Численное моделирование сверхзвуковых течений газа на основе модифицированного метода расщепления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Слюняев, Андрей Юрьевич

• Слюняев, Андрей Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Слюняев, Андрей Юрьевич

Введение.

Глава I. Исходная система уравнений и метод решения.

1.1 Исходная система уравнений Эйлера и Навье-Стокса.

1.1.1 Системы уравнений в одномерном случае.

1.2.1 Двумерная система уравнений Эйлера и Навье-Стокса.

1.3 Преобразование системы координат.

1.4 Система уравнений в безразмерном виде.

1.5 Разностные схемы для решения уравнений Эйлера и Навье-Стокса.

1.5.1 Разностные схемы для решения одномерных уравнений Эйлера и

Навье-Стокса.

1.5.2. Конечно-разностные для решения двумерных уравнений Эйлера и Навье-Стокса.

1.6 Аппроксимация производных.

1.7 Краевые условия на дробных шагах.

Глава II. Исследование свойств разностной схемы.

2.1 Задача о распаде произвольного разрыва.

2.2 Задача о квазиодномерном течении газа в канале.

2.3 Оценки области оптимальной скорости сходимости.

2.4 Тестирование алгоритма на двумерных задачах.

Глава III. Моделирование течений газа в канале воздухозаборника со вдувом газа с части поверхности.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Критерий установления и выход решения на автоколебательный режим

3.3 Расчеты с различными числами Маха.

3.4 Расчеты с различными числами Рейнольдса.

Глава IV. Моделирование сверх- и гиперзвукового обтекания элементов летательного аппарата.

4.1 Постановка задачи.

4.2 Результаты численных расчетов.

4.2.1 Расчеты течений при варьировании чисел Маха.

4.2.2 Расчеты течений при варьировании угла атаки.

4.2.3 Течение газа около элементов ЛА в расширенной области.

4.2.4 Влияние краевых условий на характеристики течения газа в канале

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование сверхзвуковых течений газа на основе модифицированного метода расщепления»

Применение аппарата математического моделирования предоставляет современным исследователям возможность предварительного изучения физических процессов в широком диапазоне параметров. Стремление к моделированию явлений, наиболее полно соответствующих реальному физическому процессу, приводит к необходимости использования наиболее сложных математических моделей. В задачах аэродинамики наиболее полной моделью течения вязкого сжимаемого теплопроводного газа является газодинамическая модель, описываемая системой уравнения Навье-Стокса. Использование на начальных стадиях исследований методов математического моделирования позволяет определить оптимальную конфигурацию летательного аппарата и его основные характеристики, и таким образом значительно сократить количество дорогостоящих испытаний натурных образцов в аэродинамических трубах. Особенно трудно исследуемыми являются процессы, протекающие при гиперзвуковых режимах полета, ввиду большой сложности получения требуемых характеристик потока в аэродинамических трубах и малым временем работы трубы в исследуемом режиме полета. Благодаря современной вычислительной технике и достаточно эффективным алгоритмам, проводить вычислительный эксперимент стало возможно в приемлемые временные сроки, быстрее и дешевле, чем физические эксперименты. Совместное использование методов математического моделирования и исследований натурных образцов в аэродинамических трубах позволяет сократить время на определение облика летательного аппарата в целом.

Разнообразие физико-математических моделей в аэродинамике и соответствующих им типов уравнений обусловило необходимость применения различных численных алгоритмов их решения. Известными численными алгоритмами решения задач аэродинамики являются конечно-разностные, конечно-объемные, конечно-элементные методы и другие (например, метод частиц в ячейках, метод статистических испытаний [2,8,16,28,29,30,42,48,52,55,56,68,98-100]). Наиболее широкое распространение в механике сплошных сред из-за своей универсальности получил метод конечных разностей.

Как правило, решения уравнений Навье - Стокса для сверхзвуковых течений характеризуются сложной картиной течений, в которых присутствуют узкие зоны больших градиентов, особенности типа пограничных слоев и отрывных зон, висячих скачков. Наличие перечисленных особенностей решений предъявляет повышенные требования к применяемому численному алгоритму. Такие алгоритмы должны удовлетворять свойствам консервативности, экономичности, иметь достаточный запас устойчивости, позволяя получать решение задачи на существующих ЭВМ за приемлемое время.

