Локализация инвариантных компактов нелинейных систем с управлением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Канатников, Анатолий Николаевич

• Канатников, Анатолий Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Канатников, Анатолий Николаевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ЗАДАЧИ ЛОКАЛИЗАЦИИ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ

1.1. Постановки задач локализации

1.2. Локализирующие функции и локализирующие множества

1.2.1. Основы функционального метода локализации для непрерывных систем.

1.2.2. Свойства локализирующих функций и локализирующих множеств.

1.3. Локализация инвариантных компактов ПРТ-системы

1.3.1. Диапазон ц > 0 — семейство эллипсоидов.

1.3.2. Значение д = 0 — круговой цилиндр.

1.3.3. Диапазон — 1 < д < 0 — семейство гиперболоидов

1.3.4. Значение д = —1 — гиперболический цилиндр

1.3.5. Диапазон д < — 1 — второе семейство гиперболоидов

1.3.6. Обсуждение результатов.

Выводы по главе 1.

Глава 2. ЛОКАЛИЗАЦИЯ ИНВАРИАНТНЫХ КОМПАКТОВ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ.

2.1. Инвариантные множества

2.2. Задача локализации.

2.3. Система Валлиса.

Выводы по главе 2.

Глава 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ.

3.1. Наводящие соображения.

3.2. Инвариантные компакты дискретных систем.

3.3. Свойства локализирующих множеств.

3.4. Сдвиги локализирующих множеств.

3.5. Максимальные инвариантные компакты.

3.6. Локализация и дискретизация непрерывных систем.

Выводы по главе 3.

Глава 4. ПРИМЕРЫ ЛОКАЛИЗАЦИИ В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ

4.1. Логистическое отображение.

4.2. Система Хенона.

4.3. Система Катала.

Выводы по главе 4.

Глава 5. ЛОКАЛИЗАЦИЯ ИНВАРИАНТНЫХ КОМПАКТОВ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С УПРАВЛЕНИЕМ.

5.1. Дискретные системы с возмущением.

5.1.1. Положительно робастно инвариантные компакты

5.1.2. Отрицательно робастно инвариантные компакты

5.1.3. Робастно инвариантные компакты

5.1.4. Свойства робастно локализирующих множеств

5.1.5. Максимальные робастно инвариантные компакты

5.1.6. Неопределенная система Хенона.

5.2. Дискретные системы с управлением.

5.2.1. Локализирующие множества.

5.2.2. Свойства локализирующих множеств

5.2.3. Максимальные управляемо инвариантные компакты

5.2.4. Система Хенона с управлением.

5.2.5. Обсуждение различных вариантов системы Хенона

5.3. Дискретные системы с управлением и возмущением

5.3.1. Локализирующие множества.

5.3.2. Свойства локализирующих множеств

5.3.3. Максимальные робастно управляемо инвариантные компакты

Выводы по главе 5.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Локализация инвариантных компактов нелинейных систем с управлением»

Актуальность темы. В теории управления сформировалось направление, в котором исследуются динамические системы с управлением и/или возмущением, имеющие ограничения на переменные состояния и управления. В таких системах ставится задача анализа решений, не выходящих за пределы заданного множества в фазовом пространстве системы. Указанные исследования привели к построению теории, базирующейся на понятии инвариантного множества, которая в системах разного типа вводится по-разному, но отражает главный принцип: траектория системы не должна покидать заданное множество в фазовом пространстве. В понятии инвариантного множества учитываются различные особенности динамической системы: наличие управления, неопределенностей, выхода и т.п. Одним из основных приложений указанной теории является синтез управлений на основе прогноза на конечный или бесконечный горизонт.

Исследования в этом направлении выполнены в ряде работ последних 10-15 лет [51,52,56,57,66,71,107,109].

Задача невыхода траектории управляемой системы за пределы заданного множества (3 сводится к понятию максимального положительно инвариантного множества в С}. Возникают задачи качественного анализа такого множества, методов его построения или оценки положения. Наибольшие достижения в этом направлении были достигнуты для линейных систем, в которых ограничения на фазовое состояние задано линейными неравенствами. Аналогичные задачи в нелинейном случае заметно более сложные.

Особую роль в динамических системах играют ограниченные траектории. Такие траектории тесно связаны с периодическими движениями, стабилизирующими свойствами системы, важными переходными режимами в системе. Исследование таких траекторий может идти в рамках понятия инвариантного компактного множества.

