Методы функциональных разложений в проблеме нескольких квантовых частиц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Пупышев, Василий Вениаминович

• Пупышев, Василий Вениаминович
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Пупышев, Василий Вениаминович

Введение

Глава 1 Низкоэнергетические разложения в задаче двух частиц

1.1 Введение

1.2 Формулировки задачи рассеяния двух частиц

1.3 Теория возмущений

1.4 Низкоэнергетические разложения

1.4.1 Понятие длины рассеяния и способы ее вычисления.

1.4.2 Выводы низкоэнергстических разложений и асимптотик.

1.5 Некоторые особенности сечений рассеяния

1.6 Низкоэнергетические столкновения нуклонов

1.6.1 Столкновение протонов в триплетном состоянии.

1.6.2 Столкновение нейтронов в триплетном состоянии.

1.6.3 Столкновение протонов в синглетпом состоянии.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы функциональных разложений в проблеме нескольких квантовых частиц»

2.2 Координаты трех частиц 104

2.3 Операторы 109

2.4 "Угловые базисы 113

2.5 Теоремы сложения 119

2.6 Бисферические ряды 122

2.7 Гиперсферические ряды 129

2.8 Ряды по Г^-функциям 139

2.9 Уравнения Шредингера и Фадцеева 139

2.9.1 Свободный гамильтониан .139

2.9.2 Операторы взаимодействий.142

2.9.3 Строение и редукция уравнения Шредингера.144

2.9.4 Строение и редукция уравнений Фадцеева .147

2.10 Заключение 163 Глава 3 Ложные слагаемые, точные и коллапсирующие решения 164

3.1 Введение 164

3.2 Ложные слагаемые как проекционные образы 166

3.3 Физические и ложные слагаемые взаимодействий 172

3.4 Ложные решения уравнений Фадцеева 181

3.4.1 Ложные решения класса Ае.183

3.4.2 Ложные решения класса A£d.188

3.5 Физические и ложные слагаемые фаддеевских компонент 191

3.6 Случай взаимодействий центробежного типа 198

3.6.1 Критерий существования точных решений .198

3.6.2 Случай б'-волновых взаимодействий и ^ = О.206

3.6.3 Эталонные решения.211

3.7 Примеры коллапсирующих решений 221

3.7.1 Спектр радиальной задачи.224

3.7.2 Спектр вспомогательной угловой задачи.228

3.7.3 Спектр основной угловой задачи.241

3.7.4 Спектр и коллапс трех тождественных бозонов.251

3.8 Заключение 255 Глава 4 Разложения вблизи точек парного и тройного ударов 257

4.1 Введение 257

4.2 Разложения вблизи точки парного удара 260

4.2.1 Разложения парпых и полного взаимодействий.262

4.2.2 Разложения решений уравнения Шредингера.263

4.2.3 Разложения решений уравнений Фадцеева .279

4.3 Разложения вблизи точки тройного удара 287

4.3.1 Случай ^-волновых взаимодействий.290

4.3.2 Случай центральных взаимодействий .300

4.4 Заключение 308 Глава 5 Сплайны и дискретные аналоги уравнений Фадцеева 311

5.1 Введение 311

5.2 Основные сведения о сплайнах 312

5.2.1 Определения сеток и сплайнов.312

5.2.2 Задачи интерполяции и численного дифференцирования.323

5.3 Дискретные аналоги двухмерных уравнений Фадцеева 327

5.3.1 Постановка самых простых фадцеевских краевых задач.329

5.3.2 Алгоритм 1: конечно-разностная аппроксимация погиу?.331

5.3.3 Алгоритм 2: сплайн-аппроксимация по переменной ip.333

5.3.4 Алгоритм 3: аппроксимация сплайнами 5ззц.336

5.3.5 Алгоритм 4: приближение сплайном 5ззц, разложенным по Б-сплайнам 339

5.3.6 Алгоритм 5: приближение сплайном S3322, разложенным по эрмитовым сплайнам s„Hsm.345

5.3.7 Сравнение и численный анализ алгоритмов.346

5.4 Сплайн-аналоги одномерных уравнений Фадцеева 353

5.5 Сплайн-аналоги трехмерных уравнений Фадцеева 357

5.6 Заключение 364 Заключение 365

Литература 367

Введение

Актуальность темы. Функциональным разложением обычно называется представление функции в виде суммы двух или более слагаемых (компонент). Функциональные разложения широко используются во многих разделах математики [1]-[17] и теоретической физики [18]-[46].

Все процитированные в настоящей работе подходы [47]—[203] и представляемые авторские методы [204]—[244] к решению актуальных проблем теории рассеяния для систем нескольких квантовых частиц [30, 31] не случайно основаны на тех или иных функциональных разложениях. Дело в том, что универсальным ключом для решения многих проблем этой теории является удачно выбранное функциональное разложение исследуемой функции и последующая оптимальная (наиболее удобная для квантовомехани-ческого и математического анализа и для расчета) формулировка задачи для искомых компонент выбранного разложения. Три данных нйже примера - убедительное доказательство этого утверждения.

Пример 1. Представление радиальной регулярной волновой функции рассеяния двух частиц в виде функционального разложения, содержащего искомые фазовую и амплитудную функции, и последующий вывод нелинейного уравнения Риккати для фазовой функции является основой всех нелинейных версий исключительно мощного, а самое главное, физически прозрачного метода фазовых функций [28, 29] в квантовой механике [18]. Отправная точка оригинальной линейиой версии [47] этого метода - тоже функциональное разложение регулярной волновой функции, но уже по двум известным функциям свободного двухчастичного гамильтониана и двум искомым амплитудным функциям, которые в теории дифференциальных уравнений [3] называются "постоянными" коэффициентами и подчиняются системе двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка с довольно простыми граничными условиями.

Пример 2. Функциональное разложение Т = 7\ + + Т3 трехчастичной Т-матрицы в импульсиом пространстве системы трех частиц с парными центральными и короткодействующими потенциалами V\, Vi и оказалось ключевым для впервые предложенной Л.Д. Фадцеевым в [48, 49] математически корректной формулировки задачи трех квантовых частиц в виде системы однозначно разрешимых интегральных уравнений для искомых компонент Т\, 7г и 7з. Последовавшее обобщение этого подхода для систем из четырех частиц впервые дано О.Я. Якубовским в [50] и также основано па функциональных разложениях в импульсном пространстве. Исследования Фаддеева [48, 49] и Якубовского [50] оказались фундаментом для становления математически корректной теории рассеяния для систем нескольких частиц [30, 31], подчиняющихся законам квантовой механики [18]. Две проблемы теории интегральных уравнений Фаддеева-Якубовского, заметно сужающие область ее приложения, остались неразрешимыми: до сих пор неизвестно исчерпывающее и удобное для практических расчетов расширение этой теории для систем, содержащих заряженные частицы, и в общем случае представляется принципиально невозможной редукция интегральных уравнений к их оптимальным для численного анализа дискретным аналогам, которыми являются системы линейных уравнений с разреженными матрицами небольшой размерности и легко вычисляемыми элементами.

