Методы и алгоритмы восстановления и прогнозирования функции объемов потребительского спроса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Сотников, Андрей Николаевич

• Сотников, Андрей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сотников, Андрей Николаевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 АНАЛИЗ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ. ПОСТАНОВКА НАУЧНОЙ ЗАДАЧИ

1.1 Обзор методов прогнозирования экономических показателей

1.2 Анализ особенностей динамики объемов спроса, цен и дохода. Исходные данные

1.3 Математическая постановка задачи исследования

1.4 Выводы по главе

ГЛАВА 2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПРОСА^

2.1 Метод восстановления функции объемов потребительского спроса

2.2 Алгоритм метода восстановления функции спроса

2.3 Блок-схема алгоритма метода восстановления функции спроса

2.4 Выводы по главе

ГЛАВА 3 АЛГОРИТМЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПЕН В УСЛОВИЯХ НЕ СТАЦИОНАРНОСТИ

3.1 Математическая модель динамики цены

3.2 Алгоритм прогнозирования цены, основанный на принципе минимизации апостериорного риска

3.3 Алгоритм прогнозирования цены, основанный на решении стохастического дифференциального уравнения

3.4 Алгоритм прогнозирования цены, основанный на модификации фильтра Калмана-Бьюси

3.5 Алгоритм прогнозирования цены, основанный на разложении Карунена-Лоэва

3.6 Выводы по главе

ГЛАВА 4 ОПЕНКА И АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК КАЧЕСТВА

ПРОГНОЗИРОВАНИЯ;

4.1 Организация вычислительного эксперимента

4.1.1 Прогнозирование цен

4.1.2 Прогнозирование потребительского дохода

4.1.3 Восстановление функции объемов потребительского спроса

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы и алгоритмы восстановления и прогнозирования функции объемов потребительского спроса»

Предметом исследования является разработка методов и алгоритмов прогнозирования оптимальных объемов потребительского спроса и цен в условиях недетерминированности рынка, когда лицу, заинтересованному в получении прогнозов, доступна лишь статистика за определенный период этих, а также предопределяющих их показателей, например, потребительского дохода. Недетерминированность рынка означает, что цена и денежный доход могут меняться случайно, а величина спроса на товар или услугу - в зависимости от их соотношения и потребительских предпочтений индивида или группы потребителей.

К настоящему времени предложено достаточно большое количество статистических математических моделей прогнозирования экономических показателей, в том числе прогнозирования спроса, цены, дохода.

Потребность в таких моделях объективно обусловлена необходимостью развития социально-экономического хозяйства. Наибольшее практическое применение они получили для краткосрочного прогнозирования спроса. При этом исходные данные по исследуемому показателю представляются в виде временного ряда по фиксированным промежуткам времени (квартал, месяц, неделя). Принцип прогнозирования сводится к следующему. Имеется совокупность (выборка) наблюдений случайной величины (по цене, доходу, спросу) к текущему моменту времени Т. По этой совокупности прогнозируется ее значение на момент времени Т+Ь, в условиях, когда известно совместное распределение вероятности наблюдаемых и прогнозируемых значений, а значит, известно условное распределение вероятностей прогнозируемых значений относительно наблюдаемых. Прогнозное значение вычисляется как условное математическое ожидание при предположениях о стационарности временного ряда и постоянстве параметров модели.

Существующие экономико-математические модели прогнозирования основаны на экспоненциальном сглаживании, авторегрессионных методах и скользящем среднем [2,20,21], а также их комбинациях (методы Бокса-Дженкинса), на параметрических регрессионных методах, моделях рыночного равновесия [13], либо на решении оптимизационной задачи с критериальным функционалом, заданным в виде функции полезности потребителя.

Сущность экспоненциального сглаживания такова: пусть имеется ряд {х;} значений экономического показателя и константа сглаживания 0 < а < 1, тогда экспоненциально сглаженный ряд записывается в виде

У1 = ах4 + (1-а)хц, 1=1,2.п Прогноз на момент времени I = п+1 равен

Уп+1 = ах„ + (1- а)хп1

Заметим, что экспоненциальное сглаживание есть частный случай сглаживания фильтром Калмана-Бьюси или

У |+Ц1 = к^ + (1 - К1Н1 )у ^, А где - прогнозное математическое ожидание на 1+1 момент, А

У1|я - прогнозная оценка на момент {,

Xi - наблюдаемое значение показателя в момент \, А

К{-дисперсия оценки У.

