Применение математического моделирования к управлению плазмой в токамаках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.13, кандидат физико-математических наук Кавин, Андрей Александрович

• Кавин, Андрей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кавин, Андрей Александрович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРАМИ ПЛАЗМЫ В ТОКАМАКАХ.

1.1 Введение.

1.2 Получение набора статических равновесий плазмы.

1.3 Линейные модели для управления положением, формой и током плазмы.

1.4 Выбор регуляторов для системы управления с обратными связями.

1.5 Нелинейные модели плазмы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение математического моделирования к управлению плазмой в токамаках»

2.2 Основные формулировки.37

2.3 Вычисление коэффициентов матриц в линейных моделях. 44

2.4 Область применимости линейных моделей.50

2.5 Сравнение "жесткой" и "деформируемой" линейных моделей.52

2.6 Линейные "деформируемые" модели с трехмерным описанием проводящих структур.56

2.7 Заключение.57

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРАМИ ПЛАЗМЫ В ТОКАМА-КАХ.59

3.1 Введение.59

3.2 Анализ робастных свойств регуляторов систем стабилизации плазмы.60

3.3 Описание установок, используемых для анализа систем управления.71

3.4 Синтез и применение регуляторов с простой структурой. 76

3.5 Синтез и применение регуляторов с динамической структурой.82

3.6 Синтез и применение нелинейных регуляторов.88

3.7 Заключение.94

ГЛАВА 4. НЕЛИНЕЙНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЕМ, ТОКОМ И ФОРМОЙ ПЛАЗМЫ В ТОКАМАКЕ - РЕАКТОРЕ ИТЭР.95

4.1 Введение.95

4.2 Нелинейное моделирование системы управления током и формой плазмы в токамаке — реакторе ИТЭР-FDR.95

4.3 Нелинейное моделирование системы управления положением, током и формой плазмы в токамаке — реакторе ИТЭР-FEAT.98

4.4 Нелинейное моделирование сценариев развития плазмы в токамаке - реакторе ИТЭР-FEAT.109

4.5 Заключение.127

ГЛАВА 5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ МГД - НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ С УЧЕТОМ РЕЗИСТИВНОСТИ ВАКУУМНОЙ КАМЕРЫ В ТОКАМАКЕ

РЕАКТОРЕ ИТЭР.129

5.1 Введение.129

5.2 Объект управления.132

5.3 Моделирование системы стабилизации RWM неустойчивости.135

5.4 Заключение.145

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.147

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.152

ВВЕДЕНИЕ

Проведение экспериментов с плазмой на современном уровне в термоядерных установках токамак невозможно без систем управления параметрами плазмы. Эти системы могут отличаться идеологией и степенью сложности структуры, однако все они включают в себя управление с обратной связью положением, током и формой плазмы [1, 2, 3, 4]. Крупные последние успехи, достигнутые в исследованиях физики удержания и нагрева высокотемпературной плазмы на токамаках, непосредственно связаны с решением проблем стабилизации вертикально неустойчивых конфигураций и точного управления током и формой плазмы. Среди них особо следует отметить эксперименты с зажиганием термоядерной плазмы с дейтерий-тритиевой смесью топлива на токамаках TFTR в США и JET в Англии и модельным экспериментом с дейтерий-дейтериевой смесью топлива на токамаке JT-60 Up в Японии. Большой интерес также вызывают последние экспериментальные результаты, полученные на сферических токамаках NSTX [5] в США, MAST [6] в Англии и Глобус-М [7] в России. Этот интерес обусловлен не только исследованием новых физических явлений в удержании энергии в плазме и ее устойчивости, но и очевидными возможностями прикладного использования этой концепции (нейтронные источники и т.п.) [8]. Успехи, достигнутые в понимании физики высокотемпературной плазмы и в технологии получения стабильных разрядов, позволили поставить на повестку дня создание на международной основе экспериментального термоядерного реактора ИТЭР [9]. Целью этого проекта является получение и поддержание в течение длительного времени (как минимум 400 секунд) термоядерной реакции дейтерий-тритиевой плазмы. В термоядерном реакторе нагрузки на первую стенку и в диверторной области значительно превышают значения, характерные для экспериментальных установок, поэтому нарушение режима разряда может сильно влиять на ресурс энергонапряженных элементов реактора и приводить к повреждению дорогостоящих и труднодоступных элементов конструкции. Отсюда вытекают повышенные требования к качеству управления параметрами плазмы для обеспечения надежной работы реактора. Повышенные требования, а также объединение усилий мирового термоядерного сообщества для решения поставленных проблем привели к значительному прогрессу в исследованиях систем управления параметрами плазмы в области теории, развития программного обеспечения, численного моделирования и эксперимента на действующих установках. На сегодня эти исследования включают решение четырех сложнейших проблем [10]:

1. Разработка программных сценариев для различных фаз развития разряда: заведение тока в катушки полоидального магнитного поля, инициация плазмы, подъем тока плазмы, образование диверторной конфигурации, дополнительный нагрев, зажигание термоядерной реакции и поддержание ее горения, снижение тока плазмы и гашение термоядерной реакции, вывод тока из полоидальной магнитной системы и подготовка к следующему циклу разряда.

2. Управление магнитной конфигурацией плазмы: управление током плазмы, магнитной конфигурацией основной плазмы (например, выбранными зазорами между границей плазмы и первой стенкой) и магнитной конфигурацией диверторной области (положение х-точки, положение ветвей сепаратрисы в диверторных каналах и точек их касания на диверторной мишени). Сюда же можно отнести стабилизацию корректирующими катушками тороидальных МГД — неустойчивостей плазмы с учетом проводящих структур.

3. "Кинетическое" управление и управление параметрами диверторной системы: управление поведением основной плазмы (плотность и мощность термоядерной реакции, содержание примесей и доля излучаемой мощности, инжекция примесей в основную плазму) и управление диверторной плазмой (откачка, подача газа в дивертор и инжекция примесей, оптимизация магнитной конфигурации с целью улучшения характеристик дивертора). Судя по последним результатам в этой области, основная проблема здесь заключается в создании адекватных упрощенных моделей для целей управления и диагностики контролируемых параметров. 4. Быстрое гашение плазмы: снижение тока плазмы и гашение термоядерной реакции с помощью инжекции примесей или водорода. В диссертации представлены результаты решения первых двух задач. Основное внимание уделено вопросам проектирования программного управления разрядом тока плазмы и управления с обратными связями. Главные направления при создании системы управления параметрами плазмы с обратной связью можно свести к построению упрощенной модели, описывающей динамику параметров плазмы, и выбору законов управления (регуляторов), позволяющих стабилизировать эти параметры. На ранних этапах построения систем управления плазмой в современных токамаках основное внимание уделялось стабилизации вертикального и радиального положений плазмы, которые определялись из данных магнитных измерений как интегральные параметры. При этом предполагалось, что смещения плазмы в вертикальном и горизонтальном направлениях слабо связаны, и процессы стабилизации смещений плазмы находятся на различных временных шкалах. Анализ поведения положения плазменного шнура проводился на упрощенных моделях, где плазма рассматривалась как "жесткое" недеформируемое тело. Для управления смещениями плазмы использовались специально выделенные обмотки, напряжения на которые подавалось согласно аналоговому сигналу обратной связи с выбранного регулятора. Синтез регуляторов базировался на анализе экспериментальных результатов и проводился методом настройки их параметров согласно эмпирическим критериям устойчивости. Такие регуляторы в основном обладали простейшей структурой: пропорциональной, дифференциальной или интегральной, то есть сигнал управляющего напряжения равнялся взвешенной сумме сигнала ошибки, его производной и его интеграла. Одним из преимуществ простых регуляторов являлась их робастная устойчивость, что было следствием грубости модели, используемой для синтеза [11]. Быстрое развитие компьютерной цифровой техники позволило значительно расширить возможности анализа и сложность построения систем управления параметрами плазмы в токамаках. В первую очередь это относится к резкому увеличению числа контролируемых переменных, и, как следствие, управление формой плазмы в реальном времени стало вполне осуществимой задачей. Одновременно появились возможности использования сложных алгоритмов восстановления формы плазмы по магнитным измерениям в реальном времени (XLOC алгоритм [12], EFIT алгоритм [13], функциональная параметризациями]). Следующим естественным шагом на пути построения систем управления стали исследования для создания математических моделей, описывающих динамику положения, тока и формы плазмы. В диссертации произведен подробный анализ этих исследований и предложен современный подход к решению данной проблемы. На базе моделей для управления положением, током и формой плазмы с обратной связью стало возможным применение различных подходов синтеза регуляторов для объектов со многими входами и выходами. Построенные на базе моделей и регуляторов, рассмотренных в диссертации, системы управления положением, током и формой плазмы обладают следующими техническими достоинствами [15]:

- для экспериментальных установок предложенный систематический метод сокращает время, требуемое для наладки системы управления, и обеспечивает значительную гибкость при использовании новых конфигураций плазмы. Отметим, что на токамаке DIII-D до «25% экспериментального времени тратится на задачи управления, -для проектируемых установок многие вопросы построения системы управления могут быть решены до запуска установки и, что более важно, на многие решения проекта может повлиять улучшение управляемости плазмы. Это утверждение особенно справедливо для токамака — реактора

ИТЭР, где решение конструктивных вопросов было сильно увязано с возможностями системы управления параметрами плазмы, -предложенный подход к построению системы управления позволяет установить различные приоритеты на точность управления контролируемых параметров исходя из их важности для получения требуемых физических параметров плазмы, -уже на стадии проектирования системы управления возможно учесть ограничения, накладываемые другими системами токамака (в частности, системой электропитания управляющих обмоток). Проблема синтеза регуляторов является ключевой при создании систем управления положением, током и формой плазмы, так как от свойств регуляторов во многом зависит развитие и поведение плазмы в разряде. Поэтому естественно определить критерии, по которым различные регуляторы могли бы сравниваться. Одним из важнейших таких критериев является степень робастных свойств регуляторов, то есть способность регулятора обеспечивать устойчивость системы при неопределенности параметров модели, которая в первую очередь связана с изменяющимися параметрами плазмы в разряде. На сегодня универсальный математический подход к решению этой проблемы не разработан. Однако исследования в этом направлении интенсивно ведутся. В диссертации рассматриваются два наиболее развитых современных подхода, позволяющих оценить робастные качества регуляторов в частотной области и в области параметров.

Завершающим этапом построения системы управления положением, током и формой плазмы является нелинейное моделирование разрядов тока на полномасштабных динамических кодах. Анализ полученных здесь результатов позволяет сделать окончательное заключение о качестве разработанной системы управления. Большинство систем управления современных экспериментальных установок прошло тестирование на различных динамических кодах, что обеспечило их успешную работу в экспериментах. В качестве наиболее яркого примера можно привести тестирование интегрированной системы управления установки DIII-D с помощью кода ДИНА, который моделировал только конструкцию и плазму токамака с выходом сигналов магнитной диагностики, а управляющие напряжения согласно разработанным алгоритмам подавались на обмотки через реальную цифровую систему и нелинейные модели источников электропитания. [16]. Исследования системы управления положением, током и формой плазмы на токамаке - реакторе ИТЭР были завершены моделированием различных сценариев развития плазмы. Впервые за всю историю проекта было продемонстрировано на полномасштабном динамическом коде ДИНА, что разработанная система управления способна обеспечить подъем тока плазмы, образование диверторной конфигурации, дополнительный нагрев, зажигание темоядерной реакции и поддержание ее горения, снижение тока плазмы и гашение термоядерной реакции, вывод тока из полоидальной магнитной системы. Здесь же был использован метод, изложенный в диссертации, построения программного управления (программных напряжений на управляющих обмотках токамака в течение разряда).

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель работы и направления исследований, приведена краткая история исследований по теме диссертации, краткая аннотация диссертационной работы по главам и положения, выносимые на защиту. Первая глава посвящена вопросам построения системы управления положением, током и формой плазмы в токамаках. В этой главе диссертации представлены основные задачи, которые должны быть решены при создании системы управления параметрами плазмы, и дан обзор современного состояния по каждой из них. Во второй главе диссертации подробно обсуждается проблема создания линейных моделей, используемых для построения системы управления положением, током и

Заключение диссертации по теме «Электрофизика, электрофизические установки», Кавин, Андрей Александрович

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Определены задачи, которые должны быть решены при создании системы управления параметрами плазмы. Они включают в себя: получение набора статических равновесий плазмы (базовых), создание для выбранных базовых равновесий линейных моделей, на базе линейных моделей синтез алгоритмов управления плазмой с обратной связью (выбор регуляторов), нелинейное динамическое моделирование сценариев развития разряда тока плазмы с учетом программного управления и синтезированных регуляторов в цепи обратной связи, по результатам нелинейного моделирования коррекция программного управления и управления с обратной связью.