Важнейшей целью настоящей работы является построение оценок положения (положительно, отрицательно) инвариантных компактных множеств дискретных систем с управлением и/или возмущением. Это задача качественного анализа динамической системы и, следовательно, тесно связана с качественной теорией динамических систем.

Качественная теория динамических систем — активно развивающаяся область современной математики. Необходимость в исследованиях динамических систем разного типа, не связанных с получением аналитического решения диктуется многими причинами. Во-первых, существование аналитического решения системы дифференциальных или разностных уравнений — не частое явление. Во-вторых, качественные методы позволяют выявить те свойства динамической системы, которые никак не проявляются при численном анализе системы. Наконец, ряд свойств вообще не могут быть установлены численным анализом системы (асимптотические свойства динамических систем, в частности, явления хаоса).

Качественная теория динамических систем важную роль играет в теории управления. Эта теория позволяет провести исследование динамической системы, замкнутой выбранной обратной связью. Также важны качественные исследования систем с управлением, позволяющие выявить возможности выбора управления при наличии ограничений.

Настоящая работа посвящена одному из направлений в качественной теории динамических систем — выявлению и локализации траекторий специального вида, а именно, компактных траекторий. Родоначальником этого направления можно считать А. Пуанкаре, предложившего классические методы качественного исследования предельных циклов системы дифференциальных уравнений.

Новый импульс такого рода исследованиям придало открытие динамических систем с хаотическим поведением, например известных систем Лоренца, Ресслера, Ланфорда и др. Это открытие стимулировало исследования в различных направлениях [40]. В частности, с исследованием аттрактора системы Лоренца связаны первые публикации по локализации [95, 112]. Эти исследования продолжались в течение ряда лет. К задачам локализации можно отнести построение положительно инвариантных множеств, содержащих некоторые сепаратрисы системы Лоренца [35]; анализ асимптотического поведения решений системы Лоренца и нахождение множеств, содержащих глобальный аттрактор системы Лоренца [34,35,37,38,55,58,90-94,104,116]; нахождение множеств, содержащих все периодические траектории [24,25,32,72,73,76,77,114], сепаратрисы и другие траектории [26,31,76,79-81,83]. Особо отметим подход в задачах локализации, который тесно связан с компьютерным моделированием и применением идей символического анализа [42,97]

Множества, содержащие определенные траектории динамической системы, естественно называть локализирующими. Конечно, интерес представляют те методы и результаты, которые позволяют находить как можно более точные локализирующие множества для каждой из структур фазового пространства.

Особый интерес в качественном портрете динамической системы вызывают такие образования, как положения равновесия, предельные циклы, сепаратрисы, аттракторы. Эти структуры можно объединить в рамках понятия компактного инвариантного множества.

Задача построения локализирующих множеств для инвариантных компактов непрерывной динамической системы сформировалась в работах [19,26,31,32]. В этих же работах были очерчены контуры метода построения локализирующих множеств, впоследствии названного функциональным. В серии работ с помощью функционального метода были исследован ряд непрерывных автономных систем со сложным поведением: систем Лоренца [79], Ланфорда [80], системы Пиковского — Рабиновича — Трах-тенгерца [5] и др. [81,82,84,114].

Целью работы является исследование свойств инвариантных компактных множеств в непрерывных и дискретных динамических системах.

Задачами исследования являются:

- разработка функционального метода локализации применительно к дискретным автономным системам;

- разработка функционального метода локализации применительно к дискретным системам с управлением и/или неопределенностью;

- анализ известных динамических систем функциональным методом, как непрерывных, так и дискретных.

Методы исследования. В диссертации применяются методы математической теории управления, теории дифференциальных уравнений, математического анализа.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:

1) функциональный метод локализации для дискретных автономных систем;

2) функциональный метод локализации для дискретных систем с управлением и/или неопределенностью;

3) локализация инвариантных компактов в непрерывных системах (ПРТ-система и система Валлиса);

4) локализация положительно инвариантных, отрицательно инвариантных и инвариантных компактов в дискретных автономных системах (логистическая, система Хенона, система Катала);

5) условия существования и метод построения максимального инвариантного компакта для непрерывных и дискретных динамических систем.

Результаты диссертации носят теоретический характер и являются развитием математической теории управления и качественной теории динамических систем.

Достоверность результатов подтверждена строгими доказательствами и результатами численных расчетов.

Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что теоретические результаты устанавливают важные свойства динамических систем и формируют конструктивные методы качественного исследования динамических систем.

Развитие функционального метода локализации позволяет проводить исследования широкого круга динамических систем, как непрерывных, так и дискретных, которые могут включать управление и/или неопределенности.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на XIV международной конференции Workshop on Dynamics and Control (Москва-Звенигород, Россия, 2007), X Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» им. Е.С. Пятницкого (Москва, Россия, 2008), международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология», посвященной 100-летию JI.C. Понтрягина (Москва, Россия, 2008), заседании Всероссийского научного семинара под рук. акад. C.B. Емельянова и С.К. Коровина (Москва, ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2009), XVII конференции «Математика.

Компьютер. Образование» (Москва, Россия, 2010), Международной конференции по математической теории управления и механике МТУМ-2011 (Суздаль, Россия, 2011), XVIII Международном конгрессе IFAC (Милан, Италия, 2011).

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 05-01-00840, 07-0700223, 08-01-00203, 09-07-00327, 11-01-00733; программы Минобрнауки «Развитие научного потенциала высшей школы», проект РНП 2.1.1.2381; программы Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ (грант НШ-4144.2010.1).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 научных работах [5-23,63,64,74], в том числе в 14 статьях [5,6,8,10,11, 13-19,64,74], опубликованных в журналах из Перечня ведущих научных журналов и изданий ВАК, в научной монографии [21], а также 7 тезисах докладов [7,9,12,20,22,23,63].

Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Стуктура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов и списка литературы. Работа изложена на 206 страницах, содержит 37 иллюстрации. Библиография включает 118 наименования.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Канатников, Анатолий Николаевич

Выводы по главе 5

Включение в дискретную динамическую систему возмущения и/или управления заметно усложняет ее анализ. Это усложнение вызывается неоднозначностью траектории, причем из двух этих факторов управление оказывается более труднопреодолимым. Тем не менее во всех трех случаях (наличие возмущения, наличие управления, наличие и того, и другого) удалось построить теоретическую основу функционального метода. Кроме того, удалось получить условия существования у системы максимального (положительно, отрицательно) инвариантного компакта и предложить итерационную процедуру построения такого компакта.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Канатников, Анатолий Николаевич, 2011 год

1. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1975. 496 с.

2. Горбунов A.B. О методах построения области притяжения динамической системы с ограничениями на состояние // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, №2. С. 283-284.

3. Горбунов A.B., Каменецкий В.А. Метод функций Ляпунова для построения областей притяжения систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 2005. № 10. С. 42-53.

4. Каменецкий В.А. Аппроксимация множества линейной стабилизации //Дифференциальные уравнения. 1997. №3. С. 113-121.

5. Канатников А.Н. Локализация инвариантных компактов ПРТ-системы // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2007. №1. С. 3-18.

6. Канатников А.Н. Использование компьютерной алгебры в задаче локализации инвариантных компактов динамической системы // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2008. №4. С. 3-15.

7. Канатников А.Н. Локализация инвариантных компактов неавтономной системы// Дифференциальные уравнения и топология: тез. докл. Международной конференции, посвященной 100-летию Л.С. Понтрягина. М., 2008. С. 136-137.

8. Канатников А.Н. Функциональный метод локализации инвариантных компактов для дискретных динамических систем // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, №2. С. 301-302.

9. Канатников А.Н. Локализация инвариантных компактов дискретных динамических систем // Математика. Компьютер. Образование: тез. XVII конф. Дубна, 2010. С. 25.

10. Канатников А.Н. Функциональный метод локализации инвариантных компактов в дискретных системах // Дифференциальные уравнения.2010. Т. 46, №11. С. 1601-1611.

11. Канатников А.Н. Локализация инвариантных компактов в дискретных системах // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки.2011. № 1.С. 3-17.

12. Канатников А.Н. Оценки инвариантных компактов в дискретных системах функциональным методом // Межд. конф. по математической теории управления и механике МТУМ-2011: тез. докл. Суздаль, 2011. С. 86-87.

13. Канатников А.Н. Локализация робастно инвариантных компактов в дискретных системах с возмущениями // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2011. №3. С. 3-19.

14. Канатников А.Н. Локализация инвариантных компактов в неопределенных дискретных системах // Дифференциальные уравнения, 2011, Т. 47, №7. С. 987-992.

