Методы анализа динамики управляемых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Зубов, Иван Владимирович

• Зубов, Иван Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Зубов, Иван Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Структурные особенности динамики систем

§1. Устойчивость и оптимальность управляемых систем

§2. Хаотичность

§3. Топологические методы.

§4. Диссипативность и автоколебания.

Глава 2. Анализ структурных особенностей управляемых систем

§5. Первые интегралы и последние множители.

§6. Последний множитель и интегральный инвариант.

§7. Уравнения для последнего множителя.

§8. Нахождение интеграла. Особый интеграл.

Глава 3. Системы с простой структурой

§9. Трехмерные квадратичные системы.

§10. Уравнение для регулярного интеграла.

§11. Последовательная локализация инвариантных множеств

§12. Построение системы со странным аттрактором.

Глава 4. Системы с инвариантными многообразиями

§13. Прогнозирование динамики систем.

§14. Численное интегрирование

§15. Устойчивость интегральных многообразий.

§16. Устойчивость консервативных систем с циклическими координатами

Глава 5. Методы исследования распределенных систем

§17. Совместные системы дифференциальных уравнений

§18. Вычисление коэффициентов в скобках Пуассона.

§19. Автомодельные решения.

§20. Стабилизация систем с распределенными параметрами

Глава 6. Анализ динамики систем с неограниченными решениями

§21. Анализ систем с неограниченными решениями.

§22. Устойчивость инвариантных множеств периодических систем

Глава 7. Функции Ляпунова в вычислительной практике

§23. Единая система вычислительных алгоритмов.

§24. Метод быстрого обращения матрицы и решения систем линейных уравнений

§25. Решение нелинейных уравнений и задач оптимизации

§26. Методы построения полярного разложения матрицы

§27. Матричные дифференциальные уравнения и методы их интегрирования

§28. Численный анализ систем большой размерности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы анализа динамики управляемых систем»

Актуальность темы исследования. Главной современной проблемой развития науки, техники и технологии являются фундаментальные исследования в области моделирования, управления, качественного и количественного анализа динамики сложных систем. Необходимость разработки новых качественных и количественных методов исследования динамики систем, построения программных управлений связана с поиском условий устойчивого, надежного и безопасного функционирования сложных динамических систем, имеющих различные особенности. В наступившем столетии создание новых технологий, сложных информационных и технических систем не может обойтись без развития фундаментальной науки в различных отраслях знаний.

Величайшее открытие XX века - компьютер. Связанные с ним революционные изменения в хранении и передаче данных, управлении и моделировании с каждым годом еще более подчеркивают необходимость приоритетного и ускоренного развития фундаментальных исследований, без которых компьютерные технологии оказываются беспомощными при решении приоритетных задач, стоящими перед человечеством, среди которых: создание новых космических технологий и дальнейшее освоение космического пространства; создание новых энергетических технологий переработки и использования газа, нефти и каменного угля и создание децентрализованных автоматизированных систем энергоснабжения; создание общемировой динамической системы связи с использованием спутниковых и лазерных систем; глобальное решение транспортной проблемы; создание новых биотехнологий для решения продовольственной проблемы; создание многофункциональных гибких автоматизированных систем.

Решение указанных проблем не может быть осуществлено без серьезной научной проработки и создания математических моделей и методов исследования динамики функционирования сложных систем с учетом надежности и безопасности, исследования взаимных соотношений между отказоустойчивостью и эффективностью и т.д., с различного рода особенностями и условиями.

