Методика преподавания элективного курса "Элементы дискретной математики" с использованием информационно-коммуникационных технологий для учащихся естественно-математического профиля обучения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат наук Алфимова, Анастасия Сергеевна

• Алфимова, Анастасия Сергеевна
• кандидат наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат наук Алфимова, Анастасия Сергеевна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ 1 з

ЭЛЕМЕНТАМ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ НА ЭЛЕКТИВНОМ КУРСЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

1.1. Профильное обучение как одно из направлений современной модернизации образования

1.2. Роль дискретной математики в школьном обучении

1.3. Применение информационно-коммуникационных технологий 40 в процессе обучения математике в общеобразовательной школе

Выводы по главе I

ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭЛЕКТИВНОГО

КУРСА «ЭЛЕМЕНТЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ» ДЛЯ УЧАЩИХСЯ ЕСТЕСТВЕННО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ ОБУЧЕНИЯ

2.1. Содержание элективного курса «Элементы дискретной математики»

2.2. Информационно-коммуникационные технологии в преподавании 83 элективного курса «Элементы дискретной математики»

2.3. Методические особенности организации занятий по курсу 97 «Элементы дискретной математики» с применением ИКТ

2.4. Организация педагогического эксперимента и его результаты

Выводы по главе II

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Литература

Приложение А. Некоторые термины понятийного аппарата 188 информатизации образования

Приложение Б. Анкеты для проведения педагогического эксперимента

Приложение В. Скриншоты электронного учебного пособия

Приложение Г. Пример презентации из электронного учебного пособия

Приложение Д. Рекомендации к решению задач по теме 7

«Основные понятия теории графов»

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика преподавания элективного курса "Элементы дискретной математики" с использованием информационно-коммуникационных технологий для учащихся естественно-математического профиля обучения»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования. В современный период развития общества образование рассматривается как условие для самоопределения и саморазвития человека. В силу этого меняется и его парадигма - от «образования на всю жизнь» к «образованию через всю жизнь». Обучающийся должен овладеть учебными стратегиями и освоить систему образовательной деятельности, конструируя собственную траекторию обучения и взаимодействуя с другими участниками образовательного процесса и окружающим миром как активная и творческая личность. В связи с этим особенно важно формировать умение учиться, то есть развивать у школьников общеучебные умения.

Профильное обучение, предусмотренное на старшей ступени общего образования, призвано создавать условия для качественной дифференциации обучения старшеклассников. В систему профильного обучения включаются базовые общеобразовательные, профильные и элективные курсы. Элективные курсы играют важную роль при решении задач дифференциации обучения, могут поддерживать изучение основных профильных предметов на заданном стандартом уровне или служить для внутрипрофильной специализации обучения.

Однако, как показали наблюдения за организацией учебного процесса в школах и анкетирование учителей в процессе исследования, достаточно часто предлагаемые в школах элективные курсы (в том числе и по математике) преподаются номинально: дополнительное учебное время расходуется в основном на более тщательное изучение программы основного курса. Среди множества причин этого явления наиболее значимой с точки зрения нашего исследования является нехватка готовых, разработанных математиками и методистами программ и учебных пособий по преподаванию элективных курсов. Поэтому созданию соответствующего учебно-методического обеспечения необходимо уделять особое внимание.

Проблемам, связанным с ролью элективных курсов, их типологией и задачами, конструированием содержания элективных курсов и требованиями к разработке соответствующих учебно-методических материалов для различных профилей, посвящены исследования В.В. Бесценной, Д.С. Ермакова, П.С. Лернера,

Е.Ю. Лукичёвой, А.Г. Каспржака, Г.А. Клековкина, Л.П. Конновой, Ю.К. Нимировской, Т.К. Смыковской и др.

Трудности конструирования элективных курсов по математике связаны, прежде всего, с недостаточным количеством учебно-методической литературы по относительно новым для школьного курса разделам математики, в частности, по дискретной математике. Между тем дискретная математика и смежные с ней разделы являются эффективным аппаратом формализации современных инженерных задач, связанных с дискретными объектами. Особую роль дискретная математика играет при изучении информатики, теоретической основой которой она является. Таким образом, разрабатывая программы новых элективных курсов для общеобразовательной школы, нельзя обойти вниманием основные разделы дискретной математики, которая, наряду с непрерывной, важна для формирования общей математической культуры учащихся, их представлений об окружающем мире и современной науке и будет востребована в дальнейшем при обучении в вузах.

