Приближенная оптимизация управления на основе магистральных решений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Гусева, Ирина Сергеевна

• Гусева, Ирина Сергеевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Гусева, Ирина Сергеевна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОБЩАЯ СХЕМА

ПРИБЛИЖЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ НА ИХ ОСНОВЕ

1.1. Преобразование дифференциальной системы общего вида к системам с линейными управлениями

1.2. Преобразование систем с линейными управлениями к производным системам. Поиск магистральных решений

1.3. Общая схема приближенного исследования исходной задачи

ГЛАВА 2. РЕАЛИЗАЦИЯ ЭТАПОВ ОБЩЕЙ СХЕМЫ

2.1. Построение оценок границ допустимой области

2.2. Алгоритмы представления аффинной оболочки

2.3. Поиск идеального магистрального решения и его аппроксимация допустимыми

2.4. Исследование задачи Фуллера третьего порядка

2.5. Итерационное улучшение приближенного магистрального решения

2.5.1. Метод глобального улучшения Кротова

2.5.2. Вычислительные эксперименты

2.5.3. Модификация метода глобального улучшения с применением-ослабленной системы

ГЛАВА 3. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ

3.1. Оптимизация процесса передачи возбуждения в спиновой цепочке

3.1.1. Постановка задачи

3.1.2. Метод решения

3.1.3. Вычислительные эксперименты

3.2. Эколого-экономические задачи

3.2.1. Модель региона

3.2.2. Оптимизация экономического роста

3.2.3. Алгоритмы аппроксимации

3.2.4. Нормативный подход к оценке инновационных затрат

3.2.5. Оптимизация стратегии устойчивого развития региона

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближенная оптимизация управления на основе магистральных решений»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы и степень ее разработанности. За прошедшие полвека, начиная с известных работ JI.C. Понтрягина [90] и Р. Беллмана [7], теория оптимального управления превратилась в обширную область исследований, охватывающую разнообразные классы задач, объектов управления и методы их решения, которые нашли отражение в трудах отечественных и зарубежных ученых и возглавляемых ими научных школ и направлений: H.H. Красовский [70,71], A.B. Куржанский [80], В.Ф. Кротов [73,74,78], A.A. Милютин [58], Я.З. Цыпкин [116], С.Н. Васильев [11-13], Г.С. Осипов [88], А.И. Пропой [92,93], Ю.С. Попков [91,116], Л.А. Бекларян [1,124], М.М. Хру-сталев [114,115], В.В. Токарев [65,101], Б.М. Миллер, Е.Я. Рубинович [82], А.Г. Ченцов [103,117,118] А.Н. Сесекип [99,100], В.А. Дыхта [60], Г.Н. Константинов [68], J. Warga [130], J. Lygeros [126,127], A.J. Van der Shaft, H. Schumacher [129] и многие другие.

Происходит непрерывное усложнение систем, исследуемых математическими методами, и соответственно возрастают трудности самого процесса исследования. Реальные объекты управления зачастую плохо представимы, или вообще не представимы, в терминах классических дифференциальных систем, к ним относятся системы переменной структуры (C.B. Емельянов [63]), дискретно-непрерывные системы (ДНС) (В.И. Гурман, И.В. Расина [21]), логико-динамические системы (С.Н. Васильев [11]), импульсные процессы (Я.З. Цыпкин [116J, В.А. Дыхта [60], Б.М. Миллер, Е.Я. Рубинович [82]). Аналогичная ситуация наблюдается при исследовании интеллектуальных динамических систем. Автор монографии [88], Г.С. Осипов, отмечает, что назрела потребность в разработке двухуровневых систем управления, в которых верхний уровень решает задачи глобального планирования управляемого процесса с использованием средств искусственного интеллекта, а нижний реализует требуемое действие.

Для решения задач оптимального управления существует достаточно хорошо развитый математический аппарат, основу которого составляют такие фундаментальные результаты, как принцип максимума J1.С. Понтрягина [90], метод динамического программирования Р. Беллмапа [7] и достаточные условия оптимальности В.Ф. Кротова [74], а также работы H.H. Красовского [71],

A.Б. Куржанского [80], Дж. Варга [130], А.Я. Дубовицкого и A.A. Милютина [58], H.H. Моисеева [83], М.М. Хрусталева [114] и многих других авторов. Многих исследователей привлекает возможность применения методов нелинейного программирования к решению задач оптимального управления, в т.ч. непрерывных с помощью частичной или полной дискретизации задачи по управлению и состоянию (Ю.Г. Евтушенко [61], Р.Ф. Габасов, Ф.М. Кириллова, А.И. Тятюшкин [14], А.Ю. Горнов [16]).

Усложнение изучаемых объектов неизбежно влечет усложнение их математических моделей и методов исследования, как точных, так и приближенных, реализованных в численных алгоритмах. Важным мотивом развития приближенных методов является тот факт, что из-за сложности исследуемых объектов и применяемого математического аппарата поиск аналитического решения практически невозможен, и это заставляет применять численные методы и алгоритмы, т.е. находить приближенные решения поставленных задач. Разработано достаточно много численных методов, главным образом — итерационных, в работах, Дж. Келли [66], H.H. Моисеева [83,84], И.А. Крылова [79], Ф.Л. Черноусько [119], Л.И. Шатровского [120], Т.М. Энеева [121],

B.В. Салмина [97,98], В.А. Батурина [4], И.В. Расиной [95], Б.Т. Поляка [89], и других работах. Достаточно полное представление об этих методах дают также, обзоры, содержащиеся в работах В.А. Батурина, Д.Е. Урбаповича [5], В.А. Срочко [102], В.И. Гурмана, И.В. Расиной, А.О. Блинова [46]. Среди них отметим наиболее эффективные, основанные на принципа расширения, локализации (В.И. Гурман, И.В. Расина, В.А. Батурин [39,41]), минимаксного принципа (В.Ф. Кротов, И.Н. Фельдман [73,74,125]), на нелокальном

улучшении управления на итерациях (В.А. Срочко [102], А.С. Булдаев [9]). В работах Г.А. Колокольниковой, В.А. Батурина [4,67] на основе метода преобразований В.И. Гурмана и достаточных условий оптимальности В.Ф. Кро-това предложены специальные итерационные методы решения вырожденных задач оптимального управления (модифицированные алгоритмы улучшения первого и второго порядков). Также в научной литературе большое внимание уделяется разработке вычислительных методов, как для линейных управляемых систем, так и для нелинейных (А.И. Тятюшкии [108], А.Ю. Горнов [16], Р.П. Фсдоренко [112]).

Однако итерационные процедуры ведут к искомому решению гарантированно лишь при наличии хорошего начального приближения, для поиска которого универсальных процедур и общих рекомендации пока не существует, и исследования в этом направлении чрезвычайно важны для повышения эффективности оптимизационных алгоритмов. Отметим выполненные в этом направлении работы [36,106], в которых сформулирован общий подход к приближенному исследованию, включающий и поиск начального приближения на основе преобразований модели объекта, достаточных условий оптимальности и глобальных оценок и предложен ряд конкретных методов.

