Динамические модели случайных процессов со стационарными приращениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор технических наук Каладзе, Владимир Александрович

• Каладзе, Владимир Александрович
• доктор технических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор технических наук Каладзе, Владимир Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ АСПЕКТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ И

СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

1.1. Основания и принципы предметной области

:1.2. Краткая историческая справка и обзор предметной области

1.2.1. Этапы математического описания и фильтрации случайных процессов

1.2.2. Эволюция теории синтеза фильтров случайных процессов

1.2.3. Уравнения стохастической динамики

1.3. Обзор и сравнительный анализ моделей динамических случайных процессов

1.3.1. Фильтры Калмана и Пугачёва

1.3.1.1. Задача оптимальной фильтрации

1.3.1.2. Задача субоптимальной нелинейной фильтрации

1.3.1.3. Методы получения субоптимальных фильтров. Обобщённый фильтр Калмана-Бьюси

1.3.1.4. Задача условно-оптимальной фильтрации. Фильтры Пугачёва

1.3.2. Основные современные подходы в моделировании динамических случайных процессов

1.3.2.1. Структурная основа фильтра Калмана

1.3.2.2. Эконометрический подход

1.3.2.3. Полиномиальная модель Брауна с последовательной фильтрацией

1.3.3. Структурная классификация Колмогорова нестационарных случайных процессов

1.3.3.1. Описание движения случайными процессами со стационарными приращениями

1.3.3.2. Структурные функции

1.4. Выводы

ГЛАВА 2. ОБОСНОВАНИЕ И РАЗРЕШИМОСТЬ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

2.1. Предметная область. Нестационарные случайные процессы, содержащие информацию о поведении эволюционирующих сложных систем

2.1.1. Описание динамики сложной системы

2.1.2. Динамическая система с дискретным временем

• 2.1.3. Проблема вложения каскада в нелинейный процесс

2.1.4. Случайные процессы, отражающие эволюцию системы. Динамика основной тенденции случайного процесса

2.1.5. Стационарные приращения высокого порядка

2.1.6. Определение структуры модели ДСП

2.1.7. Исходные данные математического описания

2.2. Альтернирование и регуляризация математических моделей сложных систем

2.2.1. Альтернирование систем, моделей

: 2.2.2. Регуляризация плохо обусловленных задач моделирования

2.2.3. Асимптотическое поведение динамической системы с дискретным временем

2.3. Алгоритмические модели с рекуррентной структурой

2.3.1. Эффективность рекуррентных процедур

2.3.2. Алгоритмические модели

2.4. Структурные функции случайных процессов со стационарными

приращениями

' 2.4.1. Верификация моделей и тесты эволюционности процесса

2.4.2. Структурные функции оценок математического моделирования ДСП

2.5. Требования к формируемым моделям динамических случайных процессов

2.6. Выводы

ГЛАВА 3. ФОРМИРОВАНИЕ КОНФИГУРАЦИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПРЕДИКТОРНОЙ МОДЕЛИ. СОСТАВ: ЯДРО, ПАРАМЕТРОВАРИАТОР, КАСКАДНЫЙ ФИЛЬТР

3.1. Направленность и цели математического описания случайных процессов. Динамические модели

3.2. Формализация динамического ядра алгоритмической модели с использованием рекуррентного эффективного преобразования фильтрации

3.2.1. Условия формирования конфигурации модели

• 3.2.2. Формализация модели первого порядка

3.2.3. Формализация модели второго порядка

3.2.4. Формализация модели осциллирующего полезного сигнала

3.2.5. Формализация моделей высших порядков

3.3 Конфигурация структурных модулей ДПМ. Ядро, предиктор, параметровариатор, каскадный фильтр

3.3.1. Распараллеливание информации. Реконструкция многомерной структуры сложной системы

3.3.2. Критерии эффективности

■3.4. Каноническая форма ДПМ и особенности моделей сложных систем

3.4.1. Соответствие структур ДПМ и динамической системы

3.4.2. Особенности моделей сложных систем. Нелинейное статистическое оценивание

3.4.3. Модельные структурные и кросс-структурные функции

3.5. Выводы

ГЛАВА 4. КАСКАДНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ

СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

4.1. Экспоненциальный оператор фильтрации, как инструмент исследования динамических случайных процессов

4.1.1. Формы оператора экспоненциальной фильтрации

4.1.2. Свойства операторов одноуровневой фильтрации

:4.2. Динамический статистический анализ

4.3. Каскадный фильтр

4.4. Расчёт параметров фильтрации каскадного фильтра

4.4.1. Изолинии

4.4.2. Настройка параметров фильтрации в интегрированной динамической предикторной модели

4.5. Выводы

ГЛАВА 5. НАСТРОЙКА ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МЕТОДОМ АДАПТИВНОГО СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА

.5.1. Адаптивные возможности случайного поиска

.5.2. Информатное оценивание адаптации случайного поиска

5.3. Адаптация случайного поиска методом направляющего конуса

5.3.1. Постановка задачи

5.3.2. Пробный анализ

5.3.3. Характеристики распределения-конуса

' 5.3.4. Расчёт осевого направления конуса

5.3.5. Определение качества результатов поиска

5.3.6. Адаптация параметров и стратегии поиска

. 5.3.7. Выбор величин рабочего и пробного шагов в окрестности . оптимума

5.3.8. Расчёт величины рабочего шага поиска вдали от оптимума

5.4. Тестирование поиска

5.4.1. Графическая интерпретация поверхности Q

5.4.2. Тестовые функции

5.4.3. Условия сходимости адаптивного случайного поиска

5.5. Выводы

ГЛАВА 6. АЛГОРИТМИЗАЦИЯ РАЗРАБОТОК, ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

6.1. Исходные данные. Основные виды информации

6.2. Постановка задачи. Критерии и методика эксперимента

6.2.1. Объект исследования и его характеристики

• 6.2.2. Критерии вычислительного эксперимента

6.2.3. Критерии отбора алгоритмов в вычислительном эксперименте

6.2.4. Модели эксперимента

6.2.5. Методика вычислительного эксперимента

6.2.6. Имитация объекта

6.3. Выбор языка разработки. Программные средства

6.3.1. Язык С# как средство программной реализации

. 6.3.2. Программная реализация

6.4. Сравнение и исследование свойств моделей динамических случайных процессов

6.4.1. Сравнительный анализ моделей

6.4.2. Исследование свойств ДПМ

6.4.3. Прогноз

6.5. Алгоритмизация метода адаптивной настройки параметров моделей для экспериментальных исследований

6.6. Выводы

ГЛАВА 7. ВНЕДРЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ДПМ-МОДЕЛИРОВАНИЯ

7.1. Оценка состояния обрабатываемой поверхности изделия на основе ДПМ-моделирования для поддержания эффективного состояния режущего инструмента

7.2. Идентификация собеседника по аудиозаписи в зашумлённом помещении

7.2.1. Экспорт данных

7.2.2. Особенности идентификации индивидуальности звукового

источника

7.2.3. Дискретизация

7.2.4. Сложности, связанные с оцифровкой

7.2.5. Кодирование экспортируемых цифровых аудиосигналов

7.2.6. Моделирование

7.3. Численное ДПМ-моделирование вязкости по Муни сополимера

7.4. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамические модели случайных процессов со стационарными приращениями»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Проблема математического моделирования нестационарных случайных процессов возникает в задачах исследования сложных систем, под которыми понимаются эволюционирующие системы в условиях неполной и статистически неопределённой информации.

Научно-технические работы по математическому моделированию нестационарных случайных процессов в основном не используют конкретную классификацию таких процессов, лишь отрицая их стационарность и указывая на зависимость их параметров от времени. Далее постановка задачи оценивания процессов упрощается до признания их реализаций однородными на интервалах исследований и они исследуются как эргодические процессы без учёта нестационарных особенностей исходных процессов.

Методология моделирования, разработанная в каждой предметной области, всегда выделяется в самостоятельное научное направление, основанное на интеграции поставленных задач и методов смежных дисциплин. Математическое моделирование динамических случайных процессов представляет собой самостоятельное научное направление, основанное на интеграции задач и методов теории случайных процессов, математической статистики, математической теории систем и разностных схем, статистической поисковой оптимизации и вычислительной математики. Для эффективного решения проблемы математического моделирования нестационарных случайных процессов следует учитывать причину возникновения этих процессов, которая связана с исследованиями движения сложных объектов, в биологических и социальных системах, в ГИС, т.е. с исследованием сложных эволюционирующих систем.

Математическое описание нестационарных случайных процессов в условиях статистической определённости к данному моменту хорошо разработано для случая, когда случайный процесс представляет собой отклик

линейной динамической системы первого порядка, искажённый несвязным гауссовским шумом. Оптимальной моделью для этих условий является фильтр Калмана, использующий статистически определённую информацию и основанный на учёте ковариационных взаимодействий в последовательности наблюдаемых величин. Но при нарушении указанных условий фильтр Калмана расходится.

В диссертационной работе сформулирована и разрешена актуальная проблема формирования и исследования математических моделей динамических случайных процессов, описывающих поведение сложных эволюционирующих систем в условиях статистической неопределённости результатов наблюдений.

Поэтому становится актуальным развитие аппарата математического моделирования, преобразующего скалярную наблюдаемую информацию в адекватное описание многомерной системы, генерирующей данный процесс.

Для решения этой проблемы в настоящей работе была предложена и реализована методология формализации семейства динамических предикторных моделей с модульной структурой, относящихся к классу алгоритмических моделей. Реализация динамических моделей представляет собой актуальное решение задачи численной аппроксимации поведения сложных систем в режиме реального времени. Научное направление диссертационной работы актуально, поскольку продиктовано необходимостью разработки единой научной базы создания математических моделей важного класса динамических случайных процессов, отражающих поведение эволюционирующих сложных систем в условиях текущей информационной неопределённости.

Научно-теоретической основой данного исследования послужили труды: в стохастической динамике - К.Ито, Р.Калмана, В.С.Пугачёва, И.П.Бусленко, которые, в свою очередь, опирались на работы А.Эйнштейна, М.Смолуховского и П.Ланжевена в исследованиях броуновского движении и диффузионных процессов; математического моделирования нестационарных

случайных процессов и сложных систем в условиях информационной неопределённости с применением компьютерных технологий -В.С.Пугачёва, Л.А.Растригина, Я.З.Цыпкина; формализации алгоритмических моделей - С.В.Емельянова; в классификации, исследовании нестационарных случайных процессов и эволюции объектов -А.Н.Колмогорова, А.МЛглома, А.С.Монина, В.И.Татарского.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с научным направлением НОУ ВПО Международного института компьютерных технологий «Программные модели и системы: программные средства информационно-аналитического описания объектов в системах идентификации и навигации».

Цель исследования. Целью диссертационной работы является разработка каскадного подхода к синтезу динамических моделей случайных процессов со стационарными приращениями для обеспечения адекватности моделей.

Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Изучение, анализ и теоретическое обобщение известных задач и методов математического моделирования нестационарных случайных процессов.

2. Разработка целостного научно-методологического подхода в формировании математического описания случайных процессов со стационарными приращениями, содержащих информацию о поведении сложных систем.

3. Формализация семейства динамических моделей, с выводом, в ходе доказательства основных утверждений, их структуры в составе каскадного фильтра, распараллеливающего измеряемую информацию, и динамического ядра, реконструирующего многомерную динамику сложной системы.

4. Анализ конфигурации динамических предикторных моделей, исследование каскадного фильтра, его уровней и модулей динамического ядра.

5. Разработка процедуры последовательного дифференцирования по скалярной последовательности статистически искажённых данных.

6. Определение порядка статистической модели, адекватного порядку случайного процесса со стационарными приращениями.

7. Разработка математического описания динамики случайного процесса с использованием его инерционности.

8. Разработка адаптивных методов статистической поисковой глобальной оптимизации необходимых для параметрической настройки моделей.

9. Обоснование эффективности полученных моделей. Разработка предметно-ориентированного программного комплекса вычислительного эксперимента для исследования свойств и предметной области разработанных моделей.

10. Разработка алгоритмических и программных средств на основе результатов, полученных в диссертации, для внедрения в производство.

Методы исследования. Выполненные теоретические и экспериментальные исследования базируются на использовании методов и теории математического моделирования, теории случайных процессов, вероятности и математической статистики, математической теории систем, математического и функционального анализа, вычислительной математики и поисковой оптимизации.

