Решение некоторых динамических задач теории упругости для полупространства с туннельными трещинами-разрезами или вставками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Назаренко, Александр Максимович

• Назаренко, Александр Максимович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Назаренко, Александр Максимович

ВВЕДЕНИЕ.•.

I* Современное состояние вопроса. б

2. Краткое содержание диссертационной работы. II

Глава I. РЕШЕНИЕ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ О ПРОДОЛЬНОМ СДВИГЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ТУННЕЛЬНЫМ РАЗРЕЗОМ.

§1.1. Основные соотношения динамической теории упругости при продольном сдвиге.

§ 1.2. Свойства цилиндрических функций, используемых при решении уравнений Гельмгольца.

§ 1.3. Постановка второй краевой задачи. Выбор представления для амплитуды рассеянной волны перемещения.

§ 1.4. Интегральное уравнение краевой задачи (I.I.2),

1.3.2) для полупространства.

§ 1.5. Асимптотическое распределение напряжений в окрестности вершин разреза,.

§ 1.6* Численная реализация сингулярного интегрального уравнения (1.4.4).

Глава 2. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН СДВИГА НА ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТУННЕЛЬНЫХ ТРЕЩИН-РАЗРЕЗОВ В

ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ (АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ).

§ 2.1. Формулировка краевых задач.

§ 2.2. Периодическая функция источника для уравнения

Гельмгольца.

§ 2.3. Решение первой краевой задачи.

§ 2.4. Решение второй краевой задачи.

Глава 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УПРУГИХ ВОЛН С ТОНКОЙ ЖЕСТКОЙ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ВСТАВКОЙ В ПОЛУБЕСКОНЕННОЙ

СРЕДЕ (ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА).

§ 3.1. Исходные соотношения плоской динамической теории упругости.,.

§ 3.2. Постановка краевой задачи. Выбор интегральных представлений амплитуд перемещений.

§ 3.3. Построение функций Грина для полуплоскости.

§ 3.4. Условие сходимости несобственных интегралов, фигурирующих в (3.3.14).

§ 3.5. Представление смещений контурными интегралами граница полуплоскости свободна от сил).».

§ 3.6. Система интегральных уравнений краевой задачи

3.I.I), (3.2.6).

§ 3.7. Асимптотическое распределение напряжений у вершин вставки.

Глава 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УПРУГИХ ВОЛН С КРИВОЛИНЕЙНЫМ РАЗРЕЗОМ В ПОЛУБЕСКОНЕННОЙ СРЕДЕ (ПЛОСКАЯ

ЗАДАЧА).

§ 4.1. Постановка краевой задачи. Выбор интегральных представлений амплитуд перемещений.

§ 4.2. Построение функций Грина. ЮЗ

§ 4.3. Интегральные уравнения краевых задач для плоскости и полуплоскости с разрезом. НО

§ 4.4. Определение динамических коэффициентов интенсивности напряжений И j и К,-,.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение некоторых динамических задач теории упругости для полупространства с туннельными трещинами-разрезами или вставками»

Современные конструкции и сооружения работают в условиях не только многократных статических и циклических, но и динамических нагрузок. Известно, что при динамическом нагружении на тела с трещинообразными дефектами вероятность развития трещин может повышаться, Поэтому для оценки предельного состояния таких тел важно выяснить влияние чисто инерционного эффекта на распространение трещин.

Исследованию проблемы динамического разрушения конструкций должен предшествовать анализ волновых полей в модельных задачах. В связи с этим актуальной является разработка методов решения динамических задач теории упругости для бесконечных и полубесконечных тел с трещинами.

С теоретической точки зрения трещина представляет собой математический разрез, при переходе через который смещения могут претерпевать разрывы. Если разрывы смещений заранее неизвестны, точное математическое описание волнового поля, возникающего из-за наличия трещины, оказывается весьма сложным.

Большинство имеющихся в литературе исследований относится к задачам дифракции упругих волн на прямых и круговых трещинах -разрезах. Однако в действительности трещина, как правило, не имеет прямолинейной или круговой формы, и, как показали исследования, кривизна дефекта существенно влияет на величину коэффициентов интенсивности напряжений.