Проведённый в начале исследования анализ государственных стандартов, программ по математике и информатике для средней школы и школьных учебников показал, что, наряду с непрерывной математикой, в них содержатся элементы дискретной математики. Однако разделы, чаще всего относимые к дискретной математике, наиболее полно рассматриваются в профильном курсе информатики: дискретное (цифровое) представление информации, математическое моделирование, системы счисления, логика, графы, элементы теории алгоритмов. В связи с тем, что в учебном плане не всех специализаций естественно-математического профиля, который мы рассматриваем в соответствии с темой диссертационного исследования, изучение предмета «Информатика и ИКТ» предусмотрено на профильном уровне, возможна ситуация, при которой учащиеся, ориентированные на использование математических знаний при обучении в вузе и в будущей профессии, будут фактически лишены возможности знакомства с её значительным разделом - дискретной математикой. Одним из возможных путей рассмотрения вопросов, не включенных в фундаментальное ядро содержания общего образования, является введение элективных курсов. Таким образом, разработка элективных курсов по дискретной математике является на сегодняшний день актуальной задачей.

Некоторые составляющие проблемы отбора содержания обучения дискретной математике в школе были рассмотрены в работах А.Я. Блоха, Н.Я. Виленкина,

B.А. Вышенского, JLA. Калужнина и др. Методике изложения отдельных тем дискретной математики посвящены работы И.И. Баврина, М.П. Барболина, Л.Ю. Березиной, С.И. Васильева, В.Ф. Волгиной, Б.В. Гнеденко, Е.И. Деза, Т.В. Малковой, В.Л. Матросова, В.М. Монахова, В.А. Стукалова, К.Я. Хабибуллина и др. Исследованию проблем преемственности преподавания дискретной математики в школе и вузе посвящены диссертационные исследования и ряд публикаций О.И. Мельникова, Е.А. Перминова, на различных ступенях школьного обучения - Л.П. Конновой и др.

Вместе с тем элективный курс как новая форма организации занятий с учащимися старших классов имеет свою специфику и по целям обучения, и по используемым методам, и по количеству времени, отведённому на его преподавание. Однако практическая реализация обучения старших школьников элементам дискретной математики, учитывающая особенности элективных курсов, остаётся ма-лоразработанной.

В современных условиях в соответствии с целями, стоящими перед элективными курсами, акценты методики их проведения смещаются в сторону формирования умений, в том числе общеучебных, через активную самостоятельную деятельность учащихся. В этом случае обучение целесообразно строить на основе применения информационно-коммуникационных технологий (ИКТ). Подтверждением такой позиции служит ряд целей и задач обучения, сформулированных в Национальной доктрине образования Российской Федерации: непрерывность образования в течение всей жизни, формирование навыков самообразования, создание программ, реализующих ИКТ в образовании.

Вопросам использования ИКТ в среднем и высшем образовании посвящены работы таких ученых, как Н.С. Анисимова, С.А. Бешенков, О.В. Виштак,

C.Г. Григорьев, С .А. Жданов, О.В. Зимина, C.B. Зенкина, А.Ю. Кравцова,

A.A. Кузнецов, С.И. Макаров, В.Л. Матросов, Е.И. Машбиц, И.В. Роберт,

B.А. Трайнёв и др. В этих работах показано, что именно применение ИКТ позволяет эффективно организовывать самостоятельную деятельность учащихся, дифференциацию обучения, повысить качество обучения. Однако, как показал анализ

имеющихся средств ИКТ для преподавания элективных курсов по математике (в частности, зарегистрированных в Объединённом фонде электронных ресурсов «Наука и образование»), их количество всё ещё незначительно, а реализация не всегда учитывает методические возможности современных средств ИКТ. В результате анализа соответствующей литературы было выявлено, что методика применения электронных средств учебного назначения для преподавания элективных курсов по математике также недостаточно разработана.