Пример 3. Началом следующего этапа развития теории рассеяния для систем трех частиц оказалось использование функционального разложения Ф = Ф1 + Ф2 + Фз трех-частичной волновой функции Ф и вывод дифференциальных уравнений Фаддеева [31] для трех искомых фаддеевских компонент Ф1} Ф2 и Фз в координатном шестимерном пространстве Л6 трех частиц:

H0-E)Vi = -ViV = -Vi £Ф*. к=1

Принципиальная проблема этого этапа заключалась в выводе физических граничных условий для искомых фаддеевских компонент при больших расстояниях между частицами, гарантирующих существование и единственность решений фаддеевских дифференциальных уравнений и их эквивалентность исходному трехчастичному уравнению Шредингера: з

Я0 + ^)Ф = ЯФ, v = ^2vk. к=1

Основной вклад в полное решение этой сложнейшей проблемы как для систем из нейтральных, так и заряженных частиц дан С.П. Меркурьевым. Полный список исследований Меркурьева, приведенный в монографии [31], дополняют не менее известные фундаментальные работы [51]—[54]. Существенным был и вклад Меркурьева в становление и развитие основанных на конечноразностной аппроксимации [14] методов [51], [55]—[59] численного анализа дифференциальных уравнений Фаддеева.

В отличие от фаддеевской интегральной формулировки задачи трех частиц, ее дифференциальная формулировка в виде дифференциальных уравнений Фаддеева с найденными Меркурьевым граничными условиями при больших расстояниях между частицами имеет по крайней мере три существенные преимущества: модификация дифференциальных уравнений Фаддеева на все случаи систем трех частиц, содержащих заряженные частицы, известна; дифференциальные уравнения Фаддеева удобны для анализа строения их искомых решений; для таких уравнений не сложно вывести оптимальные для численного анализа дискретные аналоги.

Теория дифференциальных уравнений Фаддеева и методика их приложения для расчетов реальных физических систем, благодаря перечисленным выше преимуществам, была существенно развита в исследованиях, выполненных коллегами и учениками С.П. Меркурьева или при их участии. Такими исследованиями являются: определение кулон-ядерной длины рассеяния протона па дейтроне [60, 61], анализ асимптотик фад-деевских компонент в полном и обрезанном бисферическом базисах [62], формулировка уравнений Фаддеева в модели граничных условий [63, 64], метод сильной связи каналов для уравнений Фаддеева [65], метод кластерной редукции [66]—[68], анализ особых спектральных свойств оператора Фаддеева [69, 70], комплексный скейлинг уравнений Фаддеева [71], алгоритмы [72]—[76] численного анализа уравнений Фаддеева, использующие конечноразностиую аппроксимацию [14] и алгоритмы [77]—[84], основанные на разложениях искомых решений по базисным квинтетным сплайнам [16, 17].

Упомянутых выше достижений вполне достаточно, чтобы утверждать, что теория дифференциальных уравнений Фаддеева исключительно плодотворна и перспективна и поэтому ее дальнейшее развитие - актуальная задача современной теории рассеяния для систем нескольких частиц.

Применение дифференциальных уравнений Фаддеева для достоверного расчета столкновений в системе трех частиц в пределе низких энергий, расчета слабосвязап-ных состояний, для вычисления астрофизических ^-факторов, сечений трехчастичных ядерных, атомных и молекулярных реакций прежде всего требует детального анализа структуры этих уравнений, их особых решений, исследования различных функциональных разложений искомых решений, формулировки граничных условий в пределе малых расстояний между частицами не только для искомых решений, по и для их частных производных и, наконец, разработки экономичных способов вычисления, включающих такие условия. Поэтому следующий этап развития теории рассеяния для нескольких квантовых частиц - решение семи актуальных и взаимосвязанных проблем 1-7.

Проблема 1 - проблема низкоэпергетических разложений. Эта проблема - одна из наиболее значимых и сложных проблем теоретической физики иизких энергий и включает в себя вывод и анализ иизкоэнергетических разложений регулярных и нерегулярных волновых функций, фаз, амплитуд и сечений рассеяния всех возможных процессов упругого и неупругого столкновения в системах из двух-, трех- и более частиц и определение фундаментальных характеристик низкоэнергетического рассеяния: длины рассеяния, эффективного радиуса и параметра формы.

Анализ проблемы НЭР дай в обзорах [204, 209]. Ее оригинальное и довольно полное решение для систем двух нейтральных или одноименно заряженных частиц с эффективным (полным) центральным или нецентральным взаимодействием, содержащим коротко- и (или) далыюдействующие компоненты предложено в цикле статей [204]—[212] и представлено в главе 1. Изложенный в ней подход к анализу двухчастичного низкоэнергетического рассеяния назван для краткости методом НЭР и является решением актуальной теоретической задачи, а именно первого и неизбежного этапа создания метода НЭР для систем трех частиц. Возможная для этого схема и особенности ее реализации обсуждались автором в [209].

Проблема 2 - проблема оптимальной редукции. Анализ исходных уравнений Шредингера и Фадцеева для системы трех частиц в конфигурационном пространстве представляется невозможным из-за сравнительно большого числа независимых переменных, равного шести. Поэтому актуальными представляются новые решения проблемы оптимальной редукции таких уравнений к системам уравнений с меньшим числом аргументов: к системам трех-, двух- и одномерных уравнений в виде одновременно наиболее удобном и для анализа строения искомых решений и для их вычисления. Проблема оптимальной редукции включает в себя анализ кинематического преобразования в задаче трех частиц, выделение полного набора всех сохраняющихся для данного класса парных взаимодействий квантовых чисел трехчастичной системы, учет физических особенностей системы, анализ всех возникающих при редукции матричных элементов и вывод наиболее удобных для их вычисления представлений. Такими матричными элементами в двумерных уравнениях Фадцеева являются ядра интегральных операторов, а в одномерных - коэффициенты Рейнала-Реваи.

Анализ проблемы оптимальной редукции дан автором в обзоре [217], а ее оригинальное решение, предложенное в [213]—[217], представлено в главе 2.

Проблема 3 - проблема ложных слагаемых. Для систем нескольких квантовых частиц, содержащих тождественные, факт существования ложных (духовых, запрещенных прииципом Паули) парных взаимодействий и компонент многочастичной Т-матрицы отмечался многими авторами [30, 39]. Анализ ложных слагаемых в задаче трех частиц в дифференциальных формулировках Шредингера и Фадцеева дан автором в работах [218]—[220].

В этих работах обсуждались два факта. Во-первых, если парные взаимодействия, восстановленные по двухчастичным экспериментальным данным имеют ложные слагаемые, то эти слагаемые могут проявиться лишь при использовании таких реалистических парных взаимодействий в задаче трех и более частиц. Во-вторых, в силу определения физических слагаемых парных взаимодействий трехчастичное уравнение Шредингера содержит только физические слагаемые, следовательно, именно они, а не сами парные взаимодействия определяют и динамику трехчастичной системы и тип разрешенной симметрии волновых функций и особенности строения их фадцеевских компонент. Уже поэтому и в особенности с квантовомеханической точки зрения представляются актуальными три задачи: обобщение и анализ понятия ложных слагаемых парных взаимодействий и фадцеевских компонент на случай трех разных частиц, доказательство критериев существования физических слагаемых, выделение их в явном виде.

