Термодинамический и акустический анализ пульсационного горения твердого и газообразного топлива в двухконтурных моделях тепловых энергетических установок тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат наук Семенова Евгения Вячеславовна

• Семенова Евгения Вячеславовна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Семенова Евгения Вячеславовна

Введение

Глава 1 Общая характеристика пульсационного горения в тепловых

энергетических установках

1.1 Автоколебания газа в тепловых энергетических установках

1.2 Пульсационное горение твердого топлива в типовых установках

1.3 Пульсационное горение газообразного топлива в установках с многоканальной горелкой

1.4 Выводы по главе 1, постановка цели и задач диссертационной работы

Глава 2 Пульсационное горение твердого топлива в коаксиально

расположенных трубах

2.1 Уравнение частот колебаний газа

2.2 Термодинамический анализ процессов, происходящих в зоне горения

2.2.1 Линеаризация уравнений сохранения массы, импульса и энергии

2.2.2 Анализ уравнения баланса акустической энергии

2.3 Расчет акустических и термодинамических характеристик пульсационного горения

2.4 Акустическая модель колебаний газа в коаксиальных трубах непрерывных изменениях удельной теплоты сгорания топлива

2.5 Выводы по главе

Глава 3 Пульсационное горение твердого топлива в установке типа

резонатора Гельмгольца

3.1 Базовые термодинамические соотношения

3.2 Расчет параметров установившихся колебаний газа в зависимости

от длины резонансных труб и объема камеры сгорания

3.3 Расчет термодинамических характеристик пульсационного горения

3.4 Анализ процесса излучения звука на концах труб

3.5 Выводы по главе

Глава 4 Пульсационное горение газообразного топлива в установке с

замкнутым резонансным контуром

4.1 Уравнение частот колебаний газа

4.2 Термодинамический анализ установившихся колебаний газа в камере сгорания

4.3 Расчет параметров колебаний газа и термодинамических характеристик пульсационного горения

4.4 Выводы по главе

Заключение

Список использованных источников информации

Приложения

Приложение

Приложение

Приложение

Принятые сокращения и условные обозначения

Сокращения

ВГ - вибрационное горение,

УЗД - уровень звукового давления,

ТАР - теория автоматического регулирования,

ПГ - пульсационное горение.

Условные обозначения

А - поток акустической энергии,

Ас - акустическая мощность теплового источника,

А^ - общие потери акустической энергии,

Аи - пристеночные потери акустической энергии,

Ад, А1 - акустические энергии, излучаемые на концах трубы, а - коэффициент в линейном распределении скорости звука, ас, а^, ао, а} - коэффициенты зависимостей Ас, Лм;, Ао, А} от амплитуды колебаний давления в плоскости теплоподвода,

В = ср 2Г2 0/ср Т о ~ Г*/Г о, - отношение средних температур газа на передней и задней сторонах плоскости теплоподвода, Ь - градиент скорости звука в горячем газе, Ь'ц - коэффициент нелинейности в зависимости Ас(рс ),

С - максимальная амплитуда колебаний скорости потока, с - скорость звука,

с2,0 = с2 (о) с* = с2 ),

си, ср - удельные теплоемкости,

в - функции, связывающие амплитуды колебаний скорости и давления на различных участках изучаемой установки, d - диаметр камеры сгорания, труб, каналов, отверстий, F - функция, учитывающая акустические свойства входного устройства и объем камеры сгорания,

Fo - функция, зависящая только от параметров входного устройства,

/ - частота колебаний, I - мнимая единица,

Ки - передаточная функция пламени, связывающая колебания скорости тепловыделения с пульсациями скорости газа, соответственно, Ки = Хи + Уи - безразмерная передаточная функция,

к = со/С - волновое число,

I - длина камеры сгорания, труб, каналов, *

I - эффективная длина трубы, А/ - концевая поправка, Мо = ио / с - число Маха, п - натуральный ряд чисел, Р - давление,

р - амплитуда колебаний давления,

Рс = Р^Х , ^| = Р1 * - амплитуда колебаний давления в плоскости теп-

лоподвода, в зоне горения,

Рг - число Прандтля,

Пк - тензор плотности потока импульса,

() - скорость теплоподвода к газу, скорость тепловыделения при горении,

Р - радиус трубы,

*

К - газовая постоянная,

г - радиальная координата,

£ - площадь поперечного сечения канала, отверстия, Sо - площадь сечения входного патрубка,

Г - температура, *

Г2 - средняя температура газа на правой стороне плоскости теплоподвода, Гс - температура горения, I - время,

и - скорость потока,

и'о - акустическая скорость на выходе из системы подачи, и - амплитуда колебаний скорости,

V - объем камеры сгорания,

V - отношение объемов газа в трубе и емкости,

х - продольная координата,

*

х - расстояние от входа в трубу (камеру сгорания) до плоскости теплоподвода,

у - поперечная координата,

г=х+¡у - акустическии импеданс,

г0 = — Р (0,1)/ и (О, I) - импеданс на входе в трубу,

^0 0 = — Р0/и0 - импеданс входного устройства,

= — р[ (х*, I)/ и{(х*, I) - импеданс на левой стороне плоскости теплоподвода,

Z2 * = р'2 (х*, г у и'2 (х*, г) - импеданс на правой стороне плоскости теплоподвода,

Z} = р2 (/, г У и2 (/, г) - импеданс на конце трубы, & - коэффициент избытка воздуха,

/3=1 — (Ь/(2с))2| - параметр в решении волнового уравнения, у = Ср Iси - отношение удельных теплоемкостей,

дк - единичный тензор, £ - стехиометрическое число,

£г - отношение общей площади выходных отверстий системы подачи или площади сечения резонансной трубы к площади сечения камеры сгорания, соответственно,

Л - длина звуковой волны, V - коэффициент кинематической вязкости,

р - плотность газа,

*

Р2 - средняя плотность газа в плоскости теплоподвода, т - время запаздывания колебаний скорости теплоподвода к газу относительно акустических возмущений; время запаздывания горения, ти - время запаздывания относительно колебаний скорости потока, (р - угол, зависящий от граничных условий на концах канала, Ц/ - фазовый сдвиг между колебаниями скорости теплоподвода к газу и колебаниями давления в области теплоподвода, с - угловая (циклическая) частота, сп - значения частот с учетом порядковых номеров,

Индексы

' (штрих) - возмущения термодинамических параметров, 0 - на входе в камеру сгорания; средние значения термодинамических параметров,

1 - течение газа до плоскости теплоподвода,

2 - течение газа после плоскости теплоподвода,

3 - течение газа в резонансной (второй) трубе, с - камера сгорания,

/ - фронт пламени,

I - на конце трубы, р - пропан,

г - резонансная (вторая) труба, w - стенки камеры сгорания, Ь - линейное приближение, N - нелинейное приближение, V - в акустической емкости,

второй индекс 0 - средние значения для термодинамических параметров; для

акустических возмущений, в сечении х = 0,

*

*- в сечении х = х ,

I - в сечении х = I. I, с - на конце камеры сгорания, I, г - на конце резонансной (второй) трубы,

с, г - для связи акустических возмущений в камере сгорания и резонансной (второй) трубе.

Введение

Актуальность темы исследования. В 2009 г. был принят Федеральный закон № 261-ФЗ "Об энергосбережении и о повышении энергетической эффективности и о внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации" (последняя редакция 29.07.2017). В связи с этим, актуальными стали задачи ресурсосбережения и энергетической эффективности использования природных органических топлив.

Перспективным для решения этих задач является использование в тепловых энергетических установках пульсационного режима горения. Особенностью этого режима является то, что он возникает самопроизвольно в результате взаимодействия теплового источника - процесса горения с акустическими колебаниями газа в камере сгорания. Колебания газа приводят к тому, что процесс тепловыделения в камере сгорания становится периодическим. В результате реализуется циклический термодинамический процесс с постоянной амплитудой пульсаций скорости тепловыделения, давления и скорости газа. Длительность одного цикла равна периоду акустических колебаний газа в камере сгорания.

Выявлено, что, по сравнению с равномерным режимом горения, в колеблющихся потоках происходит увеличение скорости тепловых и массооб-менных процессов, увеличивается полнота сгорания топлива. Интенсификация указанных процессов имеет важное значение для тепловых энергетических установок, используемых в различных отраслях промышленности.

Установлено, что пульсационный режим горения позволяет успешно решать задачи по утилизации промышленных и бытовых отходов. Выделяющаяся тепловая энергия может быть использована для решения целого ряда практических задач. При этом концентрации токсичных веществ могут быть доведены до установленных экологических норм.

B.C. Северянин [22, 25], В.Н. Подымов [22, 94], Т.П. Назаренко [57, 60,67], Ф.Н. Имамутдинов [75-77], A.B. Кочергин [66, 67], Г.И. Павлов [65-

67], Г.А. Глебов, Ю.В. Ваньков [67], F.H. Reynst [20], A.A. Putnam [38], J.A. Carvalho [61, 63, 68] и другие разработали и испытали ряд установок, работающих в пульсационном режиме горения. В работах этих ученых был выполнен анализ причин и условий, при которых происходит самовозбуждение колебаний газа. В качестве примера возьмем двухконтурную установку, состоящую из двух коаксиально расположенных труб, первая из которых - камера сгорания для слоевого сжигания твердых промышленных отходов, вторая - резонансная труба. По сравнению с камерами сгорания типа трубы Рийке, имеется возможность поступления в зону горения вторичного воздуха через кольцевой зазор между трубами. Это говорит о перспективности коаксиальных установок для сжигания низкосортных топлив. Однако, отсутствие математической модели пульсационного горения в установке рассматриваемого типа создает определенные трудности при их проектировании.

В настоящее время одной из основных проблем широкого практического использования данных установок по-прежнему остается шум, уровень которого значительно превышает допустимые санитарные нормы. Есть основания предполагать, что двухконтурные установки, состоящие из камеры сгорания и двух резонансных труб, позволят решить указанную проблему. Теоретическое обоснование этой гипотезы не проводилось.

