Алгоритмы улучшения дискретного управления с временным регулятором и их программная реализация тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.11, кандидат технических наук Белышев, Дмитрий Владимирович

• Белышев, Дмитрий Владимирович
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Белышев, Дмитрий Владимирович

Введение

1 Описание метода и вывод базового алгоритма

1.1 Постановка дискретной задачи оптимального управления

1.2 Метод улучшения управления с временным регулятором

1.3 Базовый алгоритм улучшения

1.4 Примеры использования базового алгоритма

2 Свойства и модификации базового алгоритма

2.1 Релаксационность и сходимость.

2.2 Поиск глобального оптимума на первом шаге.

2.3 Алгоритм первого порядка.

2.4 Алгоритм улучшения без пересчёта вспомогательных функций

2.5 Алгоритм улучшения по направлению.

2.6 Учёт ограничений и взаимодействие с методом штрафов

3 Программное обеспечение

3.1 Программный комплекс в среде Maple.

3.2 Программный комплекс для решения задач оптимального управления со сложной структурой данных.

3.3 Программный комплекс на основе многометодного интеллектуального подхода.

3.3.1 Принципы построения программного комплекса многометодных интеллектуальных процедур.

3.3.2 Описание системы.

3.3.3 Реализация исследовательского прототипа.

4 Задача оптимизации стратегии развития региона

4.1 Социо-эколого-экономическая модель региона.

4.2 Сценарный анализ и процедура оптимизации.

4.3 Исследование агрегированной модели с использованием магистрального решения. щ 4.4 Сценарные расчеты для многомерной модели.

4.4.1 Сценарии Б и В.

4.4.2 Сценарии Г, Д и Е.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы улучшения дискретного управления с временным регулятором и их программная реализация»

Одной из фундаментальных проблем современности является задача оптимального управления. Разработано множество методов и приемов для улучшения управления динамическими системами, тем. не менее, работа * по созданию новых алгоритмов не теряет своей актуальности, поскольку практические задачи настолько разнообразны, что невозможно предложить единственный универсальный подход, который был бы одинаково эффективным для всех возможных постановок.

Важными для практики являются исследования дискретных моделей управляемых систем. Во-первых, такие модели, часто возникают в изначальных постановках задач; во-вторых, использование компьютерной техники для расчетов в большинстве случаев явно или неявно приводит непрерывные постановки к дискретному виду для применения численных схем. Кроме того, важное преимущество дискретных схем — отсутствие обременительных требований непрерывности и гладкости в общих достаточных условиях оптимальности (Кротова, Беллмана), что значительно расширяет ^ круг их приложений. В частности, существует концепция дискретно-непрерывной (гибридной) системы, которая позволяет трактовать непрерывную систему с дискретным управлением как дискретную и применять соответствующие методы для дискретных систем. Однако в литературе им уделяется значительно меньше внимания, чем непрерывным моделям. Отчасти это объясняется сложившимися традициями исследований по теории управления, берущими начало из классической механики и аналоговой электроники, а отчасти тем обстоятельством, что наиболее распространённые математические методы гораздо хуже адаптированы к дискретным моделям, чем к непрерывным, наделённым хорошими теоретико-функциональными свойствами. Основная же причина такого положения — отсутствие в общем случае дискретного аналога принципа максимума Понтрягина для непрерывных систем [15,54].

Настоящая работа посвящена численным методам оптимального управления. Приведём краткий обзор работ по этой тематике.

Краткий обзор

Впервые численные методы в оптимальном управлении были разработаны в конце 50-х — начале 60-х годов после получения необходимых условий оптимальности JI.C. Понтрягиным и его учениками [53]. Построение вычислительных методов, основанные на упомянутых условиях, получивших название «принцип максимума», началось с работ И.А. Крылова и Ф.Л. Черноусько [38,39]. Ими был разработан метод последовательных приближений, обладающий, однако, рядом существенных недостатков. Дальнейшее совершенствование схемы указанного метода велось параллельно школами, возглавляемыми Ф.Л. Черноусько и О.В. Васильевым. Предлагалось большое количество модификаций для различных классов задач. В конце 70-х годов были получены результаты, позволяющие судить о релаксацион-ности и сходимости методов [Васильев О.В., Тятюшкин, 1981, 1983; Васильев О.В., 1994; Vasiliev, 1996; Любушин, 1979, 1982; Любушин, Черноусько, 1983; Срочко, 1982].