Оригинальное решение этих задач впервые дано автором в [219, 220] и обсуждается в разделах 3.2, 3.3 и 3.5 главы 3.

Проблема 4 ~ проблема точных решений уравнений Фадцеева. Ее полное решение состоит из доказательства критериев существования классов точных решений, анализа строения и описания простых способов вычисления всех элементов этих классов. Такое решение несомненно актуально как с теоретической, так и с прикладной точек зрения, потому что область применения точных решений довольно широка: их можно использовать как модельные для кваптовомеханического анализа спектров реальных физических систем, как базисные для расчета таких спектров и как эталонные для отработки и тестирования численных алгоритмов.

Известны три класса точных решений трехчастичных дифференциальных уравнений Фадцеева: класс точных решений в случае осцилляторных парных взаимодействий [88, 89], класс ложных решений, впервые наиболее полно исследованный автором в [217, 218, 227] и открытый им же в [221]—[223] класс точных решений в случае парных взаимодействий центробежного типа. Итоги известных исследований ложных решений уравнений Фадцеева суммировались автором в обзорах [217, 227]. Предложенный им в [217, 218, 227] анализ ложных решений дан в разделе 3.4 главы 3. Раздел З.б исчерпывает результаты исследований [221]—[223] класса точных решений в случае парных взаимодействий центробежного типа.

Проблема 5 - проблема коллапса. Ее особую сложность доказывает хотя бы следующий факт. Эффект Томаса [86]) (коллапс) известен с 1935 года, по его объяснение было найдено значительно позже, а именно через 26 лет в работе [90] Р.А. Миплоса и Л.Д. Фадцеева, доказавших, что этот эффект - следствие неограниченности снизу энергетического спектра уравнений Скорнякова-Тер-Мартиросяна [91] для системы трех тождественных бозонов с нулевым полным угловым моментом I в случае парных S-волновых взаимодействий нулевого радиуса действия.

Уже для такой системы, но в случае парных 5-волновых взаимодействий центробежного типа, впервые данный автором в [224, 227] и представленный в разделе 3.7 главы 3 анализ достаточного условия коллапса и строения физически приемлемого класса решений дифференциальных уравнений Шредингера и Фадцеева актуален по следующим причинам.

Такой анализ является существенным этапом расширения теории дифференциальных уравнений Фадцеева на случай взаимодействий центробежного типа и тем самым открывает возможность физически и математически корректного моделирования эффектов Томаса и Ефимова [87].

В настоящее время эффект Ефимова интенсивно обсуждается в связи с проблемами устойчивости конденсата Бозе-Энштейна [92, 93] и достоверного расчета [72]—[74], [82]-[84], [94]-[97] связанных состояний трех атомов гелия-4 (тримера 4Нез гелия 4Не).

Проблема 6 - проблема асимптотических разложений вблизи точек парного и тройного ударов. Включение таких разложений или извлеченной из них информации в чис-лепиые схемы интегрирования трехчастичных уравнений Шредипгера или Фаддеева -наиболее простой способ обеспечить достоверность и прецизионную точность расчета волновой функции и сечений слияния двух или всех трех частиц, например, сечения rfi-реакции, катализируемой /z-мезоном и сечения реакции 34Не—>12С. Поэтому решение проблемы - несомненно актуальная задача. Его можно найти, следуя известному в теории дифференциальных уравнений подходу в два этапа: первый из них - вывод формальных асимптотических разложений (ФАР), второй - доказательство их хотя бы асимптотической сходимости и дифференцируемое™. В случае чисто кулоновских парных потенциалов известиы многочисленные реализации первого этапа (см. обзор [220]), основанные на классических схемах Т. Като [98] и В.А. Фока [99], предложенных ими для уравнения Шредингера в точках парного и тройного ударов соответственно. Реализации второго этапа в общем случае неизвестны.

Вывод и анализ ФАР для волновой функции и ее фаддеевских компонент - довольно сложная проблема: ее оптимальное и полное решение состоит из редукции уравнений Шредингера и Фаддеева к наиболее простым для исследования и расчета ключевым рекуррентным цепочкам уравнений минималыю возможной размерности, доказательстве однозначной разрешимости таких цепочек и анализе их строения от функционального вида парных взаимодействий при малых значениях их аргументов.

Анализ проблемы ФАР дан автором в обзоре [220]. Ее оптимальное и полное решение предложено в работах [220, 225, 226] и представлено в главе 4. Созданные в этих работах методы называются оптимальными методами ФАР для анализа строения решений трех- и двумерных уравнений Шредипгера и Фаддеева вблизи точек парного и тройного ударов.

Проблема 1 - проблема численного интегрирования уравнений Фаддеева. Ее полное решение, основанное на дискретных сеточных аналогах редуцированных уравнений Фаддеева и поставленных граничных условий, подразумевает разработку простых и экономичных алгоритмов численного анализа, доказательство методами вычислительной математики поточечной сходимости таких алгоритмов при измельчении используемой сетки, а при отсутствии такого доказательства - разработку методики тестирования алгоритмов, включающей в себя способы использования точных решений уравнений Фаддеева в качестве эталонных и способы численного определения порядков поточечной сходимости.

Полное решение обсуждаемой проблемы - несомненно актуальная прикладная задача, потому что, как пояснялось выше, дифференциальные уравнения Фаддеева удобны для численного исследования широкого круга трехчастичных явлений в ядерной, атомной и молекулярной физике.

Особо значимым и интересным решением этой задачи представляется создание оптимальных алгоритмов, основанных на дискретных аналогах. Оптимальным считается алгоритм, включающий в себя наиболее полно всю известную информацию о строении искомого решения, в частности - связи в точках парного и тройного ударов; позволяющий аппроксимировать и искомое решение, и все его необходимые частные производные, не только в узлах сетки, но и во всей области изменения аргументов; и наконец, оперирующий с системой линейных уравнений, матрица которой максимально разрежена имеет небольшую размерность и легко вычисляемые элементы.

Как отмечалось в [227], для всех известных дискретных аналогов уравнений Фаддеева до сих пор не установлены ни критерий, ни достаточные условия какой-либо сходимости вычисляемого на заданной сетке узлов решения к искомому. До тех пор пока теоремы сходимости не доказаны представляется актуальным и необходимым численное тестирование дискретных аналогов на поточечную сходимость и развитие методов определения порядков приближений искомого решения и его производных на всем множестве изменения аргументов и особенно в физически важных подмножествах.

Анализ современного состояния проблемы численного интегрирования уравнений Фаддеева дан автором в обзоре [227]. Ее оригинальное решение, включающее в себя и оптимальные сплайн-алгоритмы и методику их тестирования, предложено в [227, 228], представлено в главе 5 и для краткости названо методом сплайн-разложений для численного анализа двух-, трех- и одномерных уравнений Фаддеева.