Термодинамический подход к изучению пульсационных режимов горения использовали: Б. В. Раушенбах [1, 10], М.С. Натанзон [35], К.И. Артамонов [56], Р.Г. Галиуллин , A.A. Putnam [38], N. Rott [30, 55]. «Энергетический» метод, основанный на анализе уравнения баланса акустической энергии в камере сгорания, учитывающий градиент температуры газа, нелинейный характер процесса тепловыделения и излучения звук, был разработан В.М. Ларионовым.

Имеющиеся в научной литературе данные говорят о том, что двухконтурные камеры сгорания перспективны для разработки энергоэффективных промышленных установок, для решения экологических проблем, для сни-

жения уровня шума, производимого этими установками, до приемлемых значений.

Анализ научно-технической и патентно-лицензионной литературы показывает, что в теоретическом отношении термодинамическая и акустическая составляющие пульсационного горения в двухконтурных установках исследованы недостаточно. В данной работе используется термодинамический подход и «энергетический» метод исследования пульсационного горения в тепловых энергетических установках.

На основе обзора и анализа научно-технической и патентно-лицензионной литературы были поставлены цель и задачи исследования.

Целью работы является: разработка математических моделей и определение термодинамических и акустических характеристик пульсационного горения в двухконтурных установках.

Поставленная цель достигалась решением следующих задач:

1. Провести обзор и анализ научно-технической и патентно-лицензионной литературы по теме диссертационной работы.

2. Разработать математическую модель, термодинамический и акустический анализ пульсационного горения твердого топлива в коаксиальных трубах.

3. Рассчитать термодинамические характеристики пульсационного горения, условий возбуждения колебаний газа, их частоты и амплитуды в системе коаксиально расположенных труб.

4. Рассчитать термодинамические характеристики пульсационного горения твердого топлива и параметров колебаний газа в установке типа резонатора Гельмгольца, состоящей из камеры сгорания, воздухоподающей трубы и трубы для выхода продуктов сгорания.

5. Разработать математическую модель и термодинамический и акустический анализ пульсационного горения газообразного топлива в камере сгорания с многоканальной горелкой на входе и двумя резонансными трубами, образующими замкнутый резонансный контур.

6. Рассчитать термодинамические характеристики и параметры колебаний газа в системе с замкнутым резонансным контуром.

7. Определить условия, соответствующие минимальному уровню шума, производимого двухконтурными установками пульсационного горения типа резонатора Гельмгольца.

Научная новизна диссертации состоит в следующем:

1. Разработана новая математическая модель пульсационного горения твердого топлива в системе коаксиальных труб, включающая уравнение частот колебаний газа, соотношения, определяющие пульсации скорости тепловыделения, среднюю за цикл акустическую энергию, получаемую газом в единицу времени, амплитуду колебаний давления в зоне горения.

2. Установлены условия, соответствующие максимальной амплитуде колебаний газа в трубе-камере сгорания.

3. Получено соотношение, связывающее пульсации скорости тепловыделения с пульсациями расхода воздуха, поступающего в камеру сгорания твердого топлива в установки типа резонатора Гельмгольца.

4. Обнаружен режим пульсационного горения, в частности, условие, соответствующее колебаниям газа на концах резонансных труб с одинаковой амплитудой, но с противоположными фазами.

5. Получено уравнение частот и соотношение, определяющее амплитуду установившихся колебаний газа при пульсационном горении газообразного топлива в установке типа резонатора Гельмгольца с замкнутым резонансным контуром.

6. Обнаружены условия, соответствующие минимальному уровню звукового давления в выходном отверстии резонансного контура.

7. Предложены научно обоснованные рекомендации по снижению уровня шума, производимого двухконтурными установками пульсационного горения типа резонатора Гельмгольца.

8. Разработана новая конструктивная схема камеры сгорания, на что получен патент на полезную модель РФ №135770.

9. Разработано новое устройство пульсационного сжигания кускового твердого топлива, на что получен патент на полезную модель №135768.

Достоверность полученных результатов:

При разработке математических моделей, использовались фундаментальные законы и уравнения механики жидкости и газа, теория теплообмена и физики горения. Применялись апробированные математические и численные методы. При условиях, соответствующих отсутствию второго контура, результаты расчетов совпали с данными, полученными другими авторами для аналогичных одноконтурных установок.

Теоретическая и практическая значимость:

Математические модели и полученные результаты расширяют имеющиеся знания о термоакустических колебаниях газа в энергетических установках. Методики и результаты работы будут полезными для разработки ресурсосберегающих и энергоэффективных нагревательных установок, которые могут быть использованы в различных отраслях промышленности. Данная диссертационная работа выполнена в рамках следующих программ: Государственное задание Министерства образования и науки РФ на выполнение НИР (ДЗН) 2009-2014 гг., Программа по повышению международной конкурентоспособности Казанского федерального университета среди ведущих мировых научно-образовательных центров 2014-2017 гг.

Результаты диссертационной работы используются в учебной и научной работе:

1. В Казанском (Приволжском) федеральном университете при проведении лекционных и семинарских занятий по направлению «Техническая физика» на кафедре технической физики и энергетики Казанского федерального университета, а так же в НИР и НИРС;

2. В КНИТУ-КАИ им. А.Н. Туполева на кафедрах: «Теплотехники и энергетического машиностроения»; «Реактивных двигателей и энергетических установок»;

3. В Казанском государственном энергетическом университете на кафедре «Промышленная теплоэнергетика и системы теплоснабжения».

На защиту выносятся:

1. Математическая модель и результаты расчетов условий возбуждения, частоты и амплитуды колебаний газа при горении твердого топлива в коаксиально расположенных трубах.

2. Физический механизм и математическая модель процесса влияния колебаний воздуха на пульсации скорости тепловыделения при горении твердого топлива в установке типа резонатора Гельмгольца. Результаты анализа термодинамических характеристик и параметров термоакустических колебаний газа в указанной установке.

3. Математическая модель и полученные на ее основе результаты термодинамического и акустического анализа пульсационного горения газа в камере сгорания с замкнутым резонансным контуром.

4. Рекомендации по снижению уровня шума, по повышению энергоэффективности и экологичности при сжигании твердых и газообразных отходов, которые будут использованы при проектировании, создании и эксплуатации двухконтурных установок пульсационного горения типа резонатора Гельмгольца.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Термодинамический и акустический анализ пульсационного горения твердого и газообразного топлива в двухконтурных моделях тепловых энергетических установок»

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всероссийских и международных научно-технических конференциях, симпозиумах, конгрессах и семинарах: «Низкотемпературная плазма в процессах нанесения функциональных покрытий» (Казань, 2011-2016 гг.), Всероссийской школе-семинаре молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова (Казань, 2012), международной конференции по методам аэрофизических исследований 1СМАЯ (Казань, 2012), международной научно-технической конференции «Проблемы и перспективы развития авиации, наземного транспорта и энергетики АНТЭ» (Казань, 2013), национальном конгрессе по энергетике (Казань, 2014), Всероссийском научно-практическом

форуме "Стандарты энергоэффективности: организации образования и науки" (Казань, 2015), научно-технических семинарах на кафедре «Техническая физика и энергетика» (К(П)ФУ, Казань, 2018), научно-техническом семинаре кафедры «Теплотехника и энергетическое машиностроение» (КНИ-ТУ-КАИ, Казань, 2018).

Публикации. Автор имеет 24 научных труда, из них 3 статьи в изданиях, рекомендуемых ВАК РФ, 2 патента РФ, 7 публикаций в изданиях, входящих в базу данных Web of Science, Scopus, 12 публикаций в других изданиях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из принятых сокращений и обозначений, введения, четырех глав, заключения, приложения и списка используемых источников информации, общий объем диссертации составляет 165 стр., в том числе 20 рисунков, 10 таблиц, расположенных по тексту. Список используемых источников информации включает 121 наименование.

Глава 1 Общая характеристика пульсационного горения в тепловых

энергетических установках

1.1 Автоколебания газа в тепловых энергетических установках

Известно, что в ряде установок, содержащих тепловые источники, при определенных условиях происходит самовозбуждение звука. В качестве примера можно назвать «поющее» пламя, установка Зондхаусса, труба Рий-ке, неравномерно нагретый резонатор Гельмгольца и др. [1-4].

При разработке ракетных и авиационных двигателей возникла проблема акустической неустойчивости горения. В камерах сгорания ракетных двигателей на жидком и твердом топливе [5-9], воздушно-реактивных двигателей [10-12] интенсивные колебания часто вызывали повреждения элементов конструкции установки, нестабильности величины и направления вектора тяги и пр. В настоящее время проблема акустической неустойчивости горения для действующих энергетических установок решена. Однако, универсального решения проблемы найти не удалось. Не случайно в настоящее время проводятся исследования, направленные на разработку методов подавления колебаний газа в камерах сгорания современных газотурбинных установок [1316] и перспективных ракетных двигателях [7-19].

В то же время, многочисленные исследования показали, что режим пульсационного горения эффективен для решения целого ряда практических задач [20-23]. Известно [24], что различные тепломассообменные процессы существенно ускоряются под воздействием колебаний газа [22, 25, 26]. Кроме того, в пульсационном режиме происходит более полное сгорание топлива, значительное сокращение протяженности зоны горения по сравнению режимом горения без колебаний [4, 27].

Физическая природа изучаемого явления была описана в работах [1, 3]. Принципиальная схема любой установки пульсационного горения включает колебательную систему и источник энергии, между которыми существует

взаимосвязь [4]. Колебательной системой является камера сгорания, заполненная колеблющимся газом (см. рис. 1.1).

Источник энергии в отсутствие колебаний газа выделяет в единицу времени постоянное количество тепловой энергии. Однако, между источником энергии и колебательной системой существует так называемая «обратная связь» [4]. В установках пульсационного горения эта связь реализуется благодаря физико-химических процессам, происходящим в зоне горения под воздействием колебаний газа. В результате, процесс тепловыделения в зоне горения становится периодическим.

Ясно, что из-за диссипации энергии, колебания газа возникают только в том случае, если в результате периодического выделения теплоты происходит увеличение энергии собственных колебаний газа - акустической энергии. Рэлей, объясняя явление «поющего» пламени, предложил следующее условие самовозбуждения колебаний газа, получившее название «критерий Рэ-лея». Акустические колебания газа возникают только в том случае, когда фазовый сдвиг между колебаниями давления и колебаниями скорости тепловыделения в зоне горения по абсолютному значению меньше п/2. Другими словами, максимальное количество теплоты должно сообщаться колеблющемуся газу в фазе сжатия, а минимальное -в фазе разрежения [28]. Это условие аналогично известному термодинамическому принципу работы тепловых двигателей: если при сжатии газ нагревается, а после расширения - охлаждается, в течение одного цикла совершается положительная работа.