Тематика работы соответствует п. 1 «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений»; п. 3 «Разработка, обоснование и тестирование эффективных численных методов с применением ЭВМ»; п. 4 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента»; п. 7 «Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели» паспорта

специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

Научная новизна. Получены результаты, характеризующиеся научной новизной:

• Теоретически и экспериментально обоснованный методологический принцип формирования динамических моделей случайных процессов со стационарными приращениями, определяющий новое научное направление, отличающийся использованием каскадной архитектуры при построении моделей, что позволяет описывать динамику случайных процессов и сложных систем.

• Семейство новых математических динамических моделей, отличающихся наличием каскадного фильтра и динамического ядра, что позволяет реконструировать многомерную структуру сложной системы по скалярной реализации случайного процесса.

• Динамическое ядро как многоуровневая структура, представленное набором рекуррентных алгоритмов, восстанавливающее вектор многомерного фазового пространства сложной системы.

• Аналитический фильтр, предназначенный для оценивания структурного вектора динамического случайного процесса по его скалярной реализации, основанный на каскадном подходе в соответствии с групповым свойством операторов, с использованием эффективного преобразования, обладающего свойствами фильтрации и динамики одновременно.

• Численная процедура последовательного дифференцирования, работающая на скалярной последовательности статистически искажённых данных, с использованием динамической модели на основе каскадной фильтрации.

• Новый способ определения порядка статистических моделей, отличающийся процедурой сравнения структурных и ковариационных функций, обеспечивающий совпадение с истинным порядком функции математического ожидания динамического процесса.

• Новый способ статистического описания динамики случайного процесса, обеспечивающий снижение вычислительной сложности процедуры моделирования динамики, отличающийся использованием оригинальной кросс-структурной функции, определяющий статистическую и инерционную взаимосвязь между последовательными приращениями случайного процесса.

• Новый численный метод адаптивного случайного поиска, отличающийся обучением распределения вероятностей в пробном анализе, используемый для настройки параметров каскадного фильтра в условиях глобального оптимума.

Практическая значимость работы заключается в разработанных и компьютерно реализованных методиках математического моделирования динамических случайных процессов, в теоретическом и экспериментальном определении свойств динамических моделей и предметной области их функционирования, в алгоритмическом и программном обеспечении разработанных методик, а также в инструментальных средствах, представляющих собой процедуры и исследовательские технологии вычислительного эксперимента.

Разработан предметно-ориентированный программный комплекс, отличающийся универсальностью области применения и позволяющий проводить исследования в широком круге прикладных задач моделирования стохастической динамики и поисковой статистической оптимизации.

Результаты практических применений подтверждают, что разработанные модели, методы и алгоритмы позволяют получать эффективные оценки поведения сложных систем по реализациям динамических случайных процессов. Основные результаты диссертационной работы алгоритмически и программно представлены в производственных системах оценки качества продукции, контроля и управления персоналом и оперативного оценивания неизмеряемых параметров. Результаты работы востребованы в вузовском и послевузовском образовании и входят в лекции и лабораторные практикумы, учебные пособия и методики послевузовского

образования, представлены в докладах и статьях аспирантов, связанных с математическим моделированием, исследованием операций, поисковой оптимизацией и программной реализацией результатов.

Внедрение результатов работы.

Имеются следующие реализации результатов диссертационной работы:

Результаты НИОКР «Разработка эффективной методики расчёта моментов смены режущего инструмента на станках с ЧПУ» (исполнитель к.т.н., с.н.с. Каладзе В. А.), основанной на разработанной динамической модели, прошли опытную эксплуатацию и приняты к внедрению в виде подсистемы системы контроля качества на ОАО «АГРОЭЛЕКТРОМАШ», г. Воронеж.

Результаты ОКР «Разработка алгоритмического и программного обеспечения для персональной идентификации собеседника по аудиозаписи в зашумлённой среде» (руководитель разработки к.т.н., с.н.с. Каладзе В. А.), использующей каскадную фильтрацию и разработанную динамическую модель, после испытаний в НПО ООО «Апогей», г. Воронеж, включены в программное обеспечение изделия «Голосовой распознаватель переговоров в кабине тепловоза».

Результаты диссертационного исследования используются в учебном процессе Международного института компьютерных технологий при подготовке инженеров по специальности «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети», бакалавров и магистров направления «Информатика и вычислительная техника» и аспирантов по специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

На программный комплекс «Предметно-ориентированная среда алгоритмического моделирования динамики нестационарных случайных процессов», для проведения компьютерных исследований по теме диссертации получено Свидетельство о государственной регистрации Федеральной службой по интеллектуальной собственности.

Копии актов о внедрении и Свидетельство о государственной регистрации программного комплекса помещены в Приложении 1.

Апробация работы. Основные результаты исследований по теме диссертации были доложены на международных и всероссийских конференциях: на VII международной конференции «Современные сложные системы управления СССУ/HTCS '2005» (Воронеж, 2005); 2-й международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2007); Международной научной конференции «Компьютерные технологии в технике и экономике» (Воронеж, 2007); 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12-й международной конференции «Информатика: проблемы, методология, технологии» (Воронеж, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012); 21-й международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, 2008); Всероссийской научно-практической конференции «Информатизация образования. Информационные технологии в АСУ» (Воронеж, 2008); Международной научно-технической конференции «Информационные и управляющие системы в пищевой и химической промышленности» (Воронеж, 2009); Всероссийская конференция «Интеллектуальные информационные системы» (Воронеж, 2009); Международной научной конференции «Информационные технологии в связи, вычислительной технике и энергетике» (Воронеж, 2010); Всероссийской конференции «Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах» (Москва-С-Петербург-Воронеж, 2010); 1-й Всероссийской конференции «Критические технологии вычислительных и информационных систем» (Воронеж, 2011); Всероссийской конференции «Новые технологии в научных исследованиях» (Воронеж, 2011).

Публикации. По материалам диссертации опубликованы 50 печатных работ, из них: 15 статей в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК РФ, 1 монография (изд-во «Lorman, MS, USA: Science Book Publishing House»), 1 Российское Свидетельство о государственной регистрации

Федеральной службой по интеллектуальной собственности Программного комплекса.

Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве и

приведенных в автореферате: [5-7, 23, 36, 41, 42] - математическая модель; [1-4, 10, 24, 35, 40, 43, 46, 49] - методы и алгоритмы моделирования; [34, 44, 47. 50] - проведение вычислительного эксперимента; [44, 47, 50] -постановка задачи и алгоритмическое обеспечение программных модулей; в [17-22] - постановка задачи, алгоритмическое обеспечение и программная реализация каскадного фильтра; [10, 48, 49] - методика проведения инженерных расчётов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, библиографического списка и приложений. Общий объём диссертационной работы - 320 страниц текста, из них 309 страниц -основное содержание, включая 34 рисунка и 5 таблиц, 11 страниц -приложения (три акта о внедрении, Свидетельство регистрации программного комплекса в РОСПАТЕНТ, реферат программного комплекса, критерии вычислительного эксперимента, список сокращений и обозначений, глоссарий по предметной области).

Работа выполнена в Международном институте компьютерных технологий (МИКТ), на кафедре Информатики и вычислительной техники.

Содержание работы. В диссертации обобщены результаты научно-исследовательских работ, выполненных автором по теме исследований, краткое содержание которых приводится далее.

Во введении обоснована актуальность проблемы, сформулирована цель работы, определены задачи исследований и выносимые на защиту научные положения, обоснована научная новизна, практическая значимость полученных результатов, изложено краткое содержание глав диссертационной работы.

В первой главе в ходе обзора научных работ рассмотрены изначальные постановки и решения задач математического описания

статистической динамики в классическом случае непрерывного времени, вытекающие из них задачи оптимальной и субоптимальной фильтрации, а также особенности перехода от непрерывного к дискретному времени в математическом описании случайных процессов. Определены основные понятия предметной области, применительно к исследованиям настоящей работы. С позиций системного подхода проведен научный анализ современных постановок задач и используемых в настоящее время математических моделей нестационарных случайных процессов.

Составлен краткий исторический обзор по этапам математического моделирования и фильтрации случайных процессов, связанных с работами А. Лежандра, К. Гаусса, А.Н Колмогорова., Н. Винера, Р.Фишера, А.Я. Хинчина, В.А. Котельникова и др. Описаны хронологические особенности теоретических подходов к синтезу моделей и фильтров случайных процессов и влияние на этот процесс, оказанное развитием средств вычислительной техники, её математического и программного обеспечения.

Представлены стадии формирования теории стохастической динамики, начиная с уравнения П.Ланжевена до дифференциальных принципов К.Ито, орнованных на диффузионности исследуемых случайных процессов. Приведён разработанный Р.Л. Стратоновичем теоретический вариант описания стохастической динамики, использующий принцип дискретизации времени, а также установлены особенности, связанные с переходом исследований динамики процессов от непрерывной формы математического описания к алгоритмическим моделям с дискретным временем.

Охарактеризована исходная стадия динамического описания нёстационарных случайных процессов, содержащих сведения о поведении сложных систем, связанная с работами Калмана и Пугачёва. Разработанные ими фильтры представляют собой алгоритмические модели, которые в процессе работы корректируются по обновляемой информации.

Приведена постановка традиционной задачи оптимальной фильтрации динамических по Ито случайных процессов и метод её решения в виде

классического фильтра Калмаиа. Описана постановка задачи субоптимальной динамической фильтрации и метод получения субоптимальных фильтров и, как один из вариантов, описан обобщённый фильтр Калмана-Бьюси. Рассмотрена проблема условно-оптимальной фильтрации и подход к её решению на базе фильтров B.C. Пугачёва.

Исследованы концептуальные особенности оптимального фильтра Р. Калмана. Показана структурная эквивалентность фильтра Р. Калмана оператору экспоненциальной фильтрации.

Представлены известные современные эконометрические методы, используемые экономистами, финансистами, социологами для математического описания, анализа и прогнозирования временных рядов, в том числе авторегрессионные модели ARMA(p, q) и ARIMA(p, d, q).

Приведена переходная, по отношению к алгоритмическим, полиномиальная модель, предложенная Р. Брауном, для описания поведения временного ряда полиномом до второй степени включительно. Продемонстрирован предложенный им вывод модели на базе метода наименьших квадратов.

Представлены основы фундаментальной теории эволюционного движения А.Н. Колмогорова через действие однопараметрического семейства операторов, отвечающего аксиомам теории групп с введением понятия каскада, как дискретной динамической системы.

Описаны введённые А.Н. Колмогоровым два важных понятия: класс случайных процессов со стационарными приращениями, эквивалентный классу динамических случайных процессов, и структурная функция, как показатель, оценивающий характеристики таких случайных процессов.

Использование этого класса нестационарных случайных процессов позволяет, на основе группового закона эволюции, сформировать в дискретном времени математические (алгоритмические) модели динамических случайных процессов, с использованием каскадного представления динамики в условиях неопределённости.

В нестационарных случайных процессах, в отличие от стационарных, отсутствует само понятие генеральной совокупности и фундаментальная основа математической статистики - однородность данных, в связи с чем невозможно применять традиционные статистические методы, в т.ч. операцию среднего арифметического. Соответственно отсутствует математический аппарат оценивания наиболее вероятного значения нестационарного процесса для каждого момента времени по его выборочному функционалу.

В такой ситуации возникает необходимость в разработке подхода, учитывающего динамические особенности данного класса случайных процессов при расчёте их вероятностных характеристик.

На основе проведённого анализа научных источников определены цели дальнейшего исследования, в частности, сделан вывод о необходимости построения в наиболее перспективной для данного класса процессов алгоритмической форме математических моделей динамических случайных процессов. В ходе математического моделирования также необходимо провести реконструкцию многомерного фазового описания сложной системы, генерирующей данный процесс. Решение этих проблем и определяет научное направление настоящего исследования.

Во второй главе обосновывается разрешимость проблемы математического моделирования динамических случайных процессов Y(t), содержащих сведения о поведении сложных систем D в фазовом пространстве состояний W"+1, представляющих собой трудноформализуемые эволюционирующие системы в условиях информационной неопределённости.

В работе принята колмогоровская классификация, определяющая класс процессов Y(t), связанных с эволюционным описанием движения -случайных процессов со стационарными приращениями, выборочные функции которых содержат данные для их моделирования. Такие процессы закономерно определять как динамические случайные процессы, при этом, в

отличие от традиционно используемых подходов моделирования случайных процессов, в этом исследовании основная тенденция процесса содержит информацию о сложном эволюционирующем объекте.

Таким образом, возникает задача выделения искажённой шумом основной тенденции процесса по значениям его скалярной выборочной функции, измеренной в дискретном времени.