Значения динамических коэффициентов интенсивности напряжений зависят также и от близости границы тела к очагу разрушения, поскольку, как бы далеко дефект не находился от границы, он всегда попадает в зону действия отраженной волны. В бесконечном упругом теле существует два типа волн - продольные и поперечные - и распространяются они независимо друг от друга. Волновой процесс в ограниченной среде отличается прежде всего возможностью взаимного преобразования волн расширения и сдвига на границе. Кроме того, наличие границы тела может приводить к возникновению новых типов волн, что значительно усложняет волновую картину. Так, например, при взаимодействии продольной или поперечной волны со свободной границей упругого полупространства генерируется волна Рэлея, амплитуда которой убывает по экспоненциальному закону по мере удаления от границы. По этой причине для расчетной практики важно иметь алгоритмы, позволяющие оценить влияние не только кривизны дефекта, но и границы тела на динамические коэффициенты интенсивности напряжений.

Настоящая диссертация посвящена разработке метода решения динамических задач теории упругости для полупространства, ослабленного туннельными криволинейными разрезами. Рассматривается стационарный волновой процесс. Следует отметить, что существует принципиальная возможность описать общий нестационарный случай набором гармонических составляющих. Однако и в рамках гармонических процессов удается сделать важнейшие качественные выводы о процессах, предшествующих хрупкому разрушению и о распространении фронта разрушения.

Диссертация состоит из следующих блоков:

1. Построение интегральных представлений решений первой и второй краевых задач теории упругости для пространства и полупространства с туннельными разрезами.

2. Сведение краевых задач к сингулярным интегральным уравнениям относительно скачков смещений (первая краевая задача) или скачков напряжений (вторая краевая задача).

3. Асимптотический анализ волновых полей в окрестности дефектов. Вывод формул для коэффициентов интенсивности.

4. Разработка схем численной реализации построенных алгоритмов.

5. Параметрическое исследование динамических коэффициентов интенсивности напряжений в зависимости от кривизны дефектов, их взаимного расположения, близости границы, характера нагрузки, значений нормализованных волновых чисел.

I. Современное состояние вопроса.

Разработке теории и методов решения задач о напряженном состоянии тел с трещинами посвящено большое число работ советских и зарубежных авторов. Это прежде всего семитомная энциклопедия "Разрушение" (под ред. Либовица [72] ), монографии А.Е. Андрей-кива [I] ; Броека [9] ; А.Н, Гузя [24] ; А.Н. Гузя, М.Ш. Дышеля, Г.Г. Кулиева, О.Б. Миловановой [29J ; Т.Екобори [31] ; Ирвина

103] ; Л,М. Качанова [37] ; В.В. Данасюка [60] ; В.З. Партона, Е.М. Морозова [67] ; В.З, Партона, П.И. Перлина [69] ; М.П. Сав-рука [74] ; Л.И. Слепяна [79] ; Г.П. Черепанова [90] , а также отдельные главы монографий Н.Ф. Морозова [48] ; Ю.Н. Работнова

71] ; Л.И. Седова [76] ; Снеддона [801 и статьи Г.И. Баренблат-та [3] ; Д.Д. Ивлева [34] ; Г.С. Кита [38] ; В.В. Новожилова [58, 59J ; П. Париса, Дж. Си [63] ; Я.С. Подстригача, Г,С, Кита [70] ; Г*Н. Савина, В.В. Панасюка [73] ; Л.А. Филыптинского [831 .

Проблема дифракции упругих волн на концентраторах напряжений различной формы освещена в монографиях А.Н. Гузя, В.Т. Головчана

26] ; А.Н. Гузя, В.Д, Кубенко, М.А. Черевко [30] . Довольно обширный список литературы по определению динамической напряженности вблизи дефектов типа трещин содержится в обзорных работах В.Г. Борисковского, В.З. Партона [б] ; Датта [100] ; Краута [105]

Обзор по дифракции акустических и электромагнитных волн на дисках и других телах простой формы выполнен Боуманом, Сеньором, Асленги [99] .

Начало исследований задач дифракции упругих волн на разрезах было положено работами Зоммерфельда [32] и Мауэ [НО, III] . Ими были рассмотрены случаи полубесконечных разрезов в условиях антиплоской (математически эквивалентно задаче о дифракции электромагнитных волн на полубесконечном жестком экране) и плоской деформации соответственно* Колебания плоскости с полубесконечным разрезом исследовались также Г.П. Черепановым [89,90] . Особенность полученных здесь решений заключается в том, что при ч/левой частоте (статический случай) значения динамических коэффициентов интенсивности напряжений обращаются в бесконечность •