Реализован метод получения базовых равновесий плазмы с наиболее достоверными профилями давления, полоидального тока и запаса устойчивости q. Выполнен обзор построения линейных моделей, используемых в современных экспериментальных установках для систем управления положением, током и формой плазмы. При проектировании токамака - реактора ИТЭР использовались модели, разработанные автором диссертации. Обзор систем управления в современных экспериментальных установках показывает, что применяются различные методы синтеза регуляторов на базе линейных моделей. Выбор оптимальных регуляторов для системы с обратными связями - это компромисс между точностью, быстродействием, робастностью и затратами мощности. Сделан вывод, что нелинейное моделирование разрядов плазмы должно быть неотъемлемой частью при создании системы управления, как наиболее близкое к эксперименту. Для этого существуют различные динамические коды, отличающиеся степенью сложности в описании плазменных транспортных процессов.

2. Определены условия, при которых линейные модели для системы управления положением, током и формой плазмы могут быть использованы (законы идеальной МГД - теории), и сформулированы два подхода для их получения. Приведен модернизированный метод создания линейных моделей, основанный на нахождении отклика плазмы через решение задачи равновесия со свободной границей при возмущениях токов в проводниках. Введено определение запаса устойчивости ms для "деформируемых" линейных моделей и показано, что его величина определяет степень стабилизации плазмы идеально проводящей пассивной структурой. Показано, что область применимости линейных моделей по отношению к возмущениям параметров плазмы /{ и Д, достаточна широка. Это позволяет использовать их для анализа "малого срыва" плазмы. При этом деформации формы плазмы могут достигать «10% от малого радиуса плазмы. Проведено сравнение "жесткой" и "деформируемой" линейных моделей. Показано, что инкремент вертикальной неустойчивости у для "деформируемой" модели больше, чем для "жесткой" модели. Разница между инкрементами зависит как от параметров плазмы /, и Д,, так и от вытянутости плазмы. Линейные "деформируемые" модели, учитывающие трехмерные наведенные токи в пассивной структуре, дают более пессимистичные результаты по пассивной стабилизации плазмы в сравнении с "двумерными" моделями (величины инкрементов отличаются на « 15%).

3. Предложены два возможных критерия робастных свойств регуляторов в частотной и параметрической области и проведено сравнение регуляторов, разработанных для токамака — реактора ИТЭР FEAT, по этим критериям. Выполнен анализ применимости регуляторов с простой структурой (Р, PD, PID). На основе метода построения PID регулятора, предложенного автором диссертации, показаны результаты моделирования системы управления положением, током и формой плазмы в сферических токамаках ГЛОБУС-М и MAST. Рассмотрены критерии оптимальности регуляторов с динамической структурой (LQG, Н2, //«,). Подробно представлена идеология LQG оптимального синтеза и на основании решения практических задач для систем стабилизации токамака - реактора ИТЭР FEAT сделан вывод об его эффективности при проектировании систем управления плазмой. Показано, что нелинейные "предсказывающие" регуляторы, основанные на МРС подходе, являются эффективным средством при построении систем управления с ограничениями как на величину управления, так и на контролируемые выходы объекта.

4. Нелинейное моделирование системы управления током и формой плазмы в токамаке - реакторе ИТЭР-FDR подтвердило реализуемость алгоритма компенсации производной электрической мощности, разработанного на линейных моделях, с помощью малоэффективных с точки зрения управления полоидальных обмоток PF5 и PF8. Исследования с помощью кода PET различных моделей малого срыва плазмы в токамаке — реакторе ИТЭР-FEAT показали, что одна и та же система управления положением, током и формой плазмы, построенная на базе LQG-регуляторов, может быть использована для стабилизации конфигураций плазмы как в индуктивном, так и в неиндуктивном сценариях развития плазмы. Изложены основные этапы, которые необходимо осуществить для реализации системы управления положением, током и формой плазмы при нелинейном моделировании сценариев развития плазмы. Разработан алгоритм перехода с управления формой лимитерными конфигурациями на диверторные и наоборот, позволяющий избегать резких скачков электрической мощности в этих случаях, и доказана его работоспособность. Разработан итерационный алгоритм для определения программных напряжений на полоидальных обмотках при нелинейном моделировании сценариев развития плазмы и доказана его реализуемость. При нелинейном моделировании сценариев развития плазмы возможна коррекция системы управления положением, током и формой плазмы с обратными связями, построенной на базе линейных моделей. Показана реализуемость с помощью кода ДИНА индуктивного сценария №2 и стационарного сценария №4 в токамаке -реакторе ИТЭР-FEAT. Система управления положением, током и формой плазмы, построенная на базе LQG-регуляторов, позволила достичь необходимой точности в стабилизации контролируемых параметров при нелинейном моделировании сценариев развития плазмы.