При неизвестных Кь И; принимается, что К* = а, а (1- КД) = (1 - а) и тогда фильтр Калмана-Бьюси вырождается в фильтр экспоненциального сглаживания, для которого необходимо обосновать значение а,, выбрать начальное значение уо и момент начала сглаживания \ = 1. Такое обоснование, очевидно, возможно только эвристически. В связи с этим, широко применяется метод обучающей выборки: временной ряд разбивают на две части, по первой — оценивают коэффициенты, по второй -осуществляют прогноз. Такой метод адаптирован в моделях Холта, Брауна, Бокса-Дженкинса и других, реализующих метод экспоненциального сглаживания.

Сущность метода авторегрессии исходит из предположения, что значение прогнозируемого показателя зависит от всей предыстории и от целого набора факторов, в том числе, от времени. Тогда модель для прогноза может быть представлена в виде x¡ + ал.1 + а2Х12+. + анХ1.н= Б^ где хь х2, Х{.н - выборка значений показателя (реализации показателя) в моменты времени М, ьЫ, аь аг, ам - параметры модели, подлежащие оценке, 8(1) — ошибка измерений с известным средним и конечной дисперсией - погрешность модели N - порядок модели авторегрессии (величина предыстории).

Оценки модели находятся по методу наименьших квадратов, то есть, из условия п N и™ Е (х1-Еа^-у)2

N+1 ¿=1 или, что то же, из решения системы уравнений п N

N+1 j=l

Авторегрессионные методы применяются для временных рядов, которые формируются как результат композиции большого числа малозначимых факторов» что обусловливает стационарный характер динамики зависимой переменной. Кроме того, существующие методы авторегрессии в чистом виде, то есть без сведения временного ряда к стационарному, не могут быть применены для прогнозирования временных рядов с ярко выраженной скачкообразной составляющей, определяемой внешними факторами.

Из этой модели можно получить модель скользящего среднего. Так, в случае, когда- дискретный случайный процесс можно описывать только математическим ожиданием, то есть, величиной, подлежащей оценке, прогнозирование этого показателя выполняется по выражению N где прогнозное значение, как результат усреднения N предшествующих наблюденных значений показателя.

В параметрических регрессионных моделях прогнозируемый показатель представляется как функция влияющих на него факторов. Факторы классифицируются на существенные (в том числе время) и случайные — несущественные г|ь---ДЬ- Тогда функция прогнозируемого показателя представляется в виде после разложения в ряд Тейлора которой получаются выражения, описывающие параметрическую регрессионную модель к п

4 = а0 +0(Д<Г) + 1>уА77У +о(АТ]) во=• • • л Л• • • ль°), щс?,.,т}°а) ¡=1 к ь - ; — 1 п

Д£= С» - ЛгЬ = — П]0

Математические ожидания МАту = 0.

Порядок модели обосновывается в зависимости от характера влияния факторов на прогнозируемый показатель. Коэффициенты ао, а,, Ъ}, оцениваются по выборке наблюдений с использованием метода наименьших квадратов. Прогноз осуществляется подстановкой значений факторов £ь.,0с в оцененную функцию.

Для методов параметрической регрессии к недостатку, связанному с невозможностью учета скачков, добавляются возможные трудности в выявлении и оценке значимости набора неслучайных факторов воздействующих на прогнозируемый параметр. Регрессионные модели, таким образом, являются хорошей аппроксимацией, когда легко может быть выделен набор переменных, значения которых сильно коррелируют со значениями рассматриваемого процесса. Область применения этих методов -краткосрочное прогнозирование, поскольку оцененная функциональная зависимость с течением времени меняется вследствие изменения значимости отдельных факторов.

Суть методов прогнозирования, основанных на моделях рыночного равновесия, состоит в использовании теоретически обоснованных макро или микроэкономических зависимостей, связывающих, как правило, затраты на производство, цены, налоги, величину спроса, предложения и некоторые другие. Так, в моделях Курно, Бертрана, Штакельберга, общего конкурентного равновесия Вальраса, межотраслевого баланса Леонтьева и других [4,13,14,40,42,43,48,85], основанных на зависимостях между затратами, выпуском и ценой, полагают функцию спроса известной. Поэтому для их применения возникает необходимость в получении функций цен и спроса. На практике, когда число различных по своим свойствам товаров велико, построить функцию спроса в зависимости только от цены данного товара или дохода будет недостаточно. Необходимо учитывать цены товаров-заменителей, а также потребительские предпочтения, которые в случае единственного товара не проявляются - у потребителя нет выбора

Например, рыночная цена на основе паутинообразной модели [14] с известными линейными функциями спроса х(£) = а — Ьрф и предложения з(1)= с + <1р(0 в любой дискретный момент времени вычисляется как

-Л

0 = (Л-А) Ре где ро — цена в начальный момент времени, рн = (a-c)/(d+b) - равновесная цена. Здесь b — коэффициент эластичности спроса по цене, d — коэффициент эластичности предложения по цене, а, с - константы.