Непосредственное применение статистических методов обработки к данным, полученным не на основе простого случайного выбора -неправомерно. Поэтому при оценке значений функции математического ожидания динамических случайных процессов (ДСП) в проведённых исследованиях используется оператор экспоненциального среднего.

Для исследования случайных процессов со стационарным поведением их приращений используется структурная функция А.Н. Колмогорова, которая характеризует статистическую связь для значений случайного процесса и для значений его приращения, а также оценивает интенсивность их флуктуаций.

Структурная функция при характеризации стационарных процессов более устойчива сравнительно с ковариационной, на точность оценок которой существенно оказывает влияние использование оператора среднего арифметического при обработке неоднородных данных. В условиях нестационарности она является единственным практически реализуемым показателем, оценивающим поведение случайных процессов. Её параметры обладают свойствами инвариантности по отношению к наиболее общей форме нестационарности, связанной с поведением функции математического ожидания процесса.

В рассматриваемых задачах, в отличие от классических задач, содержательная информация о процессе может быть стабильной лишь на относительно небольших промежутках времени, поэтому математическое описание сложных систем не должно зависеть от начальных условий. С этой

ситуацией связывается альтернирование системы, когда возникает рассогласование между системой и моделью.

Математическое описание динамических случайных процессов следует проводить в режиме реального времени, так как с течением времени измеряемая информация меняет своё смысловое содержание, равно как данные, в ней содержащиеся, теряют свою информационную ценность. Поскольку результатом мониторинга сложной системы обычно является случайный процесс, то в измеряемой информации обычно отсутствуют сведения о возмущающих входных факторах.

Динамика сложной системы и случайного процесса может быть представлена упорядоченным набором дифференциальных характеристик -вектором фазового пространства W"+l. Фазовое (и+1)-мерное пространство состояний модели, ДСП и сложной системы является общим геометрическим понятием и определяется как риманово пространство с евклидовой метрикой. Поведение ДСП, как функции времени, рассматривается в расширенном фазовом пространстве Wn+2, в базис которого входит время, и определяемом в виде прямого декартового произведения W"+] х Т.

Математическое моделирование ДСП проводится с использованием рекуррентных алгоритмических моделей, основой которых • являются разностные схемы. Математическая модель динамического случайного процесса в дискретном времени формируется по принципу каскада, как динамическая система с дискретным временем, и в моменты альтернирования может реагировать преобразованием своей структуры.

Если у исследуемого случайного процесса в соответствии с классификацией A.M. Яглома п последовательных приращений и только п-ое приращение стационарно, то динамика случайного процесса имеет n-Pi порядок и задача моделирования такого процесса в настоящем исследовании связана с восстановлением многомерной структуры сложной системы по скалярной случайной временной последовательности.

Гипотетичность представлений о структуре сложного объекта, неучтённые из-за неполноты исходной информации входные факторы, скалярная форма измеряемых данных на выходе сложной системы с многомерной динамикой, отсутствие статистических сведений об исследуемом процессе и его приращениях приводят к необусловленности поставленных задач и, как следствие, к необходимости адаптации формируемой математической модели.

В конце Главы 2 сформулирован ряд требований, определяющих условия формирования адаптивной, интегрированной системы математического моделирования динамических случайных процессов, использующей методы динамического и статистического анализа при обработке нестационарных скалярных измеряемых данных.

В третьей главе представлено решение проблемы математического моделирования динамических случайных процессов в виде семейства динамических предикторных моделей (ДПМ). Формализация моделей семейства основана на описании поведения сложной системы, наблюдаемой в виде скалярной выборочной функции динамического случайного процесса, эволюционирующее состояние которой допускает краткосрочное математическое представление в форме дифференциального или разностного уравнения.

Разработанный подход к моделированию динамических случайных процессов в дискретном времени использует каскадный принцип (А.Н. Колмогоров) при построении алгоритмических моделей с переменной структурой (C.B. Емельянов) в рамках семейства ДПМ для описания динамических систем в условиях информационной неопределённости. Реализация ДПМ-подхода приводит к восстановлению многомерной динамики процесса, размерность которой определяется размерностью фазового пространства моделируемой сложной системы.

Принцип переменности структуры алгоритмической модели реализуется семейством динамических моделей, каждая из которых способна

обеспечить адекватность в своей предметной области, а семейство в целом отвечает условиям поставленной задачи, обеспечивая устойчивость модели к альтернированию системы.

Алгоритмической модели с переменной структурой присуще то, что для её реализации не требуется информация ни о величинах изменяющихся параметров объекта, ни о приложенных к нему возмущениях, а достаточно данных о его поведении, получаемых через его отклик. Фактически эти особенности совпадают с характеристиками исходных данных математического описания сложной системы и её информационного образа -динамического случайного процесса.

Для динамического случайного процесса сформулирована задача аппроксимации его основной тенденции в каждый момент времени конечным отрезком разложения Тейлора.

Процедура формирования семейства динамических предикторных моделей представлена последовательностью доказанных пяти формальных утверждений. В ходе доказательства каждого утверждения осуществляется вывод одной из моделей семейства Д11М, отличающейся от предыдущей возрастанием порядка модели на единицу. Порядок модели связан с соответствующим числом членов в разложении Тейлора. Для этого используется каскадный принцип формирования алгоритмической модели с оператором экспоненциальной фильтрации в качестве эффективного преобразования.

В следствиях из доказанных утверждений показано существование супремальной формы, у каждой модели семейства ДПМ, обеспечивающей соответствие порядка модели и системы и не являющейся информационно избыточной, в том смысле, что порядок модели в такой форме не превышает порядка максимальной производной в структуре системы.

Вывод моделей семейства, основанный на каскадном принципе, обеспечивает каждой из них наличие динамических свойств, поскольку они приобретают структуру динамической системы с дискретным временем.

г

В процессе вывода у каждой динамической предикторной модели сформировалась типовая конфигурация из двух основных модулей: каскадного фильтра и динамического ядра, составленного, в свою очередь, из предиктора и параметровариатора.

Роль процедуры, осуществляющей распараллеливание и обработку исходных данных, представленных скалярной выборочной функцией динамического случайного процесса, выполняет каскадный фильтр. В каждый момент времени он формирует структурный вектор 5 = (5'1,5'2,...,5",+1), на основе которого в динамическом ядре модели, последовательно в параметровариаторе и предикторе, рассчитываются

Параметровариатор, представляет собой идентифицирующую процедуру, рассчитывающую по результатам каскадной фильтрации базовые

структурные параметры (//,, входящие в предиктор, который обеспечивает численную аппроксимацию основной тенденции процесса в текущий момент времени и экстраполяцию состояния модели вдоль положительной фазовой траектории.

Конфигурация структурных модулей Д11М определяет простоту компьютерной реализации всего семейства этих моделей.

Многомерное представление основной тенденции процесса, состоящее из кортежа разностных оценок дифференциальных характеристик

/ = (/о'/|'-">/я)> размерность которого соответствует размерности фазового

пространства исследуемой сложной системы, образует собственное фазовое пространство динамической модели.

Полученные в ходе доказательств утверждений пять моделей семейства ДИМ, отличаются друг от друга порядком своих структур, определяемых числом членов в разложении Тейлора, положенным в основу каждой модели.

компоненты вектора фазового пространства модели , к = 0,п.

к

Унифицированность приёмов разработанной методики формирования семейства математических моделей динамических случайных процессов позволяет создавать модели любой степени сложности для типовых ситуаций и модифицировать их в зависимости от требований задачи.

Динамические предикторные модели осуществляют многократное последовательное преобразование одномерного метрического пространства измерений в многомерное фазовое пространство модели, идентичное фазовому пространству системы. В процессе математического моделирования ДСП алгоритмической моделью ДПМ проводится реконструкция многомерной динамики сложной системы, обеспеченная распараллеливанием скалярной случайной временной последовательности каскадным фильтром в структурный вектор 5 модели.

Модели ДПМ предназначены для фильтрации случайного процесса со стационарными приращениями, как информационного образа сложной системы, представленного в расширенном фазовом пространстве Алгоритмические модели ДПМ, формализуемые по единственной реализации таких процессов, решают задачи численной идентификации текущего состояния стохастической динамической многомерной системы в условиях информационной неопределённости.

С использованием динамической модели на основе каскадной фильтрации впервые сформирована численная процедура последовательного дифференцирования по скалярным значениям аналитической функции, работающая на данных, искажённых статистическим шумом, являющаяся продолжением известных теорем Такенса в регулярном случае.

Введённая модельная форма структурных функций, в которой, как аппроксимация основной тенденции М[У(/)] используется ДПМ-модель динамического случайного процесса, позволяют достаточно просто рассчитывать структурную функцию «-го порядка при стационарности п-го последовательного приращения. Модельные структурные функции

позволяют также оценивать эффективность и адекватность моделирования динамических случайных процессов.

Предложен метод исследования динамики случайных процессов со стационарными приращениями статистическими методами через установление взаимосвязи между последовательными приращениями динамического процесса, как между случайными процессами, но с учётом инерционности изменения их характеристик, обеспечивающий снижение вычислительной сложности процедуры моделирования динамики случайных процессов.

Для определения численных значений взаимосвязи, в которой участвуют последовательные приращения высших порядков, предлагается использовать разработанные кросс-структурные функции, позволяющие оценивать динамическую взаимосвязь характеристик случайных процессов со стационарными приращениями.

На основе сравнения структурных и ковариационных функций разработан способ, отличающийся процедурой определения порядка статистических моделей, что соответствует выбору эффективной структуры этих моделей, обеспечивая совпадение с истинным порядком функции математического ожидания динамического процесса. Таким образом, стационарность приращения, как и супремальность (адекватность без информационной избыточности) формы модели, устанавливается из соотношения структурной и ковариационной функций.

Разработанные в диссертации динамические предикторные модели, в отличие от многих субоптимальных моделей, обладают общей теоретической базой и единым методологическим подходом, отличаются простой, чётко выделенной, обоснованной конфигурацией и конкретной предметной областью их применения.

Моделью, близкой динамическим предикторным моделям по применению к системам стохастической динамики, является оптимальный фильтр Калмана. Он также ориентирован на фильтрацию и прогноз в

реальном времени динамических случайных процессов по единственной наблюдаемой фазовой компоненте. Однако идентификация этого оптимального фильтра жёстко связана с характеристиками моделируемой системы: система должна быть линейной с динамикой первого порядка при наличии в системе шумов гауссовского типа. Кроме того, формирование фильтра Калмана основано на ковариационных оценках, что осложняет его работу в условиях нестационарности.

Вывод алгоритмических структур, представляющих динамические предикторные модели, не был связан ограничениями по типу и статистическим характеристикам искажающего шума, а также требованиями к конфигурации, характеру нелинейности, динамичности и параметрам функции сложной системы. Областью применения ДПМ могут быть задачи, возникающие на производстве, при обработке сигналов различной сложности, а также анализ социально-экономических процессов.

В четвёртой главе проведено исследование модуля каскадной фильтрации моделей семейства ДПМ. Структура каскадного фильтра определяет процедуры динамического статистического анализа данных мониторинга сложной системы, поступающих к исследователю в виде значений хронологического выборочного функционала динамического случайного процесса. Результаты преобразования представлены субгармониками процесса, используемыми процедурами параметровариатора при идентификации структурных параметров модели.

В связи с возникающими разночтениями понятия «каскадный фильтр» дадим необходимые пояснения.

Каскадная форма аналогового фильтра, действующего в частотной области, представляет собой последовательно соединённые фильтры, определённые из условия разложения частотного отклика результирующего фильтра, как полинома Ы-го порядка, на сомножители-полиномы порядка меньшего чем Ы-й.

?

В цифровых КИХ-фильтрах происходит пропускание входных отсчётов, представляющих собой дискретную последовательность измеренных значений, как, например, в фильтре скользящего среднего (moving average), через последовательность регистров памяти, которую обычно называют каскадом.

Обе эти «каскадные формы» ни коим образом не связаны с динамической системой с дискретным временем, которая является каскадом, фомируемым как группа операторов на основе производящего оператора, который рассматривается как эффективное преобразование каскада.

В данном исследовании формализованный в ходе доказательств теорем каскадный фильтр представляет собой динамическую систему с дискретным временем, эффективным преобразованием которой является экспоненциальный фильтр.

Пренебрежение в выборе методов исследования нестационарных случайных процессов такой важной особенностью, как отсутствие у них генеральной совокупности, приводит к повышению вероятности принятия необоснованных результатах решений, даже при формально правильно поставленной задаче.

В этой связи в качестве эффективного преобразования в каскадном фильтре использован оператор экспоненциального среднего S(y), способный не только выделять полезный сигнал из неоднородной случайной выборки в режиме реального времени, но и учитывать динамику поступающей оперативной информации. В этой главе также проведено исследование основных форм экспоненциального преобразования.

