Неявный итерационный полинейный рекуррентный метод решения разностных эллиптических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Фомина, Любовь Николаевна

• Фомина, Любовь Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фомина, Любовь Николаевна

Перечень условных обозначений, сокращений.

Введение.

1 Итерационные методы решения СЛАУ: обзор литературы.

2 Формулировка задачи и алгоритм неявного итерационного полинейного рекуррентного метода.

2.1 Получение системы разностных эллиптических уравнений с матрицей положительного типа.

2.2 Алгоритм неявного итерационного полинейного рекуррентного метода с линейной экстраполяцией приращения решения.

2.2.1 Общая идея метода.

2.2.2 Методика преобразований разностных уравнений в локальном направлении.

2.2.3 Алгоритм преобразований исходной СЛАУ.

2.3 Алгоритм неявного итерационного полинейного рекуррентного метода с квадратичной экстраполяцией приращения решения.

2.4 Обоснование корректности неявного итерационного полинейного рекуррентного метода.

3 Тестирование эффективности неявного итерационного полинейного рекуррентного метода решения СЛАУ.

3.1 Предварительная оценка эффективности неявного итерационного полинейного рекуррентного метода.

3.1.1 Первая тестовая задача.

3.1.2 Вторая тестовая задача.

3.2 Полуэмпирическая оценка оптимального итерационного параметра компенсации.

3.2.1 Линейная экстраполяция приращения решения.

3.2.2 Квадратичная экстраполяция приращения решения.

3.3 Анализ эффективности неявного итерационного полинейного рекуррентного метода в широком диапазоне требований по точности.

4 Развитие неявного итерационного полинейного рекуррентного метода решения СЛАУ.

4.1 Применение технологии автоматической адаптации итерационного параметра компенсации.

4.2 Алгоритм неявного итерационного по линейного рекуррентного метода с экстраполяцией приращения решения вдоль глобального координатного направления.

4.2.1 Идея алгоритма на примере выбора глобального направления вдоль координаты х.

4.2.2 Модификация расчетных формул в случае автоматического определения параметра компенсации.

4.2.3 Анализ результатов решения тестовых задач.

4.3 Алгоритм неявного итерационного полинейного рекуррентного метода с экстраполяцией приращения решения по технологии модифицированного полинейного метода.

4.3.1 Вывод расчетных формул.

4.3.2 Модификация расчетных формул в случае автоматического определения параметра компенсации.

4.3.3 Анализ результатов решения тестовых задач.

4.4 Сравнительный анализ эффективности итерационных методов на примере решения модельных задач.

4.4.1 Тестирование алгоритма метода Bi-CGStab.

4.4.2 Вторая модельная задача.

4.4.3 Третья модельная задача.

4.4.4 Четвертая модельная задача.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неявный итерационный полинейный рекуррентный метод решения разностных эллиптических уравнений»

Первые итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) были разработаны еще в XIX веке. Это широко известные методы простой итерации (метод Якоби), Гаусса-Зейделя, последовательной верхней релаксации. В начале XX века Ричардсон разработал свою схему численного решения уравнения Пуассона. Однако только с появлением в начале второй половины XX столетия электронной вычислительной техники и её интенсивного проникновения, в первую очередь, в научно-практическую деятельность человека привело к резкому ускорению разработок и модификаций разнообразных вычислительных методов решения систем линейных уравнений. В частности, применение вычислительных методов оказалось особенно эффективным для решения задач теплообмена, динамики жидкостей, магнитной гидродинамики, переноса зарядов и многих других. Связано это с чем, что численный эксперимент по своей сути является относительно не дорогим, достаточно оперативным и информативным методом исследования сложных нелинейных процессов указанных задач.

Современные методы решения подобных задач сводятся, как правило, к разностной аппроксимации многомерных дифференциальных уравнений, что в свою очередь, приводит к построению СЛАУ, матрица которой имеет большую размерность и разреженно-упорядоченную структуру. Для одномерных по пространству задач матрица СЛАУ имеет трехдиагональную структуру. Такая система легко решается прямым экономичным методом скалярной прогонки, который, по сути, представляет собой специальный вид метода исключения Гаусса решения систем линейных уравнений. Для двух- и трехмерных задач количество диагоналей возрастает, как правило, до пяти и семи соответственно. Это, казалось бы, небольшое изменение структуры матрицы, сильно усложняет проблему решения подобной СЛАУ. До сих пор не удалось разработать прямой, экономичный, устойчивый к ошибкам округления метод, способный решать СЛАУ для многомерных по пространству задач за количество операций, пропорциональных числу неизвестных, наподобие того, как это было сделано для одномерного случая.

