Квантовая задача рассеяния для нескольких частиц и метод кластерной редукции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Яковлев, Сергей Леонидович

• Яковлев, Сергей Леонидович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Яковлев, Сергей Леонидович

Содержание

Введение

1 Интегральные и дифференциальные уравнения для компонент

1.1 Оператор энергии системы N частиц, цепочки разбиений, относительные координаты

1.2 Компоненты Г-матрицы и резольвенты. Уравнения Якубовского

1.3 Строение Г-матрицы и резольвенты в импульсном пространстве и собственные функции непрерывного спектра

1.4 Резольвента и собственные функции непрерывного спектра в конфигурационном пространстве

1.5 Дифференциальные уравнения для компонент

2 Задача четырех частиц

2.1 Сингулярности Т-матрицы и компонент волновых функций системы четырех частиц в импульсном пространстве

2.2 Задачи рассеяния для подсистем

2.3 Граничные задачи для компонент волновых функций системы четырех частиц

2.4 Трехкратное перерассеяние в системе четырех частиц

3 Метод кластерной редукции уравнений для компонент волно-

вых функций системы нескольких частиц

3.1 Кластерная редукция уравнений Фаддеева для компонент волновых функций системы трех частиц

3.2 Спектральные свойства уравнений Фаддеева

3.3 Кластерная редукция уравнений для компонент волновых функций системы четырех частиц

4 Применение метода кластерной редукции для численного решения задачи рассеяния в системах трех и четырех нуклонов

4.1 Низкоэнергетическое рассеяние в системах n-d и p-d

4.2 Система четырех нуклонов. Уравнения для компонент волновых функций тождественных частиц и кластерная редукция

4.3 Связанные состояния и низкоэнергетическое рассеяние в системе четырех нуклонов

Заключение

Приложение 1

Приложение 2

Список литературы

Памяти моего учителя, акад. С.П. Меркурьева посвящается

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовая задача рассеяния для нескольких частиц и метод кластерной редукции»

ВВЕДЕНИЕ

Одной из фундаментальных задач квантовой теории рассеяния является описание асимптотического поведения N взаимодействующих частиц при больших временах. Полная классификация всех возможных асимптотик (каналов рассеяния) носит название асимптотической полноты. Для системы двух частиц результат может быть сформулирован следующим образом: система может находиться либо в связанном состоянии, либо частицы могут двигаться асимптотически свободно. В случае N > 3 добавляются дополнительные типы асимптотической при больших временах динамики, соответствующие свободному движению подсистем (кластеров), частицы которых находятся в связанном состоянии. Именно наличие этого многообразия асимптотических каналов, называемое моногоканальностью, определяет главные трудности теории рассеяния для систем N > 3 частиц.

Имеется два существенно различных подхода к доказательству асимптотической полноты для квантовых систем нескольких (АТ > 3) частиц. Первый - стационарный подход, предложенный и реализованный Л .Д. Фад-деевым [1] для системы трех тел, состоите детальном исследовании свойств резольвенты соответствующего оператора энергии на основе интегральных уравнений для, так называемых, компонент Г-матрицы, что позволило изучить свойства волновых функций (ядер волновых операторов) и доказать их полноту. Из ряда обобщений этого подхода на случай N > 3 [2]-[9]

наиболее прямым и последовательным оказался подход, сформулированный в [10], [11]. Программа [1] в случае N > 3 была реализована в работах [11], [12], [13] лишь частично из-за больших математических трудностей. Второй (временной) подход к доказательству асимптотической полноты основан на абстрактных идеях работы [14] и впервые был реализован в общем случае для произвольных N в [15] - [17]. В этих работах асимптотическая полнота для N частиц была доказана с помощью обобщения методов работы [18], где были разработаны основные технические идеи временного подхода в случае N = 3, имеющие непосредственную классическую интерпретацию. Отметим ТсИОКб работы [19], [20], в которых асимптотическая полнота доказывается с помощью построений, обобщающих на случай N тел технику, так называемых условий излучения. В рамках временного подхода удалось доказать асимптотическую полноту для всех интересных с физической точки зрения потенциалов взаимодействия между частицами, включая кулоновский случай. Оба подхода, дополняя друг друга, образуют в настоящее время математически корректную базу для исследования процессов рассеяния в квантовых системах нескольких частиц.

Настоящая диссертация посвящена одной из важнейших с точки зрения приложений задач квантовой теории рассеяния - разработке корректных и эффективных методов исследования рассеяния в системах нескольких частиц. Используется стационарный формализм, берущий начало от фундаментальных работ Л.Д.Фаддеева [1] для N = 3 и О.А.Якубовского [10] в случае произвольного числа частиц. Именно этот формализм наиболее приспособлен для детального изучения координатных асимптотик волновых функций и для разработки эффективных методов решения основных уравнений теории рассеяния. В диссертации поставлена и решена задача о создании дифференциальной формулировки N частичной теории Фаддеева-Якубовского, сочетающей в себе математическую корректность последней

с минимумом предварительной информации, необходимой для формулировки основных уравнений и граничных условий. Одной из составляющих данной задачи является фундаментальная проблема описания координатных асимптотик волновых функций систем нескольких частиц. Характерной особенностью здесь является многоканальность рассеяния, ведущая к существенному усложнению асимптотического поведения волновых функций в конфигурационном пространстве и, как следствие, к практической невозможности прямого решения уравнения Шредингера для N > 2. По этой причине поставленная в диссертации цель описания координатных асимптотик волновых функций и их компонент для системы N тел, доказательство одноканальной природы компонент, построение уравнений для них, эквивалентных уравнению Шредингера, разработка методов редукции этих уравнений и получение эффективных уравнений для функций, описывающих относительное движение кластеров является актуальной задачей современной квантовой теории рассеяния.

Целью работы

является описание координатных асимптотик волновых функций и их компонент для системы N тел, доказательство одноканальной природы компонент, построение уравнений для них, эквивалентных уравнению Шредингера, разработка методов редукции этих уравнений и получение эффективных уравнений для функций, описывающих относительное движение кластеров.

Научная новизна.

В диссертации исследован и решен широкий круг проблем квантовой теории рассеяния для систем нескольких частиц и разработаны новые методы исследования рассеяния в системах нескольких кластеров. Новыми результатами являются:

1. Вывод и обоснование дифференциальных уравнений для компонент волновых функций системы N тел.

2. Исследование координатных асимптотик волновых функций и их компонент в случае бинарных процессов.

3. Исследование координатных асимптотик волновых функций четырех-частичных систем и обнаружение сингулярного вклада в асимптотику волновой функции для N = 4 процессов трехкратных попарных разделенных столкновений частиц.

4. Разработка методов кластерной редукции трехчастичных уравнений Фаддеева, ведущих к корректным эффективным уравнениям для функций, описывающих относительное движение кластеров.

5. Полное описание инвариантных подпространств матричных трехчастичных операторов Фаддеева и их сопряженных и доказательство теоремы полноты собственных функций этих операторов.

6. Разработка метода кластерной редукции для четырехчастичных уравнений Якубовского и получение на ее основе эффективных уравнений, корректно описывающих относительную динамику кластеров.

7. Расчеты длин рассеяния и низкоэнергетического поведения фаз рассеяния в системах п — й, р — й.

