Планирование дискриминирующего эксперимента для стохастических динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат технических наук Парлюк, Артем Викторович

• Парлюк, Артем Викторович
• кандидат технических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат технических наук Парлюк, Артем Викторович

Введение.

Глава 1. Постановка задачи.

1.1. Модель системы и измерений.

1.2. Фильтр Калмана.

1.3. Цель исследований.

1.4. Выводы.

Глава 2. Моделирование случайных процессов, заданных стохастическим дифференциальным уравнением.

2.1. Анализ точности методов, основанных на численном интегрировании уравнения динамики.

2.2. Метод, основанный на моделировании реализации гауссовско-марковского процесса.

2.3. Примеры.

2.4. Выводы.

Глава 3. Оценивание неизвестных параметров.

3.1. Построение оценок максимального правдоподобия.

3.2. Алгоритм вычисления градиента функции правдоподобия.

3.3. Факторы, влияющие на точность оценок.

3.4. Выводы.

Глава 4. Методы дискриминации.

4.1. Метод, базирующийся на отношении правдоподобия.

4.2. Метод дискриминации, основанный на энтропийной мере информации.

4.3. Влияние интенсивности шумов на точность дискриминирующего эксперимента.

4.3.1. Исследование влияния шумов измерений.

4.3.2. Влияние шумов динамики.

4.4. Выводы.

Глава 5. Планирование оптимальных управляющих сигналов при использовании критерия отношения правдоподобия.

5.1. Активный эксперимент.

5.2. Построение критерия планирования.

5.3. Планирование кусочно-постоянных сигналов.

5.4. Планирование импульсных сигналов.

5.5. Использование сигналов других типов.

5.6. Выводы.

Глава 6. Планирование оптимальных управляющих сигналов при дискриминации нескольких конкурирующих моделей.

6.1. Обсуждение методов, основанных на отношении правдоподобия.

6.2. Планирование оптимальных управляющих сигналов на основе критерия прироста информации.

6.3. Приближенный метод вычисления функции критерия.

6.4. Выводы.

Глава 7. Построение статических планов дискриминирующего эксперимента.

7.1. Построение критерия планирования.

7.2. Планирование кусочно-постоянных сигналов.

7.3. Рандомизированные планы.

7.4. Выводы.

Глава 8. Идентификация динамических характеристик интегральных тензодатчиков.

8.1. Введение.

8.2. Модель системы в пространстве состояний.

8.3. Оцека параметров по методу максимального правдоподобия.

8.4. Использование методов дискриминации для определения формы входного воздействия

8.5. Идентификация характеристик ДПД ДУВ2

8.6. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Планирование дискриминирующего эксперимента для стохастических динамических систем»

Актуальность темы исследований

Современный научно-технический прогресс приводит к созданию все более сложных систем автоматического управления, таких, как высокоманевренные летательные аппараты, спутниковые системы радионавигации и связи, роботизированные линии производства и др., для нормального, безопасного управления которыми требуется точно знать адекватную математическую модель их функционирования. На этапе создания подобных систем, исходя лишь из априорных сведений, не подкрепленных экспериментальными данными, зачастую невозможно определить не только значения параметров, входящих в математическую модель системы, но и записать даже структуру математической модели. При этом возникает задача определения на основе наблюдений за динамикой системы, получаемых в результате идентификационного эксперимента, вида математической модели изучаемого объекта, возможно содержащей неизвестные параметры, для определения которых требуются дальнейшие исследования.