В диссертации этот подход развивается па основе магистральных решений, характерных для обширного класса вырожденных задач оптимального управления, к которому относятся многие прикладные задачи из различных областей. Это показывает достаточно богатый опыт их исследования, накопленный, например, в монографиях В.Ф. Кротова, В.З. Букреева, В.И. Гурмана [75], В.Ф. Кротова, В.И. Гурмана [74], В.И. Гурмана, Е.В. Рюминой [28], И.В. Краснова, Н.Я. Шапарева, И.М. Шкедова [69]. Под вырожденностью задачи оптимального управления понимается наличие в исследуемой задаче скрытых пассивных дифференциальных связей или дискретных цепочек, исключение которых, по существу, не меняет искомого решения. Это свойство затрудняет применение общих методов, но, с другой стороны, открывает

возможности упрощений при исследовании за счет применения специальных методов теории вырожденных задач (В.И. Гурман [19]). Также характерным признаком вырожденности является наличие в исследуемой модели линейных управлений. Задачи для такого класса моделей распространены на практике как самостоятельные, а также получаются в результате перехода к эквивалентным ослабленным системам путем овыпуклсния множества скоростей в исходной модели или его подмножеств (Дж. Варга [131], В.И. Гурман [41]).

Общий подход специальных методов теории вырожденных задач состоит в поиске и исключении пассивных связей. В итоге, исходная задача, нерегулярная с точки зрения общих методов, заменяется точно или приближенно регулярной производной задачей, ргмеющей меньший порядок, что означает упрощение исходной. В свою очередь, если производная задача вырождена, то она вновь может быть преобразована к производной задаче (второй ступени) и т.д. до тех пор, пока такая процедура возможна.

Понижение порядка означает, что ее решение может не удовлетворять исходным граничным условиям. В этом случае соответствующее решение исходной задачи называется магистралъиъш (В.И. Гурман [26]). В указанной статье с общих позиций сказано о магистральной природе решений прикладных задач оптимального управления. Действительно, при построении математической модели на этапе постановки задачи предполагается безынерцион-ность управляющих воздействий, т.е. возможность переключения управления с одного значения на другое мгновенно. Но на практике точная реализация невозможна, т.к. все реальные процессы требуют затраты некоторого времени на переход из одного состояния в другое. Если этот переход может быть описан дифференциальной связью, то в терминологии теории вырожденных задач, первоначально поставленная задача (идеализированная, допускающая мгновенное переключение управлений) будет производной относительно задачи с учетом описанной дифференциальной связи.

В ряде случаев, как показывает практика, эффективные методы теории

вырожденных задач можно распространить и на невырожденные с помощью искусственных приемов, либо приближенной заменой модели объекта. Таким образом, магистральные решения представляют большой интерес как приближенные глобально оптимальные решения, которые могут служить эффективными начальными приближениями в некотором итерационном процессе, а также использоваться для построения эффективных итераций по принципу локализации глобальных решений. Все это обуславливает актуальность темы.

Цель диссертационной работы: расширить и систематизировать класс управляемых дифференциальных систем, для которых возможны магистральные решения соответствующих задач оптимального управления, разработать процедуру приближенного исследования на этой основе и апробировать ее на модельных и представительных прикладных задачах.

Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи:

1. Изучить свойства класса задач с линейными управлениями, имеющих

магистральные решения, и его связь с задачами оптимального управления общего вида и возможности его эффективного использования на разных этапах исследования (сформулировать общий подход);

2. Разработать методы и алгоритмы реализации магистральных решений для получения начальных приближений в итерационных процедурах;

3. Предложить эффективные итерационные алгоритмы оптимизации с использованием магистральных решений;

4. Сформулировать и решить указанными методами актуальные прикладные задачи.

Научная новизна результатов. Основные результаты диссертации являются новыми. Среди них наиболее важные:

— преобразование управляемой дифференциальной системы общего вида

к эквивалентным системам с линейными управлениями, порождающими магистральные решения задач оптимального управления;

— схема приближенной оптимизации управления с применением магистральных решений как начальных приближений в итерационных процедурах;

— итерационные алгоритмы оптимизации, использующие магистральные решения и системы с линейными управлениями, эквивалентные исходной;

— решения прикладных задач управления квантовыми системами и регионального устойчивого развития в новых постановках.

Теоретическая и практическая значимость результатов. В работе показано, что задачи оптимального управления для дифференциальных систем общего вида могут быть сведены к исследованию систем с линейными управлениями, порождающих магистральные решения. На этой основе разработана многоэтапная схема исследования, апробированная на ряде прикладных задач, имеющих самостоятельное значение, что демонстрирует возможности ее широкого практического применения. Результаты исследований отражены в ряде публикаций и в научных отчетах, выполненных в рамках проектов РФФИ: № 08-01-00945-а «Автоматизация алгоритмов возмущений и нелокальных улучшений в нелинейных задачах оптимизации управляемых систем»; № 09-01-90203-Монг_а «Автоматизация средств оптимального управления эколого-экономическими процессами Байкальского региона и Монголии»; № 12-01-00256-а «Исследование импульсных и гибридных управляемых систем на основе дискретно-непрерывных моделей»; № 1431-50879 мол_нр «Модели управляемых систем для поиска приближенно-оптимальных магистральных решений»; РГНФ: № 11-02-00171-а «Системный анализ стратегий устойчивого развития на примере Бурятской части Байкальского региона».

Методы исследования. В работе используются специальные методы теории вырожденных задач, достаточные условия оптимальности, принципы

расширения и локализации, качественная теория дифференциальных уравнений и систем, численные методы интегрирования.

Далее приведены основные сведения из теории указанных методов.

Абстрактные задачи об оптимуме. В [41] сформулирована задача оптимального управления в общих терминах. Для заданных функционала I : М —>• Ж (отображения некоторого множества М, называемого основным, на числовую ось) и некоторого подмножества D С М (называемого множеством допустимых) требуется найти минимизирующую последовательность {ms} функционала / на множестве D:

I(ms) —> in Г / = /*, D

в частности, найти такой элемент (минилшль) т* € D, что 1{т*) = min/.

Общий подход к ее решению в теории Кротова [41,74] опирается па принцип расширения, который состоит в замене исходной задачи (D,/) другой, более простой, задачей (Е, L), которая дает решение исходной задачи. Здесь функционалы I, L : МчМи множества D, Е С М. Задача (Е, L) при условиях D С Е, L(m) < /(га), т £ D является расширением исходной задачи (D,/) и разрешающим расширением, если выполняются условия I < L(m), где I — любое число, т Е Е и I(ms) —» I, где последовательность {ms} С D.

Для любого элемента т б D и любого расширения (Е, L) имеет место оценка

I(m) — inf / < А = I(m) — I,

D

где I нижняя граница, в частности, нижняя грань L на Е. Практически целью является построение такого расширение, при котором задача (Е, L) решалась бы достаточно просто. Если величина А достаточно мала, то соответствующий элемент т можно принять в качестве оценочного приближенного решения задачи (D, /), в то время как точное решение остается неизвестным.

Вырожденные задачи возникают в случае разрешающего расширения, при котором Ь = I. Согласно их общему определению (В.И. Гурман [19]), задается некоторый класс е расширений (Е,/), включающий расширеиие (М, /). Исходная задача (О, I) называется вырожденной относительно класса£, если в £ найдется разрешающее расширение.