Такой подход во многих задачах позволял найти приближенно-оптимальное решение, но во многих случаях оказывался неэффективным. Связано это было с отсутствием специальных регуляторов в алгоритмах.последовательных улучшений. Только в конце 70-х годов появились работы, в которых указанные недостатки были преодолены и для методов улучшения доказаны свойства релаксационности и сходимости. Следует отметить, что процедуры, основанные на принципе максимума, наиболее эффективны в задачах, где оптимальное управление имеет релейный характер. Для некоторого класса задач строились вычислительные процедуры, предусматривающие решение двухточечной краевой задачи [Васильев Ф.П;, 1981; Моисеев, 1971. 1975; Федоренко, 1978], что в общем случае вызывает существенные трудности. Успехи здесь достигнуты только для определенных классов задач, а универсальных вычислительных процедур не получено. Важной особенностью методов, основанных на принципе максимума, является наличие задачи максимизации функции Понтрягина по управлению на отрезке времени ненулевой меры. Если такая задача требует большого количества вычислений, то эффективность алгоритмов снижается.

Многие алгоритмы группируются вокруг методов спуска в пространстве управлений и основаны на исследовании первой и второй вариации функционала [Брайсон, Хо Ю-Ши, 1972; Келли, 1965; Кротов, Гурман, 1973; Сеф, 1973; Шатровский, 1962]. Сюда относятся все методы градиентного спуска, и их модификации. Такие алгоритмы эффективны для задач без ограничений на управление либо в случае, когда оптимальное управление находится внутри допустимой области. Если структура ограничений достаточно проста (например, ограничения параллелепипедного типа), то для приближенного решения задачи оптимального управления широко используются различные аналоги методов конечномерной оптимизации, такие как методы условного градиента, проекции градиента, возможных направлений, неопределенных множителей Лагранжа, методы последовательной линеаризации [Федоренко, 1975, 1978; Демьянов, Рубинов, 1968; Карманов, 1975; Срочко, 1989; Тятюшкин, 1992] и, т.д. Трудности, возникающие при решении задач со сложной структурой ограничений на управление, могут быть преодолены с помощью методов штрафных функций [Карманов, 1975] или модифицированных множителей Лагранжа [Гольштейн, Третьяков, 1989], позволяющих свести приближённо (но с любой степенью точности) исходную задачу к задаче, в которой нет ограничений или части из них.

Другое направление развития вычислительных процедур связано с исследованиями уравнения Беллмана [Беллман, 1960]. Сам по себе объект представляет сложную математическую структуру — уравнение в частных производных первого порядка, нагруженное операцией максимума. Достоинство таких исследований — получение оптимального синтезирующего управления как наиболее желаемой формы решения. Отметим работы В.З. Букреева [Букреев, 1968], связанные с построением приближённого оптимального синтеза управления, нашедшего отражение во многих прикладных задачах. Функция Беллмана в его исследованиях ищется в виде позинома, т.е. суммы произведений функций одной переменной. Используя эту идею и принцип локализации [Гурман, 1985], в работе [Новые методы., 1987] построена вычислительная схема последовательных улучшений.

Большая серия методов приближённого решения задач оптимального управления основана на достаточных условиях оптимальности Кротова, которые в дальнейшем, дополненные и переосмысленные, получили название принципа расширения. Исследования по существованию функции Кротова содержатся в работах М.М. Хрусталёва [Хрусталёв, 1978, 1988]: Основополагающей в направлении применения достаточных условий оптимальности к построению вычислительных процедур послужила работа В.Ф. Кротова [Кротов, 1975]. В ней сформулирована общая схема, в которой итеративным образом ищется функция. Кротова и соответствующее ей синтезирующее управление. На основе этой процедуры в работах [Кротов, Фельдман, 1978, 1983] представлен алгоритм последовательных улучшений управления, включающий в себя интегрирование присоединённой системы принципа максимума и линейного матричного уравнения.

