Методы нелокального улучшения управлений в классах нелинейных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Моржин, Олег Васильевич

• Моржин, Олег Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Моржин, Олег Васильевич

Введение

1. Задачи и методы улучшения управлений

1.1. Задача улучшения управлений в непрерывных системах.

1.2. Проекционный метод нелокального улучшения.

1.3. Формула приращения обобщенного лагранжиана.

1.4. Условия оптимальности управления.

1.5. г- и фазовая модификации метода нелокального улучшения

1.6. Задача и методы улучшения управлений в дискретных системах

1.7. Задача и методы улучшения управляющих параметров.

1.8. Задача и методы улучшения управляющих функций и параметров

1.9. Примеры улучшения управлений, удовлетворяющих принципу максимума

2. Итерационные методы решения систем условий улучшения управлений

2.1. Условия улучшения управлений в непрерывных системах

2.2. Система условий улучшения управляющих параметров.

2.3. Система условий улучшения управлений в дискретных системах

3. Вычислительные эксперименты

3.1. Вычислительная технология решения задач оптимального управления.

3.2. Оптимизация управления плоским маятником.

3.3. Оптимальное управление колебательными движениями маятника с трением.

3.4. Оптимальное управление потоком хладагента в химическом реакторе

3.5. Стабилизация шагового электродвигателя с минимальными энергозатратами.

3.6. Максимизация массы продукта химической реакции.

3.7. Оптимальная стабилизация спутника с тремя реактивными двигателями.

3.8. Методы нелокального улучшения в схемах аппроксимации множеств достижимости.

3.9. Численный анализ множества достижимости системы Ван-дер-Поля

3.10. Аппроксимация множеств достижимости маятниковой системы

3.11. Аппроксимация множества управляемости маятниковой системы с трением.

3.12. Численный анализ проекций множеств достижимости системы

Л. Дубинса.

3.13. Перевод нелинейной системы на заданное целевое множество

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы нелокального улучшения управлений в классах нелинейных систем»

Задачи улучшения и оптимизации управлений в динамических системах представляют одно из ключевых направлений современной математики с многочисленными приложениями (робототехника, квантовые вычисления, аэрокосмические системы, химическая кинетика, биосинтез лекарственных препаратов и т.д.) [19, 36, 77, 84, 88, 128,, 143, 144, 147, 151].

Начиная с 1950 - 1960-х гг. в связи с запросами практики были разработаны и продолжают совершенствоваться (обзоры в [7], [16, с. 18-24], [50, с. 1117], [54, 105, 135], [145, с. 1538-1542]) различные методы решения задач оптимального управления в работах отечественных и зарубежных научных школ (A.B. Аргучинцев, А.П. Афанасьев, В.Н. Афанасьев, В.А. Батурин, A.C. Бул-даев, А.Г. Бутковский, О.В*. Васильев, Ф.П. Васильев, В.В. Величенко, Р. Га-басов, В.И. Гурман, В.Ф. Демьянов, В.В. Дикусар, В.А. Дыхта, Ю.Г. Евтушенко, В.И. Зубов, Ф.М. Кириллова, В.Б. Колмановский, H.H. Красовский, В.Ф. Кротов, И.А. Крылов, A.M. Летов, H.H. Моисеев, Д.Е. Охомицкий, Б.Т. Поляк, А.И. Пропой, Б.Н. Пшеничный, В.А. Срочко, А.И. Тятюшкин, Р.П. Федоренко, Ф.Л. Черноусько, Л.И. Шатровский, Т.М. Энеев и другие) [1, 5, 7, 9, 10, 16, 20, 21, 23, 31, 33, 37, 38, 39, 43, 44, 45, 49, 52, 53, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 64, 68,70, 71, 77, 78, 79, 80, 83, 85, 86, 88, 100, 103, 104, 108, 109, 110, 113, 118, 122, 128, 130, 132, 134, 135, 136, 137, 141, 148].

В начале 1950-х гг. A.A. Фельдбаум впервые сформулировал общую задачу оптимального управления дифференциальными системами [129, 130], а затем Л.С. Понтрягиным и учениками был предложен и обоснован принцип максимума - необходимое условие оптимальности первого порядка [8, 42, 63, 66, 84, 101, 106, 130] (как развитие классических результатов Л. Эйлера, К. Вейерштрасса [33, 34]). В 1959 г. Л.И. Розоноэром дано доказательство принципа максимума, состоящее в изучении приращения целевого функционала [42, 111]. В начале 1960-х гг. В.Ф. Кротовым предложены достаточные условия оптимальности с разрешающей функцией [73, 75, 77, 148], причем принцип максимума следует при линейной по фазовой переменной разрешающей функции [77]. Р. Габасовым [40, 42] были предложены необходимые условия оптимальности 2-го порядка [33].