Наряду с задачей оптимизации рассматривается задача улучшения: задан элемент га1 Е О требуется найти элемент га11 6 В, на котором /(га11) < /(т1). По существу она состоит в построении некоторого оператора 9{т), О : В —> О, такого что 1(в(т)) < /(га) [18]. При некотором заданном начальном элементе такой оператор генерирует улучшающую, в частности, минимизирующую последовательность {т3} : т8+\ — в(т8).

Принцип локализации [39,41] состоит в том, чтобы сводить задачу улучшения к задаче оптимизации на приближенной упрощенной модели (описании функционала / на О) в окрестности улучшаемого элемента га1 Е О. В целях сохранения решения в заданной окрестности, задача локализуется путем добавления с определенным весом к / положительно определенного функционала J(mI,m) типа нормы, такого что ./(га1, га1) = 0, ./(т^т) > О при т Ф т1. Вводится вспомогательный функционал

1а(т) — а1(т) + (1 — а)1{т1, т), 0 < а < 1,

и для него рассматривается задача минимизации. Функционал ./(т1, га) играет роль штрафа за отклонение га от га1. Другой способ — для непосредственного выделения желаемой окрестности вводится ограничение 7(га1, га) < а. Здесь параметр а играет роль регулятора метода улучшения, меняя его можно добиться эффективного улучшения.

Минимаксный принцип [73,74,125] состоит в задании функционала Ь так, чтобы он достигал максимума на т1, тогда выбор любого элемента га Ф га1 из Е, в том числе из О, например, из условия минимума Ь на Е, приведет к

улучшению, т.е. обеспечит неравенство/(m) < /(m1).

Достаточные условия улучшения и оптимальности управления.

Для заданного множества допустимых D С М, где M — множество пар m = (x(t),u(t)), t G T = £ £ Мп, и G Rp, рассматривается управляемая

дифференциальная система

х = f{t, х,и), te Т, x Е X(t) CR", и Е U(i, х) С W, (1)

или, иначе,

±EV{t,x), V(i, х) = /(i, х, U(i, х)), (2)

где /(i, ж, и) — непрерывна, — кусочно-непрерывны, x(t) — кусочно-гладкие, Г, X(i), и(£,ж) — заданные множества, ~V(t,x) С Жп — множество скоростей в момент t в состоянии х. Задано множество D решений этой системы, удовлетворяющих граничным условиям x(tj) = xj и x{tp) G Г, и функционал I = F(x(tF))- Функция F(x) непрерывна.

Класс расширений строится путем исключения дифференциальной связи, при этом функции x(t), u{t) полагаются кусочно-непрерывными, а функционал L задается посредством скалярной функции (fit, х) — непрерывной и гладкой:

L = G{x{tF)) - J(R(t, x{t), u(t)))dt,

T

R{t, x, и) = <£xf(t, x, u) + (ft, ¡¿{t) = sup R(t, x, u),

(x,u)

xeX(t), ueU(i,4

G(ar) = F(>) + x) - </?(*/, ж/), / = inf{G(x) : a; G X(tF) П Г}.

В этих терминах имеют место следующие теоремы.

Теорема 0.1. Пусть имеются два процессат} Е D и m11 G Е и функция ср, такие что L (m11) < L (m1) = I (m1) и m11 G D. Тогда /(m11) < /(m1).

Теорема 0.2. Пусть имеются последовательность прог^ессов {т3} С Ю и функция (р, такие что:

1) ¡1{Ь) — кусочно-непрерывна;

2) Я(*, жв(*),ив(*))-►/*(*), * ЕТ;

3) в{х3{ЬР)) I.

Тогда эта последовательность минимизирующая для I на Ю.

Достаточные условия улучшения и оптимальности сводят задачи оптимизации с дифференциальными связями к задаче без таких связей или, более детально, к задачам математического программирования (минимизацииС(х) и максимизации х, и) при различных заданных значениях ¿).

Положения, выносимые на защиту:

1. Преобразование управляемой дифференциальной системы общего вида к эквивалентным системам с линейными управлениями, порождающими магистральные решения задач оптимального управления;

2. Общая схема приближенной оптимизации управления с применением магистральных решений как начальных приближений в итерационных процедурах;

3. Алгоритмы реализации магистральных решений;

4. Решения на основе предлагаемого подхода прикладных задач управления квантовой и эколого-экономическими системами.

Степень достоверности и апробация работы. Достоверность полученных результатов подтверждается корректным применением математического аппарата, доказательствами сформулированных утверждений, проведенными численными экспериментами и решениями сложных прикладных задач. Результаты работы были представлены в докладах и обсуждались на следующих научных мероприятиях:

— Молодежный симпозиум с международным участием «Теория управления: новые методы и приложения» (г. Переславль-Залесский, 22-26 сентября 2009 г.);

— II Международная школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (г. Иркутск, 28 июня - 4 июля 2010 г.);

— III Международная конференция «Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы» (г. Улан-Удэ - оз. Байкал, 6-11 сентября 2010 г.);

— V Международный симпозиум «Обобщенные постановки решения задач управления» (V International Symposium «Generalized Statement and Solutions of Control Problems») (г. Улан-Батор, Монголия, 13-17 сентября 2010 г.);

— Национальный семинар «Теория оптимального управления и ее приложения» (г. Сюйчжоу, Китай, 21-23 августа 2011 г.);

— Российско-Китайский семинар «Теория оптимального управления и научные вычисления» («Sino-Russian Symposium on Optimal Control and Computing», г. Шанхай - г. ТонЛи, Китай, 5-7 ноября 2012 г.);

— Межрегиональная молодежная школа-семинар «Моделирование социо-эколого-экономических процессов в регионе» (г. Улан-Удэ, 27-29 ноября 2013 г.);

— XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014 (г. Москва, 16-19 июня 2014 г.);

— V Международная конференция «Математика, ее приложения и математическое образование» МПМО-2014 (г. Улан-Удэ, оз. Байкал, 23-28 июня 2014 г.);

— Econometric Analysis Symposium on Economics Issues between Russia and China (г. Улан-Удэ, оз. Байкал, 17-23 августа 2014 г.);

— VII Международный научный симпозиум «Обобщенные постановки и решения задач управления» GSSCP-2014 и Молодежная школа-семинар «Модели и методы исследования систем неоднородной структуры» (г. Геленджик, пос. Дивноморское, 23-30 сентября 2014 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 23-х печатных работах, включая статьи в журналах, трудах конференций, симпозиумов, семинаров, среди которых [2,3,8,22,24,25,27,35,37,38,44,47-55,85,96,122]. Статьи [49,50,85,96] представлены в журналах, рекомендованных ВАК Ми-нобрнауки РФ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Страниц — 104, рисунков — 31, таблиц — 10, в списке литературы 131 наименование.

Глава 1 посвящена преобразованию общей задачи оптимального управления к эквивалентным задачам с линейными управлениями, для которых характерны магистральные решения, получаемые специальными методами теории вырожденных задач. В этой главе формулируется общая схема поиска приближенно-оптимального управления с использованием этих решений и глобальных оценок множеств достижимости управляемой системы.

