Методика моделирования рабочего процесса термоакустического двигателя на установившемся режиме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.05, кандидат наук Воротников Геннадий Викторович

• Воротников Геннадий Викторович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Воротников Геннадий Викторович

ВВЕДЕНИЕ

1 СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕРМОАКУСТИКИ

1.1 Основные этапы

1.2 Прямой термоакустический эффект

1.2.1 Двигатель на основе стоячей волны

1.2.2 Двигатель на основе бегущей волны

1.3 Современные термоакустические двигатели

1.4 Методики расчёта

1.4.1 Термодинамический подход

1.4.2 Акустический подход

1.4.3 Метод электроакустических аналогий

1.4.4 Гибридные методы

Выводы по главе

2 МАТЕМАТИЧЕМКАЯ МОДЕЛЬ ВОЛНЫ В КАНАЛЕ КОЛЬЦЕВОГО СЕЧЕНИЯ

2.1 Обоснование необходимости математической модели каналов

кольцевого сечения

2.2 Допущения

2.3 Основные уравнения линеаризованной акустики

2.4 Уравнения колебаний в канале кольцевого сечения

2.4.1 Определение иг

2.4.2 Определение

2.4.3 Уравнение температуры

2.4.3.1 Граничные условия

2.4.3.2 Температура на стенках

2.4.3.3 Итоговое уравнение температуры

2.4.4 Определение

2.4.5 Энергетические соотношения

Выводы по главе

3 ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ

3.1 Основы электроакустических аналогий

3.2 Моделирование основных узлов термоакустических установок

3.2.1 Труба

3.2.2 Податливость

3.2.3 Теплообменники

3.2.4 Коническая труба

3.2.5 Термическая буферная трубка

3.2.6 Регенератор

3.2.7 Сосредоточенный импеданс

3.2.8 Электродинамический генератор

Выводы по главе

4 МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОАКУСТИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ

4.1 Проектирование термоакустического электрогенератора

4.1.1 Постановка задачи

4.1.2 Начальное приближение геометрии установки и режимов её работы

4.1.3 Моделирование установки и определение частоты

4.1.4 Определение электрических характеристик

4.1.5 Энергетическая модель

4.1.6 Результаты моделирования

4.2 Расчёт рабочих параметров термоакустического двигателя

4.2.1 Начальное приближение геометрии установки и режимов её работы

4.2.2 Моделирование термоакустического двигателя

4.2.3 Алгоритм расчёта

4.2.4 Результаты расчёта

Выводы по главе

5 ИСПЫТАНИЯ ТЕРМОАКУСТИЧЕСКОГО ДВИГАТЕЛЯ

5.1 Конструктивное исполнение ТАД

5.2 Планирование эксперимента

5.3 Экспериментальная установка

5.4 Результаты испытаний

5.4.1 Проверка расчётных параметров

5.4.1.1 Гармоничность динамического давления

5.4.1.2 Оценка тепловых потерь

5.4.1.3 Сравнение амплитуд динамического давления

5.4.1.4 Сравнение тепловых мощностей

5.4.1.5 Оценка эффективности ТАД

5.4.2 Оценка погрешностей измерений

5.4.2.1 Прямые измерения

5.4.2.2 Косвенные измерения

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы

Приложение А. Термодинамические и теплофизические свойства газов

Приложение Б. Неоднородное уравнение Бесселя

Приложение В. Асимптотические разложения вспомогательных функций

Приложение Г. Программа расчёта параметров термоакустического двигателя

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика моделирования рабочего процесса термоакустического двигателя на установившемся режиме»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Система электропитания (СЭП) является одной из важнейших систем космического аппарата (КА), обеспечивающей энергетическое снабжение приборов различного назначения от целевой аппаратуры до систем охлаждения и ориентации КА. Надёжность и высокий ресурс являются одним из определяющих требований, предъявляемых к СЭП КА. В качестве источников питания на современных КА, функционирующих в условиях ближнего космоса, выступают солнечные батареи. Серийно выпускаемые арсенид-галлиевые фотопреобразователи (ФП), доступные для приобретения на европейском рынке, например, GAGET2-ID2L/160-8040, GAGET2-ID2/160-8040, RWE 3G28-ID2/150-8040 (с тремя переходами GaInP2/GaAs/Ge на подложке из германия) германской фирмы AZURSPASE Solar Power GmbH, имеют КПД не менее 26,8%. Применение таких ФП в солнечных батареях низкоорбитальных КА позволяет обеспечить удельную мощность панелей до 250 Вт/м в начале работы и до 210 Вт/м в конце пятилетнего срока функционирования. В условиях дальнего космоса, когда использование солнечных батарей становится невозможным, применяются энергетические установки, преобразующие тепловую энергию в электрическую. В качестве тепловых источников в таких системах используются радиоизотопные элементы, а в случае больших мощностей -ядерные реакторы. Для конверсии тепловой энергии в электрическую применяются термоэлектрические преобразователи с эффективностью 5 - 7 % и ресурсом до 20 лет, термоэмиссионные преобразователи с эффективностью 10 - 15 % и ресурсом около 10 лет. Эти устройства эффективно работают лишь в высокотемпературной области, температура на горячем конце 1700 -1800 К, а на холодном - около 1000 К. В области более низких температур (от 650 К) используются преобразователи на основе двигателей Стирлинга с эффективностью до 25 %, но с относительно низкой надёжностью и ресурсом. В такой ситуации наиболее перспективным представляется использование энергетических установок на основе прямого термоакустического эффекта, термоакустических двигателей.

В настоящее время термоакустические двигатели (ТАД) представляют собой новый класс энергетических систем, где тепловая энергия конвертируется в энергию акустической волны, способную совершать работу. При этом они имеют минимум подвижных механических частей (или вообще их не имеют), что повышает мощность системы, увеличивает срок эксплуатации и снижает затраты на изготовление. КПД современных термоакустических двигателей достигает 30 %, что делает их конкурентоспособными с двигателями Стирлинга. Термоакустический двигатель, снабжённый в качестве акустической нагрузки электрогенератором, способен трансформировать тепловую энергию любого источника в электрическую.

В качестве источника тепловой энергии для термоакустичекого электрогенератора (ТАЭГ) в условиях космоса могут использоваться солнечные и ядерные энергоустановки (ЯЭУ). С учетом необходимости обеспечения достаточно высоких температур нагрева рабочего газа в ТАГ, среди солнечных энергоустановок практически пригодными могут быть энергоустановки с концентраторами солнечного излучения. Благодаря высокому ресурсу эксплуатации, они могут использоваться в условиях ближнего космоса, как альтернатива солнечным батареям. Реакторные ЯЭУ могут обеспечить независимый от расстояния до Солнца и ориентации КА непрерывный высокотемпературный нагрев при уровнях тепловой мощности от нескольких десятков до многих тысяч киловатт и поэтому могут рассматриваться в качестве перспективных источников тепловой энергии для ТАЭГ. Радиоизотопные ЯЭУ, обладая теми же преимуществами перед СЭУ, что и реакторные ЯЭУ, могут обеспечить подвод тепловой мощности к ТАГ в наиболее практически интересном на ближайшую перспективу диапазоне от десятков ватт до десятков киловатт.

Таким образом, использование термоакустических двигателей в составе СЭП КА - необходимая и важная задача для космической отрасли. Однако, единой общепризнанной методикой моделирования процессов в таких устройствах, даже на уровне установившегося режима, не существует до сих пор.

В ТАД часть рабочего газа совершает термодинамический цикл, близкий к циклу Стир-линга. Методики расчёта машин Стирлинга прямого и обратного цикла разработаны, многократно апробированы и используются для разработки серийных изделий [87]. Однако в сравнении с машинами Стирлинга рабочий процесс в термоакустических устройствах (ТАУ) имеет отличия, которые приводят к тому, что их проектирование на основании методик для расчёта машин Стирлинга возможно лишь в случае небольших отклонений от исходного прототипа:

1) Величина акустического смещения порции газа в регенераторе в несколько раз меньше длины регенератора, что размывает понятия «горячая» и «холодная» камера, на которых строится расчёт машин Стирлинга.

2) Если геометрия машин Стирлинга в основном определяется объёмами рабочих камер, полученными на основании уравнений термодинамики, то каналы термоакустических преобразователей (кроме теплообменников) прямого и обратного цикла определяются из условия оптимального акустического импеданса (То есть, прямое масштабирование геометрии может привести к противоположным результатам).

Решение задач термоакустики с использованием универсальных конечно-элементных приложений в общем случае не представляется возможным, поскольку такие высокодинамичные переходные процессы требуют очень малых шагов по времени и координатам, а, следовательно, больших вычислительных ресурсов.