К решению задачи идентификации структуры математической модели существует несколько подходов. Например, в случае линейной регрессии можно использовать методы последовательного уточнения модели, основанные на последовательном включении или исключении регрессоров. В случае моделей, зависящих от большого количества факторов, можно рассматривать задачу планирования отсеивающего эксперимента, позволяющего выбрать небольшое число факторов (эффектов), которые управляют явлением, в то время как влияние остальных факторов не превосходит ошибки эксперимента. Однако, в общем случае, задача выбора структуры математической модели достаточно сложна, и ее решение должно опираться на физическую сущность исследуемого объекта или явления. В ряде случаев на основе имеющейся априорной информации, например, исходя из законов функционирования системы, учитывая те 6 или иные факторы, можно построить несколько (две или более) математических моделей и далее проводить эксперимент по выбору среди этих моделей той, которая наиболее точно описывает динамику изучаемого явления. Например, подобная задача возникает при построении математической модели химической реакции, когда при наличии или отсутствии катализатора химическая реакция может идти по двум различным путям, соответственно имеется две конкурирующие математические модели, из которых в процессе эксперимента необходимо выбрать истинную. Такие эксперименты называются дискриминирующими. Методика проведения и планирования дискриминирующих экспериментов достаточно хорошо разработана для регрессионных моделей. В тоже время широкий класс объектов динамики не может быть исследован в рамках регрессионного подхода, что требует разработки методов проведения и планирования дискриминирующих экспериментов для динамических систем.

В настоящее время существует два основных подхода к проведению идентификационного эксперимента - пассивный и активный. В первом случае условия проведения эксперимента не оговариваются. Во втором случае исследователь предварительно планирует ход эксперимента так, чтобы перевести изучаемую систему в особое состояние, позволяющее получить в ходе эксперимента наиболее информативные данные.

Как уже отмечалось, в связи с увеличением количества высокотехнологических систем растет необходимость в разработке эффективных методов определения адекватных математических моделей данных объектов. С этим связан всплеск интереса к проблеме активной идентификации стохастических систем. Методы активной идентификации и планирования эксперимента, кроме того, могут дать значительный экономический эффект, связанный как с уменьшением затрат на проведение эксперимента, которые, например, в случае летных испытаний прототипов новых летательных аппаратов, могут быть значительными, так и с уменьшением времени, необходимого для ввода системы в эксплуатацию или началом промышленного производства. Так как для динамических 7 стохастических моделей методы планирования дискриминирующих экспериментов мало изучены, исследования в этом направлении являются своевременными и актуальными.

Обзор имеющейся литературы

Теория планирования эксперимента - наука сравнительно молодая, окончательно сформировавшаяся немногим более полувека назад. Основателем теории принято считать английского статистика Р. Фишера, автора основополагающей работы [1]. Ряд работ Фишера посвящены разработке методов статистического анализа и планирования эксперимента в задачах повышения урожайности сельскохозяйственной продукции. Из этих работ впоследствии развились дисперсионный анализ и факторное планирование.

Наличие огромного числа прикладных задач стимулировало развитие математической теории планирования оптимального эксперимента. Огромный вклад в ее развитие внесли Дж. Бокс, опубликовавший ряд выдающихся работ по планированию регрессионного эксперимента для полиномиальной регрессии, планированию экстремальных экспериментов и конструированию критериев оптимальности [2], и Дж. Кифер, который в значительной мере является создателем классической теории планирования регрессионного эксперимента. В частности, именно Кифер совместно с Вольфовицем сформулировали знаменитую теорему эквивалентности [3], с одной стороны определяющую основополагающие свойства оптимальных планов, а с другой стороны позволяющую строить численные алгоритмы планирования.

Существенный вклад в развитие теории планирования эксперимента и ее приложений внесли отечественные исследователи Ю.П. Адлер [4], В.Г. Горский [5], В.И. Денисов [6-9], Е.В. Маркова [10], В.В. Налимов [11, 12], А.А. Попов [13], В.В. Федоров [14] и другие, разработавшие методы планирования оптимального эксперимента, как для регрессионных моделей, так и для моделей, за8 данных в виде систем дифференциальных уравнений и уравнений математической физики.

С начала 70-х годов методы планирования оптимального эксперимента начали активно использоваться при планировании оптимальных управляющих сигналов для параметрической идентификации динамических систем [15-20]. Среди авторов, внесших существенный вклад в теорию планирования оптимального эксперимента для динамических моделей, можно назвать Мехра, Пейна, Зарропа и других.

Левин в [21] использовал марковскую оценку для параметров стационарной линейной системы. В случае белого шума он показал, что входной сигнал с импульсной автокорреляционной функцией является оптимальным относительно некоторых критериев оптимальности.