В главе 2 проведено поэтапное исследование вариантов общей схемы и разработаны алгоритмы ее реализации, поиска идеального магистрального решения и его аппроксимации решениями исходной системы.

В главе 3 рассматриваются прикладные задачи управления квантовой системой, оптимизации экономического роста и стратегий устойчивого развития региона с учетом инноваций.

В заключении представлены основные научные результаты работы и намеченные направления дальнейших исследований.

В приложении содержится доказательство теоремы 1.1.

ГЛАВА 1

ОСНОВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОБЩАЯ СХЕМА ПРИБЛИЖЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ НА ИХ ОСНОВЕ

В данной главе предлагается преобразование общей задачи оптимального управления к эквивалентным задачам с линейными управлениями, для которых характерны магистральные решения, получаемые специальными методами теории вырожденных задач. Формулируется общая схема поиска приближенно-оптимального управления с использованием этих решений и глобальных оценок множеств достижимости управляемой системы.

1.1. Преобразование дифференциальной системы общего вида к системам с линейными управлениями

Рассматривается обыкновенная дифференциальная управляемая система общего вида

х = /(г,х,и), геТ = [г1Лр], х е К", иеисГ (1.1)

при традиционных для работ прикладного направления предположениях и задача оптимального управления в стандартной форме

х € Х(£) С Ж", х(Ь) = хи х{ЬР) £ Г, I = F(ж(¿iг)) т£, (1.2)

где множества и и Х(£) замкнутые и ограниченные, функции /(£,ж,'и) и Р{х) непрерывны. Под решением задачи (1.1), (1.2) понимается минимизирующая функционал I последовательность тп3 допустимых пар функций тп = (а;(£), м(£)), удовлетворяющих (1.1), где траектории х(Ь) — кусочно-гладкие, а соответствующие программы управлений и{€) — кусочно-непрерывные. Наряду с исходной системой (1.1) рассматриваются следующие системы, назы-

ваемые ослабленными:

т

х = ЛМ> и0) + ^^(/(¿,£,71/) - /(¿,а;,мо)), т < п; (1.3) г=1

+ 1) = 1(4/(9 + 1)) = + 1),

т

ж = + - ж, гг0)), т < п, (1.4)

/=1

д = 0,1,... Xй(0) = хг,

т

< 1, щ Е и, щ > О;

(1.5)

/=1

«;6W(t,a;)cMfc! к < п.

(1.6)

Правые части (1.3) представляют собой выпуклые комбинации правых частей исходной при различных значениях и Е и.

Система (1.4) дискретно-непрерывная [94], на каждом дискретном шаге которой действует система (1.3). При этом исходная задача переписывается как задача верхнего уровня:

Правая часть (1.6) представляет собой параметрическое описание выпуклой оболочки множества скоростей (скоростного годографа) системы (1.1): ж) = /(£,х,и); х) — выпуклое множество в пространстве (ги).

Множество решений каждой из этих ослабленных систем шире (не уже), чем множество решений исходной системы. Это непосредственно следует из того, что все три системы содержат дополнительные управления (гц, ац), по сравнению с исходной системой. При оц = 0 любая из ослабленных систем переходит в исходную. Введем понятие эквивалентности дифференциальных

ж е х(г) с жга, я(г/(о)) = хТ, х*{0) = хи

х{гР{дР)) Е Г, / = ^Ы) и* •

управляемых систем:

Определение 1.1. Две дифференциальные управляемые системы называются эквивалентными в заданной топологии, если решение одной аппроксимируется последовательностью решений другой в той же топологии. Справедливо утверждение:

Теорема 1.1. При перечисленных выше предположениях любая из систем (1.3), (1.4), (1.6) эквивалентна исходной (1.1) в следующем, смысле: пусть ж(£) — непрерывная траектория любой из систем (1.3), (1.4), (1.6) на ограниченном отрезке Т, тогда существует последовательность {х8(^} кусочно-гладких траекторий системы (1-1), сходящаяся на Т равномерно к х{1).

Доказательство. Доказательство этой теоремы конструктивное, аналогичное доказательству теоремы 2.1 из [19], состоит из двух частей: 1) построение указанной аппроксимирующей последовательности, 2) доказательства се сходимости к решению системы (1.3). Здесь приведем первую часть, важную для практической реализации. Вторая часть приводится в приложении.

Для системы (1.3) при любом т последовательность {а;^)} построим следующим образом. Разобьем отрезок Т на 5 частей Тр = [¿р-1, tp] точками ¿р, р — 1, 2,. . . , 5, ¿о = ts = включающими все точки разрыва х{€). В каждой точке ¿р_1 имеем х (¿р-1 + 0) — правый предел х{Ь) и некоторое представление

т

X (¿р_1 + 0) = «г (гр_1) / (Ьр- 1,х (£р_1), щ{гр-1)), 1=0

поскольку

X (¿р_1 + 0)еУс (¿р-ь Ж (£„_!)).

Далее, каждый отрезок Тр разобьем на т+1 отрезков: Трг = [£р/, £р(/+1)], Тр = итр/, £ро = ¿р-ъ ¿рш = ¿р, длиной щ (¿р-х) Д£р, где Д£р = £р - ¿р_ь Зададим

I

функцию хя(£) как непрерывную ломаную, составленную из решений системы

(1.1) на отрезках ТР1 при и = щ^р^), начинающуюся из точки (£/, х (£/)), так что х3 (£/) = а;(£/). Отдельные фрагменты построения последовательностей х3(Ь), жя(£), ж>9(£) для примера

представлены на рисунке 1.1. Доказательство о равномерной сходимости по-

строенной последовательности к ж(£) дано в приложении.

Система (1.4) является дискретно-непрерывным представлением системы (1.3). Переписав ее в непрерывном виде, получим непосредственно (1.3), для которой эквивалентность уже доказана.

Из системы (1.3) при т = п согласно известной теореме Каратеодори о представлении выпуклых множеств [15], получается система с выпуклым множеством скоростей (1.6). Известно, что выпуклое множество представимо как выпуклая область в пространстве, построенном на своей несущей гиперплоскости. Эта гиперплоскость совпадает с аффинной оболочкой исходной системы. □

Представление (1.4) полезно при дальнейшей реализации. Пример 1.1. Рассматривается следующая система

ж1 = (х2)2, х2 = и, ££[0,2] х1{0) = 0, £2(0) = 1

1

Рис. 1.1.

хх — х2 — и, х2 = х3и, х3 = х1{и)2, и Е [0,10].

(1.7)

На рисунке 1.2 представлено множество скоростей /(£, ж, и) в нескольких фиксированных точках

Рис. 1.2.

Для системы (1.7) представление (1.3) записывается в виде:

(

х1 = х2 — щ — ах{и\ — ио), \ х1 = +х^а^их — щ),

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гусева, Ирина Сергеевна, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Акопов, А. С. Укрупненная модель эколого-экономической системы на примере Республики Армения / А. С. Акопов, JI. А. Бекларян, А. Л. Бекларян, А. К. Сагателян // Компьютерные исследования и моделирование. - 2014. - Т. 6. - № 4. - С. 621-631.

2. Ачитуев, С. А. Об одной задаче оптимального управления в эколого-экономической модели / С. А. Ачитуев, И. С. Гусева // Вестник Бурятского гос. ун-та. — 2008. — Вып. 9. Математика и информатика. — С. 138-145.