Хотя подавляющее число публикаций, посвящённых моделированию процессов, протекающих в ТАУ, используют для создания математических моделей обобщённые дифференциальные уравнения Ротта-Свифта, используемые при этом методики основаны на различных допущениях. Такие методики, как правило, описывают процессы лишь качественно и плохо согласуются с экспериментом. Поэтому разработка методики моделирования рабочих процессов в термоакустических двигателях, позволяющей быстро получить результат с удовлетворительной точностью - актуальная проблема.

Степень разработанности темы. Большой вклад в развитие моделирования термоакустических процессов внесли H.A. Kramers [22], P. Merkli, H. Thomann [25], P.H. Ceperley, N. Rott, G.W. Swift, A. Tominaga [51 - 55], S.W. Rienstra, J. Molenaar [35, 36], Б. В. Раушенбах [83], Е. Л. Микулин [26] и др.

На основе анализа публикаций можно заключить, что наиболее востребованным программным пакетом для моделирования термоакустических систем является DeltaEC, который разработан Лос-Аламосской Национальной лабораторией США на основании обобщённых уравнений Ротта-Свифта. DeltaEC обладает универсальностью и удовлетворительной точностью при проектировании термоакустических систем, но требует точной формулировки начальных приближений переменных для системы нелинейных уравнений, которую решает программа. Поэтому, при создании модели «с нуля» инженеру приходится затрачивать десятки, а порой и сотни часов, чтобы решение сошлось, а искомые переменные имели физически реализуемые значения.

Цель работы и задачи исследований. Повышение эффективности проектирования термоакустических двигателей за счёт снижения затрат времени на проектные разработки без потери точности моделирования динамических процессов на установившемся режиме.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Анализ существующих методик расчёта параметров термоакустических двигателей.

2. Разработка математической модели волнового процесса в осесимметричных каналах с продольным градиентом температур (характеризуемой скоростью, плотностью, температурой, давлением) на основании системы уравнений механики жидкости.

3. Получение матриц четырёхполюсников для основных узлов термоакустических трактов: коаксиальной трубы, конической трубы, термической буферной трубы, податливости, теплообменника, регенератора, сосредоточенного импеданса, электродинамического генератора.

4. Разработка методики расчёта и применение её для проектирования термоакустического двигателя с различными вариантами акустической нагрузки.

5. Апробация расчётной методики и сравнение результатов расчёта с данными испытаний, полученными на экспериментальной установке термоакустического двигателя.

Научная новизна работы.

- Разработана математическая модель волнового процесса в осесимметричных каналах с продольным градиентом температур, которая отличается тем, что динамические параметры (скорость, плотность и температура) выражены через давление, а давление описывается независимым дифференциальным уравнением второго порядка. Модель применима как для узких (менее толщины пограничного слоя), так и для широких каналов (до 0,1 от длины волны).

- Получена библиотека матриц четырёхполюсников основных элементов акустического тракта круглого и кольцевого сечения (труба, коническая труба, термическая буферная труба, сосредоточенная податливость), которая отличается тем, что позволяет с точностью до 10 % моделировать скорость и динамическое давление в любом сечении термоакустического двигателя, а наличие матриц элементов кольцевого сечения позволяет моделировать процессы в коаксиальных каналах, что в итоге приводит к улучшению массово-габаритных характеристик проектируемой установки.

- Разработан алгоритм расчёта начального приближения рабочей частоты проектируемой термоакустической установки на основании матриц, зависящих лишь от геометрии каналов и средних параметров рабочего тела. Алгоритм характерен тем, что не зависит от структуры расчётной схемы и количества ветвей в ней.

- Разработана методика расчёта акустических и энергетических параметров и характеристик термоакустического двигателя, основанная на поэтапном приближении за счёт уточнения матриц четырёхполюсников, которая существенно повышает сходимость решаемой задачи по сравнению с DeltaEC и снижает требования к точности начальных приближений. Методика характерна тем, что позволяет на порядок снизить время проектировщика при создании модели двигателя «с нуля».

Теоретическая значимость работы. Полученные уравнения существенно дополняющих теорию рабочих процессов термоакустических двигателей. Работа позволяет привести трёхмерную задачу расчёта динамических процессов в осесимметричных каналах к одномерной, а так же расширить возможности моделирования ТАД за счёт введения элементов канала кольцевого сечения для моделирования коаксиальных трактов.

Практическая значимость работы.

Разработанная расчётная методика применима для проектирования термоакустических преобразователей прямого и обратного цикла с амплитудами давления не выше 10% давления заправки и рабочей частоте до 500 Гц, при условии отсутствия стационарных течений внутри акустических трактов. Поперечные размеры акустических трактов должны быть на порядок меньше продольных. Предложенная методика позволяет разрабатывать высокоресурсные энергетические установки для систем энергоснабжения космических аппаратов на основе термоакустического эффекта с КПД до 25%.

Методология и методы исследования. В работе использовались теоретические и экспериментальные методы исследования, методы математического и физического моделирования. Формализованная математическая модель обобщённого термоакустического тракта строилась на допущениях Ротта, принятых как аксиомы, и приведённых в разделе 2.2. При выводе уравнений использовалась абстрактная модель гармонической волны. Предложенная методика расчёта строилась на электроакустических аналогиях и использовала метод четырёхполюсников, который позволяет получить характеристическое уравнение ТАУ, содержащее единственный неизвестный параметр, рабочую частоту установки. При построении моделей термоакустических установок применялась идеализация в виде абсолютной теплоизоляции стенок акустического тракта.

Для проверки математических методов использовался эмпирический метод познания, который строился на анализе и синтезе результатов измерения динамического давления и стационарных температур. Экспериментальные исследования выполнялись на экспериментальном образце ТАД с использованием методов математической статистики.

На защиту выносятся:

- Математическая модель установившегося колебательного процесса в каналах кольцевого поперечного сечения с продольным градиентом температур, характеризующаяся следующими параметрами волны: скоростью, давлением, плотностью и температурой.

- Библиотека матриц четырёхполюсников основных элементов акустического тракта круглого и кольцевого сечения ТАД для расчёта энергетических установок космических аппаратов.

- Алгоритм расчёта начального приближения рабочей частоты проектируемого термоакустического двигателя на основании матриц четырёхполюсников, зависящих лишь от геометрии каналов и стационарных параметров рабочего тела, и применимый для схем с любым количеством ветвей и узлов.

- Методика последовательного приближения для расчёта акустических и энергетических параметров термоакустического двигателя на установившемся режиме, отличающаяся от известных методик тем, что сокращает время на получение решения системы дифференциальных уравнений термоакустики за счёт получения приближённого решения при использовании акустических четырёхполюсников, матрицы которых уточняются от итерации к итерации.

- Результаты экспериментального исследования рабочего процесса ТАД на установившемся режиме, а именно: подводимой и отводимой к рабочему телу через теплообменники тепловой мощности и распределения по длине ТАД динамического давления, осреднённого по сечению.

Достоверность результатов обеспечивается обоснованностью принятых допущений при получении акустических уравнений из уравнений механики жидкости, удовлетворительным совпадением расчетных данных с результатами сертифицированной программы DeltaEC и экспериментальными данными, использованием в экспериментальном исследовании метрологически аттестованного и поверенного измерительного оборудования. Достоверность уравнений кольцевого канала подтверждается тем, что в предельном случае (г0 ^ 0) уравнение динамического давления принимает вид уравнения Ротта для каналов круглого сечения.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на Международной научно-технической конференции «Проблемы и перспективы двигателестроения» (2011, Самара), Международной научной конференции «Современная наука: Актуальные вопросы теплофизики» (2011, Алушта, Украина), Международном научно-техническом форуме, посвя-щённом 100-летию ОАО «Кузнецов» и 70-летию СГАУ (2012, Самара), Второй международной конференции по динамике и виброакустике машин (2014, Самара), Четвёртой международной конференции по динамике и виброакустике машин (2018, Самара)

Используемый в расчётах модуль «GAS-1» по определению теплофизических характеристик реальных газов защищён авторским свидетельством [85]. Получено авторское свидетельство на полезную модель микрокриогенной машины с термоакустическим приводом [82].

Разработанная методика использовалась АО «РКЦ «Прогресс» в проектных работах для АО «НИИТФА», ПАО «НОВАТЭК».

Публикации. Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в 11 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 88 наименований и приложений А - Г. Объем диссертации составляет 208 страниц (из которых 51 страница приложения), включая 84 рисунка и 9 таблиц.

