Методы проектирования оптимальных следящих пневматических устройств для управления системами с жидкими рабочими средами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.04.13, доктор наук Труханов Кирилл Алексеевич

• Труханов Кирилл Алексеевич
• доктор наук
• 2020

Оглавление диссертации доктор наук Труханов Кирилл Алексеевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Проблемы, возникающие при проектировании следящих пневматических устройств для управления систем с жидкими рабочими средами

1.1. Постановка задачи

1.2. Выводы по главе

Глава 2. Нелинейная математическая модель следящего пневматического устройства

2.1. Уравнение движения рабочей среды

2.2. Применениие уравнения движения рабочей среды

2.3. Математическая модель длинной линии

2.4. Нелинейная математическая модель следящего

пневматического устройства

2.5. Нелинейная математическая модель пневмосистемы с учетом использования пропорционального или дискретного

Распределителя

2.6. Математическая модель пневматического распределителя с учетом

его электродинамических свойств

2.7. Идентификация передаточной функции пневмораспределителя

2.8. Выводы по главе

Глава 3. Оценка качества и условий работы следящих пневматических устройств по степени устойчивости и по отсутствию колебаний

3.1. Силы, возникающие при работе пневматических устройств

3.2. Прогнозный метод расчета сил, действующих на

Исполнительный двигатель

3.3. Эмпирический метод расчета сил, действующих на исполнительный двигатель

3.4. Границы устойчивости и отсутствия колебаний в следящих пневматических устройствах

3.5. Выводы по главе

Глава 4. Выбор оптимальных параметров следящих пневматических устройств

4.1. Общие сведения

СТР.

4.2. Выбор оптимальных параметров пневмоцилиндра

4.3. Выбор оптимальных параметров пневмомотора

4.4. Выбор оптимальных параметров цифрового пид-регулятора

Для управления следящим пневматическим устройством

4.5. Выбор оптимальных геометрических размеров уплотнения

Поршня пневмоцилиндра

4.6. Выводы по главе

Глава 5. Верификация методов проектирования оптимальных следящих пневматических устройств для управления системами с жидкими рабочими средами

5.1. Создание системы управления следящим пневматическим устройствов для экспериментальных исследований

5.2. Экспериментальное исследование работы следящего пневматического устройства при изменении внешних нагрузок

5.3. Порядок и проведение измерений, оценка полученных результатов

5.4. Выводы по главе

Основные результаты и выводы

Список литературы

Акты внедрения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы проектирования оптимальных следящих пневматических устройств для управления системами с жидкими рабочими средами»

ВВЕДЕНИЕ

В любой отрасли техники применяются исполнительные приводы: электрические, гидравлические, пневматические. Для управления исполнительными приводами используют автоматические систем управления с контроллером.

Система с приводом при работе испытывает возмущения от внешних нагружающих факторов, при действии которых происходят изменения состояния системы во времени. Нагрузки на систему носят, как правило, случайный характер, вызывая, тем самым, в системе стохастические процессы. К основным требованиям, предъявляемым к современным системам с приводом, управляемым от контроллера, относят: надежность, быстродействие, точность.

Введение контроллера в состав систем для управления приводом позволяет с минимальными затратами по времени проводить их разработку и модернизацию. При этом будет обеспечиваться принцип модульности системы, эффективность и быстродействие ее применения. При замене или добавлении компонента системы не приведет к разработке всей системы управления.

При синтезе оптимальных следящих устройств с пневмоприводом для управления системами с жидкими рабочими средами требуется обеспечить их работоспособность во время действия на них непредсказуемых внешних нагрузок - возмущений. Подобные возмущения являются «началом катастроф», поскольку приводят к потере устойчивости и последующему выходу из строя как самого следящего пневматического устройства (далее пневмопривода), так и всей системы, в состав которой он входит.

Для следящих пневмоприводов отсутствует метод разработки по выбору структуры и их оптимальных параметров. Поэтому разработчикам приходится закладывать большие запасы по их прочности, надежности, долговечности и устойчивости. Приводы, созданные в отсутствии критериев оптимальности

при выборе параметров, оказываются экономически неэффективными как с точки зрения затрат на их создание, так и по тактико-техническим характеристикам.

Целью диссертационной работы стало создание методов разработки следящих пневматических устройств для управления системами с жидкими рабочими средами при их проектировании, работающих при изменении внешних нагрузок. Методы ориентирована на выбор наилучшей структуры и параметров создаваемого устройства, и его экспериментальной апробации.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе были решены следующие задачи:

1). Разработка метода проектирования следящих пневматических устройств для управления системами с жидкими рабочими средами с оптимальными параметрами.

2). Расчет и идентификация динамических характеристик устройств, составляющих следящий привод.

3). Создание математической модели следящего пневмопривода, работающего при изменении внешних нагрузок, с учетом технологических разбросов параметров элементов следящего привода.

4). Создание опытного образца следящего пневмопривода.

5). Экспериментальные исследования опытного образца разработанного следящего пневмопривода.

6). Верификация созданного метода разработки следящих пневмоприводов, работающих при изменении внешних нагрузок.

В первой главе работы рассмотрены проблемы, связанные с синтезом следящих пневмоприводов. Приводится постановка задачи диссертационной работы. Выполнен обзор и анализ созданных систем, выбран объект исследования.

Во второй главе приведено математическое описание движения жидкой среды. Показан пример применение составленной системы уравнений

движения среды в цилиндрической системе координат. Автором получено уравнение для момента сопротивления при движении среды в разработанной соосно цилиндрической измерительной системе с учетом реологических характеристик среды.

Решается задача установления однозначной взаимосвязи параметров граничного условия на входе в длинную линию при изменении параметров нагрузки на исполнительном механизме. Описывается метод получения передаточной матрицы длинной линии, определяющий значения давлений и расходов среды в сечениях на ее входе и выходе.

