Методика расчета режима запуска термоакустического двигателя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.05, кандидат наук Зиновьев Евгений Александрович

• Зиновьев Евгений Александрович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Зиновьев Евгений Александрович

ВВЕДЕНИЕ

1 АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ РАЗРАБОТОК ТЕРМОАКУСТИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЕЙ

1.1 Основные этапы развития термоакустических двигателей

1.2 Анализ работ по исследованию и моделированию режима запуска

термоакустических двигателей

Выводы по главе

2 ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЖИМА ЗАПУСКА ТЕРМОАКУСТИЧЕСКОГО ДВИГАТЕЛЯ

2.1 Описание процесса преобразования энергии в регенераторе

2.2 Математическая модель для определения условий самовозбуждения акустических колебаний в термоакустическом двигателе

2.3 Математическая модель рабочего процесса термоакустического двигателя в режиме запуска

2.4 Математическая модель рабочего процесса термоакустического двигателя на установившемся режиме работы

2.5 Методика расчёта режима запуска термоакустического двигателя

Выводы по главе

3 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАБОЧЕГО ПРОЦЕССА ТЕРМОАКУСТИЧЕСКОГО ДВИГАТЕЛЯ

3.1 Задачи экспериментального исследования

3.2 Описание термоакустического двигателя

3.3 Описание экспериментальной установки

3.4 Результаты экспериментальных исследований

3.5 Оценка погрешностей измерений

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика расчета режима запуска термоакустического двигателя»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Одной из важнейших систем любого космического аппарата, которая определяет его тактико-технические характеристики, надежность и срок службы является система электропитания. Она включает в себя совокупность первичных и вторичных источников электрической энергии, аппаратуры преобразования энергии и стабилизации напряжения. В качестве первичных источников наибольшее применение находят солнечные батареи, но они не всегда отвечают требованиям надёжности, энергетической эффективности, а также продолжительности активного функционирования. Солнечное излучение является практически неограниченным источником энергии в космическом пространстве, однако на значительном удалении от Солнца и в условиях тени использование солнечных батарей становится невозможным. В таких условиях целесообразно применение энергоустановок, в которых тепловая энергия преобразуется в электрическую энергию. В качестве источника тепловой энергии для них могут выступать радиоизотопные элементы.

Перспективным направлением является разработка и внедрение энергетических установок на основе термоакустических двигателей. Термоакустические двигатели - это устройства преобразования тепловой энергии в энергию акустических колебаний высокой интенсивности. Они работают по замкнутому термодинамическому циклу, в котором циклические процессы сжатия и расширения рабочего тела осуществляются при различных уровнях температур. По сравнению с традиционными тепловыми машинами прямого цикла, термоакустические двигатели имеют минимум механических движущихся частей. В общем случае они представляют собой акустический волновод с теплообменниками внутри, который заполняется рабочим телом (газом). Коэффициент преобразования тепловой энергии в акустическую энергию (КПД) у некоторых из них достигает 30 %, что соответствует 42 % от эффективности по циклу Карно. Для преобразования энергии акустических колебаний, генерируемых термоакустическим двигателями, в электрическую энергию применяются электроакустические преобразователи, например, линейные генераторы переменного тока с возвратно-поступательным движением якоря относительно обмоток.

В основной массе публикаций описание рабочего процесса термоакустических двигателей сводится к рассмотрению установившихся режимов их работы. Однако чрезвычайно важным является исследование тепловых и акустических процессов, происходящих в термоакустических двигателях при запуске. Указанный режим работы характеризуется сложной динамикой изменения параметров. Например, при постоянном значении подводимого тепла в системе могут наблюдаться периодические возникновение и исчезновение

термоакустических колебаний, резкое возрастание амплитуды акустического давления в начальные моменты времени и последующее её "насыщение" при выходе на установившийся режим работы, скачки температуры вследствие резкого увеличения потерь акустической энергии за счёт реализации различных нелинейных процессов и т.д. Существующие математические модели не могут дать строгую количественную оценку указанным явлениям.

Учитывая вышеизложенное, актуальность работы заключается в исследовании параметрических условий запуска, динамики протекания переходного процесса и, как следствие, увеличении точности моделирования термоакустических двигателей и повышении эффективности их проектирования.