Современные математические задачи системного анализа и управления характеризуются нарастающей сложностью математического описания, отражающего взаимосвязь управляемого процесса или изучаемой системы с множеством сопутствующих факторов, без учета которой нельзя с требуемой точностью исследовать этот процесс. В математической постановке такие задачи приводят, в частности, к раздельному и совместному рассмотрению совокупности систем обыкновенных уравнений и систем уравнений в частных производных. В настоящее время развитие методов системного анализа динамических систем и процессов управления обусловлено широким кругом прикладных задач, среди которых задачи управления сложными техническими объектами и технологическими процессами, задачи обработки информации и прогнозирования поведения систем. Появившиеся в настоящее время возможности использования компьютерной техники, в том числе систем сбора данных на базе микрокомпьютерных систем в задачах управления (БСАБА), заставляет математиков пересматривать существующие и создавать новые методы исследования, позволяющие разрабатывать математическое обеспечение систем управления, как обладающее высокими операционными скоростями, так и вполне учитывающее все особенности математической модели.

Проблемы анализа динамики управляемых систем, рассматриваемые в диссертации. Практическая сложность исследования реальных систем и процессов управления, описываемых с помощью подобных систем дифференциальных уравнений, состоит не просто в многомерности обобщенного фазового состояния, но и в трудности выделения существенных для данной задачи характеристик процесса на фоне различного типа особенностей его поведения в целом. К числу последних относятся:

Проблема наиболее точного прогнозирования динамики системы;

Проблема нахождения инвариантных множеств;

Проблема устойчивости инвариантных множеств;

Возможная неограниченность части фазовых координат;

Проблема перерегулирования;

Данному кругу вопросов и посвящена настоящая диссертация. й

В ней развивается математической аппарат, позволяющий осуществлять анализ и синтез систем управления с точки зрения более точного прогнозирования динамики системы, разрабатывать новые численные алгоритмы решения задач управления, применению полученных результатов к задачам, связанным с управлением движением пучков заряженных частиц, теории динамических процессов в сплошных средах, задачам управления механическими системами, задачам вычислительной математики и технологии применения ЭВМ.

Проблема максимально точного прогнозирования динамики систем. Для более точного прогнозирования состояния системы необходимо провести качественный анализ уравнений динамики системы с точки зрения установления наличия инвариантных множеств и общих характеристик динамики системы при возрастании времени, к числу которых относятся устойчивость п^о Лагранжу, наличие областей притяжения инвариантных множеств общих систем и их границы. При прямом компьютерном моделировании полученная дискретная модель может не сохранять основных перечисленных свойств мо/ делируемой системы и давать тем самым неверный прогноз динамики системы. Собственного обстоятельство и обусловило выдвижение Смейлом задачу о соответствии компьютерной модели аттрактора Лоренца действительному поведению этой системы как одной из основных математических проблем XXI века.

Необходимым математическим аппаратом описания динамических процессов являются системы дифференциальных уравнений. Поэтому задачи современной автоматики, т.е. задачи создания новых эффективных систем управления различными технологическими комплексами и техническими объектами, обусловливают развитие методов исследования линейных и нелинейных систем обыкновенных и в частных производных дифференциальных уравнений, описывающих динамику функционирования систем автоматического управления. Задачи управления на протяжении последних десятилетий были основными "потребителями" достижений качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, теории нелинейных колебаний.

Задача прогнозирования поведения моделируемых систем в количест венном плане сводится к численному интегрированию уравнений динамики. В качественном плане - к аналитическому исследованию системы для установления структурных особенностей моделируемой системы - наличия инвариантных множеств, характера предельного поведения решений.

Наиболее важная проблематика в задачах управления - изучение уравнений динамики систем [82]. Пусть управляемая система описывается системой дифференциальных уравнений

Х = Г(Х,и) (1) где X - вектор фазовых переменных, и - вектор управления. Одной из основных задач теории управления является построение управления, обеспечивающего существование инвариантного множества М системы (1), обладающего требуемыми в приложении свойствами. Инвариантным множеством может являться и положение равновесия. Наиболее распространенным является требование асимптотической устойчивости в целом для инвариантного множества М. Если под инвариантным множеством понимается определенный режим функционирования управляемой системы, то задача управления формулируется как нахождение управления, обеспечивающего устойчивость заданного режима системы. В классической теории управления достаточно хорошо изучены вопросы динамики управляемых систем с инвариантным множеством, являющимся положением равновесия или, может быть, заданной интегральной гиперповерхностью. Но новые задачи ставят вопрос об изучении систем с несколькими положениями равновесия, когда множество точек покоя системы (1) может быть не связно, причем сами точки покоя могут быть и неустойчивыми.