1 СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕРМОАКУСТИКИ 1.1 Основные этапы

Термоакустика - раздел физики о взаимном преобразовании тепловой и акустической энергии. Хотя термоакустические явления замечены естествоиспытателями давно [15, 34, 37, 44, 49], первую трактовку прямого термоакустического эффекта дал Лорд Рэлей [45]. Сегодня она известна как принцип Рэлея: «Если газу в момент наибольшего сжатия сообщить тепло, а в момент наибольшего разряжения тепло отобрать, то это усиливает осцилляции газа». Это высказывание долгое время оставалось лишь простой констатацией природного явления, не имеющее научных последствий.

Настоящий прорыв случился в 1969 г., когда швейцарский математик Николаус Ротт, изучавший колебания Такониса, опубликовал серию статей [32, 38 - 42, 64], в которых была получена линейная теория термоакустики. Ротт отказался от аппроксимации пограничного слоя в том виде, в каком она использовалась Кирхгоффом [20] и Крамерсом [22], и сформулировал математическую основу низкоамплитудных возбуждаемых колебаний в широких и узких трубах с осевым температурным градиентом, всего лишь предположив, что радиус трубы гораздо меньше её длины. В1980 г. исследования Ротта завершились созданием фундаментального труда «Термоакустика» [43], который стал краеугольным камнем для последующего развития этого раздела механики жидкости.

Чуть позже американский теплофизик Грэг Свифт выпустил статью [46], а затем и монографию [47], в которой уравнения Ротта были обобщены для создания термоакустических устройств (ТАУ). Свифт был первым, кто дал всесторонний анализ термоакустических устройств, основываясь на работах Ротта, и разработал практические методики и рекомендации для проектирования таких систем.

1.2 Прямой термоакустический эффект

Чтобы лучше понять физические процессы, лежащие в основе термоакустического эффекта, рассмотрим колебания элементарной порции газа в закрытой трубе под действием акустической стоячей волны. Система находится в состоянии термического равновесия, средняя температура газа равна температуре стенки. Под действием волны элементарная порция газа совершает акустические смещения относительно своего нейтрального положения. Двигаясь в одном направлении, она расширяется, и её температура падает. Двигаясь в другом направлении, она сжимается, и её температура поднимается. Но при этом она контактирует со слоями газа, которые совершают аналогичное движение и температура которых практически не отличается от температуры выделенной порции. Поэтому выделенная порция не участвует в каком-либо теплообмене. В этом суть адиабатных осцилляций.

Однако, стенка трубы, которая имеет гораздо большую теплоёмкость, остаётся изотермичной. Поэтому вблизи неё существует пограничный слой, в котором процессы отличаются от адиабатических. Расширяясь в своей крайней точке, порция газа поглощает тепло от стенки, так как в этой точке она имеет меньшую температуру, а в другой крайней точке она нагревается при сжатии и отдаёт тепло стенке. Таким образом, происходит теплоперенос из одной крайней точки в другую, и на это расходуется акустическая энергия, в том числе и идущая на преодоление акустического сопротивления данного участка.

Последствия этого процесса в обычных трубах не ощутимы, так как интенсивность его мала и компенсируется теплопроводностью метала. Однако, если твёрдые поверхности организованы в виде регенератора, величина поры у которого будет соизмерима с толщиной термического пограничного слоя, то интенсивность процесса сильно возрастает. Смежные в продольном направлении порции газа передают друг дугу переносимое тепло, используя пластины регенератора в качестве посредника. В итоге на концах регенератора формируется перепад температур. В криогенных холодильниках перепад температур в регенераторе может достигать больших значений, так что холодный конец, снабжённый теплообменником, может поглощать тепло от нагрузки при очень низкой температуре.

Аналогично можно рассмотреть колебания газа у стенки с продольным температурным градиентом для демонстрации прямого термоакустического эффекта. Положение регенератора с температурным градиентом выбирается так, что находясь в состоянии наибольшего сжатия (максимум потенциальной энергии) при максимальном давлении за период колебания порция газа получает тепло от регенератора. Значит, порция газа, проходя своё нейтральное положение, будет иметь и большую кинетическую энергию, то есть скорость расширения порции газа будет выше, чем обычно, без подогрева. Пройдя нейтральное положение, порция газа продолжает расширяться в силу инерционных свойств своих молекул и в своей крайней точке расширяется сильнее, чем без нагрева. Здесь порция газа имеет своё минимальное давление, то есть по отношению к среднему давлению добавляется отрицательная величина амплитуды давления. В момент наибольшего разряжения часть тепла передаётся более холодному материалу регенератора. Давление в порции газа при этом падает ещё больше (то есть отрицательная составляющая колебательного давления увеличивается), и в следующие полпериода порция газа сжимается с ещё большей скоростью, пока снова не достигнет крайнего положения. Итак, согласно принципу Рэлея, растёт амплитуда колебаний, то есть акустическая энергия за счёт сглаживания температурного градиента в регенераторе.

Прямой и обратный термоакустический эффекты при соответствующих рабочих условиях могут быть использованы для создания двух видов ТАУ: термоакустического двигателя (ТАД),

который обращает тепло в полезную (акустическую) работу, и холодильника или теплового насоса, который обращает звук в полезное охлаждение или нагрев.

В действительности процессы, протекающие в регенераторах термоакустических устройств, гораздо сложнее и очень сильно зависят от сдвига фаз между давлением и скоростью осцилляций. В зависимости от этого параметра различают два типа устройств: системы на основе стоячей волны и системы на основе бегущей волны.

1.2.1 Двигатель на основе стоячей волны

В работе [70] показаны два предельных случая согласованности давления и скорости осцилля-ций: стоячая и бегущая волны.

В стоячей волне рассогласование между давлением и скоростью осцилляций составляет 90 градусов (рисунок 1.1). Такую волну легко получить в трубе, запертой с двух концов. При этом сама труба является полуволновым резонатором. На стенках, ограничивающих трубу, располагаются пучности давления и узлы скорости. Следовательно, порции газа в этих местах никуда не смещаются, а адиабатически расширяются и сжимаются, что сопровождается максимальным изменением температуры. В центре трубы располагается пучность скорости и узел давления. Следовательно, в этой точке порция газ имеет наибольшую амплитуду смещения без изменения объёма, а значит, не меняется и температура.

Порции газа, расположенные между соответствующими узлами и пучностями, обладают ненулевой скоростью, а их движение сопровождается изменением объёма порции, поэтому эти места наиболее подходят для расположения регенератора. Температура порции при этом увеличивается при перемещении от центра к концу трубы. Это будет сказываться на формировании температурных градиентов в регенераторах.

Следует отметить, что с введением регенератора появляется теплообмен между газом и твёрдым телом, так что процесс в области регенератора уже перестаёт быть адиабатным. При этом узлы и пучности волны в процессе рабочего периода как бы совершают небольшие колебания относительно нейтрали. Но так как линейный размер регенератора мал по сравнению с протяжённостью резонатора, то отклонение рассогласования от 90 градусов незначительно. На практике оно составляет от 2 до 8 градусов.

Рассмотрим термодинамический цикл порции газа в регенераторе такого двигателя (рисунок 1.3), как показано в работе [75]. Точки крайнего положения порции на траектории движения (рисунок 1.2) соответствуют точкам наибольшего и наименьшего сжатия. Поэтому, двигаясь из точки 1 в точку 3 , порция сжимается с повышением температуры. На участке 1 - 2 её температура превышает локальную температуру регенератора, и она отдаёт тепло. После точки 2 её температура становится ниже температуры регенератора, и она начинает получать тепло.

Достигнув точки 3, порция начинает двигаться с расширением в обратном направлении, а температура её понижается, но она всё ещё получает тепло. При переходе точки 4 её температура становится выше температуры регенератора, и она начинает отдавать тепло.

Чтобы понять цикл качественно, представим его в виде упрощённых термодинамических составляющих. На участках AB и CD (вблизи точек 2 и 4) (рисунок 1.4) порция имеет самую высокую скорость движения, тогда как разница температур между порцией и насадкой регенератора ещё мала. Поэтому процесс на этих отрезках можно считать адиабатным. На участках BC и DA (вблизи точек 3 и 1) порция имеет близкую к нулю скорость, практически постоянное давление и максимальную и минимальную температуру соответственно. Поэтому на этих участках идёт интенсивный теплообмен, близкий к изобарическому. Таким образом, цикл холодильника на основе стоячей волны - это цикл Брайтона (рисунок 1.5).