Степень разработанности темы исследования. В настоящее время имеется лишь несколько работ, в которых исследуется и моделируется режим запуска термоакустических двигателей. Здесь можно отметить только труды зарубежных учёных: Г. Пенелет, В. Гусева, С. Карпова, А. Просперетти, П. Лоттона, К.И. Матвеева, М. Ватанаби, Х. Юаня и М. Брюно.

Анализ имеющейся информации показывает, что в опубликованных работах отсутствует цельно изложенная методика расчёта режима запуска термоакустических двигателей, а приведённые в них математические модели имеют ряд существенных недостатков. Одни модели подходят для расчёта однотипных конструкций, близких по размерам к испытанным образцам термоакустических двигателей, и предполагают использование эмпирических зависимостей. Другие модели дают только качественное описание режима запуска, поскольку в них не учитываются потери акустической энергии на различные нелинейные эффекты: генерацию гармоник высшего порядка, появление акустических течений различной природы, релаксационные эффекты и другие. Погрешность определения амплитуды акустического давления у них составляет от 25 до 45 %, а погрешность определения температуры рабочего тела в различных компонентах термоакустического двигателя достигает 30 %.

Цель работы: повышение эффективности проектирования термоакустических двигателей за счёт разработки методики расчёта режима их запуска, обеспечивающей увеличение точности определения основных параметров рабочего процесса.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

- анализ современного состояния развития термоакустических двигателей и существующих математических моделей для исследования режима запуска, определение их преимуществ и недостатков;

- разработка математической модели для определения условий самовозбуждения акустических колебаний в термоакустическом двигателе с учётом нагрузки;

- разработка математической модели рабочего процесса термоакустического двигателя в режиме запуска;

- разработка методики расчёта режима запуска термоакустического двигателя, обеспечивающей увеличение точности определения основных параметров рабочего процесса;

- создание термоакустического двигателя и проведение расчетно-экспериментальных исследований режима его запуска и установившегося режима работы;

- определение адекватности разработанных математических моделей и методики расчета.

Объектом исследования является режим запуска термоакустических двигателей.

Предметом исследования являются математические модели и методики расчёта режима

запуска термоакустических двигателей.

Научная новизна работы.

1. Разработана математическая модель, которая позволяет определять условия самовозбуждения акустических колебаний во внутреннем контуре термоакустического двигателя c учётом нагрузки. Отличительной особенностью модели является то, что она может использоваться для различных типов термоакустических двигателей.

2. Разработана математическая модель рабочего процесса термоакустического двигателя в режиме запуска, учитывающая потери акустической энергии на стенках каналов вследствие вязкости, тепловой релаксации, а также потери энергии на краях регенератора вследствие вихреобразования из-за отрыва потока от стенок в местах изменения проходного сечения.

3. На основе указанных выше математических моделей разработана методика расчёта режима запуска термоакустического двигателя, характеризующаяся универсальностью и отсутствием эмпирических зависимостей. Она позволяют определять температуру рабочего тела, амплитуду акустического давления и величину генерируемой акустической мощности с относительной погрешностью не превышающей 18 %.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость заключается в том, что разработаны отечественные математические модели и методика расчета, которые открывают возможность проведения дальнейших исследований акустических и тепловых процессов, протекающих во внутреннем контуре термоакустических двигателей, а также влияния различных механизмов рассеяния тепловой и акустической энергии на их эффективность и работоспособность. Практическая значимость работы заключается в том, что полученные результаты дают возможность разработчикам уже на ранних этапах проектирования учитывать различные нелинейные эффекты и принимать обоснованные решения при разработке конструкции термоакустических двигателей. Предложенные математические модели и методика расчета позволяют рассчитывать режим запуска с

приемлемой погрешностью определения температуры рабочего тела и амплитуды акустического давления в различных зонах внутреннего контура двигателя.

Методы исследования. Решение поставленных в диссертационной работе задач осуществлялось с применением методов математического анализа, теории функции комплексного переменного, численных методов решения задач, методов математического моделирования и физического эксперимента. Также использовались основные положения и методы термодинамики, акустики, газодинамики и теории теплообмена. В качестве вычислительной платформы и программного обеспечения использовался математический пакет Wolfram Mathematica 7, в котором были реализованы разработанные автором математические модели.