При проведении расчетов задач аэродинамики разностными схемами используются как явные, так и неявные схемы. При построении неявных схем используется метод полной и приближенной факторизации и методы расщепления, позволяющие свести решение многомерной задачи к последовательности их одномерных аналогов. В случае нелинейных схем для их решения используют итерационные процедуры или метод линеаризации [12,28,42].

Явные схемы для решения задач газовой динамики были предложены в работах С.К.Годунова, А.В.Забродина и Г.П.Прокопова [16,17], В.В.Русанова [58]. Развитие этого метода для решения стационарных и нестационарных задач проведено А.Н.Крайко, Н.В.Михайловым, М.Я.Ивановым [16,26,27], В.П. Колганом, А.П.Косых, А.Н.Минайлосом [43,44]. Явные разностные схемы типа предиктор-корректор рассматривали Р.БХах, К.\У.МасСогтак [91,92], О.МогеШ [95], Р.КиЙег и НХотах [87,89,90]. Этот класс схем можно рассматривать как разновидность метода расщепления, предложенного Н.Н.Яненко [73]. Другим подходом к решению задач аэродинамики является метод частиц в ячейках предложенный Р.Н.Наг1о\у, Ы.А.Оегйгу, В.1ЛЭа1у [72,81].

Некоторые модификации этого метода рассматривались Н.Н.Яненко, Н.Н.Анучиной, В.Е.Петренко, Ю.И. Шокиным [3,51,74]. Простота реализации явных схем обеспечила широкое их применение для целого класса задач аэродинамики. Однако жесткие ограничения на устойчивость таких схем увеличивали время расчета задач при попытках получить более точное решение на измельченной сетке. При таких ограничениях на временной шаг использование явных разностных схем может оказаться неэффективным (особенно в случае решения стационарных задач методом установления).

Неявные разностные схемы предложены в работах Н.НЛненко [73], К.Веат, К.Р.\¥агпш^, Н.МассЬпаИ, 1Х.81е§ег, ЭД'.Ы.ВгПеу, Ы.Кт1ег и Т.Н.РиШат [9,77,78,79,88,93,96,103,105], А.И.Толстых [50,67,69,70]. Они основаны на приближенной факторизации многомерных операторов с последующей линеаризацией нелинейных членов. Реализация таких схем сводится к векторным прогонкам вдоль каждого пространственного направления. В трехмерном случае схемы приближенной факторизации теряют свойство безусловной устойчивости. Однако использование векторных прогонок в случае многомерных задач может оказаться неэффективным ввиду необходимости проводить обращение матриц для нахождения коэффициентов прогонки. Такое ограничение может существенно увеличить абсолютное время решения задачи при увеличении числа узлов в расчетной области.

Неявные разностные схемы, основанные на расщеплении уравнений по физическим процессам и пространственным направлениям, предложены в работах Н.Н.Яненко и В.М.Ковени [39,41,42,76]. Они обладают свойством безусловной устойчивости и реализуются на дробных шагах скалярными прогонками, что делает их экономичными. Многочисленные проведенные расчеты показали их достаточную точность и эффективность на решении стационарных задач. Для численного решения нестационарных задач газовой динамики в лагранжевых координатах в работах А.А.Самарского и Ю.П.Попова предложен класс неявных разностных схем, основанный на интегро-интерполяционном методе [53,59,60].

Расчеты вязких течений в приближении полных уравнений Навье-Стокса сопряжены со значительными трудностями. Как уже говорилось, особенностью таких течений является наличие узких областей (порядка 0(1/VRe), 0(1/Re) ), в которых происходит резкое изменение значений искомых функций. Для получения достоверного результата необходимо обеспечить попадание в такую область достаточного количества узлов расчетной сетки. Одним из вариантов решения проблемы является использование адаптирующихся к решению подвижных сеток, такие подходы рассматривались в работах А.И.Толстых [69, 71], I.F.Tompson, I.L. Steger [80,82,101,102,106], Н.Н.Яненко, В.Д.Лисейкина, Н.Т.Данаева и других [18,24,42,46,49,54,61,62,75]. Их применение совместно с использованием, схем повышенного порядка аппроксимации как на трехточечном (А.И.Толстых [50,67,70], R.F.Warming, I.L.Steger [78,93,96,103,105]), так и на расширенном шаблоне (например, работы В.В.Русанов [57], Б.В.Балакин [5], P.F.Warming, P.Kutler, H.Lomax [22, 94,104] совместно с применением неявных разностных схем дает возможность получать решения задач аэродинамики в приближении полной системы уравнений Навье-Стокса.