Вторая глава посвящена созданию нелинейной объектно-ориентированной интерактивной модели следящего пневмопривода. Приведены нелинейные математические модели пневмопривода с пропорциональным или дискретным распределителем, с учетом электродинамических свойств катушки управления. Показано влияние постоянного и переменного значений индуктивности на переходные процессы при расчете систем с распределителем.

Автором предложен метод идентификации коэффициентов передаточной функции пневмоаппаратов, при помощи полученных экспериментальных характеристик. Приведен способ получения амплитудной и фазовой частотных характеристик пневмоаппаратов. Получены динамические свойства рассматриваемых пневмоаппаратов, произведена оценка устойчивости всей системы совместно с указанными пневмоаппаратами.

В третьей главе приведен анализ нагрузок и методы их оценки.

В четвертой главе описано применение целевой функции, обеспечивающей определение оптимальных параметров пневмопривода с поступательным движением выходного звена. Сделан вывод, что предложенная целевая функция может быть использована при синтезе следящих пневмоприводов с поступательным и вращательным движением выходного звена. Представлены результаты применения генетического и модифицированного генетического алгоритмов при определении параметров привода.

Приведена методика выбора оптимальных параметров уплотнения поршня пневмоцилиндра. Описано определение критериев, позволяющих выбрать оптимальные параметры уплотнения поршня. В качестве критериев предложено использовать объемный КПД , характеризующий степень герметичности и условия работы, и гидромеханический КПД , учитывающий потери энергии вследствие гидравлического сопротивления каналов и трения в них. Приведены расчетные зависимости для и ^гм.

Показан синтез цифрового ПИД-регулятора при создании современных систем автоматического управления следящим пневмоприводом с использованием контроллера.

В пятой главе рассмотрены вопросы верификации созданных методов на примере экспериментальных исследований, проводимых на созданных с этой целью стендах. Приведен пример создания современных систем управления, экспериментальных стендов. Выполнена проверка метода разработки следящего пневматических устройств для управления системами с жидкими рабочими средами, на примере системы, включающей созданный для этого пневмопривод.

Научная новизна выполненной диссертационной работы состоит в следующем:

Созданы методы проектирования оптимальных следящих пневматических устройств для управления системами с жидкими средами, работающих при изменении внешних нагрузок, позволяющие оценивать качество работы создаваемой системы по степени устойчивости и по отсутствию колебаний:

1). Разработан метод выбора оптимальных параметров уплотнения поршня пневмоцилиндров, учитывающий устойчивость поршня и использующий принцип Парето. В качестве критериев при оптимизации использованы механический и объемный КПД исполнительного механизма.

2). Создана математическая модель длинной линии, устанавливающую однозначную взаимосвязь волновых процессов, определяемых граничными условиями на входе и выходе линии при внезапном изменении нагрузки на выходе из линии. Модель учитывает реологические особенности среды, протекающей по линии.

3). Разработан метод синтеза следящего пневмопривода. В качестве критерия оптимальности выбрана целевая функция, учитывающая связь параметров исполнительного пневмопривода и его развиваемой мощности.

4). Разработан метод получения и идентификации передаточной функции управляющих устройств следящего привода.

5). Создана объектно-ориентированная компьютерная модель следящего пневматического устройства, в отличие от существующих, построена в виде блок-схем уравнений, описывающих связи между исходными физическими величинами, и обладающая принципом модульности. Модель позволяет определять оптимальные параметры адаптивного цифрового ПИД-регулятора.

6). Экспериментальными исследованиями, с помощью которых выполнена верификация численных расчетов опытного образца следящего пневмпопривода, получены коэффициенты, позволяющие уточнить математическую модель.

Результаты диссертационной работы внедрены и использованы в своей деятельности Обществом с ограниченной ответственностью «Специальное конструкторско-технологическое бюро прикладной робототехники» (ООО «СКТБ ПР») в проектах по заказу АО «КОНЦЕРН РОСЭНЕРГОАТОМ». Место внедрения (использование результатов выполненных работ): Ленинградская АЭС-2 и Индийская станция Куданкулам.

Внедрение результатов работы заключается в применении и использовании метода разработки оптимальных следящих пневматических устройств для управления системами с жидкими средами, работающих при изменении внешних нагрузок. По критериям, полученным в методе, была оценена устойчивость работы созданных следящих приводов для прогнозирования работоспособности системы при ремонтных работах бассейна выдержки Ленинградской АЭС-2 и индийской - Куданкулам.

Также метод разработки оптимальных следящих пневматических устройств для управления системами с жидкими средами внедрен в серийное производство компании ООО «Фесто-РФ» - мирового лидера и производителя промышленного оборудования и систем автоматизации. Выпуск следящих пневматических устройств (пневмоприводов), используя созданный метод, составляет 150-200 штук в год.

Также метод внедрен при разработки серийно выпускаемых систем компании ООО «ТОМС инжиниринг» и ПАО «ФосАгро» - крупнейшего европейского производителя фосфорных удобрений, крупнейшего мирового производителя высокосортного фосфорного сырья и второго в мире (без учета Китая) производителя аммофоса и диаммонийфосфата (по данным Fertecon), ведущего в Европе и единственного в России производителя кормового монокальцийфосфата (MCP), а также единственного в России производителя нефелинового концентрата.

Положения метода нашли применения в нефтедобывающей отрасли промышленности при создании телеметрических систем бурения скважин.

Положения метода легли в основу при создании телеметрической системы бурения скважин и внедрены компанией GeoTrend (США). Патент: Ш 10,113,420 В2.

