Методы анализа и синтеза робастных систем стабилизации плазмы в современных токамаках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Макеев, Иван Владимирович

• Макеев, Иван Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Макеев, Иван Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

1. Актуальность, цели и основные результаты исследований

2. Общие формулировки и постановки рассматриваемых задач.

3. Обзор литературы по теме исследований.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА РОБАСТНЫХ СВОЙСТВ

1.1. Частотный подход к оценке границ робастной устойчивости SISO-систем

1.2. Обобщение подхода для MIMO-систем и методика сравнительного анализа регуляторов.

1.3. Спектральный подход к оценке робастного качества замкнутых систем

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ

2.1. Спектральный метод робастной стабилизации для SISO-систем

2.2. Оптимизационный частотный подход к синтезу робастных регуляторов для одного класса нелинейных систем.

ГЛАВА 3. ВОПРОСЫСТАБИЛИЗАЦИИ ПЛАЗМЫ В СФЕРИЧЕСКОМ ТОКАМАКЕ MAST.

3.1. Математическая модель плазмы как объекта управления.

3.2. Анализ и синтез системы вертикальной стабилизации

3.3. Вопросы проектирования системы управления током и формой плазмы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы анализа и синтеза робастных систем стабилизации плазмы в современных токамаках»

1. Актуальность, цели и основные результаты исследований

В практике решения формализованных задач, связанных с управлением реальными динамическими объектами, неизбежно возникают проблемы, порождаемые наличием различных неопределенностей в задании соответствующих математических моделей. Это обстоятельство определяется как отсутствием полной информации о динамических свойствах объектов управления, так и о свойствах действующих на них внешних возмущений, зачастую носящих случайный характер.

Особо следует отметить тот факт, что при использовании формализованных подходов к рассмотрению систем стабилизации тех или иных движений динамических объектов применяется хорошо развитый математический аппарат теории линейных систем. Естественно, что он базируется на использовании линеаризованных моделей, приближенно описывающих поведение объекта в окрестности стабилизируемых движений (в частности — положений равновесия). Отсюда возникают дополнительные погрешности, порождаемые неточностями линеаризации.

Отмеченные обстоятельства определяют то постоянное внимание, которое уделяется в последние годы развитию и практическому использованию математических методов учета указанных неопределенностей при проведении исследовательских и проектных работ по созданию систем управления динамическими объектами различных классов ([20],[26],[32], [41-46], [53], [76]).

Следует отметить, что постоянно возрастающие возможности современных компьютерных технологий и систем позволяет реализовывать алгоритмически сложные и ресурсоемкие оптимизационные методы, ориентированные на учет различных требований к качеству процессов управления, в том числе с учетом и компенсацией неточностей моделирования.

В современной терминологии малая чувствительность замкнутой системы (в смысле сохранения определенного свойства) по отношению к неточностям в задании модели объекта управления характеризуется понятием робастности. Особенно важной является задача обеспечения роба-стной устойчивости, т.е. сохранения устойчивости замкнутой системы при любых возмущениях модели объекта в определенных пределах. Стремление к выполнению желаемых ограничений на динамические характеристики замкнутой системы с возмущенным объектом определяют задачу обеспечения робастного качества.

Одним из наиболее важных и перспективных направлений для практических приложений современной теории управления является термоядерная энергетика.

В настоящее время явно вырисовывающиеся проблемы нехватки традиционных источников сырья для производства энергии подстегивают активный поиск альтернатив, и одним из наиболее перспективных вариантов считается термоядерный синтез. В практическом аспекте его реализация, по-видимому, будет базироваться на наиболее актуальной концепции магнитного удержания плазмы в токамаках [2], [22], [80-81].

Ключевыми проблемами на пути реализации этой концепции являются непродолжительное время жизни и неустойчивость плазмы. Многолетний опыт проведения исследовательских работ по проектированию и эксплуатации токамаков различных типов показал, что успешное преодоление указанных проблем с достаточной мерой гибкости и эффективной технологической поддержкой может быть реализовано только на базе применения систем автоматического управления с обратной связью. Соответственно представляется исключительно значимой роль формализованного математического, алгоритмического и программного обеспечения, привлекаемого для проведения соответствующих исследовательских и проектных работ по созданию таких систем.

