Адаптивные дискретно-стохастические алгоритмы численного интегрирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Каблукова, Евгения Геннадьевна

• Каблукова, Евгения Геннадьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Каблукова, Евгения Геннадьевна

Введение.

0.1. Детерминированные и стохастические кубатурные формулы.

0.2. Дискретно-стохастические методы численного интегрирования.

Формулы Бахвалова и теория сложности.

0.3. Цель и структура диссертации.

0.4. О публикациях по теме диссертации.

0.5. Краткое описание рассматриваемых в диссертации численных схем.

0.6. Тестирование алгоритмов численного интегрирования.

0.7. Апробация работы.

Глава 1. Дискретно-стохастические несмещенные оценки в алгоритмах численного интегрирования.

1.1. Использование функциональных базисов в методах Монте-Карло.

1.1.1. Моделирование случайных величин.

1.1.2. Функциональные оценки.

1.1.3. Выбор функционального базиса.

1.1.4. Моделируемость аппроксимации Стренга-Фикса.

1.1.5. Моделируемость аппроксимации Бернштейна.

1.2. Дискретно-стохастические методы уменьшения дисперсии.

1.2.1. Дискретно-стохастическая версия метода выборки по важности.

1.2.2. Дискретно-стохастическая версия метода выделения главной части

1.2.3. Сложная многомерная симметризация.

1.2.4. Дискретно-стохастическая версия метода выборки по группам

1.3. Двусторонний геометрический метод Монте-Карло.

1.3.1. Геометрический метод И. М. Соболя.

1.3.2. Модификация геометрического метода.

1.3.3. Дискретно-стохастическая версия двустороннего геометрического метода.

Глава 2. Дискретно-стохастические состоятельные и асимптотически несмещенные оценки в алгоритмах численного интегрирования.

2.1. Дискретно-стохастическая версия метода взвешенной равномерной выборки.

2.1.1. Лемма о состоятельных оценках.

2.1.2. Взвешенная равномерная выборка.

2.1.3. Использование аппроксимации Стренга-Фикса.

2.1.4. Зависимость дисперсии от шага сетки.

2.1.5. Построение доверительных границ и оптимизация оценки 9п ^.

2.1.6. Результаты тестовых численных экспериментов.

2.2. Дискретно-стохастическая версия метода Монте-Карло с поправочным множителем.

2.2.1. Оценка с поправочным множителем.

2.2.2. Приближение оптимального множителя. Зависимость смещения и дисперсии от шага сетки.

2.2.3. Построение доверительных границ и оптимизация оценки в.

2.2.4. Результаты тестовых численных экспериментов.

2.3. Рандомизация метода последовательных приближений.

2.3.1. Итерационный процесс с интегральным оператором.

2.3.2. Приближения функционала.

2.3.3. Тестовая задача.

2.3.4. Использование специального функционала.

2.3.5. Пример согласованного выбора параметров

Глава 3. Стохастическая тестовая система функций.

3.1. Преобразования спектральных моделей случайных полей.

3.1.1. Численные спектральные модели гауссовских случайных полей.

3.1.2. Тестовая спектральная модель.

3.1.3. Преобразования гауссовских моделей: использование функций многих переменных.

3.1.4. Использование комбинаций со случайными величинами.

3.1.5. Функциональная сходимость преобразованных моделей.

3.1.6. Группировка слагаемых в моделируемой сумме.

3.2. Тестовая система функций.

3.2.1. Использование модельных траекторий случайных функций.

3.2.2. Выполнение требований (0.1а)-(0.1д).