В условиях, когда возможно установить систему предпочтений потребителя и, кроме того, есть основания считать ее неизменной в течение определенного периода времени, применяется метод прогнозирования спроса, основанный на решении оптимизационной задачи

U(x(t))-> max хеХ p(t),x(t)><I(t) p(t) > 0, x(t)Z0. где U(x(t)) - функция полезности, то есть, отображение U : X -» R+, действующее из множества товаров и благ в множество положительных чисел. При этом, в качестве основных свойств, для исследования потребительского выбора в условиях ограниченности ресурса как в статике [27], так и в динамике с учетом дисконтирования [10], обычно полагают эту функцию непрерывной и вогнутой. p(t),x(t)> ^ I(t) - бюджетное ограничение, I(t) eR+, p(t) eRn+- вектор цен, x(t) eRn+- вектор объемов спроса, t eR+- время.

Значение оптимальных объемов спроса при этом определяется, на. основании ожидаемых значений цен и потребительского дохода. Основная трудность при реализации данного метода состоит в выявлении критерия — функции полезности, отражающей потребительские^ предпочтения.

Сущность простейшего варианта восстановления функции полезности заключается в следующем:

- предъявить потребителю как лицу, принимающему решения, все возможные продукты (наборы продуктов) и предложить упорядочить их по предпочтительности;

- составить граф бинарных отношений предпочтения на множестве продуктов;

- проверить, имеются ли классы эквивалентности и, если имеются, то выбрать из каждого по представителю, затем скорректировать граф;

- определить «наибольший» и «наименьший» (по предпочтительности) элементы графа;

- «наименьшему» элементу присвоить единичную полезность;

- предложить лицу, принимающему решения, установить полезности всем другим элементам по сравнению с «наименьшим»;

- построить табличное представление функции полезности.

Более строгие методы построения функции полезности основываются на статистической информации о поведении потребителя или на аксиоматике ее существования. В этом варианте используются исходные данные о множестве наборов товаров, о системе предпочтения потребителя, о детерминированном эквиваленте лотереи [30,31] и склонности потребителя к риску, о параметрических классах функций полезности и требованиях к качеству восстановления функции [66,67,71]. Под лотереей понимается тройка

Ь = (х',р, х"), х',х" е [х0, Х1] Детерминированный эквивалент (ДЭ) лотереи это величина, которую потребитель принимает равноценной лотерее, так что справедлива запись и(ДЭ) = ЩхОрСхО + и(хо)(1-р(х,)), где XI - наилучшая альтернатива для потребителя, хо - наихудшая, р(х|) — вероятность получения альтернативы хь (1-рСхО) - вероятность получения альтернативы х0, и - функция полезности из параметрического семейства функций полезности, которое устанавливается на основании выявления склонности к риску данного потребителя.

Известен также подход А. С. Тангяна [74], предложившего алгоритм построения сепарабельных функций полезности по информации о замещении для каждой пары благ.

Тем не менее, субъективность предпочтений отдельно взятого индивида и допущение о неизменности отношения предпочтения вынуждают отказаться от применения метода максимизации функции полезности на практике, что порождает необходимость поиска новых подходов и методов в . прогнозировании объемов спроса.

Все приведенные выше методы хорошо зарекомендовали себя в условиях стабильного функционирования рынка и экономики в целом. Однако они не подходят для нестабильных рынков, к которым относится исследуемый рынок потребительских товаров с характерными скачками и флуктуациями объемов спроса и цен на товары. В то же время возникает много задач исследования и прогнозирования экономических показателей именно в условиях нестабильных рынков, в так называемый «переходный период» [3,20,25,37,41,47]. Важность и необходимость их решения очевидны — большинство моделей классической экономической теории не предусматривает реакции рынка на такие воздействия, разрушающие сложившуюся структуру потребительского спроса, как, например, смена политической ситуации в стране, стихийные бедствия, научные открытия. Однако владея информацией, например, о характеристиках флуктуаций и о частоте скачкообразных изменений динамики исследуемого процесса, можно [32,33,68-70,72] повысить точность прогнозов как в краткосрочном, так и в среднесрочном периоде.