8. Расчеты энергий связи четырехнуклонных систем, длин рассеяния и фазовых сдвигов в системах п — 3Н, р — 3Н, п — 3Не, 2Н—2Н.

Практическая ценность работы.

Практическая ценность результатов диссертационной работы определяется возможностью использования разработанных методов и алгоритмов для

расчета результатов столкновений в системах нескольких кластеров. Разработанная в диссертации дифференциальная формулировка теории рассеяния для N частиц и метод кластерной редукции позволили создать эффективный метод расчета низкоэнергетических характеристик рассеяния в системах нескольких частиц. Данный метод позволяет переформулировать такие широко используемые методы, как метод сильной связи каналов [52], метод резонирующих групп [21] и др. в рамках математически корректной схемы и на ее основе получать эффективные уравнения для описания взаимодействия составных частиц, свободные от эвристических предположений. Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22]-[40]. Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Общий объем диссертации 197 страниц. Библиография содержит 99 наименований.

ОБЩЕЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава состоит из пяти разделов. В первом разделе вводятся основные объекты, такие как оператор энергии системы N тел, цепочки разбиений, относительные координаты. Во втором разделе вводятся компоненты Т-матрицы для N частичного оператора энергии, формулируются уравнения для компонент Т-матриц [10] и обсуждаются их основные свойства. Здесь же вводятся компоненты резольвент и анонсируются уравнения для них, вывод которых откладывается до раздела 1.5. В разделе 1.3 исследуется строение Т-матрицы и резольвенты оператора энергии N частиц. Рассмотрение ведется в импульсном представлении с помощью уравнений раздела 1.2. Здесь удается описать основные полюсные сингулярности Т-

матриц и резольвент и на этой основе определить волновые функции системы N тел как подходящие пределы ядер резольвенты по энергетической переменной на непрерывном спектре. В следующем разделе 1.4 на основании формул раздела 1.3 исследуется поведение ядер резольвенты, волновых функций и их компонент в конфигурационном пространстве. Используется стандартный метод, основанный на оценках преобразований Фурье соответствующих объектов, определенных в импульсном представлении. Найдены координатные асимптотики функции Грина (ядра резольвенты) и волновых функций для двухкластерных начальных каналов. В последнем разделе 1.5 выводятся уравнения для компонент резольвенты, сформулированные в разделе 1.1, исследуются основные соотношения между компонентами Т-матриц и резольвент. На основании этой информации строятся матричные (дифференциальные в координатном представлении) операторы, резольвенты которых состоят из компонент резольвенты оператора энергии N частиц, введенных в первом разделе данной главы. Последнее позволяет построить собственные функции матричных дифференциальных операторов с помощью стандартной процедуры перехода к подходящему пределу в ядрах резольвент на вещественной оси энергии. Полученные таким образом уравнения для компонент волновых функций системы N частиц являются непосредственным обобщением трехчастичных дифференциальных уравнений Фаддеева на случай произвольного числа частиц и представляют собой главный итог первой главы. Материал первой главы основан на публикациях [22], [23], [24], [25], [28], [32].

Вторая глава посвящена детальному исследованию компонент Г-матриц и волновых функций для системы четырех частиц. В разделе 2.1 производится изучение всех полюсных сингулярностей четырехчастичной Т-матрицы, ее компонент и компонент волновых функций системы четырех частиц в импульсном пространстве. Показано, что компоненты четырехча-

стичных волновых функций содержат ряд слагаемых, выражающихся в терминах компонент волновых функций подсистем разбиений системы четырех частиц на две подсистемы. В случае разбиений 3 + 1 эти объекты выражаются через компоненты трехчастичной волновой функции, а для разбиений 2 + 2 через компоненты волновой функции двух невзаимодействующих между собой пар. В разделе 2.2 напоминаются результаты работы [44] о структуре координатной асимптотики волновой функции для трех частиц, свободных в начальном состоянии. Основное отличие от двухчастичного случая заключается в сингулярном вкладе в рассеяние процессов последовательных парных столкновений, который приводит к появлению в асимптотике волновых функций и их компонент слагаемых, порядок которых зависит от направления. Переходные режимы описываются в данном случае интегралами Френеля и имеют много общего с преходными режимами в асимптотике поля в окрестности границы "свет"-"тень" при дифракции электромагнитных волн на клине [54]. В этом же разделе показано, что координатная асимптотика компонент волновых функций для разбиений 2 + 2 описывается теми же формулами, что и в случае 3 +1 и выражается с помощью интегралов Френеля. В этом случае также показано, что после суммирования компонент волновая функция для разбиения 2 + 2 уже не содержит слагаемых с интегралами Френеля. В следующем разделе 2.3 обсуждаются граничные задачи для дифференциальных уравнений для компонент волновых функций системы четырех частиц. Показывается, что в классе функций, координатная асимптотика которых совпадает с асимптотикой преобразований Фурье компонент волновых функций в импульсном пространстве, дифференциальные уравнения для компонент имеют единственные решения. При этом соответствующие решения уравнения Шрединге-ра восстанавливаются по компонентам с помощью суммирования. Данное утверждение служит обоснованием нахождения компонент волновых функ-

ций с помощью решений дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями в координатном пространстве. Последний раздел 2.4 данной главы посвящен исследованию сингулярного вклада процессов последовательных столкновений кластеров. Наиболее сложный случай связан с процессами трехкратных последовательных попарных столкновений частиц. Вклад в асимптотику компонент волновой функции системы четырех частиц выражен в терминах классического действия, отвечающего асимптотическому движению частиц после процессов трехкратных столкновений. Для коэффициентов перед быстро осциллирующими экспонентами получены представления через специальные функции: стандартный интеграл Френеля и повторный интеграл типа Френеля. Материал данной главы базируется на результатах работ [26], [29] и [30].

В третьей главе разрабатывается метод кластерной редукции уравнений для компонент волновых функций систем трех и четырех частиц в случае бинарных столкновений, когда в начальном и конечных состояниях может присутствовать только два кластера. Данный случай является наиболее важным для приложений, так как в большинстве экспериментов исследуется именно этот тип реакций. Раздел 3.1 посвящен подробному изложению метода для самого простого варианта уравнений для компонет волновых функций системы трех частиц - уравнений Фаддеева. Однока-нальный характер асимптотики компонент позволяет разложить каждую из них по собственным функциям соответствующего парного оператора энергии. Однако, непосредственное применение таких разложений не слишком эффективно, так как соответствующий базис собственных функций содержит континуальное количество элементов. Поэтому исходная задача для дифференциальных уравнений Фаддеева сначала аппроксимируется краевой задачей для этих уравнений с дополнительным нулевым граничным условием при достаточно большом значении модуля внутрикластерной ко-

ординаты. Последнее возможно благодаря экспоненциальному убыванию каждой из компонент по внутрикластерной координате. Показано, что погрешность такой аппроксимации имеет экспоненциально малый порядок. Аппроксимирующая краевая задача естественным образом решается методом разделения переменных с использованием базиса собственных функций однородной задачи Дирихле для парного уравнения Шредингера. При этом для коэффициентов разложения, зависящих только от межкластерной координаты, получаются интегродифференциальные уравнения, представляющие собой конечный результат редукции.

