Динамическое взаимодействие системы штампов и упругого полупространства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Павловская, Екатерина Евгеньевна

• Павловская, Екатерина Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Павловская, Екатерина Евгеньевна

Оглавление

Введение

1 Движение штампа конечной массы на упругом полупространстве

1.1 Постановка задачи

1.2 Асимптотический анализ уравнения контакта

1.3 Построение асимптотического решения

1.4 Некоторые задачи динамического взаимодействия изолированного штампа и полупространства

1.4.1 Переход в статическое состояние 1

1.4.2 Переход в статическое состояние 2

1.4.3 Реакция на импульсное возбуждение

1.4.4 Стационарная задача

1.4.5 О некоторых известных решениях

2 Движение нескольких удаленных штампов конечной массы на упругом полупространстве

2.1 Постановка задачи

2.2 Асимптотический анализ уравнения контакта

2.3 Построение асимптотического решения

3 Некоторые задачи динамического контактного взаимодействия

3.1 Динамический переход системы штампов в статическое состояние

3.2 Задачи о гармоническом возбуждении системы штампов

3.3 Реакция системы штампов на заданный сейсмический импульс

3.4 Определение перемещения штампов при заданном законе движения одного из них

Заключение

Литература

Приложения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамическое взаимодействие системы штампов и упругого полупространства»

Введение.

Многочисленные проблемы строительной механики, геофизики, акустики, горного дела, задачи контакта деталей машин требуют изучения процессов взаимодействия тел, контактирующих по нескольким удаленным областям. При этом нередко встречаются ситуации, когда размер зон контакта много меньше расстояний между ними, а характерный временной масштаб внешнего воздействия сравним со временем пробега упругой волны между областями контакта (и значительно превышает время пробега вдоль зоны контакта).

В настоящее время существуют различные способы описания контактного взаимодействия. Этот процесс является сложным и при его моделировании необходимо, вообще говоря, учитывать не только упругие, но и пластические деформации, а также микроразрушения и термодинамические эффекты. Однако в ряде задач возможно получить адекватное описание процесса, ограничиваясь рамками линейной трехмерной задачи динамической теории упругости.

В случае, когда размеры одного из рассматриваемых тел намного превышают размеры другого, например при изучении взаимодействия сооружения с грунтом (основанием), или в случае, когда за время протекания процесса возмущения не успевают достичь границ одного из тел, широко применяется модель упругого полупространства.

При изучении динамического взаимодействия тел, имеющих несколько удаленных областей контакта, часто рассматривают модельную контактную задачу о динамическом взаимодействии нескольких удаленных штампов и упругого полупространства. Жесткий штамп является хорошо изученным объектом, для которого легко выписываются уравнения движения, и обладает, в отличие от объектов с распределенными параметрами, конечным числом степеней свободы. Но несмотря на это, использование модели жесткого штампа позволяет описать с достаточной достоверностью многие реальные объекты.

Трехмерные динамические задачи контакта тел конечных размеров успешно решаются численно методами конечных элементов, граничных элементов, конечных разностей и другими. Эти решения являются достаточно трудоемкими. Например, решение задачи методом интегральных уравнений предусматривает, во-первых, расчет ядер, выражающихся кратными несобственными интегралами от осциллирующих функций, и, во-вторых, решение сингулярных интегральных уравнений. В случае же нескольких удаленных областей контакта реализация численных решений сопряжена с принци-

пиальными трудностями. Они связаны с необходимостью точного учета многочисленных отражений упругих волн от границ областей контакта. По этой причине актуальной является разработка новых подходов.

Перспективным представляется обращение к асимптотическим методам. Последние, с одной стороны, дают адекватное описание динамического процесса, а с другой стороны приводят к существенно более простым уравнениям, чем уравнения исходной трехмерной динамической задачи теории упругости (в соответствующем диапазоне изменения параметров). Асимптотический подход основывается на использовании малого геометрического параметра, равного отношению малого геометрического размера (диаметра области контакта) к большому характерному размеру (расстоянию между областями контакта). В силу предположения о сравнимости характерного временного масштаба внешнего возмущения и времени пробега упругой волны между областями контакта в данной задаче указанный малый параметр будет единственным.

Целью настоящей работы является построение новой модели динамического взаимодействия системы штампов и упругого полупространства при длинноволновом возмущении, а также решение ряда конкретных динамических задач, имеющих как иллюстративное, так и самостоятельное значение.

Методика исследования состоит в использовании аппарата функции Грина для построения граничных интегральных уравнений рассматриваемой трехмерной динамической контактной задачи теории упругости, а также в применении асимптотических методов для упрощения построенной системы уравнений.