В задачах управления особенную важность и наибольшее распространение имеют общие динамические системы, т.е. системы, представляющие полугруппу преобразований фазового пространства.

Инвариантные множества общей системы могут не являться интегральными многообразиями, т.е. не состоять из целых траекторий, но именно они являются важнейшим объектом исследования в задачах управления.

Предельные режимы, автоколебания, аттракторы. В последние три десятилетия в круг исследования вошли нелинейные системы с несколькими неустойчивыми положениями равновесия, обладающие компактными глобально притягивающими множествами [1, 3, 4, 9, 13, 16, 19, 20, 28, 29, 30, 49, 64, 69, 70, 72, 89, 90, 93, 94, 98, 117, 148, 150,

152, 154, 159]. Эти математические модели имеют не только большое теоретическое, но и практическое значение. Академик O.A. Олейник отмечала: "Оказалось, что наряду со стационарными и периодическими предельными режимами возможны предельные режимы совершенно иной природы, а именно такие, в которых каждая отдельная траектория неустойчива, а само явление выхода на данный предельный режим структурно устойчиво. Открытие и подробное изучение для систем обыкновенных дифференциальных уравнений таких предельных режимов, называемых аттракторами, потребовало привлечения средств дифференциальной геометрии и топологии, функционального анализа и теории вероятностей. В настоящее время происходит интенсивное внедрение этих математических понятий в приложения. Так, например, явления, происходящие при переходе ламинарного течения в турбулентное при повышении чисел Рейнольдса, описываются аттрактором. Изучение аттракторов предпринято также и для уравнений с частными производными"1.

Термин аттрактор является достаточно устоявшимся в русской математической терминологии, однако не лишним является указание на то, что это понятие тесно связано с понятием автоколебание. Любое автоколебание, по определению, является аттрактором, но аттрактор может представлять собой совокупность нескольких автоколебаний.

В электродинамике известен экспериментально установленный факт, что фокусировка пучка заряженных частиц приводит к его нагреву и расплывание приводит к охлаждению. Математически это следует из теоремы Н.Н.Красовского об асимптотической устойчивости нелинейной системы дифференциальных уравнений [52].После установления В.И. Зубовым [32] универсальности системы уравнений Максвелла появилась возможность аналитического конструирования управляющих полей. Однако вышеуказанное обстоятельство не позволяет строить модели, обладающие асимптотической устойчивостью и в пространстве скоростей и пространстве координат. Выходом из существующего положения является конструирование и применение моделей, имеющих глобально притягивающие асимптотически устойчивые инвариантные множества, которые имеют неустойчивые положения равновесия. В этом случае ограничения критерия Красовского могут быть

1Олейник O.A. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях. МГУ, 1996,http://www.mmonline.ru/articles.php3?mid= 1367 сняты.

Этот пример показывает, что рассмотрение математических моделей, основанных на аттракторах является актуальной проблематикой теории управления. Рассмотрение этих моделей позволяет существенно расширить круг рассматриваемых дифференциальных систем, т.к. системы, имеющие только неустойчивые положения равновесия становятся "пригодными для задач управления". Ранее такие системы в задачах управления не рассматривались.