Обобщение данного метода на случай N > 3 частиц требует исследования свойств собственных функций матричных операторов, порождаемых уравнениями для компонент. В разделе 3.2 исследуются спектральные свойства таких операторов в случае трех частиц. Рассматриваемые матричные операторы несимметричны, поэтому наряду с исходными операторами исследуются и их сопряженные. Исследованы свойства инвариантных подпространств этих операторов, построены системы их собственных функций и доказаны их биортогональность и полнота.

Информация о системах собственных функций трехчастичных матричных операторов позволяет практически напрямую реализовать метод решения первого раздела в случае четырех частиц. Результатом редукции вновь служат уравнения для функций, зависящих только от межкластерных координат. Методы и результаты, представленные в данной главе, предложены в публикациях [25], [27], [28], [35], [36], [38].

В последней, четвертой, главе даны приложения метода кластерной редукции к численному решению задачи рассеяния в системах трех и четырех нуклонов. В разделе 4.1 решается задача о рассеянии нуклона на дейтроне при энергиях, не превышающих порог развала системы на три частицы. Здесь получены значения фазовых сдвигов и длин рассеяния для

п — д, и р — в, рассеяния. В разделе 4.2 уравнения для компонент волновых функций системы четырех частиц адаптируются для расчетов в системах тождественных частиц. Здесь также обсуждается необходимая модификация метода кластерной редукции для тождественных частиц. В разделе 4.3 на основе метода кластерной редукции решаются задачи п — 3Не, р — 3Н и 2Н—2Н рассеяния, а также задача на связанное состояние 4Не в системе четырех нуклонов. Результаты данной главы основаны на работах [25], [27], [31], [33]-[35], [37], [39], [40].

В заключении обсуждаются возможные обобщения разработанных в диссертации методов.

В приложении 1 собраны необходимые формулы связи относительных координат, генерируемых различными цепочками разбиений для систем трех и четырех частиц.

Приложение 2 посвящено исследованию асимптотики специального класса двойных интегралов с быстро осциллируещей экспонентой и полюсными особенностями внеэкспоненциальной части подынтегральной функции по обеим переменным интегрирования.

Коротко о характере изложения. Сложность задачи N частиц, связанная с многообразием возможных процессов при взаимодействии частиц, часто ведет к необходимости рассмотрения очень громоздких конструкций. Вывод некоторых формул сопряжен с проведением довольно сложных вычислений, полное описание которых могло бы привести к катастрофическому росту объема данной работы. Поэтому в этих случаях даются лишь пояснения о том с помощью каких методов и приемов получается окончательный результат.

Г л а в а 1

Интегральные и дифференциальные уравнения для компонент

1.1 Оператор энергии системы N частиц, цепочки разбиений, относительные координаты

Рассматривается система N попарно взаимодействующих частиц. Оператор энергии имеет вид 1

N 1

г=1 г 1 <i<j<N

где uii и rj - масса и радиус вектор г-той частицы, Дг, - оператор Лапласа, функции Vij - потенциалы взаимодействия между частицами inj. В силу трансляционной инвариантности потенциальной энергии оператор Н содержит тривиальное слагаемое, отвечающее свободному движению системы как целого. Стадартным способом явного отделения этого слагаемого является переход от координат частиц rj...rjv к радиус-вектору центра масс

N N

к=м-1 м = Ylmi (L1)

i=1 ¿=1

и системе трансляционно инвариантных относительных координат. Для описания последних, а также для классификации объектов, встречающихся в дальнейшем, необходимо ввести понятие цепочек разбиений [10].

хНа протяжении всего текста диссертации за исключением последней Главы используется система единиц, в которой постоянная Планка Ь, = 1.

Цепочки разбиений.

Разбиением а к называется некоторый способ разделения системы N частиц на к подсистем: = {и>а,...,и^}, и>г-П и^- = 0, С {1,2,..., ЛГ}. Соотношение а^ С «г при к > I означает, что при к = I а,}. = щ, при к = I + 1: аг+1 = {^1, щ = {<71, ...,сгг, ...,а;} и существуют такие номера р,рг,

что и = <тг, при к > / + 1 существует последовательность разбиений о.к-1 С ... С а;+2 С и С В дальнейшем одинаковыми буквами обо-

значаются разбиения, связанные знаком С. Цепочкой разбиений называется последовательность А\ = а^сц+х, В частных случаях к = N + 1 и I = 2 применяются обозначения: А; = щ, ..., адг-1 и А* = а,2,а3, .. Относительные кооординаты.

Пусть - некоторая цепочка разбиений. Определим N — 1 векторов

"О формулам

где МШр

— Тче^Щ, Г^^р а подсистемы ир и и>д опреде

ляются парой разбиений а/_г и = {сг15 ...сгг,..., сгг_х}, а/ = ,

и и>р и = 0>. Набор векторов Хл2 = совместно с

К из (1.1) дает альтернативные к набору {гь ...,глг} координаты для системы N частиц. Заметим, что формулы (1.1) и (1.2) фактически определяют линейное преобразование

{К,Хл2} = ГА2{ГЬ-,гдг}>

с N х N матрицей Та2. Аналогично для некоторой цепочки В2 ф А2

{11,Хв2} = Тв2{гх, ..., Гдг}. Из этих равенств следует

{ И, Хв2 } = Тд2 Тд 1 { И, Ха2 }.

Последнее означает, что матрица тв2т^ имеет блочную структуру [1, ов2а2] с N — 1 х N — 1 матрицей Ов2а2, которая определяет преобразование относительных координат Х^2 и Хв2

Хв2 = (9в2Л2ХА2. (1.3)

Матрица преобразования Ов2а2 ~ ортогональна, именно Ов2а2Ов2а2-> гДе Т означает транспонирование. Для доказательства достаточно заметить, что для любой цепочки Сг выполняется равенство

i=1 j=2

откуда

N , N ,

£(*г) =Е8г') ■

3=2 j=2

Введем несколько более компактных обозначений для относительных координат. Пусть ак некоторое разбиение цепочки Аг- Обозначим хак набор относительных координат внутренних по отношению к подсистемам разбиения а^:

Через yak обозначим набор внешних по отношению к a¡. относительных координат:

У а* = {хаг5 "Ч ха* 1}-По построению Ха2 = {хак,уак}. Согласно

определению xajv_j — ха^г 1 и уа2 = х^. Наконец заметим, что xajv_1 = [2m¿mj/(mt- -f mj)]1/2(r¿ — rj), где г и j - номера частиц, входящих в единственную нетривиальную подсистему разбиения ам-ъ В дальнейшем мы будем систематически использовать взаимно однозначное соответствие между парами ij и разбиениями a^-i для классификации различных парных объектов.

Оператор энергии.

Введенные координаты позволяют переписать оператор Н в виде

1 *

я= ~2МЛа~ £ Лх:г + £ ^(х^), (1-4)

к=2 ^>N—1

где Уьы_г ) = — г:;), а - номера частиц, входящих в единствен-

ную нетривиальную подсистему разбиения Здесь и в дальнейшем

предполагается, что фиксирована некоторая цепочка разбиений А2, которая определяет набор координат Хд2, а векторы хьдг_1 в последней сумме выражены в терминах координат Хл2 по формулам (1.3). Сумму трехмерных операторов Лапласа 2 ^хак~1 уд°бно объединить в Лапласиан ДхА2 с Х^2 € П3^-1). Благодаря ортогональности преобразования (1.3) для любых А2 ф В2 выполняется равенство

ЛХл2 = ДХВ2 •

По этой причине в дальнейшем будем опускать индексы цепочек у координат Х^2 и писать просто X. Заметим, что для любого а* верно представление

Ах = Дха(. + ЛУа(!, (1.5)

где хак и Уак (хай € ~В?(ы~к\уак 6 К3(й_1)) - внутренние и внешние по отношению к ак координаты, определенные выше.