Если половина просвета между пластинами значительно больше глубины термического проникновения, то процесс полностью адиабатный и термодинамический цикл нулевой.

Если половина просвета между пластинами значительно меньше глубины термического проникновения (термический контакт идеален), то точка 2 совпадёт с точкой 1, а точка 4 совпадёт с точкой 3 и процесс теплообмена будет согласован с перемещением. То есть, двигаясь в одном направлении, порция отдаёт в каждой точке столько тепла, сколько получает, двигаясь в обратном направлении. Несмотря на наличие теплообмена, суммарный перенос тепла за цикл отсутствует. С учётом этого половина просвета между пластинами должна иметь вполне определённое конечное значение. Эта величина примерно равна глубине термического проникновения [46].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Воротников Геннадий Викторович, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Al-Kayiem, A. A. H. Investigation of travelling-wave thermoacoustic engines with different configurations: PhD thesis / Al-Kayiem, Ali Abbas Hameed/ - University of Glasgow -2017- 270 pp. -http://theses.gla.ac.uk/8565/

2. Arafa, N.M.M. Towards a better performacne of thermoacoustic devices: MS thesis / Nadim Mohamed Mahmoud Arafa// Cairo university Giza, Egypt - 2010. - 95 pp.

3. Backhaus, S. A thermoacoustic Stirling heat engine: Detailed study / S. Backhaus, G. W. Swift // J. Acoust. Soc. Am. - 2000. - V. 107 (6). - P. 3148-3166.

4. Backhaus, S. Thermoacoustic Power Systems for Space Applications: Contract Report / S. Backhaus, E.L. Tward, M. Petach - Los Alamos: Thermal Physics Group, Los Alamos National Laboratory. - 8 pp.

5. Backhaus, S. Traveling-wave thermoacoustic electric generator/ S. Backhaus, E. Tward, M. Petach// Applied physics letters - 2004 - V. 25(6) - P. 1085 - 1087.

6. Van den Broeck, C. Thermodynamic Efficiency at Maximum Power. / C. Van den Broeck // Physical Review Letters. - 2005. - V. 95(19), 190602 - p. 1-3

7. Ceperley, P. H. A pistonless Stirling engine — The traveling wave heat engine. / P. H. Ceperley // J. Acoust. Soc.Am. - 1979. - V. 66 - p. 1508 - 1513.

8. Ceperley, P. H. Gain and efficiency of a short traveling wave heat engine / P. H. Ceperley // J. Acoust. Soc. Am. - 1985. - V. 77 - p. 1239 - 1244.

9. Curzon, F. L. Efficiency of a Carnot engine at maximum power output. / F. L. Curzon, B. Ahlborn // American Journal of Physics - 1975. - V. 43 (22) - p. 22 - 24.

10. Design of a high efficiency power source (HEPS) based on thermoacoustic technology: NASA contract No. NAS3-01103, Final report / M. Petach, E. Tward, S. Backhaus, 2004. - 29 pp.

11. Fellows Research Group. Thermoacoustic engine-generator, US Patent № 6,910,332. 2005

12. Fellows Research Group. Thermoacoustic resonator, US Patent № 6,385,972. 2002

13. Gang, Z. Influence of resonator diameter on a miniature thermoacoustic Stirling heat engine / Z. Gang, L Qing, L Z. Yu // Chinese Science Bulletin - 2008. -V. 53(1). - P. 145-154

14. Gusev, V. Asymptotic Theory of Nonlinear Acoustic Waves in a Thermoacoustic Prime-mover / V. Gusev, H. Baillet, P. Lotton, M. Bruneau // Acustica. Acta Acustica. - 2000. - V. 86. - P. 25-38.

15. Higgins, B. Journal of Natural Philosophy and Chemical Arts -1802. - V. 129. - P. 22 - 29.

16. Hofler T.J. Heat driven acoustic power source coupled to an electric generator, US Patent № 5,996,345. 1999

17. Hua, H.X. Two-port network model and startup criteria for thermoacoustic oscillators. / H. X.Hua, Z. X. Qing, W. H. Ling, S. S. Ming // Chinese Science Bulletin - 2009. - V. 54(2) - P. 335-343.

18. Iguchi, M. Analysis of free oscillating flow in a U-shaped tube. / M. Iguchi, M. Ohmi, K. Maega-wa //Bull. JSM - 1982 - V. 25 - p. 1398-1405.

19. Kays, W. M. Compact heat exchangers. / W. M. Kays, A. L. London // McGraw-Hill, New York -1964. - 84 pp.

20. Kirchhoff, G. On the influence of heat conduction in a gas on sound propagation / G. Kirchhoff // Ann. Phys. - 1868. - V. 134. - P. 177-193.

21. Kittel, P. Enthalpy, Entropy, and Exergy Flow Losses in Pulse Tube Cryocoolers. / P. Kittel // -Cryocoolers. - 2004 - V.13. -P. 343-352.

22. Kramers, H. A. Vibrations of a gas column./ H.A. Kramers // - Physica -1949. - V. 15 -P. 971 -984.

23. Li, F. H. Influence of the Nonlinearity of Loudspeakers on the Performance of Thermoacoustic Refrigerators Driven by Current and Voltage / F. Li, Z. Shu-Yi, Z. Hui // CHIN. PHYS. LETT. - 2010. -V. 27(7). -074301- P. 1 - 4.

24. MEMS-TAR/Micro TAC [электронный ресурс] / Fellows Research Group, Inc., http://www.io.com/~frg , 2008.

25. Merkli, P. Thermoacoustic effects in a resonant tube. / P. Merkli, H. Thomann // Journal of Fluid Mechanics - 1975. - V. 70 (1) - p. 161 - 177.

26. Mikulin, Е. L. Low-temperature expansion pulse tubes. / E. L. Mikulin, A. A. Tarasov, M. P. Shkrebyonock // Adv. Cryogenic Eng. - 1984. - V. 29 - P. 629 - 637.

27. Moldenhauer, S. Analysis and development of the pulse tube engine: PhD thesis / Stefan Moldenhauer/ - Technische Universität Ilmenau, 2013. - 144 pp.

28. Moldenhauer, S. Analytical model of the pulse tube engine / Moldenhauer S. // Energy. - 2013. -V.62. - P. 285-299.

29. Moldenhauer, S. The pulse tube engine: A numerical and experimental approach on its design, performance, and operating conditions / S. Moldenhauer, T. Stark, C. Holtmann, A. Thess // Energy. -2013. - V. 55. - P.703-715.

30. Moldenhauer, S. Thermodynamic analysis of a pulse tube engine / S. Moldenhauer, A. Thess, C. Holtmann, C. Fernandes-Aballi // Journal of Energy Conversion and Management. - 2013. - V. 65. -P. 810-815.

31. Montgomery, P. J. Low-Cost Thermoacoustic Cogenerator For Use in Bio-Mass Burning Cook Stoves: MS thesis / Paul J. Montgomery / - The Pennsylvania State University, December 2010. - 72 pp.

32. Muller, U. A. Thermally driven acoustic oscillations. Part VI: Excitation and power/ U.A. Muller, N. Rott// Journal of Applied Mathematics and Physics. - 1983. - V. 34. - .P 609 - 626.

33. Paek, I. Evaluation of standing-wave thermoacoustic cycles for cooling applications. / I. Paek, J. E. Braun, L. Mongeau / - International Journal of Refrigeration - 2007. - V. 30 - P. 1059 - 1071.

34. Putnam, A.A. Survey of organ-pipe oscillations in combustion systems./ A.A. Putnam, W.R. Dennis // Journal of Acoustical Society of America - 1956. - V. 28. - P. 246 - 249.

35. Rienstra, S. W. Systematic Derivation of the Weakly Non-Linear Theory of Thermoacoustic Devices. / S.W. Rienstra, J. Molenaar // Technische Universiteit Eindhoven, - 2006. - 39 pp.

36. Rienstra, S. W. Weakly nonlinear thermoacoustics for stacks with slowly varying pore cross-sections. / S.W. Rienstra, J. Molenaar, J.J.M. Slot // Journal of Fluid Mechanics - 2009. - V. 618. - p. 41 - 70.

37. Rijke, P.L. Notiz uber eine neue Art, die in einer an beiden Enden offenen Rohre enthaltene Lift in Schwingungen zu versetzen. / P. L, Rijke // Annalen der Physik - 1859 - V. 107. - P. 339 - 352.

38. Rott, N. Damped and thermally driven acoustic oscillations in wide and narrow tubes / N. Rott // Journal of Applied Mathematics and Physics. - 1969. - V. 20. - P. 230 - 243.