Одним из актуальных и бурно развивающихся направлений вычислительной математики является теория и технология конструирования адаптивных высокоточных разностных методов, обеспечивающих сохранение монотонных свойств решения. Наиболее широко известными и признанными в аэродинамике являются схемы с полной ограниченной вариацией решения, которые могут подстраиваться под решение на различных участках и, таким образом, сохранять высокий порядок аппроксимации, гасить высокочастотные гармоники решения и сохранять монотонность решения. Одной из ключевых работ в области построения нелинейных адаптивных конечно-разностных методов является построенная A.Harten теория TVD-схемы [83]. Эта работа стала основополагающей для дальнейшего развития и строгому обоснованию высокоточных конечно-разностных схем.

Целью настоящей работы является разработка эффективного вычислительного алгоритма и моделирование на его основе плоских стационарных сверхзвуковых течений вязкого сжимаемого газа около элементов летательного аппарата. В работе:

1: Дана модификация конечно-разностной схемы для численного решения уравнений Навье - Стокса, основанная на специальном расщеплении уравнений по физическим процессам и пространственным направлениям. Дано обобщение алгоритма для уравнений в криволинейных преобразованных координатах. Предложен алгоритм второго порядка аппроксимации по пространственным переменным.

2. Создана программа расчета течений вязкого сжимаемого газа около тел со сложной геометрией.

3. Приведены результаты, тестирования численного алгоритма, оценены основные характеристики схемы, позволяющие сделать вывод о точности расчетов и эффективности предложенного алгоритма.

4. Исследованы сверхзвуковые течения газа в канале воздухозаборника с наличием вдува газа с части поверхности канала. Получены основные закономерности течения, изучено влияние чисел Маха и Рейнольдса на характер течения. Выявлены основные закономерности влияния параметров потока на размер отрывных зон.

5. Исследовано течение газа около элементов гиперзвукового летательного аппарата. Получены основные закономерности течения, изучено влияние углов атаки набегающего потока и числа Маха на характер течения. Исследовано влияние геометрии ЛА и краевых условий для температуры на структуру течения.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Слюняев, Андрей Юрьевич

Выводы

1. Для численного решения уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа-построена экономичная по числу операций на один узел расчетной сетки разностная схема второго порядка аппроксимации с оптимальным расщеплением операторов по физическим процессам и пространственным направлениям. Дано обобщение схемы на случай двумерной криволинейной системы координат. Для аппроксимации производных построен адаптивный монотонизирующий-оператор второго порядка точности.

2. Создана- программа расчета плоских течений вязкого сжимаемого газа около тел сложной геометрической формы.

3. С помощью разработанного численного" алгоритма' исследованы сверхзвуковые течения газа в канале1 воздухозаборника с, источником« вдува* газа-с части поверхности канала. Общая* структура-течения, образующаяся' около источника вдува, качественно совпадает с расчетами- других авторов и экспериментальными данными для- такого типа задач. Получены- основные закономерности течения, а именно: установлено, что увеличение числа Маха набегающего потока приводит к увеличению угла наклона головного скачка уплотнения, к возникновению зоны отрыва пограничного слоя на верхней стенке канала в области взаимодействия головного скачка уплотнения и пограничного слоя. С увеличением числа Маха набегающего потока увеличивается длина зон отрывного течения на нижней стенке канала; перед источником вдува образуется система из двух вихрей, причем движение- в них газа происходит в противоположных направлениях. Варьирование числа Рейнольдса набегающего потока показало, что его уменьшение вместе с увеличением вязкости газа приводит к усложнению структуры течения, за счет появления более выраженных скачков уплотнения на передних кромках канала, что в свою очередь приводит к образованию в структуре течения висячего скачка уплотнения.

4. С помощью предложенного алгоритма исследованы сверхзвуковые течения газа около элементов летательного аппарата в плоскости его симметрии. Получены количественные и качественные характеристики течения. Получена зависимость между числом Маха набегающего потока и размерами, а также положением зоны отрывного течения в канале воздухозаборника. Изучено влияние изменения угла атаки набегающего потока на характер течения, установлено, что для некоторых углов атаки перед каналом воздухозаборника возникает выбитая ударная волна с висячим скачком уплотнения. Исследовано влияние геометрии летательного аппарата и краевых условий для температуры на характер течения, установлено, что изменение геометрии ЛА приводит к исчезновению эффекта запирания воздухозаборника, а изменение типа краевого условия для температуры с тепловой изоляции к постоянной температуре стенки приводит к исчезновению зон отрывного течения в канале.