Положения, выносимые на защиту:

- математическая модель для определения условий самовозбуждения акустических колебаний в термоакустическом двигателе с учётом нагрузки;

- математическая модель рабочего процесса термоакустического двигателя в режиме запуска;

- методика расчёта режима запуска термоакустического двигателя, обеспечивающая увеличение точности определения основных параметров рабочего процесса;

- теоретические и экспериментальные данные по динамике изменения температуры рабочего тела и амплитуды акустического давления во внутреннем контуре термоакустического двигателя в режиме запуска.

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

- совпадением результатов численного моделирования с экспериментальными данными;

- применением аттестованных измерительных средств и апробированных методик измерения экспериментальных величин;

- расчётной оценкой погрешностей результатов измерений.

Апробация результатов исследования. Основные результаты работы докладывались на международной научно-технической конференции «Актуальные вопросы теплофизики» (г. Алушта, 2011 г.); международной научно-технической конференции «Проблемы и перспективы развития двигателестроения» (г. Самара, 2011 г.); международной научно-технической конференции «Динамика и виброакустика машин» (г. Самара, 2012 г.); международной научно-технической конференции «Динамика и виброакустика машин» (г. Самара, 2018 г.); международной конференции по термоакустике: «The Third International Workshop on Thermoacoustics» (г. Энсхеде, 2015 г.). Получен патент на полезную модель «Микрокриогенная машина с термоакустическим приводом» №131857 от 27.08.2013 г.

Разработанные математические модели были использованы в АО «РКЦ «Прогресс» при выполнении научно-исследовательской работы по созданию экспериментального образца термоакустического двигателя для применения в составе энергетических установок перспективных космических аппаратов.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 публикаций, из них 2 статьи в периодических изданиях, включенных в список ВАК РФ, 2 статьи в изданиях, индексируемых в базах данных Web of Science и Scopus, 2 статьи в прочих научных изданиях и 1 патент на полезную модель.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы из 86 наименований и приложений. Основной текст содержит 125 страниц, 64 иллюстрации и 9 таблиц.

1 АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ РАЗРАБОТОК ТЕРМОАКУСТИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЕЙ

1.1 Основные этапы развития термоакустических двигателей

Процесс самовозбуждения акустических колебаний газа в трубах при подводе тепла привлек к себе внимание ещё в XVIII веке. В литературе это явление получило название тепловое возбуждение звука или возбуждение термоакустических колебаний.

В 1777 году Б. Хиггинс открыл самовозбуждение звуковых колебаний в вертикально расположенной и открытой на концах трубе при помещении внутрь неё пламени от водородной горелки [1, 2]. Схематично экспериментальная установка Б. Хиггинса показана на рисунке 1.1, а. При некоторых условиях самовозбуждение таких колебаний происходило с частотой, близкой к наименьшей собственной частоте колебаний воздуха в трубе.

а) б)

Рисунок 1.1 - Примеры возбуждения термоакустических колебаний: (а) эксперимент Б. Хиггинса; (б) эксперимент К. Зондхаусса

Б. Хиггинс установил, что наиболее интенсивные колебания наблюдались, когда пламя располагалось в средней части трубы. В дальнейшем это явление получило название "поющее пламя".

К. Зондхаусс также экспериментально изучал тепловое возбуждение звука, часто наблюдаемое у стеклодувов при выдувании сосуда или ёмкости на тонкой трубке. Такой сосуд получил название "труба Зондхаусса", схематично он представлен на рисунке 1.1, б. К. Зондхаусс обнаружил, что если поднести устойчивое пламя к закрытой ёмкости, то в соединённой с ней трубке появляется отчетливо слышимый звук. В своей работе, опубликованной в 1850 году [3], он показал, что между геометрическими размерами трубы,

ёмкости и звуком существует связь. При увеличении объёма ёмкости или увеличении длины трубы частота звуковых колебаний в такой системе падала. Однако К. Зондхаусс не смог объяснить причину генерации звука и изменения частоты колебаний.

Работа, опубликованная П. Рийке в 1858 году, является одним из первых сообщений по генерации звука в открытой трубе с помощью нагретой сетки [4]. Он обнаружил, что если в нижнюю часть вертикально расположенной трубы поместить раскалённую проволочную сетку, то в трубе происходит самовозбуждение звуковых колебаний. Причем наиболее интенсивное звучание наблюдается в том случае, когда сетка расположена на расстоянии четверти длины трубы от её нижнего конца.