С другой стороны, как указывает С. Патанкар, исходные уравнения гидродинамики и те-пломассопереноса нелинейные по сути, что совместно с вышеуказанной проблемой пространственной многомерности предопределяет использование итерационных подходов при разработке методов решения подобных СЛАУ. Итерационным методам решения систем линейных уравнений посвящено огромное число исследований, нашедших свое отражение и обобщение в монографиях Д.К. и В.Н. Фаддеевых, А.А. Самарского и Е.С. Николаева, А.А. Самарского и П.Н. Вабищевича, Г.И. Марчука, Н.С. Бахвалова, В. Вазова и Дж. Форсайта, В.П. Ильина, Д. Янга, Ю.А. Кузнецова, Е. Вашпресса, Ю. Саада, Дж. Ортега и многих других. На смену широко распространенным в 50 - 70-е годы прошлого столетия методам Якоби, Гаусса-Зейделя, различным вариантам метода последовательной верхней релаксации и их блочным модификациям, а также методам переменных направлений и дробных шагов (Д. Писмэн и X. Рэчфорд, Н.Н. Яненко, М. Лиз, Г.И. Марчук, Дж. Дуглас) пришли итерационные градиентные методы (О. Аксельссон, Г. Голуб, Х.А. ван дер Ворст, В.П. Ильин, Ю. Саад, Р. Вайс, Ю.Н. Захаров, Р. Фройнд), восходящие к пионерским работам JI.B. Канторовича, М.А. Красносельского, В.М. Фридмана, Г. Темпле, М. Хестенса и Е. Штифеля, В. Арнольди, К. Ланцоша.

Особое место занимают методы неполной факторизации, впервые предложенные Н.И. Булеевым, а также его принцип компенсации, в силу их относительной простоты реализации и высокой эффективности решения СЛАУ. Эти методы также получили широкое распространение, в частности, еще и потому, что на их основе удается строить эффективные предобуславливатели для градиентных методов. Исследованию и развитию методов неполной факторизации посвящены работы О. Аксельссона, Х.А. ван дер Ворста, В.П. Ильина, Гинкина В.П., Вшивкова В.А.

В последнее десятилетие благодаря возросшей доступности многопроцессорных кластеров, методы параллельных вычислений стали активно исследоваться и развиваться в первую очередь с точки зрения практического применения при решении сложных задач вычислительной гидромеханики.

Несмотря на впечатляющие успехи в области развития вычислительных методов решения СЛАУ, в том числе и разностных эллиптических СЛАУ, интерес исследователей к этому направлению не ослабевает. Объяснение здесь простое: пока алгоритмы решения таких СЛАУ для многомерных по пространству задач продолжают оставаться итерационными, процесс повышения их эффективности (в первую очередь речь идет о повышение скорости сходимости методов) не остановится. Точку здесь может поставить прямой метод (методы) с линейной трудоемкостью по времени относительно числа неизвестных. Однако в ближайшей перспективе возникновение такого метода не предвидится.

В настоящее время наиболее перспективными можно считать те направления разработки новых методов решения СЛАУ, в которых учитывается на уровне алгоритма фундаментальное свойство краевых эллиптических задач обязательной чувствительности решения в каждой точке области определения задачи возмущения в любой иной, включая граничную, точке. Такая чувствительность обеспечивается современными эффективными градиентными методами, но не напрямую от точки к точке, а опосредованно, через коэффициенты, полученные при минимизации норм соответствующих функционалов. С другой стороны прямой неявный метод исключения Гаусса полностью соответствует этому фундаментальному свойству, однако его применение затруднено большим числом операций, необходимых для его реализации. Следовательно, для разработки нового эффективного метода решения СЛАУ необходимо сочетать итерационный подход с максимально высокой степенью его неявности.

В связи с вышесказанным, целью настоящей диссертационной работы является построение итерационного максимально неявного метода решения больших систем линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами, возникающими при сеточных аппроксимациях двумерных эллиптических задач на регулярных сетках.

Основные задачи исследования состоят в следующем:

1. Разработать, обосновать и исследовать эффективность неявного итерационного поли-нейного рекуррентного метода решения СЛАУ с пятидиагональной матрицей положительного типа с применением ЭВМ.

2. На базе систематических расчетов провести сравнительный анализ полинейного рекуррентного и некоторых других известных методов на примерах решения СЛАУ с пятидиагональной матрицей положительного типа.

Научная новизна работы определяется следующими положениями:

1. Предложен неявный итерационный полинейный рекуррентный метод решения СЛАУ с пятидиагональной матрицей положительного типа, отличающийся от других подобных методов оригинальной неполной факторизацией матрицы исходной системы, позволяющей при построении решения на текущем итерационном слое сводить к минимуму влияние приближения решения с предыдущего итерационного слоя.

2. На основе неявного итерационого полинейного рекуррентного метода разработано четыре алгоритма (LR1, LR2, LRs, LRz), позволяющих более эффективно строить решение разностных эллиптических СЛАУ с пятидиагональными матрицами положительного типа по сравнению с лучшими представителями современных методов решения подобных СЛАУ. Для каждого из алгоритмов получена простая полуэмпирическая оценка постоянного оптимального параметра компенсации. Теоретически показана корректность алгоритмов LR1 и LR2 в случае сходимости решения.