3.3. Средние оценки погрешностей простейших квадратурных формул.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Адаптивные дискретно-стохастические алгоритмы численного интегрирования»

0.1. Детерминированные и стохастические кубатурные формулы. С развитием вычислительной техники возрастает интерес к численным методам решения прикладных задач. Математическое описание исследуемого процесса сводится, как правило, к рассмотрению неизвестной функции многих переменных, для которой записывается система дифференциальных уравнений (см., например, [1]). Одним из способов приближенного решения этой системы является построение разностной схемы и сведение задачи к решению системы линейных уравнений для значений неизвестной функции в узлах сетки (см., например, [2-4]). Часто также оказывается целесообразным сведение (или постановка) задачи к интегральной форме, когда исследуемая функция представляет собой многократный интеграл, зависящий от параметра, или является решением интегрального уравнения (см., например, [1]). В последнем случае при возникновении интегрального уравнения Фредгольма второго рода соответствующий интегральный оператор предполагается сжимающим, и решение записывается в виде ряда Неймана, представляющего собой сумму параметрических интегралов бесконечно возрастающей кратности (см., например, [5]). Далее используются численные методы приближенного вычисления получаемых многократных интегралов на ЭВМ. При разработке этих методов решается

ЗАДАЧА 0.1. Построить алгоритм вычисления интеграла здесь X - замыкание тех х € Д', для которых <у(х) ф 0.

Для интегралов I малых размерностей I с гладкими (в обычном или обобщенном смыслах) подынтегральными функциями д и относительно простыми областями интегрирования X развита теория квадратурных (для случая I = 1) и кубатурных (для I > 1) формул (см., например, [4, 6]). Кубатурная формула в общем случае имеет вид где {х1,. ,хп} - заданные детерминированные (и, как правило, регулярные) узлы сетки в В1, а {с1,.,с71} - веса. Вычисление интеграла (0.1) по формуле (0.2) будем называть АЛГОРИТМОМ 0.1. В качестве X в данной работе будем использовать, как правило, простые компактные подмножества в В} (чаще всего - /-мерный единичный куб = {х = (жь . . . , £;) : 0 < Хг < 1; 2 = 1,., /}).

Оптимальный выбор узлов и весов связан с минимизацией погрешности 5п = \1 — 5П| и основан (явно или неявно) на использовании аппроксимаций подынтегральной функции д. Главным достоинством кубатурных формул является возможность получения гарантированной и сравнительно быстрой сходимости 5п к нулю при п —У оо для классов гладких подынтегральных функций д.

К недостаткам «классических» (детерминированных) кубатурных формул на классах подынтегральных функций следует отнести:

- слабый учет специфики той или иной подынтегральной функции;

- необходимость разработки специальных численных алгоритмов поиска оптимальных весов и (или) узлов;

- чувствительность к росту размерности и к гладкости начальных данных (подынтегральной функции д и области X);

0.1) п

0.2)

- трудности в построении показательных тестовых численных примеров и контроля точности и затрат при практических вычислениях.

Для существенно многомерных задач 0.1 (т.е. для случая ¿>1и даже I —V сю) достаточно эффективным оказывается стандартный метод Монте-Карло (см., например, [7-9]). Этот алгоритм основан на представлении

1 = 1 д(х)Дх) ¿х = ЕС, С = <7®, д(х) = </(х)//(х). (0.3)

Для выполнения (0.3) достаточно потребовать /(х) ф 0 при х 6 X. Весовая функция / является вероятностной плотностью в Я1, т. е. /(х) > 0 и //(х)сЬс = 1, а /-мерный случайный вектор £ распределен согласно плотности /.

АЛГОРИТМ 0.2 [7-9]. 1. Реализуем п значений случайного вектора . , £п.

2. Вычисляем приближенное значение интеграла (0.1):

3=1 3=1

Если в (0.4) трактовать как набор независимых одинаково распределенных случайных векторов с плотностью распределения /, то случайные величины (1 = 9(^1), -■■)(п ~ я{€п) будут также независимыми одинаково распределенными с математическим ожиданием I (см. соотношение (0.3)) и дисперсией

БС = а2 = Бд(0 - I ?2(х) Дх) ¿х - /2 = I ¿х ~ 1\ (0.5)

Если величина (0.5) конечна, то в силу закона больших чисел (см., например, [10]) формула (0.4) верна для достаточно больших п.