39. Rott, N. The influence of heat conduction on acoustic streaming / N. Rott // Journal of Applied Mathematics and Physics. - 1974. - V. 25. - P. 417 - 421.

40. Rott, N. Thermally driven acoustic oscillations. Part II: Stability limit for helium / N. Rott // Journal of Applied Mathematics and Physics. - 1973. - V. 24. - P. 54-72.

41. Rott, N. Thermally driven acoustic oscillations. Part III: Second-order heat flux / N. Rott // Journal of Applied Mathematics and Physics. - 1975. - V. 26. - P. 43-49..

42. Rott, N. Thermally driven acoustic oscillations. Part IV: Tubes with variable cross-section / N. Rott // Jounal of Applied Mathematics and Physics. - 1976. - V. 27. - P. 197-224.

43. Rott, N. Thermoacoustics /N. Rott //Advances in Applied Mechanics. - 1980. - V. 20 - P. 135175.

44. Sondhauss, C. Ueber die Schallschwingungen der Luft in erhitzten Glasr ohren und in gedeckten Pfeifen von ungleicher Weite./C. Sondhauss // Annalen der Physik - 1850 - V. 79. P. 1 - 8.

45. Strutt J.W. (Rayleigh): The explanation of certain acoustical phenomena. / J. W. Strutt // Nature, vol. 18, 1878, p. 319-321

46. Swift G.W. Thermoacoustic engines / G. W. Swift // J. Acoust. Soc. Am. -1988/ - V 84 - P. 1146 -1180.

47. Swift, G. W. Thermoacoustics: A unifying perspective for some engines and refrigerators / G. W. Swift // Acoust. Soc. Am. - 2002. - 326 pp.

48. Swift, G. W. Simple harmonic analysis of regenerators. / G. W. Swift, W. C. Ward // Journal of thermophysics and heat transfer. - 1996 - V. 10 - p. 652 - 662

49. Taconis, K.W. Vapor-liquid equilibrium of solutions of 3He in 4He./ K. W. Taconis // Physica -1949 - V. 15. - P. 738 - 747.

50. Telesz, M. P. Design and testing of a thermoacoustic power converter. / thesis of Master of Science, Georgia Institute of Technology - 2006 - 157 pp.

51. Tominaga, A. Thermoacoustic theory of viscous fluid. Part 1: Energy conversion and energy flux of small cycles / Ctyog En. -1992. - V. 27 - p. 543 - 548.

52. Tominaga, A. Thermoacoustic theory of viscous fluid. Part 2: Average over the cross-sectional area of flow channel / Ctyog En. -1992. - V. 27 - p. 549 - 554.

53. Tominaga, A. Thermoacoustic theory of viscous fluid. Part 3: Radial distribution of velocity and entropy / Ctyog En. -1993. - V. 28 - p. 99 - 107.

54. Tominaga, A. Thermoacoustic theory of viscous fluid. Part 4: Axial variations / Ctyog En. -1993.

- V. 28 - p. 108 - 113.

55. Tominaga, A. Thermodynamic aspects of thermoacoustic theory. / Cryogenics. - 1995. - V. 35 (7)

- p. 427 - 440.

56. Trollier, T. Air Liquide space cryocooler system/ T. Trollier, J. Tanchon, J. Buquet, A. Ravex// Cryogenics - 2008. -V.48. - P. 267 - 273.

57. Tu, Q. Network model approach for calculating oscillating frequency of thermoacoustic prime mover / Q. Tu, Q. Li, F. Wu, F. Z. Guo// Cryogenics. - 2003. - V. 43 - P. 351-357.

58. Wang, B. A passive network model for large diameter thermoacoustic tube systems and its experimental verification./ B. Wang, L.M. Qiu, D M. Sun, K. Bai, T. Steiner// Applied Acoustics - 2010. -V. 71 - P.922 - 930

59. Wang Y, Ruan Q. A new explicit equation for calculating the friction factor for

the turbulent flow in pipes./ Y. Wang, Q. Ruan // - Eng Sci - 2006. - V. 8(6) - P. 83 - 90.

60. Ward, B. Delta EC (Design Environment for Low-amplitude Thermoacoustic Energy Conversion) Users Guide. Version 6.3b11. / B. Ward, J. Clark, G. Swift // - Los Alamos National Laboratory/ -2012 - 285 pp. - LA-CC-01-13.

61. Wilcox, D. A. Experimental Investigation of A Thermoacoustic-Stirling Engine Electric Generator With Gedeon Streaming Suppression/ thesis of Master of Science, The Pennsylvania State University -2011- 93 pp.

62. Wilhelmus, P. H. M. Mathematical Aspects of Thermoacoustics / P. H. M. Wilhelmus /- Technische Universiteit Eindhoven/ - 2009. - 190 pp. - ISBN 978-90-386-1862-3

63. Xu, M.Y. Analysis of an orifice pulse tube refrigerator using the method of characteristics / M.Y. Xu, Y.L. He, Z.Q. Chen // Cryogenics - 1999. - V. 39 - P. 751 - 757

64. Zouzoulas, G. Thermally driven acoustic oscillations. Part V: Gas-liquid oscillations / G. Zouzou-las, N. Rott // Jounal of Applied Mathematics and Physics. - 1976. - V. 27. - P. 325-334.

65. Атабеков, Г.И. Основы теории цепей / Г.И. Атабеков - М.: Энергия, 1969. - 424 с.

66. Вассерман, А.А. О составлении единого уравнения состояния для газа и жидкости с помощью ЭВМ// Сб. ГСССД «Теплофизические свойства веществ и материалов». — М.: Издательство стандартов, 1976. — № 10. — С. 7_34.

67. Воротников, Г.В. Моделирование термоакустического электрогенератора методом четырёхполюсников // Вестник СГАУ. - 2012. - №3 (34) ч. 3.- С. 191-199.

68. Воротников, Г.В. Определение облика термоакустического генератора по характеристикам электродинамической части на основании параметрических исследований / Г.В. Воротников, А Н. Крючков, Е.А. Зиновьев // Вестник СГАУ. - 2011. - №3 (27) ч. 4.- С. 48-51.

69. Воротников, Г.В. Расчёт оптимальной рабочей частоты термоакустического электрогенератора с готовой электродинамической частью и заданной нагрузкой / Г.В. Воротников, А.Н. Крючков // Вестник СГАУ. - 2012. - №3 (34) ч. 3.- С. 183-190.

70. Воротников, Г.В. Термоакустика //http://www.physicstoys.narod.ru/page/ Termoakystik/ termoakystik1.html - 2012.

71. Головин, А.Н. Гасители колебаний для гидравлических систем. / А.Н. Головин, В.П. Шорин // Самара, 2005. - 168 с.

72. Двайт, Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы./ Г.Б. Двайт. - М.: Наука, 1966. - 228 с.

73. Довгялло, А.И. К оценке показателей эффективности рабочего процесса термоакустического двигателя / А.И. Довгялло, Е.А. Зиновьев, Г.В. Воротников // Современная наука: исследования, идеи, результаты, технологии. - Киев. - 2011. -№2(7).- С.139 - 145.

74. Довгялло, А.И. Режимно-параметрический анализ работы термоакустического двигателя с внешним подводом тепла / А.И. Довгялло, Е.А. Зиновьев, Г.В. Воротников // Вестник СГАУ. -2010. - №4(24).- С. 80 - 87.

75. Зиновьев, Е.А. Гармоническая модель термодинамического цикла, реализуемого в регенераторе термоакустического двигателя / Е.А. Зиновьев, А.И. Довгялло, Г.В. Воротников // Вестник СГАУ. - 2011. - №3 (27) ч. 4.- С. 11 - 15.

76. Зиновьев, Е. А. Экспериментальное исследование рабочего процесса термоакустического двигателя на бегущей волне / Е. А. Зиновьев, Г. В. Воротников, А. А. Харитонов, В. В. Лысен-ков // Динамика и виброакустика. - 2018. - Т. 4. - № 2. - С. 18 - 26.

77. Идельчик, И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. / И.Е. Идельчик. - М.: Машиностроение, 1992. - 672 с.- IBN 5-217-00393-6

78. Кузнецов, В. П. Уравнения нелинейной акустики. / - Акустический журнал - 1970. - № 16(4) - С. 548-553.

79. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. Т. 6 / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц // М.: Наука, 1986. -736 с.

80. Мэтьюз, Д.Г. Численные методы. Использование MATLAB./ Д. Г. Мэтьюз, К. Д. Финк // М, СПб: Вильямс, 2001. — 716 с.