Практически во всех приведенных методах и моделях для решения задачи прогнозирования спроса необходимо определять значение ожидаемых цен и потребительского дохода. Достоверность прогнозов, полученных при использовании этих методов, полностью определяется степенью приближенности взятой за основу рыночной модели к реальной ситуации. Важно отметить еще одно условие, влияющее на процессы построения моделей динамики и методов прогнозирования рыночных цен и объемов спроса - характер входной информации. В работе рассматривается применимость существующих моделей и методов прогнозирования цен и объемов потребительского спроса в условиях, приближенных к реальным, когда за основу статистической информации принимается статистика, доступная для исследования - динамические ряды значений цен, величины потребительского дохода и объемов спроса Для решения поставленных задач прогнозирования цен и потребительского спроса был выбран рынок продовольственных товаров г. Твери за 1997-2002 гг. Учет указанных особенностей позволяет говорить об адекватности отражения реальных рыночных условий в предлагаемых моделях и методах.

Таким образом, поиск новых и универсализация имеющихся подходов в прогнозировании объемов спроса, особенно в условиях рынка, когда и цены, и доход не являются постоянными величинами, представляется актуальной задачей. Решение такой задачи и охватывает тема настоящей диссертационной работы. Сущность задачи исследования

Основной задачей исследования, как уже отмечалось, является создание метода и- алгоритма восстановления функции объемов потребительского спроса, а также методов прогнозирования цен для решения задачи прогнозирования потребительского спроса на фиксированный набор товаров.

Функцией объема потребительского спроса, предъявляемого на конечный набор товаров -будем называть отображение х : Р х I —» X, представляемое положительно определенной вещественной вектор-функцией х(1) = х(р(0, Щ), где РсК.п+ -множество значений цен, р(£)еР- п-мерный вектор цен, 1сК+- множество допустимых значений потребительского дохода, 1(1) е I — величина, описывающая доход потребителя в момент времени 1

Под ценой продукта будем понимать значение средней цены в регионе за определенный прошедший период (например, один месяц). Тогда функция цены представляет собой отображение р(0 : Т -> Р, Т с ]*+, Р с 11п+, где Т — временной отрезок; Р- множество значений цен.

При таком определении, в условиях совершенной конкуренции, значение цены будет соответствовать средней рыночной цене единицы продукта, равной предельным издержкам на ее производство.

На стадии перераспределения национального дохода в результате вычитания налоговых и страховых отчислений из доходов участников производства и добавления трансфертных выплат у населения образуется располагаемый доход - доход, который может быть использован на личное потребление и личные сбережения.

Потребительский доход это часть располагаемого дохода, расходуемая на приобретение фиксированного набора товаров х = (хь хг, хп), п ^ М. Здесь М — количество наименований продуктов, доступных для приобретения потребителем.

На величину потребительского дохода как завершающего звена при распределении национального дохода влияет множество факторов. В целях упрощения модели динамики потребительского дохода без потери содержательного смысла, будем рассматривать потребительский доход как функцию одной переменной - времени I.

В работе принят принцип восстановления функции объемов потребительского спроса, заключающийся в сглаживании экспериментальных данных, представляющих случайную выборку значений цены, потребительского дохода и соответствующих им объемов спроса, двумерным кубическим сплайном.

Прогноз значений спроса в этом случае осуществляется путем подстановки вычисленных в конкретный момент времени I прогнозных значений цен и дохода в восстановленную функцию объемов потребительского спроса. Методы исследования

В процессе исследования нашли применение методы математического анализа, элементы теории случайных процессов, методы решения систем дифференциальных уравнений, экономического и статистического анализа

Цель и задачи

Целью диссертационной работы является разработка методов и алгоритмов восстановления функции объемов потребительского спроса и прогнозирования цен в. условиях нестационарности рынка.

Для ее достижения в работе ставятся и исследуются следующие задачи:

• Построение математической модели динамики цен.

• Прогнозирование значений вектора цен.

• Прогнозирование величины потребительского дохода.

• Восстановление функции объемовтготребительского спроса.

• Прогнозирование объемов потребительского спроса на фиксированный набор продуктов.

• Оценка и анализ характеристик качества методов прогнозирования с

1 1 последующей экономической интерпретацией результатов и формулировка предложений по возможности адаптации методов и алгоритмов к различным конкретным условиям. Положения, выносимые на защиту

На защиту выносится: Комплекс математических моделей, обеспечивающих решение задач

- описания динамики цены

- восстановления функции объемов потребительского спроса;

- прогнозирования цен и объемов потребительского спроса и включающий в себя следующие модели и методы

1. Математическую модель динамики цены, сформированная в виде стохастического дифференциального уравнения на основе предположения о том, что случайные изменения цены описываются винеров ским и пуассоновским случайными процессами.