3. Исследована применимость в алгоритмах LR1, LR2, LRs и LRz технологии В.Г. Зверева автоматизации определения переменного оптимального параметра компенсации.

4. По результатам решения типичных тестовых и модельных задач проанализированы основные характеристики алгоритмов LR1, LR2, LRs и LRz: времени исполнения, средней скорости сходимости, вычислительной устойчивости, - в зависимости от сеточного разбиения области (размерности матрицы), вида решаемого уравнения и типа граничных условий задачи, а также величины итерационного параметра компенсации.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Неявный итерационный полинейный рекуррентный метод решения СЛАУ с пятидиа-гональной матрицей положительного типа, отличающийся от других подобных методов оригинальной неполной факторизацией матрицы исходной системы, позволяющей при построении решения на текущем итерационном слое сводить к минимуму влияние приближения решения с предыдущего итерационного слоя.

2. Четыре алгоритма (LR1, LR2, LRs, LRz), разработанные на основе неявного итерацио-ного полинейного рекуррентного метода для решения разностных эллиптических СЛАУ с пя-тидиагональными матрицами положительного типа и полученные для каждого из них простые полуэмпиричсские оценки постоянного оптимального параметра компенсации, а также теоретическое обоснование корректности алгоритмов LR1 и LR2 в случае сходимости решения.

3. Результаты применимости в алгоритмах LR1, LR2, LRs и LRz технологии В.Г. Зверева автоматизации определения переменного оптимального параметра компенсации.

4. Анализ основных характеристик алгоритмов LR1, LR2, LRs и LRz: времени исполнения, средней скорости сходимости, вычислительной устойчивости, — в зависимости от сеточного разбиения области (размерности матрицы), вида решаемого уравнения и тина граничных условий задачи, а также величины итерационного параметра компенсации.

Достоверность полученных результатов следует:

• из корректной математической постановки задач как дифференциальной, так и разностной;

• из сравнения с известными аналитическими решениями при тестовых расчетах;

• из постоянного контроля параметров сходимости решения: нормы невязки, нормы погрешности, средней скорости сходимости.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что создан принципиально новый итерационный метод, позволяющий строить серию эффективных алгоритмов решения СЛАУ с пя-тидиагональной матрицей положительного типа, которые возникают в случае разностной дискретизации двумерных краевых эллиптических задач на регулярных сетках. Задачи обобщения данного метода на случай трех независимых переменных, а также построения на его основе эффективных предобуславливателей представляются вполне разрешимыми.

Практическая значимость работы заключается в том, что неявный итерационный полинейный рекуррентный метод может быть использован для эффективного решения СЛАУ, получаемых при разностной аппроксимации краевых эллиптических задач математической физики в регулярных областях. Причем все алгоритма метода характеризуются высокой скоростью сходимости, которая слабо зависит от размерности системы. Метод также может быть успешно использован для решения «жестких» систем с плохо обусловленными матрицами.

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Фомина, Любовь Николаевна

Основные выводы параграфа 4.4 можно сформулировать следующим образом.

1. Для выявления предельных возможностей исследуемых численных методов в план тестовых расчетов необходимо включать задачи с плохо обусловленными матрицами.

2. Для задач с «хорошими» матрицами, которые характеризуются относительно небольшими числами обусловленности, неявный итерационный полинейный рекуррентный метод показал более высокую эффективность по отношению к стабилизированному методу би-сопряженных градиентов.

3. Наиболее эффективная реализация стабилизированного метода бисопряженных градиентов (Bi-CGStab Р В) использует итерационный параметр (параметр компенсации), что, в свою очередь, приводит к потере одного из основных преимуществ методов вариационного типа, которые, в общем случае не требуют оптимизации итерационного параметра.

4. Алгоритм LRz обладает более высокими «разрешающими» возможностями по отношению к алгоритмам LR1, LR2 и LRs безотносительно к его скорости сходимости и количества необходимых для сходимости итераций.

5. При решении сложных задач с плохо обусловленными матрицами желательно иметь в арсенале несколько мощных современных методов решения СЛАУ, что, безусловно, повышает вероятность их успешного решения.

Заключение

В заключении представляется возможным сформулировать выводы, обобщающие весь материал диссертации.

1. Предложен неявный итерационный полинейный рекуррентный метод решения СЛАУ с пятидиагональными матрицами положительного типа, возникающими при сеточных аппроксимациях двумерных эллиптических задач математической физики на регулярных сетках. Реализация конкретного алгоритма метода зависит от способа аппроксимации компонента вектора решения во «внешаблонном» узле.

2. Разработано четыре алгоритма полинейного рекуррентного метода: LR1, LR2, LRs и LRz. При этом три из них: LR1, LRs и LRz, - являются прямыми методами в случае линейного решения исходной дифференциальной задачи, а алгоритм LR2 — прямым методом в случае квадратичного решения.