Влияние динамических эффектов на повышение опастности хрупкого разрушения удается изучить на примере задач о взаимодействии упругих волн с трещинами-разрезами конечных размеров. В этом случае, как показали исследования, угловое распределение поля напряжений вблизи вершин трещины совпадает с соответствующим распределением при статическом нагружении. Это поле напряжений сингулярно, и главный член разложения по степеням расстояния до конца трещины ро имеет вид К /т/ро , где К - коэффициент интенсивности напряжений. При динамических нагрузках величина \\ за~ висит от времени, причем во всем диапазоне практически встречающихся частот амплитуда динамического коэффициента интенсивности напряжений превышает статический коэффициент интенсивности. Наибольшее отклонение достигает 30% [65,112] •

Следует отметить, что если в случае полубесконечных разрезов были получены аналитические решения, то рассмотрение дифракционных задач с конечными разрезами требует значительного объема вычислительной работы на ЭВМ,

Существует три основных подхода к решению динамических задач теории упругости для тел с конечными дефектами: методы рядов, интегральных преобразований Фурье и интегральных представлений типа Сомильяны (потенциальных представлений).

В основу метода рядов положен метод разделения переменных. В работе [49] приведены системы координат, в которых для волнового уравнения в случае установившихся колебаний можно получить уравнения с разделенными переменными. Особенно эффективно этот метод используется в задачах дифракции упругих волн на круговых отверстиях, где решение ищется в виде рядов по функциям Ханкеля. Этот метод применен в работах В.Т. Головчана [19,20] ; А.Н. Гузя [25] ; А.Н. Гузя, В.Т. Головчана [26,27,28] ; А.Н. Гузя, В.Д.Ку-бенко, М.А. Черевко [30] ; Н.А. Щульги [92,93] .

При дифракции волн на прямолинейных разрезах переменные разделяются в эллиптических координатах, решение здесь представляется в виде рядов по функциям Матье. Этот метод использован в работах Н.М. Бородачева [7] ; В.З. Партона, Б.А. Кудрявцева [ 65. ] ; В.З. Партона, Е.М. Морозова [67] .

При решении задач об установившихся колебаниях полосы с разрезом (В.З. Партон [64] ) и плоскости с периодической системой разрезов (Б.А. Кудрявцев, В.З. Партон [39] ; Хусейн, Пю [102] ) применен метод дуальных тригонометрических рядов.

Неизвестные коэффициенты разложения в методе рядов определяются из решения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.

Остановимся подробнее на методе, предложенном в работе [102] , поскольку он обладает достаточной общностью и может быть использован в других задачах математической физики, сводящихся к парным тригонометрическим рядам. К достоинствам этого метода следует отнести то, что динамический коэффициент интенсивности напряжений в данной задаче равен произведению статического коэффициента интенсивности и некоторой функции F , зависящей от длины разреза, свойств материала и частоты гармонической нагрузки. Статический случай поручается как частный случай динамического при частоте и) 0 , Метод позволяет найти нулевое приближение (статика, Л/ ~ 0 ) в явном виде цутем сведения парных уравнений к сингулярному интегральному уравнению с логарифмическим ядром, которое решается точно. Ненулевое приближение (динамика, определяется из нулевого с помощью метода Швингера [107] , используемого в задачах о распространении волн. При каждом фиксированном А/ функция F находится из матрицы А/ - го порядка. С увеличением Л/ функция Р стремится к точному значению. Расчеты показывают [67, 102] , что хорошая точность достигается при небольших А/ .

В случае прямолинейных разрезов эффективно работает также метод интегральных преобразований Фурье, который предполагает преобразование вдоль оси перпендикулярной фронту разреза. Благодаря свойству симметрии, в данном случае задачу дифракции удается разбить на симметричную и кососимметричную задачи. Для обращения потенциалов ф и У здесь получаются обыкновенные дифференциальные уравнения. Удовлетворение граничных условий на разрезе приводит к интегральноцу уравнению (сингулярному или Фредгольма второго рода), которое реализуется численно.

Методом интегральных преобразований получены динамические коэффициенты интенсивности напряжений для трещин нормального отрыва и поперечного сдвига (Си, Лебер [112] ), а также для трещин продольного сдвига (Лёбер, Gh [108] ).

В работах Ахенбаха, Бринда [96] ; Ахенбаха, Кира, Мендельсона [97J ; Р. Вилле [12] ; Луонга, Кира, Ахенбаха [109] ; Стоуна, Гоша, Мела [113] этим методом исследованы стационарные динамические задачи в случае разрезов, выходящих на границу полупространст- v ва или приближающихся к ней.

При решении прямых задач дифракции упругих волн на криволинейных разрезах возникают специфические трудности. Вместе с тем исследование подобных задач приобретает особую актуальность в связи с необходимостью решения обратных задач, т.е. определения геометрических характеристик неизвестного дефекта по зависимости амплитуды дифрагированной волны в дальнем поле от частоты. Проблема идентификации дефектов рассматривалась в работах Ахенбаха [95] ; Койтера [1041 и некоторых других авторов.