Итак, актуальность исследования обусловлена противоречиями между:

- потребностью в интересных, тщательно разработанных и методически обеспеченных элективных курсах по математике для профильных классов и недостаточным количеством реально существующих научно обоснованных методических разработок в этой области;

- необходимостью совершенствования методов, форм и средств, повышающих эффективность обучения математике в условиях информатизации образования, и недостаточной разработанностью методики использования электронных образовательных ресурсов в процессе преподавания математики в рамках элективных курсов.

Таким образом, проблема исследования заключается в выявлении возможностей создания методического обеспечения элективного курса «Элементы дискретной математики» с использованием информационно-коммуникационных технологий для учащихся классов естественно-математического профиля.

Объект исследования - процесс обучения математике на элективных курсах.

Предмет исследования - процесс обучения элементам дискретной математики на элективном курсе в классах естественно-математического профиля с использованием информационно-коммуникационных технологий.

Целью исследования является разработка методики преподавания элективного курса «Элементы дискретной математики» для классов естественно-математического профиля с использованием информационно-коммуникационных технологий.

Гипотеза исследования: процесс обучения элементам дискретной математики в рамках элективного курса будет более успешным, если

- в качестве методологической основы построения элективного курса будут выступать деятельностный и личностно-ориентированный подходы, которые позволят создать благоприятные психолого-педагогические условия для усвоения школьниками содержания обучения, обусловленного целями элективного курса «Элементы дискретной математики»;

- методика преподавания элективного курса будет основана на использовании специально разработанного электронного учебного пособия (ЭУП), обеспечивающего активизацию учебной деятельности школьников (самостоятельное изучение теоретического материала, поиск методов решения задач, в том числе и с помощью интерактивных моделей, самоконтроль и рефлексию, поддержку проектной и исследовательской деятельностей).

Для достижения поставленной цели и проверки выдвинутой гипотезы необходимо было решить следующие задачи исследования:

- выявить возможности, цели создания элективных курсов по математике для решения современных проблем образования, требования к их содержанию и методике проведения;

- отобрать доступное учащимся классов естественно-математического профиля содержание элективного курса «Элементы дискретной математики», а также методы и формы его проведения;

- создать специальное средство обучения элементам дискретной математики на элективном курсе - электронное учебное пособие «Элементы дискретной математики»;

- разработать методику преподавания элективного курса «Элементы дискретной математики» с применением созданного электронного учебного пособия и экспериментально проверить её эффективность.

Для решения поставленных задач и достижения цели были привлечены следующие методы исследования:

- изучение и анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по исследуемой проблеме;

- изучение нормативных и программно-методических документов в области математического образования, анализ содержания школьных программ,

учебников, учебных пособий по математике и информатике, изучение и обобщение педагогического опыта;

- наблюдение, анкетирование, беседы с учащимися и школьными учителями;

- проведение педагогического эксперимента для проверки эффективности предложенной методики и основных положений исследования.

В качестве методологической и теоретической основы исследования использовались:

- положения Национальной доктрины образования Российской Федерации, Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования;

- теоретико-методологические и методические положения профильного обучения (A.B. Баранников, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, А.Г. Каспржак, Ю.М. Колягин, A.A. Кузнецов, Н.С. Пурышева, Н.Ф. Родичев, И.М. Смирнова, М.В. Ткачёва и др.);

- теории деятельностного и личностно-ориентированного подходов к обучению (Л.И. Боженкова, М.Б. Волович, ПЛ. Гальперин, В.В. Давыдов, О.Б. Епишева, И.А. Зимняя, А.Н. Леонтьев, Г.Л. Луканкин, Н.Д. Кучугурова, С.Л. Рубинштейн, Н.Ф. Талызина, И.С. Якиманская и др.);

- исследования по вопросам информатизации образования, использования электронных образовательных ресурсов в учебном процессе (Я.А. Ваграменко, С.Г. Григорьев, C.B. Зенкина, С.А. Жданов, A.A. Кузнецов, В.Л. Матросов, И.В. Роберт, В.А. Трайнёв и др.). Научная новизна исследования состоит в том, что в нём:

выявлены педагогические особенности и возможности элективных курсов, преподавание которых осуществляется с помощью ИКТ, в частности, электронных учебных пособий; определены условия использования электронных учебных пособий при проведении элективных курсов по математике; разработана методика преподавания элективного курса «Элементы дискретной математики» в условиях применения ИКТ; предложено авторское электронное учебное пособие «Элементы дискретной математики» для проведения элективного курса в классах естественно-математического профиля обучения.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что в нём:

обоснована необходимость изучения элементов дискретной математики учащимися старших классов естественно-математического профиля обучения; сформулированы критерии отбора содержания элективного курса «Элементы дискретной математики»; разработаны методические требования к электронному учебному пособию для преподавания элективного курса по математике (структурированность информации, обеспечение оперативного доступа к отдельным элементам теоретического материала, реализация методов и форм работы, характерных для элективных курсов по математике, обеспечение контроля результатов учебного процесса, трансформируемость и настраиваемость); доказана успешность применения языка XML и сопутствующих технологий в образовательных целях, а также возможность использования технологии XML при создании электронного учебного пособия для преподавания элективного курса по математике.

Практическая значимость исследования определяется тем, что разработаны и экспериментально проверены учебные материалы для проведения элективного курса «Элементы дискретной математики» для учащихся естественно-математического профиля обучения. В них вошли: математические задачи по курсу «Элементы дискретной математики», обеспечивающие усвоение материала и формирование общеучебных умений; учебное пособие «Элементы теории графов», включающее теоретический материал, комплект тренировочных упражнений и задач для самостоятельной работы учащихся; электронное учебное пособие для преподавания разработанного элективного курса, включающее специально отобранный теоретический материал, задачи, тесты, самостоятельные и контрольные работы, дополнительные материалы по курсу, рекомендации для ученика; методические рекомендации для учителей по организации обучения с использованием разработанных материалов; материалы для обучения учителей математики конструированию электронных учебных пособий, удовлетворяющих сформулированным требованиям, с применением языка XML и сопутствующих технологий.

Результаты диссертационного исследования могут быть использованы преподавателями педагогических вузов при обучении будущих учителей математики для работы в профильных классах, при подготовке слушателей курсов повышения квалификации работников образования. На основе созданного электронного учеб-

ного пособия могут быть разработаны электронные учебные пособия для преподавания других элективных курсов по математике.

Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечивается исходными методологическими позициями, опорой на существующий терминологический аппарат, основные положения современных психолого-педагогических подходов и концепций; использованием теоретических и экспериментальных методов, соответствующих целям, задачам, предмету исследования; соблюдением норм и требований, предъявляемых к исследованию, а также объёмом исследованного материала и результатами педагогического эксперимента.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Выявленные педагогические особенности и возможности элективных курсов по математике показали, что они обладают всеми необходимыми условиями для применения ИКТ, в частности, электронных учебных пособий, в процессе их преподавания.

2. Электронное учебное пособие для преподавания предметного элективного курса по математике должно разрабатываться с учётом следующих методических требований: структурированности информации; обеспечения оперативного доступа к отдельным элементам теоретического материала; реализации методов и форм работы, характерных для элективных курсов по математике; обеспечения контроля результатов учебного процесса; трансформируемости и настраиваемости.

В этом случае электронное учебное пособие учитывает специфику математических элективных курсов, обеспечивает организацию самостоятельной работы учащихся, дифференциацию и индивидуализацию обучения и выступает одним из условий эффективного обучения.

3. При разработке электронного учебного пособия для преподавания элективного курса по математике целесообразно использовать язык XML, удовлетворяющий сформулированным требованиям к технологии, а именно: доступность для освоения учителем, не обладающим навыками программирования, но имеющим базовые знания в области ИКТ; обеспечение необходимых возможностей представления информации в виде математических формул, графики, анимаций,

видео и звука, создания интерактивных элементов, организации контроля знаний учащихся; стандартность, свободная распространяемость, отсутствие необходимости технической поддержки третьими лицами; кроссплатформенность.

4. Разработанная методика преподавания элементов дискретной математики в рамках элективного курса, основанная на применении авторского электронного учебного пособия, позволяет организовать индивидуальную работу учащихся и работу в малых группах, применять метод проектов для повышения эффективности учебного процесса и развития общеучебных умений: организационных (планирование, контроль, оценка), информационных (поиск и выделение необходимой информации, структурирование знаний, выбор способа решения задачи в зависимости от конкретных условий или требований, построение модели и её преобразование) и интеллектуальных (подведение под понятие и выведение следствий).