Также положения методов нашли применение при создании устройств, используемых в коленных суставах для людей с ограниченными возможностями, и при создании запасных частей буровых насосов.

Таким образом, созданные и представленные в диссертационной работе методы нашли широкое применение в следующих отраслях промышленности РФ, США и мира: атомной, сельскохозяйственной, общем машиностроении, медицинской промышленности и нефтедобывающей отрасли.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность в подготовке и написанию данной диссертационной работы профессору кафедры Э-10 «Гидромеханика, гидромашин и гидропневмоавтоматика», профессору, д.т.н. Дмитрию Николаевичу Попову, который оказывал консультации и давал рекомендации как практического, так и теоретического характера.

Также автор работы благодарит всех сотрудников и руководство кафедры Э-10 «Гидромеханика, гидромашин и гидропневмоавтоматика», особенно доцента, к.т.н. Клару Дмитриевну Ефремову.

ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ СЛЕДЯЩИХ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМ С ЖИДКИМИ РАБОЧИМИ СРЕДАМИ

1.1. Постановка задачи

В пневмосистемах, применяющихся в промышленности повсеместно для управления системами с жидкими рабочими средами, в качестве исполнительных механизмов наиболее широкое распространение получили пневмодвигатели с возвратно-поступательным движением выходного звена (штока), реже используются пневмодвигатели с полноповоротным или неполноповоротным движением выходного звена (вала). Динамика пневмосистем играет важную роль в современной технике, где требования надежности, точности и быстродействия выходят на первый план, поскольку обеспечивают эффективность использования разрабатываемых систем и их экономическую целесообразность [1]. Точное позиционирование, управление и остановка в желаемом месте пространства с минимальной ошибкой позиционирования такими пневмодвигателями осуществляется с помощью, как правило, пропорциональных распределительных устройств с электронным управлением (электроуправлением). Совокупность элементов автоматической системы управления, позволяющая изменять и контролировать закон движения выходного звена (вала или штока) в зависимости от управляющего воздействия, образует следящее пневматическое устройство (пневмопривод). Нагрузки, возникающие при работе пневматических устройств, носят

как случайный, так и детерминированный характер. К таким системам,

относятся:

- телеметрические системы бурения скважин [2 - 4], испытывающий изменение нагрузки при переходе из одного пласта земли в другой;

- системы в конструкциях протезов коленных суставов, нижних и верхних конечностей человека [5] и роботов;

- системы приводов летательных аппаратов [6];

- автоматические систем приводов, использующихся при технологических операциях для ремонта объектов электростанций [7]. Приводы систем точного позиционирования технологического оборудования, предназначенного для выполнения ремонтных работ поиска и ликвидации последствий протечек жидкости через облицовку бассейна выдержки (БВ), отработавшего ядерного топлива на атомных электростанциях (АЭС) и др.

- системы охлаждения двигателя транспортного средства [8].

К основным требованиям, предъявляемым к следящим пневматическим устройствам, в настоящее время относят требования по быстродействию и точности управляющих аппаратов: распределителей, клапанов, кранов, усилителей струйного типа и др. Поскольку среда сживаема, если есть заедание, сухое трение или инерционность нагрузки, то в исполнительный механизм через золотник должен пройти значительный объем воздуха, прежде чем уровень давления в его полостях достигнет величины, достаточной, чтобы переместить нагрузку в заданную точку, а также предотвратить перерегулирование и колебания [1, 9-12]. Таким образом, необходимо иметь критерии, позволяющие оценивать условия работы и появление автоколебаний в следящих пневматических устройствах для управления системами с жидкими рабочими средами.

Ранее, пневматические следящие устройства реализовывались по схеме, представленной на Рис.1.1 [9].

Рис.1.1. Схема следящего пневматического устройства [9, 10]. сп -жесткость пружины отрицательной обратной связи, 8 - ход золотника, т§ - приведенная масса золотника, ту - приведенная масса штока, /м - эффективная площадь мембраны, см - жесткость мембраны, / - коэффициент передачи рычага отрицательной обратной связи, у - ход поршня исполнительного механизма, у0 -исходное положение поршня исполнительного механизма, равное величине половине хода 5 исполнительного механизма, сн -жесткость пружины нагрузки, И - ширина поршня, Дрв - разность давлений управления следящим пневматическим устройством, р0 - давление питания, р± - давление в поршневой полости цилиндра, р2 - давление в штоковой полости пневмоцилиндра, F - площадь поршня, рг - плотность среды в поршневой полости пневмоцилиндра, р2 - плотность среды в штоковой полости пневмоцилиндра.

У пневматического следящего устройства (Рис.1.1) введена отрицательная обратная связь, реализованная в виде рычага и пружины, через

которые выходной шток воздействует на распределительный орган, приводя его всегда в нейтральное положение. Рычаг поворачивается вокруг точки «О»,

воздействует на золотник через пружину с жесткостью сп [9, 10].

При составлении математической модели пренебрегалось:

- временем открытия золотника или другого управляющего органа, так же как и временем распространения волны давления [9];

- влиянием сил сухого трения [9];

- нагрузка на шток исполнительного органа считалась незначительной

[9, 12];

- перекрытие золотника принималось нулевым [9, 12];

- волновыми процессами в подводящих линиях [9].

Для расчета использовался в основном графо-аналитический метод расчета [9]. Этот метод позволял определить лишь скорость установившегося движения устройства с постоянной нагрузкой. Что неприменимо для современных технический систем, например, при изготовлении удобрений и при регулировании потоков жидкой среды в магистральных трубопроводах, где величина нагрузки изменяется во времени. Максимальное расхождение расчетных данных с экспериментом при использовании больших проходных сечений дросселирующих окон и больших давлений питания (0,4...0,6 МПа) составляло 30% [9].