Отделяя в (1.4) слагаемое — ^Дц, отвечающее свободному движению системы N частиц как целого, получаем оператор энергии N частиц в системе центра масс:

Н = -Лх + £ ^(х^) = Но(1-6)

Ьы-1

Именно оператор Н определяет все физические свойства системы, поэтому его изучение и представляет основную задачу.

Оператор Н рассматривается в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций, зависящих от относительных координат. Это гильбертово пространство будет обозначаться в дальнейшем 7~С. Относительно потециалов взаимодействия VbN_1(x6N_l) предполагается, что они являются вещественно значными, гладкими, достаточно быстро убывающими функциями при | —>■ оо :

^(^I^ca + M)-^), е>0. (1.7)

Оператор Н с такими потенциалами становится самосопряженным в 7i с областью определения D = D(—Ах) [41].

Наряду с оператором Н будем рассматривать операторы вида

Нак = Н0+

Эти операторы соответствуют системам N частиц, в которых взаимодействуют между собой лишь частицы, принадлежащие подсистемам разбиения ak, тогда как взаимодействие между частицами из разных подсистем аk отсутствует. Для операторов Нак, благодаря (1.5), верно представление

нак = -Ау ак + Кк,

Ь*ак = + KjV-i(XaAr_1).

«W-lCH

Итак, мы описали операторы Н и Нак в координатном пространстве. Переход в импульсное представление осуществляется с помощью преобразования Фурье

/(Х) = I dP ехр г(Р, Х)/(Р),

где Р е R3^-1) - набор относительных импульсов к^, сопряжен-

ных координатам X. Оператор Н в импульсном пространстве дается выражением (1.6), где

#o = P2 = k2 +pL,

а Уам_г - интегральные операторы с ядрами

= VaN-l(kaW-! - к^ЖРа^-! ~ pIjv-i)" Функции Kw_i(k) связаны с Kjv-i(x) преобразованием Фурье

KN_!(k) = J dxexpi(k,x)Vrejv_1(x), k,x G R3.

Для операторов H, Hak и Но резольвенты определяются равенствами R{z) = (H-z)~\ Rak(z) = (Hak-z)-\ Ro^(Ho-z)-1. Отвечающие резольвентам Г-матрицы имеют вид

T(z) = V- VR(z)V, Tak = Vak - VakRak(z)Vak,

где

v=52v*H_1, vak= J2 ^.i-

&N-1 aN-lCa)!

Обратное преобразование

R(z) = R0(z) - Ro(z)T(z)Ro(z), Rak{z) = R0(z) - R0(z)Tak(z)R0(z)

получается стандартными методами.

Как обычно при решении задачи N тел предполагаются известными решения задач меньшего числа частиц, в частности при изучении резольвенты R(z) считаются известными все операторы Rak(z) при 2 < к < N — 1. Однако, как и в [10] мы выписываем соответствующие уравнения для всех операторов Rak(z). При этом самые сложные уравнения для R{z) получаются при к — 1.

В конце данного раздела условимся о некоторых обозначениях, используемых на протяжении работы. Модули векторов будем обозначать соответствующими нежирными буквами х — |х|, а единичные векторы как х/х = х.

1.2 Компоненты Т-матрицы и резольвенты. Уравнения Якубовского

В настоящем разделе определяются компоненты Г-матриц Т(г), ТС1к(г) и резольвент Я(г), Как(г). Компоненты классифицируются цепочками разбиений А{. Такие компоненты и уравнения для них были введены в работах [10, 11]. Будем работать с операторами Так(г) и Яак{г), отождествляя

Компоненты Г-матриц Так определяются следующими рекуррентными соотношениями

МЦхВг_^) = Л^в^^Л-Л-* - (1.8)

- Е Е'

где Аг С а,к, В{ С а а, к + 1 < % < N — 1,1 < к < N — 1,8аф{ - символ Кронеке-ра. Штрих у знака суммы означает, что ограничения при суммировании понимаются покомпонентно: цепочки Сг-+\ и Д+1 подчиняются условиям

СдГ-1 ф ••• 5Сг-+1 Ф ¿1+1 ! ¿ЛГ-1 С С/у_2, ••• ¿¿+2 с С.-+1. Операторы Мд в (г) удовлетворяют системе уравнений [10, 11]

= Мливк^¥акьк - Е Е'

(1.9)

В случае к = 2, г = 1 уравнения (1.9) являются обобщением системы уравнений Фаддеева [1] на случай ТУ частиц. Сформулируем два важнейших свойства уравнений (1.9), доказанных в [10, 11].

Лемма 2.1. Пусть операторы МдкВ (г), Згог ф 0, определены на Б и удовлетворяют системе (1-9), тогда операторы

Tai(z) = J] MlBk(z)

Ak¿N-1

совпадают, с M¿k+iBk+i(z) uTai, соответственно. Лемма 2.2. Однородная система уравнений (1-9)

< = -£ Е' а.ю)

¿кфак (ck+1^dk+1)cak

не имеет нетривиальных решений при 'ísmz ф 0.

Последняя Лемма следует из формальной эквивалентности системы (1.10) уравнению Шредингера [10]

НагЪа> =z4fa%

где

Ф-" =

лк

Аналогично ¡T-матрицам, можно определить компоненты резольвент по формулам

К^-гЬя-Л*) = (Z)S«N-if>N-i - Mz)V*N-iRaÁ*)

= - (1.11)

- Е Е'

(di^aí)Cai-! (Ci+1^D¡+i)Cai

Определения (1.11) ведут к уравнениям

= RZ+1BkJz)¿akbk - Е Е' RaA^Ck^)V^Ra¿kB^)-

¿кфа-к (Cfc+i^-Dfc+i)Cак

(1.12)

Уравнения (1.12) будут получены в разделе 5 данной главы. Там же будет доказано свойство

K+lCk^)vCN^ = ЯоШТк+1ск+М 21

которое приводит к формулам

= М^)МаА'кВк(г) (1.13)

для произвольного а». Последнее является обобщением на случай компонент хорошо известного равенства

аду = До (2)Т(г).

Формулы (1.13) позволяют получить связь между компонентами Т-матрицы и резольвенты в виде

М1Вк(г) = (Н0-г)111Вк(г)УЬн_1. Подобно системе (1.10), однородная система уравнений (1.12)

Акфак {Ск+1фВк+1)Сак

не имеет нетривиальных решений при Этг ф 0. Как и в случае системы (1.10), данное утверждение является следствием эквивалентности уравнений (1.14) и уравнения Шредингера

Я0<Фв< = ¿Фа\ (1.15)

Компоненты фдк могут быть построены по Фа' с помощью следующих формул

= -ВДК^Ф0'

^ = Е Е' (1.16)

(¿■¡фа^Са^..! (Cj+1фDj+l)Caj

При этом

ак

Если фдк суть решения (1.14), то Фа' - решение (1.15) и в силу самосопряженности НЛг получается, что Фа' = 0 при ф 0. В свою очередь из первого и второго равенств (1.16) следует, что все Ф°д._г равны нулю.