Впервые аналог принципа максимума JI.C. Понтрягина в дискретных системах был получен в 1959 г. Л.И. Розоноэром [111] для линейных по состоянию систем. В 1963 г. А.Г. Бутковским [31] построен пример, в котором функция Гамильтона на оптимальном процессе имеет лишь локальный максимум. Достаточные условия, при которых справедлив дискретный принцип максимума [66, § 6.4], установлены А.И. Пропоем [107, 108] и Р. Габасовым. [41, 42]. В трудах В.Ф. Кротова, В.И. Гурмана разработаны достаточные условия оптимальности дискретных процессов [48, 49, 72].

В рамках теории В.Ф. Кротова поиск разрешающей функции в линейной и линейно-квадратической по состоянию формах дал возможность в работах В.Ф. Кротова, В.И. Гурмана, В.А. Батурина, И.В. Расиной, Е.А. Трушковой и других построить итерационные методы улучшения 1-го и 2-го порядков [15, 16, 17, 49, 50, 51, 52, 71, 78, 121, 148]. Методика получила распространение в задачах оптимизации дискретно-непрерывными и логико-динамическими системами, процессами с параметрами [14, 16, 49].

С 1960-х гг. в конечномерной оптимизации и в оптимальном управлении известны вариации метода проекции градиента: работы И.Б. Розена ([145, с. 3345-3354], [152]), Е.С. Левитина и Б.Т. Поляка ([83], [47], [102, с. 185-187, 289]), Э.М. Вайсборда [32], В.Ф. Демьянова и A.M. Рубинова [57, гл. 3, 4], Р.П. Федоренко [127, 128], A.C. Антипина [4] и других ученых. Метод проекции градиента традиционно входит в учебники по методам оптимизации ([37, с. 249-258, 543-545], [65, с. 103-109], [119, гл. 6], [140, гл. 10]). В оптимальном управлении основой выступает дифференциальный принцип максимума, причем в методе проекции градиента из [128] параметр проектирования задается экспериментально, в версии из [34, гл. 5] включает (трудоемкую) операцию оптимизации по параметру выпуклого варьирования управлений на каждой итерации, введенную для регулирования сходимости к выполнению необходимого условия оптимальности. В монографии [113, с. 103] и статье [115] предложен и проиллюстрирован в численных экспериментах локальный проекционный метод 2-го порядка с рассмотрением векторной и матричной сопряженных систем.

Наряду с методами оптимизации управлений непосредственно в функциональном пространстве известны методы, в которых непрерывная задача оптимального управления редуцируется к задаче конечномерной оптимизации (большой размерности) за счет частичной (по управлению) или полной (по управлению и состоянию) дискретизации [62, 122, 139, 146].

Многометодные технологии для решения задач оптимального управления создаются в работах А.И. Тятюшкина [122, 123], А.Ю. Горнова [46] и других специалистов.

В работах В.Ф. Кротова [74, 76, 78, 148], В.А. Срочко [5, 7, 113, 114, 117], A.C. Булдаева [23, 24, 25, 26, 29, 30, 142] и учеников были предложены подходы к нелокальному улучшению в задачах оптимального управления. В методах нелокального улучшения отсутствует операция варьирования управления с трудоемким параметрическим поиском в отличие от методов условного градиента [33, 34, 57, 122], игольчатой линеаризации [33, 35, 85, 113], где на каждой итерации решаются задачи минимизации вспомогательных функций, зависящих от параметров варьирования (слабого, игольчатого), с применением стратегий глобализации и методов конечномерной оптимизации нулевого порядка [37, 46, 119].

Конструктивной основой методов нелокального улучшения для различных классов задач оптимального управления дифференциальными системами в работах В.А. Срочко, A.C. Булдаева [5, 7, 23, 24, 25, 26, 30, 113, 117, 142] и других является получение точных формул приращения (без остаточных членов разложений по переменным состояния и управления) для целевых функционалов при специальных сопряженных системах. В монографии [113] предложены методы нелокального улучшения для линейных и линейно-квадратичных по переменной состояния задач оптимального управления дифференциальными системами, в монографии [23] - для квадратичных и общих полиномиальных по переменной состояния задач, включая задачи с запаздывающим аргументом. Предложенные методы обладают возможностью улучшения неоптимальных управлений, удовлетворяющих принципу максимума. Проблема улучшения экстремальных управлений естественно возникает на пути глобального решения невыпуклых задач оптимального управления. Ценою улучшения являются две задачи Коши [113]. В полиномиальных и других нелинейных задачах трудоемкость определяется уже краевой задачей [23, 25, 30]. Краевые задачи улучшения по свойствам гладкости проще краевой задачи принципа максимума [42]. В работах [29, 30,142] подход реализован в полиномиальных по переменной состояния задачах оптимального управления с частично закрепленным правым концом траектории. В статье [6] подход с получением точной формулы приращения целевого функционала распространен на задачу оптимального управления начально-краевыми условиями полулинейной гиперболической системы.