Известно [17],[22],[65], что в качестве основного элемента исходной математической модели, описывающей динамику плазмы в токамаке, используется исключительно сложная нелинейная система дифференциальных уравнений Грэда-Шафранова в частных производных. Естественно, что полный комплекс формализованного описания используется только на этапах имитационного моделирования и на отдельных стадиях анализа процессов управления.

Однако при проектировании законов формирования обратных связей (регуляторов) в задачах стабилизации плазмы принято опираться на использование линейных моделей, получаемых линеаризацией исходной модели динамики токов в окрестности базового положения равновесия, определяемого выбранным сценарием разряда.

При этом чаще всего требуется, чтобы один и тот же проектируемый регулятор обеспечивал устойчивость и желаемое качество замкнутой системы как на отдельных стадиях развития сценария, так и для нескольких положений равновесия, соответствующих некоторому набору характерных сценариев разряда с учетом погрешностей моделирования и линеаризации. Естественно, что подобное требование может быть реализовано только путем обеспечения определенных робастных свойств системы управления плазмой, играющих исключительно важную роль в комплексе ее динамических характеристик.

Исследовательские работы по изучению робастных особенностей систем управления плазмой в токамаках начались сравнительно недавно, применительно к международному проекту ITER ([11-12],[22],[62-66],[80-81]), и в настоящее время находятся в стадии непрерывного развития.

Сложность плазмы как объекта управления, функционирующего в экстремальных физических условиях, а также ряд специфических особенностей, связанных с подходами к ее моделированию, порождает необходимость в проведении дополнительных исследований, связанных с модификацией существующих методов анализа и синтеза робастных регуляторов и разработкой новых, позволяющих, в том числе использовать преимущества оптимизационного подхода. Это определяет актуальность развития соответствующей теории и вычислительных методов анализа и синтеза, а также их адаптации к решению комплекса прикладных задач управления плазмой в современных токамаках.

Целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на развитие математических методов и алгоритмического обеспечения задач анализа и проектирования систем стабилизации плазмы, обладающих желаемыми робастными свойствами. Кроме того, целью диссертации служит решение конкретных прикладных задач, связанных с управлением плазмой в токамаке MAST.

Исследования, представленные в диссертационной работе, проводились по следующим направлениям:

• развитие частотного подхода для построения границ робастной устойчивости замкнутых систем и разработка методики сравнительного анализа робастных свойств стабилизирующих регуляторов;

• использование информации о частотных ограничениях неопределенностей в задании спектральной плотности мощности внешних возмущений для получения оценок робастных диапазонов качества;

• разработка методов построения робастных регуляторов с учетом частотных ограничений на неструктурированные неопределенности в задании математической модели объекта управления;

• развитие комбинированного подхода для обеспечения желаемых динамических и робастных свойств замкнутой системы со стандартными нелинейностями в канале управления;

• решение прикладных задач управления вертикальным положением, током и формой плазмы в токамаке MAST на базе полученных теоретических результатов.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 111 наименований.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Макеев, Иван Владимирович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена разработке математических ме тодов моделирования, анализа и синтеза робастных регуляторов, стабилизирующих положение равновесия плазмы в современных токамаках.

Целью диссертации является проведение исследований, направленных на развитие математических методов и алгоритмического обеспечения задач анализа и проектирования систем стабилизации плазмы, обладающих желаемыми робастными свойствами.

Основное внимание в работе уделено следующим направлениям исследований:

• развитие частотного подхода для построения границ робастной устойчивости замкнутых систем и разработка методики сравнительного анализа робастных свойств стабилизирующих регуляторов;

• использование информации о частотных ограничениях неопределенностей в задании спектральной плотности мощности внешних возмущений для получения оценок робастных диапазонов качества;

• разработка методов построения робастных регуляторов с учетом частотных ограничений на неструктурированные неопределенности в задании математической модели объекта управления;

• развитие комбинированного подхода для обеспечения желаемых динамических и робастных свойств замкнутой системы со стандартными нелинейностями в канале управления;

• решение прикладных задач управления вертикальным положением, током и формой плазмы в токамаке MAST на базе полученных теоретических результатов.