Дж. Биркгоф [10] показал, что в окрестности неособой точки система дифференциальных уравнений, описывающая динамику системы, может быть приведена заменой переменных к виду х\ = 1, = 0, .,хп = 0. Это называется также теоремой о выпрямлении и основной теоремой [4] теории дифференциальных уравнений. Это объясняет то, что исследования уравнений динамики проводятся только в окрестности особых точек. Однако такое исследование не может дать ответа на вопрос о существовании глобально устойчивого инвариантного в смысле общей системы (инвариантного для полупотока) инвариантного множества в общем нелинейном случае. Пример Э. Лоренца показывает это. Гомеоморфность векторного поля в окрестности неособой точки постоянному полю в1 показывает, что движения локально топологически эквивалентены семейству прямых, т.е. имеют структуру уходящего движения.

Численное интегрирование. Важнейшей задачей анализа динамики систем является прогнозирование состояния системы. Следует отметить, что основным инструментом изучения нелинейных дифференциальных систем является численное интегрирование. И для известных моделей, имеющих аттракторььдолгое время не существовало м атем атического доказательства о существовании глобально притягивающего инвариантного множества и все рассуждения были основаны на результатах численного интегрирования систем с помощью компьютера.

В связи с изложенным возникает вопрос - как изучать такие нелинейные системы с точки зрения глобального поведения решений. Только ли численно? Следует отметить, что численное интегрирование нелинейных систем может давать не только искаженную, но и в корне неверную информацию о глобальном поведении решений, так приближенная "численная" траектория "не чувствует" прохождения интегральной поверхности, и в случае ее неустойчивости (имеется ввиду та ситуация, когда интегральная поверхность условно устойчива, т.е. устойчива только для определенного набора начальных данных), приближенное решение "уходит" от существующей интегральной поверхности. Кроме того, при численном интегрировании на значительных временных интервалах происходит накопление вычислительных ошибок.

Примером такой системы может быть система, описываемая уравнениями х х =--2 х + рх — у Р У

У =--2 у + ру + х Р или в полярных координатах

Р = (! - Р)2 > Ф = 1 где р = -\/х2 + у2 - радиус-вектор, х = рсов(р, у = рвтср. Все траектории, начинающиеся в круге р < 1 стремятся к предельному циклу р = 1, а все траектории, начинающиеся в области р > 1 уходят на бесконечность. Можно показать, что при численном интегрировании этой системы с начальным условием'О < ро < ^приближенные траектории »/ уходят на бесконечность, сделав некоторое количество осцилляций в окрестности единичной окружности.

Другим примером является невозможность с помощью компьютерных методов обнаружить специальные центральные движения, так как они не являются предельными ни для каких движений динамической системы.

Эти рассуждения показывают, что численное интегрирование не всегда может быть напрямую применено для прогнозирования состояния системы.

Нелинейные системы с несколькими положениями равновесия не могут быть асимптотически устойчивыми в целом [79]. Это обстоятельство также требует более внимательного изучения вопроса об области притяжения таких систем.

Важнейшей задачей является установление границы области притяжения инвариантного множества М общей системы (1). В практических задачах - это множество возможных состояний управляемой системы после стабилизации.

14-я проблема Смейла. В известном докладе Давида Гильберта "Математические проблемы", произнесенном им на 2-м Международном конгрессе математиков в 1900 году, были изложены 23 математические проблемы, которые в сильной степени определяли развитие математики XX века, и 16 из них считаются полностью решенными. Через 100 лет один из известнейших американских математиков С. Смейл [157]2 формулирует 18 проблем для математиков XXI века, одной из которых является проблема соответствия поведения решений системы Лоренца, геометрическим представлениям, получаемым на основе численного интегрирования системы. Смейл отмечает, что математическое доказательство существования глобально притягивающего компактного инвариантного множества для системы Лоренца отсутствовало. Даже недавняя (2002г.) работа Такера (W. Tucker) [160], доказывающая существование аттрактора у системы Лоренца, основана на доказательстве с использованием интервальных вычислений, т.е. относится к тому же кругу рассмотрений, основанных на численном интегрировании, которые проводились в последние 25 лет.