Решения систем (1.9) и (1.12) позволяют восстановить Т-матрицы и резольвенты по формулам

Е мА*вк(^ ад = Е

ак

1.3 Строение Т-матрицы и резольвенты в импульсном пространстве и собственные функции непрерывного спектра

Введенные в предыдущем разделе операторы МдкВк(г) и Л<Аквк{2) реализуются в импульсном прстранстве как интегральные операторы. Соответственно системы уравнений (1.9) и (1.12) превращаются в системы интегральных уравнений для ядер входящих в них операторов. Эти системы уравнений позволяют явно описать сингулярности ядер Т-матицы и резольвенты в импульсном представлении и определить собственные функции непрерывного спектра [23].

Условимся о следующей терминологии. Будем называть интегральный оператор с ядром вида Аа,(ка{,к'а1)6(раг - р'а;), где Ааг(ка,,к'аг) не имеет 6-функционных особенностей, оператором, связным в разбиении щ, и обозначать АсаГ Ясно, что резольвенты Лал(г) и Т-матрицы Так(г) не являются связными в ак операторами. Ближайшей нашей задачей является явное описание несвязных частей операторов и Так(г). Справедливо сле-

дующее утверждение.

Лемма 3.1. Для связных частей операторов Д0)г(г) и Так(г), 1 < к < N — 1 справедливы представления

N-1

Щк(*) = Ъ>к(г) - М*) ~ Е Е-ВД'

г—к+1 аг

{=к+1 <Ч

Доказательство. Заметим, что достаточно доказать только второе из равенств (1.17), так как первое тогда будет следовать из соотношения

Яак(г) = До(г) - Я0(г)Так(г)Е0(г).

Формулы (1.17) можно легко получить с помощью графической техники [42], однако для полноты изложения мы дадим алгебраическое доказательство, используя основное свойство уравнений (1.9). Вместо компонент (1.8) удобно рассмотреть следующие компоненты Г-матриц Так(г)

Т^г) = - К^ДаЛ*)^-!

ТИ^) = - £ £' а-18)

которые удовлетворяют уравнениям [42]

= Т^) - £ £' (1.19)

Уравнения (1.19) отличаются от (1.9) тем, что свободный член Тд (г) является связным в а,- оператором и представляет собой компоненту связной части оператора Та{(г). При этом Гас.(г) дается формулой

= (1-20)

Из определений (1.18) и уравнений (1.19) получаем следующее соотношение для Т£+1(*)

сц

Из свойств уравнений (1.19), доказанных в [10] и [11], второе слагаемое в

(1.19) при г = к + 1 является связным в аь оператором. Отсюда, формул

(1.20) и соотношения

ТФ) = £ Т^г) 24

получаем требуемое представление

N-1

т:к{г) = тф)~ £

г=к+1 сч

и соответствующее представление для Нс (г). Лемма доказана.

Для описания структуры сингулярностей Т-матриц нам понадобится ряд новых обозначений. Пусть фа{(ка;) и е^ (е0< > 0) - собственная функция дискретного спектра и абсолютная величина энергии связи для оператора

К-

Кгф^(каг) = -еа^(ка,).

Состояние системы N частиц, в котором взаимодействуют лишь частицы из подсистем разбиения щ, описываемое функцией фа'(ка{), называют г-кластерным каналом. Введем формфактор формулой

ФЩ= Е Уа^ф*

а;

Для объектов фа\ фа{ и под индексом a¿ будем понимать в дальнейшем не только само разбиение аг-, но и возможные дополнительные индексы (квантовые числа), классифицирующие собственные функции и собственные значения оператора ка{. Далее будем считать выполненным условие еа{ < еак при а,- С а/с, согласующееся с утверждением [43] о пороге непрерывного спектра для многочастичных гамильтонианов.

Строение Т-матрицы Т(г) оператора Н описывается формулами [23]

N-1

= с1-21)

1—2 а.1

где ядра операторов (г) при 1 < г < N — 1 и Т^ =ТС имеют вид

Т£(Р,Р',*) = - р!ЖР«4 - Р*)>

ка , 2г) —

г + еа 25

+ Ъ, + £ К^Ра^Ра^г) ,2 , • (1-22)

Здесь р0 - набор относительных импульсов внешних по отношению к разбиению аз и внутренних по отношению к разбиению а,{ (а^ С сц), так что Р = {к0{,р04}, Р = {каяр«у}, Ра, = {Ра^аоРоЛ И ка> = {к^р«^}. При СУММИровании по а^ и а; во втором члене формулы (1.22) допускаются значения I = N, при этом полагается

- 1ш

Доказательство формул (1.22) может быть получено по индукции, с помощью формул работы [1] и уравнений (1.9) и (1.19). Мы не будем приводить его здесь из-за черезвычайной громоздкости промежуточных формул. Кроме явно выделенных в (1.22) особенностей, называемых главными, функции (ка;, к'а,, г) имеют ряд второстепенных сингулярностей, отвечающих первым итерациям систем (1.9) и (1.19). Эти сингулярности соответствуют законам сохранения энергии в процессах многократных разделенных столкновений кластеров. Отличительной чертой второстепенных сингулярностей является зависимость не только от модулей векторов ра>а< и Рд.а., но и от углов между этими векторами. Мы также не будем приводить здесь соответствующие формулы из-за их громоздкости. Подробное рассмотрение этих вопросов будет проведено в Главе 2 для системы четырех частиц.

Представление для ядра резольвенты получается из (1.21) и (1.22) с помощью формулы

Л(г) = Я0{г) - Ко(г)Т(2)Яо(г). (1.23)

Теперь мы имеем возможность определить собственные функции непрерывного спектра для оператора Н. Обозначим Х&,(Р ,Рб,) волновую функцию I свободных кластеров. Функция хь выражается через фЬ{ формулой

хь1(р',ръ1) = Фь1(КЖръ1-рь1)-26

Собственная функция Ф*(Р',р&г), отвечающая /-кластерному начальному (+) или конечному (—) состоянию, определяется как предел

Ф± = Нт ТгеЯ(ЕЪ1±ге)хь1, (1-24)

1 б—>+о

где энергия Ец = р2( — £ьг Используя (1.21), (1.22) и (1.23) для вычисления предела в (1.24), получаем следующую формулу для Ф^(Р',рьг) :

Ф£(Р',Рь,) = Хь((Р',Рг.г) + Е <ь,(к1*>Рь.«*Жр1* - Р^) + ^(Р',рьг), (1.25)

Где ~ связные части волновых функций ф±кЬ1(к'ак, рЬ[ак) даются

формулами

± ,, ' N /1 '2 т? -nN-1 ^¿(ка)?^*ь(р ,рь!0к,£бг0к ± гО)

aiOfc ^ + £ai + U

U

(р\и,) = -(Р'2- Д т.0)-£ M^tP^.y^ (12б)

&h — Ра; + £о,- + «U

Здесь £6га)г = p2biak -ebl.