Необходимо подчеркнуть, что при изучении контактного взаимодействия предполагается, что в рассматриваемые моменты времени не нарушается условие контакта, т.е. не происходит отскок штампа от поверхности полупространства. Это условие (непрерывности контакта) будет выполняться в тех случаях, когда на систему действует статическая нагрузка достаточной величины. В реальных системах такое статическое нагружение осуществляется силой тяжести.

При анализе опубликованных в литературе результатов исследований по данной тематике прежде всего необходимо остановиться на различных подходах и методах решения задач динамического контактного взаимодействия круглых штампов и упругого полупространства.

В рамках статической задачи теории упругости контактное взаимодействие штампов и полупространства изучалось И.Я.Штаерманом [1], Л.А.Галиным [2], А.И.Лурье [3], G.Gladwell [4], K.Johnson [5] и многими другими. В указанных фундаментальных

монографиях были заложены основы теории контактных задач. К настоящему времени для изолированного штампа построено точное решение задачи, а для системы удаленных штампов - асимптотические решения. Строгое обоснование асимптотических разложений выполнено И.И.Аргатовым и С.А.Назаровым [6].

Основные методы решения динамической контактной задачи о взаимодействии изолированного круглого штампа и полупространства рассмотрим более подробно. Первые попытки построения решения данной задачи были сделаны в работах E.Reissner [7], О.Я.Шехтер [8] - [11], R.Arnold, G.Bycroft, G.Warburton [12], [13] , T.Sung [14], P.Quinlan [15], В.А.Ильичева [16] и др., где принимались некоторые допущения о характере распределения контактных напряжений под штампом (равномерное или квазистатическое), а контактное условие на перемещение удовлетворялось приближенно либо в одной точке, либо в среднем по площади.

Техника интегральных преобразований (Лапласа по времени и Ханкеля по координате) использовалась при построении решения в более поздних исследованиях. Полученные парные интегральные уравнения преобразовывались в интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Последнее решалось различными приближенными методами (Н.М.Бородачев [17] - [24], В.Б.Поручиков [25], В.Н.Закорко, Н.А.Ростовцев [26], [27], I.Robertson [28], G.Gladwell [29], M.Gutzwiller [30], Ю.С.Яковлев, В.Л.Лобысев [31] -[33], R.Westmann, J.Luco [34], T.De [35], T.Liu, X.Zhang [36] и др.).

В работах В.М.Сеймова [37] - [40], M.Oien [41], S.Krenk, H.Schmidt [42], Г.Я.Попова [43], [44] и др. после выполнения преобразования Лапласа по времени задача сводилась к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений на основе разложения решения в ряд по специально выбранной системе ортогональных многочленов.

В практических приложениях указанной тематики наибольший интерес вызывает движение штампа, вызванное силой, приложенной в некоторой точке границы среды, и взаимодействие нескольких штампов, расположенных на упругом основании. Решения динамической задачи о двух жестких штампах на полупространстве при различных предположениях были получены в работах О.Я.Шехтер [45], В.А.Ильичева [46], [47], G.Warburton, J.Richardson, J.Webster [48], [49], T.Triantafyllidis [50], [51] и др. Гармонические колебания штампа под действием упругих волн, распространяющихся от силы, приложенной на большом расстоянии от штампа, исследованы Г.Б.Муравским [52], [53].

С развитием вычислительной техники большое распространение получили численные решения трехмерных динамических контактных задач методами конечных элементов, граничных элементов, конечных разностей и др. (C.Duns [54], H.Wong, J.Luco

[55], ХЬувшег [56], М.ОЬш, К.Тоэака [57], M.Ottenstrener [58], КагаЬаИв Б., Вевкоэ Б. [59] и др.).

Особый вклад в развитие динамических контактных задач внесен ростовской школой механики (И.И.Ворович [60], В.А.Бабешко [61], В.М.Александров [62], Ж.Ф.Зинченко, Е.В.Глушков [63], О.Д.Пряхина и др.). Ими были разработаны эффективные методы решения смешанных задач и получен целый ряд новых решений для слоя.

Ключевым моментом при выводе граничных интегральных уравнений эластодинами-ки является построение фундаментальных решений соответствующих задач. Различные формы фундаментальных решений задачи Лэмба для полупространства получены в работах Г.И.Марчука, К.И.Огурцова, Г.И.Петрашеня [64], [65], Е.И.Шемякина [66], С.Рекеш [67], Р.ШсИагс^ [68] и др.

Более полные обзоры можно найти в посвященных контактным задачам монографиях, например [60], [62], [63], [37] - [39], [69] - [71].

К настоящему времени достаточно подробно изучены все четыре формы стационарных колебаний изолированного круглого штампа, расположенного на упругом полупространстве: колебания вдоль и вокруг вертикальной и горизонтальных осей. Найдено решение целого ряда задач динамики. Однако при изучении большинства из них принимались упрощающие допущения, например о характере распределения контактных напряжений. Взаимодействие нескольких штампов рассматривалось приближенно при дополнительных упрощающих предположениях. Таким образом, проведенное в настоящей диссертационной работе исследование динамики системы штампов на упругом полупространстве в рамках трехмерной динамической теории с применением асимптотических методов представляется актуальным. Основные результаты диссертационной работы были опубликованы в [72] - [74].