5. Сформулирована проблема появления неустойчивых мод в плазме с высоким значением параметра Дг и показано влияние на них пассивной структуры с точки зрения стабилизации. Для исследования системы управления RWM неустойчивости в токамаке — реакторе ИТЭР рассматривалась модель объекта, созданная с помощью кода MARS-F. Преобразование этой модели к наиболее распространенному в теории управления виду позволило использовать современные методы синтеза регуляторов для MIMO объектов. Полученный регулятор на базе LQG подхода обеспечивал более высокое качество стабилизации RWM неустойчивости по сравнению с PID регулятором, созданным европейской исследовательской группой, при одинаковых ограничениях на напряжение корректирующей катушки. Этот регулятор, стабилизирующий все рассмотренные плазменные конфигурации с различными инкрементами неустойчивости, был использован в ряде исследований системы управления RWM неустойчивостью в токамаке — реакторе ИТЭР. Проведено параметрическое исследование с целью определения максимального напряжения на боковой корректирующей катушке, требуемого для стабилизации RWM неустойчивости. Анализ показал, что ограничение напряжения корректирующей катушки в 350 В/виток позволяет стабилизировать плазму с высоким инкрементом RWM неустойчивости в широком диапазоне наиболее неопределенных параметров объекта управления. Для плазменных конфигураций с умеренным и высоким значениями инкрементов RWM неустойчивости определен частотный диапазон шумов, фильтрация которого не приводит к существенному отличию процесса стабилизации по сравнению со случаем отсутствия фильтрации.

В заключение автор приносит искреннюю благодарность руководству Научно-исследовательского института электрофизической аппаратуры имени Д.В.Ефремова за поддержку при выполнении диссертационной работы, научному руководителю д. ф.-м. н. В.А.Белякову, всем сотрудникам лаборатории БТ-1 НТЦ "Синтез", руководителю группы российских специалистов по проекту ИТЭР в Японии Ю.В.Грибову, сотрудникам НИИ ВМ и ПУ Санкт Петербургского государственного университета Д.А.Овсянникову, Е.И.Веремею и А.П.Жабко, сотрудникам московского института прикладной математики им. М.В.Келдыша А.А.Иванову, С.Ю.Медведеву, Ю.Ю.Пошехо-нову, сотруднику ТРИНИТИ (г. Троитск) Р.Р.Хайрутдинову, сотруднику ИЯС РНЦ КИ (г. Москва) В.Э.Лукашу, за полезные обсуждения, советы и рекомендации при подготовке диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кавин, Андрей Александрович, 2004 год

1. O.Gruber et. al., "Position and Shape Control on ASDEX Upgrade", Proc. 17th Symp. on Fusion Technology, Rome, 1992, p. 1042.

2. D.A. Humphreys et. al., "Design of a Plasma Shape and Stability Control System for Advanced Tokamaks", Proc. 18th Symp. on Fusion Technology, Karlsruhe, 1994, p. 731.

3. M.Garriba et. al., "First Operational Expirience with New Plasma Position and Current Control of JET", Proc. 18th Symp. on Fusion Technology, Karlsruhe, 1994, p. 747.

4. M.Ono et al. Phys. Plasmas, 1997, No. 4, p. 799.

5. A.C.Darke et al. Proceedings of the 16th Symposium on Fusion Energy, Sham-paign-Urbana, USA, 1995, vol. 2, p. 953-956.

6. В.К.Гусев, В.Е.Голант, В.А.Беляков и др., ЖТФ, 1999, том. 69, вып. 9, стр. 58-62.

7. E.T.Cheng, Y.K.M. Peng et al. Fusion Engineering and Design, 1998, No. 38, p. 219-255.

8. ITER Technical Basis, ITER EDA Documentation Series No.24, IAEA, Vienna, 2002.

9. Technical Basis for the ITER Detailed Design Report, Cost Review and Safety Analysis, ITER EDA Documentation Series No. 13, IAEA, Vienna, 1997, Chapter III, Section 5.0 Plasma Operation Scenario and Control, p.7.