3. Ачитуев, С. А. Оптимизация стратегии устойчивого развития региона / С. А. Ачитуев, И. С. Гусева // Вестник Бурятского гос. ун-та. — 2009.

— Вып. 9. Математика и информатика. — С. 10-17.

4. Батурин, В. А. Методы поиска импульсных режимов высокого порядка в задачах оптимального управления / В. А. Батурин, И. О. Верхозина

I

// Оптимизация, управление, интеллект. — 2000. — № 4. — С. 56-66.

5. Батурин, В. А. Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения / В. А. Батурин, Д. Е. Урбанович.

— Новосибирск : Наука, 1997. — 175 с.

6. Батурина, О. В. Оптимальное управление системой спинов на основе метода глобального улучшения / О. В. Батурина, О. В. Моржин // Автомат, и телемех. - 2011. — № 6. — С. 79-86.

7. Беллман, Р. Динамическое программирование / Р. Беллман. — М. : Изд-во иностранной литературы, 1960. — 401 с.

8. Будаева, Д. Ц. Влияние инвестиций и прямых инновационных затрат на оптимальные стратегии развития региона / Д. Ц. Будаева, И. С. Гусева, С. Н. Насатуева // Программные системы: теория и приложения : электрон, паучн. журн. - 2012. — Т. 3. — № 5(14). - С. 23-32. URL: http: //pstа. psiras. ru/read/psta2012_5_23-32. pdf

9. Булдаев, А. С. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем / А. С. Булдаев. — Улан-Удэ : Издательство БГУ, 2008. - 260 с.

10. Бурков, В.Н. Модели и механизмы управления эколого-экономическими системами / В.Н. Бурков, Д.А. Новиков, A.B. Щепкин // Пробл. управл. - 2009. № 1. - С. 2-7.

11. Васильев, С. Н. Теория и применение логико-управляемых систем / С. Н. Васильев // Труды 2-ой Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'03. Москва, 29-31 января 2003 г. - М. : ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН, 2003. - С. 23-52.

12. Васильев, С. Н. Принцип сравнения в математической теории систем / С. Н. Васильев, В. М. Матросов, Е. А. Суменков // УМН. - 1985. - Т. 40. - № 4(244). - С. 149-150.

13. Васильев, С. Н. Моделирование и управление процессами регионального развития / Под ред. С. Н. Васильева. — М. : Физматлит, 2001. — 432 с. '

14. Габасов, Р. Конструктивные методы оптимизации. 4.1: Линейные задачи / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова, А. И. Тятюшкин. — Минск : Университетское, 1984. — 207 с.

15. Гамкрелидзе, Р. В. О скользящих оптимальных режимах / Р. В. Гамкре-лидзе // Доклады АН СССР. - 1962. - Т. 143. - № 6. - С. 1243-1245.

16. Горнов, А. Ю. Вычислительные технологии решения задач оптимального управления / А. Ю. Горнов. — Новосибирск : Наука, 2009. — 278 с.

17. Горстко, А. Б. Введение в моделирование эколого-экономических систем / А. Б. Горстко, Г. А. Угольницкий. Ростов-на-Дону : Изд-во Рост, ун-та, 1990. - 110 с.

18. Гурман, В. И. Абстрактные задачи оптимизации и улучшения / В. И. Гурман // Программные системы: теория и приложения : электрон, научн. журн. — 2011. — № 5(9). — С. 21-29. URL:http://psta.psiras. ru/read/psta2011_5_21-29.pdf

19. Гурман, В. И. Вырожденные задачи оптимального управления / В. И. Гурман. — М. : Наука, 1977. — 304 с.

20. Гурман, В. И. Вырожденные задачи оптимального управления (обзор) / В. И. Гурман, Ни Минь Кань // Автомат, и телемех. — 2011. — 4.1: № 3. С. 36-50. - Ч.И: № 4. С. 57-70. - Ч.Ш: № 5. С. 32-46.

21. Гурман, В. И. Дискретно-непрерывные представления импульсных решений управляемых систем / В. И. Гурман, И. В. Расина // Автомат, и телемех. - 2012. - № 8. - С. 16-29.

22. Гурман, В. И. Итерационные процедуры на основе метода глобального улучшения управления / В.-И. Гурман, О. В. Фесько, И. С. Гусева, С. Н. Насатуева // Программные системы: теория и приложения : электрон, научн. журн. - 2014. - Т. 5. — № 2(20). - С. 47-61. URL: http: //psta. psiras.ru/read/psta2014_2_47-61.pdf

23. Гурман, В. И. Магистральные решения в задачах оптимизации стратегий развития регионов / В. И. Гурман, М. Ю. Ухин // Автомат, и телемех. - 2004. - № 4. - С. 108-117.

24. Гурман, В. И. Задача управления квантовой системой / В. И. Гурман, И. С. Гусева, О. В. Фесько //В кн.: XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. Москва, 16-19 июня 2014 г.: Труды. - М. : ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 2014. - С. 1434-1442. ISBN 978-5-91450-151-5. URL: http://vspu2014.ipu.ru/proceedings/ prcdngs/1434.pdf

25. Гурман, В. И. Магистральные решения в задаче управления квантовой системой / В. И. Гурман, И. С. Гусева, О. В. Фесько // Программные

системы: теория и приложения : электрон, научн. журн. — 2013. — Т. 4.

- № 4(18). — С. 91-106. URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2013_ 4_91-106.pdf

26. Гурман, В. И. Магистральные решения в процедурах поиска оптимальных управлений / В. И. Гурман // Автомат, и телемех. — 2003. — № 3.

- С. 61-71.

27. Гурман, В. И. Модели управляемых систем, порождающие магистральные решения задач оптимального управления / В. И. Гурман, И. С. Гусева // Программные системы: теория и приложения : электрон, научн. журн. - 2013. - Т. 4. - № 4(18). - С. 107-125. URL: http: //psta.psiras.ru/read/psta2013_4_107-125.pdf

28. Гурман, В. И. Моделирование социо-эколого-экономи ческой системы региона / Под ред. В. И. Гурмана, Е. В. Рюминой. — М. : Наука, 1981.

- 264 с.

29. Гурман, В. И. Новые методы улучшения управляемых процессов / В. И. Гурман, В. А. Батурин, Е. В. Данилина и др. — Новосибирск : Наука, 1987. - 183 с.

30. Гурман, В. И. О практических преобразованиях вырожденных задач оптимального управления / В. И. Гурман, И. В. Расина, О. В. Фесько // Программные системы: теория и приложения : электрон, научн. журн.

- 2013. - Т. 4. - № 2(16). - С. 71-82. URL: http://psta.psiras.ru/ read/psta2013_2_71-82.pdf

31. Гурман, В. И. О преобразованиях вырожденных задач оптимального управления / Гурман В. И. // Автомат, и телемех. — 2013. — № 11. — С. 132-138.

32. Гурман, В. И. Об оптимальных процессах с неограниченными производными / Гурман В. И. // Автомат, и телемех. — 1972. — № 12. — С. 14-21.

33. Гурман, В. И. Описание и оценка множеств достижимости управляемых систем / В. И. Гурман, Г. Н. Константинов // Дифференциальные уравнения. - 1987. - № 3. - С. 416-423.