Одной из особенностей интегральной формы преобразования S(y) является её непосредственная связь с гармоническим анализом, поскольку она может определяться как частичная сумма ряда Фурье. В этом случае весовую функцию оператора следует рассматривать как действительный аналог ядра Дирихле, которое, обладая фокусирующим действием, обеспечивает выделение окрестности текущей точки. Выбор этого оператора

в динамических моделях связан с тем, что он является статистически и динамически устойчивой осредняющей процедурой с экспоненциальным фокусирующим ядром co(t), обеспечивает алгоритму фильтрации возможность выделения информационно значимых данных. Включение фокусирующей функции оператора в функции цели, оценивающие эффективность динамических предикторных моделей, позволяет применять 6áñeeoBCKHe критерии среднего риска.

Коэффициенты конечной формы оператора S[°] в каждый момент времени определяют информативность членов упЧ фильтруемой случайной

временной последовательности.

Экспоненциальный оператор, как осредняющее преобразование, наиболее отвечает требованиям формирования модели динамического случайного процесса, поскольку сам является простейшей динамической системой, а его дифференциальная форма представляет собой известное апериодическое звено первого порядка.

Итеративная форма оператора S[o], используемая как многошаговая вычислительная процедура, представляет собой проекцию отрезка в себя, т.е. обладает свойством сжатия, что гарантирует сходимость оптимально параметризованного алгоритма.

Помимо оператора экспоненциального оценивания исследовались две другие рекуррентные процедуры осреднения. Для осреднения на стационарных интервалах случайного процесса в масштабе реального времени были выведены рекуррентные оценки дисперсии и ковариационной функции для оператора среднего арифметического и аналитическая запись итеративной формы скользящего среднего.

Итерационные процедуры, отвечающие условию сжатия, не только фильтруют, но и обладают свойством самокоррекции за счёт информационного обновления, что делает их оценки, начиная с некоторого niara, не зависящими от начальных значений. Это свойство позволяет использовать рекуррентные процедуры при решении необусловленных задач,

получая при этом численные решения, сходящиеся с регулируемой точностью к эффективному решению.

Структура каскадного фильтра сформирована на принципе последовательной иерархии в соответствии с групповым свойством операторов, когда все уровни фильтра функционируют в один и тот же текущий момент времени. При этом, для проведения фильтрации динамично меняющегося сигнала эффективным преобразованием каскада, самого являющегося простейшей динамической системой, выбран экспоненциальный фильтр, обладающего свойствами фильтрации и динамики одновременно.

Каскадный фильтр, проводя многократное последовательное преобразование одномерного пространства Y в (и+1)-мерное пространство, осуществляет важную функцию распараллеливания исходной скалярной

информации {.у,}": формирование структурного вектора S = (Sl,S2,...,Sn+l),

компоненты которого оцениваются соответствующими уровнями каскада, при этом многомерная информация, полученная динамическим ядром модели, преобразуется в вектор дифференциальных характеристик

/'= (/о>fv-Jn) модели.

Аналитически и в дальнейшем эмпирически, в ходе вычислительного эксперимента, подтверждено, что при возрастании порядка уровень каскадного фильтра формирует более низкочастотный сигнал по сравнению с предыдущим уровнем, что указывает на выделение каскадным фильтром субгармоник частотных диапазонов спектра ДСП, исследованного A.C. Мониным и A.M. Ягломом.

Неоднозначность выбора параметров каскадного фильтра, связанная с конфликтностью задач подавления искажающего шума и аппроксимации полезной информации, влияет на точность моделирования. В связи с чем, возникает необходимость эффективной настройки этих параметров.

В простейших случаях расчёт параметра фильтрации для экспоненциального оператора может определяться только из условия подавления шума. Но в каскадном фильтре, связанном с динамикой исследуемого процесса, оценивание параметров фильтрации возможно только алгоритмически, при этом оцениваться должен, как следует из проведённых исследований функции цели, векторный параметр, компоненты которого являются индивидуальными параметрами для каждого уровня фильтра.

Из-за трудностей аналитического исследования зависимости функции цели от параметров фильтрационного модуля {а'}, был проведён графический анализ с помощью графического пакета SURFER AS v. 4.06.

Было установлено, что на поверхности отклика имеются глобальный, локальные экстремумы и сложные овраги, что положение глобального минимума не симметрично относительно компонент вектора а. В данной работе поставлена задача оценки векторного параметра фильтрации и исследованы особенности её предметной области. Основой для решения многомерной задачи глобальной оптимизации при нахождении оценок параметров фильтрации был выбран метод статистического поиска, теоретически обоснованный и доведённый до практической реализации JI.A. Растригиным и его школой.

Необходимость в отыскании глобального экстремума возникает в сложном классе задач, относящихся к так называемой невыпуклой оптимизации. Этот класс, в частности, включает многие задачи, получаемые при решении задач нелинейного программирования методами штрафных функций и в особенности при наличии нелинейных (начиная с квадратичных) ограничений, а также в линейно-квадратичных задачах оптимального управления с нелинейными ограничениями (Н.Н.Красовский).

В большинстве случаев аналогичные задачи с трудом поддаются решению теоретическими методами. Это вполне объясняет тот факт, что в основном известные методы глобальной оптимизации являются численными,

основаными на эвристических соображениях, что далеко не всегда гарантирует их сходимость.

В настоящее время наиболее востребованными при решении задач глобальной оптимизации считаются генетические алгоритмы, относящиеся к классу алгоритмов случайного поиска, но в данной работе установлена невозможность применения генетические алгоритмы в реальном масштабе времени из-за необходимости большого числа шагов и неэффективности их работы на глобально-унимодальных функциях в связи с возникающим антагонизмом между их основными стратегиями hyperplane samping и hill-climbing. Кроме того, генетические алгоритмы осуществляют ненаправленный поиск, не обеспечивающий поступательного движения к оптимуму, что не позволяет использовать его результаты в рекуррентных процедурах. К тому же они не приспособлены к работе в условиях статистических помех. Алгоритмы, построенные на статистическом подходе JI.A. Растригина, отвечают как условию локального улучшения в локальных задачах оптимизации, так и обеспечивают нахождение глобального экстремума.

В пятой главе для формализации процедур настройки параметров фильтрации модели ДСП был разработан перспективный метод отыскания оптимума на сложных поверхностях - метод адаптивного случайного поиска, представленный дуальной парой: самого метода поиска и процедуры адаптации его стратегий. Были исследованы и аппроксимированы характеристики, обеспечивающие выработку наилучшего поведения процедур случайного поиска в условиях неопределённого представления целевой функции.

Для выбора характеристики адаптации случайного поиска были рассмотрены естественные аналогии статистической поисковой процедуры -диффузионные процессы, описываемые диффузионным уравнением Ланжевена.

Основную характеристику случайного поиска - смещение вдоль положительной траектории поиска, определяемую последовательностью оценок процедуры поиска, можно характеризовать через плотность вероятности перехода из состояния х траектории в состояние у,

как функции времени

Существуют методики (например, в работах А.И. Яблонского), позволяющие на основе уравнения Фоккера-Планка формализовать оценку апостериорной функции плотности на участках стационарности у нестационарных случайных процессов, но из этих выражений невозможно получить численную оценку для её реализации в поисковой процедуре. Численная оценка апостериорной функции плотности вероятности, как положительной выпуклой функции, реализована в методе адаптивного случайного поиска.

На основе математической интерпретации диффузионных процессов уравнениями Колмогорова, описывающих обобщённо процесс случайных блужданий, можно, используя преобразование эмпирической плотности вероятности для положительной и отрицательной траектории поиска, перейти к классу обучаемых и адаптивных методов случайного поиска.

Прямое уравнение Колмогорова связывает изменение функции плотности вероятности р(я,х,1,у) - переходной плотности потока в

рассматриваемой точке фазового пространства с направлением движения а{() и диффузионным рассеянием а2{() случайного процесса.

Преобразуя прямое уравнение к требованиям поисковой процедуры при условии постоянства среднединамической скорости потока (поиска) и его диффузии (дисперсии) получим безвихревое, консервативное движение потока с потенциалом скорости, что позволяет определять направление движения вдоль положительной траектории в направление оптимума. Это позволяет выбирать направление поиска, как градиент потенциала консервативного поля.

Объединение постановок задач поиска и его адаптации обеспечивает применение обратного уравнения Колмогорова, решение которого обращено к;памяти поисковой процедуры и позволяет учесть влияние отрицательной траектории поиска и априорной информации на его случайные стратегии. Совместные требования к прямому и обратному уравнениям и составляют условия, определяющие существование адаптивного случайного поиска в виде дуальной пары - процедур поиска и адаптации его характеристик.

Для снижения потерь на блуждание поиска Л.А.Растригиным была предложена идея пространственного направляющего конуса, однако эвристичность затруднила её численную реализацию. В данном подходе конус представляет собой численную аппроксимацию переходной плотности вероятности поисковой процедуры, определяющей стратегии пробного анализа. Использование информанта, как способа параметризации условной плотности вероятности, позволяет обосновать реализацию численного способа адаптации. Решение задачи параметрической адаптации динамической модели представлено процедурой многомерного поиска глобального минимума.

Реализация численной аппроксимации плотности распределения в виде направляющего конуса, основана на теории конусов, разработанной в функциональном анализе М.А. Красносельским и П.-Ж. Лораном, как выпуклых множеств, используемых для характеризации точек минимума функционала, и предназначенных для установления признаков наилучшего приближения в процессе поиска. С вычислительной точки зрения конус направлений необходим для поддержания наилучшего, по опыту предыдущих шагов, направления поиска.

В рассматриваемой задаче адаптации случайного поиска конус допустимых направлений с вершиной в текущей точке х{ имеет внутреннее осевое направление и осуществляет пошаговую адаптацию направления поиска формированием допустимого множества пробного анализа.

Для реализации адаптивных свойств поиска параметризуется его информационная структура - распределение вероятности рх(ё) выбора пробного направления, включением в неё настраиваемого параметра в виде и-мерного вектора т = (т[,...,тп), определённого в пространстве )С варьируемых переменных системы. Этот вектор, как модальная оценка пробного направления, задаёт осевое направление конуса с вершиной в х1,

содержащего направления пробных шагов в текущей точке поиска.

Метод адаптивного случайного поиска (АСП) сформирован на основе использования двух стратегий поиска: локальной, направленной на отыскание зоны оптимума и получение оценки аргумента минимума функции цели, и глобальной, пробный анализ которой позволяет преодолеть характеристическую точку функции £)(х), определяющую «перевал», за

которым отсутствует влияние покидаемого локального минимума.

В окрестности оптимума величины шагов АСП определяются по условиям Кифера-Вольфовица. При использовании стратегии глобального поиска величина рабочего шага связана с величиной вершинного угла конуса. Переход к локальной стратегии связан с уменьшением величины пробного шага относительно величины рабочего шага поиска. При этом связь между величинами шагов поиска и углом (р конуса отсутствует.

Для визуализации текущей ситуации поиска с помощью ЗО-интерпретатора строилось графическое изображение поверхности функции Q(x), на основе данных, полученных в процессе поиска, дающее достаточное представление о ходе вычислительного эксперимента.

Из-за сложности проведения теоретического исследования сходимости статистических поисковых процедур выводы делались по результатам экспериментальных исследований свойств этих алгоритмов. Для этого использовался соответствующий набор тестовых функций, который был сформирован из числа известных по литературным источникам и имеющихся в открытом доступе. Дополнительно были разработаны две тестовые функции, учитывающие особенности рельефа целевой функции в задаче

многомерной настройки параметров фильтрации. Для сохранения возможности сравнения результатов отдельных опытов по возможности выдерживались однотипные условия эксперимента.

Исследования подтвердили работоспособность метода, его эффективность в условиях отыскания оптимума глобально унимодальной функции и функции с овражным рельефом дна, что значительно усложняет поиск экстремума, находящегося на «дне оврага», поскольку регулярные локальные технологии здесь теряют свою эффективность, а глобальные -выводят точку поиска из зоны экстремума.

В шестой главе рассматриваются методы и процедуры вычислительного эксперимента, в ходе которого проводились исследования моделей и алгоритмов, полученных в предыдущих главах, описано алгоритмическое и программное обеспечение вычислительного эксперимента, разработанное для экспериментальных исследований динамических предикторных моделей. Провёденные этапы вычислительного эксперимента позволяют утверждать, что процедуры, использованные при программировании, результаты компьютерного моделирования, иллюстрируют работоспособность разработанных математических моделей динамических случайных процессов.