В первой главе диссертации рассмотрено динамическое взаимодействие круглого штампа и упругого полупространства при длинноволновом внешнем возмущении. В 1.1 сформулирована динамическая трехмерная контактная (со смешанными граничными условиями) задача теории упругости.В 1.2 на основе сделанного предположения о характере приложенного внешнего воздействия проведен асимптотический анализ интегрального уравнения контакта. В 1.3 построено уравнение для поступательного смещения центра масс штампа, описывающее взаимодействие рассматриваемого штампа со средой в случае длинноволнового возмущения. В 1.4 рассмотрены некоторые тестовые задачи, позволяющие проверить адекватность описания предложенной асимптотиче-

ской моделью известных динамических процессов. Проведено сравнение полученных результатов с известными решениями В.М.Сеймова, G.Bycroft, C.Duns, I.Robertson, Liu Tierang и Zhang Xiangzhou.

Во второй главе диссертации рассмотрено динамическое взаимодействие (контакт) упругого полупространства и нескольких штампов, расположенных на границе. В 2.1 приведена постановка задачи о контакте системы гладких удаленных штампов и полупространства. В 2.2 приведен асимптотический анализ уравнения контакта на основе сделанных предположений о характере внешнего воздействия и об удаленности штампов. В 2.3 построено асимптотическое решение задачи о динамическом взаимодействии системы штампов и полупространства.

В третьей главе диссертации асимптотическая модель взаимодействия системы штампов и полупространства протестирована, а также решен ряд новых динамических задач. В 3.1 рассмотрена тестовая задача о динамическом переходе системы штампов в статическое состояние. В 3.2 исследована стационарная задача о колебаниях системы штампов на полупространстве. В 3.3 изучена реакция системы штампов на вертикальный сейсмический импульс. В 3-4 рассмотрено взаимодействие двух одинаковых штампов, в случае, когда перемещение одного из них задано.

В заключении подведен краткий итог работы. Сформулированы основные результаты и выводы диссертации.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Павловская, Екатерина Евгеньевна

Выводы: Результаты решения поставленной динамической задачи показывают, что заданные колебания одного из штампов, вследствие взаимодействия штампов через среду, приводят к возникновению колебаний другого штампа, которые, в свою очередь, вносят некий вклад в контактное усилие под штампом с заданным перемещением. Необходимо подчеркнуть, что при этом волна Рэлея оказывает существенно большее воздействие на штамп, чем волны растяжения и сдвига. = 0.1

Рисунок 3.26: Зависимость перемещения и2 от времени т. = 0.1

Л 0 5 £ = 0.1

11111111 Л /? = 50 - - А Р = юо-- М ¡3 = 150

4

3

2

1

0 1 \

11111111

О 1 2 3 4 5 6 7 8 . //г! 9

Рисунок 3.28: Зависимость контактного усилия Д от времени т. = 0.1

Заключение

Модельная задача о динамическом взаимодействии системы штампов и упругого полупространства широко используется в практических приложениях. В рамках инженерного подхода существуют разнообразные способы вычисления перемещений и контактных напряжений при длинноволновом возмущении.

Анализ существующих в настоящее время моделей динамического взаимодействия штампов и среды позволяет проследить внутреннюю логику их развития.

Наиболее простое приближенное решение задачи можно получить, рассматривая движение изолированного штампа и полагая распределение напряжений под штампом либо равномерным, либо квазистатическим. Поскольку приложенное внешнее воздействие медленно меняется во времени (его временной масштаб много больше времени пробега упругой волны сдвига под штампом), такой подход хотя и не является строгим, но вполне обоснован с физической точки зрения. Таким образом для штампа решаются уравнения динамики твердого тела, при чем действующие на него со стороны упругого полупространства легко находятся, поскольку распределение напряжений является заданным. Неизвестное перемещение и центра масс круглого штампа радиуса К при предположении о квазистатическом распределении напряжений под штампом определяется при решении следующей системы уравнений: мщ0 = -^) в

Первое уравнение данной системы представляет собой решение статической задачи, построенное Л.А.Галиным, коэффициент при суммарном контактном усилии Р(1/Т) является статической податливостью системы круглый штамп - полупространство, при этом распределение напряжений под штампом имеет вид:

ЧГ' ) 2тг/*

Оставаясь в рамках модели безынерционной упругой среды, т.е. используя решения статических задач, можно рассмотреть всю систему штампов и учесть взаимное влияние между ними. Как и в предыдущем случае, распределение напряжений под каждым из штампов считается заданным (таким же как в статической задаче). При построении решения можно воспользоваться результатами решения статической задачи о нескольких штампах на полупространстве.