34. Гурман, В. И. Оценки множеств достижимости управляемых систем / В. И. Гурман, Е.А. Трушкова // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 11. С. 1601-1609.

35. Гурман, В. И. Преобразования дифференциальных управляемых систем для поиска приближенно-оптимального управления / В. И. Гурман, И. В. Расина, И. С. Гусева // Программные системы: теория и приложения : электрон, научн. журн. — 2014. — Т. 5. — № 4(22). — С. 123157. URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2014_4_123-157.pdf

36. Гурман, В. И. Приближенная глобальная оптимизация управления на основе преобразований модели объекта / В. И. Гурман, Е. А. Трушкова, А. О. Блинов // Автоматика и телемеханика. — 2009. — № 5. — С. 13-23.

37. Гурман, В. И. Приближенная оптимизация процессов управления / В. И. Гурман, И. В. Расина, И. С. Гусева // Математика, ее приложения и математическое образование (МПМО'14) : материалы V Международной конференции, 23-28 июня 2014 г., г. Улан-Удэ, Байкал. — Улан-Удэ : Изд-во ВСГУТУ, 2014. - С. 89-94. ISBN 978-5-89230-504-4. URL: http: //www. confmame. ru/documents/pdf /MAME°/027V.pdf

38. Гурман, В. И. Приближенная оптимизация управляемых процессов / В. И. Гурман, И. В. Расина, О. В. Фесько, И. С. Гусева // VII Международный научный симпозиум «Обобщенные постановки и решения задач управления» (GSSCP-2014) : сборник трудов международного симпозиума, 26-30 сентября 2014 г., г. Геленджик - пос. Дивноморское, Краснодарский край — М. : AHO «Изд-во физико-математической литературы», 2014. - С. 64-69. ISBN 978-5-94052236-2. URL: https: //docs .google. com/viewer?a=v&pid=sites&srcid= ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxnc3N j cDIwMTR8Z3g6MTkONzVlNDJj NmUyMTZkOA

39. Гурман, В. И. Приближенные методы оптимального управления / В. И. Гурман, В. А. Батурин, И. В. Расина. — Иркутск : Изд-во Иркутского ун-та, 1983. - 192 с.

40. Гурман, В. И. Приближенные методы оптимизации управляемых процессов / В. И. Гурман, Е. А. Трушкова // Программные системы: теория и приложения : электрон, научи, журн. — 2010. — Т. 1. — № 4. — С. 85-104. URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2010_4_85-104.pdf

41. Гурман, В. И. Принцип расширения в задачах управления / В. И. Гурман. — М.: Наука. Физматлит, 1997. — 288 с.

42. Гурман, В. И. Программный комплекс для сценарного анализа инновационных стратегий развития региона / В. И. Гурман, Е. А. Трушкова, О. В. Фесько // Программные системы: теория и приложения : электрон, научн. журн. - 2012. — Т. 3. — № 5(14). - С. 7-22. URL:http://psta.psiras.ru/read/psta2012_5_7-22.pdf

43. Гурман, В. И. Социо-эколого-экономическая модель региона в параллельных вычислениях / В. И.Турман, Г. А. Матвеев, Е. А. Трушкова // Управление большими системами. — Вып. 32. — М. : ИПУ РАН, 2011. - С. 109-130.

44. Гурман, В. И. Сценарные расчеты стратегий развития региона / В. И. Гурман, И. В. Расина, И. С. Гусева, С. Н. Насатуева, О. В. Фесько, О. В. Усеико // Вестник Бурятского гос. ун-та. — 2014. — Вып. 1. Экономика и менеджмент. — С. 60-73. URL: http://www.bsu.ru/content/page/ 1456/Vestnik_Ekon._i_menedzhent_na_pechat_160414.pdf

45. Гурман, В. И. Улучшение управления, реализующего скользящий режим / В. И. Гурман, Е. А. Трушкова, М. Ю. Ухии // Автомат, и теле-мех. - 2008. - № 3. - С. 161-171.

46. Гурман, В. И. Эволюция и перспективы приближенных методов оптимального управления / В. И. Гурман, И. В. Расина, А. О. Блинов //

Программные системы: теория и приложения : электрон, научн. журн.

- 2011. - Вып. 2. - Т. 2. - С. 11-29.

47. Гусева, И. С. Задача оптимизации стратегии устойчивого развития региона / И. С. Гусева // В кн.: Моделирование социо-эколого-экономических процессов в регионе [электронный ресурс]: мат-лы межрегион. молодежной школы-семинара. — Вып. 3. — Улан-Удэ : Изд-во БНЦ СО РАН, 2013. - С. 14-21. ISBN 978-5-7925-0403-5

48. Гусева, И. С. Оценка эффективности инновационных процессов в социо-эколого-экономической системе региона / И. С. Гусева, С. Н. Наса-туева // В кн.: XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. Москва, 16-19 июня 2014 г.: Труды. - М. : ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 2014. - С. 5637-5642. ISBN 978-5-91450-151-5. URL: http://vspu2014.ipu.ru/proceedings/prcdngs/5637.pdf

49. Гусева, И. С. Реализация магистральных решений высших порядков / И. С. Гусева, В. В. Трушков // Вестник Бурятского гос. ун-та. — 2010.

— Вып. .9. Математика и информатика. — С. 29-34.

50. Гусева, И. С. Магистральное решение второго порядка в задаче экономического роста с учетом инноваций / И. С. Гусева // Вестник Бурятского гос. ун-та. — 2011. Вып. 9. Математика и информатика. — С. 19-25.

51. Гусева, И. С. Магистральные решения второго порядка / И. С. Гусева //II Международная школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» : тезисы. — Иркутск, 2010. — С. 23.

52. Гусева, И. С. Магистральные решения высокого порядка / И. С. Гусева // Иифокоммуникационные и вычислительные технологии и системы : Материалы III Международной конференции. — Улан-Удэ : Изд-во Бурятского госуниверситета, 2010. — С. 107-109.

53. Гусева, И. С. Магистральное решение второго порядка в задаче экономического роста с учетом инноваций / И. С. Гусева // The Proceedings

of V International Symposium «Generalized Statement and Solutions of Control Problems» (Материалы V Международного симпозиума «Обобщенные постановки решения задач управления») — Улан-Батор, 2010.

- С. 80-86.

54. Гусева, И. С. Моделирование стратегии развития региона / И. С. Гусева // Математика: материалы XLVII Международной научной студенческой конференции — Новосибирск, 2009. — С. 35-36.

55. Гусева, И. С. Оптимизация стратегии устойчивого развития региона / И. С. Гусева // Теория управления: новые методы и приложения : Тезисы докладов Молодежного симпозиума с международным участием.

- Переславль-Залесский : ИПС РАН, 2009. - С. 30-31.

56. Дружинин, Ф. А. Сравнение гарантированных оценок эффективности инноваций / Ф. А. Дружинин, JI. В. Кочина, В. В. Токарев // Автомат, и телемех. - 2010. - № 11. - С. 183-200.

57. Дружинин, Ф. А. Поэтапное гарантирующее планирование инноваций / Ф. А. Дружинин, В. В. Токарев // Автомат, и телемех. — 2010. — № 8.