Задача развития и объединения нескольких методов. Метод фазовых функций в квантовой механике [28, 29] - один из наиболее физически прозрачных и простых способов решения задачи двух частиц. Дифференциальные трехчастичные уравнения Фаддеева с физическими граничными условиями С.П. Меркурьева [31] - безмодельная, если не считать задания парных взаимодействий, математически корректная и удобная для качественного и численного анализа постановка задачи трех квантовых частиц, среди которых могут быть и заряженные частицы. Метод гипергармоник [33]-[35] - довольно простой подход для квантовомеханического анализа свойств и расчета связанных состояний системы нескольких частиц в рамках уравнения Шредингера. Методы сплайн-функций [16, 17], использующие разложения по базисным сплайнам, - основа гибких, экономичных и простых алгоритмов численного интегрирования дифференциальных уравнений Шредингера и Фаддеева.

В силу указанных несомненных преимуществ перечисленных методов их дальнейшее развитие, объединение и построение на их основе новых методов функциональных разложений для совокупного качественного и численного анализа проблемы нескольких квантовых частиц представляется перспективным и плодотворным, и поэтому является актуальной задачей современной теоретической физики. Решению этой довольно сложной задачи посвящена настоящая диссертация. В ней исследуются проблемы 1-7.

Цель диссертации - создание, развитие и применение методов функциональных разложений для совокупного квантовомехапического и математического (качественного и численного) анализа характеристик пизкоэнергетического столкновения двух частиц, трехчастичных дифференциальных уравнений Шредингера и Фаддеева и их регулярных решений.

Цель диссертации включает в себя, в частности, решение семи задач, входящих в соответствующие проблемы 1-7. Такими задачами являются:

1. создание простого метода построения низкоэнергетических разложений волновых функций, функций эффективного радиуса и сечений рассеяния двух частиц, анализ этим методом роли дальнодействующих компонент iViV-взаимодействия в низкоэнергетическом рр- и пп-рассеяпии;

2. анализ кинематического преобразования в задаче трех частиц, вывод удобных трех-, двух- и одномерных уравнений Фаддеева и представлений для содержащихся в таких уравнениях матричных элементов;

3. исследование ложных и физических слагаемых парных взаимодействий и выявление физических следствий существования таких слагаемых;

4. выделение и анализ двух классов точных решений уравнений Фаддеева: класса ложных решений и класса факторизованных решений в случае парных взаимодействий центробежного типа;

5. анализ спектра и коллапса квантовой частицы в поле, пропорциональном квадрату секанса расстояния, и анализ коллапса трех тождественных бозонов в случае нулевого углового момента и б'-волновых взаимодействий центробежного типа;

6. построение и анализ разложений трехчастичной волновой функции и ее фаддеев-ских компонент вблизи точек парного и тройного ударов;

7. разработка экономичных сплайн-алгоритмов для численного решения трех-, двух-и одномерных уравнений Фаддеева и описание методики тестирования таких алгоритмов.

Основное содержание диссертации. В диссертации дано исчерпывающее описание предложенных методов функциональных разложений и полученных этими методами новых результатов в проблеме нескольких квантовых частиц. При описании особое внимание уделено экстраполяции в область низких энергий фаз и сечений рассеяния двух частиц в случае суперпозиции коротко- и дальнодействующих взаимодействий; ложным и физическим слагаемым парных взаимодействий в задаче трех частиц и ее точным решениям; расширению теории Фаддеева на случай взаимодействий запирающего или центробежного типа; коллапсу одной, двух и трех частиц; анализу строения регулярных фаддеевских компонент вблизи точек парного и тройного ударов; экономичным сплайн-алгоритмам для численного исследования трех-, двух и одномерных уравнений Фаддеева и использованию точных решений как эталонных.

Введение к каждой главе содержит основные определения и краткое описание исследуемых объектов. Каждый параграф начинается с постановки исследуемой проблемы, пояснениями ее значимости и актуальности и сравнительного схематического описания предложенных автором и других известных подходов к ее решению. Далее, в общем случае описывается авторский метод решения, затем анализируются наиболее интересные частные случаи, а для иллюстрации приводятся самые простые и яркие примеры. Наиболее значимые оригинальные утверждения до или сразу после их доказательства формулируются в виде теорем, а основные результаты всех представленных в главе исследований суммируются и обсуждаются в завершающем ее разделе.

При анализе каждой задачи для полноты воспроизводятся основные результаты исследований других авторов, если таковые имеются, особое внимание уделяется наиболее удобной для численного исследования формулировке, геометрической и физической интерпретации, обсуждению особых случаев, физических следствий и прикладной значимости. Анализ задачи при необходимости сопровождается довольно подробным описанием оригинальных и наиболее экономичных алгоритмов ее численного решения.

Содержание диссертации подробно описано в ее автореферате. Поэтому здесь вполне достаточно привести анонсы и главные результаты глав.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Пупышев, Василий Вениаминович

Заключение

Только теперь, когда все авторские методы довольно полно представлены, есть все основания указать их место в современной теоретической физике и попутно в качестве доказательства перспективности этих методов пояснить их вполне возможные и наиболее интересные обобщения.

Глава 1 - существенное дополнение теории потенциального двухчастичного рассеяния, теории иуклон-нуклоппых столкновений и метода фазовых функций в квантовой механике. Представленный в этой главе метод низкоэнергетических разложений был обобщен в [195, 209] для анализа процесса рассеяния (3 —► 3) в системе трех нейтральных попарно несвязывающихся частиц и применен в [195] для предсказания "искусственных" резопапсов. Это обобщение использовалось другими авторами в [196]—[201].

Глава 2 - впервые выполненное с использованием оператора кинематического преобразования дополнение теории углового момента и теории гипергармоник для системы трех частиц. Это дополнение включает исчерпывающий анализ кинематического преобразования координат, угловых базисов, парных взаимодействий, прямую и последовательную редукцию шестимерных уравнений Шредингера и Фаддеева к системам двух-, трех и одномерных уравнений, а так же простые представления и способы вычисления всех возникающих вследствие редукции матричных элементов.

Авторские представления (2.6.10), (2.6.27) ядер heaba,b, использовались в [202], а приближенные уравнения (2.9.77) интегрировались в [189].

Следуя предложенной в главе 2 схеме, несложно дать анализ кинематического преобразования для системы четырех частиц. Ключевыми для вывода компактных представлений всех матричных элементов в угловых четырехчастичных базисах будет введение и применение четырехчастичного оператора кинематического преобразования и анализ такого преобразования в случае, когда все четыре частицы лежат иа одной прямой.

Глава 3 - значительный вклад в теорию дифференциальных уравнений Фаддеева и адаптированный для их исследования метод гипергармоник. Вклад составляют анализ разбиений парных взаимодействий на ложные и физические слагаемые, анализ ложных решений и расширение этой теории на случай парных взаимодействий центробежного типа, состоящее в доказательстве существования и анализе точных и коллапсирующих решений.