3. В рамках неявного итерационного полинейного рекуррентного метода показана математическая идентичность приема экстраполяция приращения решения использованию принципа обощенной компенсации Булеева-Ильина на классе линейных и квадратичных пробных векторов, что обосновывает корректность данной реализации принципа компенсации при построении разрывных решений.

4. Проведено теоретическое обоснование корректности алгоритмов LR1 и LR2 в случае сходимости решения.

5. Предложена простая полу эмпирическая методика оценки оптимального значения постоянного параметра компенсации: для алгоритмов с линейной экстраполяцией приращения решения (LR1, LRs, LRz) Qop,» 1 - а,/Г (cr,~10), для алгоритма с квадратичной экстраполяцией приращения решения (LR2) Qopt ~ 1 - a2h3 (ст2~100), где h - шаг сеточного разбиения.

6. По результатам решения типичных тестовых и модельных задач выявлена высокая эффективность метода: средняя скорость сходимости, как правило, варьируется в пределах от ~ 0,5 до ~ 3,0 в зависимости от сеточного шага и типа граничных условий. Также показано, что средняя скорость сходимости слабо зависит от числа решаемых уравнений и её асимптотическое значение для задачи Дирихле имеет порядок При этом для алгоритма LR1: Qа »18 y[h ; для LR2: Qa «13 Jh ; для LRs и LRz: Qa -25 yfh .

7. Исследована применимость в алгоритмах LR1, LR2, LRs и LRz технологии автоматизации определения переменного оптимального параметра компенсации В.Г. Зверева. Показано, что эта технология не исчерпывает всего потенциала оптимизации и может считаться эффективной, если не используются иные способы оптимизации параметра компенсации.

8. Определено, что основа эффективности неявного итерационнго полинейного рекуррентного метода связана с блоком точных эквивалентных преобразований исходной СЛАУ. Способ аппроксимации компонента вектора решения во «внешаблонном» сеточном узле и технология автоматического определения параметра компенсации не приводит к принципиальному изменению эффективности метода. Они только обуславливают особенности поведения того или иного алгоритма при решении задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фомина, Любовь Николаевна, 2010 год

1. Самарский А.А. Методы решения сеточных уравнений / Е.С. Николаев, А.А. Самарский. -М.: Наука. 1978.-590 с.

2. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / С. Патанкар. М.: Энергоатомиздат. - 1984. - 152 с.

3. Андерсон Д. Вычислительная гидродинамика и теплообмен / Д.Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер. М.: Мир. - 1990. - Т. 1. - 392 с.

4. Андерсон Д. Вычислительная гидродинамика и теплообмен / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер. М.: Мир. - 1990. - Т. 2. - 337 с.

5. Фаддеев Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры / Д.К. Фаддеев, В.Н. Фаддеева.- М.: Физматгиз. 1963. - 656 с.

6. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. Новосибирск. Наука.- 1973.-351 с.

7. Самарский А.А. Численные методы / А.А. Самарский, А.В. Гулин. М.: Наука. -1989.

8. Yousef Saad. Iterative Methods for Sparse Linear Systems / Y. Saad. N.Y.: PWS Publ. -1996.-460 p.

9. Самарский А.А. Введение в численные методы / А.А. Самарский. М.: Наука. - 1987. -270 с.

10. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. -М.: Наука.-1987.-636 с.

11. Крылов В.И. Вычислительные методы / В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырский. -М.: Наука. 1976. - Т. 1. - 304 с.

12. Крылов В.И. Вычислительные методы / В.И. Крылов,В.В. Бобков, П.И. Монастырский. -М.: Наука. 1977. - Т. 2. - 400 с.

13. Молер К. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений / Дж. Форсайт, К. Молер; под ред. Г.И. Марчука. М.: Мир. - 1969. - 167 с.

14. Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача / П.Н. Вабищевич, А.А. Самарский. -М.: Едиториал УРСС. 2003. - 785 с.

15. Рихтмайер Р. Разностные методы решения краевых задач/ Р. Рихтмайер, К. Мортон; под ред. Б.М. Будака и А.Д. Горбунова. М.: Мир. - 1972. - 421 с.

16. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем / В.П. Ильин. М.: Физматлит. - 1995. - 288 с.

17. ОртегаДж. Введение в численые методы решения дифференциальных уравнений / Дж. Ортега, У. Пул; под ред. А.А. Абрамова. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1986. -288 с.

18. Самарский А.А. Численные методы решения задач конвекции-диффузии / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. М.: Эдиториал УРСС. - 1999. - 248 с.

19. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений / В.П. Ильин. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики. - 2000. - 345 с.

20. Ильин В.П. Методы и технологии конечных элементов / В.П. Ильин. — Новосибирск: Изд-во ИВМ и МГ СО РАН. 2007.