81. Некрасова С. О. Разработка обобщенной методики проектирования двигателя с внешним подводом тепла с пульсационной трубой: диссертация кандидата технических наук: 05.07.05. -Самара, 2017. - 148 с.

82. Пат. 131857 F25B 9/14 РФ. Микрокриогенная машина с термоакустическим приводом / А.И. Довгялло, Г.В. Воротников, В.И. Зиновьев, С.О. Некрасова, Е.А. Зиновьев // Бюл. - №24. - 2013

83. Раушенбах, Б.В. Вибрационное горение. / Б. В. Раушенбах // Гос. издат. физико-математической литературы. - 1961. - 500 с.

84. Сапожков, М.А. Электроакустика / М.А. Сапожков. - М.: Связь, 1978. - 272 с.

85. Свидетельство №2008610682 РФ. Программа расчёта термодинамических параметров технически важных газов в однофазной области в широком диапазоне температур и давлений / Г.В. Воротников, И.А. Бурдыгин - 2008.

86. Сычев, В.В. Термодинамические свойства гелия / В.В. Сычев, А.А. Вассерман, А.Д. Козлов, Г.А. Спиридонов, В.А. Цымарный. // М.: Издательство стандартов, 1984. — 320 с.

87. Уокер, Г. Двигатели Стирлинга / Г. Уокер. - М. : Машиностроение, 1985. - 408 с.

88. Фурдуев, В. В. Электроакустика. /В. В. Фурдуев - М.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1947 - 514 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Термодинамические и теплофизические свойства газов

Для расчёта термодинамических и теплофизических свойства рабочего газа использовались отдельные блоки программы «GAS-1» [85], которая разработана автором для определения термодинамических характеристик ряда технически важных газов в прикладных задачах вычислительной термодинамики. Программа использует методику, разработанную в СССР в 70-х годах, и даёт расчётную ошибку с таблицами ГСССД [86] не более 1%.

В качестве уравнения состояния «GAS-1» использует вириальное уравнение Боголюбова-Майера

Р

Г S £

г=рйг=1+1х^' (А1)

¿ = 1 У=0

где ш = р/ркр - приведенная плотность, т = - приведенная температура, Я - газовая постоянная, р, Т и р - давление, температура и плотность газа соответственно.

Вириальные коэффициенты ¿¿у рассчитываются методом минимизации функционала среднеквадратичных отклонений исследуемой функции /

п

Индексы "э" и "р" соответственно означают экспериментальные и расчетные значения. Весовая функция устанавливает соответствие между точностью используемых эмпирических уравнений

В качестве исследуемой функции / разные авторы в разное время использовали комбинации различных параметров. Цель таких усложнений сводилась к одному: получение не просто уравнения состояния с точностью до эксперимента, но и получения достаточно точных первых и вторых производных, а также соблюдении правила фаз на пограничных кривых. Это позволяет в дальнейшем использовать уравнение состояния для получения с высокой точностью термодинамических параметров, используя основные соотношения термодинамики. Программа «ОЛБ-Ъ» использует вириальные коэффициенты, рассчитанные на основе функционала Ф, предложенного Вассерманом [66]. Для распространенных технических газов вириальные коэффициенты уравнений состояния газа были взяты из источников ГСССД или получены оттуда путем небольшой переработки.

Располагая набором базовых формул, можно получить необходимые данные для расчётов параметров газа. Так уравнение для изобарической теплоёмкости принимает вид:

Г

¿ = 1 y=o

Г Б Л / Г Б • \ / Г Б

Ш \ /V V Ш \ / V V Ш1

\1 = 1 } = 0 ) \1 = 1 } = 0 ) \1 = 1 } = 0 ) где ъ - коэффициент сжимаемости из уравнения состояния (А.1), а Ср0 - изобарическая теплоемкость в идеальном газовом состоянии. Для одноатомных газов

Ср0=5И. (АЛ)

^ 2 Для многоатомных газов

п т

С0 = И ( ^ А^ + ^ В)Т-> ), (А. 5)

*и=о ¡=1

где Аj и Вj - вириальные коэффициенты уравнения изобарической теплоемкости. Изохорическая теплоемкость

су = ср,-К\1 + )' (А.6)

¿=1] = 0

скорость звука

а= \ктСРр[1 + И(1 + 1)ь"^Ш^)' (А7)

Су \ ' 4—'

у \ 1=1)=0

коэффициент термического расширения

=1 =0 =1 =0

показатель адиабаты

Ср I \ ' \ ', Ш1

(А. 8)

(А9)

у \ 1=1 1=0 ) Вириальное уравнение для динамической вязкости имеет вид

р(т, ш) = р0(т) + Ш), (А. 10)

где р0(т) - слагаемое, характеризующее вязкость газа в разреженном состоянии; Ар(т,ш) - избыточная вязкость газа.

п

^о(-с) = ^ С^'2 , (А.11)

1 = -3 т

— , (А.12)

1 т31/} '

Г

где коэффициенты гу и 5у специфичны для каждого газа. Вириальные коэффициенты C¿ и Ду рассчитаны на основании уравнения (Л.2) при условии, что / = д.

Уравнение для расчета теплопроводности газов в зависимости от температуры и давления аппроксимированы уравнением вида

Я(т, ш) = Я0(т) + ДЯ(т, ш) + ДЯкр(т, ш), (Л. 13)

где Я0(т) - характеризует теплопроводность в разреженном состоянии; ДЯ(т, ш) - избыточная теплопроводность; ДЯКр(т, ш) - поправка на возрастание теплопроводности в околокритической области.

Каждая из составляющих уравнения теплопроводности представляется в вириальном виде следующими выражениями:

п

Яп(т) = £ ^¿/2 , (Л. 14)

¿ = -4

т

ДЯ(т,ш) = £Fy^^, (Л-15)

=1

где ^у, Лу и I - индивидуальные коэффициенты используемого газа.

I

ДЯкр(т, ш) = + ¿з + ¿4т) ехр(—?2), (Л. 16)

где при т < 1 т = 2 — Г/7Кр и

<;• = ¿6(ш — ш') при ш > ш'

.<;• = ¿6(ш — ш') + ¿7(ш — ш')5 при ш < ш'

(Л. 17)

ш' = 1 + 15(т —1)2. (Л. 18)

Вириальные коэффициенты для уравнений теплопроводности рассчитываются методом минимизации функционала квадратичных отклонений на основе имеющихся экспериментальных данных по формуле (Л.2), где / = Я.

Приведенных параметров вполне достаточно для расчетов равновесных процессов в жидкостях и газах в широком диапазоне температур и давлений в однофазной области. Применимость расчетов ограничивается лишь диапазонами температур и давлений, для которых вычислены вириальные коэффициенты.

3

Таблица А.1. Пределы применимости программы

Газ Пределы применимости

Р, МПа т, к "3 р ,кг/т

Азот 0,1 - 100 70 - 1500 -

Воздух 0,1 - 100 70 - 1500 -

Кислород 0,1 - 100 70 - 1500 -

Гелий 0,01 - 100 2,2 - 1500 -

Аргон 0,1 - 100 95 - 1300 <1000

Криптон 0,1 - 100 120 - 1300 <1700

Ксенон 0,1 - 100 165 - 1300 <2000

Неон 0,1 - 100 30 - 1300 <500

Метан 0,1 - 80 100 - 800 -

Этан 0,1 - 80 100 - 800 -

Пропан 0,1 - 100 100 - 800 -

Этилен 0,1 - 300 110 - 800 -

Углекислый газ 0,1 - 300 216,56 - 1300 -

Программа «ОАБ-Ъ» рассчитывает характеристики для ряда технически важных газов в однофазной области: воздуха, кислорода, азота, углекислого газа, гелия, неона, аргона, криптона, ксенона, метана, этана, пропана, этилена. В качестве независимых параметров могут использоваться любая пара параметров уравнения состояния, например, температура и давление. Область применимости программы для каждого конкретного газа представлена в таблице А. 1. Программа также не применима в узкой области в районе критической точки. Благодаря широкому диапазону изменения параметров программа может использоваться не только для расчёта в высокотемпературной области, но и при проектировании криогенных термоакустических систем.

Приложение Б. Неоднородное уравнение Бесселя

При решении дифференциальных уравнений акустики в осесимметричных каналах приходится решать уравнения вида

д2Т 1 дТ

_ ? +-—+ тТ = А1о(кг) + ВУо(кг) + С . (Б.1)

д 2 д

При этом т может быть как положительным, так и отрицательным.