Таким образом, пульсационное горение - это циклический термодинамический процесс, в основе которого лежит взаимодействие источника тепловой энергии - процесса горения с акустическими колебаниями газа в камере сгорания.

Рисунок 1.1 - Общая схема автоколебательной системы:

КС - колебательная система, ИЭ - источник энергии

Анализ имеющихся публикаций [1, 3, 4, 6, 21, 29-35] показал, что большинство фундаментальных исследований посвящено пульсационному горению в трубе и в установках типа резонатора Гельмгольца. Были разработаны подходы и методы линейного анализа пульсационного горения. В ряде работ [1, 3, 29, 30] предполагалось, что зона горения бесконечно тонкая. Этот подход используется, когда протяженность зоны горения намного меньше длины волны, и мы имеем сосредоточенный тепловой источник. В этом случае уравнения сохранения в зоне горения упрощаются и дают два граничных условия, связывающих акустические возмущения течений газа до- и после теплового источника. Влияние распределения тепловыделения в зоне горения на акустическую неустойчивость течений газа в каналах было рассмотрено в работах [36, 37].

Основная проблема теоретического анализа неустойчивости горения -определение передаточной функции пламени, которая описывает зависимость скорости тепловыделения от акустических возмущений. Имеется несколько простых кинематических моделей, разработанных для ламинарного и V - образного пламени [38-40], пламени, стабилизированного на стенках трубы [41]. Однако, взаимодействие пламени с потоком газа - очень сложный процесс, поэтому во многих работах передаточная функция пламени определялась экспериментально [42-45]. В настоящее время ведутся исследо-

вания динамики горения в камерах сгорания газотурбинных установок. Применяются современные методики, использующие многофункциональное и высокоточное оборудование [46-48].

Линейный анализ позволяет определить границы устойчивости, частоты и форму колебаний газа. Обычно используется средняя скорость звука в камере сгорания, подбираемая таким образом, чтобы согласовать вычисленные и измеренные частоты колебаний. Однако, в трубе Рийке, лабораторных установках и камерах сгорания с охлаждаемыми стенками поток газа является неоднородным. Было показано [49, 50], что продольные градиенты средней температуры, средней плотности и скорости звука значительно влияют на акустические свойства течения газа и границы устойчивости горения.

Полный анализ колебаний при горении включает определение амплитуды установившихся колебаний соответствующих предельному циклу [51, 52]. Было показано [1, 53], что основная причина, ограничивающая амплитуду колебания газа - это нелинейность процесса тепловыделения, и может быть использован «квазилинейный» подход. Этот подход дает возможность провести нелинейный анализ процессов тепловыделения и излучения звука [54] при условии, что акустические волны в камере сгорания - линейные. Обзор ряда методов анализа самовозбуждения колебаний был дан в работе [53].

Эффективным для исследования пульсационного горения зарекомендовал себя термодинамический подход, основанный на анализе соотношения между получаемой в зоне горения акустической энергии и ее общими потерями. На основании этого подхода был разработан «энергетический» метод, который был успешно использован для изучения пульсационного горения в ряде работ [1, 29, 30, 55, 56]. В частности, энергетическим методом было дано математическое обоснование критерия Рэлея.

Суть метода заключается в следующем. В потоке газа всегда присутствуют бесконечно малые пульсации скорости и давления - акустические возмущения. Ясно, что из всего спектра возмущений усиливаются только те, частота которых соответствует частоте собственных колебаний газа в камере

сгорания. Наличие пульсаций скорости и давления движущегося газа приводит к дополнительному переносу энергии, который характеризуется потоком акустической энергии. В области тепловыделения пульсации скорости и давления газа вызывают пульсации скорости тепловыделения. Часть периодически выделяющейся тепловой энергии преобразуется в механическую - акустическую энергию. В результате, поток акустической энергии газа, пересекающего область тепловыделения, согласно критерию Рэлея, увеличивается.

Рассмотрим поток газа, пересекающий некоторую область внутри которой расположен тепловой источник. В общем случае газ может получать энергию и от внешнего источника через непроницаемую часть поверхности (см. рис. 1.2) [4]. По определению [3], средний за период колебаний поток акустической энергии через поверхность, ограничивающую рассматривае-

мую область равен А = р и

Рисунок 1.2 - Поток акустической энергии через область теплоподвода:

О, О™ - скорость теплоподвода от внутренних и внешних источников, соответственно

В рассматриваемом случае имеем:

Л - А = ({Р2 К ^2 -1 рХА ) .

Ясно, что изменение потока акустической энергии равно ее изменению за единицу времени в области теплоподвода. Вязкость и теплопроводность газа приводят к тому, что часть акустической энергии теряется. Тогда:

А2 А1 - Ас А,с ■

В общем случае необходимо учитывать потери энергии в области теплоподвода, а так же в холодной и горячей части потока. Из физических соображений очевидно, что колебания газа будут усиливаться, если акустическая энергия, получаемая газом в области теплоподвода, превышает общие потери энергии:

Ад, ^ А . (1.1)

В этом случае поток газа, пересекая область теплоподвода, получает дополнительную акустическую энергию, так как Л2>ЛЬ и колебания имеют возможность усиливаться. Если получаемая газом акустическая энергия меньше ее потерь, колебания газа не возникают.

В начале после возбуждения колебаний их амплитуда начинает быстро расти. Однако, процессы, влияющие на возбуждение колебаний газа, являются нелинейными. В результате количество акустической энергии, получаемой газом в единицу времени, начинает уменьшаться. С другой стороны, известно [3], что потери энергии с ростом амплитуды колебаний газа наоборот возрастают.

Рисунок 1.3 - Генерация и поглощение акустической энергии: 0 - граница неустойчивости, а - установившиеся колебаний

С течением времени выполняется условие, при котором получаемая газом акустическая энергия во второй раз станет равной ее потерям, кривые 1 и 2 пересекутся (см. рис. 1.3) [3]. При выполнении такого условия газ совершает установившиеся колебания с постоянной частотой и амплитудой. Согласно работам [3, 4], условие установившихся, устойчивых колебаний газа имеют вид:

Ас, N = А, N (1.2)

Индекс «N» показывает, что это соотношение является результатом нелинейного анализа.

Соотношения (1.1), (1.2) позволяют определить условия возбуждения колебаний (линейный анализ) и рассчитать амплитуду установившихся колебаний (нелинейный анализ). По общему мнению, такой метод проще и физически нагляднее, чем другие методы, основанные на теории дифференциальных уравнений или теории автоматического регулирования.

Термодинамический подход был использован в работах [3, 4, 57]. Была разработана методика расчета параметров пульсационного горения, которая

учитывала изменение средней температуры газового потока и нелинейную природу процессов тепловыделения и излучения звука.

Были проведены расчеты пульсационного горения в установках типа резонатора Гельмгольца [58, 59] и в трубе [60] в случае горения за стабилизатором пламени. Получено хорошее совпадение результатов вычислений и экспериментальных данных. В этих работах были получены следующие базовые соотношения: средний за один период колебаний поток акустической энергии, получаемой газом в зоне горения:

А N -(аС ,Ь - аС ,мРс ) Р^ (1.3)

где рс - амплитуда колебаний давления в зоне горения; средняя за один период акустическая энергия, теряемая в единицу времени на стенках канала:

А - тКр1М'2 Г +у-

03/2

23

л/Рг

С2, (1.4)

V л/п у

где С - максимальная амплитуда колебаний скорости газа.

Средняя за один цикл акустическая энергия, излучаемая на открытом конце канала в единицу времени

А - ро Би;

4

(аК)2 -—— + и

с

о

(1.5)

где и- амплитуда колебаний скорости газа на открытом конце канала. Функции асЬ , а^, а^, соответствующие линейному приближению, и ас,м и а,м, учитывающие нелинейные эффекты, зависят от частоты колебаний, термодинамических и геометрических параметров установки, особенностей процесса сжигания топлива.

В настоящее время продолжаются работы, направленные на практическое использование пульсационного горения. Одно из направлений этих исследований - разработка камер сгорания и горелочных устройств для сжигания промышленных и бытовых отходов [61-66]. Одновременно решаются две задачи: утилизация отходов и использование их в качестве вторичных энергоресурсов для производства тепловой энергии. Широко используются установки типа трубы Рийке, одна из которых представлена на рис. 1.4 [22]

Рисунок 1.4 - Установка типа трубы Рийке: 1 - труба-резонатор, 2 - решетки, 3 - топливо, 4 - отверстие с заслонкой

Эта установка представляет собой вертикально расположенную трубу 1, в которую нагнетается воздух. На расстоянии 1/4 длины трубы от нижнего конца располагаются две решетки 2, между которыми находится твердое топливо 3, поступающее через отверстие 4. После воспламенения топлива (дерево, кокс, уголь) в трубе возникают интенсивные колебания газа.

Была разработана и испытана двухконтурная установка пульсационного горения твердого топлива [67, 68]. Первый контур - рассмотренная выше установка типа трубы Рийке, второй контур - резонансная труба меньшего сечения, расположенная коаксиально по отношению к первому контуру.

Были проведены исследования процесса возбуждения колебаний газа в установке типа резонатора Гельмгольца (см. рис. 1.5) [69-71].

Рисунок 1.5 - Установка

типа

резонатора

1 - камера сгорания, 2 — резонансная труба,

Гельмгольца:

3 - воздухоподающая труба, 4 - решетка, 5 - топливо

В камеру сгорания 1 через патрубок 3 поступает атмосферный воздух. Резонансная труба 2 необходима для свободного выхода продуктов сгорания. В цитируемых работах топливо (образцы из оргстекла 5) располагалось на решетке 4. В случае, когда длина резонансной трубы порядка 1 м, а слой топлива находится вблизи от устья воздушного патрубка, возникают колебания газа с частотой порядка 150 Гц и уровнем звукового давления в камере сгорания до 140 дБ.