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные результаты исследования получили отражение в сообщениях и докладах на заседаниях методического объединения учителей математики гимназии № 1549 СЗАО г. Москвы, на заседаниях кафедры теории и методики обучения математике математического факультета МПГУ (2006-2011), на научно-методических конференциях МПГУ (2006, 2009, 2010), на XI Международной научно-технической конференции «Информационно-вычислительные технологии и их приложения» (г. Пенза, 2009), на Международной научно-практической конференции «Развитие отечественной системы информатизации образования в здоровьесберегающих условиях» (г. Москва, 2009), на Международной научной конференции «63-и Герценовские чтения» (г. Санкт-Петербург, 2010), на Международной научно-практической конференции «Новые информационные технологии в образовании» (г. Улан-Удэ, 2010), на Всероссийском съезде учителей математики в МГУ (г. Москва, 2010), на Всероссийской конференции, посвящённой 110-летию математического факультета МПГУ (г.Москва, 2011), на Всероссийском съезде учителей информатики в МГУ (г.Москва, 2011), на Международной конференции «Информационные технологии в образовании и науке» (г.Самара, 2011), на IV Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Теоретические и прикладные аспекты личностно-профессионального развития» (г. Омск, 2011), на III

Международной научной конференции «Актуальные проблемы и современное состояние общественных наук в условиях глобализации» (г. Москва, 2011), на Международной заочной научно-практической конференции «Наука сегодня: теоретические аспекты и практика применения» (г. Тамбов, 2011).

Кроме этого, результаты исследования докладывались и обсуждались на научно-методическом семинаре «Актуальные проблемы преподавания математики и информатики в школе и педагогическом вузе» (руководитель - действ, чл. РАН, действ, чл. РАО, д.ф.-м.н., проф. В.Л. Матросов; МПГУ, 2010).

Внедрение результатов исследования в практику обучения осуществлялось в процессе преподавания:

- элективного курса «Элементы дискретной математики» учащимся старших классов ГБОУ гимназия № 1549 СЗАО г. Москвы (2007-2011);

- факультативного курса «Элементы дискретной математики» студентам ГБОУ СПО Педагогический колледж №18 «Митино» (2009-2011);

- курса «Информационные технологии в науке и образовании» магистрантам 1-го курса, обучающимся по программам «Математический анализ», «Алгебра», «Геометрия и топология» в ФГБОУ ВПО МПГУ (2011-2012).

По теме диссертации опубликовано 18 работ, в том числе 1 учебное пособие и четыре статьи в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России. Разработанное электронное учебное пособие «"Элементы дискретной математики" (элективный курс для классов естественно-математического профиля)» зарегистрировано в Объединённом фонде электронных ресурсов «Наука и образование» (свидетельство № 17342 от 21.07.2011).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и четырёх приложений. Общий объём работы 225 е., основной текст составляет 187 с, 38 с. занимают приложения. Список литературы содержит 210 наименований.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАМ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ НА ЭЛЕКТИВНОМ КУРСЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

1.1. Профильное обучение как одно из направлений современной модернизации образования

1.1.1. Одной из важнейших черт современного развития России, указанных в Национальной доктрине образования в Российской Федерации [119], является модернизация отечественного образования, повышение его роли и значимости. В Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года роль образования на современном этапе развития страны определяется необходимостью преодоления опасности отставания России от мировых тенденций экономического и социального развития [83]. Особенностью сегодняшнего этапа развития России является то, что происходящие в стране социально-экономические преобразования совпали по времени с общемировыми тенденциями перехода от индустриального к информационному обществу. «Стратегическая задача развития школьного образования в настоящее время заключается в обновлении его содержания, методов обучения и достижении на этой основе нового качества его результатов. Основные причины, ставящие задачу развития образования в центр государственной образовательной политики, - это поворот к личности обучаемых (развитие личности -смысл и цель современного образования) и развитие процессов глобализации. Для России как части мирового сообщества это еще и новые требования формирующегося информационного общества к системе образования» [83].