Левади в [22] рассмотрел линейную нестационарную систему с нестационарным цветным шумом. Он применил марковскую оценку и вывел необходимое условие оптимальности.

Точное выражение для ковариационной матрицы некоторой оценки достаточно сложно получить. Многие авторы предполагали наличие асимптотически эффективной оценки параметров (т.е. оценки максимального правдоподобия), при этом искомая ковариационная матрица аппроксимировалась обратной к информационной матрице Фишера М (нижняя граница в неравенстве Рао-Крамера [23, 24]). В этом случае задача планирования входных сигналов может быть сформулирована в терминах задачи теории управления, при этом оптимальные управляющие сигналы минимизируют некоторую скалярную функцию от информационной матрицы.

Нахи и Уоллис [25] применили подобный подход для планирования оптимальных управляющих сигналов для нелинейной системы с одним входом и выходом и белым шумом наблюдений. Целевая функция имела вид tr WM, где W- постоянная весовая матрица. 9

Мехра [18] также использовал критерий оптимальности в виде tr WM. Данный критерий приводит к квадратичной оптимизационной задаче, которую легко решать, но может давать вырожденные планы, что было отмечено в работах Зарропа [20], Гудвина [15] и Мехры [19]. Мехра также предложил последовательную процедуру планирования, базирующуюся на алгоритме из [14], сходящуюся к глобально оптимальному плану.

Необходимо отметить, что данное направление исследований сегодня ни только не потеряло актуальность, но и активно разрабатывается ведущими исследовательскими центрами. В этой связи можно отметить работы [26-31], проводимые при поддержке НАСА и Американского Института Аэронавтики и Астронавтики. В нашей стране ряд новых интересных результатов в области активной идентификации динамических моделей содержится в [8, 9, 32] и др.

В отличие от методов планирования эксперимента с целью оценивания неизвестных параметров при фиксированной структуре модели, методам планирования дискриминирующих экспериментов посвящен значительно меньший объем литературы.

Наиболее исследованы методы планирования дискриминирующего эксперимента для регрессионных моделей.

В [14] рассматривается ряд методов планирования дискриминирующего эксперимента, основанных на байесовском подходе.

Сложность в применении байесовского подхода состоит в определении априорного распределения неизвестных параметров. В [33] была использована комбинация байесовского подхода с максиминной стратегией, приводящая к выпуклой задаче планирования.

Аткинсон и Кох [34] рассмотрели обобщение D-оптимальной теории планирования на случай дискриминационных экспериментов и предложили равно-дольные D-оптимальные планы, которые для линейных моделей позволяют построить статические планы эксперимента, основываясь только на имеющейся априорной информации. Аткинсону также принадлежит ряд работ по планиро

10 ванию дискриминирующего эксперимента для определения математической модели химических реакций.

В работах [33, 35] рассматривается последовательная стратегия планирования дискриминирующих экспериментов, где в качестве критерия оптимальности используется параметр нецентральности. Основные результаты данных работ приведены также в [36].

Для динамических стохастических моделей методы планирования дискриминирующих экспериментов мало изучены, и настоящая диссертационная работа призвана восполнить данный пробел.

Цель исследований

Целью проводимых исследований является разработка методов проведения дискриминирующих экспериментов для выбора истинной математической модели изучаемого объекта, разработка решающих правил для проверки гипотез о структуре математической модели, выбор и исследование критериев планирования оптимальных управляющих сигналов.

Методологическая основа

Теоретические и прикладные исследования базируются на использовании разделов теории планирования эксперимента, теории автоматического управления, методах оптимизации, теории вероятности и математической статистики, статистического моделирования, теории фильтрации, математического анализа и линейной алгебры.