В настоящее время основной проблемой промышленного использования установок пульсационного горения по-прежнему является высокий уровень шума, затрудняющий эксплуатацию таких устройств [27, 28, 72-74]. Размещение противопульсационных перегородок, резонансных поглотителей звука в камере сгорания и другие методы, использованные для устранения акустической неустойчивости горения в ЖРД [6], в данном случае не подходят. Снижение интенсивности колебаний газа отрицательно влияет на степень интенсификации процесса горения.

Эффективным способом снижения уровня шума является сдваивание камер сгорания [21, 22, 73]. Колебания в камерах происходят с противопо-

ложными фазами. Если камеры сгорания одинаковы во всех отношениях, на выходе системы встречаются звуковые волны одинаковой амплитуды, и в результате интерференции волн излучение звука почти прекращается. Однако, такой подход требует полной синхронизации работы камер сгорания. Необходимо обеспечить условия, для которых частоты и амплитуды собственных колебаний газа в камерах сгорания будут одинаковые. Техническое решение этой задачи потребует разработки сложной автоматизированной системы управления рабочим процессом каждой камеры сгорания и системы в целом.

Возможно другое техническое решение. Используется одна камера сгорания и две резонансные трубы разной длины, в этом случае длина пробега звуковой волны в резонансных трубах будет различной, и может получиться так, что при интерференции звуковых волн на выходе из труб колебания газа будут происходить с противоположными фазами. Если трубы имеют общее отверстие для выхода продуктов сгорания, то в результате интерференции интенсивность излучения звука из отверстия будет минимальной. Результаты исследований, подтверждающие эту гипотезу, пока отсутствуют.

Обзор научно-технической и патентно-лицензионной литературы показал следующее:

1. В настоящее время проблема пульсационного горения в тепловых энергетических установках по-прежнему актуальна.

2. Термодинамический подход является наиболее простым и в то же время эффективным средством для разработки линейных и нелинейных математических моделей пульсационного горения.

3. Для утилизации твердых промышленных отходов перспективными являются двухконтурные установки типа трубы Рийке и резонатора Гельм-гольца.

4. Есть предположение, что двухконтурные установки, состоящие из камеры сгорания и двух резонансных труб, позволят решить проблему излучаемого шума.

1.2 Пульсационное горение твердого топлива в типовых установках

В настоящее время имеется ряд типовых установок, на которых проводились исследования пульсационного горения твердого топлива. Установка типа трубы Рийке была представлена выше (см. рис. 1.4).

Различные модификации такой установки были разработаны, испытаны и запатентованы Т.И. Назаренко, В.Н. Подымовым, Ф.Н. Имамутдиновым [75-77] .

Исследования пульсационного горения жидкого, газообразного и твердого топлив в установках типа трубы Рийке были проведены J.A. Carvalho [62, 63, 78, 79].

Все перечисленные установки - одноконтурные, состоящие из одной камеры сгорания - резонансной трубы.

Т.И. Назаренко, А. В. Кочергин, Г.И. Павлов, Ю.В. Ваньков и предложили проект промышленной установки коаксиального типа для утилизации твердых промышленных отходов [67].

Исследования, выполненные Г.И. Павловым, Р.Ф. Шакуровым, показали перспективность применения таких установок для огневой утилизации твердых промышленных отходов [65, 68, 80]. Был сформулирован ряд рекомендаций для создания топочных устройств «шахтного» (коаксиального) типа.

Однако, систематическое исследование пульсационного горения в таких устройствах не было проведено, математические модели, описывающие термодинамические и акустические аспекты пульсационного горения твердого топлива в коаксиально расположенных трубах, не разработаны.

Установка коаксиального типа - это двухконтурная система, состоящая из двух колебательных систем. Первая колебательная система - это широкая труба, в которой находится источник тепловой энергии - слой горящего топлива, вторая колебательная система - узкая труба, через которую выводятся

продукты сгорания. В отсутствие второй резонансной трубы имеем обычную одноконтурную установку типа трубы Рийке.

Описанная выше установка типа резонатора Гельмгольца (см. рис. 1.5) - тоже двухконтурная. Первый контур - это резонатор Гельмгольца, состоящий из камеры сгорания и воздухоподающей трубы. Второй контур -камера сгорания и труба для выхода продуктов сгорания.

В рассматриваемых одноконтурных и двухконтурных установках источник энергии колебаний один и тот же - расположенный на решетке слой горящего твердого топлива. Мониторинг данной картины [70, 81, 82] показал, что после воспламенения над слоем топлива образуется диффузионное турбулентное пламя. Затем под воздействием возникших колебаний газа пламя приобретает волнообразную форму, его поверхность сокращается и пламя «прижимается» к слою топлива. Пульсационный режим горения возникает благодаря пульсациям скорости воздуха, поступающего в камеру сгорания. Эти пульсации приводят к волнообразованию на поверхности пламени, а так же, к колебаниям расхода воздуха, поступающего в зону горения. В результате скорость тепловыделения при горении становится переменной во времени. Если выполняется критерий Рэлея, происходит самовозбуждения колебаний газа в установке.

Обзор имеющихся теоретических работ показывает, что одной из основных проблем является определение зависимости пульсаций скорости тепловыделения от пульсаций скорости и давления газа в зоне горения. Часто для этой цели используется феноменологический подход, основанный на методах теории автоматического регулирования. В этом случае пульсации скорости тепловыделения и скорости воздуха можно связать так называемой передаточной функцией, а зону горения представить в виде одного или нескольких типовых звеньев с известными передаточными функциями [1, 3].

В рассматриваемом случае д'(с)= Ки (а)и{,*(?). В соответствии с положениями теории автоматического регулирования, в работах [80, 84- 86]

зона горения считалась состоящей из инерционного и запаздывающего звеньев, что обусловлено особенностями процесса диффузионного горения.

Передаточная функция системы двух последовательно соединенных звеньев (инерционного и запаздывающего), согласно работам [84- 86], имеет вид:

К = к,к2 = ¿^2 )=, (1.6)

1 + )2 д/1 + (бОТ | )2

где

ти = т2 + arctg (®т)/®. (1.7)

Эти соотношения дали возможность разработать модели пульсацион-ного горения твердого топлива в одноконтурной установке типа трубы Рийке и в установке типа резонатора Гельмгольца в случае, когда длина воздухопо-дающей трубы намного меньше длины звуковой волны [3, 84-86]. Однако, влияние длины воздухоподающей трубы на пульсационное горение в установке типа резонатор Гельмгольца осталось неизученным. Кроме того, передаточная функция пламени в этой установке требует уточнения, т.к. результаты расчетов в ряде случаев расходились с экспериментальными данными.

Анализ имеющихся научно-технической и патентно-лицензионной литературы показал следующее:

1. Пульсационное горение твердого топлива в коаксиально расположенных трубах требует дальнейшего экспериментального изучения, математическая модель, описывающая взаимодействие термодинамических и акустических процессов, в такой установке не разработана.

2. Пульсационное горение твердого топлива в двухконтурной установке типа резонатора Гельмгольца в случае, когда длина воздухоподающей трубы соизмерима с длиной звуковой волны - не исследовано.

1.3 Пульсационное горение газообразного топлива в установках с многоканальной горелкой

Ранее, в разделе 1.1, отмечалось, что, в связи с проблемой шума, производимого установками пульсационного горения, интересным представляется использование устройств, состоящих из одной камеры сгорания и двух резонансных труб, имеющих общий выход продуктов сгорания. В качестве базового объекта в данной работе выбрано устройство типа резонатора Гельм-гольца с многоканальной горелкой на входе и одной резонансной трубой (см. рис 1.6) [87-90].

Рисунок 1.6 - Одноконтурная установка типа резонатора Гельмгольца:

1 - распределительная камера; 2 - многоканальная горелка; 3 - труба-камера сгорания; 4 - присоединенная-резонансная труба.

Двухконтурная установка получается после разделения резонансной трубы на две части, образующие замкнутый резонансный контур. Выбор базового объекта обусловлен тем, что процесс возбуждения колебаний газа в таком устройстве достаточно хорошо изучен. Имеющиеся экспериментальные данные и математическая модель возбуждения колебаний газа послужит основой для исследования пульсационного горения в двухконтурной уста-

новке. Экспериментальные исследования в одноконтурной установке типа резонатора Гельмгольца были проведены в работах [91-93].

Причина возбуждения колебаний газа - следующая. Если в камере сгорания возникают акустические колебания, давление газа на ее входе периодически изменяется. Это приводит к пульсациям скорости истечения смеси из горелки. В результате количество сгорающей смеси и скорость тепловыделения становятся периодическими [4]. На основании описанного механизма возбуждения колебаний было найдено условие самовозбуждения колебаний газа [3] в виде:

П<®ти <2п. (1.8)

Анализ показал [92, 94], что безразмерная передаточная функция пламени имеет вид

— 2(1 - cos шт) . — п m

K =-=-exp(—шт), (1.9)

(шт)

где время запаздывания пульсаций скорости тепловыделения относительно пульсаций скорости истечения смеси из отверстия определяется по формуле:

ти = т = const(rb / Un). (1.10)

Эмпирическая постоянная для охлаждаемых камер сгорания равна 0,5-0,67 , для камер с неохлаждаемыми стенками - 0,3 [3].

Была разработана математическая модель пульсационного горения в устройстве типа резонатора Гельмгольца [89, 95, 96]. Использовался энергетический метод и «квазилинейное» приближение [97 - 99] для описания нелинейных эффектов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Семенова Евгения Вячеславовна, 2019 год

Список использованных источников информации

1. Раушенбах Б.В. Вибрационное горение. М.: Физматгиз, 1961. 500 с.

2. Рогинский О.Г. О вибрационном горении // Акуст. журн. 1961. Т.7. Вып. 2. С. 131-154.

3. Ларионов В.М., Зарипов Р.Г. Автоколебания газа в установках с горением. Казань: Изд-во Казан. гос. технич. ун-та, 2003. 237 с.

4. Ларионов В.М. Автоколебания газа в энергетических установках. Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан. гос. ун-та, 2006. 164с.

5. Крокко Л., Чжень Синь-и. Теория неустойчивости горения в жидкостных ракетных двигателях. М.: Иностранная литература, 1958. 351 с.