При упрощенном подходе, учитывая удаленность штампов, для оценки вклада в перемещения от соседних штампов можно заменить напряжения, распределенные по площадкам контакта, сосредоточенными силами, приложенными в центрах соседних областей контакта (суммарными контактными усилиями): «.(*) -«>.(♦) = igft (*) + (2) . М„й»(£) = -F»(i)

Использование замкнутой формы фундаментального решения динамической задачи Лэмба позволяет построить более сложную модель, в которой взаимное влияние штампов учитывается динамически по действию суммарных контактных усилий. При этом распределение контактных напряжений под рассматриваемым штампом по-прежнему считается статическим:

Mi) - Mi) = ¿ЙЗД) +EfG(t-1>, I* - x^F^df гфк о (3) мкйк{$) = -Fk(*О

Основным недостатком указанных моделей, позволяющих с большей или меньшей точностью описать динамический процесс, является прежде всего их неспособность учесть перенос энергии упругими волнами на бесконечность. Вообще говоря, этот недостаток является принципиальным, поскольку при этом реально существующие процессы распространения энергии в среде (т.е. качественные эффекты) не могут быть описаны корректно.

Предложенная в диссертационной работе асимптотическая модель построена при использовании асимптотического подхода к решению точных уравнений линейной трехмерной динамической теории упругости. Она позволяет адекватно описать динамическое взаимодействие системы удаленных штампов и упругого полупространства: учесть перенос энергии при распространении упругих волн вглубь среды и взаимное влияние штампов.

Сравнение результатов расчета динамики системы двух одинаковых штампов по асимптотической модели и по квазистатической модели (2) приведено на рис. 1. Легко видеть, что перемещение, рассчитанное по квазистатической модели (2), при внешнем воздействии вида v0(т) = Н(т)Н{ 1 - г) sin2(Trr). (4) г = 0.1

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

0 1 2 3 4 5 6

Рисунок 1: Зависимость перемещения V от времени 1/Т. представляет собой незатухающие во времени колебания. Таким образом, модель (2), в отличии от предложенной асимптотической модели, искажает реальную динамику штампов, т.к. в реальной системе колебания, как известно, будут затухать.

Сравнение результатов расчета по асимптотической модели и по инженерным моделям (1), (3) показало, как и в случае модели (2), недостаточность описания динамического процесса этими моделями.

Наиболее близкими к предложенной асимптотической модели являются приближенные модели В.Л.Лобысева и В.А.Ильичева, в основе которых лежит аппроксимация импульсной переходной функции системы штамп - полупространство.

В.А.Ильичев [46] предложил для описания перемещения IV изолированного квадратного штампа (сторона квадрата 2Ь, масса М) под действием вертикальной динамической нагрузки /(£), не создающей внешнего момента, использовать уравнение вида: Ь

М-7Т7Г + т,о 1 -ТГ + -™ = /(*) ш гу^с2о; <м го54

5)

71 а = 1.12.

32тт/л4Ь'

При аппроксимации импульсной переходной функции, на основе которой построена модель (5), В.А.Ильичев использовал фундаментальное решение динамической задачи Лэмба в замкнутой форме, полученное Пекерисом [67]. Рассматривая абсолютно гибкий штамп, на основе известного фундаментального решения он вычислял в некоторые моменты времени перемещения в определенных точках штампа. Затем, осреднив по площади полученный набор значений в каждый момент времени, он аппроксимировал среднее перемещение, подбирая коэффициенты, некоторой временной функцией, и таким образом получил приближенное выражение для импульсной переходной функции системы квадратный штамп - полупространство. Существенным ограничением предложенной В.А.Ильичевым приближенной модели является тот факт, что решение Пекериса было построено только для одного значения коэффициента Пуассона v = 0.25.

Качественное сравнение приближенной модели (5) (квадратный штамп) и асимптотической модели, предложенной в диссертационной работе (круглый штамп): d2u 8h2u\Ai\ du Aha „, .

HiMI I (/=0.25 = 124 показывает, что коэффициенты соответствующих уравнений являются достаточно близкими (для и = 0.25). Легко видеть, что инерционные и упругие силы в обеих моделях (6) и (5) определяются одинаково (первые - массой штампов, вторые - статической податливостью системы штамп - полупространство), отличие в коэффициентах демпфирования составляет не более 15% (для более точной оценки необходимо сравнить модели для штампов одинаковой формы).