15. Канатников А.Н., Коровин С.К., Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов дискретных систем // Докл. РАН. 2010. Т. 431, № 3. С. 323-325.

16. Канатников А.Н., Коровин С.К., Крищенко А.П. Максимальные инвариантные компакты динамических систем // Докл. РАН. 2011. Т. 437, №5. С. 609-612.

17. Канатников А.Н., Коровин С.К., Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов дискретных систем с возмущением // Докл. РАН. 2011. Т.438, №6. С. 743-746.

18. Канатников А.Н., Коровин С.К., Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов дискретных систем с управлением // Докл. РАН. 2011. Т. 441, №4. С. 460-463.

19. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов неавтономных систем // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 1. С. 47-53.

20. Канатников А.Н., Крищенко А.П. О функциональном методе локализации инвариантных компактов непрерывных динамических систем //Математика. Компьютер. Образование: тез. XVII конф. Дубна, 2010. С. 26.

21. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Инвариантные компакты динамических систем. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 231 с.

22. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Оценка положения инвариантных компактов в неавтономных непрерывных динамических системах // Межд. конф. по математической теории управления и механике МТУМ-2011: тез. докл. Суздаль, 2011. С. 88-90.

23. Крищенко А.П. Локализация предельных циклов // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31, №11. С. 1858-1865.

24. Крищенко А.П. Области существования циклов // Докл. РАН. 1997. Т. 353, № 1.С. 17-19.

25. Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов динамических систем // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, №12. С. 1597— 1604.

26. Крищенко А.П. Локализация компактных инвариантных многообразий автономных систем // Системный анализ и информационные технологии: Тр. конф. САИТ-2005: В 2 т. Т. 1. Переславль-Залесский, 2005. С. 97-99.

27. Крищенко А.П. Инвариантные компакты и их локализация // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: тез. докл. IX Межд. сем. им. Е.С. Пятницкого. М., 2006. С. 130-131.

28. Крищенко А.П. Построение оценок инвариантных компактов // Межд. конф. по дифференц. уравнениям и динамическим системам: тез. докл. Владимир, 2006. С. 131-132.

29. Крищенко А.П. Компактные инвариантные множества нелинейных систем // Системный анализ и информационные технологии: Тр. конф. САИТ-2007: В 2 т. Т. 1. Обнинск, 2007. С. 33-34.

30. Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов автономных систем // Нелинейная динамика и управление. Вып. 6. М.: Физматлит, 2008.

31. Крищенко А.П., Шальнева С.С. Задача локализации для автономных систем // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34, №11. С. 14951500.

32. Крищенко А.П., Шальнева С.С. Локализация предельных циклов и сепаратрис // Межд. конф. по проблемам управления: тез. докл.: В 3 т. Т. 1.М., 1999. С. 52-54.

33. Леонов Г.А. О глобальной устойчивости системы Лоренца // Прикладная математика и механика. 1983. Т. 47, № 5. С. 861-863.

34. Леонов Г.А. Об одном способе построения положительно инвариантных множеств для системы Лоренца // Прикладная математика и механика. 1985. Т.49, №5. С. 860-863.

35. Леонов Г.А. Об оценках аттракторов системы Лоренца // Вестник ЛГУ. 1988. Сер. 1. Вып. 1. С. 32-37.

36. Леонов Г.А. Об асимптотическом поведении решений системы Лоренца // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 12. С. 2103-2109.

37. Леонов Г.А. Оценки аттракторов и существование гомоклинических орбит в системе Лоренца // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65, №1. С. 21-35.

38. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение // Странные аттракторы: сб. статей. М.: Мир, 1981. С. 88-116.

39. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004. 320 с.

40. Морозов А.Д., Драгунов Т.Н. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем. М.-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2003. 204 с.

41. Осипенко Г.С., Ампилова М.Б. Введение в символический анализ динамических систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005. 237 с.

42. Пиковский А.С., Рабинович М.И., Трахтенгерц В.Ю. Возникновение стохастичности при распадном ограничении параметрической неустойчивости // ЖЭТФ. 1978. Т. 74. С. 1366-1374.

43. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.: URSS, 2010. 304 с.

44. Хенон М. Двумерное отображение со странным аттрактором // Странные аттракторы: сб. статей. М.: Мир, 1981. С. 152-163.

