Knowledge Based Systems and Applied Artificial Intelligence (ES-2001), Cambridge, 2001. P. 259-272.

227. Wassim M. Haddad, VijaySekhar Chellaboina, Sergey G. Nersesov) Impulsive and Hybrid Dynamical Systems: Stability, Dissipativity and Control. Princeton University Press, 2006.

/