Сразу заметим, что для /(х) = 1 (т. е. для равномерного распределения = формула (0.4) является частным случаем формулы (0.2) для с\ = . — сп = 1/п и ^ = Таким образом, разница между алгоритмами 0.1 и 0.2 с постоянными весами связана с выбором узлов - детерминированным или стохастическим. Отметим также, что и для «детерминированного» алгоритма 0.1 введение весовой функции типа / и связанного с ней набора узлов позволяет улучшать качество кубатурных формул (0.2).

Алгоритм 0.2 имеет следующие положительные свойства:

- возможность уменьшения трудоемкости алгоритма за счет, уда.'чного (согласованного с видом подынтегральной функции д) выбора весовой функции / (алгоритм выборки по важности) или преобразования исходного интеграла (выделение главной части) и весовой функции (методы математического ожидания и расщепления, выборка по группам и т.п.) - см. далее подразд. 0.5;

- веса имеют простой вид, а узлы реализуются согласно выбираемому вероятностному распределению с плотностью /;

- относительно слабая чувствительность к росту размерности I и к гладкости начальных данных (подынтегральной функции д и области X);

- возможность контроля затрат и точности вычислений.

Последнее свойство обусловлено тем, что затраты 5 алгоритма 0.2 можно подсчитать по простой формуле 5 = пЬ, где t - среднее время получения одного выборочного значения случайной величины С (это время, в свою очередь, связано со «сложностью» вычисления функции д и со средними затратами на реализацию одного выборочного значения вектора £). Далее, в силу центральной предельной теоремы (см., например, [10]) для достаточно больших п имеет место соотношение

При фиксированном уровне погрешности число случайных узлов п прямо пропорционально дисперсии а2 случайной величины и вместо я в качестве величины, отражающей затраты стандартного метода Монте-Карло, можно ввести число которое называется трудоемкостью алгоритма 0.2 [7-9]. Рассмотрение величины (0.7) вместо 5 является более удобным при оптимальном выборе весовой функции /, т. к. величина 51 в явном виде содержит вероятностную характеристику (дисперсию) случайной величины С, которая, в свою очередь, определяется через /. Неизвестное значение (0.5) можно приближенно вычислить по набору выборочных значений . [7-9]:

1 V 1 (у^У (ой а8)

Формула (0.6) отражает также и главный недостаток алгоритма 0.2 - относительно низкую (порядка 1/у/п) скорость сходимости погрешности к нулю при возрастании числа узлов п. К примеру, для / = 1 и д € С2(Х) простейшая формула прямоугольников имеет порядок погрешности 1/п2 (см., например, [4]). Это обуславливает использование алгоритма 0.2 только для достаточно больших размерностей I.

0.2. Дискретно-стохастические методы численного интегрирования. Формулы Бахвалова и теория сложности. Эффективными могут оказаться и смешанные, комбинированные процедуры численного интегрирования, сочетающие в себе элементы алгоритмов 0.1 и 0.2. Как правило, эти схемы содержат «детерминированную» составляющую, связанную с регулярной дискретизацией области X, а также «стохастическую» составляющую, связанную с применением метода Монте-Карло. Поэтому, вслед за А.В.Войтишеком [11], мы будем называть такие алгоритмы дискретно-стохастическими.

По-видимому, одна из первых численных схем подобного рода была представлена в работе Н. С. Бахвалова [12] (см. также [4] и подраздел 1.2.4 данной работы). Исходной областью X являлся ¿-мерный единичный куб (¿1, который разбивался на п равных кубов с вершинами в точках равномерной сетки. В каждом ^'-ом элементарном кубе выбирался узел кубатурной формулы (0.2) случайным образом (согласно равномерному распределению). Представленный алгоритм можно считать как кубатурной формулой (0.2) со случайными узлами (такой термин для подобных конструкций имеется, например, в [8]), так и предельным случаем выборки по группам в методе Монте-Карло [7-9]. Н. С. Бахвалов показал в [12], что его алгоритм является оптимальным (по скорости сходимости к нулю погрешности 5п при п —> со) в пространстве непрерывно дифференцируемых подынтегральных функций С1(Х). Для этого ему потребовалось получать оценки сверху и снизу для 5п.