5. Проведенные расчеты продемонстрировали эффективность предложенного численного алгоритма для решения внешних и внутренних задач аэродинамики, его достаточную точность и устойчивость в широком диапазоне параметров потока.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Слюняев, Андрей Юрьевич, 2009 год

1. Авдуевский B.C., Медведев К.И., Полянский М.Н. Взаимодействие сверхзвукового- потока- с поперечной струей, вдуваемой через круглое^ отверстие в пластине // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1970, №5, с. 193-197

2. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен Т. 1-2. М.: Мир, 1990. - 728 с."

3. Анучина H.H. 0 методах расчета течений сжимаемой» жидкости с большими, деформациями. Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1970, т. I, № 4, с. 3-84.

4. Бабенко К.И., Воскресенский Г.П:, Любимов: А.Н., Русанов В.В. Пространственное обтекание тел идеальным газом: — М:: Наука, 1964 •

5. Балакин Б.В. О методах типа Рунге-Кутта для уравнений газовой динамики. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1970 т. 10, №6, с. I5I2-I5I9.

6. Бекетаева А.О., Найманова А.Ж. Численное моделирование^ сверхзвукового течения с поперечным вдувом струй // Журнал выч. математики и матем. физики, т.45, №3, 2004*, с. 72-80*

7. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Нестационарный метод "крупных частиц" для решения задач внешней аэродинамики. М.:ВЦ АН СССР, 1970, 56 с.

8. Белоцерковский О.М., Хлопков Ю.И. Методы Монте-Карло в прикладной математике и вычислительной аэродинамике // Журнал выч. математики и матем.физики, т.46, №8, 2006, с. 1494-1518

9. Бим P.M., Уорминг Р.Ф. Неявная факторизованная разностная схема для уравнений Навье-Стокса течения сжимаемого газа // Ракетная техника и космонавтика, 1978, т. 16, №4, с.145-156

10. Борисов A.B., Ковеня В.М. Применение неявной разностной схемы для расчета внутренних течении вязкого газа // Численные методы механики сплошной среды. 1976. Т. 7. — №4. — с. 36 — 47.

11. Разовая динамика. Избранное в 2 т. Под общей редакцией Ä.H. Крайко. Редактор-составитель А.Н. Крайко, А.Б. Ватажин, А.Н. Секундов. 2-е изд. испр. - М.: Физматлит, 2005 - 720 с.

12. Гильманов А.Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. М.: Физматлит, 2000. - 247 с.

13. Глаголев А.И., Зубков А.И., Панов Ю.А. Взаимодействие струи газа, вытекающей из отверстия на пластине, со сверхзвуковым потоком // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1968. №2, с. 99-102

14. Глаголев А.И., Зубков А.И., Панов Ю.А. Обтекание струйного газообразного препятствия на пластине сверхзвуковым потоком // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1967. №3, с. 97-102

15. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений // Математический сборник. 1959. Т. 47. №3. - с. 271 - 306.

16. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я:, Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. -М.: Наука, 1976.-400 с.

17. Годунов С.К., Забродин A.B., Прокопов Г.П. Разностная' схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1961, т. 1, №6, с. 1020-1050

18. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток // Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1967, т.7, № 5, с. 1031-1059.

19. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. — М.: Наука, 1977. -439 с.

20. Головачев Ю.П. Численное моделирование течений вязкого газа в ударном слое. -М.: Наука, Физматлит, 1996

21. Гришин A.M., Берцун В.Н., Зинченко В.И. Итерационно-интерполяционный метод и его приложения. Томск: изд-во ТГУ, 1981

22. Грудницкий В.Г., Прохорчук Ю.А. Один прием построенияразностных схем с произвольным порядком аппроксимации для дифференциальных уравнений в частных производных // Докл. АН СССР; 1977, т. 234, № 6, с. 1249-1252.

23. Давыдов Ю.М., Скотников В.П. Метод "крупных частиц": вопросы аппроксимации, схемной вязкости и устойчивости-. М.: ВЦ АН'СССР, 1978, 72 с.