2. Метод прогнозирования цены, основанный на минимизации апостериорного риска потерь, вызванных ошибками прогнозирования;

3. Метод прогнозирования цены, основанный на модификации метода последовательных приближений Пикара, для решения стохастического дифференциального уравнения, описывающего динамику значений цены во времени с учетом флуктуационной и скачкообразной случайной составляющей.

4. Метод прогнозирования цены, основанный на модифицированном фильтре Калмана-Быоси. Модификация касается уравнения состояния, описывающего динамику значений цены во времени с учетом флуктуационной и скачкообразной случайной составляющей.

5. Метод восстановления функции объемов потребительского спроса, основанный на решении дифференциального уравнения Слуцкого посредством раскрытия общего решения в виде кубического сглаживающего сплайна по двумерной выборке.

Научная новизна результатов исследования и вклад в математическую экономику

Полученные результаты расширяют теоретическую и инструментальную базу теории прогнозирования цен и потребительского спроса в условиях нестационарноста и изменчивости определяющих их факторов, когда рыночные механизмы отличаются от их существующих моделей.

Основные результаты:

• Разработана математическая модель динамики цены, в которой, в отличие от известных, учитываются скачкообразные изменения рыночных цен.

• Разработаны алгоритмы прогнозирования цены, основанные

- на минимизации риска потерь от ошибок прогнозирования;

- на экстраполяции решения стохастического дифференциального уравнения, описывающего динамику цены во времени;

- на разложении процесса динамики цены в базисе собственных функций;

- на оптимальной фильтрации нестационарных процессов в рамках теории Калмана-Быоси.

• Разработан алгоритм восстановления функции объемов потребительского спроса.

Все полученные результаты являются новыми. Практическая значимость работы

Результаты диссертации могут быть использованы на практике для решения задач прогнозирования спроса и цены, анализа поведения потребителя на основе статистических данных и восстановления его функции спроса на фиксированный набор товаров, а также при создании пакетов прикладных программ анализа нестационарных временных рядов экономических показателей. Погрешность прогнозов при прогнозировании цен предложенными методами составляет порядка 10%, погрешность-прогноза величины оптимального спроса не превышает 20%. Апробация работы

Основные идеи и результаты работы докладывались, обсуждались и были положительно оценены на конференции, посвященной 70-летию акад. В.А. Мельникова {1999 г), на научно технических конференциях МКБ «Электрон» (2000, 2001 гг.), на научно-исследовательских семинарах Межведомственного суперкомпьютерного центра (2002 г) и факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. Ломоносова (2002 г.) Достоверность результатов

Достоверность результатов исследования обосновывается доказательствами в виде теорем и утверждений. Адекватность полученных моделей устанавливается путем сравнения результатов вычислительных экспериментов с реальными данными в качестве входной информации. Публикации

Основные результаты работы опубликованы в 6 статьях в научных сборниках и журналах и 3 докладах в материалах научно-технических конференций и семинаров. Структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 99 листах, содержит II рисунков и 19 таблиц. Список литературы включает 88 источников.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Сотников, Андрей Николаевич

3.6 Выводы по главе 3

Основными результатами главы 3 являются следующие:

1. В динамике цены, рассматриваемой как нестационарный случайный процесс могут быть выделены детерминированная составляющая и две случайные составляющие, одна из которых описывает флуктуационное изменение цены, а вторая — скачкообразное.

2. В качестве модели динамики цены было предложено дифференциальное уравнение (3.7).

3. Были сформулированы условия, при которых существует траектория (3.10), являющаяся решением уравнения (3.7) и реализацией случайного процесса динамики цены.

4. Были рассмотрены четыре метода, позволяющие эффективно осуществлять прогнозирование в рамках построенной модели.

Методы из разделов 3.2, 3.3 и 3.4 представляют собой модификации известных методов, ориентированные на получение прогноза цены в условиях поставленной задачи. В численном эксперименте, осуществленном в главе 4 осуществлено тестирование этих методов и сравнение их с существующими методами прогнозирования. Направленность предложенных методов на прогноз цен как нестационарного случайного процесса и результаты тестирования, дают основание рассматривать их как качественное расширение класса инструментов для решения задач прогнозирования экономических показателей.