В классе линейно-управляемых нелинейных по состоянию дифференциальных систем A.C. Булдаевым был предложен новый подход [22] к нелокальному улучшению, в котором получение точной формулы приращения основывается на введении специальной дифференциально-алгебраической сопряженной системы. Диссертационное исследование посвящено развитию и обобщению данного подхода на классы нелинейных (по переменным состояния и управления) задач оптимального управления в непрерывных и дискретных системах, включая задачи оптимизации управляющих параметров. Реализация развиваемого подхода связана с необходимостью разрешения специальных функциональных условий улучшения в пространстве управлений. Представляется актуальной разработка вычислительной технологии на основе нелокальных методов.

Цель исследования - разработка проекционных методов нелокального улучшения управляющих функций и параметров в определенных классах нелинейных дифференциальных и дискретных систем в развитие и обобщение проекционного подхода.

Основные задачи исследования.

1. Разработка проекционных методов нелокального улучшения управляющих функций и параметров в непрерывных и дискретных задачах оптимального управления со свободным правым концом.

2. Построение итерационных алгоритмов для реализации функциональных условий улучшения в пространстве управлений. Получение условий сходимости последовательных приближений.

3. Разработка вычислительной технологии для решения рассматриваемых классов задач оптимального управления. Сравнительный анализ предложенных методов улучшения.

Методика исследования. Для разработки методов нелокального улучшения используется подход построения нестандартных формул приращения целевых функционалов без остаточных членов разложений на основе модифицированных сопряженных систем. Для построения итерационных алгоритмов решения систем условий улучшения управлений используются методы функционального анализа решения задач о неподвижной точке. Сравнительный анализ эффективности методов проводится на известных в литературе тестовых задачах и прикладных моделях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общее количество страниц -112, рисунков - 22, таблиц - 7, наименований в списке литературы - 152.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Моржин, Олег Васильевич

Заключение

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Разработаны проекционные методы нелокального улучшения управляющих функций и параметров в определенных классах нелинейных непрерывных и дискретных задач оптимального управления со свободным правым концом.

2. Получено новое необходимое условие оптимальности управляющих функций, усиливающее принцип максимума в рассматриваемом классе задач оптимального управления.

3. Построены итерационные алгоритмы для решения системы условий улучшения в пространстве управлений. Получены условия сходимости. Проведен сранительный анализ предложенных методов нелокального улучшения с известными методами в вычислительных экспериментах.

Научная новизна. Новыми являются:

1) разработанные проекционные методы нелокального улучшения в классах нелинейных систем;

2) необходимое условие оптимальности, усиленное по сравнению с дифференциальным принципом максимума в рассматриваемом классе задач оптимального управления;

3) итерационные алгоритмы для реализации операторных условий улучшения управлений и условия сходимости этих алгоритмов;

4) результаты численного исследования сравнительной эффективности новых методов улучшения и приложений для аппроксимации множеств достижимости.

Теоретическая ценность и практическая значимость. Полученные результаты вносят определенный вклад в теорию методов решения классов нелинейных задач оптимального управления. Разработанный' подход может быть использован для анализа более сложных классов нелинейных задач оптимального управления. Практическая значимость новых методов улучшения обуславливается проиллюстрированной высокой сравнительной эффективностью и возможностью улучшения управлений, удовлетворяющих принципу максимума. Полученные в диссертации методы могут быть использованы для решения прикладных нелинейных задач оптимального управления, а также в учебном процессе для студентов математических специальностей.