Научная новизна

В диссертационной работе разработаны методы дискриминации динамических стохастических моделей, основанные на критерии логарифмического отношения правдоподобия и на энтропийной мере информации. Исследованы факторы, влияющие на точность эксперимента, в частности, влияние шумов

11 динамики и измерений. Предложены критерии планирования оптимальных управляющих сигналов, максимизирующих ожидаемые значения прироста логарифмического критерия отношения правдоподобия и энтропийной меры информации. Разработаны алгоритмы последовательного планирования и проведения дискриминирующего эксперимента. Исследованы методы статического планирования, позволяющие получить оптимальные управляющие сигналы на основе имеющейся априорной информации. Хотя разрабатываемая теория имеет глубокую связь с задачей планирования регрессионного дискриминирующего эксперимента, аналогичные отечественные и зарубежные работы для стохастических динамических систем нам не известны.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методы дискриминации динамических стохастических моделей, осно-■ ванные на критерии отношения правдоподобия и энтропийной мере информации;

2. Методика планирования оптимальных управляющих сигналов и проведения активного последовательного дискриминирующего эксперимента;

3. Методы планирования кусочно-постоянных и импульсных входных сигналов, теоремы, определяющие свойства оптимальных управляющих воздействий данных типов;

4. Методы планирования оптимальных управляющих сигналов на основе критерия прироста информации, аналитическое выражение для ожидаемого прироста информации;

5. Методика планирования статических планов дискриминирующего эксперимента для рандомизированного и нерандомизированного случая, теорема эквивалентности, описывающая свойства оптимальных рандомизированных планов и численный алгоритм их построения;

12

6. Программное обеспечение для решения задачи дискриминации стохастических динамических моделей и планирования дискриминирующих экспериментов, реализующее разработанные методы и алгоритмы.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается использованием аналитических методов исследования, доказанными теоремами, а также подтверждением аналитических выводов результатами вычислительных экспериментов и статистического моделирования.

Практическое значение

Исследовательская работа над методами дискриминации стохастических динамических систем велась в рамках госбюджетной НИР по теме " Последовательные методы дискриминации моделей", кроме того, результаты исследований включены в заключительный отчет по НИР "Компьютерные методы статистических закономерностей при точечных и интервальных наблюдениях". Разработанные методы планирования дискриминирующего эксперимента и дискриминации конкурирующих моделей были использованы для решения задачи идентификации динамических характеристик интегральных датчиков переменного давления, в рамках проекта ФЦП «Интеграция». Разработан комплекс программ для ЭВМ, базирующийся на предложенных алгоритмах планирования оптимальных управляющих сигналов, который был использован для анализа ряда модельных систем.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- на 3-м Корейско-Российском Симпозиуме по Науке и Технике (КОРУС-99), Новосибирск, 1999 г.,

13

- на 4-м Корейско-Российском Симпозиуме по Науке и Технике (КОРУС-2000), Корея, 2000 г.,

- на Четвертом Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной Математике (ИНПРИМ-2000), Новосибирск, 2000 г.,

- на Новосибирской межвузовской научно-технической конференции магистрантов и аспирантов "Молодые исследователи XXI столетия", Новосибирск, 2000 г.,

- на кафедральных научных семинарах.

Публикации

Результаты диссертационной работы опубликованы в 10 печатных работах [37-46], а также в 2-х отчетах по НИР [47, 48]. В опубликованных работах автору принадлежат результаты, изложенные в тексте диссертации.

Структура и объем работы

Структурно диссертационная работа состоит из введения, восьми глав, заключения, списка использованных источников и приложения. В первой главе дается постановка задачи дискриминации моделей, приводятся необходимые сведения из теории фильтрации и планирования эксперимента. Во второй главе приведено описание методов и алгоритма моделирования отклика динамических стохастических систем, заданных в виде стохастических дифференциальных уравнений. В третьей главе рассматривается оценивание неизвестных параметров по методу максимального правдоподобия для стохастических динамических систем. Четвертая глава посвящена разработке решающих правил, основанных на критерии логарифмического отношения правдоподобия и энтропийной мере информации, а также алгоритмов проведения дискриминирующего эксперимента. В пятой главе рассматривается задача планирования оптимальных управляющих сигналов при наличии двух конкурирующих моделей. Шестая глава развивает методы планирования оптимальных сигналов на