Глава 4 Оценка и анализ характеристик качества прогнозирования

В главе обоснована организация вычислительного эксперимента с целью осуществления оценки и анализа характеристик качества прогнозирования экономических показателей, таких как цена, доход и объем потребительского спроса. Производится сравнение результатов прогнозирования с результатами, полученными. при применении существующих методов. Дается заключение и рекомендации по применению методов в реальных условиях.

4.1 Организация вычислительного эксперимента

В параграфе проведена организация вычислительного эксперимента и излагается анализ численных характеристик оценок прогнозируемых показателей при реализации алгоритмов прогнозирования цен, дохода и восстановления функции объемов спроса в рамках решения задачи прогнозирования потребительского спроса.

Вычислительный эксперимент разобьем на четыре этапа:

1. Прогнозировайие цен.

2. Прогнозирование дохода.

3. Восстановление функции спроса.

4. Вычисление ожидаемых значений оптимального спроса.

На каждом этапе будем получать характеристики качества прогнозирования предложенными методами: математическое ожидание ошибки, стандартное отклонение, а так же доверительные интервалы. Кроме того, там, где это возможно, будем использовать известные методы прогнозирования, производить их сравнение с предложенными в работе и давать рекомендации по применению. Результаты исследования будут представлены в виде таблиц и графиков.

4.1.1 Прогнозирование цен

На основании статистических данных, пользуясь предложенными в главе 3 методами, осуществим прогнозирование цен на набор из 8 товаров. Обратимся к статистической информации. Данные о ценах и объемах потребительского спроса возьмем за период 1997-2002 гг.

Заключение.

Проведенное исследование позволяет сформулировать следующие выводы.

1. Материальное производство и производство услуг составляет основу функционирования экономической системы. В связи с этим одним из важнейших вопросов математической экономики является прогнозирование экономических показателей, связанных с производством и потребительским выбором. К таким показателям прежде всего относятся объем потребительского спроса на заданный набор продуктов, доход потребителя, а также цены продуктов.

2. В настоящее время для целей прогнозирования используется широкий спектр математических моделей и методов. Одним из возможных направлений повышения точности прогнозирования в нестационарных условиях является более широкое применение результатов теории случайных процессов и основанных на них алгоритмов.

3. Предложенный в работе метод и алгоритм восстановления функции спроса по статистической информации о значениях цен, дохода и соответствующих объемах спроса за определенный период в прошлом позволяет восстанавливать функцию объемов спроса как кубический сплайн, не привлекая потребителя для выявления системы его предпочтений, а используя информацию о произведенных им выборах.

4. Модель динамики цены, построенная с учетом случайных воздействий флуктуационного и скачкообразного характера адекватно отражает поведение цены в условиях нестационарности рынка.

5. На базе изложенной модели динамики цены разработаны методы прогнозирования цены товара в условиях нестационарности, не уступающие, а в ряде случаев превосходящие известные авторегрессионные методы по точности.

6. Дальнейшее исследование целесообразно проводить в направлении расширения класса используемых в модели товаров и услуг, а также создание комплекса программного обеспечения для принятия управленческих решений об оптимальном производстве на основе статистической информации, предложенных методов прогнозирования цен, восстановлении, функции спроса и моделей производственного процесса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сотников, Андрей Николаевич, 2004 год

1. Агрегирование векторных критериев, интерактивное информирование и самоорганизация в задачах принятия решений. -Л. : Ленинградский институт информатики и автоматизации, 1990.

2. Айвазян С. А., Енюков И. С., Мешалкин И. Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985.

3. Алле М. Современная экономическая наука и факты.// Теория и история экономических и социальных институтов и систем, 1994, т.2, вып.4.

4. Бем-БаверкЕ. Основы теории ценности хозяйственных благ. Л., 1929.

5. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1972.

6. Бутуханов А.В, Москальонов С.А. Применение динамической оптимизации в прогнозировании спроса экономического агента. http://www.marketing.spb.rU/conf/9/2.htm

7. Вальтух К.К. Математический и статистический анализ функции потребления. —Новосибирск: Наука, 1986.

8. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979.

9. Васильев В.П Численные методы решения экстремальных задач. —М.: Наука, 1980

10. Ю.Веденов Д.В. и др. О некоторых свойствах логарифмической функции полезности. // Экономика и математические методы, 1996, т.32, вып.2.

11. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. -М.: Наука 1996.

12. Вилкас Э.И. Оптимальность в играх и решениях. -М.: Наука, 1990.