Апробация работы. Основные результаты представлены автором на следующих научных мероприятиях:

- семинары, конференции преподавателей Института математики и информатики ФБГОУ ВПО «Бурятский государственный университет» (г. Улан-Удэ, 2007 - 2011);

- IX Международная конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», посвященная 105-летию со дня рождения Н.Г. Четаева (г. Иркутск, 2007);

- I, II, III Всероссийские традиционные молодежные летние школы «Управление, информация и оптимизация» (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН; г. Переславль-Залесский, 2009, 2010; п. Яропо-лец, 2011);

- Молодежный симпозиум с международным участием «Теория управления: новые методы и приложения» (Институт программных систем им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский, 2009);

- семинары Исследовательских центров процессов управления и системного анализа Института программных систем им. А.К. Айламазяна РАН (г. Переславль-Залесский, 2008, 2010, 2011);

- V Международный симпозиум «Обобщенные постановки и решения задач управления» (Монголия, г. Улан-Батор, 2010);

- III Международная конференция «Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы» (г. Улан-Удэ - оз. Байкал, 2010);

- Российский семинар «Приближенные методы оптимального управления в приложении к квантовым системам» (Институт программных систем им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский, 2010);

- Школа-семинар «Приближенные методы оптимального управления в параллельных вычислениях» (Институт программных систем им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский, 2010);

- семинар отделения 2 «Методы управления и исследования операций» Института динамики систем и теории управления СО РАН (г. Иркутск, 2011).

Результаты представлены в отчетах по проектам РФФИ 09-01-90203-Монга, 08-01-00945-а. В 2009, 2010 гг. диссертантом выиграны гранты 09-01-16054-мобзрос, 10-01-09373-мобз, 10-01-1601б-мобзрос по программе «Мобильность молодых ученых» РФФИ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 20 работ, включая статьи в журналах, в трудах конференций, школ. Основными являются публикации [27, 93, 96, 125, 97, 91, 92, 94]. Статьи [27, 93, 96, 125, 97] представлены в журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Личный вклад автора. Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, получены лично соискателем. Личный вклад соискателя состоит в том, что известный подход к нелокальному улучшению распространен на новые классы нелинейных (по переменным состояния и управления) задач оптимизации управляющих функций и параметров дифференциальных и дискретных систем. Диссертантом разработаны проекционные методы нелокального улучшения, построены итерационные алгоритмы реализации условий улучшения и получены определенные условия сходимости последовательных приближений, исследована сравнительная эффективность новых методов улучшения, изучены вопросы приложения в схемах аппроксимации множеств достижимости нелинейных управляемых систем, создана программно-алгоритмическая реализация новых методов улучшения и проведены вычислительные эксперименты.

В совместной статье [27] соискателем получены точная формула приращения и условие улучшения с обобщенным проекционным отображением, показано свойство улучшения, сформулировано условие оптимальности, приведен пример улучшения экстремального управления. В совместных публикациях [97, 125] диссертанту принадлежит разработка обозначенного А.И. Тятюшкиным подхода к аппроксимации множеств достижимости с применением методов улучшения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Моржин, Олег Васильевич, 2011 год

1. Аввакумов С.Н., Киселев Ю.Н., Орлов М.В. Методы решения задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина // Тр. Матем. ин-та РАН. 1995. Т. 211. С. 3-31.

2. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем. I, II // 'Автомат, и телемех. 1974. № 7, с. 33 47. № 8, с. 39 - 61.

3. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах MathCAD 12, MATLAB 7, Maple 9. М.: НТ-Пресс, 2006. 496 с.

4. Антипин A.C. Об оценках скорости сходимости метода проекции градиента // Изв. вузов. Матем. 1995. № 6. С. 16-24.

5. Антоник В.Г., Срочко В.А. Метод нелокального улучшения экстремальных управлений в задаче на максимум нормы конечного состояния // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49. № 5. С. 791-804.

6. Аргучинцев A.B., Поплевко В.П. Оптимальное управление начальными условиями канонической гиперболической системы первого порядка на основе нестандартных формул приращения // Изв. вузов. Матем. 2008. № 1. С. 3-10.

7. Аргучинцев A.B., Дыхта В.А., Срочко В.А. Оптимальное управление: нелокальные условия, вычислительные методы и вариационный принцип максимума // Изв. вузов. Матем. 2009. № 1. С. 3-43.

8. Арутюнов A.B., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Принцип максимума Понтрягина. Доказательство и приложения. М.: Факториал Пресс, 2006. 144 с.

9. Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин A.A., Чуканов С.А. Необходимое условие в оптимальном управлении. М.: Наука, 1990. 319 с.

10. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 2003. 615 с.

11. Ащепков Л.Т., Новосельский A.B., Тятюшкин А.И. Идентификация динамических систем как задача управления параметрами // Автомат, и телемех. 1975. № 3. С. 178-182.

12. Бартеньев О.В. Современный Фортран. 4-е изд. М.: Диалог-МИФИ, 2005. 560 с.

13. Батурин В.А., Лемперт A.A., Урбанович Д.Е. Программная система идентификации динамических моделей // Матем. моделирование. 2004. Т. 16. № 6. С. 110-113.