Ввиду этого необходимо иметь методы расчета следящих пневматических устройств, позволяющие снизить ошибку вычислений до уровня 5%.

Наряду со следящими пневматическими устройствами с пневматическим управлением применяли следящие устройства с электропневматическими преобразователями. Схема такого привода приведена на Рис.1.2 [1] и Рис.1.3.

Рис.1.2. Схема электропневматического следящего устройства [1]. 1 -усилитель постоянного тока, 2 - электромеханический преобразователь, 3 - заслонка, 4 - струйные элементы усилителя -сопла, 5 - дроссели, 6 и 7 исполнительные пневматические цилиндры, 8 и 9 - датчики обратной связи положения и скорости выходного звена, 10 - позиционная нагрузка, 11 - инерционная нагрузка.

Необходимо сказать, что в рассмотренном устройстве (Рис.1.2) присутствует внутренняя отрицательная обратная связь, возникающая вследствие воздействия на заслонку потока среды, вытекающей из сопел. Вторая внутренняя отрицательная обратная связь вызвана наличием позиционной нагрузки на выходном звене. При такой нагрузке при изменении положения выходного звена изменяется установившийся перепад давления в полостях пневмоцилиндров, и соответственно, расходы среды в каналах пневмоусилителя. В результате перемещение поршней пневмоцилиндров получается пропорциональным отклонению заслонки, т.е. позиционная

нагрузка в данном случае играет такую же роль, как и пружина в схеме на Рис.1.1 [1]. Математическая модель данного устройства выражалась линейной структурной схемой [1], что не позволяло исследовать систему на возникновение в ней автоколебаний, что наиболее важно в современной технике. Возникновение автоколебаний в системе приводит к появлению «начала катастроф» - выходу из строя, как самого устройства, так и системы, в состав которой оно включено. Также необходимо оценить условия работы вновь создаваемого устройства без проведения дорогостоящих экспериментов и выполнить его оптимизацию.

Рис.1.3. Схема электропневматического следящего устройства [12]. 1 -пневмоцилиндр; 2 - струйный механизм; 3 - сопла приемника; 4 -обмотка управления.

Распределителем сжатого воздуха является струйный механизм 2 (см. Рис.1.3, а), при отклонении которого в право или влево происходит пропорциональное изменение расхода воздуха в левую или правую полость пневмоцилиндра 1 через сопла приемника 3. На оси струйного элемента расположен якорь электромагнитного преобразователя (на Рис.1.3 не показан). При подачи токов управления ¿у в обмотках управления наступает равновесие сил, действующих на якорь, который вместе с струйным элементом находится в среднем положении. При наличии разности токов управления ¿у равновесие

сил нарушается, якорь и струйный элемент поворачиваются на угол а, который пропорционален разности токов. Датчиком положения штока пневмоцилиндра является потенциометр обратной связи. Принцип действия струйного распределителя основан на двойном преобразовании энергии. Сначала в струйной трубке потенциальная энергия сжатого воздуха преобразуется в кинетическую энергию потока струи воздуха, затем, в соплах приемника кинетическая энергия потока струи преобразуется в потенциальную энергию сжатого воздуха, поступающего в рабочие полости цилиндра. Потери давления при этом составляют до 10% [12].

На рисунке Рис.1.3, б представлена структурная схема следящего пневматического устройства, осуществляющая управление по замкнутому контуру. Элемент сравнения сравнивает управляющий сигнал с сигналом обратной связи и вырабатывает сигнал ошибки £, который поступает на регулятор, состоящий из усилителя > и нелинейного элемента с зоной насыщения / и интегрирующего устройства 1/р (/ - ограничивает сигнал по величине, 1/р - повышает точность срабатывания) [12].

Для отслеживания положения выходного звена исполнительного устройства применяют способ позиционирования с применением механического тормоза [13, 14], который служит для останова выходного звена. Остановка выполняется в два этапа, на первом - уменьшается скорость выходного звена на 5-10% от максимальной. При помощи датчиков положения определяются точки торможения, в которых дальнейшее движение выходного звена начинает замедляться. На втором этапе происходит останов выходного звена в заданной точке с помощью тормоза [12-15].

Одним из важных вопросов, который возникал при составлении математических моделей в работах [1, 9-15] было описание и учет силы трения. Трение - процесс механического взаимодействия соприкасающихся тел при их относительном смещении в плоскости касания (для внешнего трения), либо при относительном смещении параллельных слоев жидкости,

газа или деформируемого твердого тела (внутреннее трение или вязкость). Учет сил трения оказывает влияние на устойчивость и динамику работы системы [1, 9].

Изучением модели трения одним из первых начал заниматься Леонардо Да Винчи (Leonardo Da Vinci, 1519). Продолжил исследования закона для силы трения Ньютон (Newton, 1687). Модель трения, разработанная Леонардо Да Винчи, была доработана Амонтоном (Amontons, 1699) и усовершенствована Кулоном (Coulomb, 1785). Данная модель для силы трения получила название модель Амонтона - Кулона или просто «кулоновская» модель. Также данную модель принято называть модель «сухого» трения. Графическое представление модели «сухого» трения приведен на Рис.1.4, а).

Дальнейшее развитие моделей сил трения сделал ученый Морин (Morin, 18ЗЗ), применивший понятие статического трения, а Рейнольдс (Reynolds, 1866) - уравнение вязкого трения, получивший характеристику, приведенную на Рис.1.4, б). В начале XX века была предложена модель, учитывающая эффект Штрибека (Stribeck, 1902). Этот эффект учитывает плавный переход от уровня статического трения к уровню сухого трения. Модель Штрибека приведена на Рис.1.4, в). Дальнейшая работа по изучению модели трения была выполнена Хессом и Сумом (Hess, Soom, 1990). Модель учитывает динамику трения при переменной скорости движения и устанавливает связь между этими величинами зависимостью типа «гистерезис» - сила трения больше, когда скорость повышается, и меньше, когда - убывает (Рис.1.4, г). Ширина гистерезиса увеличивается при высоких темпах изменения скорости.