13. Войтинский В. Рынок и цены: Теория потребления, рынка и рыночных цен. СПб., 1906. С.280.

14. Гальперин В.М. и др. Микроэкономика. Т 1, 2 -СПб.: Изд-во Экономическая школа, 1998.

15. Гихман И.И. Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов.-М.: Наука, 1965.

16. Глинский В. В. Статистический анализ /Учеб. пособие. -М.: Филинъ. 1998.

17. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. -М., Наука, 1961.

18. Голубков Е. П. Маркетинговые исследования: теория, методология и практика. М., Финпресс, 1998.

19. Горина Г.А. Ценообразование. Учебное пособие. -М.:ТОО «Люкс-арт», 1996. '

20. Гуриев С.М. Математическая модель стимулирования экономического роста посредством восстановления сбережений //Мат. моделирование. -1996. Т.8. - №5.

21. Джонстон Д. Эконометрические методы. М.: Статистика, 1980.

22. Дружинин Н. К. Математическая статистика в экономике. М., Статистика, 1971.

23. Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики. М., Финансы и статистика, 1996.

24. Завьялов Ю.С. Введение в теорию сплайнов. -М.: Наука, 1989. 25.3амков О.О., Толстопятенко A.B., Черемных Ю.Н. Математическиеметоды в экономике. -М.: ДИС, 1998.

25. Ивахненко А.Г. Лапа В.Г. Кибернетические предсказывающие устройства. -Киев: Наукова думка, 1965.

26. Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. -М: Наука, 1975.I

27. Ито К. Вероятностные процессы. -М.: Изд-во иностранная литература, 1963.

28. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике.-М.:Мир, 1967. '

29. Катулев А.Н., Колесник Г.В. Прикладные задачи исследования операций. Лабораторный практикум. -Тверь: Издательство Тверского государственного университета, 1998.

30. Катулев А.Н., Северцев Н.А. Исследование операций: принципы принятия решений и обеспечения безопасности. 2000.

31. Катулев А.Н., Сотников А.Н. Стохастические модели прогнозирования цены. // Сложные системы: моделирование и оптимизация. Сб. науч. тр. -Тверь: Твер. гос. ун-т, 2001.

32. Катулев А.Н., Сотников А. Н. Стохастические модели прогнозирования цены. // Дискретный анализ и исследование операций, серия 2, т. 9, N 1, Новосибирск, изд-во Института математики им. С.Л. Соболева, 2002.

33. Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование. М.: Советское радио, 1972.

34. Кини Р., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. -М.: Радио и связь, 1981.

35. Клеменс М.П., Хендри Д.Ф. Прогнозирование в макроэкономике. // Обозрение прикладной и промышленной математики-1996, т. 3, вып. 6.

36. Колемаев В.А. Математическая экономика. —М.: ЮНИТИ, 1998.

37. Кротов Ф.В., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. -М.: Наука, 1973.

38. Кузьмин С.З. Цифровая обработка радиолокационной информации. -М.: Радио и связь, 1986.

39. Курс экономической теории. / Под ред. Проф. Чепурина М.Н., проф. Киселевой Е. А. Киров: Издательство АСА, 1998.(с 442-454).

40. Левин М.И. и др. Математические модели экономического взаимодействия.-М.: Наука, 1993.

41. Макконелл Кэмбелл Р., Брю Стенли Л. Экономикс: Принципы, проблемы и политика. В 2 т.: Пер. с англ. 11 изд. Т. 2. -М.: Республика, 1993. (с 276292).

42. Маленво Э. Лекции по микроэкономическому анализу. -М.: Статистика, 1985.

43. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. -М.: Статистика, 1976.96

44. Малыхин В.И. Финансовая математика. М.: ЮНИТИ, 1999.

45. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. -М. 1988.

46. Математическое моделирование экономических процессов./ под ред. Е.Г. Белоусова, Ю.Н. Черемных, X Керта, К. Отто. -М.:Изд-во МГУ, 1990.

47. Менгер К. Основания политической экономии. Одесса, 1903.

48. Методы статистического моделирования. : Сб. научн. Трудов. Под ред. Г.А Михайлова. АН СССР Сиб. отд-ние ВЦ. Новосибирск, 1990.

49. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. 1959.51 .Мостеллер, Ф., Тьюки, Дж. Анализ данных и регрессия. -М.: Финансы и статистика, 1982.

50. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука,1974.

51. Нейман, Дж. Фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.

52. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика.-М.: Мир,1975.