• решению конкретных задач стабилизации плазмы в токамаке MAST для подтверждения работоспособности и эффективности полученных результатов.

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Представлено развитие частотного подхода к построению границ робастной устойчивости и робастного качества замкнутых систем для неструктурированных неопределенностей. На его основе предложена соответствующая методика сравнительного анализа стабилизирующих законов управления.

2. Для SISO-систем с ограниченными в частотной области непараметрическими неопределенностями аддитивного и мультипликативного типа разработан аналитический метод построения робастных регуляторов, допускающий эффективную численную реализацию.

3. Предложен комбинированный оптимизационный подход, обеспечивающий синтез регуляторов на базе допустимого компромисса между динамическим качеством и робастной устойчивостью замкнутой системы.

4. На базе полученных результатов решены практические задачи по анализу и синтезу системы стабилизации плазмы в токамаке MAST, подтверждающие работоспособность и эффективность принятого подхода.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Макеев, Иван Владимирович, 2008 год

1. Алиев Ф. А., Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Оптимизация линейных инвариантных во времени систем управления — Киев: На-укова думка, 1978.-327 с.

2. Арсенин В. В., ЧуяновВ. А. Подавление неустойчивости плазмы методом обратных связей // Успехи физических наук. -1977. Т. 123. Вып. 1.-С. 83-129.

3. Барабанов А. Е., Первозванский А. А. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (Н-теория) // Автоматика и телемеханика — 1992. №9.-С. 3-32.

4. Бокова Я. М., Веремей Е. И. Вычислительные аспекты спектрального методы Нос-оптимального синтеза // Теория и системы управления -1995.-№4.-С. 88-96.

5. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления- М.: Мир, 1972. 544с.

6. Веремей Е. И. Синтез оптимальных регуляторов методом построения дифференциального уравнения устойчивого подсемейства экстремалей.- М., 1978. Деп. в ВИНИТИ, №3413-78.

7. Веремей Е. И., Петров Ю. П. Метод синтеза оптимальных регуляторов, допускающий техническую реализацию // Математические методы исследования управляемых механических систем Л.: Изд-во Ленингр. унта, 1982.-С. 24-31.

8. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением (Часть 1) // Известия вузов СССР. Электромеханика 1985.-№ 10.-С. 52-57.

9. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением (Часть 2) // Известия вузов СССР. Электромеханика 1985.-№ 10.- С. 52-57.

10. Веремей Е. И. Методы и алгоритмы среднеквадратичного многоцелевого синтеза: Дис. д-ра физ.-мат. наук: 05.13.16 СПб., 1995 - 353 с.

11. Веремей Е. И., Жабко Н. А. Оптимизация состава измерений для стабилизации формы плазмы в токамаке 1ТЕЯ-РЕАТ// Межвуз. сб. науч. тр.: Методы возмущений в гомологической алгебре и динамика систем — Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2004 С. 86-96.

12. Веремей Е. И. Спектральный подход к оптимизации систем управления по нормам пространств Н2 и Н« // Вест. С.-Петерб. Ун-та.— 2004.-Сер. 10. Вып. 1.-С. 48-59.

13. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация / Пер. с англ. В. Ю. Лебедева; Под ред. А. А. Петрова. М., 1985. 509 с.

14. Дезоер Ч., Видьясагар М. Системы с обратной связью: Вход-выходные соотношения М.: Наука, 1972.

15. Джеймс X., Николе Н., Филлипс Р. Теория следящих систем М.: Физматгиз, 1951.

16. Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П. Математическое моделирование плазмы. М.: Наука, 1993.

17. Жабко Н. А. О возможности понижения порядка системы дифференциальных уравнений, моделирующей процесс стабилизации плазмы// Тезисы докладов междунар. науч. конф. «Еругинские чтения VIII».- Брест, 2002.- С. 60.

18. Зубов В. И. Лекции по теории управления М.: Наука, 1975.

19. Зубов В. И. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами —Л.: Судостроение, 1966.

20. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования-Л.: Машиностроение, 1974.