Методология работы [12] явилась основой для интенсивного развития так называемой теории сложности (см. [13] и сопутствующие этой монографии работы). Эту теорию можно назвать «философией вычислительных алгоритмов». В ней изучается вопрос о том, каков максимальный порядок стремления к нулю погрешности 5й для

0.6)

0.7) данного класса вычислительных алгоритмов с количеством вычислительных операций п.

Проблема численного интегрирования (задача 0.1) является наиболее удобной и часто используемой иллюстрацией в теории сложности. В работах по теории сложности рассмотрены вопросы оптимальности кубатурных формул (0.2) для различных пространств В(Х) подынтегральных функций. При построении соответствующих нижних границ для 5п требуется строить конкретную численную схему типа (0.2). В некоторых (достаточно редких) случаях эти алгоритмы имеют вид, вполне пригодный для практических вычислений. Например, для В(Х) = С2(Х) в работе [12] Н. С. Бахвалов построил оптимальный алгоритм, в котором, в дополнение к алгоритму для д € С1{Х), кроме узла х^ выбирается точка х7, симметричная х^ относительно центра ?-го элементарного куба (см. подраздел 1.2.4 настоящей работы).

С точки зрения теории сложности алгоритм 0.2 решения задачи 0.1 является не слишком интересным, так как, в силу соотношения (0.6), имеет неулучшаемый порядок сходимости 1 /у/п. Поэтому в связи с задачей 0.1 в теории сложности распространено обращение к случаю использования так называемых квази-случайных узлов кубатур-ной формулы (0.2) [13]. Здесь теория кубатурных формул смыкается со специальным нетривиальным разделом теории чисел. Наиболее эффективный алгоритм построения квази-случайных узлов представлен в [7] (это ЛПГ-последовательность Соболя). Вопросы использования квази-случайных чисел в численном интегрировании в данной работе не рассматриваются.

В общей теории сложности (в том числе и для задачи 0.1) принимается ряд допущений, которые не всегда выполняются на практике. Например, приравниваются затраты на вычисление значения подынтегральной функции д в точке и одно арифметическое действие. В связи с этим открытым остается вопрос, будут ли теоретически оптимальные схемы иметь на практике минимальную трудоемкость. Забегая вперед, отметим, что в представляемой рабоге указаны примеры ситуаций, когда оптимальные (с точки зрения теории сложности) кубатурные формулы не являются наилучшими на практике (см. раздел 1.2).

0.3. Цель и структура диссертации. Как уже было сказано выше, возможность эффективной практической реализации оптимальных кубатурных формул является большой редкостью (особенно для многомерных случаев). Поэтому вполне разумными видятся подходы, связанные с построением и исследованием эффективно реализуемых дискретно-стохастических численных алгоритмов, дающих относительно небольшие значения трудоемкости (0.7).

Целью данной работы является разработка и исследование эффективных дискретно-стохастических алгоритмов численного интегрирования, а также тестирование этих алгоритмов на основании построения стохастических систем функций и решения прикладных задач.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 58 наименований.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Каблукова, Евгения Геннадьевна

Заключение

В работе получены следующие результаты.

• Проведен сравнительный анализ дискретно-стохастических методов понижения дисперсии (выборка но важности, выделение главной части, метод симметризации переменных, выборка по группам). Изучены предельные случаи, приводящие к оптимальным (с точки зрения теории сложности) кубатурным формулам.

• Разработан двусторонний геометрический метод Монте-Карло. Исследованы вопросы оптимизации этого метода для кусочно-постоянных мажорант и минорант подынтегральной функции.

• Исследована эффективность дискретно-стохастических состоятельных оценок метода Монте-Карло: взвешенной равномерной выборки и оценки с поправочным множителем. Получены верхние оценки дисперсий и оценены затраты соответствующих дискретно-стохастических численных схем.

• Проведено сравнение численных алгоритмов аппроксимации решения интегрального уравнения второго рода на основе рандомизации конечных и бесконечных отрезков ряда Неймана. Исследованы возможности использования отрезков однородных цепей Маркова конечной и случайной длицы, а также эффективных дискретно-стохастических метод<эв численного интегрирования. Представлецы примеры, подтверждающие целесообразность использования смещенных детермини-рованно-стохастических оценок решения.