- С. 92-104.

58. Дубовицкий, А. Я. Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления / А. Я. Дубовицкий, А. А. Милютин.

- М. : Наука, 1971. - 112 с.

59. Дыхта, В. А. Условия локального минимума для особых режимов в системах с линейными управлениями / В. А. Дыхта // Автомат, и телемех.

- 1981. - № 12. - С. 5-10.

60. Дыхта, В. А. Оптимальное импульсное управление с приложениями / В. А. Дыхта, О. Н. Самсонюк. — М.: Наука. Физматлит, 2000. — 256 с.

61. Евтушенко, Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации / Ю. Г. Евтушенко. — М. : Наука, 1982.

- 432 с.

62. Емельянов, С. В. Исследование управляемости аффинных систем / С. В. Емельянов, А. П. Крищенко, Д. А. Фетисов // Доклады АН. — 2013.

- Т. 449. - № 1. - С. 15-18.

63. Емельянов, С. В. Теория систем с переменной структурой / С. В. Емельянов. — М. : Наука, 1970. — 592 с.

64. Зеликин, М. И. Синтез оптимальных управлений с накоплением переключений / М. И. Зеликин, В. Ф. Борисов // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз. — 2002. — Т. 90. — С. 5-189.

65. Иванов, Ю. Н. Математическое описание элементов экономики / Ю. Н. Иванов, В. В. Токарев, А. П. Уздемир // Матем. моделирование. — 1995. — Т. 7. - № 6. - С. 126-127.

66. Келли, Г. Дж. Метод градиеитов / Г. Дж. Келли //В кн.: Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета. Под ред. Дж. Лейтмана. - М. : Наука, 1965. - С. 101-116.

67. Колокольникова, Г. А. Исследование обобщенных решений задач оптимального управления с линейными неограниченными управлениями на основе кратных преобразований / Г. А. Колокольникова // Дифференциальные уравнения. - 1992. - Т. 28. - № 11. - С. 1919-1932.

68. Константинов, Г. Н. Внешние оценки множеств достижимости управляемых систем / Г. Н. Константинов, Г. В. Сидоренко // Известия АН СССР. Техн. киберн. - 1986. - № 3. - С. 28-34.

69. Краснов, И. В. Оптимальные лазерные воздействия / И. В. Краснов, Н. Я. Шапарев, И. М. Шкедов. — Новосибирск : Наука, 1989. — 92 с.

70. Красовский, Н. Н. Позиционные дифференциальные игры / Н. Н. Кра-совский, А. И. Субботин. — М. : Наука, 1974. — 456 с.

71. Красовский, Н. Н. Теория управления движением / Н. Н. Красовский.

- М. : Наука, 1968. - 476 с.

72. Крищенко, А. П. Метод обратной задачи динамики в теории управления / А. П. Крищенко //В кн.: XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. Москва, 16-19 июня 2014 г.: Труды. - М. : ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 2014. - С. 431-437. ISBN 978-5-91450-151-5. URL: http: //vspu2014. ipu. ru/proceedings/prcdngs/431. pdf

73. Кротов, В. Ф. Итерационный метод решения задач оптимального управления / В. Ф. Кротов, И. Н. Фельдман // Изв. АН СССР. Техн. киберн.

- 1983. - № 2. - С. 160-168.

74. Кротов, В. Ф. Методы и задачи оптимального управления / В. Ф. Кротов, В. И. Гурман. — М. : Наука, 1973. — 448 с.

75. Кротов, В. Ф. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета / В. Ф. Кротов, В. 3. Букреев, В. И. Гурман. — М. : Машиностроение, 1969. — 288 с.

76. Кротов, В. Ф. Об оптимизации управления квантовыми системами / В. Ф. Кротов // Докл. РАН. - 2008. - Т. 423. - № 3. - С. 316-319.

77. Кротов, В. Ф. Оптимизация линейных систем с управляемыми коэффициентами / В. Ф. Кротов, А. В. Булатов, О. В. Батурина // Автомат, и телемех. - 2011. - № 6. - С. 64-78.

78. Кротов, В. Ф. Управление квантовыми системами и некоторые идеи теории оптимального управления / В. Ф. Кротов // Автомат, и телемех.

- 2009. - № 3. - С. 15-23.

79. Крылов, И. А. О методе последовательных приближений для задач оптимального управления / И. А. Крылов, Ф. Л. Черноусько // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1962. — Т. 2. — № 6. — С. 1132-1139.

80. Куржапский, А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности / А. Б. Куржапский. — М. : Наука, 1977. — 394 с.

81. Лотов, А. В. О понятии обобщенных множеств достижимости и их построении для линейной управляемой системы / А. В. Лотов // Докл. АН СССР. - 1980. - Т. 250. - № 5. - С. 1081-1083.

82. Миллер, Б. М. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями / Б. М. Миллер, Е. Я. Рубинович. — М. : Наука, 2005. — 429 с.

83. Моисеев, Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем / Н. Н. Моисеев. - М. : Наука, 1971. - 328 с.

84. Моисеев, Н. Н. Математические задачи системного анализа / Н. Н. Моисеев. — М. : Наука, 1981. — 488 с.

85. Ни, Минь Кань. Оптимизация развития региона при ограниченных мощностях природо-восстановительного и инновационного секторов / Ни Минь Кань, И. С. Гусева // Автомат, и телемех. — 2011. — № 7. м С. 13-19.

86. Ни, Минь Кань. Решение с внутренним переходным слоем для сингулярно возмущенного уравнения второго порядка с опережающим и запаздывающим аргументами / Ни Минь Кань, И. С. Гусева // Дифференциальные уравнения. — 2014. — Т. 50. — № 6. — С. 754-767. DOI: 10.1134/S0374064114060041. URL: http://www.maikonline.com/ maik/showArticle.do?auid=VAHW3DLD64&lang=ru

87. Новиков, Д. А. Структура теории управления социально-экономическими системами / Д. А. Новиков // УБС. — 2009. — № 24. С. 216-257.

88. Осипов, Г. С. Методы искусственного интеллекта / Г. С. Осипов. — М.: Физматлит, 2011. — 295 с.

89. Поляк, Б. Т. Введение в оптимизацию / Б. Т. Поляк. М. : Наука, 1983. - 384 с.

90. Понтрягин, JI. С. Математическая теория оптимальных процессов / JL С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. — М. : Физматгиз, 1961. — 391 с.

91. Попков, Ю. С. Теория макросистем. Равновесные модели / Ю. С. Попков. М. : УРСС, 1999. 320 с.

92. Пропой, А. И. О принципе максимума для дискретных систем управления / А. И. Пропой // Автомат, и телемех. — 1965. — Т. 26. — № 7/ — С. 1177-1187.

93. Пропой, А. И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов / А. И. Пропой. - М. : Наука, 1973. - 256 с.

94. Расина, И. В. Вырожденные задачи оптимального управления дискретно-непрерывными процессами / И. В. Расина // Автомат, и телемех. - 2013. - № 2. - С. 38-52.

95. Расина, И. В. Итерационные алгоритмы оптимизации дискретно-непрерывных процессов / И. В. Расина // Автомат, и телемех. — 2012. - № 10. - С. 3-17.