Обобщение всех методов главы 3 для системы четырех частиц в принципе несложное и начинается введением четырехчастичных гиперсферических координат и гипергармо-пик. Особо интересен вывод и анализ точных решений дифференциальных уравнений Фаддеева-Якубовского в случае парных взаимодействий центробежного типа. Схема вывода - та же, что и в случае трех частиц: представление искомых четырехчастич-ных компонент в виде произведений зависящего от гиперрадиуса решения уравнения Бесселя и конечной линейной комбинации четырехчастичных гипергармопик, последующая редукция четырехчастичных уравнений к системам линейных уравнений для искомых коэффициентов таких комбинаций.

Глава 4 - весомое дополнение к дифференциальным формулировкам Шредингера и Фадцеева задачи трех частиц, состоящее из вывода и анализа разложений регулярных решений двух- и трехмерных уравнений Шредингера и Фадцеева вблизи точек парного и тройного ударов.

Представленные в разд. 4.2 обобщения условия Т. Като [98] в настоящее время применяются авторами работы [203] для улучшения предложенного ими же теоретического описания недавно измеренных сечений реакций одно-и двухкратной ионизации атома гелия-3 электроном.

Особенно простым представляется обобщение описанного в разд. 4.2 метода для анализа строения волновой функции четырех и более частиц вблизи точек парных ударов. Для этого достаточно следовать предложенной схеме, но использовать соответствующие многочастичные угловые базисы, составленные из произведений двухчастичных сферических функций.

Глава 5 - логическое завершение глав 2-4 и решение особо важных проблем приложения дифференциальных уравнений Фадцеева для расчета трехчастичпых систем. К таким проблемам относятся создание и методика тестирования на поточечную сходимость экономичных и надежных алгоритмов численного анализа двух-, трех- и одномерных уравнений Фадцеева, а также включение в такие алгоритмы дополнительной информации об особенностях искомых решений вблизи точек парного и тройного ударов.

Стоит отметить, что предложенные в диссертации методы функциональных разложений и отдельные результаты являются новыми и значимыми не только для упомянутых выше разделов теоретической физики, но и для некоторых разделов современной математики, а именно: теории специальных функций (теорема 2.2), теории дифференциальных уравнений эллиптического типа (теоремы 1.1 и 3.10), асимптотических (теоремы 4.1-4.5) и численных (теорема 3.6) методов анализа уравнений такого типа и, наконец, теории сплайн-приближений (глава 5).

В заключение автор выражает глубокую признательность его соавторам О.П. Со-ловцовой и С.А. Ракитянскому, друзьям и коллегам из Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова ОИЯИ, принимавшим участие в обсуждении результатов диссертации, а также дирекции Лаборатории теоретической физики за многолетнюю и всестороннюю поддержку. Особая благодарность - Н.В. Иванченко за исключительно добросовестную корректуру большинства работ автора и настоящей диссертации.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Пупышев, Василий Вениаминович, 2005 год

1. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1974.

2. Колмогоров А.Н., Фомии С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

3. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: ИЛ, 1953.

4. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983.

5. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.

6. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

7. Г. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982.

8. В. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. М.: Наука, 1965.

9. Славянов С.Ю., Лай В. Специалыте функции: единая теория, основанная на анализе особенностей, СПб.: Невский диалект, 2002.

10. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.2. М.: Наука, 1974.

11. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям, М.: Наука, 1979.

12. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции, т.2., М.: Наука, 1983.

13. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике, М.: Гостехиздат, 1957.

14. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.

15. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

16. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980.

17. Prenter P.M. Splines and Variational Methods. N.Y.: Wiley, 1975.

18. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Квантовая механика. M.: Наука, 1974.

19. Мессиа Л. Квантовая механика. М.: Наука, 1979.

20. Рыбаков Ю.П., Терлецкий Я.П. Квантовая механика. М: Издательство Университета дружбы народов, 1991.

21. Рид М., Саймон Б. Методы совремешсой математической физики, т.З, Теория рассеяния, М.: Мир, 1982.

22. Де Альфаро В., Редже Т. Потенциальное рассеяние. М.: Мир. 1966.

23. Верк Ф.Дж. Потенциальное рассеяние в атомной физике. М.: Атомиздат, 1980.

24. Тейлор Дж. Теория рассеяния. М.: Мир, 1975.

25. Ментковский Ю.Л. Частица в ядерно-кулоновском поле. М.: Энергоатомиздат, 1982.

26. Йоргеис К, Вайдмаи И. Спектральные свойства гамильтоновых операторов, М.: Мир, 1976.

27. Peierls R. Surprises in Theoretical Physics. New Jersey: Princeton University Press, 1979.

28. Калоджеро Ф. Метод фазовых функций в теории потенциального рассеяния. М.: Мир, 1972.

29. Вабиков В.В. Метод фазовых функций в квантовой механике. М.: Наука, 1976.

30. Шмид Э., Цигельман X. Проблема трех тел в квантовой механике. М.: Наука, 1979.

31. Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. М.: Наука, 1985.

32. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. М.: Наука, 1975.

33. Джибути Р.И., Крупенникова Н.Б. Метод гиперсферических функций в квантовой механике нескольких тел. Тбилиси: Мецниереба, 1984.

34. Джибути Р.И., Шитикова К.В. Метод гиперсферических функций в атомной и ядерной физике. М.: Энергоатомиздат, 1993.

35. Avery J. Hyperspherical Harmonics, Application in Quantum Theory. Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers, 1989.

36. Браун Дж.Е., Джексон А.Д. Нуклон-нуклонные взаимодействия. М.: Атомиздат, 1979.

37. Byrne J. Neutrons, nuclei, and matter: an exploration of the physics of slow neutrons. Bristol and Philadelphia: Institute of Physics Publishing, 1994.

38. Alexandrov Yu.A. Fundamental properties of the neutron. Oxford: Clarengton Press, 1992.

39. Вильдермут К., Тан Я. Единая теория ядра. М.: Мир, 1980.

40. Соловьев В.Г. Теория атомного ядра. Ядерные модели. М.: Энергоиздат, 1981.

41. Мошинский М. Гармонический осциллятор в современной физике от атомов до кварков. М.: Мир, 1972.

42. Немец О.Ф., Гофман Ю.В. Справочник по ядерной физике. Киев: Наукова думка, 1975.

43. Друкарев Г.Ф. Столкновение электронов с атомами и молекулами. М.: Наука, 1978.

44. Петеркоп П.К. Теория ионизации атомов электронным ударом. Рига: Зинатне, 1975.

45. Reeves Н. Stellar Structure, Chicago-London: University of Chicago Press, 1965.

46. Makhankov V.G., Rybakov Y.P., Sanyuk V.I. The Skyrme Model. Fundamentals, Methods, Applications. Berlin: Springer-Verlag, 2003.

47. Calogero F. Nuovo Cimento, 1963, v.27, p.261.

48. Фаддеев Л.Д. ЖЭТФ, 1960, т.39, c.1459.

49. Фаддеев Л.Д. Тр. им. В.А. Стеклова, т.69. М.;Л., 1963.