• Проведен сравнительный анализ известных аппроксимационных базисов с точки зрения использования их в алгоритмах численного статистического моделирования. Показана целесообразность использования приближений Стренга-Фикса и Бернштейна в дискретно-стохастических численных схемах.

• Рассмотрены возможности применения траекторий спектральных (гауссовских и негауссовских) моделей случайных функций при тестировании численных алгоритмов интегрирования. Такой подход позволил добиться независимости тестирования, получить требуемые свойства подынтегральных функций (гладкость, «сложность» вычисления и др.), вывести аналитические выражения для средних погрешностей. Исследован вопрос о слабой сходимости используемых негауссовских численных моделей.

Проведенные численные эксперименты (в том числе, с использованием стохастической тестовой системы функций) показали, что разрабатываемые здесь дискретно-стохастические алгоритмы эффективны, как правило, для задач «умеренно большой» кратности (конкретнее, для размерностей от трех до десяти).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Каблукова, Евгения Геннадьевна, 2008 год

1. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.2| Березин И. С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1962.

2. Марчук Г. PI. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

3. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

4. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

5. Соболев С. JL, Васкевич B.JI. Кубатурные формулы. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1996.

6. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.

7. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.

8. Михайлов Г. А., Войтишек A.B. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло. М.: Издательский центр «Академия», 2006.

9. Боровков A.A. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.1.. Войтишек А. В. Дискретно-стохастические численные методы (Диссертация на соискание уч. степени доктора физ.-матем. наук). Новосибирск, 2001.

10. Traub J. F., Wasilkowski G.W. and Wozniakowski H. Information-based Complexity. New York: Academic Press, 1988.

11. Войтишек A.B., Дятлова (Каблукова) Е.Г., Мезенцева (Булгакова) Т.Е. Геометрический метод Монте-Карло и его модификации // Материалы V международного семинара-совещания «Кубатурные формулы и их приложения». Красноярск: КГТУ, 2000. С. 46-54.

12. Voytishek А.V., Dyatlova (Kablukova) E.G., Mezentseva (Bnlgakova) Т.Е. Geometrical Monte Carlo method and it's modifications // Monte Carlo Methods and Applications. 2000. V. 6, № 2. P. 131-1Î39.

13. Voytishek A.V., Dyatlova (Kablukova) E.G., Mezentseva (Bulgakova) Т.Е. Transformation of the spectral models of the Gaussian random fields // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2000. V. 15, № 6. P. 507-519.

14. Войтишек A.B., Каблукова E.Г. Исследование адаптивных дискретно-стохастических алгоритмов численного интегрирования // Материалы VI международного семинара-совещания «Кубатурные формулы и их приложения». Уфа: ИМВЦ УНЦ, 2001. С. 46-52.

15. Kablukova E. G., Shvets V. V., Voytishek A. V., Golovko N. G. Function approximations as probabilistic densities // Proceedings of the International Conference on Computational Mathematics. Новосибирск: ИВМиМГ CO PAH, 2002. P. 211-215.

16. Каблукова E. Г., Булгакова Т.Е. О некоторых применениях численной стохастической системы функций // Материалы XLI Международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск: НГУ, 2003. С. 118-119.

17. Voytishek А. V., Kablukova E.G. Usage of approximation functional basises in Monte Carlo methods // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2003. V. 18, jV* 6. P. 521-542.

18. Войтишек А. В., Каблукова E. Г., Булгакова Т. Е. Использование спектральных моделей случайных полей при исследовании алгоритмов численного интегрирования // Вычислительные технологии. 2004. Т. 9, специальный выпуск. С. 50-61.

19. Войтишек А. В., Каблукова E. Г., Герасимова О. С. Сравнение различных вариантов рандомизации метода последовательных приближений // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11, специальный выпуск. С. 27-35.

20. Войтишек А. В., Каблукова Е. Г., Лощина Н. В. Исследование метода сложной симметризации // Там же. С. 52-53.