45. Шарковский А.Н. Динамика одномерных отображений / А.Н. Шар-ковский, С.Ф. Коляда, А.Г. Сивак, В.В. Федоренко. Киев: Наук, думка, 1989.216 с.

46. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наук, думка, 1986. 280 с.

47. Alberto L.F.C., Calliero T.R., Martins А.С.Р. An invariance principie for nonlinear discrete autonomous dynamical systems // IEEE Trans. Autom. Control. 2007. V. 52, No 4. P. 692-697.

48. Artstein Z., Rakovic S.V. Feedback and invariance under uncertainty via set-iterates // Automática. 2008. V.44. P. 520-525.

49. Bertsekas D. Infinite-time reachability of state-space regions by using feedback control // IEEE Trans. Autom. Control, 1972. V. 17, No 5. P. 604-613.

50. Blanchini F. Set invariance in control // Automatica, 1999. V.35, Noll. P. 1747-1767.

51. Blanchini F., Miani S. Set-theoretic methods in control. Boston: Birkhauser, 2008. 481 p.

52. Bravo J.M., Alamo T., Camacho E.F. Robust MPC of constrained discrete-time nonlinear systems based on approximated reachable sets // Automatica. 2006. V. 42. P. 1745-1751.

53. Chebana D., Mammanab C. Invariant manifolds, global attractors and almost periodic solutions of nonautonomous difference equations //Nonlinear Analysis. 2004, V. 56. P. 465^184.

54. Doering C.R., Gibbon J.D. On the shape and dimension of the Lorenz attractor // Dynamics and Stability of Systems. 1995. V. 10, No3. P. 255268.

55. Dórea C.E.T., Hennet J.C. (A,B)-Invariant polyhedral sets of linear discrete-time systems // Journal of optimization theory and applications. V. 103, No 3. P. 521-542.

56. Fiacchini M., Alamo T., Camacho E.F. On the computation of convex robust control invariant sets for nonlinear systems // Automatica. 2010, V. 46. P. 1334-1338.

57. Giacomini H., Neukirch S. Integral of motion and the shape of the attractor for the Lorenz model // Phys. Lett. A. 1997. V. 240. P. 157-160.

58. Hassard B., Kazarinoff N.D., Wan Y.H. Theory and Applications of Hopf Bifurcations. Cambridge: Cambridge University Press, 1981. 320 p.

59. Hopf E. A mathematical example displaying the feature of turbulance // Comm. Pure Appl. Math. 1948. V. 1. P. 303-322.

60. Hurt J. Some stability theorems for ordinary difference equations // SIAM. J. Numer. Anal. 1967. V. 4. P. 582-596.

61. Jiang Z.-P., Wang Y. A converse Lyapunov theorem for discrete-time systems with disturbances // Syst. & Control Let. 2002. V. 45. P. 49-58.

62. Kanatnikov A.N., Krishchenko A.P. Estimation of compact invariant sets of nonlinear dynamical systems // 14-th Int. Workshop on Dynamics & Control: abstracts. Moscow-Zvenigorod, 2007. P. 42.

63. Kanatnikov A.N., Krishchenko A.P. Localization of compact invariant sets of discrete-time nonlinear systems // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2011. V. 21, No7. P. 2057-2065.

64. Kanso A. Controlled Henon system and its cryptographic applications // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2010. V. 20, No 8. P. 2487-2506.

65. Kerrigan E.C., Maciejowski J.M. Invariant sets for constrained nonlinear discrete-time systems with application to feasibility in model predictive control // Proceedings of the 39rd IEEE Conf. on Decision and Control. Sydney, 2000. V. 5. P. 4951^956.

66. Kloeden P.E. Non-autonomous systems, cocycle attractors and variable time-step discretization //Numer. Algorith. 1997. V. 14. P. 141-152.

67. Kloeden P.E., SchmalfuB B. Lyapunov functions and attractors under variable time-step discretization // Discr. Contin. Dyn. Syst. 1996. V. 2. P. 163-172.

68. Kloeden P.E., Marin-Rubio P. Negatively Invariant Sets and Entire Trajectories of Set-Valued Dynamical Systems // Set-Valued and Variational Analysis. 2011. V. 19, No 1. P. 43-57.

69. Kloeden P.E., Marin-Rubio P. Negatively Invariant Sets and Entire Solutions //J. Dyn. Diff. Equat. DOI: 10.1007/sl0884-010-9196-8.