Рассмотрим N невзаимодействующих частиц. Такая система описывается волновой функцией

*о(Р\Р) = *(Р'-Р).

Собственная функция, отвечающая системе N частиц, свободных в начальном (+), конечном (—) состоянии, определяется как предел

ф± = lim =fieR{E ± ie)Xo, (1-27)

с—>+о

где энергия Е = Р2. Вычисляя предел как и выше, получим

Ф£(Р',Р) = Хо(Р') Р) + E<o(k:k,kaJ^(P:k - peJ + «i(P\P), (1.28)

Лк

Здесь «^0(к'ал,кОА) - связные части волновых функций ф%0(к'ак,kaJ выражаются через ядра Т-матриц (z) формулами

<o(kl„kaJ = -(к'а\-к1кТгОГХк(к'ак,Кк,к1к±гО),

4(р', Р) = -(Р'2 - Р2 т ¿0)-хТс(Р', Р, Р2 ± ¿0). (1.29)

а

1.4 Резольвента и собственные функции непрерывного спектра в конфигурационном пространстве

В данном разделе описываются асимптотический свойства ядра резольвенты оператора H и волновых функций Ф^ в конфигурационном пространстве. Ядро резольвенты R(z) в конфигурационном пространстве дается преобразованием Фурье

Д(Х,Х',*) = (2ti-)~п J d-pdP'ei{F^R(P,P',z)e-iiP'X\ (1.30)

где п — 3(N — 1), a R(P, Р', z) - ядро оператора R(z) в импульсном представлении. Используя связь R(z) и T(z) (1.23), представим ядро R(X,X', z) в виде

Л(Х, Х', г) = До(Р, р', *) + G(P, Р', г). (1.31)

Здесь R0(P,P', z) - ядро оператора Ro(z), которое выражается через функцию Ханкеля формулой

г'

R0(X,X',z) = j'yZ]

4 \ 2ж J |Х-Х'|^2

Ядро G(X,X ,z) дается преобразованием Фурье (1.30) от функции

ГР Р' ï - Г(Р,Р> Я ' (Р2-*)(Р'2

z]

Следует отметить, что в силу представления (1.31) ядро R(X,X' имеет стандартную сингулярность при X = X'

Д(Х, Х\г)= [(п - 2)ап|Х - Х'|п_2] (1 + 0(|Х - X'|),

где ап - площадь единичной сферы.

Опишем асимптотический вид ядра Я(Х,Х',г) при |Х'| —> оо и |Х| = 0(|Х' |"), V < 1. Поскольку R{z) как функция z имеет разрез на вещественной оси, то, как обычно, следует различать пределы при г —» 1?±г0, ($утЕ = 0).

Для вычисления асимптотики ядер В,(Х,Х' ,Е ± г'О) воспользуемся описанной в разделе 3 структурой сингулярностей ядра резольвенты в импульсном пространстве и представлением (1.30). Докажем теорему. Теорема 4.1. Ядро Я(Х, X', Е + ¿0) представляется в виде

Л(Х,Х',Е + ¿0) = 5]^(х;г)д+(х,у;г) + д+(х,х'), (1.32)

к

где функции (дь(Х,у'ь,) и фо(Х,Х') при —> оо и |Х'| —> оо переходят в сферические волны

ГЦ— 3

х \у'Ъ{ ехр — (1-33)

( п^З

Здесь щ = 3(/ — 1), а функции Ф^(Х,рьг) и Фр(Х,Р) являются собственными функциями непрерывного спектра оператора Н в конфигурационном пространстве и связаны с функциями (1.25) и (1.28) преобразованием Фурье, например,

Ф+(Х,рО = (2тг)-!^ I ¿Р'ф+(Р',рОехр{г(Р',Х)}.

Доказательство. Запишем формулу (1.23) в терминах ядер участвующих в ней операторов (Е+ — Е + г'О)

Л(р р' = ¿(Р - Р') _

' ; Р 2-£+ (Р2 — Е+)(Р'2 — Е+)'

(1.34)

Ядро Г(Р,Р',£;+) представим в виде

6, ь ~ Рь< + 6ь>

где

иьг(Р,р'Ьг,Е+) = ^(кьгЖРЬг-р;г)+ £

акЭа,А ^ +

хК-бДРа.^р'^,^ - р'ДЖРа* - Рак).

Заметим, что при Е = р^ — е^ функция (Р2 — Е+)~1щ1 совпадает с волновой функцией Подставляя представление (1.34) в (1.30), имеем

Д(Х,Х',Я+) = (2тг)-та У еИР'Л(Х, Р', Е+) ехр {г(Р', X')}, (1.36)

где через Л(Х,Р',Е+) обозначено преобразование Фурье ядра Н(Р,Е+) по первому аргументу. Используем далее то, что особенности сингулярных знаменателей Р'2 — Е+ и Е+ — + £ь{ не пересекаются, именно р'2 _ £+ £}+ _ £ь^ _ > д Выделим из области интегрирования

в (1.36) окрестность О гиперсферы Р'2 = Е такую, что в ней знаменатели Е+ — р^2 + £ьг не обращаются в нуль. В этой области подынтегральная функция в (1.36) имеет единственную особенность (Р'2 — Е+)~1. Асимптотика интеграла (1.36), взятого по выделенной области, легко вычисляется с помощью формулы

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Яковлев, Сергей Леонидович

Заключение

В диссертации разработана дифференциальная формулировка задачи N тел, базирующаяся на дифференциальных уравнениях для компонент волновой функции с асимптотическими граничными условиями. Соответствующие уравнения главы 1 требуют минимума предварительной информации, а именно задания лишь потенциалов взаимодействия между частицами. Показано, что асимптотика компонент волновых функций имеет од-ноканальный характер и содержит лишь волновые функции связанных состояний подсистем, входящих в цепочку разбиений, ассоциированную с данной компонентой. Последнее позволяет относительно легко учитывать асимптотические граничные условия для компонент волновых функций при практическом решении уравнений для компонент. Методы и приемы, использованные в главе 2 при изучении свойств компонент волновых функций системы четырех частиц могут быть обобщены на случай систем произвольного числа частиц без принципиальных затруднений.

Метод кластерной редукции уравнений для компонент волновых функций в случае бинарных процессов, подробно изложенный в главе 3 для N = 3,4, без труда переносится на случай произвольного числа частиц. При этом стартовым пунктом являются уравнения главы 1 для произвольного N.

В главе 4 продемонстрировано применение метода кластерной редукции для численного решения задачи рассеяния для некоторых ядерных систем. Показано, что результаты расчетов находятся в хорошем согласии с данными, полученными в рамках других подходов. При этом следует заметить, что существующие в настоящее время безмодельные методы решения задачи рассеяния для четырех нуклонов требуют при реализации использования наиболее мощных современных суперкомпьютеров. Метод же кластерной редукции, предложенный в диссертации, позволяет уменьшить вычислительные трудности на несколько порядков, так что решение задач рассеяния в системах четырех нуклонов становится возможным с помощью относительно маломощных персональных компьютеров. Ввиду этого, метод кластерной редукции открывает реальную перспективу для безмодельных рассчетов низкоэнергетического рассеяния в малочастичных системах на базе существующей вычислительной техники.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Яковлев, Сергей Леонидович, 1998 год

Список литературы

[1] Фаддеев Л.Д. Математические вопросы квантовой теории рассеяния для системы трех частиц. // Труды Матем. ин-та АН СССР им. В.А.Стеклова. 1963. Т. 63. С. 1-122.