50. Якубовский О.Я. ЯФ, 1967, т.5, с.1312.

51. Merkuriev S.P., Gignoux С., Laverne A. Ann. Phys., 1976, v.99, р.ЗО.

52. Квицинский А.А. и др. ЭЧАЯ, 1986, т.17, с.267.

53. Kostrykin V.V., Kvitsinsky А.А., Merkuriev S.P. Few-Body Systems, 1989, v.6, p.97.

54. Квицинский A.A., Кострыкин B.B., Меркурьев С.П. ЭЧАЯ, 1990, т.21, с.1301.

55. Меркурьев С.П., Позднеев С.А. ЯФ, 1979, т.29, с.620.

56. Куперин Ю.А., Меркурьев С.П., Квицинский А.А. Вестн. ЛГУ, 1981, сер. физ., вып. 4, № 22, с.66.

57. Куперин Ю.А., Меркурьев С.П., Квицинский А.А. Микроскопические расчеты легких ядер: Сб. Калинин: КГУ, 1982. с.4.

58. Куперин Ю.А., Меркурьев С.П., Квицинский А.А. ЯФ, 1983, т.37, с.1440.

59. Виницкий С.И. и др. ЯФ, 1990, т.51, с.641.

60. Квицинский А.А. Письма в ЖЭТФ, 1982, т.36, с.375.

61. Квицинский А.А., Меркурьев С.П. ЯФ, 1985, т.41, с.647.

62. Квицинский А.А., Латыпов Д.М. ЯФ, 1991, т.53, с.1552.

63. Merkuriev S.P., Motovilov А.К. Lett. Math. Phys. 1983, v.7, p.497.

64. Merkuriev S.P., Motovilov A.K., Yakovlev S.L. Theor. Math. Phys. 1993, v.94, p.306.

65. Яковлев С.Л., Филихин И.Н. ЯФ, 1993, т.56, с.98.

66. Яковлев С.Л., Филихин И.Н. ЯФ, 1993, т.56, с.24.

67. Яковлев С.Л., Филихин И.Н. ЯФ, 1995, т.58, с.817.

68. Яковлев С.Л., Филихин И.Н. ЯФ, 1997, т.60, с.1926.

69. Яковлев С.Л. ТМФ, 1995, т.102, с.323.

70. Руднев В.А., Яковлев С.Л. ЯФ, 1995, т.58, с.1762.

71. Kolganova Е.А., Motovilov А.К., Но Y.K. Nucl. Phys. А, 2001, v.684, р.623.

72. Motovilov А.К., Sofianos S.A., Kolganova Е.А. Chem. Phys. Lett., 1997, v.275, p.168.

73. Motovilov A.K. et al. Nucl. Phys. A, 2001, v.684, p.646c.

74. Motovilov A.K. et al. Eur. Phys. J. D, 2001, v.13, p.33.

75. Sandhas W., Kolganova E.A, Ho Y.K., Motovoliov A.K. Few-Body Systems, 2004, v.34, p.137.

76. Suslov V.M., Vlahovic B. Few-Body Systems Suppl. 2003, v.14, p.197.

77. Hu C.-Y., Kvitsinsky A.A., Merkuriev S.P. Phys. Rev. A, 1992, v.45, p.2723.

78. Hu C.-Y., Kvitsinsky A.A. Phys. Rev. A, 1992, v.46. p.7301.

79. Hu C.-Y., Kvitsinsky A.A. Phys.Rev. A, 1993, v.47, p.994.

80. Hu C.-Y., Kvitsinsky A.A. Phys.Rev. A, 1994, v.50, p.1924.

81. Kvitsinsky A.A., Hu C.-Y., Cohen J.S. Phys.Rev. A, 1996, v.53, p.255.

82. Roudnev V.A., Yakovlev S.L. Сотр. Phys. Commun., 2000, v.126, p.162.

83. Roudnev V.A., Yakovlev S.L. Chem. Phys. Lett., 2000, v.328, p.97.

84. Roudnev V.A. Chem. Phys. Lett., 2003, v.367, p.95.

85. Виницкий С.И., Пономарев Л.И. ЭЧАЯ, 1982, т.13, с.1336.

86. Thomas L.H. Phys. Rev., 1935, v.47, p.903.

87. Ефимов B.H. ЯФ, 1970, т.12, с.1080.

88. Barnea Nir, Mandelzweig V.B. Phys. Rev. С, 1992, v.45, p.1458.

89. Barnea Nir, Mandelzweig V.B. Phys. Rev. C, 1994, v.49, p.2910.

90. Минлос P.А., Фаддеев Л.Д. ЖЭТФ, 1961, т.41, c.1850.

91. Скорняков Г.В., Тер-Мартиросяп K.A. ЖЭТФ, 1956, т.31, с.775.

92. Fedichev P.O., Reynolds M.W. Shlyapnikov G.V. Phys. Rev. Lett. 1996, v.77, p.2921.

93. Grebenev S., Toennis J.P., Vilesov A.F. Science, 1998, v.279, p.2083.

94. Nielsen E., Fedorov D.V., Jensen A.S. J. Phys. B. 1998, v.31, p.4085.

95. Nielsen E., Jensen A.S., Fedorov D.V., Few-Body Systems Suppl. 1999, v.10, p.277.

96. Barletta P., Kievsky A. Phys. Rev. A. 2001, v.64, p.042514.

97. Blume D., Green C.H. Phys. Lett. 2003, v.367, p.95.

98. Kato T. Comm. on pure and Appl. Math., 1957, v.10, p.151.

99. Фок В.А. Изв. Акад. Наук СССР. Сер. физ., 1954, т.18, с.161.

100. Klarsfeld S. Nuovo Cimento A, 1966, v.43. p.3869.

101. Martin A. Nuovo Cimento, 1964, v.31, p.1229.

102. Blatt J.M., Jackson J.D. Phys. Rev., 1949, v.76, p.18.

103. O'Malley T.F., Spruch L., Rosenberg L. J. Math. Phys., 1961, v.2, p.491.

104. O'Malley T.F., Rosenberg L., Spruch L. J. Math. Phys., 1962, v.125, p.1300.

105. Levy B.R., Keller J.B. J. Math. Phys., 1963, v.4, p.54.

106. Breit G., Condon E.U., Present R.A. Phys. Rev., 1936, v.50, p.825.

107. Ландау Л.Д., Смородинский Я.А. ЖЭТФ, 1944, т.14, с.269.

108. Kok L.P. Lecture Notes in Physics v.273: Models and Methods in Few-Body Physics. Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 1986.

109. Киржниц Д.А., Крючков Г.Ю., Такибаев Н.Ж. ЭЧАЯ, 1979, т.Ю, с.741.