В России моделями трения занимались Костерин, Н.Л. Кайдановский, И.В. Крагельский, А.Ю. Ишлинский, В.А. Кудинов, Б.В. Дерягин, В.Э. Пуш, Д.М. Толстой, Л.С. Ань, В.А. Андрющенко и И.В. Крагельского и Н.В. Гитис. Работы Н.В. Гитис по изучению трения являются наиболее полных и современных для механических систем [16].

Рис.1.4. Графическое представление моделей трения. а) - модель «сухого» трение - Кулона; б) модель трения «статическое -Кулоново -вязкое»; в) модель трение с эффектом Штрибека; г) модель трения с эффектом «Штрибека - гистерезис»

Сила трения в общем случае является функцией многих параметров: материалов соприкасающихся поверхностей температуры и давления; свойств поверхности, например, шероховатость, закалка и степень износа. Так, например, при увеличении температуры уровень силы вязкого трения понижается Модели трения, приведенные на Рис.1.4, а), б), в), не учитывают данных свойств.

В настоящее время принято разделять модели трения [16]:

- статические - это такие модели трения (далее СМТ), которые не имеют внутренних состояний и характеризуются неизменной зависимостью силы трения от скорости.

- динамические - это модели (далее ДМТ) характеризуются переменной зависимостью силы трения от скорости. Данные модели устраняют неопределенности в области нуля, позволяют моделировать предварительное смещение, учитывают переменное статическое трение и петли гистерезиса в кривой Штрибека.

Последние исследования в области сил трения показали, что свойства сил трения меняются в зависимости от динамики работы механизма, и модель трения должна обладать следующими динамическими свойствами

- сила трения покоя плавно нарастает от нуля, при этом скорость нарастания прямо пропорциональна зависит от скорости нарастания приложенной силы;

- смещение тела начинается в момент приложения силы (когда приложенная сила не превышает силу статического трения, это смещение носит микроскопический характер, при превышении приложенной силой статического трения начинается скольжение);

- максимальная сила статического трения (сила трения при отрыве) обратно пропорциональна зависит от скорости нарастания приложенной силы;

- статическая сила трения в начале движения больше, чем при остановке. Чем больше интенсивность изменения скорости (например, частота синусоидального силового входного воздействия), тем больше эта разница.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Труханов Кирилл Алексеевич, 2020 год

- -уа

Используя условие аддитивности + Ьк) = ^1ак + , получим:

д д { 1 дгиУ

1 _ ° 1 _ ° ( 1 огиг\

г~)'

д д ( 1 диЛ

-п?) (226)

д д / ди

ч ° ч ° (

дг дг\ дг)'

Соответственно:

д I (1 дгиг 1 ди(0 ди7 дг \ \г дг г д<р дг

д ( /1 дгиг 1 ди(0 ди7 , , ^ = + ^ + (227)

д I (1 дгиг 1 диу ди2 дгу уг дг + г д<р + дг

Выведенные соотношения (2.11), (2.13), (2.27) - компонентами исходного уравнения (2.6). Для получения законченного вида уравнения движения жидкости или газа в цилиндрической системе координат, необходимо подставить (2.11), (2.13), (2.27) в (2.6).

Следовательно, полученные слагаемые уравнения (2.6) будут:

0, 0 ), (228)

Тгг 0, Тфф 0, 0, ТГф ^

Тгг 0, 0,

диф иф дг 7

(2.29)

= 0,

¿2 _

, = 0

(2.30)

Выражение для У{112:

(2.31)

Соответственно, система уравнений движения жидкости:

и2 д-п

г дг'

2 и Я-п Я-п и д2т1

(2.32)

Применение теории тензорного анализа позволило получить аналитические соотношения для исследования гидродинамики среды для цилиндрической системы координат. Примененный способ преобразования компонент тензоров уравнения движения среды с переменной вязкостью в цилиндрической системе координат, позволит использовать найденные соотношения для решения задач гидродинамики.

2.2. Применение уравнения движения рабочей среды

Для верификации полученной системы уравнений (2.11), (2.13), (2.27) в ЦСК рассмотрим случай движения жидкой среды между двумя цилиндрами, один из которых вращается, а второй - неподвижен. Принципиальная схема такого прибора приведена на Рис.2.1 [24] и реализована во многих промышленных установках [26].

Рис.2.1. Принципиальная схема соосно-цилиндрического вискозиметра

Принцип действия соосно-цилиндрических вискозиметров, выполненных по схеме, приведенной на Рис.2.1, заключается в следующем: исследуемую жидкость помещают в пространство между двумя вертикально расположенными соосными цилиндрами. Один из цилиндров приводится во вращение с выбранной постоянной угловой скоростью, в то время как второй цилиндр испытывает закручивающий момент, величина которого измеряется в процессе исследования. Изменение крутящего момента в зависимости от числа оборотов можно интерпретировать как связь между напряжением сдвига и скоростью сдвига. Изменение скорости сдвига в каждой точке испытываемого образца зависит от ширины кольцевого зазора между обоими цилиндрами. Если щель мала, то изменение скорости сдвига поперек зазора будет незначительна, т.е. ее радиальное изменение пренебрежимо мало [24, 26,

N

Стрелка - указатель

Заполняемое пространство для исследуемой жидкости

Вращающийся цилиндр (ротор)

Невращающийся цилиндр (статор]

40, 41].