[2] Weinberg S. Systematic solution of multiparticle scattering problems. // Phys. Rev. 1964. V. 133. № IB. P. 232-256.

[3] Rosenberg L. Generalized Faddeev integral equations for multiparticle scattering amplitudes. // Phys. Rev. 1965. V. 140. N° IB. P. 217-226.

[4] Mitra A.N., Gillespie J., Sugar В., Panchapakesan N. Faddeev formalizm for four-particle sysyem. // Phys. Rev. 1965. V. 140. № 5B. P. 1336-1338.

[5] Alessandrini V.A. Faddeev-type equations for the four-body problem. //J. Math. Phys. 1966. V. 7. N- 2. P. 213-220.

[6] Weyers J. Formal theory of n-particle scattering. // Phys. Rev. 1966. V. 145. N-4. P. 1236-1242.

[7] Mishima N., Takahashi J. Four-particle scattering in nonrelativistic theory. II. // Prog. Theor. Phys. 1966. V. 35. № 3. P.440-451.

[8] Omnes R. Scattering approach to the N-body problem. Phys. Rev. 1968. V. 165. P. 1265-1272.

[9] Vansani V. The N-body problem. // in: Few-Body Nuclear Physics. Vienna. 1978. P. 57.

[10] Якубовский О. А. 06 интегральных уравнениях теории рассеяния для N частиц. // Ядерная физика. 1967. Т. 5. Вып. 6. С. 1312-1320.

[11] Якубовский О.А. Строение резольвенты оператора Шредингера для системы N частиц с убывающим парным взаимодействием. // Труды ма-тем. ин-та АН СССР им. В.А.Стеклова. 1970. Т. 110. С. 146-177.

[12] Нерр К. On the quantum mechanical N-body problem. // Helv. Phys. Acta. 1969. V. 42. P. 425-458.

[13] Сигал И.М. Асимптотическая полнота систем многих частиц. // Докл. АН СССР. 1972. Т. 204. № 4. С. 795-798.

[14] Kato Т. Smooth operators and commutators. Studia Math. 1968. V. 31. P. 535-546.

[15] Sigal I., Soffer A. The N-particle scattering problem: Asymptotic completeness for short-range systems. // Ann. Math. 1987. V. 126. P. 35-108.

[16] Derezinski J. A new proof of the propagation theorem for N-body quantum systems. // Commun. Math. Phys. 1989. V. 122. P. 203-231.

[17] Graf G.M. Asymptotic completeness for N-body short-range quantum systems: A new proof. // Commun. Math. Phys. 1990. V. 132. P. 73-101.

[18] Enss V. Completeness of three-body quantum scattering, in: Dinamics and Processes. (Ed. by Blanchard P., Streit L.) Springer Lecture Notes in Math. 1983. Y. 103. P. 62-88.

[19] Yafaev D. Radiation condition and scattering theory for N-particle Hamiltonians. // Commun. Math. Phys. 1993. V. 154. P. 523-554.

[20] Yafaev D. Eigenfunctions of the continuous spectrum for the N-particle Schrodinger operator, in: Spectral and Scattering Theory. Proceedings of the

Taniguchi international workshop (Ed. by M. Ikawa). Marcel Dekker, Inc. 1994. P. 259-286.

[21] Вильдермут К., Тан Я. Единая теория ядра. М.: Мир. 1980.

[22] Меркурьев С.П., Яковлев C.JI. Дифференциальная формулировка задачи рассеяния для системы N тел. // Доклады АН СССР, 1982, т. 262, N- 3, с. 591-594.

[23] Меркурьев С.П., Яковлев C.JI. Квантовая теория рассеяния для N тел в конфигурационном пространстве. // Теор. Мат. Физ. 1983, т. 56, N° 1, с. 60-73.

[24] Яковлев С.Л. Дифференциальные уравнения Якубовского для четырех нуклонов. // В кн.: Тезисы докладов Всесоюзной конференции по теории систем нескольких частиц с сильным взаимодействием. Ленинград, 1983, с. 38-39.

[25] Меркурьев С. П., Яковлев С.Л. О квантовой задаче рассеяния для четырех тождественных частиц, взаимодействующих в s-состоянии. // Ядерная физика, 1984, т. 39, вып. 6, с. 1580-1587.

[26] Яковлев С.Л. О трехкратных столкновениях в квантовой задаче рассеяния для системы четырех частиц. //В кн. Микроскопические расчеты легких ядер. Калинин, 1984, с. 96-110.

[27] Merkuriev S.P., Yakovlev S.L., Gignoux С. Four body Yakubovsky equations for identical particles. // Nucl. Phys. 1984. V. A431. P. 125-138.

[28] Квицинский A.A., Куперин Ю.А., Меркурьев С.П., Мотовилов А.К., Яковлев С.Л. Квантовая задача N тел в конфигурационном пространстве. // Элем. част, и атом. Ядро. 1986, т. 17, N° 2, с. 267-317.

[29] Яковлев С.Л. Координатные асимптотики волновых функций для системы четырех частиц. //В кн.: Микроскопические методы в теории систем нескольких частиц. Тезисы докладов международного семинара 15-21 августа 1988 г., Калинин, 1988, с. 70-71.

[30] Яковлев С.Л. Координатная асимптотика волновой функции для системы четырех частиц, свободных в начальном состоянии. // Теор. мат. физ., 1990, т. 82, № 2, с. 224-241.

[31] Меркурьев С.П., Филихин И.Н., Яковлев С.Л. Расчет низко энергетических характеристик рассеяния в системе трех частиц. //В кн.: Теория квантовых систем с сильным взаимодействием. Тверской гос. ун-т. Тверь. 1990, с. 58-66.

[32] Меркурьев С.П., Мотовилов А.К., Яковлев С.Л. Задача нескольких тел в модели граничных условий и обобщенные потенциалы. // Теор. мат. физ. 1993, т. 94, № 3, с. 435-447.

[33] Филихин И.Н., Яковлев С.Л. Расчет характеристик низко энергетического рассеяния для системы трех заряженных частиц. // Вестник С. Петерб. ун-та. , 1992, сер. 4, вып. 3, с. 24-29.

[34] Яковлев С.Л., Филихин И.Н. Метод сильной связи каналов для уравнений Фаддеева. Низко энергетическое нуклон-дейтронное рассеяние. // Ядерная физика, 1993, т. 56, вып. 12, с. 98-106.

[35] Руднев В.А., Яковлев С.Л. О ложных решениях уравнении Фаддеева. // Ядерная физика, 1995, т. 58, № 10, с. 1762-1771.

[36] Яковлев С.Л. О спектральных свойствах уравнений Фаддеева. // Теор. мат. физ., 1995, т. 102, №■ 3, с. 323-336.

[37] Яковлев C.JI., Филихин И.Н. Расчет состояний рассеяния в системе п-3Н на основе уравнений для компонент Якубовского в конфигурационном пространстве. // Ядерная физика, 1995, т. 58, N- 5, с. 817-828.