В.Л.Лобысев [80] получил следующее представление для реакции упругого полупространства на вертикальное движение по закону w(t) круглого плоского штампа, расположенного на его границе: , 7Гuh2 dw -как2 } d2w(t -1') , (c2t'\

Щ = + + (XJ dt> (7)

1 8 / с2

0.25 = - 1 1

7г \ cf>

0.25

0 16 Зтг'

0.25 = 1-346,

Ф^) = (— - е) ехр(—Ав), АI„=0.25 = 1-866

Входящие в (7) коэффициенты б, А и функция определяются свойствами упругой среды (соответствующие формулы приведены в [80]). В основе данного представления лежит аппроксимация импульсной переходной функции системы штамп - полупространство, полученная следующим образом: после выполнения интегрального преобразования Лапласа исходных уравнений динамики среды (уравнений Ляме) импульсную переходную функцию в изображениях заменяется некой дробно-рациональной функцией, при этом коэффициенты квадратных трехчленов в числителе и знаменателе подбираются так, чтобы асимптотическое поведение данной дробно-рациональной функции и оригинала совпадало при t.—> 0 и t —У оо. Искомая аппроксимация получается после выполнения обратного преобразования данной дробно-рациональной функции.

Используя представление (7) для реакции упругой среды, можно построить приближенную модель, описывающую движение штампа при заданной вертикальной внешней силе: ,d?w 7так2 } d2w(t - t') , (c2t'\ , . nah2 dw , ,

Легко видеть, что в отличие от предложенной асимптотической модели (6), уравнение (8) содержит в левой части дополнительное слагаемое.

Резюмируя вышесказанное, необходимо отметить, что существующие на данный момент простые инженерные модели (1), (2) и (3) не всегда позволяют правильно описать динамические процессы в рассматриваемой системе. Приближенная модель В.А.Ильичева (5), адекватно описывающая динамическое взаимодействие изолированного штампа и среды, имеет ограниченную область применимости (среда с коэффициентом Пуассона v = 0.25). Приближенная модель В.Л.Лобысева (8) также, как и модель (5), получена только для изолированного штампа.

Построенная в диссертационной работе на основе асимптотического анализа точных уравнений линейной трехмерной динамической теории упругости простая модель для описания динамического взаимодействия системы удаленных штампов и упругого полупространства позволяет учесть перенос энергии упругими волнами на бесконечность (вглубь среды) и взаимное влияние штампов.

Таким образом на основании проведенных исследований можно сформулировать следующие основные результаты диссертации:

1. Разработана длинноволновая модель динамического взаимодействия изолированного круглого штампа, а также системы удаленных круглых штампов и упругого полупространства. Модель позволяет описать диссипацию энергии в среде за счет уноса энергии упругими волнами.

2. Рассчитан отклик системы удаленных круглых штампов на вертикальное гармоническое воздействие и на вертикальный импульс (возбуждение силовое, волновое и кинематическое). Проведено сравнение результатов расчета по асимптотической модели с результатами численных решений, выполненных другими авторами (в той области изменения параметров, где такое сравнение возможно). Сравнение показало эффективность предложенной асимптотической модели.

3. Изучены зависимости динамических свойств системы от инерции штампов, их размеров и взаимного расположения. Рассмотрены различные варианты размещения штампов на границе. Показано, как выбором конфигурации и рациональным распределением массы можно отстраивать систему от резонанса (в определенном диапазоне частот).

4. Проведено сравнение результатов расчета динамических процессов на основе предложенной асимптотической модели и на основе простых инженерных моделей. Сравнение указало на недостаточность описания динамического процесса простыми моделями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Павловская, Екатерина Евгеньевна, 1998 год

Библиография

[1] Шхаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. - М. - JL: Гостехиздат, 1949. - 270 с.

[2] Галин J1.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоу пру гости. М.: Наука, 1980. - 304 с.

[3] Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. - М.: Гостехиздат, 1955. - 492 с.

[4] Gladwell G.M.L., Contact Problem in the Classical Theory of Elasticity. - Alphen aan den Rijn: Sijthoff and Noordhoff, 1980. - 716 p.

[5] Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. - М.: Мир, 1989. - 510 с.

[6] Аргатов И.И., Назаров С. А. Асимптотическое решение задачи об упругом теле, лежащим на нескольких малых опорах // ПММ. - 1994. - т. 58, №2. - с.110-118.

[7] Reisner Е. Stationare, axialsymmetrische, durch eine schuttlnde Masse erregte Schwingungen eines homogenen elastischen Halbraumes // Ing. Arch. - 1936. - 7, 6. -p. 381-396.

[8] Шехтер О.Я. Об учете инерционных свойств грунта при расчете вертикальных вынужденных колебаний массивных фундаментов // В кн.: Вибрации оснований и фундаментов, 12. - М.: Стройвоенмориздат. - 1948. - с. 72-90.

[9] Шехтер О.Я. О решении осесимметричных задач для круговых плит на упругом основании // Основания, фундаменты и механика грунтов. - 1966. - №5. - с. 1-5.