6. Неустойчивость горения в ЖРД / Под ред. Д.Т. Харье и Ф.Г. Рирдона. М.: Мир, 1975. 869 с.

7. Вильяме Ф.А. Теория горения. М.: Наука, 1971. 616 с.

8. Ильченко М.А., Кристченко В.В., Мнацаканян Ю.С., Кинкэ Н.М., Рудаков A.C., Руденко А.Н., Фоломеев Е.А., Эпштейн В.Л. Устойчивость рабочего процесса в двигателях летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1995. 320 с.

9. Андреев A.B., Лебедев В.А., Чепкин В.М. Неустойчивость горения водорода и кислорода в жидкостных ракетных двигателях с дожиганием генераторного газа. М.: Изд. дом. «Навигатор-Экстра», 2000. 156 с.

10. Раушенбах Б.В. и др. Физические основы рабочих процессов в камерах сгорания ВРД // М.: Машиностроение, 1964. 347 с.

11. Пчелкин Ю.М. Камеры сгорания газотурбинных двигателей. М.: Машиностроение, 1984. 280 с.

12. Быковец А.П., Ларионов В.М., Марчуков Е.Ю. Влияние впрыска водяного пара на вибрационное горение в модельной камере сгорания // Изв. вузов. Авиационная техника. 1992. №3. С. 71-74.

13. T. Lieuwen, B.T. Zinn, Theoretical investigation of combustion instability mechanisms in lean, premixed gas turbines, AIAA Paper (1998) 98-0641.

14. A.S. Morgans, S.R. Stow, Model-based control of combustion instabilities in annular combustors, Combustion and Flame 150 (2007) 380-399.

15. A.M. Steinberg, I. Boxx, M. Storh, W. Meier, C.D. Carter, Flow-flame interactions causing acoustically coupled heat release fluctuations in a thermo-acoustically unstable gas turbine model combustor, Combust. Flame 157 (2010) 2250-2266.

16. D. Durox, J.P. Moeck, J.F. Bourgouin, T. Schuller, S. Candel, P. Morenton, M. Viallon, Flame dynamics of a variable swirl number system and instability con-trol,Combust. Flame 160 (2013) 1729-1742.

17 Сальников, А.Ф., Петрова, E.H. Условие возникновения продольной акустической неустойчивости в камере сгорания твердотопливного двигателя / А.Ф. Сальников // Внутрикамерные процессы, горение и газовая динамика дисперсных систем: сб. тр. Междунар. конф., Санкт-Петербург, 19-23 июня 206 г. - Санкт-Петербург, 2006. Т. 1. С. 120-123.

18 Сальников, А.Ф., Сальников, Д. А., Петрова, Е.Н. Исследование условий возбуждения продольных колебаний газа в камере сгорания твердотопливного ракетного двигателя / А.Ф. Сальников // Химическая физика и мезоскопия. 2006. Т. 8, №2. С. 169-176.

19 Сальников, А.Ф., Сальников, Д. А., Петрова, Е.Н. Исследование условий перекачки энергии из зоны горения твердого топлива в акустические колебания камеры сгорания ракетного двигателя / А.Ф. Сальников // Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности: сб. тр. II международ., конф., Санкт-Петербург, 7-9 янв. 2006 г., - Санкт-Петербург, 2006, С. 175-179.

20. Reynst F.H. Pulsating combustion. London: Pergamon Press, 1961.

21. Нестационарное распространение пламени / Под ред. Дж. Маркштейна. М.: Мир, 1968. 438 с.

22. Подымов В.Н., Северянин B.C., Щелоков Я.М. Прикладные исследования вибрационного горения. Казань: Изд-во КГУ, 1978. 219 с.

23. Таймаров М.А., Шарипов М.Р. Котёл пульсирующего горения природных и пиролизных газов // Вестник Казанского технологического университета. 2013. №том 16, №21. С. 133-135.

24. Накоряков В.Е., Бурдуков А.П., Болдарев A.M., Терлеев П.Н. Тепло- и массообмен в звуковом поле. Новосибирск: Наука, 1970. 253 с.

25. Северянин B.C. Некоторые вопросы вибрационного горения твердого топлива / B.C. Северянин, Б.Д. Кацнельсон // Вибрационное горение в некоторых модельных устройствах. - Казань: Издательство Казанского университета, 1970. С.142-166.

26. Шакуров Р.Ф. Испытательный стенд для исследования процесса слоевого горения твердых отходов по принципу эффекта Рийке / Р.Ф. Шакуров, А.А. Кочергин, А.И. Бородин // Тезисы докладов XIII Всеросс. межвуз. науч-но-техн. конф. «Внутрикамерные процессы в энергетических установках, акустика, диагностика, экология». Казань, 2001. С. 242-243.

27. Теория топочных процессов / Под ред. Г.Ф. Кнорре. М.-Л.: Энергия, 1966. 491 с.

28. Рэлей. Теория звука. М.: Гостехиздат, 1955. Т.2. 300 с.

29. H.J. Merk, Analysis of heat-driven oscillations of gas flows, Applied Scientific Research A 6 (1957) 402-420.

30. N. Rott, Thermoacoustics, Advanced Applied Mechanics 20 (1980) 135175.

31. G. Bloxsidge, A. Dowling, P.J. Langhorne, Reheat buzz: an acoustically coupled combustion instability. Part 2. Theory, Journal of Fluid Mechanics 193 (1988) 445-473.

32. K. McManus, T. Poinsot, S. M. Candel, A review of active control of combustion instabilities, Progress in Energy and Combustion Science 19 (1993) 1-29.

33. A.P. Dowling, The calculation of thermoacoustics oscillations, Journal of Sound and Vibration 180 (1995) 557-581.

34. L. Boshoff-Mostert, H.J. Viljoen, Analysis of combustion-driven acoustics, Chemical Engineering Science 53 (1998) 1679-1687.

35. Натанзон М.С. Неустойчивость горения. М.: Машиностроение, 1986. 248 с.

36. S. Kato, T. Fujimori, A.P. Dowling, H. Kobayashi, Effects of heat release ditribution on combustion oscillation, Proceedings of the combustion institute 30 (2005) 1799-1806.

37. T. Lieuwen, B.T. Zinn, Application of multipole expansions to sound generation from ducted unsteady combustion processes. Journal of Sound and Vibration 253 (2000) 405-414.

38. A.A. Putnam, Combustion-driven oscillations in industry, American Elsevier, 1971.

39. A.P. Dowling, A kinematic model of a ducted flame, Journal of Fluid Mechanics 394 (1999) 51-72.

40. T. Schuller, D. Durox, S. Candel, A unified model for the prediction of laminar flame transfer functions: comparisons between conical and V-flame dynamics, Combustion and Flame 134 (2003) 21-34.

41. M. Fleifil, A.M. Ghoneim, A.F. Ghoniem, Response of a laminar premixed flame to flow oscillations: a kinematic model and thermoacoustic instability results, Combust. Flame 106 (1996) 487-510.

42. A.S. Morgans, A. P. Dowling, Model-based control of combustion instabilities, Journal of sound and vibration 299 (2007) 261-282.

43. B.D. Mugridge, Combustion driven oscillations, Journal of Sound and Vibration 70 (1980) 437-452.

44. C.J. Lawn, Interaction of the acoustic properties of a combustion chamber with those of premixture supply, Journal of Sound and Vibration 224 (1999) 785808.

45. D.M. Kang, F.E.C. Culick, A. Ratner, Combustion dynamics of a low-swirl combustor, Combustion and Flame 151 (2007) 412-425.

46. K.T. Kim, J.G. Lee, B.D. Quay, D.A. Santavicca,Spatially disributed flame transfer functions for predicting combustion dynamics in lean premixed gas turbine combustors, Combust. Flame 157 (2010) 1718-1730.

47. K.T. Kim, J.G. Lee, B.D. Quay, D.A. Santavicca, Response of partially pre-mixed flames to acoustic velocity and equivalence ratio perturbations, Combustion and Flame 157 (2010) 1731-1744.

48. L.B.W. Peerlings, Manohar, V.N. Kornilov, P. de Goey, Flame ion generation rate as a measure of the thermo-acoustic response. Combustion and Flame 160 (2013) 2490-2496.

49. K.I. Matveev, F.E.C. Culick, A study of the transition to instability in a Rijke tube with axial temperature gradient, Journal of Sound and Vibration, 264 (2003) 689-706.

50. R.L. Raun, M.W. Beckstead, A numerical model for temperature gredient and particle effects on Rijke burner oscillations, Combustion and Flame 94 (1993) 1-24.

51. B.T. Zinn, E.A. Powell, Nonlinear combustion instability in liquid-propellant rocket engines, Symposium (International) on Combustion 13 (1971) 491-503.

52. F.E.C. Culick, Nonlinear behavior of acoustic waves in combustion chambers. Parts I and II, Acta Astronautica 3 (1976) 714-757.

53. A.P. Dowling, Nonlinear self-exited oscillations of a ducted flame, Journal of Fluid Mechanics 346 (1997) 271-290.

54. L. Van Wijngarden, On oscillations near and at resonance in open pipes, Engin. Math. 2 (1968) 225-240.

55. N. Rott, Thermally driven acoustic oscillations. Part II: Stability limit for helium, J. Appl. Phys. 24 (1973) 54-72.

56. Артамонов К.И. Термогидроакустическая устойчивость. M.: Машиностроение, 1982. 261 с.

57. Ларионов В.М. Методика акустического расчета камер сгорания тепловых машин, работающих в режиме вибрационного горения / В.М. Ларионов, Т.И. Назаренко // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 2000. № 4. С. 68-69.

58. Ларионов В.М. Вибрационное горение в трубе с многоканальной горелкой / В.М. Ларионов, О.В. Белодед // Изв. ВУЗов: Авиационная техника. 2003. № 4. С. 48-51.

59. Ларионов В.М. Вибрационное горение в энергетических установках типа резонатора Гельмгольца / В.М. Ларионов, О.В. Белодед // Изв. ВУЗов. Проблемы энергетики. 2003. № 1-2. С. 47-53.

60. Ларионов В.М. Автоколебания газа в трубе при горении за стабилизатором пламени / В.М. Ларионов, Т.И. Назаренко, С.Е. Филипов // Известия вузов «Авиационная техника». 2004. № 1. С. 36-39.