24. Данаев Н.Т. Об одном способе построения криволинейных сеток сгущающихся в области больших градиентов // Численные методьг механики сплошной среды, Новосибирск, 1979, т. 10, № 4, с. 60-74.

25. Дьяконов Ю.Н., Пчелкина A.B., Сандомирская И.Д. Сверхзвуковое обтекание затупленных тел. М.: изд-во МРУ, 1971

26. Иванов- М.Я., Крайко А.Н. Метод сквозного счета* для двумерных и. пространственных сверхзвуковых течений // Ж. вычислит, матем. и матем. физики, 1972, т. 12, №3, с. 805 813

27. Иванов М.Я., Крайко А.Н., Михайлов Н.В. Метод сквозного счета'для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений // Ж. вычислит, матем. и матем. физики, 1972, т. 12, №2, с. 441 463

28. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

29. Ковеня В.М. Разностные методы решения многомерных задач: Курс лекций. Новосибирск: НГУ, 2004. - 146 с.

30. Ковеня В.М. Схемы расщепления в методе конечных объемов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. Т. 41. -№14. с. 100-113.

31. Ковеня В.М., Козлинская Т.В. Об алгоритме расчета нагрева плазмы электронным пучком // Вычислительные технологии. 2004. Т. 9. №6. — с. 59-67.

32. Ковеня В.М., Лебедев A.C. Модификации метода расщепления для построения экономичных разностных схем // Ж. вычислительной математикии математической физики. 1994. Т. 34. №6. - с. 886 - 897.

33. Ковеия В.М., Лебедев A.C. Численное исследование отрывного течения в ближнем следе. Препринт № 14-87. Новосибирск: изд-во ИТПМ СО АН СССР, 1987-48 с.

34. Ковеня В.М., Слюняев А.Ю. Алгоритмы расщепления при решении уравнений Навье-Стокса // Ж. вычислительная математика и математическая физика. 2009, т 49, № 4, с. 700-714

35. Ковеня В.М., Слюняев А.Ю. Моделирование сверхзвуковых течений газа в канале // Вычислительные технологии, 2007, т. 12, Спецвыпуск 4, с. 4150

36. Ковеня В.М., Слюняев А.Ю. Моделирование сверхзвуковых течений около элементов летательного аппарата // Ж. Прикладная механика и техническая физика. 2009,' т 50, № 3, с. 98-108

37. Ковеня B.Mi, Слюняев А.Ю. Модификации алгоритмов расщепления" для решения уравнений Эйлера и Навье-Стокса // Вычислительные технологии, 2007, т 12 , № 3, с. 71 86

38. Ковеня В.М., Слюняев А.Ю. Численное моделирование вязких течений газа в воздухозаборнике // Материалы VII международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях. Алушта, 24-31 мая 2008 г., с. 225-227

39. Ковеня В.М., Тарнавский Г.А. Метод решения пространственных уравнений газовой динамики // Ж. численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1978, т. 9, №6, с. 65-83.

40. Ковеня В.М., Тарнавский Г.А., Черный С.Г. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ие, 1990.-247 с.

41. Ковеня В.М., Тарнавский Г.А., Яненко H.H. Неявная разностная схема для численного решения пространственных уравнений газовой динамики // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1980, т. 20, № 6, с. 1466-1482.

42. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой-динамики: — Новосибирск: Наука, 1981. 304 с.

43. Колган В.П. Конечно-разностная- схема для расчета двумерных разрывных решений нестационарной' газовой динамики // Уч. записки ЦАГИ,1975, т.б, №1, с.9-14

44. Косых А.П., Минайлос А.Н. Исследование методов сквозного счета для задач сверхзвуковой аэродинамики // Уч. записки ЦАГИ, 1976, т.7, №1, с. 917

45. Лебедев A.C., Черный С.Г. Практикум по численному решению уравнений в частных производных. Новосибирск: НГУ, 2000. — 136 с.

46. Лисейкин В.Д., Яненко H.H. Метод подвижных координат в газовой динамике // Ж. численные методы механики сплошной среды, Новосибирск,1976, т. 7, №1, с. 75-82.

47. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1970. 904 с.

48. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. - 264 с.

49. Мещеряков Ю.П., Шапеев В.П. Некоторые геометрические методы построения разностных сеток в области с криволинейными границами // Ж. численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1978, т. 9, № 2, с. 91-103.

50. Минайлос А.Н., Толстых А.И. Неявные конечно-разностные схемы повышенной точности для сквозного счета разрывных решений // Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1975, т. 15, №2, с. 527-531.