[10] Шехтер О.Я. Некоторые динамические и статические задачи расчета круговых плит на упругом основании //Сб. трудов НИИ оснований и подземных сооружений Госстроя СССР. - вып. 57. - М.: Стройиздат. - 1967. - с. 37-72.

[11] Шехтер О.Я. Резонансные кривые вынужденных гармонических колебаний жесткого круглого штампа на упругом полупространстве // Сб. трудов НИИ оснований и подземных сооружений Госстроя СССР. Основания, фундаменты и подземные сооружения. - вып. 58. - М.: Стройиздат. - 1969. - с. 74-80.

[12] Bycroft G.N. Forced Vibrations of a Rigid Circular Plate on a Semi-Infinite Elastic Space and on an Elastic Stratum // Phil. Transaction of Royal Society of London. -1956. - Vol. 248A. - pp. 327-368

[13] Arnold R.N., Bycroft G.N., Warburton G.V. Forced Vibrations of a Body on an Infinite Elastic Solid // J. Appl. Mech. Trans. ASME. - 1955. - Vol.22. - pp. 391-400

[14] Sung T.Y. Vibrations in semi-infinite solids due to periodic surface loading // In: ASTM Special Technical Publication, 156. Symposium on Dynamic Testing of Soils. -Philadelphia. - 1954. - pp. 35-63.

[15] Quinlan P.M. The elastic theory of soil dynamics // In: ASTM Special Technical Publication, 156. Symposium on Dynamic Testing of Soils. - 1953. - pp. 3-34.

[16] Ильичев В.А. К построению импульсной переходной функции штамп - полупространство // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1973. - №1. - с. 107-119.

[17] Бородачев Н.М. О решении динамической контактной задачи для полупространства в случае осевой симметрии // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. - 1960. - №4. - с. 141-144.

[18] Бородачев Н.М. Динамическая контактная задача для круглой пластинки, лежащей на упругом основании //В кн.: Теория пластин и оболочек. Труды Всесоюзной Конференции. Изд-во АН УССР, Киев. - 1962. - №3. - с. 4-7.

[19] Бородачев Н.М. Динамическая контактная задача для толстой плиты в случае осевой симметрии // Труды IV Всесоюзной Конференции по теории оболочек пластин. Ереван, 1962. - Ереван: Изд-во АН АрмССР. - 1964, - с. 248-254.

[20] Бородачев Н.М. Динамическая контактная задача для штампа с плоским круговым основанием, лежащего на упругом полупространстве // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. - 1964. - №2. - с. 82-90.

[21] Бородачев Н.М. Вертикальные колебания круглого штампа на упругом полупространстве // Строительная механика и расчет сооружений. - 1964. - №5. - с. 33-36.

[22] Бородачев Н.М. Определение динамических напряжений, возникающих в упругом полупространстве под штампом с плоским круговым основанием// Изв. АН СССР. Механика. - 1965. - №4. - с. 158-162.

[23] Бородачев Н.М. Высокочастотные колебания круглого штампа // Строительная механика и расчет сооружений. - 1967. - №6. - с. 31-32.

[24] Бородачев Н.М. Контактные задачи теории упругости при динамическом на-гружении //В кн.: Контактные задачи и их инженерные приложения. Доклады конференции. М.: Изд. НИИМАШ. - 1969. - с. 160-168.

[25] Поручиков В.Б. Осесимметричная динамическая задача о штампе на упругом полупространстве // Вест. Моск. ун-та. Математика. Механика. - 1966. - №6. - с. 114-120.

[26] Закорко B.H. К динамической задаче о распределении давления на контакте круглого штампа с упругим полупространством // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 1965. - №3. - с. 3-13.

[27] Закорко В.Н., Ростовцев H.A. К динамической контактной задаче стационарных колебаний упругого полупространства // ПММ. -1965. - т. 29, №3. - с. 545-552.

[28] Robertson I. A. Forced Vertical Vibrations of a Rigid Circular Disk on a Semi-Infinite Elastic Solid // Proc. Camb. Phil. Soc. - 1966. - Vol. 62A. - pp. 547-553.

[29] Gladwell G.M.L., Forced Tangential and Rotatory Vibration of a Rigid Circular Disk on a Semi-Infinite Solid // International Journal of Engineering Science. - 1968. - Vol.6. - pp. 591-607.

[30] Gutzwiller M.C. Shock of the rigid circular cylinder upon elastic half-space // Phil. Transaction of Royal Society of London. - 1962. - Vol. 255A, 1053. - pp. 153-191.

[31] Лобысев В.Л., Сайгина В.И., Яковлев Ю.С. К решению динамической задачи о круглом штампе на границе с упругим полупространством // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 1971. - №2. - с. 25-33.

[32] Лобысев В.Л., Яковлев Ю.С. Осесимметричная динамическая задача теории упругости со смешанными граничными условиями // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1971. - №4. - с. 103-108.