96. Расина, И. В. Магистрали в задаче оптимизации стратегии развития региона на многокомпонентной модели / И. В. Расина, А. О. Блинов, И. С. Гусева // Вестник Бурятского гос. ун-та. — 2011. — Вып. 9. Математика и информатика. — С. 36-42.

97. Салмин, В. В. Методы оптимального управления и численные методы в задачах синтеза технических систем / В. В. Салмин, Ю. Н. Лазарев, О. Л. Старинова. — Самара : Изд-во СГАУ, 2007. — 159 с.

98. Салмин, В. В. Методы решения вариационных задач механики космического полета с малой тягой / В. В. Салмин, С. А. Ишков, О. Л. Старинова. Самара : Изд-во СНЦ РАН, 2006. - 162 с.

99. Сесекин, А. Н. Динамические системы с нелинейной импульсной структурой / А. Н. Сесекин // Тр. ИММ УрО РАН. - 2000. — Т. 6. — № 2. С. 497-514.

100. Сесекин, А. Н. Динамические системы с последействием, возмущенные импульсным воздействием / А. Н. Сесекин, Ю. В. Фетисова // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. — 2008. — № 2. — С. 136-139.

101. Соколов, А. В. Методы оптимальных решений. Т.1 / А. В. Соколов, В. В. Токарев. — М. : Физматлит, 2011. — 564 с.

102. Срочко, В. А. Итерационные методы решения задач оптимального управления / В. А. Срочко. — М. : Физматлит, 2000. — 160 с.

103. Субботин, А. И. Оптимизация гарантии в задачах управления / А. И. Субботин, А. Г. Ченцов // М. : Наука, 1981. - 288 с.

104. Сурков, Ф. А. Имитационный подход к проблеме рационального использования почвенных ресурсов региона / Ф. А. Сурков, Е. Ф. Прошина // TERRA ECONOMICUS. - 2008. — Т. 6. — № 4-3. - С. 347-350.

105. Трушкова, Е. А. Об одном классе задач управления для квантовых систем / Е. А. Трушкова // Автомат, и телемех. — 2013. — N21. — С. 35-46.

106. Трушкова, Е. А. Оценка приближенно оптимальных решений на основе преобразований модели объекта / Е. А. Трушкова // Вестник Бурятского гос. ун-та. —- 2011. — Вып. 9. Математика и информатика. — С. 47-51.

107. Тятюшкин, А. И. Мультиметодные алгоритмы для численного решения задач оптимального управления / А.И. Тятюшкин // Тр. АНН «Нелинейные науки на рубеже тысячелетий». 2001. С. 79-94.

108. Тятюшкин, А. И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем / А. И. Тятюшкин. — Новосибирск : Наука, 1992. - 193 с.

109. Угольницкий, Г. А. Информационно-аналитическая система управления эколого-экономическими объектами / Г. А. Угольницкий, А. Б. Усов // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2007. — № 6. — С. 230-238.

110. Угольницкий, Г. А. Устойчивое развитие эколого-экономических систем / Г. А. Угольницкий, А. Б. Усов // Экология и промышленность России. - 2007. - С. 39-41.

111. Ухин, M. Ю. Оптимизация стратегий развития региона на многокомпонентной модели / М. Ю. Ухин, С. А. Ачитуев // Автомат, и телемех.

- 2008. - № 3. - С. 178-189.

112. Федоренко, Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления / Р. П. Федоренко. - М. : Наука, 1978. - 488 с.

113. Хомяков, П. М. Моделирование динамики геоэкосистем регионального уровня / П. М. Хомяков, В. Н. Конищев, С. А. Пегов, С. Г. Смолина, Д. М. Хомяков. М. : Изд-во Московского ун-та, 2000. — 382 с.

114. Хрусталев, М. М. Необходимые и достаточные условия для задачи оптимального управления / М. М. Хрусталев // ДАН СССР. — 1973. — Т. 211. - № 1. - С. 59-62.

115. Хрусталев, М. М. Точное описание множеств достижимости и условия глобальной оптимальности динамической системы / М. М. Хрусталев // Автомат, и телемех. — 1988. — № 5. — С. 62-70.

116. Цыпкин, Я. 3. Теория нелинейных импульсных систем / Я. 3. Цыпкин, Ю. С. Попков. - М. : Наука, 1973. - 416 с.

117. Ченцов, А. Г. О корректности некоторых задач управления материальной точкой / А. Г. Ченцов // Вести. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. - 2011. - № 3. —С. 127-141.

118. Ченцов, А. Г. Квазистратегии в абстрактной задаче управления и метод программных итераций (прямая версия) / А. Г. Ченцов // Изв. вузов. Матем.. - 2005. - № 11. -С. 53-65.

119. Черноусько, Ф. JI. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсов. М.: Наука, 1988. 319 с.

120. Шатровский, Л. И. Об одном численном методе решения задач оптимального управления // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1962.

- Т. 2. - № 3. - С. 488-492.

121. Энеев, Т. М. О применении градиентного метода в задачах теории оптимального управления / Т. М. Энеев // Космические исследования. — 1968. - Т. 4. - № 5. - С. 651-669.

122. Achituev, S. A. Optimization of region sustainable development strategy / S. A. Achituev, I. S. Guseva, B. Ochirbat, D. Khaltar // Scientific transaction of Ulaanbaatar University. - 2009. - № 5. - Pp. 38-49.

123. Baturina, 0. Optimization of Excitation Transfer in a Spin Chain / O. Baturina, V. Gurman, I. Rasina // 5th IFAC International Workshop on Periodic Control Systems. — Periodic Control Systems. — 2013. — V. 5. — Part 1. - Pp. 177-180.

124. Beklaryan, L. A. Group singularities in the problem of the maximum principle for systems with deviating argument / L. A. Beklaryan // J. of Dynamical and Control Systems. - 2012. - T. 18. - № 3. - C. 419-432.

125. Krotov, V. F. Global methods in optimal control. / V. F. Krotov. — New York : Marcel Dekker, 1996. - 408 p.

126. Lygeros, J. Lecture Notes on Hybrid Systems / J. Lygeros. — Cambridge: University of Cambridge, 2003. — 70 p.

127. Lygeros, J. Impulse differential inclusions driven by discrete measures / J. Lygeros, M. Quincarnpoix, T. Rzezuchowski // Lecture Notes Comput. Sci.

- Berlin: Springer, 2007. - V. 4416. - P. 385-398.

128. Murphy, M. Communication at the quantum speed limit along a spin chain / M. Murphy, S. Montangero, V. Giovannetti, T. Calarco // Phys. Rev. Lett.

- 2010. URL: http://arxiv.org/abs/1004.3445vl

129. Van Der Shaft, A. J. An Introduction to Hybrid Dynamical Systems / A. J. Van Der Shaft, H. Schumacher. — Springer-Verlag : London Ltd., 2000.

- 176 p.

130. Warga, J. Optimal Control of Differential and Functional Equations / J. Warga. New-York : Academic Press, 1972. — 624 p.

131. Warga, J. Relaxed Variational Problems / J. Warga //J. Math. Anal, and Applic. - 1962. - V. 4. - № 1. - Pp. 38-43.