Введём новую переменную ц, где г = Щ,а1- некоторая пока ещё неизвестная константа. Тогда

дТ _1дТ дг I дц'

д2 Т1 1 д2 Т

(Б.2_а) (Б. 2_б)

дг2 I2 дц2 С учётом этого уравнение (Б.1) принимает вид

д2Т 1дТ _

-г-гг + -— + 12тТ = 12А]0(к1г]) + 12ВУ0(к1т]) + 12С. (Б. 3)

дц2 ц дц

Уравнение приводится к неоднородному уравнению Бесселя при I = 1/—т. Тогда

д2 Т 1 дТ А к В к С

1дТ А I к \ В I к \ С

+ -— + Т =-]о[^)+-Уо{1=л)+-. (Б.4)

лдл т \4тЧ т \—т/ т

дц2 цдц т т \—т' т

Частное решение ищется в виде

*Уо(л) (\г -Ш) гЛ

-УМ Г'' пЫ-п) Г''

ТЧ(Ч)=-У^1 \ (Уо(0/(№, (Б.5)

где /(О - правая часть неоднородного уравнения (Б.4). С учётом изложенного

-У0Сп) тч(Л)= 0(1)

2 т

А Гао(оь(-^*)(Ц+В Гио(ОУо(-^*)(Ц + с Гшо^

]0 \-т / ]0 \-т / ]0

- 0( ц) ' к ' к ' ]0 \-т / ]0 \-т / ]0

(Б.6)

2 т

Для вычисления интегралов с коэффициентами А и В воспользуемся интегралом Ломмеля, который в общей форме имеет вид

I =-2—2-. (Б.7)

4 Р-2 - И-1

Здесь 2 - произвольная функция Бесселя. Тогда

А Гшо/о (Ц = А-Н=л (-^г^ЬО!)-к (-^г^кО!)

70 \ут / ( к \ У-т \ут / \ут >

К—т.

'0 ..... 1-11

к к к 1=к )Jo(г)-к

(Л-)

в \ао(ОУо(^)(Ц =

(Б. 8_а)

= в-

(—)2-V/m/

1

к / к \ / к \ 2

к / к /m 1 (л/m ^

= Л-

(—У

V/mV

1

к / к \ / к \ 2

—А (— |) У0(|/)- /о( V) п)- —

vm Wm ) Wm ) яп

= в

(—)-

V/m/

в ^ШОУ^^)^

к к к — Fi п)Уо(п) - У ) У1(|) -vm wm / Wm /

4ln( к О

При выводе выражений (Б.8) использованы предельные соотношения

2

lim х/0(х)У1(кх) =--- ,

як

lim х/1(х)У0(кх) = 0 ,

lim х[кУ0(х)У1(кх) - У0(кх)У1(х)] =

41пк

я

2

Оставшиеся интегралы вычислены как

С ft/0(t)dt = Cv/1(v), 0

Гл 2С

С| tr0(t)dt = С|У1(|) +—. ^0 я

С учётом полученных интегралов решение уравнения (Б.1) имеем

Т(|) = С^0(п) + С2Г0О1)

1

к2 - m

где п = r/m. Или возвращаясь к переменной r

/ m / m

С + —

m

1 С Т = Cj0(r/m) + C2r0(rVm) - —-[ЛА(кг) + ву,(кг)] + - .

к - m m

(Б.8_б)

(Б.8_в)

(Б. 8_г)

(Б. 9_а) (Б.9_б)

(Б.9_в)

(Б. 10_а) (Б. 10_б)

(Б. 11)

(Б. 12)

п

п

п

1

Приложение В. Асимптотические разложения вспомогательных функций

Функции Бесселя от мнимых аргументов ? и - быстро возрастающие по модулю. В процессе вычислений они встречаются в виде несократимых дробей в числителе и знаменателе функции, образуя неопределённости «бесконечность делёная на бесконечность». При использовании их в машинных расчетах уже при |?| > 60, а иногда и ранее, наступает потеря порядка. Если представить функции Бесселя в виде асимптотических разложений для больших аргументов [72], то этих проблем удаётся избежать.

/оО?) = ^ [^оО?) (? - - СоО?) (? - £)]<

А(?) = |—

( ( 3лд

Р1(?) со$(?? - —) - sin - —)

1о(?) = 12 [ро(?) sin (? - + Со(?) cos (? -

\щ

( 3я\ / 3лд

?1(?) sin —) + ^1(?) cos - —)

(В.1_а)

(В.1_б)

(В.1_в)

(В.1_г)

Где множители при тригонометрических функциях вычисляются в виде бесконечных рядов

, (В.2_а)

1232 12325272 1232527292112 Ро(?) ---ттт^-+

2! (8?)2 4!(8?)4

6!(8?)6

12 123252 1232527292 Со(?) ~ - 1! (8?)1 + 3! (8?)3 - 5! (8?)5 + "

123 • 5 1232527 • 9 123252729211 • 13

2!(8?)2 4!(8?)4

6!(8?)6

1^3 12325 • 7 123252729 • 11 +

1!(8?)1 3!(8?)3

5!(8?)5

(В.2_б) (В.2_в) (В.2_г)

В действительности ряды (В.2) сходятся очень быстро и для дальнейших расчётов достаточно первых трёх членов.

Поскольку все полученные выше уравнения кольцевого канала можно записать с помощью вспомогательных функций, достаточно для дальнейших расчётов получить их асимптотические разложения

0О(?) =/о(?оЖ^) -/о(^Ж?о) =

ИСоЫЛ)^ - ^оЫСо^^ соэ^ - ?о) -

-[^0(?0)^0(?w) + Ço(?o)Ço(?w)] sin(?w - ?0)}, (В. 3_а)

0(î?O,?w) =/0(?0)^1(?w) -/l(?w)^0(?0) =

21

w)] cos(?w - ?0) -

-[^o(?o)Çl(?w) - Ço(?o)^l(?w)]sin(?w -?o)}, (В.3-6)

0(?w,?o) =/0(?w)^1(?0) -/l(?0)^0(?w) =

21

- I-{[^0(?w)^1(?0) + Ç0(?w)Çl(?0)] cos(?w - ?0) +

+ [^o(?w)Çl(?o) - Ço(?w)^l(?o)]sin(?w -?o)}, (В.3-В)

1я„с„р„ ^ ¿Я„ J

'^КЯё)

Ç„Ps\

0O(?V^) =

Us C„Ps Çl(?s) - Pl(?s) sin ?„ + cos?„

bcpp„,P0(?„) + g0(?„)sin?„-cos,„^0(?V^). (В.3-г)

Приложение Г. Программа расчёта ТАД

В приложение не включены модули, которые не имеют принципиального значения и могут быть заменены аналогичными. А именно:

CBESSJ(z, n, Jn)- Возвращает функцию Бесселя Jn заданного порядка n для заданного комплексного аргумента z

fumn(A, B, C) - перемножение матриц 2*2: A*B = C

fumn4_2(A, D, C) - умножение матрицы 2*2 на матрицу-столбец: A*D = C

solid (tm, ros, lams, cs, kod) - Возвращает плотность ros, теплопроводность lams , теплоёмкость

cs твёрдого материала, определяемого кодом kod, при заданной температуре tm.

gas_He (Tm, pm, rom, cp, lambda, mu, alfa, gama, am, sig) - Возвращает плотность rom, изобарическую теплоёмкость cp, теплороводность lambda, вязкость mu, коэффициент линейного расширения alfa, показатель адиабаты gama, скорость звука am, число Прандтля sig для гелия при заданных температуре Tm и давлении pm.