61. Carvalho J.A. Behavior of solid particles in pulsating flows / J.A. Carvalho // Sound and Vibration. 1995. Vol. 185. P. 581-593.

62. Lacava P.T. Pulsating combustion characteristics of a spray flame in a Rijke tube with two different atomizers / P.T. Lacava, J.A. Carvalho, M.Q. McQuay // Fuel. - 1997. - Vol. 76. № 9. P. 845-851.

63. Carvalho J.A. The interaction of liquid reacting droplets with the pulsating flow in a Rijke-tube combustor / J.A. Carvalho, M.Q. McQuay, P.R. Gotac // Combustion and Flame. 1997. Vol. 108. P. 87-103.

64. Павлов Г.И. Сжигает отходы и нагревает воду без дыма и без пыли. / Г.И. Павлов, И.Ц. Вишнев, А.В. Кочергин // Энерго. 2001. № 1. С. 44-47.

65. Павлов Г.И. Генерация пульсаций в дожиговой камере / Г.И. Павлов // Труды X сессии Росс. акуст. общества. М.: ГЕОС, 2000. Т.2. С. 88.

66. Павлов Г.И. К вопросу исследования механизма горения твердых горючих веществ в трубе Рийке / Г.И. Павлов, Р.Ф. Шакуров, А.И. Бородин, А.А. Кочергин // Тезисы докладов XIII Всеросс. межвуз. научно-техн. конф. «Внутрикамерные процессы в энергетических установках, акустика, диагностика, экология». Казань, 2001. С. 240-241.

67. А.С. №1123 на полезную модель. Устройство для сжигания кускового твердого топлива / Назаренко Т.И., Ваньков Ю.В., Кочергин А.В., Павлов Г.И. // Б.И. 1995. № 11.

68. Павлов Г.И. Исследование физических принципов слоевого горения в коаксиальной КВГ / Г.И. Павлов, Р.Ф. Шакуров // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2003. № 2. С. 24-36.

69. Ларионов В.М. Вибрационное горение в энергетических установках типа «емкость-труба» / В.М. Ларионов, С.Е. Филипов, О.В. Белодед // Известия вузов «Проблемы энергетики». 2003. № 11-12. С. 64-71.

70. Ларионов В.М. Экспериментальное и теоретическое исследование пуль-сационного горения твердого топлива в типовых установках / В.М. Ларионов, С.Е. Филипов, Д.В. Рукавишников, В.Л.Харитонов // Материалы докладов Национальной конференции по теплоэнергетике. Казань, 2006. Т. 1. С. 77-80.

71. Филипов С.Е. Вибрационное горение твердого топлива в устройстве типа «емкость-труба» / С.Е. Филипов, В.М. Ларионов // Известия вузов «Проблемы энергетики». 2004. № 1-2. С. 135-138.

72. Ohiwa N, S, Hasegawa T. An experimental study of the ignition and combustion mechanisms in a pulse combustor (A new approach to a wide rage and low nose pulse combustor). JSME Int J 1987;30(268):1608-14.

73. 73 из статьи Unui I, Okamoto K, Nakamoto M, Hosaka M. Development of a low noise pulse combustor. Combust Sci Technol 1987;52:107-19.

74. Kilicarslan A, Arisoy A. Acoustic analysis of a liquefied petroleum gas-fired pulse combustor 2008;69:770-777.

75. A.C. 694734 СССР. Устройство для сжигания топлива в пульсирующем потоке /Ф.Н. Имамутдинов, В.Н. Подымов, А.П. Стрельников и др. // Б.И. 1979. №40

76. А.С. 556274 СССР. Устройство для сжигания кускового твердого топлива в пульсирующем потоке /Ф.Н. Имамутдинов, Т.И. Назаренко // Б.И. 1977. №16.

77. А.С. 800485 СССР. Устройство для сжигания кускового твердого топлива в пульсирующем потоке /Ф.Н. Имамутдинов, Т.И. Назаренко // Б.И. 1981. № 4

78. Carvalho Jr.Ja, McQuay MQ, Gotac PR. Combustor and flame 1997;108:1645-1655.

79. McQuay MQ, Dubey R.K. Carvalho Jr.Ja. The effect of acoustic mode on time-resolved temperature measurements in a Rijke-tube pulse combustor 2000;79:87-103.

80. Шакуров Р.Ф. Математическая модель пульсационного горения твердого топлива в установке шахтного типа / Р.Ф. Шакуров, В.М. Ларионов, Г.И. Павлов, С.Е. Филипов // Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках: Материалы докладов XX Всеросс. межвузовской научно-техн. конф., Казань, май 2008. Казань, 2008. Ч. 2. С. 113.

81. Филипов С.Е. О вибрационном горении твердого топлива в трубе и установке типа емкость-труба / С.Е. Филипов, В.М. Ларионов // Внутрикамерные процессы в энергетических установках, акустика, диагностика, экология: Материалы докладов XVI Всероссийской межвузовской научно-техн. конференции, Казань, май 2002 г. - Казань, 2002. Ч. 2. С. 66-67.

82. Ларионов В.М. Некоторые особенности вибрационного горения кускового твердого топлива / В.М. Ларионов, О.В. Белодед, С.Е. Филипов // Внутрикамерные процессы в энергетических установках, акустика, диагностика, экология: Материалы докл. XIV Всероссийской межвузовской научно-техн. конференции, Казань, май 2002 г. Казань, 2002. Ч. 1. С. 169-170.

83. Филипов С.Е., Ларионов В.М., Рукавишников Д.В. Автоколебания газа при горении твердого топлива в трубе и установке типа емкость-труба // Материалы докладов XX Всеросс. межвузовской научно-техн. конф.:Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках. Казань: 2008. С. 218.

84. Ларионов В.М., Филипов С.Е.,. Рукавишников Д.В. Математические модели термоакустических колебаний газа в установках с горением твердого топлива // Нелинейные колебания механических систем: Труды VIII Всеросс. научной конференции, Н. Новгород, 22-26 сент. 2008 г. Н. Новгород. 2008. Т. 2. С. 382.

85. Филипов С.Е., Ларионов В.М., Рукавишников Д.В., Харитонов В.Л. Расчет параметров пульсационного горения твердого топлива в установке типа емкость-труба // Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках: Материалы докладов ХУШ Всеросс. межвузовской научно-техн. конф., Казань, май 2006. Казань, 2006. Ч. 2. С. 5-6.

86. Филипов С.Е. Механизмы возбуждения и теоретическая модель вибрационного горения твердого топлива в трубе / С.Е. Филипов и др. // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2006. № 1-2. С. 20-28.

87. Ларионов В.М., Назаренко Т.И. О возбуждении автоколебаний при горении в резонаторе Гельмгольца // Изв. вузов. Авиационная техника. 1988. № 1. С. 101-103.

88. Ларионов В.М. Расчет границ вибрационного горения в камерах типа резонатора Гельмгольца // Изв. вузов. Авиационная техника. 1989. №3. С. 101— 103.

89. Ларионов В.М., Белодед О.В. Вибрационное горение в энергетических установках типа резонатора Гельмгольца // Изв. вузов. Проблемы энергетики. 2003. №1—2. С. 47—53.

90. Ларионов В.М., Белодед О.В. Вибрационное горение в трубе со скачком поперечного сечения // Изв.Вузов: Авиационная техника, 2006. №1. С. 30—33.

91. Ларионов В.М. Экспериментальное изучение возбуждения акустических колебаний в системе с многоканальной горелкой // Изв. вузов. Авиационная техника. 1980. № 3. С. 64—68.

92. Ларионов В.М. Критерий возбуждения акустических колебаний в системе с многоканальной горелкой // Горение в потоке: Межвузов. сб. / Казан. авиац. ин—т. Казань, 1980. С. 31—36.

93. Ларионов В.М. Об одной особенности вибрационного горения в системе с многоканальной горелкой // Изв. вузов. Авиационная техника. 1983. № 3. С. 85—86.

94. Ларионов В.М., Подымов В.Н. О границах возбуждения колебаний в системе с многоканальной горелкой // Физика горения и взрыва. 1984. № 5. С. 81-83.

95. Иовлева О.В., Ларионов В.М. Математическая модель вибрационного горения в трубе с внезапным изменением поперечного сечения // Изв.Вузов: Авиационная техника. 2007. №3. С. 50-53.

96. O.V. Iovleva, V.M. Larionov, Conditions for exciting the maximal gas vibration amplitude in a combustion chamber of the Helmholtz resonator type, Russian Aeronautics 55 (2012) 388-391.

97. Larionov V.M., Zaripov R.G., Philipov S.E., Beloded O.V. Thermoacoustic oscillations of gas in installation with combustion // Proceedings of International Conference «Advanced problems in thermal convection», Perm, 24-27 Nov. 2003. P. 278-283.

98. Ларионов B.M., Филипов C.E., Белодед О.В. Теоретические модели автоколебаний газа в камерах сгорания энергетических установок // Тез. докл. V Международ. конф. «Неравновесные процессы в соплах и струях». Самара. 2004. С. 136-137.

99. Белодед О.В., Филипов С.Е. Расчет вибрационного горения в резонаторе Гельмгольца энергетическим методом // IV НПК молодых ученых и специалистов РТ, Казань, 11-12 декабря 2001 г. С. 56.

100. Ларионов В.М. Математическая модель автоколебаний газа при горении твердого топлива в коаксиальных трубах / Ларионов В.М. Яллина Е.В., Иовлева О. В. // Изв. вузов. Проблемы энергетики. 2014. 3-4. С. 3-14.

101. Ларионов В.М. Неравновесные физико-химические процессы при горении в ограниченных сплошных средах / В.М. Ларионов, О.В. Иовлева, Е.В. Семенова, Э.Р. Сайфуллин // Сборник докладов участников XI Всероссийского Съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики / К(П)ФУ - Казань. 2015.

102. Ларионов В.М. Математическая модель автоколебаний газа при горении твердого топлива в коаксиальных трубах / Семенова Е.В.,Ларионов В.М.,

Иовлева О.В. // Национальный конгресс по энергетике. Сборник материалов докладов национального конгресса по энергетике 2014. С. 345-351.