Первое качественное объяснение возникновения акустических колебаний газа при подводе теплоты было дано Дж. Рэлеем в 1887 году. В своей работе "Теория звука" [5], рассматривая цилиндрическую трубу с колеблющимся поршнем, он показал, что при периодическом подводе тепла к газу можно управлять колебательным движением, т.е. усиливать или ослаблять его. Все зависит от разности фаз между подводом теплоты и колебаниями поршня. Если отвлечься от поршня и заменить его газовым элементом объёма, то все определяется разностью фаз между подводом тепла и волнами сжатия или разрежения. Это дало Дж. Рэлею возможность сформулировать критерий для термоакустических эффектов в газах. "Если теплота сообщается воздуху в момент наибольшего сжатия или отнимается от него в момент наибольшего разрежения, то это усиливает колебания. Напротив, если теплота сообщается воздуху в момент наибольшего разрежения, то колебания ослабляются" [5].

Теоретическое основание современной термоакустики заложил в 1868 году Г. Кирхгоф, который исследовал затухание акустических колебаний в трубе с газом вследствие нестационарного теплообмена газа с изотермической стенкой трубы. Его результаты впоследствии были использованы Х. Крамерсом [6] для описания возбуждения акустических колебаний в закрытой с одного конца трубе с газом, в которой поддерживается градиент температуры. При описании наблюдаемых явлений они рассматривали пограничный слой, толщина которого значительно меньше диаметра трубы.

Революционный прорыв в этой области был сделан Н. Роттом. Рассматривая акустические колебания, генерируемые теплом, он опубликовал серию научных работ [7-13], в которых описывалась линейная теория термоакустики. Н. Ротт отказался от пограничного приближения Г. Кирхгофа и Х. Крамерса, и сформулировал математическую основу возникновения и затухания низкоамплитудных колебаний в широких и узких трубах при наличии продольного градиента температуры.

В России вопросами исследования термоакустических колебаний газа в трубах при наличии продольного градиента температуры занимались А.В. Польшин, Р.Г. Галиуллин, О.В. Белодед, В.М. Ларионов, Р.Г. Зарипов и др. [14-22].

В последующие тридцать лет основные положения линейной теории Н. Ротта были обобщены и развиты Г. Свифтом в работах [23-27]. Важнейшим результатом проведенных им исследований явилось создание тепловых машин принципиально нового типа -термоакустических двигателей. Они представляют собой устройства с внешним подводом тепла, работающие по замкнутому регенеративному циклу. Термоакустические двигатели преобразуют подводимое тепло в акустические колебания в рабочем теле, в качестве которого обычно используется воздух, водород, гелий, азот или аргон. В практическом плане эти колебания могут быть использованы для генерации электрической энергии, разделения смесей газов или для приведения в действие термоакустических охладителей, работающих в обратном цикле. Термоакустические двигатели коренным образом отличаются от традиционных тепловых двигателей минимальным количеством подвижных механических частей, простотой конструкции, сравнительно высокой эффективностью и надёжностью, низким уровнем стоимости и экологической безопасностью. В зависимости от режима работы термоакустических двигателей выделяют двигатели на стоячей волне и двигатели на бегущей волне.

Термоакустический двигатель на стоячей волне - устройство, которое преобразует тепловую энергию в энергию акустических колебаний в форме, близкой к стоячей волне. Простейший двигатель такого типа представляет собой акустический резонатор в виде трубы постоянного сечения с газом, в котором на небольшом участке между двумя теплообменниками (нагревателем и охладителем) располагается регенеративный теплообменник, называемый стек. Стек обеспечивает попеременное накопление и возвращение части тепловой энергии, полученной в рабочем цикле двигателя. Положение стека в резонаторе выбирается из требования, чтобы подвод теплоты к осциллирующим внутри него элементарным объёмам газа - частицам, осуществлялся в момент их сжатия, а отвод теплоты в момент разрежения. В этом случае, в соответствии с принципом Рэлея, происходит генерация акустических колебаний. В монографии Г. Свифта [28] отмечается, что внутренний КПД существующих термоакустических двигателей на стоячей волне, который характеризует эффективность преобразования тепловой энергии в энергию акустических колебаний, не превышает 20 %. Результаты фундаментальных теоретических и экспериментальных исследований рабочего процесса термоакустических двигателей на стоячей волне представлены в работах [24, 28, 29, 30, 31].