Для проведения вычислительного эксперимента был разработан специализированный программный комплекс, реализованный на языке С#, содержащий все необходимые компоненты. В отличие от универсальных компьютерных пакетов для инженеров эта эксклюзивная программная разработка создаёт для исследователя не только дружественную и комфортную обстановку с необходимым сервисом, но и даёт возможность лучше понять принципы и специфику исследуемых алгоритмических моделей, методов идентификации и прогнозирования.

В ходе эксперимента были поставлены и решены задачи выявления свойств разработанных динамических моделей, выбора алгоритмов настройки параметров моделей, определения зон допустимых значений

настраиваемых параметров и сравнительного анализа разработанных моделей с известными моделями, предназначенными для работы в той же предметной области.

Модели апробировались во всём возможном диапазоне варьирования структур и значений параметров для оценки их эффективности и адаптации к быстро меняющимся условиям эксперимента.

Реализованы два способа имитации основной тенденции случайного процесса: базовые виды дрейфа точки траектории случайного процесса и набор динамических звеньев для представления сложных систем и реализации эффекта альтернирования. В качестве случайной составляющей процесса использовались модели стационарных случайных процессов с несколькими типами распределений наиболее часто исследуемыми и встречающимися на практике.

В ходе эксперимента использовались стандартные оптимизационные и статистические критерии с модифицирующими модулями, использующими итеративные оценки дисперсии, при обработке обновляемой информации. В состав критериев были включены предложенные критерии: оптимизационный критерий с фокусирующей весовой функцией, статистический /^-критерий качества и модификация критерия Бокса-Веца, для сравнения конкурирующих моделей. Для характеризации эмпирического закона распределения использовался непараметрический критерий Колмогорова-Смирнова.

Вычислительный эксперимент состоит из двух разделов в зависимости от источников поступающей для моделирования информации: имитационного и натурализованного. В каждом разделе последовательно выполняются пять этапов, направленные на формирование случайной временной последовательности (СВП), вычислительную реализацию исследуемых моделей, проверку адекватности модели, её модификацию и анализ результатов эксперимента.

Для реализации СВП в имитационном разделе разработаны наборы «Виды дрейфов» или «Динамика», имитирующие поведение основной тенденции исследуемого динамического процесса, с наложением сгенерированных значений случайных величин с заданным законом распределения. В натурализованном разделе СВП получается из результатов натурного эксперимента путём выделения из неё полезного сигнала, определяемого теоретическим аналогом.

В качестве сведений об исследуемых процессах использовались данные, снятые с датчиков ветрогенератора, и изменения технических индексов электронных торговых площадок.

В ходе подготовки и проведения вычислительного эксперимента был создан специализированный программный комплекс, который является проблемно-ориентированной средой для проведения в конкретной форме компьютерного эксперимента.

При разработке программного комплекса использована Visual Studio 2Ö08 Express - свободно распространяемая версия Visual Studio .NET. Важным моментом явилась возможность включения в программное обеспечения имеющихся наработок, выполненных в среде Delphi.

Управление исследовательскими программами вычислительного эксперимента осуществляется с помощью интеллектуального пользовательского интерфейса программного комплекса, поддерживающего стандарты разработки прикладного программного обеспечения, ориентирующего пользователя на проведение активных исследований и предоставляющего возможности выхода в необходимые программные приложения, в том числе и в Интернет.

Модули графического представления данных дополняют картину эксперимента, результаты расчётов также можно экспортировать в приложения Microsoft Office.

В ходе компьютерного эксперимента использовалась возможность оперирования структурными параметрами Д11М, определяющими вид

динамической модели, такими как порядок модели и её дифференциальные характеристики и настройка параметров фильтрации адаптивной процедурой случайного поиска.

В исследовании участвовали модели семейства ДПМ и близкие по возможностям и области применения модели Брауна и Калмана. В ходе эксперимента использовались расчётные формулы модели Брауна, удобные для программной реализации и стандартный программный модуль фильтра Калмана, имеющийся в открытом доступе.

Сравнение предикторной модели ДПМ проводилось с полиномиальной моделью Брауна и фильтром Калмана как в условиях стабильности, так и альтернирования основной тенденции, при осцилляции со скачкообразным изменением величины амплитуды.

Анализ результатов эксперимента показывает, что ориентированные на динамику случайного процесса модели семейства ДПМ более адекватно реагируют на альтернированное поведение исследуемого процесса в отличие от модели Брауна, результаты которой можно считать приемлемыми при плавном изменении основной тенденции процесса.

Приоритетность ДПМ в сравнении с фильтром Калмана проявлялась также при альтернировании основной тенденции в присутствии реального шума. В оперативном моделировании текущих показателей мощности ветрогенератора использование фильтра Калмана во многих случаях приводило к расходимости получаемых оценок.

Для сравнения моделей использовалось текущее расчётное значение /3-критерия, как отношение среднеквадратических невязок по точкам траектории альтернирующей основной тенденции. Приоритетность ДПМ в условиях стабильности значений основной тенденции по /2-критерия составила для ДПМ 0.85, для фильтра Калмана 0.96, для модели Брауна 0.98, что в относительной шкале критерия составляет рассогласование около 15%.

Исследования показали, что к областям преимущественного применения динамических предикторных моделей в сравнении с моделями

Брауна и Калмана относится моделирование систем с альтернированием, сложных систем, состояние которых описывается динамическими случайными процессами с высоким порядком стационарных приращений.

Для определения закономерности долговременного поведения системы использовались первые члены в предикторах динамического ядра моделей ДПМ. Так при медленном дрейфе использовались первые члены предиктора моделей с подобранной величиной а.

Для описания нерегурярного поведения основной тенденции процесса использовалась полная конфигурация ДПМ-модели в супремальной форме. Расчёты по алгоритмической настройке фильтрационного параметра для скалярного варианта проводилась методом парных проб. Если параметр фильтрации задавался в векторной форме, то настройка проводилась методом адаптивного случайного поиска.

В ходе натурализованного эксперимента, когда в качестве реальных аналогов исследуемых процессов использовались данные, снятые с датчиков ветрогенератора, было установлено, что последовательность приращений третьего порядка стационарна с математическим ожиданием близким к нулю и постоянным среднеквадратическим отклонением не выше 15% от средней амплитуды процесса.

При стандартной интенсивности стационарного приращения Н(/) третьего порядка ошибка прогноза по ДПМ второго порядка на величину 3 шагов составила 0.16, а по ДПМ третьего порядка - 0.03.

Прогнозирование осциллирующей тенденции и динамики, начиная со второго порядка, приводит к необходимости воспользоваться ДПМ не ниже третьего порядка. Так по данным индексов с площадки «Рогех» возможен уверенный (85%) прогноз до трёх шагов, с величиной относительной ошибки не более 0.1, в 3% прогноз оказывался ложным.

В седьмой главе описаны особенности внедрения в производство разработанных в ходе диссертационных исследований математических моделей, которое проводилось по трём направлениям: описание динамики

профиля поверхности изделия, получаемого в результате механической обработки, для оперативного контроля состояния кромки режущего инструмента; идентификация личностей собеседников в кабине локомотива по аудиозаписи и оперативная оценка характеристики процесса полимеризации, недоступной для измерения в реальном времени.

По каждой производственной задаче с учётом характеристик предметной области, было разработано алгоритмическое и программное обеспечение, сформулированы приёмы и способы внедрения в производство результатов, полученных в ходе теоретических исследований и вычислительного эксперимента.

Апериодический профиль поверхности, рассматриваемый как случайная функция, описан ДПМ-моделью третьего порядка. Адекватность описания, позволяющая получать оперативную оценку качества обработки поверхности, отвечает требованиям заказчика. По результатам математического моделирования оценивались следующие ГОСТовские показатели профиля: относительная опорная длина, средняя высота неровности и средний шаг местных выступов. Кроме качества обработки изделия эти нормативные показатели позволяют оценить фактическую площадь контакта с кромкой режущего инструмента, на основе чего оценивается износ и принимается решение о замене резца.

Исключение «человеческого фактора» из процесса контроля и внедрение автоматизированного способа оценки на основе математического моделирования динамики профиля обработки позволило снизить процент брака выпускаемых изделий, оптимизировать момент заточки резца. Это привело к увеличению рабочего ресурса режущего инструмента, существенному снижению расхода электроэнергии на единицу рабочего времени станка и увеличению производительности труда на производственном участке.

Качество и полезность данной разработки подтверждено Актом внедрения.

Использование приёмов регрессионного моделирования, фильтра Калмана, классических полосовых фильтров на БПФ и решётчатых фильтров, которые часто используются при решении задач обработки речи, не позволяет идентифицировать индивидуальность собеседника на основе аудиоданных, записанных в небольшом помещении на фоне производственных шумов.

С целью идентификации личностей собеседников по аудиозаписи, сделанной в кабине локомотива, был разработан адаптивный фильтр на базе динамической предикторной модели пятого порядка, способный не только удалять из записи беседы искажающий шум, сохраняя смысловую составляющую сообщения, но и выделять основную часть информации, характеризующую индивидуальность собеседника. Для идентификации личности говорящего сохранялась составляющая сигнала, которую принято называть основным тоном. С учётом особенностей временной фильтрации, определена величина временного блока моделирования равная 200 мс, необходимая для фильтрации, выявления особенностей звукового сигнала и идентификации личности.

В ходе проведённых экспериментов была определена последовательность конвертаций форматов от текстового файла, использовавшегося в моделировании до представления звукового ряда в форме WAV файла.

Качество и полезность данной разработки подтверждает Акт внедрения.

Оперативная оценка вязкости по Муни, как характеристики процесса полимеризации и качества конечного продукта, недоступной для измерения в реальном времени, рассчитывается с помощью динамической модели второго порядка по хронологической статистической числовой последовательности, сформированной из данных полученных по эмпирической зависимости от косвенных показателей: температуры реакции полимеризации, конверсии мономеров на выходе первого реактора, среднемассовой молекулярной

массы полимера по данным кинетической модели, из лабораторных анализов и иными способами.

Предложенная методика алгоритмической оценки оперативно неизмеряемого показателя качества полимеризации рассматривается для включения в опытную эксплуатацию на ОАО «Синтезкаучук».

В заключении сформулированы основные научные и практические результаты диссертационного исследования.

В приложении представлены акты внедрения результатов диссертационной работы, Свидетельство о государственной регистрации программного комплекса и модулей, приведены отдельные результаты исследований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Каладзе, Владимир Александрович

7.4. Выводы

Результаты проведённых испытаний в процессе внедрения в производство диссертационных разработок подтвердили достоверность выдвинутых теоретических положений и выводов, сделанных в ходе вычислительных экспериментов. В каждой производственной задаче, разработаны алгоритмическое и программное обеспечение, сформулированы приёмы и способы внедрения.

В ходе описания ДПМ-моделью третьего порядка апериодического случайного профиля поверхности изделия, получаемого в результате механической обработки, была решена задача определения качества обработки изделий и оперативного контроля состояния кромки режущего инструмента.

Модельные оценки пересчитывались в ГОСТовские показатели, на основании которых оценивалось качество обработки изделия и фактическая площадь контакта с кромкой режущего инструмента, которая позволяет принимать решение об уровне износа и замене резца.

Исключение «человеческого фактора» из процесса контроля и внедрение автоматизированного способа оценки на основе математического моделирования динамики профиля обработки позволило снизить процент брака выпускаемых изделий, оптимизировать момент заточки резца. Это привело к увеличению рабочего ресурса режущего инструмента, существенному снижению расхода электроэнергии на единицу рабочего времени станка и увеличению производительности труда на участке.

Для идентификации личностей собеседников в кабине локомотива был сформирован адаптивный фильтр аудиозаписи переговоров на основе ДПМ-модели, способный не только удалять из записи беседы искажающий шум, сохраняя смысловую информацию сообщения, но и выделить основной тон речи, характеризующий индивидуальность собеседника.

Использование приёмов регрессионного моделирования, фильтра Калмана и классических полосовых фильтров на БПФ не позволяет идентифицировать индивидуальность собеседника из речи, записанной в небольшом помещении на фоне производственных шумов.

Для идентификации личности говорящего выделялась составляющая сигнала, которую считают основным тоном. С учётом особенностей временной фильтрации, определена величина временного блока моделирования равная 200 мс, необходимая для фильтрации, выявления особенностей звукового сигнала и идентификации личности.

В ходе проведённых экспериментов была определена последовательность конвертаций форматов от текстового файла, t использовавшегося в моделировании до представления звукового ряда в форме WAV файла.