103. Семенова Е.В. Частоты колебаний газа при горении твердого топлива в коаксиальных трубах/ Семенова Е.В., Иовлева О.В., Ларионова И.В., Ваньков Ю.В. // Изв. вузов. Проблемы энергетики. 2017. Том 19. 1-2. С. 164-169.

104. Semenova, E.V. Frequencies of gas oscillations in a pipe with a concentrated heat source / O.V. Iovleva, V.M. Larionov, E.V. Semenova, // Journal of Physics: Conference Series 669 (2016) 012023 doi:10.1088/1742-6596/669/1/012023.

105. Semenova, E. V. The acoustic model of oscillations of gas combustion in coaxial pipes [Text] / E. V. Semenova, V. M. Larionov, E. I. Kazakova // Journal of Physics: Conference Series 567 012033 (2014) doi:10.1088/1742-6596/567/1/012033.

106. Казакова, Е.И. Акустическая модель колебаний газа при горении в коаксиальных трубах / Е.В. Семенова, В.М. Ларионов, Е.И. Казакова // Низкотемпературная плазма в процессах нанесения функциональных покрытий. VI Всероссийская науч.-тех. конф.: сборник статей. Казань, 4 - 7 ноября 2014. Казань: Отечество, 2015. 91-93.

107. Яллина, Е.В. Влияние геометрических параметров на пульсационное горение твердого топлива в установке типа емкость-труба/ Е.В Яллина // Низкотемпературная плазма в процессах нанесения функциональных покрытий: сборник статей III науч.-тех. Конф.- Казань: КГТУ, 2011. - С. 29-33.

108. Jallina, E.V. Acoustic instability of gas current in system of type the capacity - pipe at burning firm fuel / E.V. Jallina // Abstract of XVI International conference on the methods of aerophysical research (ICMAR 2012). Kazan, Russia, August 19-25, 2012. Part 2_01. - Kazan: Composing, ITAM SB RAS, 2012. P. 138139.

109. Larionov, V.M., Borisov, A.V., Iovleva, O.V., Jallina, E.V., Mitrofanov, G.A. Self- oscillations of gas in typical installations with burning/ V.M. Larionov, A.V. Borisov, O.V. Iovleva, E.V. Jallina, G.A. Mitrofanov // Abstract of XVI International conference on the methods of aerophysical research (ICMAR 2012). Kazan,

Russia, August 19-25, 2012. Part 2_02. - Kazan: Composing, ITAM SB RAS, 2012. P. 37-38.

110. Semenova, E.V. Equation of fluctuations frequency of gas in the devices such as capacity-tube / E.V. Semenova, O.V. Iovleva // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2015. V. 86, 012025 (doi:10.1088/1757-899X/86/1/012025).

111. Иовлева, O.B. Уравнение частот колебаний газа в установках типа емкость-труба /О.В.Иовлева, Е.В.Семенова // Низкотемпературная плазма в процессах нанесения функциональных покрытий. VII Всероссийская (с международным участием) науч.-тех. конф.: сборник статей. Казань, 4 - 7 ноября 2015. Казань: Отечество, 2016. 247-249.

112. Semenova, E.V. Acoustic energy generation by the burning fuel layer / E.V. Semenova // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2015. V. 86, 012008(doi:10.1088/1757-899X/86/1/012008).

113. Пат. №135768 Российская Федерация. Устройство пульсационного сжигания кускового твердого топлива / Ларионов В. М., Ахмадуллин А.Н., Ял-лина Е.В.; Заявитель и патентообладатель Казанский (Приволжский) федеральный университет. - №2013133677/06; заявл.18.07.13; опубл. 20.12.2013 Бюл. №35.

114. Яллина, Е.В Математическая модель пульсационного горения газообразного топлива в установке с двумя резонансными трубами / Е.В Яллина // Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении: Труды VIII школысеминара молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова. - Казань: Издательство Казанского государственного энергетического университета, 2012. С. 563-566.

115. Яллина, Е.В. Математическая модель пульсационного горения в системе с двумя резонансными трубами / Е.В Яллина // Низкотемпературная плазма в процессах нанесения функциональных покрытий: сборник статей IV науч.-тех. конф. Казань: КГТУ, 2013. С. 150-154.

116. Yallina, E. V. Pulsating combustion of gas fuel in the combustion chamber with closed resonant circuit [Text] / E. V. Yallina, V. M. Larionov, O. V. Iovleva // Journal of Physics: Conference Series 479 (2013) 012010.

117. Ларионов, В.М. и др. Математическая модель автоколебаний газа в камере сгорания с замкнутым резонансным контуром /В.М.Ларионов, Е.В.Яллина, О.В.Иовлева // Проблемы и перспективы развития авиации, наземного транспорта и энергетики АНТЭ-2013: международная научно-техническая конференция, 19 - 21 ноября 2013 г.: сборник докладов. - Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2013. С. 379-380.

118. Яллина, Е.В. Пульсационное горение газообразного топлива в камере сгорания с замкнутым резонансным контуром трубами / Е.В Яллина // Низкотемпературная плазма в процессах нанесения функциональных покрытий: сборник статей V республиканская науч.-тех. конф. Казань: КГТУ, 2014. С. 139-142.

119. Semenova, E.V. Self-exited gas oscillations in Helmholtz resonator type combustor /V.M. Larionov, E.R. Saifullin, E.V. Semenova, // Journal of Physics: Conference Series 669 (2016) 012047 doi:10.1088/1742-6596/669/1/012047.

120. Ларионов, В.М. Самовозбуждение колебаний газа в камерах сгорания типа резонатора Гельмгольца /В.М.Ларионов, Э.Р. Сайфуллин, Е.В.Семенова // Низкотемпературная плазма в процессах нанесения функциональных покрытий. VII Всероссийская (с международным участием) науч.-тех. конф.: сборник статей. Казань, 4 - 7 ноября 2015. - Казань: Отечество, 2016. С. 244246 .

121. Пат.№135770 Российская Федерация. Камера сгорания [Текст] / Ларионов В.М., Ахмадуллин А. Н., Яллина Е.В., Иовлева О.В.; заявитель и патентообладатель Казанский (Приволжский) федеральный университет. -№2013133672/03; заявл. 18.07.13, опубл. 20.12.2013. Бюл. №35.

Приложение

Приложение 1

Фрагмент программы к главе 2

> restart;

> pi:=Pi;

п := п

положение решетки в см - не трогать

> step:=1; N_min:=38; N_max:=38;

step := 1 N_min := 38 N_max := 38

длина камеры сгорания

> L[38]:=.4;

параметры резонансной трубы k_r:=0.28/0.38;

> k_r:=.74; L_r:=.9;

k_r := .74 L_r := .9

> Di_r:=0.055; R_r:=Di_r/2; S_r:=evalf(pi*Di_rA2/4); deltaL_r:=0.613*Di_r/2; L_r_zv: =L_r+deltaL_r;

Di_r := .055 R_r := .02750000000 S_r := .002375829445 deltaL_r := .01685750000 L_r_zv := .9168575000

> Di:=0.06; R:=Di/2; S:=evalf(pi*DiA2/4); deltaL:=0.613*Di/2;

Di := .06

Я := .03000000000 Б := .002827433389 йеЫаЬ := .01839000000

> ер8Йоп_г:=8_г/8;

epsilon_r := .8402777778

> 83:=8-8_г; К3:=еуаЩ>яг1(83/Р1)); ёе11аЬ3:=0.613*Я3;

БЗ := .000451603944 ЯЗ := .01198957881 йеЫаЬЗ := .007349611811

> 83/8;

.1597222222

V 1е:=еуаЩР1* 1л2*1/4); У3е: =еуаЩР1* 1*(1 л2-0.07л2)/4);

V1e:=eva1f(Pi*0.3л2*0.31/4); V3e:=eva1f(Pi*0.21*(0.3л2-0.07л2)/4); У1е:=еуаЩР1*0.26л2*0.27/4); V3e:=eva1f(Pi*0.17*(0.26л2-0.07л2)/4);

Параметры нижней емкости как трубы

V1e:=eva1f(Pi*0.3л2*0.31/4); V3e:=eva1f(Pi*0.21*(0.3л2-0.07л2)/4); Ь1:=2; Б1:=2; 81:=eva1f(Pi*D1л2/4);

Параметры верхней емкости как трубы Ь2:=2; D2:=2; 82:=eva1f(Pi*D2л2/4-8_r);

L[i]:=eva1f(i/100);

x cr. := k rL.;

~ i ~ i

xe. := x zv.; ii

x m. := R3;

i

f

x zv. := x cr. - deltaL3 ;

~ i ~ i

L zv. := L. + deltaL;

ii

L3. := L. - x_cr.;

print

S3

1 - ■

x_cr. - x_zv.

i, L, L_zv, x_cr, x_zv, x_m,-—

x m.