Термоакустический двигатель на бегущей волне - устройство, которое преобразует тепловую энергию в энергию акустических колебаний в форме, близкой к бегущей волне. Конструктивной особенностью такого двигателя является наличие тороидального акустического канала с регенератором внутри, расположенным между двумя теплообменниками: нагревателем и охладителем. Такая конфигурация канала позволяет реализовать плоскую гармоническую волну, распространяющуюся по каналу, и обеспечить возврат волны обратно к регенератору, в котором происходит увеличение её мощности. То есть в тороидальном канале реализуется что-то вроде циркуляции акустической энергии, а регенератор выступает в качестве акустического усилителя с коэффициентом усиления, равным отношению температур на концах регенератора.

На рисунке 1.2 показан принцип работы термоакустического двигателя на бегущей

волне.

Рисунок 1.2 - Принцип работы термоакустического двигателя

на бегущей волне

Нагревателем обеспечивается подвод тепловой мощности ^ от горячего теплового источника с температурой Тп с одной стороны регенератора. С другой стороны регенератора

охладитель отводит от газа тепловую мощность ()с к холодному тепловому источнику с температурой Тс. Генерация акустических колебаний в двигателе начинается в тот момент, когда продольный градиент температуры ЧТ, устанавливающийся в регенераторе за счет работы теплообменных аппаратов, начинает превышать некоторый критический уровень (УТсгИ) [23]. С течением времени эти колебания стабилизируются по амплитуде и частоте /, продольный градиент температуры ЧТ в регенераторе устанавливается постоянным, и часть подведенной тепловой мощности ^ преобразуется в акустические колебания мощности Ш, которые реализуются в форме, близкой к бегущей волне. При этом тепловое расширение частиц газа в регенераторе происходит при большем давлении, чем тепловое сжатие. Следовательно, фрйУ > 0, что говорит о том, что газ совершает положительную работу над соседними частицами газа. За счет этого каждая частица газа на определенном участке регенератора поглощает теплоту в «горячей» его части и сбрасывает в «холодной». Таких частиц по всей длине каналов в регенераторе достаточно много. Они располагаются последовательно друг за другом и как по «пожарной цепочке» осуществляют перенос теплоты через весь регенератор от нагревателя к охладителю.

В термоакустических двигателях на бегущей волне используются насадки регенератора, выполненные из металлической проволочной путанки, металлических сеток, пористой керамики и других пористых структур. Размер пор в них должен быть меньше глубины теплового проникновения [28]. Глубина теплового проникновения - это расстояние, на которое тепло (или импульс в случае глубины вязкого проникновения) распространяется за один акустический цикл. Глубины теплового и вязкого проникновения определяются, соответственно, следующим образом

, 2К

5К = I-, (1.1)

\ртсрш

= I—, (1.2)

\РтЫ

где К - коэффициент теплопроводности газа, рт - средняя плотность газа, ср - изобарическая удельная теплоемкость, ш - угловая частота акустических колебаний газа, д - коэффициент динамической вязкости газа. Малый размер пор в регенераторе нужен для того, чтобы время тепловой диффузии в газе было меньше периода акустических колебаний. Только в этом случае теплообмен между газом и насадкой регенератора будет протекать обратимо. Кроме того, сдвиг фаз ^ между колебаниями давления р и колебаниями скорости газа и в регенераторе должен быть близок к 0° для того, чтобы реализовывалась оптимальная регенерация тепла и

обеспечивалась высокая эффективность преобразования тепловой энергии в энергию акустических колебаний.

Идеальный термодинамический цикл, совершаемый газом в регенераторе термоакустического двигателя на бегущей волне, аналогичен циклу Стирлинга. Согласно работе [32] он включает в себя следующие процессы:

1 - изотермическое сжатие частицы газа с выделением тепловой энергии в холодной части регенератора;

2 - изобарное расширение частицы газа с поглощением тепловой энергии при перемещении в горячую часть регенератора;

3 - изотермическое расширение частицы газа с поглощением тепловой энергии в горячей части регенератора;

4 - изобарное сжатие частицы газа с выделением тепловой энергии при перемещении в холодную часть регенератора.

Учитывая вышеизложенное, можно утверждать, что термоакустический двигатель на бегущей волне является акустическим аналогом двигателя Стирлинга.