DNSQ (F, jac, iopt, n, X, fvec, fjac, ldfjac, xtol, maxfev, ml, mun, epsfcn,diag, mode, factor, & nprint, info, nfev, njev, r, lr, qtf, wa1, wa2, wa3, wa4)

- Программа для решения систамы нелинейных уравнений. Входные параметры: F - внешняя подпрограмма-функция, которая формирует систему нелинейных уравнений, решаемых DNSQ;

jac - внешняя подпрограмма-функция, которая вычисляет Якобиан;

iopt - индикатор, который определяет, как будет вычисляться якобиан. Если iopt = 1, то jac задаётся пользователем. Если iopt = 2, то программа будет вычислять якобиан с помощью разности вперёд. n - количество нелинейных уравнений;

X - массив, длиною n, представляющий собой вектор параметров-предположений; fjac - выходной массив n*n, который содержит ортогональную матрицу Q, созданную с помощью QR-разложения конечной аппроксимации якобиана. ldfjac - положительная целая вводимая переменная, не меньше чем N, которая определяет основные размеры массива fjac. xtol - задаваемая относительная ошибка итерации (неотрицательная). maxfev - задаваемое предельно-допустимое количество итераций. ml - задаваемое количество поддиагоналей в ленте матрицы якобиана.

mu - задаваемое количество наддиагоналей в ленте матрицы якобиана.

epsfcn - вводимая относительная ошибка, используемая для определения шага при апроксима-

ции якобиана разностью вперёд. diag - массив весовых коэффициентов для переменных (длинной n).

mode - вводимый индикатор. Если mode = 2, весовые коэффициенты определяются вводимым

вектором mode. В других случаях они рассчитываются программой. factor - вводимый множитель евклидовой нормы. Лежит в интервале (.1,100). nprint - вводимая целая переменная, управляющая печатью. info - индикатор ошибки вычисления. nfev - предельно допустимое количество обращений к F. njev - предельно допустимое количество обращений к jac.

r - выходной массив, длиною lr, который содержит верхнюю треугольную матрицу, полученную QR- разложением из апроксимации Якобиана. lr - целая положительная вводимая переменная, не меньшая чем (n*(n+1))/2. qtf, wa1, wa2, wa3, wa4 - рабочие массивы, длиною N.

mat_spec(A, B, x, C) - Возвращает матрицу С, как результат операции C = A+x*B, где A и B -матрицы 2^2, x - вещественный множитель.

Основные расчётные модули

INTEGER IOPT, N, MAXFEV, ML, MUN, MODE, NPRINT, INFO, NFEV, LDFJAC, LR, NJEV

REAL(8) XTOL, EPSFCN, FACTOR, D1MACH, tet2t, tet2p, f_gc_old, f_gv_old

REAL(8) X(9), FVEC(9), DIAG(9), FJAC(9,9), R(45), QTF(9), WA1(9), WA2(9), WA3(9), WA4(9)

EXTERNAL f_om, f_om2, f_om3

integer nn, i, matn, matm, IFLAG, kod, kp

real (8) lrezl, drezl, lrez2, drez2, pm, alfa, tm, tm2, f, Msup, Resup, rom, ros, cp, cs, lambda, lams real (8) Areg, ASreg, AStbt, lcon, lpr, dpr, p0, trez, mu, am, gama, sig, lin, din, lpod, dpod, ltbt, dtbt real (8) Th, lreg, dreg, por, rh, matrho, matlam, matcp, f_norm, dt, Ag, rosm, lamsm, csm, ksFrac, x0 real (8) lthl, dthl, porthl, lth2, dth2, porth2, lth3, dth3, porth3, rhl, rh2, rh3, NRe, es, tetar, kef, epgas real (8) hll, hl2, Qc, Qh, f_fi, t2, tl, h, Qc2, delh, Hx, dl, lx, dtx, T0, supl, sup2, gc, gv real matlim

real(8), parameter :: eps=0.00000000l_8

complex (8) al, a2, tdin, eh, z, om, u3, ul, u2, dels, delk, deln, fk, fn, rott

real (8), parameter :: pi=3.l4l592653589793238462643383

complex (8), parameter :: ed=(l._8,0._8), edco=(l._8,l.0_8), edim=(0._8,l.0_8)

complex (8), dimension(2,2):: Bl, B2, B3, BD, BM, BBB, BBB0

complex (8), dimension(2):: PUl, PU2, PU3

complex (8), dimension(l0,2,2):: BREZS, BTBTS

common /blockl/ rom, ros, cp, cs, lambda, lams, mu, am, alfa, gama, sig, nn common /block2/ lin, din, lpod, dpod, ltbt, dtbt, lreg, dreg, Th, por, rh, ASreg, & AStbt, tm, tm2, pm, lrezl, drezl, lrez2, drez2, lcon, Resup, Msup, lthl, dthl, & porthl, rhl, lth2, dth2, porth2, rh2, lth3, dth3, porth3, rh3, Areg, lpr, dpr, trez common /datmat/ matrho(4), matlam(4,7), matcp(4,7), matlim(4,2), matn, matm common /rezmat/BD, BM common /block3/ h, Qc, Qh, hll, hl2, p0, delh common /regen/BREZS common /tbt/BTBTS

kod=0 open(l,file='in.txt') open(l,file='in.txt')

read(l,*) f ! начальная частота

read(l,*) lin, din ! длина и диаметр инерционной трубки

read(1,*) lpod, dpod ! длина и диаметр трубки за супрессором

read(1,*) ltbt, dtbt ! длина, диаметр ТБТ

геаё(1,*) 1ге§, ёге§ геаё(1,*) Т^ рог, rh

гead(1,*) 1рг, dpr геаё(1,*) 1ге21, ёге21 read(1,*) lrez2, drez2 гead(1,*) 1соп геаЛ(1,*) ASreg, AStbt гead(1,*) Resup, Msup геаё(1,*) 1ш, 1ш2, 1хе2

геаЛ(1,*) Ш, dth1, рогШ, гЬ1

геаё(1,*) №2, ёШ2, рогЛ2, гЬ2

геаё(1,*) Ш, ё1Ь3, рогШЗ, гЬ3

гead(1,*) рт, р0, delh ! с1о8е(ипк=1)

са11 §аБ_т ореп(10, Г11е=' 12Х18Н1 ОТ.ёаг') геаё(10,*) шаШ, ша1ш геаё(10,*) ша1гЬо(1) геаё(10,*) (ша1;1аш(1,1), 1=1,ша1;п) геаё(10,*) (ша1ср(1Д), 1=1,ша1;п) геаё(10,*) (шаШш(1Д 1=1,2) с1ове(иш1=10) ореп(11, Ше^ЪШ.ёа?) геаё(11,*) шаШ, шаШ геаё(11,*) ша1гЬо(2) геаё(11,*) (ша1;1аш(2,1), 1=1,ша1;п) геаё(11,*) (ша1;ср(2,1), 1=1,ша1;п) геаё(11,*) (шаШш(2Д 1=1,2) с1о8е(ипИ;=11) ореп(12, Ше='ш0.ёа1;')

! длина и диаметр сечения регенератора ! горячая температура, пористость и гидравлический радиус

регенератора

! длина и диаметр проставки между тройником и ТО ! длина и диаметр узкой трубы резонатора ! длина и диаметр широкой трубы резонатора ! длина переходного конуса резонатора ! площадь сечения метала корпуса регенератора и ТБТ ! резистивность и подвижная масса супрессора средние температура перед основным и за дополнительным

! ТО и давление на входе ! длина, диаметр, пористость основного ! теплообменника-охладителя ! длина, диаметр, пористость ! теплообменника-нагревателя ! длина, диаметр, пористость дополнительного ! теплообменника-охладителя давление в узле, дополнительная перетечка энтальпии в узле

! ввод коэффициентов для газа

геаё(12,*) шаШ, шаШ геаё(12,*) ша1хко(3) геаё(12,*) (ша1;1аш(3,1), 1=1,ша1;п) геаё(12,*) (ша1;ср(3,1), 1=1,ша1;п) геаё(12,*) (шаШш(3Д 1=1,2) с1о8е(ипк=12) ореп(13, й1е='Ьгоп7е.ёа1;') геаё(13,*) шаШ, шаШ геаё(13,*) ша1хко(4) геаё(13,*) (ша1;1аш(4,1), 1=1,ша1;п) геаё(13,*) (ша1;ср(4,1), 1=1,ша1;п) геаё(13,*) (шаШш(4Д 1=1,2) с1о8е(ипИ;=13)

ореп(2,Ше='ге7.Ш')

ореп(3,Ше='ге72.Ш')

ореп(4,Ше='ёор.Ш')

ореп(11,Ше='ге7егу1.Ш')

ореп(12,Ше='ге7егу2.1х1;')

Лге§=р1*ёге§ *ёге§/4._8

ош=ёсшр1х(Рр1*2._8,0._8) ! начальное приближение циклической частоты

! I - я СТУПЕНЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ

10РТ = 2 ! Якобиан будет не задаваться, а вычисляться разностью вперёд

N = 2 ! задаём число неизвестных

! Начальные приближения:

Х(1)=ёгеа1(ош) ! 1-я переменная - вещественная частота

Х(2)=&ша§(ош) ! 2-я переменная - мнимая частота

ЬББТЛС = N ! задаём размер массива FJAC

ЬЯ = №(№1)/2 ! определяем размер массива R как №(№+1)/2

XTOL = SQRT(D1MACH(4)) ! относительная ошибка между итерациями

МЛХБЕУ = 200 ! предельное число обращений к FCN, чтобы избежать зацикливания

МЬ = N-1 ! количество поддиагоналей в ленте матрицы Якоби