Предлагаемая измерительная система представляет собой конструкцию, представленную на Рис.2.2 [24, 26, 46]:

а)

Рис.2.2. Схема разработанной и используемой измерительной системы для определения реологических параметров жидкостей [24, 26]: а) Чертеж общего вида, б) Изготовленный образец измерительной системы: 1 - вал, 2 - суппорт, 3 - внутренний стакан, 4 - внешний стакан, 5 - корпус измерительной системы, 6 - фиксатор ротора, 7 - ротор, 8 - крышка, 9 - дно

При движении жидкости в описанной измерительной системе [24] имеем:

компоненты и2 и иг отсутствуют в силу симметрии; движение жидкости - установившееся, т.е. производные компонент по времени равны нулю;

- частные производные компонент д/дф и д/дх равны нулю;

- жидкость несжимаемая, divp = 0.

Общий закон течения жидкой среды в зависимости от градиента скорости можно описать уравнением Оствальда-Рейнера [22, 23, 24, 26, 41-46]:

/йу\п йу

(2.33)

п-1

п-1

(2.34)

где Кип— константы, характеризующие поведение жидкости [24, 39]. К - показатель консистенции, сопротивление сдвигу (вязкость), п - показатель псевдопластичности (величина отклонения от ньютоновского поведения). При п= 1 - жидкость ньютоновская, т.е. вязкость остается постоянной при изменении скорости сдвига [26], ^ = - функция называется кажущейся вязкостью [41].

Подставляя (2.34) в (2.32), получим:

К

'ди

п-1

2 ди

п-1

дг

г дг

-К

„ф ди^ д

дг дг

+к(аи

п-1

дги.

ф

-К

'ди

ф

дг

V дг I дг2 V дг После упрощения (2.35): ди,п д2и.

-(п-1)

ди

п- 1Ч

дг

иф д --~—\К

(2.35)

п-1

Ц=0.

у £

п-2

п-

дг дг2

и^д2и^ 1/ди(р дг2

диф иф дг

= 0. (2.36)

Тогда

ди<р д2и^ ид> д2иу + 1 (

'ди,

дг дг2

дг2

дг

диф иф дг

= 0.

(2.37)

В случае ньютоновской жидкости п= 1:

и2 др

рт дг'

'ди^ \(д2иф

дг ) М дг2

+

1 ди

(2.38)

__£

г дг

---т 1 = 0

Нетрудно заметить, что второе уравнение системы (2.38) распадается на совокупность (множество решений, являющихся решением хотя бы одного объекта) двух, т.е. объединение решений каждого слагаемого:

'ди,,

дг

/ (2 39)

^ 1диу _ ^р\_0

дг2 г дг г2/ Решением первого уравнения системы (2.39) является константа:

Решая второе уравнение системы (2.39), получим:

д2иф 1 диф иЛ

+ = (240)

Заменим и^ = ¥ в уравнении (2.40):

V" +-•¥' --^=0. (2.41)

Уравнение (2.41) - однородным дифференциальным уравнением 2-ого порядка с переменными коэффициентами [36].

Подставим У = г • г в (2.41), учитывая V' = (?• г)' = г + г • г', V" = = г' +г' + г • г" = 2 • г' + г^г":

2 • г' + г • г" +-• (г + г • г')- = 0,

г г2 (2.42)

V г" + 3^ г' = 0.

Принимая, г' = р, получим г • р' + 3^ р = 0, г • р' = —3 • р, * г ' — = = —3 • = -, * = Г-3-, 1п1р1 = -3• ВД+ВД,* р =

р г •' р •' г

Постоянные Сги С2 находим из граничных условий, согласно которым скорость жидкости на внутренней и внешней границе цилиндра (цилиндрических поверхностях) должна равняться скорости

соответствующего цилиндра. Так как внутренний цилиндр не вращается, то его скорость равна 0 при г = . Скорость внешнего цилиндра равна и^ = = Я2.ш при г = Я2.

Учитывая решение первого уравнения системы (2.35) и^ = С0 и ич>1г=и1 = 0, и иу1г=К2 =Я2^ш, получим:

иф = ~п2 ЫТ ^ Г п2 ^ ~ (2 43)

Лп — [\л П-1 — ГУ-1

Распределение значений давления в жидкости по радиусу находится из первого уравнения системы (2.38).

Момент сопротивления, действующий на цилиндры, определим из условия, что на единицу поверхности внутреннего цилиндра действует сила трения, направленная по касательной к поверхности и равная: Р^ = —&1к • пк = = р • щ — • пк, где п— единичный вектор нормали, внешний по отношению к поверхности жидкости, т.е. внутренний по отношению к твердой поверхности [37]. Эта сила трения равна компоненте о^у тензора напряжений.

Для ЦСК оГ(р:

(2.44)

(1 диг диу Чф У Аф дг 7

Ъ^Ь-Ч \дг г)г = Я1-2 Щ — Я2'

Момент, действующий на цилиндр высотой К:

Я?

^ К Я22-Я{- (245)

Учитывая значение коэффициента динамической вязкости ц воды по справочнику [37], равное 8,937 • 10~4 Па • с при +25 °С, получим согласно (2.45) значение момента сопротивления для Мг. Результаты расчета и эксперимента приведены в таблице 1 и на Рис.2.3, соответственно.

Таблица 1.