14. Батурин В.А., Малтугуева Н.С. Метод улучшения второго порядка для решения задач оптимального управления логико-динамическими системами // Автомат, и телемех. 2011. № 4. С. 144-154.

15. Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Методы улучшения второго порядка для задач оптимального управления // Изв. РАН. Теория и системы управл. 1997. № 3. С. 99-103.

16. Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения. Новосибирск: Наука, 1997. 175 с.

17. Батурина О.В. Билинейные динамические системы: исследование итеративных методов оптимизации // Пробл. управл. 2010. № 5. С. 22-27.

18. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. 6-е изд. М.: БИНОМ, 2008. 636 с.

19. Брайсон Д., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления / Пер. с англ. М.: Мир, 1972. 544 с.

20. Будак Б.М., Васильев Ф.П. Некоторые вычислительные аспекты задач оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1975. 172 с.

21. Булатов A.B., Кротов В.Ф. О численном решении линейно-квадратичной задачи оптимального управления двойственным методом // Автомат, и телемех. 2009. № 7. С. 3-14.

22. Булдаев A.C. Новый подход к оптимизации управляемых систем на основе краевых задач // Автомат, и телемех. 2011. № 6. С. 87-94.

23. Булдаев A.C. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем. Улан-Удэ: Изд-во Бурятск. гос. ун-та, 2008. 256 с.

24. Булдаев A.C. Нелокальное улучшение управлений в системах с запаздываниями // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. № 2. С. 176-185.

25. Булдаев A.C. Проекционные процедуры нелокального улучшения линейно управляемых процессов // Изв. вузов. Матем. 2004. № 1. С. 18-24.

26. Булдаев A.C. Процедуры нелокального улучшения управления в квадратичных по состоянию задачах управления // Изв. РАН. Теория и системы управл. 2003. № 2. С. 76-85.

27. Булдаев A.C., Моржин О.В. Модификация метода проекций для улучшения нелинейных управлений // Вестник Бурятского гос. ун-та. Вып. 9: Матем. и информатика. 2010. С. 10-17.

28. Булдаев A.C., Моржин О.В. Улучшение управлений в нелинейных системах на основе краевых задач // Изв. Иркутского гос. ун-та. Матем. 2009. Т. 2. № 1. С. 94-107.

29. Булдаев A.C., Трунин Д.О. Метод нелокального улучшения в полиномиальных задачах оптимального управления с терминальными ограничениями // Управл. большими системами. 2008. Вып. 22. С. 51-69.

30. Булдаев A.C., Трунин Д.О. Нелокальное улучшение управлений в линейных по состоянию системах с терминальными ограничениями // Автомат. и телемех. 2009. № 5. С. 7-12.

31. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. 476 с.

32. Вайсборд Э.М. Метод последовательного проектирования для приближенного решения одной задачи оптимального управления // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1966. Т. 6. № 6. С. 971-980.

33. Васильев O.B. Лекции по методам оптимизации. Иркутск: Изд-во Иркутск. ун-та, 1994. 344 с.

34. Васильев О.В., Аргучинцев A.B. Методы оптимизации в задачах и упражнениях. М.: Физматлит, 1999. 208 с.

35. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном на принципе максимума // Журн. вы-числ. матем. и матем. физ. 1981. № 6. С. 1376-1384.

36. Васильев С.Н., Жерлов А.К., Федосов Е.А., Федунов Б.Е. Интеллектное управление динамическими системами. М.: Физматлит, 2000. 352 с.

37. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал-Пресс, 2002. 824 с.

38. Васильев Ф.П., Хорошилова Е.В., Антипин A.C. Экстраградиентный метод поиска седловой точки в задаче оптимального управления // Вестник Московского ун-та. Сер. 15: Вычисл. матем. и киберн. 2010. Я2 3. С. 18-22.

39. Величенко В.В. Численный метод решения задач оптимального управления // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1966. Т. 6. № 4. С. 635-647.

40. Габасов Р. К теории необходимых условий оптимальности особых управлений // Докл. АН СССР. 1968. Т. 183. № 2. С. 300-302.

41. Габасов Р. К теории оптимальных процессов в дискретных системах // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8. № 4. С. 780-796.

42. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. 508 с.

43. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимального управления // Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Т. 6. М.: ВИНИТИ, 1976. С. 133-259.

44. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Павленок Н.С. Оптимальное управление гибридными системами // Изв. РАН. Теория и системы управл. 2010. № 6. С. 42-52.

45. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Поясок Е.И. Оптимальное управление объектом при его наведении на подвижную цель в условиях неопределенности // Автомат, и телемех. 2011. № 3. С. 15-35.