51. Петренко В.Е., Ворожцов Е.В. Применение частиц-слоев при расчетах по методу частиц в ячейках // Ж. численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1973, т.4, № 2, 60, с. 132-141.

52. Попов Ю.П., Самарский A.A. Вычислительный эксперимент, // Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. — М1.: Наука, 1988. с. 16-78.

53. Попов Ю.П., Самарский A.A. Полностью консервативные разностныесхемы // Журн. вычисл. матем. и матем. физ, 1969, т. 9, № 4, с. 953-958.

54. Прокопов Г.П. О расчете разностных сеток, близких к ортогональным, в областях с криволинейными« границами // Ин-т проблем механики АН СССР, М:, препринт № 17,1974, 38 с.

55. Рихтмайер Р.Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972,418 с.

56. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. - 616 с.

57. Русланов В.В. Разностные схемы третьего порядка точности для. сквозного счета разрывных решений // Докл. АН СССР, 1968. т. 180, №6, с. 1303-1305.

58. Русланов В.В. Расчет взаимодействия нестационарных ударных волн с препятствиями //Ж. вычислит, матем. и матем. физики, 1961, т. 1, №2, с. 267 -279'

59. Самарский, A.A. О консервативных разностных схемах. В. кн.: Проблемы прикладной математики и механики, М.: Наука, 1971, с. 129-136.

60. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики, М.: Наука, 1975,351 с.

61. Сидоров А.Ф. Об одном алгоритме расчета криволинейных сеток, близких к равномерным // Ж. численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1977, т. 8, № 4, с.149-156.

62. Сидоров А.Ф. Об одном алгоритме расчета оптимальных разностных сеток // Труды Матем. ин-та им. Б.А.Стеклова, 1966, т. 24, № 1, с. 147-151.

63. Слюняев А.Ю. Об одном численном алгоритме решения, уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа // Исследования и перспективные разработки в авиационной промышленности.- М: ОАО «ОКБ Сухого», 2005. с. 105-111.

64. Слюняев А.Ю. Модификации алгоритма решения задач газовой динамики // Тезисы VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Красноярск, 2006, с. 28-29

65. Слюняев А.Ю. Схемы расщепления и факторизации для численного решения уравнений Эйлера и Навье-Стокса // Тезисы Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007, Новосибирск, 2007

66. Слюняев. А.Ю. Моделирование гиперзвуковых течений вокруг головной части ГЛА // Тезисы VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Новосибирск, 2007, с. 75

67. Толстых А.И. 0 неявных схемах повышенной точности для систем уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1981, т. 21,* 2, с. 339-354.

68. Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. М.: Наука, 1990. - 230 с.

69. Толстых А.И. О методе численного решения уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа в широком диапазоне чисел Рейнольдса // Докл. АН СССР, 1973, т. 210, №1, с 48-51.

70. Толстых А.И. О неявных разностных схемах третьего порядка точности для многомерных задач // Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1976, т. 16, №5, с. 1182-1190.

71. Толстых А.И. О сгущении узлов разностных сеток в процессе решения и о применении схем повышенной точности при численном исследовании течений вязкого газа // Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1978, т. 18, №1, с. 139-153.

72. Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики. В кн. Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967, с. 316-342.

73. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967, 196 с.

74. Яненко H.H., Анучина H.H., Петренко В.Е., Шокин Ю.И. О методах расчета задач газовой динамики с большими деформациям // Ж. численные5методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1970, т. I, № I, с. 40-62.

75. Яненко H.H., Данаев Н.Т., Лисейкин В.Д. О вариационном методе построения сеток // Ж. численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1977, т. 8, № 4, с. 157-163.

76. Яненко H.H., Ковеня В.М. Разностная схема для решения многомерных уравнений газовой динамики // Докл. АН СССР, 1977, т. 232, №6, с. 12731276.

77. Beam R.M., Warming R.F. An implicit finite-difference algorithm for hyperbolic systems in conservation law form // J. of Comput. Phys. 1976. Vol. 22 -p. 87-108.

78. Briley W.R., MacDonald H. Solution of the three-dimensional compressible Navier-Stokes equations by an implicit technique // Lect. Notes Phys., 1935, v. 35, p. 6-11.

79. Briley W.R., McDonald H. Solution of the 3D compressible Navier-Stokes, equation by an implicit technique // Lect. Notes in Phys. 1975. Vol. 35. p. 150178.