Кроме упомянутого алгоритма, на основе принципа расширения развита серия методов первого и второго порядка слабого и сильного улучшения [Гурман, Батурин, Расина, 1983; Новые методы., 1987; Батурин, Урбанович, 1997]. Их особенностью является то, что итерационный процесс строится в форме нелинейного синтеза управления: В случае, когда исходный режим удовлетворяет необходимым условиям оптимальности (принципу максимума либо условиям стационарности), вычислительная процедура позволяет улучшить исследуемый режим, если он неоптимален в локальном смысле. Похожие алгоритмы содержатся в работах [Мерриэм, 1967; Jacobsonj 1968; Miele, 1975]. Они получены квадратичной аппроксимацией уравнения Беллмана, а регулятором выступает длина отрезка времени, отсчитываемая от правого конца траектории.

Отметим, что основные исследования проводились для задач оптимального управления с непрерывным временем, в то время как дискретные задачи исследованы существенно меньше. Р. Беллманом [Беллман, 1960] рассматриваются задачи динамического программирования для дискретных процессов, однако, как упоминалось выше, данный подход достаточно трудоёмок за счет необходимости'брать максимум по управлению на каждом шаге, тем не менее, на конечном множестве управлений он может быть эффективно реализован. Несмотря на невыполнение принципа, максимума для дискретных систем в общем случае, удалось для отдельных классов задач сформулировать аналог принципа максимума [Болтянский, 1973; Мордухович, 1988], на основе которого был разработан ряд алгоритмов улучшения.

Достаточно широкий класс итерационных методов улучшения управления дискретными системами основан на принципе расширения. В работах [Гурман, 1985,1997; Новые методы., 1987; Батурин, Урбанович, 1997] предложены алгоритмы первого и второго порядков, которые строятся в виде синтеза оптимального управления. В качестве регулятора в них используется добавка к функционалу в виде нормы близости текущего решения к начальному приближению, которая записывается следующим образом: пусть имеется функционал /: D—> R и некоторый элемент т1 Е D, где

D' — множество допустимых решений. Требуется найти лучший элемент т11 £ D в том смысле, что I(mn) < /(га1). Для этого вводится функционал J(ml, га) типа нормы близости га к m1 (J(ml, га1) = 0, J(ml,m) > 0 при m ф га1), и рассматривается задача о минимуме вспомогательного функционала/а .=■ (1 — a)I(m) -f aJ(ml,m), a £ [О,1]. Пусть ma = argmin/a, тогда при естественных предположениях о непрерывности, существует такое а*, что I(ma) < /(го1) для всех а* < а < 1, при этом гаа —> га1 (по норме J). Таким:образом, изменяя с* от 0 к 1, можно достичь необходимой степени близости та к га1 и эффективно использовать достаточные условия локального минимума, получаемые путем тейлоровских представлений конструкций достаточных условий Кротова в окрестности га1. В итоге получается алгоритм с параметром а, играющим роль регулятора, настраиваемого при конкретном применении, который выбирается так чтобы разность /(га1) — 1(та) была наибольшей:

Кроме тейлоровского представления функции; Кротова в работе [Никифорова, Ухин, 2004] рассматривается метод приближенного синтеза оптимального управления, где в качестве способа задания; функции Кротова используется интерполяционный полином. В работе [Гурман, Ухин, 2004] строится итерационная; процедура улучшения и оптимизации дискретного управления; основанная на локализации глобальной схемы решения задачи оптимального управления в стандартной форме как задачи о минимуме функции конечного состояния, задающей минимизируемый функционал задачи, на множестве достижимости управляемой системы. При этом используется новый оригинальный; подход к описанию и аппроксимации множества достижимости.

Одним из перспективных направлений решения задач оптимизации является применение многометодного подхода, заключающегося в комбинировании различных методов в процессе решения задачи. Описание подобных технологий есть в работах А.И. Тятюшкина, А.Ю. Горнова [24,60,61]. Данные авторы предлагают в качестве средства для создания многометодных поцедур использовать механизм параллельных вычислений, при котором выполняется одновременный запуск нескольких алгоритмов. После остановки алгоритмов происходит сравнение полученных результатов, среди которых выбирается наилучший, который принимается за начальное приближение. Процедура повторяется до тех пор, пока хотя бы один алгоритм позволяет улучшить текущее приближение. Описанный метод достаточно прост в реализации, но по сути он является полным перебором всех алгоритмов на каждом шаге, при этом не используются знания о свойствах решаемой задачи и применяемых алгоритмах улучшения, которые бы позволили снизить объем вычислнений.