Конечно появляются и работы, например, в которых математиче- V ски доказано существование притягивающего множества для модели Лоренца на основе функций Ляпунова.3

С.Смейл ставит так^же вопрос ^б условиях возникновения так называемых "странных'^аттрактор^х, характеризующихся выраженной 1/ I/ хаотичностью своей динамики. Действительно, интересным было бы построение подобных систем и сравнение их динамики с известными аттракторами.

Проблема нахождения инвариантных множеств. В приложе- ]/ ниях наиболее важным видом инвариантных множеств являются стационарные инвариантные множества общих систем, описываемых системами дифференциальных уравнений, определяющих динамику функционирования системы управления, представляющие собой множества в фазовом пространстве. Острота проблемы обусловлена тем, что основным аппаратом исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений является численное интегрирование с помощью ЭВМ. При таком исследовании, как уже было отмечено, возможны не только

2 http: / / www. amath .washington.edu / courses /572-spring-2002/ smale .pdf

3H.Giacomini, S.Neukirch The shape of attractors of 3-D dissipative dynamical systems, http://lcvmsun9.epfl.ch/ ~neukirch/files/grz.pdf и неточности, но и принципиальные ошибки в оценке характера поведения траекторий системы. Выходом из этого положения является построение консервативных численных алгоритмов, учитывающих наличие интегральных многообразий интегрируемых нелинейных систем

Если речь идет об интегральных многообразиях, то нахождение стационарных интегралов или доказательство их существования, фактически является задачей интегрирования заданной системы.

Возможная неограниченность части фазовых координат.

Одной из целей настоящей диссертации является изучение уходящих движений динамических систем. В основном это будут системы, определяемые системами дифференциальных уравнений. Отметим, что далеко не каждая система дифференциальных уравнений определяет динамическую систему. При выполнении условий теоремы существования и единственности одним из основных вопросов, возникающих здесь, является вопрос о продолжаемости решений на бесконечном интервале. Можно рассматривать системы дифференциальных уравнений, которые формально не определяют динамической системы, но имеют продолжаемые решения, которые и можно изучать как уходящие движения некоторой динамической системы.

Проблема перерегулирования. В теории автоматического управления обычным делом является рассмотрение систем, которые допускают перерегулирование. Это так называемые системы с переменной структурой. Хорошо известны работы C.B. Емельянова, Е.А. Барба-шина, Е.П. Попова и других исследователей. Проблема состоит в том, что при реализации таких систем на практике возникают существенные трудности, так как математическая модель не вполне соответствует инженерной реализации. А именно, системы, которые не учитывают запаздывание требуют в пределе теоретически неограниченнойjMonj: нждтм1ереключения, системы, реализующие математические модели с разрывными правыми частями вызывают ударные нагрузки на весь объект регулирования. Поэтому создание систем управления без перерегулирования является актуальной задачей. С этой проблемой тесно связана следующая проблема.

Проблема простоты структуры управляемой системы. Интуитивно очевидно, что системы с простой структурой легче реализуются в инженерном смысле. Конечно, понятие простоты весьма относительно, но, скажем, квадратичные системы вызовут предпочтение у любого конструктора перед системами, включающими более сложные нелинейности. Рассмотрение нелинейных систем с простой структурой, имеющих несколько неустойчивых положений равновесия, но имеющих заданным образом геометрически локализованное ограниченное инвариантное множество к тому же глобально асимптотически устойчивое позволяет создавать весьма эффективные системы управления. По сути, это предельное множество является аналогом устойчивого положения равновесия для линейных и линеаризованных систем. Но в данном случае алгебраические критерии устойчивости, основанные на анализе собственных чисел матрицы линеиного приближения, беспомощны. Это связано с тем, что аналитическая природа этих предельных множеств, как правило, весьма сложна. Для составления возмущенной системы требуется интегрирование уравнений движения, что в общем случае неосуществимо.