10. J.B. Lister et. Al. "Can better modelling improve tokamak control?", Proc. 36th IEEE CDC, San Diego, 1997, p. 3679-3684.

11. D. O'Brien, J.J. Ellis, J. Lingertat, "Local Expansion Method for Fast Boundary Identification at JET', Nuclear Fusion 33,467,1993.

12. Ferron J.R. et. al. "Real Time Equilibrium Reconstruction for Tokamak Discharge Control", Nuclear Fusion 38,1055, 1998.

13. P.J. Mc Carthy et. al. "MHD Equilibrium Identification on ASDEX Upgrade", Proc. 19th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Insbruck 1992, p. 455.

14. M.L. Walker et. al. "Development of multivariable control techniques for use with the DIII-D plasma control system", Report General Atomic GA-A23151, June 1999.

15. J.A. Leuer et. al. "Development of a Closed Loop Simulator for Poloidal Field Control in DIII-D", Proc. 18th IEEE/NPSS Symposium on Fusion Engineering, Albuquerque, New Mexico, October 1999, p 531-534.

16. H. Ninomiya, K. Shinya, A. Kameari. "Optimization of Current in Field Shaping Coils of Non-Circular Tokamak", Proc. of the 8th Symp. on Engineering Problems of Fusion Research, (1979), p. 75.

17. ITER Design Description Document DDD 4.7, Poloidal Field Control, App. A, "Poloidal Field Design", N47 DDD 3 96-10-18 W1.2, 1998.

18. Y.Gribov, A.Kavin, S.Medvedev, A.Polevoi. "Steady State Scenarios with Weak Negative Shear: pN(no wall) and pN(ideal wall)", ITER IT report, N 19 IP 86 0405-17 F 1, Issue 1: 4 December 2002.

19. Angoletta M.E. et al. "Real Time Control of Plasma Boundary in JET", Proc. 19th Symposium on Fusion Technology, Lisbon, Portugal, September 1996, p. 949.

20. Garribba M. et al. "The new control scheme for the JET plasma position and current control system", XV EEE Symposium on Fusion Technology, Hyannis, USA, 1993, p.49-54.

21. Treutterer W. et al. "Plasma Shape Control Design in ASDEX Upgrade", Proceedings of 19th Symposium on Fusion Technology, Lisbon, Portugal, September 1996, p. 933-936.

22. Woyke W. et al. "Performance of the Equilibrium Control System for ASDEX Upgrade", Proceedings of 19th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Innsbruck, 1992, p. 455.

23. Krugger K. "Direct shaping of the reference input response for MIMO systems via output feedback", Proc. 1th IF AC Symposium of Design Methods of Control System, Zurich, 1991, p.

24. Humpreys D. A., Walker M. L. General Atomic Report GA-A23321.

25. Villone F. et. al., "Comparison of the Create-L Plasma Response Model with TCV Limited Discharges", Nuclear Fusion, 37(1997) 1395.

26. I. Senda et. al. "Linear evolution of plasma equilibrium in tokamaks", Nuclear Fusion, 42(2002) 568-580.

27. P.L. Mondino, M. Cavinato, Y. Gribov, A. Kavin, A. Portone. "Studies to increase the elongation in ITER", Proc. 21st Symp. of Fusion Technology, Madrid, Spain, 2000, p. 699-704.

28. ITER IT documentation, Control System Design and Assessment, G 45 FDR 1 01-07-13 R1.0, Attachment to Appendix D, "Plasma Control Database", 2001.

29. Lennholm M. et al. "Plasma Control at JET", Fusion Engineering and Design, August 2000, vol. 48, No. 1-2, p. 37-45.

30. Humpreys D. A. et al. "Implementation of model based multivariable control on DIII-D", Proc. of 21st Symposium on Fusion Technology, September 2000, Madrid, Spain, p. 727-731.

31. P.Barabaschi, "The Maxfea Code", Plasma Control Technical Meeting, Japan, 1993.

32. Galkin S.A., Ivanov A.A., Medvedev S.Yu., Poshekhonov Yu.Yu., Nuclear Fusion, 1997, vol. 37, No. 10, p. 1455.

33. V.A. Belyakov, S.A. Bulgakov, A.A. Kavin, Yu.A. Kostsov, E.N. Rumyantsev, S.A. Galkin, L.M. Degtyarev, A.A. Ivanov, Y.Y. Poshekhonov, V.A. Yagnov. "Numerical simulation of plasma equilibrium and shape control in tight tokamak

34. GLOBUS-M", Proc. 19th Intern. Symposium On Fusion Technology (SOFT 96), Lisbon, Portugal, September 1996, p. 821-824.