21. Ильин В.П. Трехдиагональные матрицы и их приложения / В.П. Ильин, Ю.И. Кузнецов. -М.: Наука.-1985.-208 с.

22. Кузнецов Ю.А. Итерационные методы в подпространствах / Ю.А. Кузнецов. Москва. -1984.- 134 с.

23. Кузнецов Ю.А. Блочно-релаксационные методы в подпространствах, их оптимизация и применение / Ю.А. Кузнецов // В сб: Вычислительные методы в прикладной математике. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение. - 1982. - С. 119-143.

24. Зверев В.Г. Модифицированный полинейный метод решения разностных эллиптических уравнений / В.Г. Зверев // ЖВМ и МФ. 1998. - Т. 38. - № 9. - С. 1553-1562.

25. Зверев В.Г. Неявный блочный итерационный метод для решения двумерных эллиптических уравнений / В.Г. Зверев // ЖВМ и МФ. 2000. - Т. 40. - № 4. -С. 590-597.

26. Zverev V.G. About the iteration method for solving difference equations / V.G. Zverev // Lecture notes in computer science. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. - 2005. - vol. 3401. -pp. 621-628.

27. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрооптики / В.П. Ильин. — Новосибирск: Наука, Сибирское отделение. 1974. - 203 с.

28. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики / В.П. Ильин. М.: Наука, Главная редакция физ-мат. литературы. - 1985. - 335 с.

29. Джордж А. Численные решения больших разреженных систем уравнений / А. Джордж, Дж. Лю. М.: Мир. - 1984. - 334 с.

30. Ильин В.П. Линейная алгебра: от Гаусса до суперкомпьютеров будующего / В.П. Ильин // Математика. Информатика. Природа. — 1999. - № 6. - С. 11-18.

31. Лаевский Ю.М. О некоторых итогах развития современной вычислительной математики / Ю.М. Лаевский // Вычислительные технологии. ИВТ СО РАН. - 2002. - т. 7. - № 2. -С. 74-83.

32. Фадцеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Библиографический указатель 1828-1974гг. / В.Н. Фадцеева, Ю.А. Кузнецов, Г.Н. Грекова, Т.А. Долженкова. -Новосибирск. — 1976. 418 с.

33. Богачев К.Ю. Практикум на ЭВМ. Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений / К.Ю. Богачев. Препринт . - Москва. — 1998. — 137 с.

34. Слепцов А.Г. Об ускорении сходимости линейных итераций // Моделирование в механике / А.Г. Слепцов. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. - 1989. - Т. 3. - № 5. -С. 118-125.

35. Маслянкин В.И. К решению систем линейных уравнений с разреженной матрицей итерационными методами / В.И. Маслянкин, М.И. Мухина, А.А. Резник // Математическое моделирование. 1992. - Т. 4. -№ 5. - С. 100-108.

36. Захаров Ю.Н. Градиентные итерационные методы решения задач гидродинамики / Ю.Н. Захаров. — Новосибирск: Наука. 2004. - 239 с.

37. Захаров Ю.Н. Об одном методе ускорения сходимости итерационных схем / Ю.Н. Захаров, Ю.И. Шокин, Н.Н. Яненко // Численные методы механики сплошных сред.- 1974.-Т. 5. —№5.-С. 57-62.

38. Вайс Р. Итерационные методы решения систем линейных уравнений, от прошлого к будущему / Р. Вайс, И. Подгаецкая, X. Хсфнер, В. Шонауер // Математическое моделирование. -2001. Т. 13. -№ 2. - С. 39-50.

39. Гасеми Камалванд М. Об одном методе конгруэнтного типа для линейных систем с сопряженно-нормальными матрицами коэффициентов / М. Гасеми Камалванд, Х.Д. Икрамов // ЖВМ и МФ. 2009. - Т. 49. - № 2. - С. 211-224.

40. Дана М. Численное сравнение двух методов минимальных невязок для линейных многочленов от унитарных матриц / М. Дана, Х.Д. Икрамов // ЖВМ и МФ. 2006. -Т. 46.-№ 12.-С. 2138-2148.

41. ЮхноЛ.Ф. Модификация некоторых методов типа сопряженных направлений для решения систем линейных алгебраических уравнений / Л.Ф. Юхно // ЖВМ и МФ. 2007. -Т. 47. - № 11. — С. 1811-1818.

42. Юхно Л.Ф. О некоторых методах типа сопряженных направлений для решения прямоугольных систем линейных алгебраических уравнений / Л.Ф. Юхно // ЖВМ и МФ.- 2007. Т. 47. - № 12. - С. 1979-1987.

43. Алыпина Е.А. Градиентные методы с ускоренной сходимостью / Е.А. Алыпина, А.А. Болтаев, О.А. Качер // ЖВМ и МФ. 2005. - Т. 45. - № 3. - С. 374-382.