Краткое содержание диссертации. Глава 1 посвящена основным понятиям о структурных особенностях динамики решений совокупных уравнений - устойчивости, оптимальности, хаотичности, ограниченности решений. Здесь излагаются некоторые подходы к решению задач существования и устойчивости предельного режима. В Главе 2 развиваются аналитические методы установления существования регулярных предельных режимов на основе интегрирования уравнений в частных производных для искомых интегралов совокупных уравнений. Глава 3 посвящена системам с простой структурой - в основном квадратичным трехмерным системам,^о и не только. Показана техни- V ка построения системы, имеющей компактное предельное множество с выраженной хаотичностью индивидуальных траекторий. Глава 4 посвящена проблеме прогнозирования динамики систем, имеющих интегральные многообразиями разработке консервативных методов численного интегрирования. 13 Главе 5 излагаются методы исследования систем с распределенными параметрами, к которым приводят задачи обнаружения предельных режимов, а также развиваются методы качественного анализа процессов управления, описываемых системами дифференциальных уравнений с частными производными. Предлагается методика изучения свойств решений этих систем путем рассмотрения этих решений на подвижных многообразиях различной формы. Получены условия устойчивости решений, являющихся простыми волнами. Указана возможность возникновения ударных волн в режиме стабилизации. В главе 6 изучаются теоретические основы исследования движений систем, не имеющих предельных точек ^Открывается новая область исследования - уходящие движения. В изучаются неограниченные решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь получены условия устойчивости неограниченных решение и оценки на скорость приближения траекторий возмущенного движения к траектории невозмущенного. В §^2 изучаются свойства ч инвариантных множеств периодических систем, определяющих уходящие движения. Предложена методика свертки фазового пространства в многомерный тор таким образом, что инвариантные множества, соответствующие предельным множествам уходящих движений, оказываются ограниченными. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости таких множеств. Предложена методика изучения свойств образов инвариантных множеств уходящих движений. В главе 4 решена проблема построения эффективных алгоритмов решения алгебраических задач, возникающих при исследовании процессов управления.Предложена теория оптимальной стабилизации вычислительного процесса, позволяющая строить устойчивые численные алгоритмы решения различных вычислительных задач. При построении методов, обеспечивающих более точное прогнозирование динамики систем, рассмотренных в §13 возникла необходимость решения некоторых алгебраических задач- нахождение полярного разложения матрицы, обращения матрицы. В связи с этим в этой главе развиты алгоритмы решения этих задач. Предлагается сводить решение любой вычислительной задачи к построению системы дифференциальных уравнений, все решения или часть их сходятся к решению исходной вычислительной задачи. Далее задача сведется к численному интегрированию полученной системы.

Аппарат функций Ляпунова дает практически неиссякаемый источник новых итерационных алгоритмов решения различных вычислительных задач и объясняет существующие алгоритмы. При этом из этого подхода получаются как известные вычислительные схемы, например метод Ньютона, так и совершенно новые итерационные алгоритмы.

Основные положения, которые выносятся на защиту.

На защиту выносятся:

Разработанные новые и усовершенствованные существующие мето

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Зубов, Иван Владимирович, 2004 год

1. Алексеев Ю.К., Сухоруков А.П. Введение в теорию катастроф.-М.: Изд-во МГУ, 2000.

2. Андронов A.A., Леонович Е.А. Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука,1966.

3. Анищенко B.C., Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

4. Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.: Наука,1975.

5. Арцимович Л.А., Лукьянов С.Ю. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях,- 2-е изд.- М.: Наука, 1978.

6. Бабаков И.М. Теория колебаний, 3-е изд. М.: Наука,1968.

7. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

8. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука,1970.

9. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Меркурий пресс. 2000.

10. Боголюбов Н.Н.Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний,- 2-е изд. М.: ГИФМЛД958.

11. Брус, Дж. Джиблин П., Кривые и особенности. М.: Мир, 1988.

12. Булгаков Н.Г. Знакопостоянные функции в теории устойчивости,- Минск: Изд-во "Университетское" 1984.

13. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. М.: Наука,1965.

14. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987.

15. Вержбицкий В.М, Численные методы. М.: Высшая школа, 2000.

16. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966.

17. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. М.: Мир, 1986.

18. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф.- Т 1,2. М.:Мир, 1984.

19. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений,- М:ГИТТЛ, 1950.

20. Голубев В.В.,Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела.- М:ГИТТЛ, 1953.

21. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. М.-Л.,ОНТИ, 1934.

22. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. 2-е изд. М.:Наука,1998.

23. Динамические системы. Электронная библиотека,. Ижевск: РХД, CD.

24. Додд Р., Эйлбек Дж.,Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения,- М.:Мир, 1988.

25. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений,- 2-е изд. Минск: Наука и техника, 1972.

26. Журавлев В.Ф., Д.М. Климов, Прикладные методы в теории колебаний. М.:Наука, 1988.

27. Заславский Г.М., Р.З.Сагдеев, Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности.- М.: Наука, 1988.

28. Заславский Г.М.,Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников A.A., Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.:Наука, 1991.

29. Зубов В. И. Теория колебаний. М.:Высшая школа, 1979.

30. Зубов В.И. К управлению движением заряженных частиц в магнитном поле//Докл. АН СССР. 1977. Т.232, № 4. С.798-799.

31. Зубов В.И. Каноническая структура векторного силового поля //Проблемы механики твердого деформированного тела. Л.: Судостроение, 1970.с.167-170.

32. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука,1975.

33. Зубов В.И. Проблема устойчивости процессов, управления.2-е изд.- СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2001.

34. Зубов В.И. Теория оптимального управления. Л.¡Судостроение, 1966.

35. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1984.

36. Зубов В.И. Колебания и волны. Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1989.

37. Зубов И.В. Модели с несколькими неустойчивыми положениями равновесия в динамике пучков заряженных частиц, Ninth Intl. Workshop BD02002,abstracts& program, Saint-Petersburg State Univ. 2002, p.88.

38. Зубов И.В. Метод построения полярного разложения матрицы // Исследования по прикладной математике: Сб.науч. тр. / Редкол.: Б.Г.Батяев и др. Саранск: Мордовский гос. ун-т, 1982. С.69-76.

39. Зубов И.В. Неограниченные равновесные движения в управляемых системах / / Математические методы оптимизации и структурирования сложных систем: Межвуз. те-мат.сб./Редкол.:Ю.А.Абрамов и др. Калинин: Калининский гос. ун-т, 1980. с.47-54.

40. Зубов И.В. Неограниченные равновесные решения квазилинейных систем // Вестн. Ленингр. ун-та. 1980. N0- 13. С. 24-29.

41. Зубов И.В. Устойчивость стационарных режимов нелинейных управляемых систем // Математические методы оптимизации и управления в сложных системах: Межвуз. темат. сб. / Редкол.: Ю.А.Абрамов и др. Калинин: Калининский гос. ун-т, 1981. С. 1320.

42. Зубов И.В. Устойчивость стационарных режимов процессов и аппаратов ЦБП.Конспект лекций. Л.: Ленинградская лесотехническая академия, 1983.

43. Зубова А.Ф., Зубов И.В. Методы приближенных вычислений объектов ЦБП. Л.: Ленинградская лесотехническая академия, 1981. С.16-79.

44. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных. М.: Наука, 1966.

45. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.:Наука, 1977.

46. Климонтович Ю.М.Турбулентное движение и структура хаоса. -М.: Наука, 1990.

47. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. В 3 т.Т.2. Получисленные алгоритмы. М.:Мир,1977.

48. Коддингтон С.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:ИЛ, 1958.

49. Красовский H.H.Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: ГИФМЛД953.

50. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука,1968.

51. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы,- В 2 т.- М.: Наука,1977.55 56 [57 [58 [5960