К числу важнейших задач модернизации школьного образования следует отнести задачу разностороннего развития детей, их творческих способностей, умений и навыков самообразования, формирования у молодёжи готовности адаптироваться к меняющимся социальным условиям жизни общества. Решение этих задач невозможно без дифференциации содержания школьного образования. Дифференциация содержания, организационных форм, методов обучения в зависимости от познавательных потребностей, интересов и способностей учащихся важна на всех этапах обучения, но особенно актуальна на старшей ступени школьного образования [141].

Разрабатываемые в настоящее время образовательные стандарты второго поколения опираются на деятельностную парадигму образования, постулирующую в качестве цели образования развитие личности учащегося на основе освоения универсальных способов деятельности. При этом процесс учения понимается не только как усвоение системы знаний, умений и навыков, составляющих инструментальную основу компетенций учащегося, но и как процесс развития его личности.

В связи с этим актуальны деятельностныи и личностно-ориентированныи подходы к процессу обучения. Личностно-ориентированный подход (М.Н. Беру-лава, Е.В. Бондаревская, В.В. Сериков, И.С. Якиманская и др.) в широком смысле предполагает, что все психические процессы, свойства и состояния рассматриваются как принадлежащие конкретному человеку. Деятельностный подход основывается на теоретических положениях концепции Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, Д.Б. Эльконина, П.Я. Гальперина, раскрывающих основные психологические закономерности процесса обучения и воспитания, структуру образовательной деятельности учащихся с учётом общих закономерностей онтогенетического возрастного развития детей и подростков. Деятельностный подход исходит из того, что психологические особенности человека есть результат трансформации внешней предметной деятельности во внутреннюю психическую деятельность путём последовательных преобразований. Таким образом, личностное, социальное, познавательное развитие учащихся определяется характером организации их деятельности, в первую очередь учебной [72].

Особую роль в методике обучения математике и других предметов на современном этапе играет формирование у учащихся умения учиться, то есть развитие общеучебных умений. Термин «общеучебные умения» не является новым в педагогической литературе. Уже в 80-х гг. XX века развитию общеучебных умений на уроках математики уделялось значительное внимание (Л.О. Денищева [58], Кондрашенкова Т.А, Никольская И.Л. [80], Лошкарёва H.A., Лурье И.А. [97], Якиманская И.С. [186] и др.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Алфимова, Анастасия Сергеевна, 2012 год

Список литературы

1. Алфимова A.C. Элементы теории графов. Учебное пособие для учашихся классов физико-математического профиля школ, гимназии, лицеев. - М.: МПГУ. 2009. - 70 с.

2. Березина Л.Ю. Графы и их применение: Пособие для учителей. - М.: Просвещение. 1979. - 144 с.

3. Бунимович Е.А. Основы статистики и вероятность. 5-9 кл.: Пособие дтя обшеобразоват учреждений. - М.: Дрофа. 200S. - 2SS с.

4. Внленкпн Н.Я. и др. Комбинаторика. - М.: ФПМА. МЦНМО. 2006. - 400 с.

5. Гаврнлов Г.П. Сапоженко A.A. Сборник задач по дискретной математике. - М.: Наука. 1977.-368 с.

6. Галушкина Ю.И. Конспект лекций по дискретной математике Ю.И. Галушкина. А.Н. Марьямов. —М.: Айрис-пресс. 2007. - 176 с. - (Высшее образование)

7. Гейн А.Г. Математические основы информатики. Лекция \г 4. Графы Информатика. -Л? 20. - 2007 - с.2-11.

S. Генкин С.А. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы С.А. Генкин. И.В. Птенберг. Д.В. Фомин. - Киров: АСА. 1994. - 272 с.

9. Графы: Учеб. задания для учашихся заоч. мат. шк. при СПбГУ. - СПб: PIIO СГОГУ. 1994.-17 с.

Гуровиц В.М. Ховрина B.B. Графы. - М.: МЦНМО. 200S. - 32 е.: ил. (Серия «Школьные математические кружки»)

Деза Е II Модель Д Л. Основы дискретной математики. - М : Ml II V. 2007. -113 с.

'Ж'лэнпп С Д Pñrwmuk' 13-таи nrt тчльпк-тнпй иате\1япп.-е- \гияпып* пплппиг- С Д

М00% •

Рис. В30. Список литературы