Цель работы

Целью диссертационной работы является создание на основе достаточных условий оптимальности В.Ф. Кротова группы итерационных алгоритмов решения задач оптимального управления для дискретных систем и их программная : реализация.

Задачи работы

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

• разработка итерационного метода оптимального управления дискретной системой с регулятором в виде временного интервала;

• ■ разработка базового алгоритма второго порядка и его модификаций;

• исследование свойств базового алгоритма на предмет релаксационно-сти и сходимости;

• формулировка принципов построения интеллектуальных многометодных процедур оптимального управления;

• создание программных комплексов на основе предложенных принципов;

• решение тестовых и актуальных прикладных задач. Структура работы

Диссертационная работа состоит из четырёх глав (двух теоретических и двух прикладных), введения, заключения и двух приложений.

Во введении показана актуальность работы, представлен краткий обзор методов и подходов решения задач оптимального управления, определены цель и задачи, научная новизна и практическая значимость исследования, представлены результаты апробации выполненной работы.

В первой главе диссертационной работы описывается постановка дискретной задачи оптимального управления, приводится вывод алгоритма улучшения; второго порядка с регулятором- в виде временного интервала.

Вторая глава посвящена исследованию свойств, релаксационности и сходимости базового алгоритма, предложены четыре модификации алгоритма второго и первого порядков, рассмотрены примеры использования базового алгоритма и модификаций на тестовых задачах, приведены рекомендации по настройке алгоритмов и учёту ограничений, в том числе по повышению эффективности взаимодействия алгоритмов улучшения с методом штрафов.

Третья глава содержит описание трёх программных реализаций, выполненных на, базе разработанных алгоритмов. В главе сформулированы принципы построения интеллектуальных многометодных процедур для решения задач оптимального управления.

В четвертой главе приведены результаты, полученные при моделировании и оптимизации стратегии развития социо-эколого-экономической модели на примере региона Переел авля.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

В приложениях содержатся блок-схемы предложенных алгоритмов, а также справки об использовании реализованного программного обеспечения.

Научная новизна

Все результаты, полученные автором; являются новыми. Они состоят в следующем:

• разработан метод улучшения для задач оптимального управления с дискретным временем,.с новым типом регулятора — временным интервалом;

• на основе предложенного метода разработана серия новых алгоритмов улучшения управления первого и > второго порядка;

• предложен новый принцип построения многометодных процедур опти-мальногоуправления, использующий интеллектуальный анализ соответствия задач и• алгоритмов их решения.

Практическая ценность

Разработанные; алгоритмы улучшения управления первого и второго порядков и их модификации могут использоваться для решения широкого круга задач из техники, управления движущимися: объектами; для- моделированиям оптимизации управления экологическими, экономическими и, социальными процессами, в ряде других областей.

На базе полученных алгоритмов разработан программный комплекс, использовавшийся для сценарных расчетов= в социо-эколого-экономическом моделировании региона Переславля-Залесского и Сумской области (Украина) и проведен расчёт оптимальных стратегий их развития в рамках проектов TACIS АСЕ Project P95-4097-R, РФФИ » 97-01-00109, 02-01-06471, 03-01-00414-а. Результаты этих исследований отражены в ряде публикаций, в том числе в монографии [46].

Предложенный принцип построения многометодных процедур лёг в основу программного комплекса, реализованного в рамках проекта РФФИ N2 00-01-00731.

Для исследовательских и учебных целей была разработана Maple-библи-отека для решения задач оптимального управления, основу которой составили предложенные в данной работе алгоритмы. Этот программный продукт используется в курсах «Методы оптимизации» и «Оптимальное управление» в НОУ Институт программных систем — «Университет города Переславля» в качестве учебного пособия.