Зависимость момента сопротивления от оборотов вращения ротора для

воды

м,

об/мин о о о о о о о о о о о о о о о о о о о

00 о 2 4 6 00 о 2 4 6 00 о 2 4 6 00 о 2 4

с^ т т т т т 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6

М, 7 о т 5 00 5 7 т 7 о т 7 о 4 7 2 5

т ^ ю ю 7 00 00 00

Н*м о о о о о о о о о о о о о о о о о о о

о о о о о о о о о о о о о о о о о о о

М1 (2.45), о 2 5 00 4 6 2 5 00 т 6 2 5 00 о

^ ю ю ю ^ 00 00 00

Н*м о о о о о о о о о о о о о о о о о о о

о о о о о о о о о о о о о о о о о о о

0.1

0.08 М, Нм

0.06 М,, Нм

0.04 0.02

2

\ 1

200 300

400 500 1Ч5 об/мин

600 700

Рис.2.3. Зависимости момента сопротивления, возникающего при движении жидкости (воды), от скорости вращения цилиндра [24]

1 - Экспериментальная характеристика момента сопротивления, возникающего при движении ньютоновской жидкости (воды)

2 - Теоретическая зависимость момента сопротивления, полученная по соотношению (2.45)

Максимальное относительное отклонение момента сопротивления, полученного в эксперименте при движении ньютоновской жидкости, от теоретического значения, полученного по зависимости (2.45):

тах \УЛ — Уэ\ -^-Э—100%,

Уэ

(2.46)

где - значения момента сопротивления, полученные по соотношению (2.45); Уэ - значения момента сопротивления, возникающего при движении

ньютоновской жидкости (воды), полученные в ходе эксперимента, составило Ьтах = 6,89%.

Зная величину момента сопротивления легко определить значения напряжения трения т(г) [26].

При движения газа, divv Ф 0; п= 1, имеем: нелинейный член (vV)v тождественно исчезает из уравнений, определяющих распределение скоростей. По этой же причине все решения тождественно удовлетворяют уравнениям движения идеальной жидкости [27].

Таким образом для ЦСК оГ(р :

/1 диг диф Uy

^ yr Qy qt 7 °r<p\r=Rl-V удг r)r = Ri~2 л R2 _RT

Момент, действующий на цилиндр высотой h:

v R\ • R?

Мг = 4• п • тт h • —9 1 /. (2.47)

Учитывая значение коэффициента динамической вязкости ri газа (воздуха) по справочнику [37], равное 18,4 • 10~6 Па • с при +25 °С, получим согласно (2.47) значение момента сопротивления для газа Мг. Результаты расчета и эксперимента приведены в таблице 2 и на Рис.2.4, соответственно.

Таблица 2.

Зависимость момент сопротивления от оборотов вращения ротора для

газа

N,

об/мин о о о о о О о о о о о о о о о о о о о

8 о 2 4 6 8 о 2 4 6 8 о 2 4 6 8 о 2 4

2 m m m m m 4 4 4 4 4 6 6 6

М1т, 7 m ON i/o 6 2 8 4 о 7 m On 4 о 6

Н*м 00 8 о т—Ч 2 2 m 4 4 6 6 7 8 8

о о о О т-Ч т-ч 1-4 1-4 1-4 ^н ^н

JT1. 1V1 о о о О о О о о о о о о о о о О о о о

о о о О о о о о о о о о о о о О о о о

о" О^

Мг (2.47),

8 о 6 ON 7 6 о 4 2 7 m 2 8 6 m ON m

Н*м 7 8 8 о 2 2 m 4 4 i/o 6 6 7 8 8 ск

о о о О О ^н ^н ^н ^н ^н ^н ^н

о о о о О о о о о О о о о о о о о о о

о о о о О о о о о о о о о о о о о о о

о'

2x10

1.5x10 М, Нм

-3

Мг,Нм 1х10"3

5x10

-4

2 V 1

200 300

400 500 К, об/мин

600 700

Рис.2.4. Зависимости момента сопротивления, возникающего при движении газа, от скорости вращения цилиндра [24]

1 - Экспериментальная характеристика момента сопротивления, возникающего при движении газа,

2 - Теоретическая зависимость момента сопротивления, полученная по соотношению

В случае течения псевдопластичной жидкости 0<п < 1 [24]:

и,

V

др дг'

'ди

п—2

V

дг

(2.48)

п •

диф д2и,ф

ию д2ию 1

дг а* +

'ди

ф

дг

диф иф ^ о

дг г2

ду,.

Делая замену в (2.48) Уф(г) — V и —V', получим уравнение:

(У')п~2 (п-У -V" ~(п-1)-у-У" +1-(У)2 -V'=

Уравнение (2.49) равносильно совокупности двух уравнений: (У')п~2 = 0,

V 1 V

п-У -V" ~(п-1)---У" + -■ (V')2 - — -У' = 0.

(2.49)

(2.50)

Решение первого уравнения совокупности (2.50):

(У')п~2 = 0. (2.51)

Нетрудно заметить, что при 0<п < 1, уравнение (2.51) не определено

1

(не имеет смысла), т.к. =0, где 1 < а < 2 • е.

Второе уравнение совокупности (2.50) является однородным, 2-ого порядка с переменными коэффициентами [36]. Точное решение уравнения (2.51) возможно получить, используя компьютерное моделирование в МайаЬ [38]. Решение второго уравнения совокупности (2.50) - совокупность трех решений вида [24]:

С^г

иф

е 2 , (2.52)

'С3!—2 -1П(г)+П-1П(Г)\

■е' п

После преобразования (2.52):

иф

Сх,

С2 - г,

т

Н).

(2.53)

Т.к. каждое уравнение из совокупности (2.53) удовлетворяет второму уравнению совокупности (2.50), то и линейная комбинация будет также удовлетворять данному уравнению [39]. Тогда

иф = С± + С2г + С£г

п-^-п). (2.54)

Постоянные С±,С2иС3 найдем из предельных условий, согласно которым скорость жидкости на внутренней и внешней границе цилиндра должна равняться скорости соответствующего цилиндра. Т.к. внутренний цилиндр не вращается, то его скорость равна нулю при г = Скорость

внешнего цилиндра равна и^ = Я2 - ш при г = Я2. Учитывая,

ди,

дг

<Р _

= с. + с

п

(1"Э

• г п = 0:

1—

С± + С2 - И1 + С%- Ях п = 0,

С1 + С2 - И2 + С2 - я21_* = И2- и, ■ С2 + С'- н^ = 0.