21. Войтишек А. В., Каблукова Е. Г. Исследование метода сложной симметризации // Труды 9-го Международного семинара-совещания «Кубатурные формулы и их приложения». Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2007. С. 61-75.

22. Бусыгин С. В., Войтишек А. В., Каблукова Е.Г., Ефремов А.И. Дискретно-стохастические состоятельные оценки метода Монте-Карло // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48, № 9. С. 1543-1555.

23. Каблукова Е. Г. Исследование адаптивных алгоритмов численного интегрирования // Материалы конференции молодых ученых. Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2001. С. 94-103.

24. Каблукова Е. Г. Двусторонний геометрический метод Монте-Карло // Материалы конференции молодых ученых. Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2002. С. 76-81.

25. Каблукова Е. Г. Исследование методов численного интегрирования с оптимальной скоростью сходимости // Материалы XLII Международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» . Математика. Новосибирск: НГУ, 2004. С. 126.

26. Каблукова Е. Г. Исследование методов численного интегрирования с оптимальной скоростью сходимости // Труды конференции молодых ученых. Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2004. С. 67-77.

27. Kablukova Е. G. Investigation of methods of numerical integration with optimal convergence speed // Monte Carlo Methods and Applications. 2005. V. 11, № 4. P. 397406.

28. Каблукова E. Г., Герасимова О. С. Исследование математической модели переноса частиц с анизотропным рассеянием // Материалы VIII международного семинара-совещания «Кубатурные формулы и их приложения». Улан-Удэ: ВСГТУ, 2005. С. 49-52.

29. Лощина Н. В., Каблукова Е. Г. Асимптотика метода сложной симметризации // Материалы XLV Международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск: НГУ, 2007. С. 204-205.

30. Ефремов А. И., Каблукова Е. Г. Дискретно-стохастический метод взвешенной равномерно выборки // Там же. С. 202-203.

31. Бусыгин C.B., Каблукова Е. Г. Дискретно-стохастический метод Монте-Карло с поправочным множителем // Там же. С. 201-202.

32. Войтишек А. В., Ухинов С. А. Использование существенной выборки в методе Монте-Карло // Сибирский журнал вычислительной математики. 2001. Т. 4, JV2 2. С. 111-122.

33. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.

34. Марчук Г. Pl., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

35. Handscomb D.C. Remarks on a Monte Carlo integration method // Numerical mathematics. 1964. V. 6, № 4. P. 261-268.

36. Ogorodnikov V. A., Prigarin S. M. Numerical Modelling of Random Processes and Fields: Algorithms and Applications. Utrecht: VSP, 1996.

37. Пригарин С. M. Введение в численное моделирование случайных процессов и полей. Части I, И. Новосибирск: НГУ, 1999.

38. Войтишек А. В., Пригарин С. М. О функциональной сходимости оценок и моделей в методе Монте-Карло // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1992. Т. 32, № 10. С. 1641-1651.

39. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1962.

40. Деврой Л., Дерфи Л. Непараметрическое оценивание плотности (Li). M.: Мир, 1988.

41. Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 2000.

42. Милосердов В. В. Дискретно-стохастические численные алгоритмы со сплайн-восполнениями (Диссертация на соискание уч. степени кандидата физ.-матем. наук). Новосибирск, 2006.

43. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Ii. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976.

44. Войтишек A.B., Мясников А.П., Санеев Л.Э. Использование алгоритмов численного моделирования порядковых статистик // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48, № 12.

45. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1-3. М.: ОГИЗ, 1948.

46. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука, 1975.

47. Боровков A.A. Математическая статистика. Оценка параметров, проверка гипотез. М.: Наука, 1984.

48. Горбачева Н.Б., Соболь И.М., Трикузов А. И. О множителях, уменьшающих дисперсию при вычислении интегралов методов Монте-Карло // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. Т. 41, № 9. С. 1310-1314.

49. Яглом А. М. Корреляционная теория стационарных случайных функций. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1981.

50. Михайлов Г. А. Приближенные модели случайных процессов и полей // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1983. Т. 23, № 3. С. 558-566.

51. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1965.

52. Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.