Впервые динамическая задача теории упругости в случае криволинейных разрезов была решена Л. А. Филыптинским [841 в условиях антиплоской деформации. Идея заключалась в построении интегральных представлений типа Сомильяны для перемещений с последующим сведением задачи к сингулярному интегральному уравнению. Эти интегральные представления обеспечивали разрывы перемещений на любой гладкой дуге.

Л.В. Волкова, Л.А. Филыптинский [15] распространили этот метод на случай переодической системы криволинейных туннельных разрезов продольного сдвига. Эти авторы [86] исследовали также динамическую задачу для неограниченной среды с криволинейным разрезом в условиях плоской деформации. Вычисления динамических коэффициентов интенсивности напряжений проводились на основании асимптотического анализа интегральных представлений для производных от перемещений. Неизвестные плотности получены из решения системы сингулярных интегральных уравнений.

Л.А. Филыптинский [85] развил указанный метод на динамическую задачу о продольном сдвиге полуспространства с криволинейным разрезом, выходящим на границу. Построенные им интегральные представления для перемещений автоматически удовлетворяли условиям на свободной или закрепленной границе полупространства.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Назаренко, Александр Максимович

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Разработан единый подход к решению стационарных динамических двумерных задач теории упругости для полубесконечных тел с криволинейными разрезами или тонкими жесткими вставками, основанный на: а) построении интегральных представлений для амплитуд перемещений; б) сведении возникающих краевых задач к сингулярным интегральным или интегродифференциальным уравнениям; в) их численной реализации.

Данный подход позволяет определить волновые поля в полупространстве с дефектами, а также строить асимптотику напряжений в окрестности дефектов.

2. На основе предложенного метода решены и исследованы: а) задача о продольном сдвиге полупространства с туннельным криволинейным разрезом, когда на разрезе задано перемещение; б) периодические первая и вторая краевые задачи о продольном сдвиге полупространства с туннельными криволинейными разрезами; в) задачи о дифракции волн растяжения и сдвига на криволинейном разрезе или тонкой жесткой вставке в упругом полупространстве в условиях плоской деформации.

3. Получены формулы для динамических коэффициентов интенсивности напряжений в виде функционалов, определенных на решениях интегральных уравнений соответствующих краевых задач.

4. Проведено парамерическое исследование влияния конфигурации дефектов, их расположения относительно защемленной или свободной границы полупространства, нормализованных волновых чисел, вида нагрузки на величину и характер изменения коэффициентов интенсивности напряжений. На основании этих исследований сделаны следующие выводы: а) при дифракции волн на вставке в неограниченной среде отношение максимальных амплитуд контактных усилий на вставке к амплитуде напряжения в падающей волне слабо зависят от частоты и кривизны вставки, что позволяет ввести для указанной величины простую расчетную формулу; б) в полуограниченной среде влияние кривизны вставки существенно. Кроме того, здесь для заданной конфигурации вставки и ее расположения относительно границы можно указать такие волновые числа, при которых амплитуды сингулярных частей напряжений близки к нулю; в) при распространении продольной волны вдоль оси симметрии трещины с увеличением ее кривизны амплитуда коэффициента интенсивности напряжений KL уменьшается, а К- увеличивается. Если в том же направлении излучается волна сдвига, то происходит увеличение амплитуды Kf и уменьшение амплитуды К ц ; г) при взаимодействии упругих волн с трещиной в полупространстве, как и в случае вставки, можно также указать волновые числа, при которых амплитуды коэффициентов интенсивности напряжений близки к нулю. Динамические эффекты в полупространстве проявляются в большей степени, чем в пространстве; д) при дифракции волны сдвига на периодической системе разрезов при определенном соотношении между волновым числом и длиной периода наступают резонансные явления. Наличие границы приводит к то!<у, что в случае прямолинейных трещин пиковое значение увеличивается при свободной границе и уменьшается для защемленной границы; е) если расстояние между прямолинейными трещинами равно длине трещины, то наблюдается значительное повышение амплитуды коэффициента интенсивности напряжений KlT, . Это обстоятельство, повиди-мому, необходимо учитывать в практике проектирования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Назаренко, Александр Максимович, 1984 год

1. Андрейкив А.Е. Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии, - Киев: Наукова думка, 1979. - 141 с.