^ end do

v

^ S

if x_zv. < 0 thenprint( "CHECK X* l!!" end if

38, .4, .4183900000, .296, .2886503882, .01198957881, .06181250014

> Pr:=0.73; Pr2:=Pr; gama:=1.4;

Pr := .73 Pr2 := .73 gama := 1.4

bq := 1/2;

> tau1:=8.04*10A(-3); tau2:=4.46*10A(-4); bn :=30;

il := .008040000000 x2 := .0004460000000 bn := 30

tau0:=0.8*10A(-3); tau1:=0.014; bq :=0.1; T2:=746;

> T2:=1073; TL:=673;

T2 := 1073 TL := 673

> c1:=343; T1:=293; B:=evalf(T2/T1); rho1:=1.23; rho2_zv:=rho1/B; rho2:=evalf(rho2_zv);

ш1:=1.5*Шл(-5);

nu2:=evalf(nul *(Бл(З/2))); Cp:=lGGG;

c1 := 343 Tl := 293 B := 3.662116G41 pl := 1.23 rho2_zv := .335871388б

p2 := .3358713886 vl := .GGGG15GGGGGGGG v2 := .GGG1G512G9825 Cp := 1GGÜ

> c2_zv:=cl*sqrt(B);

c2_zv := 656.3873G18 b [i] : =evalf((c2_zv-cL[i] )/(L_zv-x_zv[i] )): elif L[i]>=l.8 then b[i]:=(c2_zv-cl)/(L[i]-x_zv[i]) a[i] : =evalf((c2_zv*L_zv [i]-cL[i] *x_zv[i] )/(L_zv[i] -x_zv [i] )) c_3G[i]:=c_cr[i]: a3[i]:=c_cr[i]: b3[i]:=b[i];

for i from N_min by step to N_max do b[i]:=lG^(-8): a[i]:=c2_zv: c_cr[i]:=c2_zv: c_3G[i]:=c1: c_4G[i]:=c_cr[i]: cLr[i]:=evalf(cl *sqrt(TL/Tl)): a4[i]:=c_cr[i]: b4[i]:=(c_cr[i]-cLr[i])/L_r; print(i, x_zv[i], a[i], b[i], b4[i], cLr[i], c_cr[i]): if cLr[i] < 343 then print("CHECK GRADIENT I!!"): fi: end do:

> for i from N_min by step to N_max do ЬЩ:=10Л(-8): a[i]:=c2_zv: c_cr[i]:=c2_zv: c_30[i]:=c1: c_40[i]:=c_cr[i]: a4[i]:=c_cr[i]: b4[i]:=158.7785101; cLr[i]:=a4[i]-b4[i]*L_r;

print(i, x_zv[i], a[i], b[i], a4[i], b4[i], cLr[i], c_cr[i]): if cLr[i] < 343 then print("CHECK GRADIENT !!!"): fi: end do:

38, .2886503882, 656.3873018 , 1ООО0ОООО, 656.3873018 , 158.7785101, 513.4866427 , 656.3873018

> cLr_plot := [[ n, cLr[n] ] $n=10..N_max]: plot(cLr_plot, style=point,symbol=circle, color=green): rho30[i]:=rho_cr[i] :

> for i from N_min by step to N_max do rho_cr[i] : =rho 1*(c1/ c_cr[i] )л2 : rho30[i]:=rho1: rho40[i]:=rho_cr[i] : rhoL[i]:=evalf(rho1*T1/TL): print(i,rho_cr[i], rhoL[i], rho30[i], rho40[i]):

end do:

38, .3358713887, .5354977712, 1.23, .3358713887 beta3[i]:=evalf(sqrt(1-(b3[i]/(2*omega)^2)):

> for i from N_min by step to N_max do beta[i]:=evalf(sqrt( 1 - (b [i]/(2*omega))A2)): beta4[i]:=evalf(sqrt(1-(b4[i]/(2*omega))A2)):

end do:

omega*deltaL/c1 omega*deltaL3/c1 phi1[i] := -arctan(S/S1*cot(omega*L1/c1)); phi3[i] := -arctan(S3/S2*cot(omega*L2/c1)); phi1[i] := -arctan(c1*S/(omega*V1e)); phi3[i] := -arctan(c1*S3/(omega*V3e));

> for i from N_min by step to N_max do phi1[i] := omega*deltaL/c1;

phi3[i] := omega*deltaL3/c1;

phi4[i] := omega*beta4[i]/b4[i]*ln(1-b4[i]*L_r_zv/a4[i])-arctan(b4 [i]/(2* omega*beta4 [i]));

Y_1[i]:=

rho1*c1*tan(omega*x_zv[i]/c1+phi1[i]); Y_3[i] :=

rho30[i]*c_30[i]*tan(phi3 [i]+omega*L3 [i]/c_30[i]);

Y_r[i] := rho40[i]*c_40[i]*(b4[i]/(2*omega)+beta4[i]*tan(phi4[i]));

Y_cr[i] := S*(-S3/Y_3[i]+S_r/Y_r[i])A(-1);

phi2[i] := omega*beta[i]/b[i]*ln(1-

b[i]*x_cr[i]/a[i])+arctan(1/beta[i]*(Y_cr[i]/(rho_cr[i]*c_cr[i])-b[i]/(2*omega))): end do:

старое уравнение частот

for г fromN_min by step to N_max do b.

DDI. := - ^; DD2. := p. tan

г 2 ш 1

( ш x_zv. Л

f

ш p. ln

( b.x zv.Л a.

V_г У

b

-ф2 г

DD3. := VB tan| end do

+ ф1.

V c1 У

plot({DD1[38]+DD2[38]+DD3[38]},omega=1..500,-10..10,color=[red],labels=["omega rad/sec",""]);

plot({DD1[38]+DD2[38]+DD3[38]},omega=1..2500,-10..10,color=[red],labels=["omega rad/secM,MM]);

plot({DD1[20]+DD2[20]+DD3[20]},omega=100..2500,-10..10,color=[red]);

plot({DD1[25]+DD2[25]+DD3[25],DD1[115]+DD2[115]+DD3[115],DD1[150]+

DD2[150]+DD3[150]},omega=1..3000,-10..10,color=[red,green,blue]);

for i from N_min by step to N_max do DDD[i]:=evalf(DD1[i]+DD2[i]+DD3 [i]): TTT:=fsolve(DDD [i]=0,omega=1100); omega_1 [i]:=TTT;

print(i, x_zv[i], x_zv[i]/L[i], omega_1[i], evalf(TTT/2/Pi)): end do:

omega_plot := [[ n, omega_1[n]/2/Pi ] $n=N_min..N_max]: plot(omega_plot, style=point,symbol=circle, color=[green]):

новое уравнение частот

for i fromN_min by step to N_max do

> TTT_new := fsolve

С S S3 S_r mnn^

тт. + тг=тт 'ю = 1000

omega_new := TTT_new; С x_zv.

С omega_new

i, x_zv., —-—, omega_new., evalf

1 L. 1 \ 2 Ж ,

\ . v T

2 ж

print end do

38, .2886503882, .7216259705, 1267.780235, 201.7734911 > plot({S/Y_1[38]+S3/Y_3[38]-S_r/Y_r[38]},omega=1..4000,-0.001..0.001,color=[red],labels=["omega rad/secM,MM],numpoints=6000);

> р1о1(|8/У_1[38]+83/У_3[38]-8_г/У_г[38]|,ошеяа=1..2000,-0.001..0.001,co1or=[red],1abe1s=["omega гаё/8еем,мм],пишро1п18=3000);

аналитика амплитудной части проверена

> for i from N_min by step to N_max do tau0[i] := tau2+arctan(omega_new[i]*taul)/omega_new[i] ;

print(i,x_zv[i],omega_new[i],evalf(omega_new[i]/(2*Pi)),tau0[i],omega_new[i]*ta u0[i]) end do;

:= .001607875099

38

38, .2886503882, 1267.780235, 201.7734911, .001607875099, 2.038432271

for i from N_min by step to N_max do

r

>

beta_1. := evalf

beta4 1. := evalf

1 -

1 -

b

2 omega_new.

b4. Л i

2 omega_new.

í 1

JJ

2 Л

print( i, beta_1 , beta4_1. ) end do

38,1.000000000, .9980373996 phil_l[i] := -arctan(S/Sl*cot(omega_new[i]*Ll/cl)); phi3_l[i] := -arctan(S3/S2*cot(omega_new[i]*L2/cl));

> for i fromN_min by step to N_max do omega_new. deltaL3

omega_new. deltaL phi3_1. .-

phi1_1. :=-

c1

c1

omega_new beta4_1. ln

( b4L_r_zv Л 1 - -

phi4_1. :=

a4

b4

í

- arctan

b4

v

2 omega_new. beta4_1.

omega_new. beta4_1. In

( b4L_rЛ

phi4_L. := phi4_1. - -

1 - -

a4

b4

r

Y_1_1. := pi c1 tan

omega_new. x_zv.

c1

Y 3 1. := p30. c 30. tan

_ _ i ' i ~ i

Y_r_1. := p40. c_40 .

phi3_1. + b4.

■ + phi1_1.

omega_new. L3. ^

Y cr 1. := S

( S3

2 omega_new. S r ^

c 30.

+ beta4_1. tan(phi4_1.)

i

(-1)

end do

- + -

Y 3 1. Y r 1.

~ ~ i ~ ~ i y

>

for i fromN_min by step to N_max do

aw1 := evalf

r r^- i-T (1 gama - 1 ^

k DiJ omega_new. v i x_zv. I 1 H--1=

Pr

2 pi c12 2

f

sin

D3 :=

omega_new. x_zv.

c1

■ + phi1_1.

pi c1 sin

omega_new. L3.

c1

+ phi3_1.

aw3 := evalf

k pi (R + R_r) L3^lomega_new. vl ^ 1 + ^^ 1 ^ D32^

3

2

D4 :=

sir ( omega_new. x_zv. ^ -1—i-- + phi1_1 V c1 1 y

rho cr. c cr. ~ i ~ i b4. cos( phi4_1.) ,, + beta4 1. sin(phi4 1 ) 2 omega_new. i i

aw4 := evalf

k rho_cr. R_r L_rJ omega_new v2 I 1

+

gama - 1 ^ d42 ^

V

2

b4L_r

D4L := D4 ^ / 1 - —^— | cos(phi4_L.)

a4L N :=

rhoL.S rD4L i _

4

a4L :=

a0L :=

rhoL. S_r (omega_new . R_r D4L) 4 cLr.

2 (| cos(phi1_1.) ^ pi (omega_new.R) 1 S

2

V

pi c1

pi S

y

2 c1 2

a0N :=

cos( phi1_1 ) pic!

/1

a3L :=

2 |cos(phi3_1.) ^

pi (omega new R3) 1 S3 -:—;—'

i pi c1

2

2 c1 2

3

2

3

pl S3

a3N :=

cos( phi3 _ 1. )

pl c1 4

J .

poteri. := aw1 + aw3 + aw4 + a4L + aOL + a3L ; sin( tO . omega_new. )

Yu := -

1 + ( t1 omega_new. )

УЗ := piecewise

0 < x_cr. - x_zv. and x_cr. - x_zv. < deltaL3, 1,

deltaL3 < x_cr. - x_zv. and x_cr. - x_zv. < x_m., 1 - -

S S3 УЗ

F13 :=--\--

: Y 1 1 Y 3 1 :

x_cr. - x_zv. Л

x m

f

f

(B - 1) F13 Yu sin

acL. := evalf

acN := ( B - 1) F13 bn

omega_ new. x_zv.

2

c1

- + phi1 _ 1

f

F13 sin