110. Berger R.O., Spruch L. Phys. Rev., 1965, v.138, p.B1106.

111. Berger R.O., Snodgrass H.B., Spruch L. Phys. Rev., 1969, vl.185, p.113.

112. Bencze Gy. et al. Phys.Rev. C, 1987, v.35, p.1188.

113. Lambert E. Helv. Phys. Acta, 1969, v.42, p.667.

114. Mott N.F. Proc. Roy. Soc. London A, 1929, v.124, p.425.

115. Schwinger J. Phys. Rev., 1948, v.73, p.407.

116. Ramzauer C., Kollath R. Ann. Physik, 1929, v.3, p.54.

117. Holtsmark J.Z. Phys. Bd., 1930, v.66, p.49.

118. O'Malley T.F. Phys. Rev., 1963, v.130, p.1020.

119. Квицинский A.A., Комаров И.В., Меркурьев С.П. ЯФ, 1983, т.38, с.101.

120. Квицинский А.А. ТМФ, 1984, т.59, с.472.

121. Квицинский А.А. ТМФ, 1985, т.65, с.226.

122. Barker W.A., Glover F.N. Phys. Rev., 1955, v.99, p.317.

123. Stoks V.G.Jr., de Swart J.J. Phys. Rev. C, 1990, v.42, 1235.

124. Breit G., Ruppel H.M., 1962, v.127, p.2123.

125. Knutson L.D., Chiang D. Phys. Rev. C, 1978, v.18, p.1958.

126. Stapp H.P., Ypsilantis T.J., Metropolis M. Phys. Rev., 1957, v.105, p.302.

127. Петрунькин B.A. ЭЧАЯ, 1981, t.12, c.692.

128. Aguilar-Benitez M., et al. Phys. Lett. B, 1982, v.lll, p.l.

129. Покотиловский Ю.Н., Тахтамышев Г.Г. ЯФ, 1993, т.56, с. 184.

130. Bahcall J.N., Pinsonneault М.Н. Rev. Mod. Phys., 1992, v.64, p.885.

131. Belyaev V.B., Kartavtsev O.I., Kuzmichev V.E. Preprint JINR E4-86-66, Dubna, 1986.

132. L'vov A.I. Preprint FIAN-14, M.: FIAN, 1986.

133. Bencze Gy. Phys.Lett. B, 1988, v.202, p.289.

134. Чоповский JI.JI. ЯФ, 1988, т.48, p.1699.

135. Chopovsky L.L. Phys.Lett. B, 1989, v.229, p.316.

136. Levashev V.P. Nucl.Phys. A, 1989, v.491, p.109.

137. Харченко В.Ф., Навроцкий M.A., Катеринчук П.А. ЯФ, 1992, т.55, с.86.

138. Picker H.S., Haftel M.I. Phys. Rev. С, 1976, v.14, p.1293.

139. Smith F.T. J. Chem. Phys., 1959, v.31, p.1352.

140. Chang E.S., Fano U. Phys. Rev. A, 1972, v.6, p.173.

141. Raynal J. Nucl. Phys. A, 1973, v.202, p.631.

142. Смородинский Я.А., Эфрос В.Д. ЯФ, 1973, т.17, с.210.

143. Raynal J., Revai J. Nuovo Cim., 1970, v.A68, p.612.

144. Efros V.D. Few-Body Systems, 1995, v.19, p.167.

145. Богословский Г.Ю., Клепиков Н.П. ЯФ, 1968, т.7] с.644.

146. Смородинский Я.А., Эфрос В.Д. ЯФ, 1976, т.23. с.715.

147. Эфрос В.Д. ЯФ, 1972, т.15, с.226.

148. Эфрос В.Д. ЯФ, 1973, т.17, с.988.

149. Novoselsky A., Katriel J. Phys. Rev. A, 1994, v.49, p.833.

150. Fabre de la Ripelle M. Models and Methods in Few-Body Physics, Lecture Notes in Physics, v.273. Berlin-Heidelberg-NewYork: Springer, 1986.

151. Смирнов Ю.Ф., Шитикова K.B. ЭЧАЯ, 1977, т.8, с.847.

152. Mandelzweig V.B. Ann. Phys., 1977, v.104, p.l.

153. Fabre de la Ripelle M. Few-Body Systems, 1986, v.l, p.181.

154. Chuluunbaatar O., Puzynin I.V., Vinitsky S.I. J. Phys. B. 2001, v.34, p.L425.

155. Chuluunbaatar O., Puzynin I.V., Vinitsky S.I. JCMSE. 2002, v.2, p.37.

156. Chuluunbaatar O., et al. JCMSE. 2003, v.2, p.l.

157. Пузынин И.В. и др. ЭЧАЯ, 1999, т.ЗО, с.210.

158. Ососоков Г.А., Полянский А., Пузынин И.В. ЭЧАЯ, 2002, т.ЗЗ, с.676.

159. Рубцова О.И., Кукулин В.И. ЯФ, 2001, т.64, с.1769.

160. Рубцова О.И., Кукулин В.И. ЯФ, 2001, т.64, с.1882.

161. Кукулин В.И., Рубцова О.И. ТМФ, 2002, т.130, с.64.

162. Кукулин В.И., Рубцова О.И. ТМФ, 2003, т.134, с.459.

163. Кукулин В.И., Рубцова О.И. ТМФ, 2004, т.139, с.291.

164. Bencze Gy. Nucl. Phys. A, 1973, v.210, p.568.

165. Redish E.F. Nucl. Phys. A, 1974, v.225. p.16.

166. Kukulin V.I., Pomerantsev V.N. Ann. Phys., 1978, v.lll, p.333.

167. Кукулин В.И., Померанцев В.Н. ЯФ, 1978, т.27, с. 1668.

168. Friar J.L., Gibson B.F., Payne G.L. Phys. Rev. C, 1980, v.22, p.284.

169. Fabre de la Ripelle M., Larsen S.Y. Few-Body Systems, 1992, v.13, p.199.

170. Berman B.L., Gibson B.F. (Editors). The Three-Body Force in the Three-Nucleon System. Lecture Notes in Physics, v.260. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1986.

171. Adhikari S.K., Glockle W. Phys. Rev. C, 1979, v.19, p.616.

172. Levin F.S. Ann. Phys., 1980, v.130, p.139.

173. Navratil P., Barrett B.R., Glockle W. Phys. Rev. C, 1999, v.59, p.611.

174. Evans J.W. J. Math. Phys., 1981, v.22, p.1672.

175. Evans J.W., Hoffman D.K. J. Math. Phys., 1981, v.22, p.2858.

176. Avishai Y. J. Math. Phys., 1975, v.16, p.1491.

177. Займидорога O.A. ЭЧАЯ, 1999, т.ЗО, c.5.

178. Коробов В.И. ЯФ, 1989, т.50, c.1595.

179. Korobov V.I., Puzynin I.V., Vinitsky S.I. Muon Catalyzed Fusion, 1992, v.7, p.63.

180. Bingel W.A. Z. Naturforsh. A, 1963, v.18, p.1249.

181. Pack R.T., Brown W.B. J. Chem. Phys., 1966, v.45, p.556.

182. Abbott P.C., Maslen E.N. J. Phys. A: Math. Gen. 1987, v.20, p.2043.

183. Gottschalk J.E., Abbott P.C., Maslen E.N. J. Phys. A: Math. Gen., 1987, v.20, p.2077.

184. Palumbo F. Phys. Lett. B, 1977, v.69, p.275.

185. Haftel M.I., Mandelzweig V.B. Ann. Phys., 1983, v.150, p.48.

186. Klar H.J. Phys. A: Math. Gen. 1985, v.18, p.1561.

187. Payne G.L. et al. Phys. Rev. C, 1980, v.22, p.823.

188. Payne G.L. Proc. Lecture Notes in Physics, Models and Methods in Few-Body Physics, Lisboa, Portugal, Oct.13-18, 1986, Springer-Verlag, v.273, p.64.