21. Кавин А. А. Применение математического моделирования к управлению плазмой в токамаках: Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.04.13-СПб., 2004.- 158 с.

22. Калман Р., Бьюси Р. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказаний // Тр. амер. о-ва инженеров-механиков. Сер. Д.- 1961. Т. 83, № 1.-С. 123-141.

23. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления- М.: Мир, 1977- 650 с.

24. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. -М.: Мир, 1969.

25. Красовский А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование М.: Наука, 1973.

26. Красовский А. А. Справочник по теории автоматического управления-М.: Наука, 1987.

27. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства-М.: Машиностроение, 1976.

28. Ларин В. Б., Сунцев В. Н. О задаче аналитического конструирования регуляторов // АН СССР. Автоматика и телемеханика- 1968 — № 12.-С. 142-144.

29. Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Спектральные методы синтеза линейных систем с обратной связью — Киев: Наукова думка, 1971.

30. Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов // АН СССР. Автоматика и телемеханика I960 - № 4-6; 1961.—№ 4, 11.

31. Летов А. М. Динамика полета и управление М.: Наука, 1969.

32. Летов А. М. Математическая теория процессов управления М.: Наука, 1981.

33. Макеев И. В. Оценка эффективности управляющих воздействий системы стабилизации плазмы в токамаке // Тр. XXXIV конф. «Процессы управления и устойчивость».- СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2004- С.74-80.

34. Макеев И. В., Мисенов Б. А. Анализ и синтез робастных систем стабилизации плазмы в среде MATLAB // Тр. III конф. «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB».— 2007 С. 802814.

35. Меррием К. Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью-М.: Мир, 1967.

36. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы. С-Пб: Питер, 2005. 271 с.

37. Мисенов Б.А. Математические методы анализа и синтеза систем стабилизации формы плазмы в токамаках: Дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.01.09, 05.13.16.-СПб., 1998.- 146 с.

38. Митришкин Ю. В. Управление динамическими объектами с применением автоматической настройки-М.: Наука, 1985 — 157 с.

39. Ньютон Д., Гулд JL, Кайзер Д. Теория линейных следящих систем- М.: Физматгиз, 1961.

40. Первозванский А. А. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах—М.: Физматгиз, 1962.

41. Петров Ю. П. Оптимизация управляемых систем, испытывающих воздействие ветра и морского волнения JL: Судостроение, 1973- 216 с.

42. Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального управления-Л.: Энергия, 1977.

43. Петров Ю. П. Синтез устойчивых систем управления, оптимальных по среднеквадратичным критериям качества // АН СССР, Автоматика и телемеханика-1983 № 7 - С. 5-24.

44. Петров Ю. П. Синтез оптимальных систем управления при неполностью известных возмущающих силах: Учеб. пособие- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987 292 с.

45. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. - 303 с.

46. Прасолов А. В. Аналитические и численные методы исследования динамических процессов СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995 - 148 с.

47. Пугачев В. С., Казаков И.Е., Евланов П. Г. Основы статистической теории автоматических систем М.: Наука, 1974.

48. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы: Анализ и фильтрация — М.: Наука, 1990.

49. Солодовников В. В., Бирюков В. Ф., Тумаркин В. И. Принцип сложности в теории управления —М.: Наука, 1977.

50. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем управления-М.: Физматгиз, 1960.

51. Сунцев В. Н. Аналитические частотные методы оптимизации линейных систем Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983.

52. Тихонов В. И. Анализ и синтез нелинейных систем при случайных воздействиях: Современные методы проектирования систем автоматического управления / Под ред. Б.Н. Петрова, В.В. Солодовникова, Ю.И. Топчеева-М.: Наука, 1982.

53. Фомин В. Н. Методы управления линейными дискретными объектами— Д.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

54. Харитонов B.JI. Асимптотическая устойчивость положения равновесия семейства систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. — 1978. — № 11.

55. Чанг Ш. Синтез оптимальных систем автоматического управления-М.: Машиностроение, 1964.

56. Шафранов В. Д. Равновесие плазмы в магнитном поле // Вопросы теории плазмы / Под ред. М. А. Леоновича.- М.: Наука, 1963.