Апробация работы

Результаты работы обсуждались на семинарах Исследовательского центра процессов управления Института программных систем РАН и кафедры Системного анализа НОУ Институт программных систем— «Университет города Переславля». В виде докладов результаты были представлены на научных конференциях, в частности:

• международной конференции «Интеллектуальное управление: Новые интеллектуальные технологии в задачах управления (1С1Т'99)» (Пере-славль-Залесский, 1999);

• международной конференции IFIP WG2.5 WoCo 8 «Software Architectures for Scientific Computing Applications» (Ottawa, Canada, 2000);

• школе-семинаре «Понтрягинские чтения» (Воронеж, 2001);

• IV Всероссийской научной internet-конференции «Компьютерное и математические моделирование в естественных и технических науках» (Тамбов, 2002);

• международном симпозиуме «Обобщенные решения в задачах управления» (Переславль-Залесский, 2002);

• школе-семинаре «Понтрягинские чтения —XIII» (Воронеж, 2002). Основные публикации

По результатам исследований опубликовано 14 печатных работ [3-14,46, 68]. Из них автору лично принадлежат работы [3-7], остальные опубликованы в соавторстве. В монографии [46] автором выполнены сценарные расчёты социо-эколого-экономической модели и описан программный комплекс; в работах [8-11] автором предложен принцип построения интеллектуальных многометодных процедур оптимального управления и дано описание архитектуры программного комплекса, реализующего данный принцип; в работе [12] автору принадлежит вывод и описание алгоритма поиска оптимального управления дискретной системой; в работе [13] автором решена задача поиска оптимального управления для предложенной модели; в работе [14] автором реализован алгоритм и выполнены расчёты на основании полученных начальных приближений.

Автор выражает глубокую благодарность своему учителю В.И. Гурману за неоценимую помощь в работе над диссертацией.

Заключение диссертации по теме «Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей», Белышев, Дмитрий Владимирович

Заключение

В ходе выполнения работы получены следующие основные результаты:

1. На основе достаточных условий Кротова разработан итерационный метод улучшения управления для дискретных систем, использующий, наряду с известным регулятором типа нормы, новый тип регулятора — временной интервал. Разработан базовый алгоритм метода, исследованы свойства его улучшаемости и сходимости.

2. Предложены четыре модификации базового алгоритма, позволяющие сокращать количество требуемых вычислений в зависимости от особенностей задачи; проведён анализ эффективности базового алгоритма и его модификаций на тестовых примерах.

3. Сформулированы практические рекомендации по повышению эффективности использования разработанных алгоритмов и учёта ограничений методом штрафных функций.

4. Предложены принципы построения интеллектуальных многометодных процедур. I

5. Разработаны программные комплексы для численного решения дискретных задач оптимального управления: программа для исследования моделей в среде Maple, приложение для решения задач со сложной структурой данных, программный комплекс многометодных интеллектуальных процедур.

6. С помощью разработанных алгоритмов и программного обеспечения проведена серия вычислительных экспериментов над социо-эколого-экономической моделью региона.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Белышев, Дмитрий Владимирович, 2004 год

1. Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения. — Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1997.

2. Беллман Р. Динамическое программирование. — М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

3. Белышев Д.В. Алгоритм улучшения управления для дискретных систем // Современные методы в теории краевых задач «Понтрягин-ские чтения». — Воронеж: ВГУ, 2001. С 19.

4. Белышев Д.В. Многометодные процедуры оптимального управления II Сборник материалов «Понтрягинские чтения XIII». — Воронеж: ВГУ, 2002. С. 20-21.

5. Белышев Д.В. Итерационный алгоритм второго порядка оптимизации дискретных управляемых систем // Обобщенные решения в задачах управления. Труды международного симпозиума 27-31 августа 2002г. — Переелавль-Залесский, 2002. С. 225-227.

6. Белышев Д.В. Алгоритм улучшения дискретного управления с временным регулятором и его программная реализация // Программные системы: теория и приложения. — М.: Наука, Физматлит, 2004.— Т. 2. С. 349-368.

7. Белышев Д.В., Гурман В.И. Интеллектуальные процедуры оптимального управления // Автоматика и Телемеханика, 2002. № 5. С. 147155.

8. Белышев Д.В., Гурман В.И. Мультиметодные процедуры оптимального управления // Обобщенные решения в задачах управления. Труды международного симпозиума 27-31 августа 2002г. — Переславль-Залесский, 2002. С. 131-132.