2. Бабич В.М., Капилевич М.Б., Михлин С.Г. и др. Линейные уравнения математической физики. М.: Наука,, 1964, - 368 с.

3. Баренблатт Г,И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении. 1урн.прикл.механики и техн. физики, 1961, № 4, с, 3-56.

4. Баренблатт Г.И., Черепанов Г.П. О хрупких трещинах продольного сдвига. « Прикл.мат. и мех., 1961, т. 25, № 6, с. III0-III9.

5. Безухов В.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести.- М.: Высш.школа, 1968. 512 с,

6. Борискрвский В.Г., Партон В.З. Динамическая механика разрушения.- Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Сер. Механика деформируемого твердого тела, 1983, т. 16, 84 с.

7. Бородачев Н.М. Динамическая задача о трещине в случае деформации продольного сдвига. Проблемы прочности, 1973, № 4, с. 23-25.

8. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: изд-во АН СССР, 1957. - 502 с.

9. Броек Д, Основы механики разрушения. М,: Высш.школа, 1980. -368 с.

10. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука, 1970. - 379 с.

11. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. ~ М.: Наука, 1966. 168 с.

12. Вилле Р. Расчет коэффициентов интенсивности напряжений для трещины, находящейся в упругой подуплоскости под действием динамической нагрузки. ~ Вестн.Моск.ун-та, вер. I. Математика. Механика, 1984, № I, с. 53-59.

13. Виноградова М.Б., ^уденко О.В., Оухоруков А.П. Теория волн. -М.: Наука, 1979. « 384 с.

14. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. - 512 с.

15. Волкова JI.B., Филыптинский Л. А. Взаимодействие волн напряжений с периодической системой криволинейных трещин продольного сдвига. Журн. прикл.мех. и техн.физики, 1981, № 2» с. 164-169.

16. Волкова JI.B., Филыптинский Л.А. Двоякопериодическая задача теории упругости для продольного сдвига анизотропной среды с трещинами. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1979, № 2,с. 91-95.

17. Габдулхаев Б.Г., Душков П.Н. 0 прямых методах решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. Изв. вузов. Математика, 1973, № 7, с. 12-24.

18. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1977. - 640 с.

19. Головчан В.Т. Колебания полуплоскости круговыми отверстиями. -Прикл.механика, 1970, № 6, вып. I, с. 113- 115.

20. Головчан В.Т. OchobhI граничн1 задач1 динам1чно1 теорП пруж-hoctI для областей, обмежених колами I прямими. Допов.АН УРСР. Сер. А., 1970, № 6, с. 531-534.

21. Градштейн И.С., йажик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962. - 1100 с.

22. Григолгок Э.И., Грингауз М.Г., Филыптинский Л.А. Об одном подходе к исследованию сингулярных полей напряжений в кусочно-однородной среде с ветвящимися разрезами. Докл. АН СССР,1981, т. 261, № 3, с. 567-570.

23. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев.: Наукова думка, 1981. - 284 с.

24. Гузь А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. Киев: Наукова думка, 1983. - 296 с.

25. Гузь А.Н. О дифракции волн на конечных телах вращения. -Прикл.механика, 1973, № 9, вып. 7, с. 10-18.

26. Гузь А.Н,, Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. Киев: Наукова думка, 1972. - 253 с.

27. Гузь А.Н., Головчан В.Т. О решении основных граничных задач теории установившихся колебаний для бесконечной плоскости с круговыми отверстиями. Механика твердого тела, 1968, № 2, с •

28. Гузь А.Н., Головчан В.Т. О решении плоских задач стационарной дифракции упругих волн для многосвязных областей. В кн.: Распространение упругих и упруго-пластических волн. Ташкент, 1969, с. 42 - 61.

29. Гузь А.Н., Дышель М.Ш., Кулиев Г.Г., Милованова О.Б. Разрушение и устойчивость тонких тел с трещинами, Киев: Наукова думка, 1981. - 184 с.

30. Гузь А»Н«, Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев: Наукова думка, 1978. - 307 с.

31. Екобори Т. Научные основы прочности и разрушения материалов. -Киев: Наукова думка, 1978. 351 с.

32. Зоммерфельд А. Оптика. Пер.нем, под ред. М.Е. Ельяшевича, М,: Иностранная литература, 1953.

33. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, 1968. - 287 с.

34. Ивлев Д.Д. О теории трещин квазихрупкого разрушения. Журн. прикл.механики и техн.физики, 1967, № 6, с. 88-128.

35. Исакович М.А. Общая акустика. М: Наука, 1973. - 496 с.

36. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973. - 304 с.37