Решим систему уравнений (2.55) относительно Сг,С2,С3:

(2.55)

Сл =

|+1 2 • ю - Ях - Я£

1+1

1 2 2 2

2 • Ях - — 2- Я£+1 -Я* - Я2- п + " - п

2

(2.56)

7+1

С-? = -

ш- Я? - (2 — п)

2 2 2 2 , 2- Ях - Р£-2- Я£+1 -Я* - Я2- п + - п

(2.57)

Гп — —■

2 2 ю - п ■ Я£ - Я£+1

1+1

(2.58)

2 2 2 2- Яг- Я^-2- Я£+1 -Я* - я2- п + Я%"- п

Момент сопротивления, действующий на цилиндры, определим из условия, что на единицу поверхности внутреннего цилиндра действует сила трения, направленная по касательной к поверхности и равная: Р^ = —&1к - пк = = р • щ — - пк, где п— единичный вектор нормали, внешний по отношению к поверхности жидкости, т.е. внутренний по отношению к твердой поверхности [25]. Эта сила трения равна компоненте о^у тензора напряжений.

Для ЦСК оГ(р:

оГ(р

1 диг диф

г

2Ч

■г дф дг <Сг 2

(2.59)

/Ч 2 А

Тг<р + с3 - Г п)

Момент, действующий на цилиндр высотой К: М1 = 2- п- К- а^,

(2.60)

Учитывая (2.34) и соотношения (2.56)-(2.58),

Г1 = К• ^ 1 = К'{С2 + {1~2п)^ С? • (261)

Тогда,

0 /диЛп 1 (С, 2 2ч

М1 = -2' и-В^ к' К-М) • + С?-г-й) =

= -2 • я ■ • К' К • ('с2 + (1~П1• СЗп • г ^

*\--I---Со •г п).

\г п * /

^ П-1

Нетрудно показать, что

--1 --1 4 • П' Яг' К' а)п • К • -Я^

Мг =

2 2 2 2 4 п Z 4+1 4 4+1

(2.62)

2 • • Щ,-*2' ^ -К™ • В-2' п + Я% п\ (2.63)

2 2 2 2 4 п—1

*[ 2' Я2-2' -Я1?' Я2' п + Я*+1 ' п

Результаты расчета и эксперимента приведены в таблице 3 и на Рис.2.5, соответственно.

Таблица 3.

Зависимость момент сопротивления от оборотов вращения ротора для

неньютоновской жидкости

*

и, об/мин 30 60 90 100 180 200 300 600

м1т, Н*м 0,050 0,068 0,079 0,083 0,109 0,114 0,134 0,178

(2.62), Н*м 0,057 0,076 0,089 0,093 0,117 0,122 0,144 0,190

0.2

0.15 М,т, Нм

Мг , Нм 0.05

0

2

/ •

/ • / * Л' А

О

200Н, об/мин 400

600

Рис.2.5. Зависимости момента сопротивления, возникающего при движении неньютоновской жидкости, от скорости вращения цилиндра [24]

1 - Экспериментальная характеристика момента сопротивления, возникающего при движении образца неньютоновской жидкости;

2 - Теоретическая зависимость момента сопротивления, полученная по соотношению (2.63)

Для исследуемой жидкости параметры к — 1,329; п — 0,40.

Максимальное относительное отклонение момента сопротивления, полученного в эксперименте при движении неньютоновской жидкости, от теоретического значения, полученного по зависимости (2.63), составило Ашах = 11,90 %.

Изменение напряжения трения т(г) в радиальном направлении определяется с учетом того, что ротор с двух сторон омывается жидкостью, как

т(г) =

М

М

2 т • А 4 • л- • г2 • Н'

(2.64)

где г - средний радиус зазора, А - площадь поверхности трения омытой жидкостью, Н - глубина погружения ротора в жидкость, М - момент сопротивления вращению.

Согласно [41, 43], соотношение для коэффициента динамической вязкости ньютоновской жидкости имеет вид

V =

(г22

■г2 ■ г2 ■ Н

!• п■ N 60

(2.65)

где гг - наружный радиус ротора Рис.2.1,а), поз.7, г2 - внутренний радиус внешнего стакана Рис.2.1,а), поз.4, N - обороты вращения ротора.

Выражение для скорости деформации сдвига у согласно [43] следующее

У =

60

г2-г1 '

(2.66)

По экспериментальным данным таблицы 1, учитывая соотношения (2.64)-(2.66), получили данные, представленные в таблице 4, по котором был построен график, приведенный на Рис.2.6, зависимости касательного напряжения т, возникающего в жидкости, от скорости деформации сдвига у , для тарировочной жидкости - воды.

Таблица 4.

Значения касательного напряжения т, возникающего в жидкости, от скорости деформации сдвига у

Т, т о 1 00 4 7 00 1 4 о 7 00 т о

о о о о 1 1 ю ^ ^ со

Па о '—1 '—1 го ^ ю 00 о '—1 го ^

о 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 с^ с^

V Ю"4, 1 7 т V") 7 о 7 ю 00 т т 4 с^

мэ т о 7 со о 00 00 ю со 00 со ю 00

Па*с ГО ^ го ^ ^ ^ ю 00 00 00 о о '—1 '—1 го го

00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00

у ■ 103, 7 т о 7 4 1 00 с^ с^ ю т о 7 4 1

1/с 7 т о 00 мэ со 1 ю 4 7 со о 00 мэ