70. Kolmanovsky I., Gilbert E.G. Theory and computation of disturbance invariant sets for discrete-time linear systems // Mathematical problems in engineering, 1998. V.4. P. 317-367.

71. Krishchenko A.P. Estimations of domains with cycles // Computers & Mathematics with Applications. 1997. V. 34, No 2-4. P. 325-332.

72. Krishchenko A.P. Estimations of domains with limit cycles and chaos // Proceedings of the 1st Intern. Conf. Control of oscillations and chaos. St. Petersburg, 1997. V. 1. P. 121-124.

73. Krishchenko A.P., Kanatnikov A.N. Maximal compact positively invariant sets of discrete-time nonlinear systems // IFAC 18th World Congress: proceedings. Milan, 2011. P. 12521-12525.

74. Krishchenko A.P., Shalneva S.S. Localization problem for limit cycles of Chua circuit // Proceedings of the 6th IEEE International Conference on Electronics, Circuits and Systems. 1999. V. 2. P. 647-650.

75. Krishchenko A.P., Shalneva S.S. Localizing limit cycles, separatrices and homoclinic structutes // Proceedings of the 2nd Intern. Conf. on Control of Oscillations and Chaos. St. Petersburg, 2000. V. 1. P. 48-51.

76. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Iteration method of the localization of periodic orbits // Proceedings of the 2nd International Conference Physics and Control. St. Petersburg, 2005. P. 602-608.

77. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Estimation of a Domain Containing All Invariant Compacts of the Lorenz System // Proceedings of the Int. Symposium on Trends in Appl. of Math, and Mech. (STAMM). Vienna, 2006. P. 81-82.

78. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Localization of compact invariant sets of the Lorenz system // Phys. Lett. A. 2006. V. 353, No 5. P. 383-388.

79. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Localization of compact invariant sets of nonlinear systems with application to the Lanford systems // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2006. V. 16, No 11. P. 3249-3256.

80. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Estimation of the domain containing all compact invariant sets of a system modelling the amplitude of a plasma instability // Phys. Lett. A. 2007. V. 367, No 1. P. 65-72.

81. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Localization of compact invariant sets of nonlinear time-varying systems // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2008, V. 18,No5.P. 1599-1604.

82. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Localization analysis of compact invariant sets of multi-dimensional nonlinear systems and symmetrical prolongations // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2010. V. 15, No 5. P. 11591165.

83. Kulenovic M.R.S., Merino O. Invariant manifolds for competitive discrete systems in the plane // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2010. V. 20, No 8. P. 2471-2486.

84. Kuntsevich V.M., Pokotilo V.G. Invariant set stability in discrete non-linear systems // J. Appl. Math. Mech. 1994. V. 58, No 5, P. 815-823.

85. Lamb W.E. Jr. Theory of an optical maser // Phys. Review. 1964. V. 134, N6A.P. A1429-A1450.

86. Lazar M., Heemels W.P.M.H., Teel A.R. Lyapunov functions, stability and input-to-state stability subtleties for discrete-time discontinuous systems // IEEE Trans. Autom. Control. 2009. V. 54, No 10. P. 2421-2425.

87. Leonov G.A., Bunin A.I., Koksch N. Attraktorlokalisierung des LorenzSystems // Zeitchrift angewandte Mathematik und Mechanik. 1987. V. 67, No 12. P. 649-656.

88. Leonov G.A., Burkin I.M., Shepeljavyi A.I. Frequency Methods in Oscillation Theory. Dordrecht; Boston: Kluwer, 1996. 403 p.

89. Leonov G.A., Ponomarenko D.V., Smirnova V.B. Frequency-DomainMethods for Nonlinear Analysis: Theory and applications. Singapore: World Sei., 1996. 498 p.

90. Leonov G.A., Reitmann V. Attraktoreingrenzung fur nichtlineare System. Leipzig: Teubner-Verlag, 1987. 196 p.

91. Estimating the bounds for the Lorenz family of chaotic systems / D. Li, J. Lu, X. Wu, G. Chen // Chaos, Solitons and Fractals. 2005. V.23, No2. P. 529-534.

92. Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow // J. Atmospheric Sei. 1963. V. 20, No 2. P. 130-141.

93. Mallet-Paret J. Negatively invariant sets of compact maps and an extension of a theorem of Cartwright // J. Differ. Equ. 1976. V. 22. P. 331-348.