44. Бобышев В.Н. О сходимости метода сопряженных пар / В.Н. Бобышев, С.Г. Довман // Разностные методы математической физики / Под ред. Е.С. Николаева. М.: Изд-во Моск. ун-та. - 1984. - С. 3-9.

45. Капорин И.Е. К развитию метода минимальных итераций / И.Е. Капорин // Разностные методы математической физики / Под ред. Е.С. Николаева. — М.: Изд-во Моск. ун-та. -1984.-С. 18-26.

46. Кучеров А.Б. Метод приближенной факторизации для решения разностных смешанных эллиптических краевых задач / А.Б. Кучеров, М.М. Макаров // Разностные методы математической физики / Под ред. Е.С. Николаева. М.: Изд-во Моск. ун-та. - 1984. -С. 54-65.

47. Келер У. К оценкам энергетической эквивалентности разностных эллиптических операторов с переменными и постоянными коэффициентами / У. Келер // Разностные методы математической физики / Под ред. Е.С. Николаева. М.: Изд-во Моск. ун-та. — 1984.-С. 27-34.

48. Булгаков А.Я. Учет вычислительных погрешностей в одном варианте метода сопряженных градиентов / А.Я. Булгаков, С.К. Годунов // В сб: Вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение. — 1985. - С. 38-55.

49. Гинкин В.П. Новый метод расчета трехмерной конвекции на сетках большой размерности / В.П. Гинкин, С.М. Ганина // Математическое моделирование. 2003. - Т. 15. - № 6. -С. 55-58.

50. Не J. Н. Approximate analytical solution for certain strongly nonlinear oscillations by the variational iteration method / J.H. He // Сибирский журнал вычислительной математики / Новосибирск: СО РАН. 2002. - Т. 5. - № 1. - С. 57-69.

51. Малеев А.А. О методе SOR с пересекающимися подсистемами / А.А. Малеев // ЖВМ и МФ. 2006. - Т. 46. - № 6. - С. 963-974.

52. Johnsson Lennart Highly Concurrent Algorithms for Solving Linear systems of Equations / Lennart Johnsson. Препринт. — Computer Science California Institute of Technology Pasadena, CA 91125. - 1983. - 20 p.

53. Thomas C. Oppe A Package for Solving Large Sparse Linear Systems by Various Iterative Methods / Thomas C. Oppe, Wayne D. Joubert, David R. Kincaid. NSPCG User's Guide. V 1.0.- 1988. -84 p

54. Shapira Y. Towards automatic multigrid algorithms for SPD. Nonsymmetric and indefinite problems / Y. Shapira Y., M. Israeli and A. Sidi. Препринт. - Computer Science Department. Technion. Haifa 32000, Israel. - 16 c.

55. Бураго Н.Г. Вычислительная механика / Н.Г. Бураго. Препринт. - Москва. - 2005. -247 с.

56. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики / Н.Н. Яненко. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение. - 1967. - 196 с.

57. Годунов С.К. Разностные схемы (введение в теорию) / С.К. Годунов, B.C. Рябенький. -М.: Наука. 1973.-400 с.

58. Белоцерковский О.М. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.М. Белоцерковский, В.А. Гущин, В.В. Щенников // ЖВМ и МФ. 1975. — Т. 15.-№ 1.-С. 197-207.

59. Ковеня В.М. Метод расщепления в задачах газовой динамики / В.М. Ковеня, Н.Н. Яненко. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение. - 1981. - 304 с.

60. Ладыженская О.А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева. М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы. - 1973.-578 с.

61. Четверушкин Б.Н. Об одном итерационном алгоритме решения разностных уравнений / Б.Н. Четверушкин //ЖВМ и МФ. 1976. - Т. 16. -№ 2. - С. 519-524.

62. Четверушкин Б.Н. "а-(3"- итерационный метод // Вычислительные методы линейной алгебры. Труды Всесоюзной конференции (Москва, август 1982 г.) / Б.Н. Четверушкин. -М.: АН СССР. Ощел вычислительной математики. 1983. - С. 233-237.

63. Андриенко Д.А. Решение двумерного уравнения Пуассона нелинейным итерационным методом / Д.А. Андриенко, С.Т. Суржиков // Школа-семинар "Аэрофизика и физическая механика классических и квантовых систем". ИПМех РАН, 3-4 декабря. — 2007. -С.227-230.

64. Гинкин В.П. Оптимальный предобуславливатель в методе сопряженных градиентов для трехмерной HEX-Z геометрии / В.П. Гинкин, А.В. Кулик. Препринт . - Обнинск. - 1999. -20 с.

65. Губайдулин Д.А. Алгоритм решения трехмерных задач напорно-безнапорной стационарной фильтрации жидкости со сгущающимися участками сетки / Д.А. Губайдулин, П.А. Мазуров, А.В. Цепаев // Вычислительные методы и программирование. 2005. - Т. 6. - С. 217-225.