53. Никитин H.H., Первачев C.B., Разевиг В.Д. О решении на ЦВМ стохастических дифференциальных уравнений следящих систем.// Автоматика и телемеханика. №4, 1975.

54. Оптимизация: Сб. научных трудов. -Новосибирск, Институт математики, 1971.

55. Параев Ю.И Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации.- М: Сов. радио, 1976.

56. Песаран, М., Слейтер, JI. Динамическая регрессия: теория и алгоритмы. М: Финансы и статистика, 1984.

57. Прохоров Ю.В. Розанов Ю.А. Теория вероятностей. -М., Наука, 1967. С.326.

58. Разевиг В.Д. Цифровое моделирование многомерных динамических систем при случайных воздействиях. // Автоматика и телемеханика. N4 1980. С 177-186.

59. Розанов Ю.А. Введение в теорию случайных процессов. -М.: Наука, 1982.

60. Розов А.К. Алгоритмы последовательного обнаружения сигналов. -СПб., Машиностроение, 1992.

61. Розов А.К. Оценивание параметров случайных сигналов. -СПб., Машиностроение, 1990.

62. Россия в цифрах. Краткий статистический сборник. -М.:Госкомстат России, 1997-2000.

63. Сбережения средних слоев населения России // Экономика и организация промышленного производства. 1997. - №6. - С. 125-141.

64. Сотников А.Н. Метод и алгоритм восстановления функции полезности. // Конференция, посвященная 70-летию акад. В.А. Мельникова. -М, 1999 г.

65. Сотников А.Н. Восстановление функции полезности для прогнозирования спроса на рынке радиотоваров. 8-я НТК «Современное телевидение», -М, 2000.

66. Сотников А.Н. Математические модели механизма прогнозирования цены отдельного вида продукции. 9-я НТК «Современное телевидение», -М, 2001.

67. Сотников А.Н. Метод и алгоритм прогнозирования цен. // Программные продукты и системы. № 2002- Тверь, 2002.

68. Сотников А.Н. Математическая модель динамики и прогнозирования цены. // Экономический рост России. Развитие городов. Перспективы и проблемы.- Тверь, 2002.

69. Сотников А.Н. Методы и алгоритмы восстановления функции полезности. // Экономика и менеджмент: проблемы теории и практики /Научные труды МИМ ЛИНК, выпуск 5, Издательство международного института менеджмента ЛИНК, 2002, стр.69-79.

70. Сотников А.Н. Математические модели механизма прогнозирования цены отдельного вида продукции. // Вопросы статистики № 6, 2002 М: Государственный комитет РФ по статистике, 2002.

71. Срагович Г.В. Непараметрическое оценивание коэффициентов линейной регрессии. -М.: Сообщество по прикладной математике, 1985.

72. Тангян A.C. Математический аппарат экономического модлирования.// Сборник трудов сотрудников Новосибирского госуниверситета. -Новосибирск, 1983.

73. Тверская область в цифрах. Статистический ежегодник. / Тверской областной комитет государственной статистики. -Тверь, 1997-2000.

74. Тихонов В.И. Миронов М.А. Марковские процессы.-М., Сов. радио, 1997.

75. Тюрин Ю.Н. Макаров A.A. Статистический анализ данных на компьютере. -М.: Финансы и статистика, 1995.

76. Фишберн П.С. Теория полезности для принятия решений. М.: Наука, 1978.

77. Фомин A.C. Равновесная модель ценообразования при разработке системы массового обслуживания.// Экономика и математические методы. 1995, т.32, вып.2.

78. Фомин В.Н. Рекуррентные оценивания и адаптивная фильтрация. -М., 1987.

79. Хардле В. Прикладная и непараметрическая регрессия. -М.: Мир, 1993. С. 221-234.

80. Цветков Э.И. Нестационарные процессы и их анализ. -М., Наука, 1973. 83.Чернецкий В.И. Математическое моделирование стохастических систем. —

81. Петрозаводск: Изд-во Петрозаводского госуниверситета, 1994. 84.Ширяев А.Н Основы стохастической финансовой математики. Т.1 Факты.

82. Модели. -М.: ФАЗИС, 1998. 85.Экономико-математические методы и прикладные модели./под ред. В.В.

83. Федосеева. -М.: ЮНИТИ, 1999. 86.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационноеисчисление. -М.: Наука, 1965. 87.Эфрон, Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа: Сб. статей. М.: Финансы и статистика, 1988.

84. Яненко H.H., Шокин Ю.И. Численный анализ: теория приближения функций. -Новосибирск: Изд-во НГУ, 1980.