[33] Лобысев В.Л., Яковлев Ю.С. Динамический расчет сооружений на основе плоской и осесимметричной задачи теории упругости со смешанными граничными условиями //В кн.: Труды координационных совещаний по гидротехнике, 64, 2. Динамика гидросооружений. - Киев: Наукова думка, 1972. - с. 29-36.

[34] Luco J.E., Westmann R.A. Dynamic response of circular footing //J. Eng. Mech. Div. ASCE. - 1971. - Vol. 97, №5. - pp. 1381-1395.

[35] De Т.К. Dynamic contact problem of steady periodic vibrations on an elastic half-space // Z. angew. Math, und Mech. - 1972. - Vol. 52, №11. - pp. 549-551.

[36] Liu Tierang, Zhang Xiangzhou Responce of a Disk Mass on a Half-Space to Dilatational Waves // J. Appl. Mech. Trans. ASME. - 1994. - Vol. 61, №3. - pp. 722-724.

[37] Сеймов B.M. Динамические контактные задачи. - Киев: Наукова думка, 1976. -284 с.

[38] Сеймов В.М., Островерх Б.Н., Ермоленко А.И. Динамика и сейсмостойкость гидротехнических сооружений. - Киев: Наукова думка, 1983. - 318 с.

[39] Сеймов В.М., Трофимчук А.Н., Савицкий О.А. Колебания и волны в слоистых средах. - Киев: Наукова думка, 1990. - 224 с.

[40] Сеймов В.М., Ермоленко Н.П., Зайцева Е.А. Неосесимметричные периодические и нестационарные колебания круглого штампа на упругом полупространстве. // Прикладная Механика. - 1997. - 33, №5. - с. 41-48.

[41] Oien М. A. Steady motion of rigid strip bonded to an elastic halfspace. - In: Paper of American Society of Mechanical Engineers. WA/APM-56. - 1970. - pp. 1-7.

[42] Krenk S., Schmidt H. Vibration of an Elastic Circular Plate on an Elastic Half-Space. - A Direct Approach // J. Appl. Mech. Trans. ASME. - 1981. - Vol.48. - pp. 161-168

[43] Попов Г.Я. О методе ортогональных многочленов в контактных задачах теории упругости. // ПММ. - 1969. - 33, №3. - с. 518-531.

[44] Попов Г.Я. Контактные задачи для линейно-деформируемого основания. - Киев; Одесса: Вища школа, 1982. - 168 с.

[45] Шехтер О.Я. О взаимном влиянии колебаний двух жестких круглых штампов на упругом полупространстве при вертикальных осесимметричных гармонических воздействиях //В кн.: Основания, фундаменты и подземные сооружения. Сборник трудов НИИ оснований и подземных сооружений, 62. - М.: Стройиздат. - 1973. -с. 3-10.

[46] Ильичев В.А. Вертикальные нестационарные колебания массива под действием волн, возникающих в полупространстве при колебаниях другого массива.// Динамика сооружений. Под ред. Коренева Б.Г. и Рабиновича И.М. - М.: Стройиздат. - 1968. - с. 106-122.

[47] Ильичев В.А. Определение динамических напряжений под фундаментами сооружений при прохождении упругих волн в грунте // В кн.: Труды к VIII Международному конгрессу по механике грунтов и фундаментостроению. - М.: Стройиздат. - 1973. - с. 317-319.

[48] Warburton G.B., Richardson J.D., Webster J.J. Forced Vibrations of Two Masses on an Elastic Half Space. //J. Appl. Mech. Trans. ASME. - 1971. - Vol. 38. - pp. 148156.

[49] Warburton G.B., Richardson J.D., Webster J.J. Harmonic Response of Masses on an Elastic Half Space //J. Engineering for Industry. Trans. ASME. - 1971. - Vol. 94. - pp. 193-200.

[50] Triantafyllidis T. Some Aspects of the Dynamic Subsoil Coupling between Circular and Rectangular Foundation. In: Ground Motion and Engineering Seismology (Ed. Cakmak A.S.). - Amsterdam: Elsevier. - 1987. - pp. 259-275.

[51] Triantafyllidis Т., Prange B. Dynamic Subsoil Coupling between Rigid Rectangular Foundation. // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. - 1987. - Vol. 6. - pp. 164-179.

[52] Муравский Г.Б. О гармонических колебаниях штампа на упругом изотропном полупространстве // Строительная механика и расчет сооружений. - 1969. - №4. - с. 39-43.

[53] Муравский Г.Б. Гармонические колебания штампа на полупространстве при действии силы, приложенной к поверхности полупространства // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1969. - №6. - с. 134-139.

[54] Duns C.S. Vertical response of a rigid base to dynamic loading // Civil Eng. and Publ. Work Rev. - 1969. - Vol. 64, №760. - pp. 1091-1095.