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Парлюк, Артем Викторович

8.6. Выводы

В данной главе предложен и исследован подход к идентификации динамических характеристик интегральных датчиков давления, основанный на описании динамики датчика в пространстве состояний, применении метода максимального правдоподобия для получения оценок неизвестных параметров и использовании методов дискриминации для определения вида входного воздействия. Установлено, что данный метод позволяет провести комплексный анализ данных, получить не только оценки параметров, но и определить порядок модели. Показано, что при наличии шумов, действующих на вход системы, применение данного метода позволяет получить более точные оценки параметров, чем при использовании методов, основанных на критерии наименьших квадратов. Кроме того, описание динамики системы в пространстве состояний позволяет учесть произвольный вид входного воздействия и при необходимости восстановить его вид. Используемый подход позволяет получить оценки интенсивности шумов, что в свою очередь позволяет провести дальнейший анализ полученных результатов, выявить и исключить "паразитные" гармоники, неразличимые на фоне шума измерений.

Разработанная методика была успешно использована для идентификации динамических характеристик ДПД ДУВ 2-30.

147

Заключение

В соответствии с поставленными задачами в диссертационной работе получены следующие результаты:

1. сформулирована математическая постановка задачи проведения и планирования дискриминирующих экспериментов для динамических стохастических моделей;

2. разработан алгоритм моделирования отклика динамических стохастических систем, основанный на моделировании гауссовско-марковского случайного процесса, являющегося решением соответствующего стохастического дифференциального уравнения;

3. разработан численный алгоритм для одновременного вычисления значений функции правдоподобия и ее градиента, позволяющий использовать оптимизационные процедуры первого порядка для решения оптимизационной задачи (3.6), к которой сводится задача отыскания МП-оценок неизвестных параметров стохастических систем;

4. предложены методы дискриминации стохастических динамических моделей, основанные на логарифмическом отношении правдоподобия и энтропийной мере информации;

5. разработаны и исследованы методы планирования оптимальных управляющих сигналов для дискриминации стохастических динамических систем при использовании критерия логарифмического отношения правдоподобия, доказаны теоремы, определяющие свойства оптимальных кусочно-постоянных и импульсных управляющих сигналов, предложен подход к планированию оптимальных управляющих сигналов произвольного вида;

6. предложены методы планирования оптимальных управляющих сигналов на основе критерия прироста информации, найдено аналитическое выражение для ожидаемого прироста информации (лемма 6.1), предло

148 жен обобщенный алгоритм проведения дискриминирующих экспериментов, использующий планирование управляющих сигналов;

7. разработаны методы планирования статических планов управляющих сигналов, основанных на имеющейся априорной информации, предложен максиминный критерий планирования, показано, что, как и для последовательного планирования, использование кусочно-постоянных сигналов приводит к выпуклой оптимизационной задаче с квадратичной целевой функцией, разработаны методы планирования рандомизированных планов управляющих сигналов, доказана теорема, аналогичная теореме эквивалентности Кифера и Вольфовица, описывающая свойства оптимальных планов, разработан численный алгоритм построения оптимальных планов и доказана его сходимость.

Полученные результаты были успешно использованы для идентификации динамических характеристик интегральных датчиков переменных давлений ДУВ 2. Разработанные методы и алгоритмы были реализованы в виде комплекса программ «Моделирование-Оценивание-Дискриминация», описанного в Приложении 1, который позволяет решать достаточно широкий класс задач, связанных с моделированием отклика, оцениванием неизвестных параметров, дискриминацией конкурирующих моделей и планированием дискриминирующих экспериментов для динамических стохастических систем.

149

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Парлюк, Артем Викторович, 2001 год

1. Fisher R.A. The design of experiments. London: Olyver and Boyd, 1935.

2. Box G.E.P., Draper N.R. The choice of second order rotatable design // Biometrika 50, 1963.-pp. 335-342

3. Kieffer J., Wolfowitz, The equivalence to two extremum problems // Can. J. Math., 12, 1960.-p. 363-372

4. Адлер Ю.П., Маркова E.B., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976. - 279 с.