57. Ambrosino G., Ariola М., Mitrishkin Y. et al. Plasma current andthshape control in tokamaks using Нвд and |i-synthesis // Proc. of 36 Conference on Decision & Control.- San Diego (Calif.), 1997.- P. 3697-3702.

58. Bhattacharyya S.P. Robust stabilization against structured perturbations. Lecture Notes in Control and Information sciences, vol. 99, SpringerVerlag, New York, NY, 1987

59. Beghi A., Cavinato M., Cenedese F., Ciscato D., Marchiori G., Portone A. Plasma Vertical Stabilization in ITER-FEAT // Fusion Engineering and Design.-2001.-Vol. 56-57.-P. 55-64.

60. Bellman R. Dynamic Programming- Princeton University Press (New Jersey). 1957.

61. Belyakov V. A., Bulgakov S. A., Kavin A. A. et al. Numerical simulation of plasma equilibrium and shape control in tight tokamak GLOBUS-M // Proc. of XIX Symposium on Fusion Technology. Lisbon, 1996.

62. Belyakov V.A., Gryaznevich M.P., Kavin A.A., Makeev I.V., McArdle G.J., Veremey E.I., Ovsyannikov A.D., Ovsyannikov D.A., Zhabko A.P. Mathematical methods of plasma vertical stabilization in modern tokamaks // Nucl. Fusion Vol. 46.- 2006.- P. 652-657.

63. Belyakov V., Kavin A. Derivation of the linear models for the analysis of the plasma current, position and shape control system in Tokamak devices // Proc. International Conf. Physics and Control PHYSCON'2003 St.-Petersburg (Rus.), 2003.- P. 1019-1024.

64. Bogsra O.H., Kwakernaak H., Meinsma G. Design methods for control systems Notes for a course of the Dutch Institute of Systems and Control. 2006.-325 p.

65. Doyle J., Francis B., Tannenbaum A. Feedback control theory.- New York: Macmillan Publ. Co., 1992. -XI, 227 p.

66. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P., Francis B. State-space solutions to standard H2 and H^. control problems // IEEE Transactions on Automatic Control.- 1989.-Vol. 34, nr. 8.-P. 831-847.

67. Duren P.L. Theory of HP spaces Academic Press. London. - 1970.

68. Francis B.A. A course in H«,control theory Berlin: Springer-Verlag, 1987 - (Lecture Notes in Control and Information Sciences; Vol. 88).

69. Francis B. A., Doyle J. C. Linear control theoiy with an Hx, optimality criterion // SIAM J. Control and Optimization.- 1987.- Vol. 25.- P. 815-844.

70. Garnett J.B. Bounded Analitic Functions. — New York: Academic Press, 1981.

71. Gribov Y., Albanese R., Ambrosino G., Kavin A. et al. ITER-FEAT scenarios and plasma position/shape control // 18-th IAEA Fusion Energy Conference, Sorrento, Italy, October 200, ITERP/02.

72. Grimble M. J. Robust Industrial Control Systems Optimal Design Approach for Polynomial Systems - John Wiley & Sons, Ltd.- 2006.

73. Gusev I. A., Kavin A. A., Makeev I. V., Ovsyannikov A. D., Ovsyannikov D. A., Savelyev D. S., Suhov E. V., Veremey E. I., Vorobyov G. M.,j

74. Zhabko A. P. Linear control models for Gutta tokamak // Abstracts of the 3 International IEEE Scientific Conference on Physics and control (PhysCon 2007), 2007. Potsdam (Ger.).

75. Horowitz I. M., Shaked U. Superiority of transfer function over statevariable methods in linear time-invariant feedback system design.- 1975-Automatica. Vol. 20.- P. 84-97.

76. Hung Y. S. i?/7oo-optimal control. Part I. Model matching. Part II. Solution for controllers // International Journal of Control. — 1998 Vol. 49 — P. 675-684.

77. ITER IT documentation, Control System Design and Assessment, G 45 FDR 1 01-07-13 R1.0, Appendix D, Plasma Current, Position and Shape Control, 2001.