66. Альчиков В.В. Использование метода неполной факторизации Холесского сопряженных градиентов для решение трехмерных уравнений Лапласа / В.В. Альчиков, В.И. Быков // Вычислительные технологии. - 2000. - Т. 5. - № 6. - С. 15-19.

67. Гинкин В.П. Метод параболических прогонок для решения двумерных уравнений эллиптического типа / В.Г1. Гинкин. Обнинск. - 1981. - Препринт ФЭИ-1153.

68. Гинкин В.П. Новый вариант метода неполной факторизации для решения двумерных уравнений эллиптического типа с несимметричными матрицами / В.П. Гинкин, Н.М. Троянова, П.В. Новиков И Математическое моделирование. 2004. - Т. 16. - № 7. -С. 101-116.

69. Богачев К.Ю. Блочные предобусловливатели класса ILLJ для задач фильтрации многокомпонентной смеси в пористой среде / К.Ю. Богачев, Я.В. Жабицкий // Вестник МГУ. Серия 1: Математика. Механика. Изд-во МГУ. -2009. - № 5. - С. 19-24.

70. Максимов М.М. Один из методов неполного блочного разложения при численном моделировании задач фильтрации / М.М. Максимов, Л.П. Рыбицкая, М.Е. Травкина // Математическое моделирование. 1990. - Т. 2. - № 2. - С. 99-107.

71. Ильин В.П. Методы бисопряженных направлений в подпространствах Крылова /

72. B.П. Ильин // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2008. — Т. 11. — № 4.1. C.47-60.

73. Бубякин А.А. Об одном подходе к построению схем повышенного порядка точности в методе конечных элементов / А.А. Бубякин, Ю. М. Лаевский // Сибирский журнал вычислительной математики / Новосибирск: СО РАН. 2004. - Т. 7. - № 4. -С. 287-300.

74. Zhang Y. Gauss type preconditioning techniques for linear system / Y. Zhang, T.Z. Huang, X.P. Liu // Appl. Mathem. Сотр. 2007. - № 188. - pp. 612-633.

75. Бубякин А. А. Компактная проекционно-сеточная схема для одного класса двумерных уравнений диффузии / А. А. Бубякин, Ю. М. Лаевский // Сибирский журнал вычислительной математики / Новосибирск: СО РАН. 2003. - Т. 6. - №2. -С.125-138.

76. Huang T.Z. Modified Incomplete Cholesky Factorization for Solving Electromagnetic Scattering Problems / T.Z. Huang, Y. Zhang, and L. Li // Progress In Electromagnetics Research B. 2009. - 'Г. 13. - C. 41-58.

77. Giraud L. Convergence in Backward Error of Relaxed GMRES / L. Giraud, S. Gratton, J. Langou // SIAM J. Sci. Comput. 2007. - vol. 29. - № 2. - pp. 710-728.

78. Эйрих С.Н. Подход к модернизации генетического алгоритма для решения систем линейных алгебраических уравнений / С.Н. Эйрих // Вектор науки ТГУ. Изд-во Тольяттинский гос. ун-т. -2009. - № 4(7). - С. 5-7.

79. Быченков Ю.В. О предобусловливании седловых задач методами переменных симметричных и кососимметричных итераций / Ю.В. Быченков // ЖВМ и МФ. 2009. -Т. 49.-№3,-С. 411-421.

80. Макеев А.Г. Продолжение по параметру решения в виде уединенного бегущего импульса в системе типа реакция-диффузия / А.Г. Макеев, H.JI. Семендяева // ЖВМ и МФ. 2009. - Т. 49. - № 4. - С. 646-661.

81. Ильин В.П. О методах сопряженных и полусопряженных направлений с предобусловливающими проекторами / В.П. Ильин // Докл. РАН. 2008. — Т. 419. - № 3.- С. 303-306.

82. Ильин В.П. О методах полу сопряженных направлений с динамическим предобусловливанием / В.П. Ильин, Е.А. Ицкович // Сибирский журнал индустриальной математики. 2007. - Т. 10. - № 4. - С. 41-54.

83. Ильин В.П. О сеточных технологиях для двумерных краевых задач / В.П. Ильин,

84. B.М. Свешников, B.C. Сынах // Сибирский журнал индустриальной математики. 2000. -Т. 3.-№ 1.-С. 124-136.

85. Гинкин В.П. Эффективный метод решения плохо обусловленных трехмерных уравнений эллиптического типа на примере решения задачи Стефана для моделирования кристаллизации расплавов / В.П. Гинкин, О.М. Гинкина, С.М. Ганина, К.Г. Чернов,

86. C.В. Пупко, А.Б. Кагаленко. Препринт. ГНЦ РФ-ФЭИ, г. Обнинск.

87. Чадов С.Н. Реализация алгоритма решения несимметричных систем линейных уравнений на графических процессорах / С.Н. Чадов // Вычислительные методы и програмирование.- 2009. Т. 10. - С. 321-326.