Частота дискретизации, квантование по уровню и разрядность были приняты в соответствии со стандартом импульсно-кодовой модуляции Pulse Code Modulation (PCM), с частотой дискретизации 44,1 кГц и разрядностью квантования 16 бит.

Эффективными моделями семейства ДПМ для звукового ряда оказались модели от третьего до пятого порядка включительно. В связи с мало различимыми вычислительными сложностями этих моделей во всех исследованиях и во внедрённом варианте программного обеспечения, использовалась ДПМ-модель пятого порядка.

Оперативная оценка вязкости по Муни, как характеристики процесса полимеризации и качества конечного продукта, недоступной для измерения в реальном времени, получена с помощью динамической модели второго порядка по хронологической статистической числовой последовательности.

Необходимая исходная информация для расчёта оперативной оценки данного показателя определялась по эмпирической зависимости от косвенных показателей: температуры реакции полимеризации, конверсии мономеров на выходе первого реактора, среднемассовой молекулярной массы полимера по данным кинетической модели, из лабораторных анализов и иными способами.

290

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Произведён системный анализ известных научных разработок по теме диссертации.

2. Введён новый принцип формирования моделей случайных процессов со стационарными приращениями, на основе которого формализована методология формирования динамических предикторных моделей динамических случайных процессов.

3. Сформулирован и доказан цикл основных теорем, определяющих структуру динамических предикторных моделей.

4. Получено ДПМ-семейство из пяти алгоритмических моделей динамических случайных процессов.

5. Впервые сформулирован и реализован подход к решению проблемы реконструкции многомерной структуры сложной системы на основе распараллеливания наблюдаемой информации, поступающей в виде скалярной выборочной функции динамического случайного процесса.

6. Предложена и реализована модульная конфигурация интегрированных математических моделей динамических случайных процессов в составе динамического ядра (включающего предиктор и параметровариатор), каскадного фильтра и адаптивного случайного поиска, интегрированного в состав модели в виде дополнительного модуля.

7. Формализовано динамическое ядро алгоритмических моделей динамических случайных процессов, реконструирующее многомерную структуру сложной системы.

8. В ходе доказательства основных теорем выведен каскадный фильтр с эффективным экспоненциальным преобразованием, как метод динамической статистики, фильтрующий и распараллеливающий скалярную случайную временную последовательность в структурный вектор модели.

9. Введён новый принцип структурной адаптации модели, использующий оценку порядка стационарного приращения и структурную функцию случайного процесса.

10. Формализована задача статистической оценки динамики случайного процесса на основе кросс-структурных функций.

11. Сформулирован и доказан дуальный принцип адаптации статистических поисковых процедур, использующий функцию плотности вероятности в стратегии выбора шага поиска.

12. На базе разработанного адаптивного метода случайного поиска сформированы алгоритмы настройки параметров динамических моделей случайных процессов со стационарными приращениями.

13. Предложен метод формирования тестовых функций с заданными свойствами, использующий принцип самоподобия аналитической формы. Реализованы этим методом две тестовые функции глобально унимодального вида со сложными оврагами.

14. Разработана концепция вычислительного эксперимента для исследования математических моделей динамических случайных процессов, использующая данные натурных экспериментов и имитационных динамических случайных процессов со специализированными критериями и методами обработки результатов, реализованная специализированным программным комплексом.

15. Создан специализированный программный комплекс «Предметно-ориентированная среда алгоритмического моделирования динамики нестационарных случайных процессов», предназначенный для проведения компьютерных исследований по теме диссертации.

16. Получены результаты вычислительных экспериментов, подтверждающих эффективность диссертационных разработок и промышленной апробации разработанных технологий моделирования.

17. В рамках ДПМ-подхода осуществлена алгоритмизация оценивания эффективного рабочего ресурса режущего инструмента, процесса идентификации личностей собеседников по аудиозаписи в кабине локомотива и оперативного оценивания неизмеряемого в реальном времени показателя качества процесса сополимеризации.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Каладзе, Владимир Александрович, 2013 год

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Айвазян С. А. Прикладная статистика, основы эконометрики. В 2 т; Т. 1. Теория вероятностей и прикладная статистика / С. А. Айвазян, В. С. Мхитарян. - М.: ЮНИТИ, 2001. - 656 с.

2. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов/ Т. Андерсон. - М.: Мир, 1976. - 757 с.

3. Бабкин A.B. Численные методы в задачах физики быстропротекающих процессов / A.B. Бабкин, В.И. Колпаков. - М.: МГТУ, 2Ö06. - 520 с.

4. Брело М. Основы классической теории потенциала/ М. Брело. -М.: Мир. 1964.-212 с.

5. Валеев С.Г. Регрессионное моделирование при обработке данных/ С.Г. Валеев. - Казань: ФЭН, 2001. - 296 с.

6. Везумский А.К. Пор1вняння алгоритм1в оптим1защ1 проб помилок при проектуванш 3aco6iB обчислювальних систем / А.К. Везумский, В.В. Карманова, Н.В. Кирхар //Проблеми шформащйних технологш. - 2008. - №3. - С.173-177.

7. Веселова Г.П. Стохастическое квантование и статистический анализ случайных процессов/ Г.П. Веселова, Ю.И. Грибанов. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 152 с.

8. Виленкин С.Я. Фильтрация и экстраполяция процессов со стационарными приращениями на цифровых машинах/ С.Я. Виленкин // Автоматика и телемеханика, 1970, № 8. - С. 32—40.

9. Воеводин В.В. Численные методы, параллельные вычисления и информационные технологии/ В.В. Воеводин, Е.Е. Тартышников. - М.: МГУ, 2008. - 323 с.

10. Воскобойников Ю.Е. Рекуррентное оценивание в динамических системах/ Ю.Е. Воскобойников. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. - 96 с.

11. Галеева А.А., Ганцева Е.А., Каладзе В.А. Пакет программ самонастраивающихся алгоритмов поисковой оптимизации. Гос.ФАП, рег. № 50200300741 от 23.04.2003. -М.: ВНТИЦ, 2003.

12. Ганцева Е.А. Вероятностная мера адаптивных процедур/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе // Вестник ВГТУ, вып. 8.3. -Воронеж: ВГТУ, 2003. -С. 25-31.

13. Ганцева Е.А. Вычислительный эксперимент в исследовании свойств динамических предикторных моделей / Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе // Информационные технологии моделирования и управления, № 4 (69). -Воронеж, 2011. - С. 426-434.

14. Ганцева Е.А. Динамические модели нестационарных случайных процессов/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, Г.А. Каладзе// Вестник ВГТУ. Том 2, № 5. - Воронеж: ВГТУ, 2006. - С. 4-8.

15. Ганцева Е.А. Исследование Д11М в вычислительном эксперименте/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе//Материалы 9-й междунар.научн.конф. «Информатика: проблемы, методология, технологии». -Воронеж: ВГУ, 2009. - С. 331-334.

16. Ганцева Е.А. Количественное представление семантической информации/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, Г.В. Каладзе// Вестник ВГТУ. Вып. 8.1. - Воронеж: ВГТУ, 2001. - С. 32-37.

17. Ганцева Е.А. Обучающая нечёткая продукционная система / Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, Г.В. Каладзе // Труды VI междунар. науч.-метод. конф. «Информатика: проблемы, методология, технологии». - Воронеж: ЦГУ, 2006.-С. 535-540.

18. Ганцева Е.А. Основная методология формирования структуры предикторов / Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, Г.А. Каладзе// Сборник научн. трудов VII междун. конф. «Современные сложные системы управления СССУ/НТС8 '2005». - Воронеж: ВГАСУ, 2005. Том 2. - С. 41-45.

19. Ганцева Е.А. Параметрическая идентификация модели процесса полимеризации бутадиен-стирольного каучука/ Е.А. Ганцева, В.И. Дорофеев,

A.A. Рыльков // Проблемы информатизации и управления: сб. науч. тр. -Воронеж: ВГТУ, 1996. - С. 133-140.

20. Ганцева Е.А. Предикторные алгоритмические модели нестационарных случайных процессов/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, Г.А. Каладзе// Вестник ВГТУ. Том 1, № 5. - Воронеж: ВГТУ, 2005. - С. 25-28.

21. Ганцева Е.А. Программный комплекс «Скользящие предикторы в поддержке принятия решений» / Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, A.B. Ерофеев, Г-.В. Каладзе. ФАП ВНТИЦ, per. № 50200401035 от 20.08.2004. - М.: ВНТИЦ, 2004.

22. Ганцева Е.А. Программный модуль «Фильтрация нестационарных случайных процессов»/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, P.M. Клёмин// Государственный фонд алгоритмов и программ, per. № 50201100089 от 25.01.2011.

23. Ганцева Е.А. Самонастройка экспоненциального фильтра методом случайного поиска / Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, З.Н. Сысоев // Всеросс. конф. «Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах». - Москва-С-Петербург-Воронеж, 2010. - С. 24-28.

24. Ганцева Е.А. Свойства эффективного преобразования каскадного фильтра/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, В.А. Савченко // Межвуз. сб. научн. трудов «Прикладные задачи моделирования и оптимизации». - Воронеж, 2009. - С. 202-205.

25. Ганцева Е.А. Систематическое отклонение оператора экспоненциального сглаживания/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе// Всероссийская конференция «Интеллектуальные информационные системы». - Воронеж: ВГТУ, 2009.-С. 34-35.

. 26. Ганцева Е.А. Системный подход к количественному описанию семантической информации/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, Г.В. Каладзе // «Техника машиностроения». - М.: № 5, 2002. - С. 37-42.

27. Ганцева Е.А. Случайный поиск в параметрической настройке каскадного фильтра / Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе // Материалы 11 междунар.

научн. конф. «Информатика: проблемы, методология, технологии». -Воронеж: ВГУ, 2011. - С. 188-192.

28. Ганцева Е.А. Сравнительный анализ операторов статистического оценивания/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, Г.А. Каладзе// Вестник ВГТУ. Том 1, № 5. - Воронеж: ВГТУ, 2005. - С. 14-17.

29. Ганцева Е.А. Тестовые функции случайного поиска/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, Н.А. Тюкачёв // Труды первой Всеросс. конф. Критические технологии вычислительных и информационных систем. -Воронеж: МИКТ, 2011. - С. 108-120.

30. Ганцева Е.А. Учет ограничений при конструировании поисковых алгоритмов/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе // Техника машиностроения, № 5 (39).-М., 2002.-С. 66-67.

31. Ганцева Е.А. Физические аналоги поисковых систем / Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе// Труды Всероссийской конф. «Новые технологии в научных исследованиях» - Воронеж: ВГТУ, 2011. - С. 93-94.

32. Ганцева Е.А. Формирование каскадного фильтра и настройка его параметров/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе// Сборник докл. междунар. научн. конф. «Информационные технологии в связи, вычисл. технике и энергетике». -Воронеж: МИКТ, 2010. - С. 25-30.

33. Ганцева Е.А. Характеристики каскадной фильтрации динамической предикторной модели/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе// Материалы 10 междунар. научн. конф. «Информатика: проблемы, методология, технологии». - Воронеж: ВГУ, 2010. - С. 186-190.

34. Ганцева Е.А. Частотные характеристики оператора экспоненциального сглаживания/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе // Всероссийская конф. «Интеллектуальные информационные системы». -Воронеж: ВГТУ, 2009. - С. 80.

. 35. Гельфанд A.M. Цифровая фильтрация многомерных взаимозависимых нестационарных процессов/ A.M. Гельфанд, С.И. Хмельник. -М.: НПО «Дельфин - Информатика», 2007. - 105 с.

36. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей/ А.О. Гельфонд. - M.: URSS. Изд.5, 2012. 376 с.

37. Гжиров Р.И. Краткий справочник конструктора/ Р.И. Гжиров. -JL: Машиностроение, 1983. - 464 с.

38. Годунов С.К. Разностные схемы (Введение в теорию)/ С.К. Годунов, B.C. Рябенький. -М.: Наука, 1977. - 440 с.

39. ГОСТ 2789-73. Шероховатость поверхности. Параметры и характеристики. Введён 01.01.81.

40. Дейч A.M. Методы идентификации динамических объектов/ A.M. Дейч. - М.: Энергия, 1979. - 240 с.

41. Дорофеев Д.В. Автоматизированный способ оценивания на основе ДПМ-подхода вязкости по Муни сополимера / Д.В. Дорофеев, В.А. Каладзе// Информационные технологии моделирования и управления, № 3 (68). - Воронеж, 2011. - С. 306-313.