94. Matiyasevich D.Yu. Localization of Invariant Sets of Dynamical Systems // J. Math. Sei. 2004. V. 124, No 3. P. 4990-5000.

95. Mira Ch. Chaos and fractal properties induced by noninvertibility of models in the form of maps // Chaos, Solitons and Fractals. 2000. V. 11. P. 251-262.

96. Chaotic dynamics in two-dimensional noninvertible maps / Ch. Mira h Ap. Singapore: World Sei., 1996. 607 p.

97. Neukirch S. Integrals of motion and semipermeable surfaces to bound the amplitude of a plasma instability // Phys. Rev. E. 2001. V. 63, No3. P. 036202-036208.

98. Nicolov S., Bozhkov B. Bifurcations and chaotic behavior on the Lanford system // Chaos, Solitons and Fractals. 2004. V. 21. P. 803-808.

99. Ong Ch.-J., Gilbert E.G. The minimal disturbance invariant set: Outer approximations via its partial sums // Automatica. 2006. V.42. P. 15631568.

100. Pikovskii A.S., Rabinovich M.I., Trakhtengerts V.Y. Onset of stochasticity in decay confinement of parametric instability // Sov. Phys. JETP. 1978. V.47, No4. P. 715-719.

101. Pogromsky A.Yu., Santoboni G., Nijmeijer H. An ultimate bound on the trajectories of the Lorenz system and its applications //Nonlinearity. 2003. V.16.P. 1597-1605.

102. Rabbath C.A., Lechevin N., Hori N. On Discrete-Time Models of Linear and a Class of Nonlinear Systems // Proceedings of the 40th IEEE Conf. on Decision and Control, Orlando (USA), 2001. P. 322-327.

103. Rakovic S.V, Baric M. Local Control Lyapunov Functions for Constrained Linear Discrete-Time Systems: The Minkowski Algebra Approach // IEEE Trans. Autom. Control. 2009. V. 54, No 11. P. 2686-2692.

104. Computation of Invariant Sets for Piecewise Affine Discrete Time Systems subject to Bounded Disturbances / S.V. Rakovic h Ap. // Proceedings of the 43rd IEEE Conference on Decision and Control. Atlantis, 2004. V. 2, P. 1418-1423.

105. Invariant approximations of robustly positively invariant sets for constrained linear discrete-time systems subject to bounded disturbances S.V. Rakovic h «p. // Technical Report CUED/F-INFENG/TR.473. Dep. of Engineering, Univ. of Cambridge, 2004.

106. Reachability Analysis of Discrete-Time Systems With Disturbances / S.V. Rakovic h ap. H IEEE Transactions on Automatic Control. 2006. V. 51, No 4. P. 546-561.

107. Optimized robust control invariance for linear discrete-time systems: Theoretical foundations / S.V. Rakovic h flp. // Automatica. 2007. V. 43. P. 831-841.

108. Rockafellar R., Wets R. Variational analysis. Berlin: Springer-Verlag, 1998. 734 p.

109. Sparrow C. The Lorenz equations: bifurcations, chaos and strange attrac-tors. Berlin: Springer, 1982. 269 p.

110. Starkov K.E., Krishchenko A.P. Ellipsoidal Estimates for Domains Containing all Periodic Orbits of General Quadratic Systems // Proceedings of 16th Int. Conf. MTNS. Leuven, 2004. Paper N. 306 CD-ROM.7

111. Starkov K.E., Krishchenko A.P. Localization of periodic orbits of polynomial systems by ellipsoidal estimates // Chaos, Solitons and Fractals. 2005. V. 23, No 3. P. 981-988.

112. Strozzi D. On the origin of interannual and irregular behavior in the El Niño properties: SrTh PHY. Princeton University, 1999. 52 p.

113. Swinnerton-Dyer P. Bounds for trajectories of the Lorenz system: an illlusatration of how to choose Liapunov functions // Phys. Lett. A. 2001. V. 281, No2-3. P. 161-167.

114. Vallis G.K. Conceptual models of El Niño and the southern oscillation //Journal of Geophysical Research. 1988. V. 98, No CI 1. P. 13979-13991.

115. Controlled Invariance of Discrete Time Systems / R. Vidal h ,np. // Hybrid Systems: Computation and Control. Berlin: Springer, 2000. P. 437-451.