[55] Wong H.L., Luco J.E. Dynamic response of rigid foundation of arbitrary shape. // Earthquake Engineering and Structural Dynamics. - 1976. - Vol. 4. - pp. 579-587.

[56] Lysmer J., Richart F.E. Dynamic Response of Footings to Vertical Loading //J. Soil Mech. and Found. Div. ASCE. - 1966. - Vol. 92, №1. - pp. 65-91.

[57] Ohmi M., Tosaka N. The Dynamic Response of Two Rigid Surface Foundations BEM. // Boundary Elements VII, Proc. of the 8th Int. Conf. (Tokio, Japan, 1986). Berlin: Springer Verlag, Сотр. Mech. Publication. - 1986. - Vol.1. - pp. 215-226.

[58] Ottenstreuer M. Frequency Dependent Dynamic Response of Footing. // Soil Dynamics and Earthquake Engineering, (Ed. Cakmak A.S., Brebbia c.A.). - Rotterdam. - 1982. - pp. 799-809.

[59] Karabalis D.L., Beskos D.E. Dynamic soil-structure interaction // Computational methods in mechanics, v.3, Boundary element methods in mechanics, Chapter 11, ed. D.E. Beskos. - Amsterdam: North-Holland, 1987. - pp. 499-562

[60] Бабешко B.A., И.И. Ворович. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. - М.: Наука, 1979. - 320 с.

[61] Бабешко В. А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. - М.: Наука, 1984. - 256 с.

[62] Бабешко В.А., И.И. Ворович, В.М. Александров. Неклассические смешанные задачи теории упругости. - М.: Наука, 1974. - 476 с.

[63] Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф.. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. - М.: Наука, 1989. - 344 с.

[64] Петрашень Г.И., Марчук Г.И., Огурцов К.И. О задаче Лэмба в случае полупространства // Уч. зап. ЛГУ. - 1950. - №135. - с. 71-118.

[65] Огурцов К.И., Петрашень Г.И. Динамические задачи для упругого полупространства в случае осевой симметрии // Уч. зап. ЛГУ. - 1951. - №149. - с. 3-117.

[66] Шемякин Е.И. Динамические задачи теории упругости и пластичности. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 1968. - 337 с.

[67] Pekeris C.L. The seismic surface pulse // Proc. Natl. Acad. Sci., U.S. - 1955. - Vol. 41. - pp. 469-480

[68] Richards P.G. Elementary solutions to Lamb's problem for a point source and their relevance to three-dimensional studies of spontaneous crack propagation // Bulletin of the Seismological Society of America. - 1979. - Vol. 69, №4. - pp. 947-956.

[69] Развитие теории контактных задач в СССР. - М.: Наука, 1976. - 493 с.

[70] Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи для деформируемого полупространства // Итоги науки и техники. Сер. Механика деформируемого твердого тела. - т. 21. - М.: ВИНИТИ, 1990. - с. 76-131.

[71] Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. - М.: Наука, 1995. - 352 с.

[72] Lavrov N.A., Pavlovskaya Е.Е. An asymptotic approach to soil-structure dynamic interaction. // Proc. 14th Intern. Conf. "Structural mechanics in reactor technology" (Lyon, August 17-22, 1997), vol.7, Lyon: IASMIRT. - 1997. pp. 299-306

[73] Pavlovskaya E.E. Dynamic contact pressure between two solids having a few small areas of contact. // Abstracts of Annual Meeting of German Society for Applied Mathematics and Mechanics GAMM 98 (Bremen, April 6-9, 1998), Bremen: GAMM. - 1998. - pp. 99

[74] Павловская E.E. Павловская E.E. Нестационарная задача для системы удаленных штампов, расположенных на упругом полупространстве. // Труды XXIV Международной Школы ученых-механиков "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" (Санкт-Петербург, июль 1-8, 1997), СПб: ИПМаш РАН. - 1997. - с. 364-369.

[75] Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 с.

[76] Лурье А.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 940 с.

[77] Найфэ А.Х. Методы возмущений. - М.: Мир, 1976. - 455 с.

[78] Жилин П.А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве. -С.-Пб.: Изд. СПбГТУ, 1992. - 86 с.

[79] Жилин П.А. Исходные понятия и фундаментальные законы рациональной механики // Труды XXII Международной Школы ученых-механиков "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" (Санкт-Петербург, июль 1-10, 1994), СПб: ИПМаш РАН. - 1995.- е. 10-36.

[80] Лобысев В.Л. Реакция упругого полупространства на движение круглого (в плане) штампа // Труды научно-технической конференции " Новожиловские чтения", посвященные памяти и в связи с 10-летием кончины акад. В.В.Новожилова (СПб, 26-27 июня 1997). - СПб: ЦНИИ им. акад. А.И.Крылова, 1998. - с. 172-177.