189. Bosveld G.D., Schellingerhout N.W. Report 231, Groningen, 1989.

190. Schellingerhout N.W., Kok L.P., Bosveld G.D. Phys. Rev. A, 1989, v.40, p.5568.

191. Fabri E., Friorio G. Nuovo Cim., 1969, v.60. p.210

192. Friar J.L., Gibson B.F. et al. Phys. Rev. C, 1990, v.42, p.1838.

193. Kievsky A., Viviani M., Rosati S. Phys. Rev. C, 2001, v.64, p.024002.

194. Friar J.L., Paine G.L. et al. Phys. Rev. C, 1995, v.51, p.2356.

195. Pupyshev V.V., Rakityansky S.A. Z. Phys. A, 1994, v.348, p.227.

196. Rakityansky S.A., Sofianos S.A., Amos K. Nuovo Cim. B, 1996, v.lll, p.363.

197. Thompson I.J., Danilin B.V., Efros V.D, et al. Phys. Rev. C.,2000, v.2, p.4381.

198. Stott J.O, Thompson I.J., Tostevin J.A. J. Phys.G: Nucl. Partic., 1999, v.25, p.2189.

199. Rakityansky S.A, Sofianos S.A. J. Phys A: Math. Gen., 1998, v.31, p.5149.

200. Sofianos S.A, Rakityansky S.A, Vermaak G.P. J. Phys.G: Nucl. Partic., 1997, v.23, p.1619.

201. Sofianos S.A, Rakityansky S.A. J. Phys. A. Math. Gen. 1997, v.30, p.3725.

202. Bernabeu J. et al. Hyp. Int. 1996. v.101/102. p.391.

203. Ancarani L.U., Montagnese Т., Dal Capppello C. Phys. Rev. A. 2004, v.70, p.012711-1.

204. Пупышев B.B., Соловцова О.П., ЭЧАЯ, 1996, т.27, с.859.

205. Pupyshev V.V., Solovtsova О.Р. IJMP, А, 1992, v.7, р.2713.

206. Pupyshev V.V., Solovtsova О.Р. Phys. Lett. В, 1995, v.354, p.l.

207. Пупышев B.B., Соловцова О.П. ЯФ, 1996, т.59, с.1807.

208. Пупышев В.В., Соловцова О.П. ЯФ, 1988, т.47, с.60.

209. Пупышев В.В. ЭЧАЯ, 1997, т.28, с.1457.

210. Pupyshev V.V. J. Phys. A: Math. Gen. 1995, v.28, p.3305.

211. Пупышев В.В. ЖЭТФ, 2003, т.124, с.1222.

212. Пупышев В.В. Письма в ЖЭТФ, 2005, т.82, с.275.

213. Пупышев В.В. ЯФ, 1986, т.43, с.260.

214. Пупышев В.В. ТМФ, 1989, т.81, с.86.

215. Пупышев В.В. ЯФ, 1998, т.61, с.1960.

216. Пупышев В.В. ЯФ, 1999, т.62, с.1955.

217. Пупышев В.В. ЭЧАЯ, 1999, т.ЗО, с.1562.

218. Пупышев В.В. ТМФ, 1996, т. 107, с.501.

219. Пупышев В.В. ТМФ, 2000, т.125, с.253.

220. Пупышев В.В. ЭЧАЯ, 2002, т.ЗЗ, с.843.

221. Pupyshev V.V. Phys. Lett. A, 1989, v.140, p.151.

222. Пупышев В.В. ТМФ, 2001, т.128, с.268.

223. Пупышев В.В. ЯФ, 2003, т.бб, с.64.

224. Pupyshev V.V. J. Phys. A: Math. Gen. 2003, v.36, p.L13.

225. Pupyshev V.V. Few-Body Systems, 1990, v.8, p.105.

226. Пупышев В.В. ТМФ, 2003, т.136, с.90.

227. Пупышев В.В. ЭЧАЯ, 2004, т.35, с.257.

228. Пупышев В.В. ЯФ, 1986, т.43, с.1318.

229. Pupyshev V.V. Rapid. Com. JINR 222]-87, Dubna, 1987, p.45.

230. Pupyshev V.V. Rapid. Com. JINR 424]-87, Dubna, 1987, p.31.

231. Пупышев В.В. Сообщение ОИЯИ Р4-86-386, Дубна, 1986.

232. Пупышев В.В. Препринт ОИЯИ Р4-2005-128, Дубна, 2005.

233. Пупышев В.В. Препринт ОИЯИ Р5-2005-139, Дубна, 2005.

234. Пупышев В.В. Препринт ОИЯИ Р5-2004-185, Дубна, 2004.

235. Пупышев В.В. Препринт ОИЯИ Р5-2004-206, Дубна, 2004.

236. Pupyshev V.V., Solovtsova О.P. Cont. to the Intern. Conf. Mesons and Nuclei at Intermediate Energies, (May 3-7, 1994, Dubna) JINR E4-94-123, Dubna, 1994, p.84.

237. Pupyshev V.V. Proc. of the 12th Europ. Conf. on Few-Body Physics, Uzhgorod, June 1-5, 1990, p.346.

238. Пупышев В.В. Сб. анпот. Междунар. совещ. по теории малочастичных и кварк-адронных систем (16-20 июня 1987, Дубна), ОИЯИ Д4-87-237, Дубна, 1987, с.38; с.39; с.40.

239. Pupyshev V.V. Contr. Papers to XII Intern. Conf. on Few-Body Problems in Physics, Vancouver, B.C. Canada, July 2-8, 1989, p.Fll.

240. Pupyshev V.V. Proc. of the VII Intern. Conf. on Symmetry Methods in Physics (July 10-16, 1995, Dubna), JINR E2-96-224, Dubna, 1996, v.2, p.461.

241. Pupyshev V.V. Proc. of the VIII Intern. Conf. on Symmetry Methods in Physics, (July 28 August 2, 1997, Dubna), Phys. Atom. Nucl. 1998, v.61, p.1847.

242. Pupyshev V.V. Book of Abstr. of Inter. Conf. Kolmogorov and Contemporary Mathematics, Moscow, June 16-21, 2003. M.: MSU, p.222.

243. Pupyshev V.V. Book of Abstr. of V Intern. Congress on Mathematical Modelling, Dubna, September 30 Oktober 6, 2002, v.l. p.169.

244. Pupyshev V.V. Book of Abstr. of Workshop on Computation Physics Dedicated to the Memory of Stanislav Merkuriev. St Petersburg, August 24-27, 2003, p.17.