5. Горский В.Г., Адлер Ю.П., Талалай A.M. Планирование промышленных экспериментов (модели динамики). М.: Металлургия, 1978. - 112 с.

6. Денисов В.И. Математическое обеспечение ЭВМ экспериментатор (регрессионный и дисперсионный анализ). - М.: Наука, 1977. - 252 с.

7. Денисов В.И., Попов А.А. Пакет программ оптимального планирования эксперимента. М.: Финансы и статистика, 1986. - 156 с.

8. Денисов В.И., Чубич В.М. Планирование D-оптимальных управляющих сигналов для стохастических линейных дискретных систем // Научный вестник НГТУ,№ 1, 1995. -с. 17-28.

9. Денисов В.И., Чубич В.М. Алгоритмы синтеза планов для стохастических динамических систем. Уч. Пособие. Новосибирск, 1996. - 97 с.

10. Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента. -М: Наука, 1979. 348 с.

11. Налимов В.В., Голикова Т.П. Логические основания планирования эксперимента. М.: Металлургия, 1981. - 208 с.

12. Налимов В.В., Чернова Н.А. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. -М.: Наука, 1965. 151 с.150

13. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971. - 312 с.

14. Goodwin G.C., Murdoch I.C., Rayne R.L. Optimal test signal design for linear S.I.S.O. system identification. Internat J. Control., 1973,17, N 1- pp. 87-92.

15. Goodwin G.C., Payne R.L. Dynamic system identification: Experimental design and data analysis. London: Academic Press, 1977. - 420 pp.

16. Gupta N.K., Mehra R.K. and Hall W.E. Jnr., Application of optimal input synthesis to aircraft parameter estimation // ASME J. Dynamic System Measurement, 98, 2, 1976.-pp. 139-145

17. Mehra R. K., Optimal inputs for linear system identification // IEEE Transaction on automatic control, vol.AC-19, No. 3, 1974. pp. 192-200.

18. Mehra R. K., Optimal input signals for parameter estimation in dynamic systems survey and new results // IEEE Transaction on automatic control, vol. AC-19, No. 6,1974.-pp. 753-768.

19. Zarrop M.B. Optimal Experiment Design for Dynamic System Identification. -New York: Springer Verlag, 1979. 198 pp.

20. Levin M.J., Optimal estimation of impulse response in the presence of noise // IRE Trans. Circuit Theory, CT-7, 1960. pp. 50-56

21. Levadi V.S., Design of input signals for parameter estimation, IEEE Trans. Automation Control, AC-11, 2, 1966. pp. 205-211

22. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. - 486 с.151

23. Pao C.P., Линейные статистические методы и их применение. М.: Наука, 1968.-548 с.

24. Nahi N.E., Wallis D.E., Optimal inputs for parameter estimation in dynamic systems with white observation noise // Paper IV-A5, Proc. JACC, Boulder, Colorado, 1969.-pp. 506-512

25. Davidson John В., Schmidt David K., Modified Optimal Control Pilot Model for Computer-Aided Design and Analysis // NASA Technical Memorandum L-16979, NASA Langley Research Center Hampton, VA 23681-0001, October 1992. 27 pp.

26. Juang Jer-Nan, Longman Richard W., Optimized System Identification // NASA Technical Memorandum L-17897, NASA Langley Research Center Hampton, VA 23681-2199, October 1999. 36 pp.

27. Morelli E. A., In-flight system identification // American Institute of Aeronautics and Astronautics, AIAA-998-4261,1998. 9 pp.

28. Morelli E. A., Advances in Experimental Design for High Performance Aircraft // proceed, of System Identification for Integrated Aircraft Development and Flight Testing Symposium, Madrid, Spain, May 5-7,1998. pp. 8-1 - 8-17.

29. Morelli E. A., Real time parameter estimation in frequency domain// American Institute of Aeronautics and Astronautics, AIAA-99-4043,1999. 11 pp.