[38] Яковлев C.JI. Дифференциальные уравнения Фаддеева как спектральная задача для несимметричного оператора. // Теор. мат. физ., 1996, т. 107, № 3, с. 513-528.

[39] Yakovlev S.L., Filikhin I.N. Cluster reduction of the four-body Yakubovsky equations in configuration space for bound-state problem and low-energy scattering. 11 Ядерная физика, 1997, т. 60, №• И, с. 1962-1970.

[40] Yakovlev S.L., Filikhin I.N. Computations of scattering lengths in nnpp system within cluster reduction method for Yakubovsky equations. // In : Few-body XV conference handbook. XVth international conference on few-body problem in physics. Groningen, the Netherlands 22-26 July 1997 (Ed. by L.P.Kok et al), p. 157.

[41] Като Т. Теория возмущений линейных операторов. // М. Мир. 1972.

[42] Народецкий И.М., Якубовский О.А. Интегральные уравнения теории рассеяния для N часиц. //В кн.: Проблема нескольких тел в ядерной физике. Дубна, 1980. С. 183-226.

[43] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 3. // М. Мир. 1979.

[44] Меркурьев С.П. Координатная асимптотика волновой функции для системы трех частиц. // Теор. мат. физ. 1971. Т. 8. С. 235-250.

[45] Noyes Н.Р., Fiedelday Н. Calculations of three-nucleon low-energy parameters. // В кн.: Three-particle scattering in quantum mecanics. New-York-Amsterdam. 1968. P. 195-293.

[46] Merkuriev S.P., Gignoux С., Laverne A. Three-body scattering in configuration space. // Ann. of Phys. 1976. V. 99. P. 30-71.

[47] Меркурьев С.П. Координатная асимптотика волновых функций для системы трех заряженных частиц. // Теор. мат. физ. 1977. Т. 32. N- 2. С. 187-207.

[48] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Механика. Т. 1. // М. Наука. 1973.

[49] Буслаев B.C. Об асимптотическом поведении спектральных характеристик внешних задач для оператора Шредингера. // Изв. АН СССР, сер. матем. 1975. Т. 39. № 1. С. 149-235.

[50] Меркурьев С.П. Строение резольвенты оператора энергии системы трех заряженных частиц. // Записки научн. сем. ЛОМИ. 1978. Т. 77. С. 148.

[51] Федорюк М.В. Метод перевала. // М.: Наука. 1977.

[52] Жигунов В.П., Захарьев В.Н. метод сильной связи каналов в квантовой теории рассеяния. // М.: Атомиздат, 1974.

[53] Повзнер А.Я. // Мат. сборник. 1953. Т. 32. С. 109.

[54] Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. // М.: Наука. 1972.

[55] Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. // М.: Наука. 1985.

[56] Levin F.S. // Phys. Rev., 1980. V. С21. P. 2199.

[57] Levin F.S. // Ann.of Phys. 1980 . V. 13. P.139.

[58] Sandhas W. //in Few Body Dynamics, Amsterdam, North-Holland, 1976. P. 540.

[59] Evans J.W. //J. Math. Phys., 1981. V. 22. P. 1672.

[60] Evans J.W., Hoffman D.K. // J. Math. Phys. 1981. V. 22. P. 2858.

[61] Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. // JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980.

[62] Данфорт Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральные операторы . // М.: Мир, 1974.

[63] Glockle W. // Nucl. Phys. 1970. V. А141. P. 620

[64] Ландау Л.Д., Лифшиц И.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). Т. 3. // М.: Физматгиз. 1963.

[65] Malfliet R.A., Tjon J.A. // Ann. Phys. (New-York). 1970. V. 61. P. 425

[66] Abramovitz M. Stegun I. A. Handbook of mathematical functions. 11 N.Y.: Dover. 1972.

[67] Payne G.L., Friar J.L, Gibson B.F. // Phys. Rev. 1980. V. C22. P. 823

[68] Friar J.L., Gibson B.F., Payne G.L. // Phys. Rev. 1983. V. C28. P. 983

[69] Benayoun J.J., Gignoux C., Chauvin J. // Phys. Rev. 1989. Y. C23. P. 1854

[70] Friar J.L., Gibson B.F., Payne G.L. // Phys. Rev. 1989. V. C39. P. 1264

[71] Tjon J.A. // Phys. Lett. 1976. V. B63. P. 391

[72] Левашов В.П. // Ядерная физика. 1983. Т. 38. С. 566

[73] Fonseca А.С. // Few Body Systems. 1986. V. 1. P. 69

[74 [75 [76 [77 [78 [79 [80 [81 [82 [83

[84 [85 [86

Беляев В.Б., Пупышев В.В. // Ядерная физика. 1982. Т. 35. С. 905

Heiss P., Hackenboich Н.Н. // Nucl. Phys. 1971. V. А202. P. 353

Seagrave J.D., Berman B.L., Phillips T.W. // Phys. Lett. 1980. V. B91. P. 200

Fonseca A.C. // Phys. Rev. 1982. V. C30. P. 35

Kharchenko V.F., Levashov V.P. // Nucl.Phys. 1980. V. A343. P. 317.

Fonseca A.C. // Phys.Rev. 1984. Vol. C. 30. P. 35.

Ciesielski F., Carbonell J., Gignoux C., // Preprint ISN96, Grenoble, 1996.

Adhikari S.K. // Phys. Rev. 1981. V. C23. P. 16.

I.R. Afnan, Y.C. Tang, Phys. Rev. // 1968. V. 175. P. 1337.

N.W. Schellingerhout, J.J. Schut, L.P. Kok // Phys. Rev. 1992. V. C46. P. 1192.

Kamada H., Glöckle W. // Nucl. Phys. 1992. V. A548. P. 205 Tjon J.A. // Phys. Lett. 1975. V. B56. P. 217; 1976. V. B63. P. 391.

Василевский B.C., Коваленко Т.Н., Филиппов Г.Ф. // Ядерная физика 1987. Т. 48. Вып. 2. С. 346.

[87] Sears V.F., Khanna F.С. // Phys. Lett. 1975. V. B56. С. 1.

[88] Харченко В.Ф. // ЭЧАЯ 1979. Т. 10. С. 884. V.P. Alfimenkov и др. // Ядерная Физика 1981. Т. 33. С. 33.

[90] Kaiser Н. et.al., // Phys.Lett. 1977. V. В71. P. 321.

[91] Firman S., Meyerhof W.E. // Nucl. Phys. 1973. V. A206. P. 1.

[92] Kobschal G., et.al, // Nucl.Phys. 1983. V. A405. P. 648.

[93] Базь А.И. // ЖЭТФ 1957. Т. 33. С. 923.

[94] Thompson D.R. // Nucl. Phys. 1970. V. А357. Р. 304.

[95] Hofman Н.М., Zahn W., Stowe H. // Nucl. Phys. 1981. V. A357. P. 139.

[96] Kanada H., Kaneko Т., Tang Y.C. // Phys. Rev.1986. V. C34. P. 22.

[97] Василевский B.C., Коваленко Т.Н., Филиппов Г.Ф. // Ядерная физика 1987. Т. 48. Вып. 2. С. 346.

[98] Дубовиченко С.Б. // Ядерная физика 1995. Т. 58. С. 1973.

[99] Als-Nielsen J., Dietrich О. // Phys.Rev. 1964. У. B133. Р. 925.