42. Дорофеев Д.В. Синтез многомерного модального регулятора в АСУТП полимеризации бутадиен-стирольных каучуков/ Д.В. Дорофеев, C.JI. Подвальный // Промышленные АСУ и контроллеры. - М., 2002. № 6. - С. 2426.

43. Дружинин Н.К. Логика оценки статистических гипотез/ Н.К. Дружинин. - М.: Статистика, 1973. - 114 с.

44. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой/ C.B. Емельянов. - М.: Наука, 1967. - 336 с.

45. Емельянов C.B. Технология системного моделирования/ C.B. Емельянов, A.A. Вавилов, М. Франк и др. - М.: Машиностроение; Berlin: Technik, 1988.-520 с.

46. Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. Единый подход/ У.И. Зангвилл. - М.: Сов. радио, 1973. - 312 с.

47. Исайкин С.Ю. Программный комплекс «Выделение отражённого полезного сигнала на фоне статистического шума» / Исайкин С.Ю., В.А.

Каладзе. ФАП ВНТИЦ, per. № 50201000934 от 09.06.2010. - М.: ВНТИЦ, 2010.

48. Ито К. Диффузионные процессы и их траектории/ К. Ито, Г. Маккин. - М.: Наука, 1968. - 256 с.

49. Каладзе В. А. Адаптация случайного поиска методом направляющего конуса/ В.А. Каладзе // Вестник ВГТУ. Том 8, № 1. -Воронеж: ВГТУ, 2012. - С.31-37.

50. Каладзе В.А. Адаптация стратегий случайного поиска в экстремальных задачах оптимизации/ В.А. Каладзе// Материалы 2 междун. науч. конф. «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования». - Воронеж: ВГТУ, 2007. - С. 84.

51. Каладзе В.А. Адаптивные оценки параметров фильтра Калмана / В.А. Каладзе // Труды международной научно-технич. конференции «Информационные и управляющие системы в пищевой и химической промышленности». - Воронеж, ВГТА, 2009. - С. 75-76.

52. Каладзе В.А. Алгоритмические модели динамических случайных процессов // Всероссийская конф. «Интеллектуальные информационные системы». - Воронеж: ВГТУ, 2009. - С. 49-50.

53. Каладзе В.А. Алгоритмические модели и структурные функции динамических случайных процессов/ В.А. Каладзе// Системы управления и информационные технологии. - Москва-Воронеж: № 3 (41), 2010. - С. 4-7.

54. Каладзе В.А. Динамические случайные временные последовательности/ В.А. Каладзе // Международная научно-техническая конференция «Информационные и управляющие системы в пищевой и химической промышленности». - Воронеж: ВГТА, 2009. - С. 77-80.

55. Каладзе В.А. Задача моторного повторения хаотичных движений объекта // Сб. докладов междун. науч. конф. «Компьютерные технологии в технике и экономике». - Воронеж: МИКТ, 2007. - С. 30-36.

!

56. Каладзе В.А. Информантный метод параметрической адаптации случайного поиска/ В.А. Каладзе // Сборник трудов межд. конф. ММТТ-21. -Саратов: СГТУ, 2008. - С. 73-75.

57. Каладзе В.А. Исследование потенциальных характеристик случайного поиска как механизмов адаптации/ В.А. Каладзе // Системы управления и информационные технологии. - Москва-Воронеж, № 2, 2008. -С. 28-32.

58. Каладзе В.А. Каскадный фильтр динамической модели и его экспоненциальное преобразование/ В.А. Каладзе // Вестник ВГТУ. Том 6, № 12. - Воронеж: ВГТУ, 2010. - С. 147-151.

59. Kaladze V.A. Mathematical models of casual processes with stationary increments and the non-uniform information dynamic processing: Monograph. - Lorman, MS, USA: Science Book Publishing House, 2012. -136 p.

60. Каладзе В.А. Многоуровневые адаптивные алгоритмы случайного поиска. Кандидатская диссертация/ В.А. Каладзе. - Рига, 1974. -133 с.

61. Каладзе В.А. Множественность форм экспоненциального фильтра/ В.А. Каладзе. - Воронеж: Вестник ВГУ, № 2, 2009. - С. 59-63.

62. Каладзе В.А. Одноуровневые методы фильтрации как инструмент исследования динамических случайных процессов/ В.А. Каладзе // Системы управления и информационные технологии. - Москва-Воронеж, № 3.1 (45), 2011.-С. 147-151.

63. Каладзе В.А. Описание и оценка шероховатости изделий методами статистической динамики / В.А. Каладзе, В.Н. Шапошников // Ползуновский вестник. - Барнаул, № 2, 2010. - С. 71-76.

64. Каладзе В.А. Оптимальность итеративных форм // Всероссийская конф. «Интеллектуальные информационные системы». - Воронеж: ВГТУ, 2009.-С. 84-85.

65. Каладзе В.А. Оценка неопределённости в алгоритмах адаптации/ В.А. Каладзе // Труды 8-й Межд. нар. науч. конф. «Информатика: проблемы, методология, технологии», т. 1. - Воронеж: ВГУ, 2008. - С. 242-246.

66. Каладзе В.А. Оценка погрешности моделирования динамической предикторной моделью основной тенденции нестационарного случайного процесса // Меж. вуз. сб. научн. трудов «Прикладные задачи моделирования и оптимизации». - Воронеж, 2008. - С. 149-153.

67. Каладзе В.А. Программный модуль «Рекурсивная система фильтрации и прогнозирования нестационарных случайных процессов» /В.А. Каладзе, В.В. Сухоруков // Государственный фонд алгоритмов и программ, per. № 50201150760 от 14.06.2011.

68. Каладзе В.А. Случайный поиск: статистика и нечёткость // Материалы 7 междун. науч. конф. «Информатика: проблемы, методология, технологии». - Воронеж: ВГУ, 2007. - С. 173-178.

69. Каладзе В.А. Статистический критерий оценивания качества структурных и алгоритмических моделей/ В.А. Каладзе // Сб. научных статей по материалам Всеросс. научно-практич. конф. «Информатизация образования. Информационные технологии в АСУ». - Воронеж: ВВАИУ, 2008.-С. 99-104.

70. Каладзе В.А. Стохастические структуры динамических моделей: формализация динамического ядра / В.А. Каладзе // Системы управления и информационные технологии. - Москва-Воронеж, № 4 (38), 2009. - С. 12-15.

71. Каладзе В.А. Фильтрующие модели статистической динамики/ В.А. Каладзе. - Воронеж: Вестник ВГУ, № 1, 2011. - С. 22-28.

72. Каладзе В.А. Эффективность случайного поиска с управляемой дисперсией/ В.А. Каладзе, П.А. Мороз, Я.С. Рубинштейн //Автоматика и вычислительная техника. - Рига, № 3, 1972. - С. 16-21.

73. Калман Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб. - М.: Мир, 1971.-400 с.

74. Калюжный А.Я. Метод очистки речи от шума в пространстве состояний/ А .Я. Калюжный, В.Ю. Семёнов. - Киев: Труды Института гидромеханики HAH Украины, № 8, 2008. - С. 128-134.

75. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей / А.Н. Колмогоров // Известия АН СССР, 1941, № 5. - С. 8-14.

76. Колмогоров А.Н. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме/ А.Н. Колмогоров // Успехи математических наук, №5, 1938.-С. 5-41.

77. Колмогоров А.Н. Кривые в гильбертовом пространстве, инвариантные к однопараметрической группе движений/ А.Н. Колмогоров // ДАН СССР, 1940, т. 26. - С. 6-9.

78. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса/ А.Н. Колмогоров // ДАН СССР, 1941, т. 30, № 4. - С. 299-303.

79. Колмогоров А.Н. Рассеяние энергии при локально изотропной турбулентности/ А.Н. Колмогоров // ДАН СССР, 1941, № 32, № 1. - С. 19-21.

80. Колмогоров А.Н. Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в гильбертовом пространстве/ А.Н. Колмогоров // ДАН СССР 1940, т. 26, № 1.-С. 115-118.

81. Корепанов Э.Р. Развитие алгоритмического и программного обеспечения для синтеза фильтров Пугачёва / Э.Р. Корепанов // Системы и средства информатики. Спец. вып. -М.: Наука. Физматлит, 2001. - С. 37-42.

82. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов/ М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, A.B. Соболев. - М.: Наука, 1985. - 256 с.

83. Кривулин Н.К. Вычисление показателя Ляпунова в стохастических динамических моделях систем с очередями/ Н.К. Кривулин. -С-ПбГУ: Академия, 2008. - 35 с.

84. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа/ К. Ланцош. - М.: Физматгиз, 1961. - 524 с.

85. Ллойд Э. Справочник по прикладной статистике. Т.2. / Э. Ллойд, У. Ледерман. Пер. с англ., под ред. Ю.Н. Тюрина, С.А. Айвазяна - М.: Финансы и статистика, 1990. - 526 с.

86. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов/ Ю.П. Лукашин. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 416 с.

87. Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Расчёт и реализация/ Г. Лэм. - М.: Мир, 1982. - 592 с.

88. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику/ Г.Г. Малинецкий. - М.: Э'диториал УРСС, 2001. - 253 с.

89. Маслов Е.П. Самонастраивающиеся системы управления с моделью/ Маслов Е.П., Осовский Л.М.// Автоматика и телемеханика, 1966, № 6.-С. 121-129.

90. Мейер П.-А. Вероятность и потенциалы/ П.-А. Мейер. - М.: Мир, 1973.-326 с.

91. Монин A.C. Статистическая гидромеханика/ A.C. Монин, A.M. Яглом. - М.: Наука, ч. 2, 1967. - 720 с.

92. Мун Ф. Хаотические колебания/ Ф. Мун. - М.: Мир, 1990. -312 с.

93. Назин A.B. Адаптивный выбор вариантов: рекуррентные алгоритмы/ A.B. Назин, A.C. Позняк. - М.: Наука, 1986. - 288 с.

94. Научно-технический отчёт КБ НТЦ ОАО «Агроэлектромаш». -Воронеж, 8, кн. № 4, 2007. - 153 с.

95. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. -М.: Мир, 2003.-408 с.

96. Орлов Ю.Н. Кинетические уравнения для прогнозирования нестационарных временных рядов/ Ю.Н. Орлов, К.П. Осминин. - М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша, РАН, 2008.

97. Палей М.А. Отклонения формы и расположения поверхностей. 2-е издание/ М.А. Палей. - М.: Изд-во стандартов, 1973. - 244 с.

98. Панченко Т.В. Генетические алгоритмы. - Астрахань: Астраханский университет, 2007. — 187 с.

99. Пичугина К.Н. Адаптивный алгоритм оценивания вектора состояния динамической системы/ К.Н. Пичугина // Сборник научных трудов НГТУ, № 2(52), 2008. - С. 29-34.

100. Подвальный C.JL Моделирование промышленных процессов полимеризации/ C.JI. Подвальный. - М.: Химия, 1979. - 256 с.

101. Поляк Б.Т. Условия сходимости алгоритмов стохастической аппроксимации/ Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин // Автоматика и телемеханика, № 3,

1973.-С. 35-47.

102. Пугачёв B.C. Основы статистической теории автоматических систем / B.C. Пугачёв, И.Е. Козаков, Л.Г. Евланов. - М.: Машиностроение,

1974.-412 с.

103. Пугачёв B.C. Стохастические дифференциальные системы/ B.C. Пугачёв, И.Н. Синицин. Анализ и фильтрация. - М.: Наука, 1990. - 630 с.

104. Пугачев B.C. Стохастические системы. Теория и программное обеспечение/ B.C. Пугачёв, И.Н. Синицин // Юбилейный сборник трудов Отделения информатики, вычислительной техники и автоматизации РАН. -М.:Т. 1, 1993.-С. 75-93.

105. Растригин Л.А. Современные принципы управления сложными объектами. / Л.А. Растригин. - М.: Сов. радио, 1980. - 232 с.

106. Растригин Л.А. Статистические методы поиска / Л.А. Растригин. -М.: Наука, 1968.-376 с.

107. Растригин Л.А. Системы экстремального управления / Л.А. Растригин. - М.: Наука, 1974. - 632 с.

108. Растригин Л.А. Случайный поиск в процессах адаптации. / Л.А. Растригин. - Рига.: Зинатне, 1973. - 132 с.

109. Ройтенберг Я.Н. К теории систем с альтернированием/ Я.Н. Ройтенберг // Прикладная математика и механика, т. 25, вып. 4, 1961. - С. 691-704. Доложено на 4-м Всесоюзном математическом съезде.

110. Ройтенберг Я.Н. Некоторые задачи управления движением/ Я.Н. Ройтенберг. -М.: Физматгиз, 1963. - 140 с.