30. Абденов А.Ж. Активная идентификация для стохастических систем, описываемых моделями в пространстве состояний // Автореф. дисс. на соиск. степени д.т.н., Новосибирск, 1999. 41 с.152

31. Atkinson А. С., Fedorov V.V. The Design of experiments for discriminating between two rival models // Biometrika, 1975,62, № 1. pp.57-70.

32. Atkinson A. C., Cox D. R. Planning experiments for discriminating between models. // J.R. Statist. Soc., 1974, В 336. p.321-348.

33. Atkinson A. C., Fedorov V.V. Optimal design: Experiments for discriminating between several models // Biometrika ,1975, 62, № 2. pp.289-303.

34. Ермаков C.M., Жиглявский A.A. Математическая теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1987. - 320 с.

35. Бекарева Н.Д., Парлюк А.В. Моделирование случайного процесса, заданного стохастическим дифференциальным уравнением // Сб. научных трудов НГТУ № 1(14), 1999.- с. 13-18.

36. Драгунов В.П., Парлюк А.В. Идентификация динамических характеристик датчиков давления с использованием метода максимального правдоподобия // Научный вестник НГТУ, № 2, 2001. с. 43-52.

37. Парлюк А.В. Планирование оптимальных входных сигналов при дискриминации двух динамических стохастических моделей // Сб. научных трудов НГТУ №4, 2000.-с. 37-42.

38. Парлюк А.В. Использование кусочно-постоянных и импульсных сигналов при дискриминации динамических систем // Сб. научных трудов НГТУ № 4, 2000.-с. 31-36.153

39. Парлюк А.В. Планирование оптимальных входных сигналов при дискриминации нескольких динамических систем // Сб. научных трудов НГТУ № 1, 2001.-с. 16-21.

40. Парлюк А.В. Построение статических планов дискриминирующего эксперимента // Сборник научных трудов НГТУ, № 2, 2001. с. 9-14.

41. Bekareva N.D., Denisov V.I., Parlyuk A.V. The Design of Experiments for Discriminating between Two Stochastic Dynamic Models // Proc. of The 4th Korean-Russian International Symposium on Science and Technology, Korea 2000, Vol. 1.-pp. 50-55.

42. Bekareva N.D., Parlyuk A.V. Discrimination designs for stochastic dynamic system, Abstracts of The Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology (Korus'99), Vol. 2. p. 551.

43. Parlyuk A.V. Design of experiments for discriminating between two stochastic dynamic systems // Abstracts booklet of the First Graduate School Inter-University Scientific Conference "Young researchers of the XXI century", NSTU, 2000. -pp.15-16.

44. Последовательные методы дискриминации моделей // Отчет по НИР, НГТУ. 1.12.97, № гос. per. 01.990.004098, инв. № 02.990.002878, рук. Денисов В.И.

45. Калман Р.,Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. -М.: Мир, 1971. -400 с.154

46. Пугачев B.C., Синицин И.Н., Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. М.: Наука, 1990. - 632 с.

47. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: "Советское радио", 1977.-488 с.

48. Ярлыков М.С. Статистическая теория радионавигации. М.: Наука, 1986. -340 с.

49. Абденов А.Ж., Денисов В.И., Чубич В.М. Введение в оценивание и планирование эксперимента для стохастических динамических систем. Новосиб. гос. техн. ун.-т, Новосибирск, 1993. - 45 с.

50. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах // под. ред. Леондеса К.Т. М.: Мир, 1980. - 408 с.

51. Боровков А.А., Теория вероятностей. М.: Наука, 1986. - 432 с.

52. Вентцель А.Д., Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975. - 320 с.

53. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.-296 с.

54. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982. - 272с.

55. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. - 432 с.

56. Крутько П.Д. и др. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем. М.: Радио и связь, 1988. - 320 с.

57. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Физ-матгиз, 1963. - 500 с.

58. Дрейпер Н., Смит Н. Прикладной регрессионный анализ. М: Статистика, 1973.-392 с.

59. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователей. М.: Наука, 1991.-432 с.155

60. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: "Высшая Школа", 1984.-248 с.

61. Зельнер А. Байесовские методы в экономике, М.: Статистика, 1980. - 438 с.