35. Jardin S.C., Pomphrey N., Delucia J.L., Сотр. Phys. 66, (1986) 481.

36. R.R. Khayrutdinov, V.E. Lukash, "Studies of Plasma Equilibrium and Transport in a Tokamak Fusion Device with the Inverse-Variable Technique", Journal of Сотр. Physics 2, (1993) p. 106.

37. Беляков В.А. Дисс. д. ф.-м. н., Санкт-Петербург, 2003.

38. ITER IT documentation, Control System Design and Assessment, G 45 FDR 1 01-07-13 R1.0, Appendix D, "Plasma Current, Position and Shape Control", 2001.

39. Шафранов В.Д., Атомная энергия, 1962, вып.13, стр. 521.

40. Захаров JI.E., Шафранов В.Д. Вопросы теории плазмы (Под ред. Б.Б.Кадомцева), вып.11. М.: Энергоатомиздат, 1982.

41. Bateman G. "MHD Instabilities", The MIT Press, Cambridge, Mass., 1978.

42. S.W. Haney, J.P. Freidberg, Phys. Fluids В 1 (8) August 1989.

43. Albanese R., Coccorese V., Rubinacci G., Nuclear Fusion, 1989, vol. 29, No.6.

44. Belyakov V., Kavin A. "Derivation of the linear models for the analysis of the plasma current, position and shape control system in Tokamak devices". Proc. International Conference «Physics and Control», St.-Petersburg, August 2003, p. 1019-1024.

45. Portone A. "Passive stabilization and stability margin of tokamak plasmas", ITER Report №47 ip 8 99-08-31 W 01, Naka JWS, August 31 1999.

46. Гантмахер Ф. P., Теория матриц, "Наука", 1966.

47. Technical Basis for the ITER-FEAT Outline Design, ITER EDA Documentation Series No. 19, International Atomic Energy Agency, Vienna, 2000.

48. Lazarus E., Lister J.B., Neilson G. H., "Control of Vertical Instabilities in Toka-maks", Nuclear Fusion, vol. 30, no. 1,1990.

49. I. Senda, T. Shoji, T. Tsunematsu, T. Nishino, H. Fujieda. Nuclear Fusion, vol. 37, 1997, p. 1219.

50. R. Albanese, R. Fresa, G. Rubinacci, F. Villone. "Time Evolution of Tokamak Plasma in the Presence of 3D Conducting Structures", IEEE Trans. Mag., Vol. 36, No. 4, (2000), pp. 1804-1807.

51. W. Sandberg, "A Frequency-Domain Condition for the Stability of Feedback Systems Containing a Single Time-Varying Nonlinear Element," Bell Syst. Tech. J., vol. 43, pp. 1601-1608, July, 1964.

52. G. Zames, "On the Input-Output Stability of Time-Varying Nonlinear Feedback Systems," Parts I and II, IEEE Trans. On Automatic Control, AC-11, 23, pp. 228238,465-476, 1966.

53. M.G. Safonov and M. Athans, "A Multiloop Generalization of the Circle Criterion for Stability Margin Analysis," IEEE Trans. On Automatic Control, AC-26, 2, pp 415-422, April, 1981.

54. M.G. Safonov, "Stability Margins of Diagonall Perturbed Multivariable Feedback systems," IEE Proc., 129 (Pt.D), No 2, pp. 252-255, November, 1982.

55. J.C. Doyle, "Analysis of Feedback Systems with Structured Uncertainties," IEE Proc., 129 (Pt.D), No 6, pp. 242-250, November, 1982.

56. Belyakov V.A., Rumyantsev E.N. et al. ITER Final Report of RF Home Team on Design Task D424-3: Plasma current, position and shape control. St. Petersburg, 2001.

57. Barlett A.C., Hollot C.V., Huang L. Root locations of an entire polytope of polynomials: It suffices to check the edges. // Mathematics of Control, Signals and Systems. 1988-Vol. 1-p. 61-71.