80. Eiseman P.R. A multi-surface method of coordinate generation // J. Comput. Phys.,.1979, v, 33, p. 118-150,

81. Gentry R.A., Martin R.E., Daly B.I. An eulerian differencing method for unsteady compressible flow problems // Journal Comput. Phys., 1966, v.l, № 1, p. 87-118.

82. Hamilton H.H. Application of a numerically generated orthogonal coordinate system to the solution of inviscid axisym-metric supersonic flow over blunt bodies. NASA-TP-1619, 1980, 61 p.

83. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // J.Comp.Phys., 1983, vol.49, №3, p. 357-393.

84. Kovenya V.M., Slyunyaev A.Yu. Modeling of super- and hypersonic flows near the elements of an aircraft // ICMAR: Proc. Pt I, p. 242-244, Novosibirsk, 2008

85. Kovenya V.M., Slyunyaev A.Yu. Modification of splitting algorithms for solution of Euler and Navier-Stokes equations // ICMAR: Proc. Pt III, pp. 162-167, 2007

86. Kutler P. Computation of three-dimensional inviscid supersonic flows // LectNotes Phys., 1975, v. 41, p.287-374.

87. Kutler P., Lomax H. Shock-capturing finite difference approach to supersonic flows // J. Spacecraft and Rockets, 1971 v. 8, № 12, p. 1175-1182.

88. Kutler P., Lomax H. The computation of supersonic flow fields about wing-body combinations by "shock-capturing" finite difference technique // Lect. Hotes Phys., 1971, v.8, p. 24-29./

89. MacCormak R.W. The effect of viscosity in hypervelocity impact Cratering // AIAA paper, 1969, №17, p.17

90. MacDonald H., Briley W.R. Three-dimensional supersonic flow of a viscous or inviscid gas // J. Comp. Phys., 1975, v. 19, p. 150-178.

91. Melnic C, Stephen L., Bernard W. The operator compact implicit method for parabolic equations // J. Comput. Phys. 1978, v. 28, №2, p. 135-166.

92. Moretti G. Three dimensional supersonic flow computations // AIAA Journal, 1963, v. 1, № 1, pp. 2192 2193

93. Pulliam T.H., Steger I.L. Implicit finite-difference simulations of three-dimensional compressible flow // AIAA Journal, 1980, v. 18, № 2, p. 159-167.

94. Shan H., Jiang L., Liu C. Direct numerical simulation of flow separation' around a NACA 0012 airfoil // Computers and fluids. 2005. Vol. 34. p. 1096 -1114.

95. Special Issue selected papers from the 6th International Symposium on Computational Fluid Dynamics, Lake Tahoe, USA, September 1995 // Comput. & Fluids, 1998, v.27, N.5-6, P. 551-740

96. Special Issue. Applied mathematics for industrial problems // Comput. & Fluids, 2004, v.33, N.5-6.

97. Special Issue of Selected papers from Fourth Asian Workshop on Computational Fluid Dynamics, March 3-6, 2004 at University of Tokyo // Comput. Fluid Dynamics J., 2004, v. 13, N.2.

98. Steger I.L. Implicit finite difference simulation of flow about arbitrary two-dimensional geometries // AIAA Journal 1978; v. 16, p. 679-686:

99. Thompson I.P., Thames P.C.,Mastin C.W. Automatic numerical ceneration of body-fitted curvilinear coordinate system for field containing any number of arbitrary two-dimensional bodies // J. Comput.Phys., 1974, №15, p.299-319.

100. Warming R.F., Beam R.M. On the construction and application of implicit factored schemes for conservation laws // Symposium on Computational fluid dynamics, SIAM-AMS Proceedings, 1978, v.l 1, p. 87-108.

101. Warming R.F., Kutler P., Lomax H. Second and third-order noncentered difference schemes for nonlinear hyperbolic equations // AIAA Journal, 1973, v. 11, №2, p. 189-195.

102. Warming R.P., Beam R.M. Recent advances in the development of implicit schemes for equations of fluid dynamics // Preprint for Proceeding of the VII Intern. Conf. on Numerical Methods in Pluid Dynamics, Stanford, 1980, 8 p.

103. Winslow A.M. Numerical solution of the quasilinear Poisson equation in a nonuniform triangle mesh // J. Comput.Phys., 1967, № 1, p. 149-172.