88. Гаврилов А.В. Моделирование полей в аксиально симметричной среде / А.В. Гаврилов, Я.Л. Гурьева, В.П. Ильин, Е.А. Ицкович // Сибирский журнал индустриальной математики. 2001. - Т. 4. - № 1. - С. 38-51.

89. Van der Vorst Н.А. BI-CGSTAB: a fast and smoothly converging variant of BI-CG for the solution of nonsymmetric linerar systems / H.A. van der Vorst // SIAM J. Sci. Stat. Comput. -1992.-vol. 13,-№2.-pp. 631-644.

90. Павлов А.С. О решении обусловленных линейных систем итерационными методами / А.С. Павлов, Л.Ф. Юхно // Математическое моделирование. 2004. - Т. 16. - № 7. -С. 13-20.

91. Graves-Morris P.R. The breakdowns of BiCGStab / P.R. Graves-Morris // Numer. Algorithms. 2002. - vol. 29. - pp. 97-105.

92. Гурьева Я.Л. О численном решении трехмерных диффузионно-конвективных краевых задач / Я.Л. Гурьева, В.П. Ильин // Сибирский журнал индустриальной математики. -2003. Т. 6. -№ 1. - С. 27-34.

93. Малеев А.А. Итерационные процессы, основанные на блочных //-расщеплениях / А.А. Малеев // ЖВМ и МФ. 2008. - Т. 48. - № 4. - С. 539-561.

94. Шевченко И.В. Численное моделирование движения воздушных масс бессеточными методами / И.В. Шевченко // Математическое моделирование. 2008. - Т. 20. — № 10. -С. 75-85.

95. Вшивков В.А. Итерационный метод решения СЛАУ первого порядка сходимости с регулируемой матрицей перехода / В.А. Вшивков, О.А. Засыпкина // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. - Т. 11. - № 2. - С. 40-49.

96. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем / Дж. Ортега. М.: Мир. - 1991. -364 с.

97. Вшивков В.А. Построение эффективного параллельного метода решения уравнения Пуассона для моделирования эволюции протопланетного диска / В.А. Вшивков,

98. A.В. Снытников // Вычислительные методы и програмирование. — 2009. — Т. 10. — С. 116-122.

99. Витковский В.Э. Вычислительная производительность параллельного алгоритма прогонки на кластерных суперкомпьютерах с распределенной памятью /

100. B.Э. Витковский, М.П. Федорук // Вычислительные методы и програмирование. 2008. -Т. 9.-С. 305-310.

101. Богачев К.Ю. Применение параллельного предобусловливателя CPR к задаче фильтрации вязкой сжимаемой жидкости в пористой среде / К.Ю. Богачев, И.Г. Горелов // Вычислительные методы и програмирование. 2008. - Т. 9. - С. 184-190.

102. Shapira Y. Parallelizable Incomplete Ш-typc Precondition for the Solution of Sparse Linear Systems / Y. Shapira, A. Sidi and M.A. Israeli. Препринт. - Technion-Computer Science Department - Technical Report CS0799-1993. - 30 p.

103. Теренков В.И. О реализации прямых методов решения сеточных уравнений на многопроцессорных вычислительных системах / В.И. Теренков // Разностные методы математической физики / Под ред. Е.С. Николаева. М.: Изд-во Моск. ун-та. - 1984. — С. 97-105.

104. Головашкин Д.Л. Параллельное решение СЛАУ методом Зейделя / Д.Л. Головашкин, О.Е. Горбунов // Вестник Самарского гос. тех. ун-та. Серия физико-математические науки.-2004.-№27.-С. 10-13.

105. Милюкова О.Ю. Новые паралельные итерационные методы с факторизованными матрицами предобуславливания для решения эллиптических уравнений на треугольных сетках / О.Ю. Милюкова // Математическое моделирование. 2007. — Т. 19. — №9. — С. 27—48.

106. Кучеров А.Б. Паралельные и конвективные алгоритмы попеременно-треугольного итерационного метода / А.Б. Кучеров, Е.С. Николаев // Разностные методы математической физики / Под ред. Е.С. Николаева. М.: Изд-во Моск. ун-та. - 1984. -С. 66-83.

107. Ильин В.П. О методах неполной факторизации с обобщенной компенсацией /

108. B.П. Ильин, К.Ю. Лаевский // Сибирский журнал вычислительной математики. 1998. -Т. 1. - № 4. - С. 321-336.

109. Фомин А.А. Численное исследование влияния граничных условий на решение задач термогравитационной конвекции в открытых областях / А.А. Фомин. Томск: Томский университет. - 1985. - 51с. - Деп. в ВИНИТИ 22.11.85 № 8069-В.

110. Кузнецов А.Е. Численное моделирование существенно дозвуковых стационарных неизотермических течений однородного вязкого газа в каналах / А.Е. Кузнецов, М.Х. Стрелец // Численные методы механики сплошной среды. 1983. - Т. 14. - № 6.1. C. 97-114.