78. ITER Technical Basis, ITER EDA Documentation Series No.24, IAEA, Vienna, 2002.

79. Kalman R. E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Journal of Basic Engineering-Vol.82.-P. 35-45.

80. Kalman R. E. Contributions to the theory of optimal control // Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana. I960.- Vol. 5.- P. 102-119.

81. Kärgoneckar P. P., Peterson I. R., Rotea M. A. optimal control with state-feedback // IEEE Transactions on Automatic Control- 1988.— Yol.33.-P. 786-788.

82. Kharitonov V. L. Asymptotic stability of an equilibrium position of a family of systems of linear differential equations // Differential equations.- Vol. 14,- 1979.

83. Lanzon A. Weight selection in robust control: an optimization approach.- PhD thesis. Cambridge - 2000 - 117 p.

84. Makeev I.V., Veremey E.I. Robust features of tokamak plasma stabilization systems // Proc. International Conf. Physics and Control PHY-SCON'2007 St.-Petersburg (Rus.), 2007.- P. 143-148.

85. McArdle G. J., Appel L. C., Knight P. J. et al. The MAST plasma control system // Abstracts of Intern, workshop on Spherical Torus'97.- St.-Petersburg, 1997.-P. 62.

86. McArdle G. Progress and plans for MAST plasma control, Fusion Eng. Des. 56-57 (2001). P. 749-754.

87. McArdle G., et al. The MAST digital plasma control system, Fusion Eng. Des. 66-68 (2003). P. 761-765.

88. Morris A. W. The status of MAST // Abstracts of Intern, workshop on Spherical Torus'97.- St.-Petersburg, 1997.- P. 29.

89. Nesterov Y., Nemirovski A. Interior-point polynomial algorithms in convex programming. Philadelphia: SIAM, 1994.

90. Packard A., Doyle J. The Complex Structured Singular Value. Automática, 1993.-71 p.

91. Pontryagin L. S., Boltyanskii V. G., Gamkerelidze R. V., Mischenko E. F. The mathematical theory of optimal processes John Wiley (New York). -1962.

92. Prime H. Modern concepts in control theory McGraw-Hill - 1969.

93. Saberi A., Chen B. M., Sannuti P. Loop transfer recovery: Analysis and design. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1993.

94. Scherer C. Theory of robust control. Delft, 2001. 160 p.

95. Soh C.B., Berger C.S., Dabke K.P. On the stability properties of polynomials with perturbed coefficients // IEEE Transactions on Automatic Control. Vol. AC-30, no. 10 (October 1985).

96. Tsypkin, Y.Z., and Polyak, B.T. Frequency domain criteria for robust stability of polytope of polynomials. In Control of Uncertain Dynamic Systems, S.P. Bhattacharyya and H. Chapellat, Eds. CRC Press, Littleton, MA, 1991.

97. Veremey E. I., Zhabko N. A. Plasma current and shape controllers design for ITER-FEAT tokamak // Book of abstracts of Workshop on Computational Physics Dedicated to the Memory of Stanislav Merkuriev—St.-Petersburg, 2003.-P. 52.

98. Veremey E. I., Korovkin M. V. Design of non-static controllers for plasma stabilization // Proc. of Intern. Conf. «Physics and Control».— St. Peterburg, 2003.-P. 1035-1042.

99. Vidyasagar M. Control system synthesis: A factorization approach- Cambridge (Mass.): MIT Press, 1985.

100. Walker M. L., Humphreys D. A., Ferron J. R. Control of plasma poloidal shape and position in the DIII-D tokamak // Proc. of 36th Conference on Decision & Control.- San Diego (Calif.), 1997.-P. 3703-3708.

101. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series Cambridge, 1949.

102. Zadeh L.A., Desoer C.A. Linear Systems Theory.— McGraw Hill book Co., New York, NY, 1963.

103. Zames G. Feedback and complexity. Special plenary lecture addendum // IEEE Conf. Dec. Control.- 1976.

104. Zhou K., Doyle J. Essentials of robust control. Prentice Hall, 1997.-411 p.

105. Макеев И. В. Синтез систем стабилизации плазмы с учетом требований к их динамическим и робастным свойствам // Вестник СПбГУ. Серия 10, 2008. Вып. 3, С. 63-70.