9. Белышев Д.В., Гурман В.И. Программный комплекс многометодных интеллектуальных процедур оптимального управления // Автоматика и телемеханика, 2003. № 6. — С. 60-67.

10. Белышев Д.В., Соловьева О.В. Анализ инновационных эффектов развития региона на социо-эколого-экономической модели // Программные системы: теория и приложения. — М.: Наука, Физматлит, 2004.— Т. 2. С. 437-444.

11. Белышев Д.В., Шевчук Е.В. Алгоритм и программный комплекс для поиска оптимального управления // Интеллектуальное управление:

12. Новые интеллектуальные технологии в задачах управления (1С1Т'99). -Труды Международной конференции. — М.: Наука, Физматлит, 1999. С. 146-150.

13. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973.

14. Брайсон А., Хо-Ю-Ши Прикладная теория оптимального управления. — М.: Мир, 1972.

15. Букреев В.З. Об одном методе приближённого синтеза оптимального управления // Автоматика и Телемеханика, 1968. № 11. — С. 513.

16. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1981.

17. Васильев О.В. Лекции по методам оптимизации. — Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1994.

18. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном на принципе максимума // Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1981. № 6. — С. 1376-1384.

19. Васильев С.Н., Жерлов А.К., Федосов Е.А., Федунов Б.Е. Интеллект-ное управление динамическими системами. — М.: Наука, Физматлит, 1999. С 425.

20. Голыитейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагран-жа. Теория и методы оптимизации. — М.: Наука., 1989.

21. Горнов А.Ю., Тятюшкин А.И. Программная реализация мультиме-тодной технологии для задач оптимального управления // Труды III Междунар. конф. «Проблемы управления и моделирования в сложных системах». Самара: ИПУСС РАН, 2001. С. 301-307.

22. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука. Физматлит, 1997.

23. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. — М.: Наука, 1985.

24. Гурман В.И., Ухин М.Ю. Метод улучшения дискретного управления, основанный на аппроксимации множества достижимости // Программные системы: теория и приложения. — М.: Наука. Физматлит, 2004. (в печати)

25. Гурман В.И. Магистральные решения в задачах оптимизации стратегий развития // Автоматика и телемеханика, 2004.

26. Гурман В.И., Батурин В.А., Расина И.В. Приближённые методы оптимального управления. — Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1983.

27. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Приближённые методы решения экстремальных задач. — JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1968.

28. Емельянов С.В., Коровин С.К., Бобылев Н.А., Булатов А.В. Гомото-пии экстремальных задач. — М.: Наука, 2001.

29. Иванов А.Г. Параллельная программа поиска минимум // Высокопроизводительные вычисления и их приложения: Труды Всероссийской научной конференции (30 октября-2 ноября 2000 г., г. Черноголовка). М.: Изд-во МГУ, 2000. С. 250-252.

30. Карманов В.Г. Математическое программирование. — М.: Наука, 1975.

31. Кротов В.Ф. Вычислительные алгоритмы решения и оптимизации управляемых систем уравнений // Изв. АН СССР. Техн. Кибернетика. 4.1: 1975, №5, С. 3-15; 4.2: №6, С. 3-13

32. Кротов В.Ф., Фельдман И.Н. Итерационный метод решения экстремальных задач ]/ Моделирование технико-экономических процессов. М.: МЭСИ, 1978. С. 160-168.

33. Кротов В.Ф., Фельдман И.Н. Итерационный метод решения задач оптимального управления // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — М., 1983.- Т. 2. С. 160-168.

34. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. — М.: Наука, 1973.

35. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления // Журн. вы-числ. математики и мат. физики, 1962. N® 6. — С. 1132-1138.

36. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Алгоритмы метода последовательных приближений для задач оптимального управления // Журн. вы-числ. математики и мат. физики, 1972. № 1. — С. 1132-1138.

37. Келли Г.Дж. Метод градиентов // Методы оптимизации с приложениями к механике космического полёта. — М.: Наука, 1965. С. 101116.

38. Любушин А.А. Модификации и исследование сходимости метода последовательных приближений для задач оптимального управления // Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1979. № 6. — С. 1414— 1421.

39. Любушин А.А. О применении модификации метода последовательных прилбижений для задач оптимального управления // Журн. вы-числ. математики и мат. физики, 1982. № 1. — С. 30-35.43