62. Сейдж Э., Меле Дж., Идентификация систем управления. М.: Наука, 1974. -420 с.

63. Сейдж Э., Меле Дж., Теория оценивания и ее применение в связи и управлении, М.: Связь, 1976. - 495 с.

64. Медич Дж. Статистически оптимальные оценки и управление. М.: Энергия, 1973.-440 с.

65. Bucy R. S., Joseph P. D., Filtering for Stochastic Process with Application to Guidance. New York: Wiley, 1968. 197 pp.

66. Химельблау Д. Прикладное нелинейное программирование М.: Мир, 1975. - 536 с.

67. Гандмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 552 с.

68. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М., Численный методы в экстремальных задачах. М.:Наука, 1975. - 320 с.

69. Федоров В.В., Численные методы максимума. М.: Наука, 1979. - 280 с.

70. Ширяев А.Н., Статистический последовательный анализ. М.: Наука, 1976. -272 с.

71. Белкин А.Р., Левин М.Ш., Принятие решений: комбинаторные модели аппроксимации информации. М.: Наука, 1990. - 160 с.

72. Стратанович Р.Л., Теория информация. М.: "Советское радио", 1974. - 424 с.

73. Круг Г.К., Сосулин Ю.А., Фатуев В.А., Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции. М.: Наука, 1977. - 208 с.156

74. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления. М.: Машиностроение, 1986. - 448 с.

75. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975. - 768 с.

76. Математические основы теории автоматического регулирования, под. ред. Чемоданова Б.К., в 2-х т. М.: Высш. Школа, 1977. - 780 с.

77. Топчеев Ю.И., Атлас для проектирования систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1989. - 752 с.

78. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М: Наука, 1977. - 832 с.

79. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, Т. 1. М.: Наука, 1966. -568 с.

80. Ваганов В.И., Интегральные тензопреобразователи. М.: Энергоатомиздат, 1983.- 136 с.

81. Алексеев К.А., Задача идентификации полных и частичных динамических характеристик высокочастотных пьезоэлектрических датчиков переменных давлений // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика, №7, 2000.-с. 58-61.

82. Багдатьев Е.Е., Ефимова А.А., Санина Э.Б. Импульсная установка для идентификации датчиков переменных давлений // Измерительная техника, 1989, № 3. с. 56-62.

83. Грушин В.Н., Дятлов В.А., Милов JI.T., Модели, алгоритмы и устройства идентификации сложных систем. JL: Энергоатомиздат, 1985. - 284 с.

84. Захаров Н.Д., Определение частотных характеристик по переходным процессам // Приборные системы управления, №7,1999. с. 27-30.

85. Алексеев К.А., Метрологическая аттестация датчиков переменных давлений с позиции идентификации их частотных динамических характеристик // Микросистемная техника, № 7, 2000. с. 18-22.157

86. Иосифов В.П., Алгоритм Берга в задачах оценивания коротких откликов датчиков // Приборные системы управления, №7,1999. с. 32-35.

87. Кей С.М., Марпл С. Мл., Современные методы спектрального анализа: обзор//ТИИЭР, 1981 ,№ 11.

88. Драгунов В.П. Расчет передаточной характеристики прямоугольного упругого элемента интегрального тензопреобразователя // Радиотехника. Электроника. Физика. Сборник научных трудов, НГТУ, Новосибирск, 1996, с.93 -99.

89. Дерек JI. Borland С++ 5. Справочник. М.: «БИНОМ», 1997. - 560 с.

90. Шамис В.A. Borland С++ Builder. Программирование на С++ без проблем. -М.: «Нолидж», 1997. 266 с.159

91. П.1.1. Общая характеристика комплекса

92. Структурно комплекс МОД состоит из трех программ, каждая из которых включает в себя несколько модулей, позволяющих решать обозначенные выше задачи. Структура комплекса представлена на Рис. П. 1.1.160

93. Рис. П. 1.1. Структура комплекса МОД

94. П.1.2. Программа «Моделирование-Оценивание-Фильтрация»