58. Barmish B.R., Kang H. I. New extreme point results for robust stability. // Control of uncertain dynamic systems.-S.:CPC Press, 1991-p. 461-470.

59. Djaferis Т.Е., Hollot C.V. A Routh-like test for the stability of famikiesof polynomials with linear uncertainty. // Amer. Control Conf.-1989-Vol. 1-p. 639-644.

60. Belyakov V.A., Kavin A.A. et al. Project of Spherical Tokamak Globus-M, Препринт ФТИ РАН, № 1629, Санкт Петербург, 1994.

61. A.C.Darke et al. Proceedings of the 16th Symposium on Fusion Energy, Sham-paign-Urbana, USA, 1995, vol. 2, p. 953-956.

62. Technical Basis for the ITER Final Design Report, Cost Review and Safety Analysis (FDR), ITER EDA Documentation Series No. 16, IAEA, Vienna, 1998.

63. ITER Technical Basis, ITER EDA Documentation Series No.24, IAEA, Vienna, 2002.64. |i Analysis and synthesis toolbox: User's guide/ G.J. Balas, J.C. Doyle, K. Glover et. al. The MathWorks Inc., 1995.

64. V.A. Belyakov, A.A. Kavin, Yu.A. Kostsov, L.P. Makarova, E.N. Rumyantsev. "The poloidal fields control system of the Globus-M tokamak", Plasma Devices and Operations, 2001, vol. 9, p. 105-118.

65. Doyle J. C., Francis B. A., Tannenbaum A. R. Feedback control theory.- New York; Toronto: Macmillan Publ. Co., 1992.

66. Квакернаак X., СиванР. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 650 с.

67. Лётов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов, АН СССР. Автоматика и телемеханика. 1960, № 4-6; 1961, № 4,11.

68. Model Predictive Control Toolbox: M. Morari, N.L. Ricker User's guide/ The MathWorks Inc., 1995.

69. Belyakov V.A., Kavin A.A. et al. ITER Final Report of RF Home Team on Design Task D324-3: Plasma current, position and shape control. St. Petersburg,1998.

70. Belyakov V., Kavin A., V. Kharitonov et al. Fusion Engineering and Design.1999. Vol. 45. p. 55-64.

71. M. Cavinato, A. Kavin, V. Lukash, R. Khayrutdinov. "Non-linear simulations by numerical MHD equilibrium codes in ITER-FEAT", 9th IEEE International Conference on Control Applications, Anchorage, USA, September 2000, p. 406-411.

72. Kavin A.A. "Plasma control with DINA simulations", ITER Design Task Review Meeting on plasma control, Garching, Germany, May, 2001.

73. Y.Gribov, R. Albanese, G. Ambrosino, M. Ariola, R. Bulmer, M. Cavinato, E. Coccorese, H. Fujieda, A. Kavin et. al. "ITER-FEAT scenarios and plasma position/shape control", 18th IAEA Fusion Energy Conference, Sorrento, Italy, October 2000, ITERP/02.

74. Y. Gribov, M. Cavinato, A. Kavin, R. Khayrutdinov, V. Lukash, P.L. Mondino. "Studies of ITER scenarios with DINA code", 28th EPS Conference on Controlled Fusion and plasma physics, Madeira Portugal, June 2001, P2.035.

75. ITER IT documentation, Control System Design and Assessment, G 45 FDR 1 01-07-13 R1.0, Appendix F, "Resistive wall mode and their control", 2004.

76. M.Okabayashi, et al., Physics of Plasma 8 (2001) 2071.

77. ITER IT documentation, Control System Design and Assessment, G 45 FDR 1 01-07-13 R1.0, Appendix E, "Error Fields and their Correction", 2001.

78. G.A.Navratil, J.Bialek, A.Boozer, O.Katsuro-Hopkins, "RWM Control in FIRE and ITER", Workshop on Active Control of MHD stability, University of Texas-Austin, 3-5 November 2003.

79. Yueqiang Liu, A. Bondeson, Y. Gribov and A. Polevoi, "Stabilization of resistive wall modes in ITER by active feedback and toroidal rotation", Nucl. Fusion 44 (2004) 232

80. M. Shimada, A.Polevoi, V.Mukhovatov, M.Sugihara, Y.Gribov, S.Medvedev, A.Kavin. "High Performance Operation in ITER", Proc. 30th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Saint Petersburg, Russia, 2003, P-3.137.