111. Романенко А.Ф. Вопросы прикладного анализа случайных процессов/ Романенко А.Ф., Сергеев Г.А. - М.: Советское радио, 1968. -256с.

112. Рудакова И.В. Использование метода главных компонент в алгоритмах обнаружения нарушений в ходе технологических процессов / И.В. Рудакова, JI.A. Русинов, O.A. Ремизова // Мехатроника, автоматизация, управление. - М.: № 7, 2006. - С. 21-24.

113. Рыжов Э.В. Опорная площадь поверхностей, подвергнутых механической обработке // Вестник машиностроения, 1964, № 4. - С. 56-62.

114. Сажере Ю. Анри Пуанкаре. Антология/ Ю. Сажере, Ж. Адамар, JI. Де Бройль. - М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 64 с.

115. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем/ A.A. Самарский. -М.: Наука, 1971. - 553 с.

116. Самарский A.A. О разностных схемах для многомерных дифференциальных уравнений математической физики/ A.A. Самарский // Aplikace Matematiky, 10, № 2, 1965. - С. 146-164.

117. СВИДЕТЕЛЬСТВО о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011612349. Программный комплекс «Предметно-ориентированная среда алгоритмического моделирования динамики нестационарных случайных процессов». Правообладатели-авторы: Каладзе В.А., Ганцева Е.А. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 21 марта 2Ö11 г.

118. Синицын И.Н. Информационные технологии синтеза параметризованных фильтров Пугачёва/ И.Н. Синицын, В.И. Синицын, Э.Р. Корепанов, В.В. Белоусов. - М.: Наукоёмкие технологии, № 7, 2004. С. 50 -79.

119. Синицын И.Н. Современное методическое и программное обеспечение анализа качества и моделирования стохастических систем управления/ И.Н. Синицын, В.И. Синицын, Э.Р. Корепанов, В.В. Белоусов // Труды III международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» (SICPRO'04), 2004. CD-ROM. - С. 17 - 43.

120. Синицын И.Н. Фильтры Калмана и Пугачёва/ И.Н. Синицын. -М.: Университетская книга, Логос, 2006. - 640 с.

121. Стоянцев В.Т. Об одном способе вычисления плотности распределения в случайном поиске/ В.Т. Стоянцев. - В кн.: Проблемы случайного поиска, вып. 2. - Рига: «Зинатне», 1973. - С. 157-166.

122. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флкжтуаций в радиотехнике/ Р.Л. Стратонович. - М.: Советское радио, 1961. - 558 с.

123. Татарский В.И. Второе приближение в задаче о распространении волн в среде со случайными неоднородностями/ В.И. Татарский // Изв. Высш. Учеби. Завед., Радиофизика, 5, № 3, 1962. - С. 490-507.

124. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере/ В.И. Татарский. - М.: Наука, 1967. - 548 с.

125. Татарский В.И. Теория флюктуационных явлений при распространении волн в турбулентной атмосфере/ В.И. Татарский. - М.: Изд-во АН СССР, 1959.

126. Тихонов А. Т. Методы решения некорректных задач/ А.Т. Тихонов, В.Я. Арсенин. - М.: Наука, 1979. - 284 с.

127. Уилкс С.С. Математическая статистика/ С.С. Уилкс. - М.: Наука, 1967.-632 с.

128. Уотсон К. Visual С# 2008: базовый курс / К. Уотсон, Я. Нейгел. -М.: Диалектика, 2009. - 1216 с.

129. Фукс А.Л. Изображение изолиний и разрезов поверхности, заданной нерегулярной системой отсчётов/ А.Л. Фукс // Программирование, №5, 1985.-С. 87-91.

130. Харкевич A.A. Борьба с помехами/ A.A. Харкевич. - М.: Наука, 1965.-276 с.

131. Хеннан Э.Дж. Многомерные временные ряды/ Э.Дж. Хеннан. -М.: Мир, 1974. - 576 с.

132. Хинчин А.Я. Теория корреляции стационарных стохастических процессов / А.Я. Хинчин // Успехи мат. Наук. 1938. Вып. 5.

133. Цыпкин Я.З. Теория импульсных систем/ Я.З. Цыпкин. - М.: Физматгиз, 1958.-458 с.

134. Шилдт Г. С# 3.0: полное руководство / Г. Шилдт. - М.: ООО «И.Д. Вильяме», 2010. - 992 с.

135. Шин В.И. Фильтры Пугачева для комплексной обработки информации / В.И. Шин // Автоматика и телемеханика, № 11, 1998. - С. 195 — 206.

136. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели/ А.Н. Ширяев. - М.: ФАЗИС, 1998. - 512 с.

137. Юдин Д.В. Некоторые математические аспекты статистических методов поиска/ Д.В. Юдин, Э.М. Хазен// В кн.: Автоматика и вычислительная техника, № 13. - Рига, «Зинатне», 1976. - С. 6-11.

138. Юдович В.И. Математическое моделирование в естественных науках/ В.И. Юдович. - М.: Вузовская книга, 2009. - 288 с.

139. Яблонский А.И. О физической интерпретации процесса случайного поиска/ А.И. Яблонский. - М.: Радиофизика, 13, № 8, 1970. - С. 27-36.

140. Яглом A.M. Корреляционная теория процессов со случайными п-ми приращениями/ A.M. Яглом // Математический сборник, 1955. Т.37. Вып. 1.-С. 79-85.

141. Яглом A.M. Корреляционная теория процессов со случайными стационарными параметрическими приращениями/ A.M. Яглом // Математический сборник. 1955. Т. 37. Вып. 1. - С. 141—197.

142. Armstrong J. S. Long-range forecasting /J. S. Armstrong.- New York: Jöhn Wiley & sons, 1985. - 696 p.

143. Balakrishnan A.V. Kaiman Filtering Theory. Optimization Software, Inc., New York, 1987. (Балакришнан А. Теория фильтрации Калмана. - M.: Мир, 1988. 169 с.)

144. Box G.E.P., Wetz J. Criteria for judjing adequacy of estimation by an approximation response function// Techn. Report. Univ. of Wisconsin. - № 9, -1973.-P. 40-48.

145. Brooks S. H. (Брукс). A discussion of Random Methods for Seeking Maxima. - Opns. Res., v. 6, p. 244-271, March, 1958.

146. Brosowski B. Nichtlineare Approximation in normierten Vektorraumen, Tagung, Oberwolfach, Juli 1968. - P. 24-28.

147. Brown R.G. Smoothing forecasting and prediction of discrete time series.-N.Y., 1963.-388 p.

148. Brown R.G. Statistical Forecasting and Inventory Control. McGraw-Hill Book Co., New York, 1959. - 212 p.

149. Brown R.G., Mayer R.F. The Fundamental Theorem of Exponential Smoothing/Operations Research. September-October, 1961.-P. 17-26.

150. Bucy R.S., Joseph P. Filtering for Stochastic Processes with Applications to Guidance. - New York. - Wiley Interscience Publishers, 1968. -128 p.

151. Chen H.F. Recursive Estimation and Control for Stochastic Systems. -Jon Wiley & Sons. - New York, 1985. - 169 p.

152. Chen H.F., Chui C.K. A modified adaptive Kaiman filter for real-time applications // IEEE Trans. On Aero. Electr. 1991. Sys. 27. - P. 149 - 154.

153. Chestnut H., Kavanagh T.F., Mulligan J.M. Applying Control to Inventory Management/ Control Engineering. September, 1962. - P. 217-221.

154. Chui C.K., Chen H.F. Kaiman Filtering with Real-Time Applications. - Springer-Verlag. - New York. - 1987. - 238 p.

155. Einstein A., Ann. Phys. (Leipzig), 14, 549 (1905). [Эйнштейн А. О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической теорией теплоты. - В кн.: Эйнштейн А., Смолуховский М. Брауновское движение. - М. - JL: ОНТИ, 1936. - С. 13-27]

156. Grewal M.S., Andrews А.Р. Kalman Filtering: Theory and Practice. New Jersey: Prentice Hall, 1993. - 302 p.

157. Harvey A.C. Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter. Cambridge University Press. Cambridge, 1989. - 119 p.

158. Holt C.C. Forecasting trends and seasonals by exponentially weighted moving averages//O.N.R. Memorandum, Carnegie Inst, of Technology, 1957. -№ 2.-P. 17-21.

159. http://www.ioomla-temp.com/moduli-ioomla/64-moedesigns/

160. http://www.mediaflre.com/file/aut9birdbn37abx/mspaint.mp3

161. http://www.microsoft.com/visualstudio/en-us/products/20Q8-editions/express

162. http://www.qai.narod.ru/index.html (DeJong)

163. http://www.sound-forge.net/load/sound-forge 7/

164. Ito K., «Nagoya Math. J.», 1951, v. 3. - P. 55—65.

165. Jazwinski A.H. Stochastic Processes and Filtering Theory. New York: Academic Press, 1970. - P. 63-67.

166. Kalman R.E. New methods in Wiener filtering // Proceedings of the first symposium on engineering applications of random function theory and probability: N.Y., L., 1964.

167. Kalman R.E. On the general theory of control sistem, Proc. 1st IF AC Congress, Moscow; Butterworths, London, 1960. - P. 14-21.

168. Kalman R.E., Bucy R. New results in linear filtering and prediction theory // ASME J. Basis Eng. March 1961. V. 83. - P. 95-107. (Калман P.E., Бьюси P. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказания. Труды Американского общества инженеров-механиков. Теоретическая механика. 1961. Т. 83, № 1. - С. 123-141.)

169. Kerr Т.Н. Numerical approximation and other structural issues in practical implementation of Kalman filtering // Guanrong Chen (Ed.) 1993. Approximate Kalman Filtering. Word Scientific, Singapore.

170. Kiefer J., Wolfowitz J. Stochastic Estimation of the Maximum of a Regression. "AMS", v.23, 1952.-P 18-24.

171. Kovtonyuk A., Kalyuzhny A., Semenov V. Adaptive Kalman filtering of speech signals based on a block model in the state space and vector quantization of autoregressive features // Proc. 8-th Austral. Conf. SST-2000. - Canberra, 2004.- P. 262-267.

172. Langevin P., Comptes. Rendues, 146, 530 (1908) [Ланжевен П. О теории броуновского движения. - В кн.: Ланжевен П. Избранные труды. -М.: Изд-во АН СССР, 1960. - С. 338-341.

173. Laurent P.-J. Approximation et optimization. - Paris, Hermann, 1972. - 496 p. (рус. перевод: П.-Ж. Лоран. Аппроксимация и оптимизация. - М.: Мир, 1975.-496 с.)

174. Levy P., Prossesus stochastiques et mouvement brownien, 2 ed., P.,

1965.

t

175. Mehra R.K., Wells C.H. Dynamic Modelling and Estimation of Carbon in a Basic Oxygen Furnace, Third International IF AC & IFIP Conference, Helsinki, 2-5 June 1971.

176. Oksendal B. Stochastic Differential Equations for Stochastic Systems. -NGVerlag. 2007.-272 p.

177. Perko L. Differential Equations and Dynamical Systems. Lap Lambert A.P. 2006.-519 p.

178. Poznyak A., Advanced Mathematical Tools for Automatic Control Engineers. Vol.1: Deterministic Technique, Elsevier, New York, 2008. - 803 p.

179. Poznyak A., Advanced Mathematical Tools for Automatic Control Engineers. Vol.2: Stochastic Tools, Elsevier, New York, 2009. - 568 p.

180. Romanov V.G. To a question on Techniques of dynamics of the moments. (Романов В.Г. К вопросу о методике динамики моментову/РгоЫетз

of Control and Information Theory. - Budapest. - 1976. - V. 5, No 5-6. - P. 437448.

181. Schmidt S.F. Application of State-space Methods to Navigation Problems, Advan. Control Systems v. 3, 1966. - P. 293-340.

182. Smoluchowski von M. Ann. Phys. (Leipzig), 21, 756 (1906). [Смолуховский M. К кинетической теории брауновского молекулярного движения и суспензий. - В кн.: Эйнштейн А., Смолуховский М. Брауновское движение. - М. - Л.: ОНТИ, 1936. - С. 133-165]

183. SURFER Access System Version 4.06. Golden Software Inc. - 1989.

184. Wiener N. Differential-space. - J. Math, and Phys., 1923, vol. 11, № 3.-P. 122-174.

185. Winer N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. -N.Y.: 1949. - 216 p.

186. Winer N. The Fourier Integral and Its Applications. Cambridge University Press. - N.Y., 1933.-199 p.

310