В работе Т. Язаки [33] приведено описание конструкции и представлены результаты экспериментальных исследований первого работающего термоакустического двигателя на бегущей волне. Схема его устройства показана на рисунке 1.3. В тороидальном акустическом канале размещается тепловой узел, который включает в себя регенератор с прилегающими по обеим сторонам теплообменниками, нагревателем и охладителем. В качестве рабочего тела в двигателе использовался воздух. Данный двигатель способен был работать в двух режимах: в режиме бегущей волны и в режиме стоячей волны. Для перехода с одного режима на другой в акустическом канале двигателя была предусмотрена заглушка. На рисунке 1.3 она обозначена символом «Р».

Рисунок 1.3 - Схема устройства термоакустического двигателя Т. Язаки [33]

Приведённые в работе [33] экспериментальные данные свидетельствуют о том, что в режиме бегущей волны эффективность преобразования тепловой энергии в энергию акустических колебаний была выше, чем в режиме стоячей волны при той же рабочей частоте и длине волны. Однако в регенераторе реализовывался низкий акустический импеданс z = р/и вследствие большой колебательной скорости частиц газа и. Из-за этого потери акустической энергии на вязкое трение в порах регенератора были высокими, а эффективность преобразования энергии у двигателя в обоих режимах работы низкой.

Позднее проблему низкой эффективности решили С. Бэкхаус и Г. Свифт [28, 34]. Они предложили новый тип термоакустического двигателя на бегущей волне, который представлял собой тороидальный акустический канал, соединенный с резонатором. Двигатель получил название термоакустический двигатель Стирлинга (TASHE - Thermoacoustic Stirling Heat Engine). Схема и общий вид термоакустического двигателя Стирлинга представлены на рисунках 1.4 и 1.5.

1 - регенератор; 2 - основной охладитель; 3 - нагреватель; 4 - дополнительный охладитель; 5 - термическая буферная труба; 6 - акустическая емкость; 7 - инерционная труба;

8 - супрессор; 9 - отвод к резонатору

Рисунок 1.4 - Схема термоакустического двигателя Стирлинга [34]

Рисунок 1.5 - Общий вид термоакустического двигателя Стирлинга [28]

Теплота подводится к двигателю через нагреватель 4. Отработанная теплота сбрасывается в окружающую среду охладителями 2 и 6. Регенератор 1 является основным энергопреобразующим компонентом двигателя. Инерционная труба 7, акустическая ёмкость 6 и термическая буферная труба 5 благодаря инерционным свойствам колеблющегося в них газа обеспечивают оптимальный сдвиг ф фаз между колебаниями давления р и скорости газа и в регенераторе для преобразования подводимой тепловой энергии в энергию акустических колебаний. Газ, который содержится в инерционной трубе и акустической ёмкости, можно рассматривать в качестве рабочего поршня. Роль вытеснителя в двигателе играет газ, находящийся в термической буферной трубе. За счёт указанных компонентов, а также акустического резонатора, который определяет частоту колебаний газа, в регенераторе обеспечивается высокий акустический импеданс г — р/и и, как следствие, низкие потери на вязкое трение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зиновьев Евгений Александрович, 2019 год

источник

Г. Пенелет, Одномерная математическая Преимущества:

Simplified account модель, в которой режим - модель позволяет рассчитывать

of Rayleigh запуска термоакустического частоту возбуждающихся

streaming for the двигателя на стоячей волне акустических колебаний;

description of описывается - учитывается влияние течения Рэлея

nonlinear processes параметрически связанными на режим запуска термоакустического

leading to steady дифференциальными двигателя;

state sound in уравнениями в частных - учитывается перенос тепла во

thermoacoustic производных, внутреннем контуре двигателя за счёт

engines [49] учитывающими осевой теплопроводности стека,

термоакустическое усиление резонатора и рабочего тела.

акустических колебаний и Недостатки:

нестационарный процесс - не учитываются местные потери

переноса тепла в стеке. акустической энергии в различных

Погрешность расчёта компонентах термоакустического

акустического давления и двигателя;

температур внутри - коэффициенты теплоотдачи в

термоакустического теплообменниках двигателя

двигателя составляет 25 % и рассчитываются по эмпирическим

30 %, соответственно. формулам;

- модель применима для

термоакустических двигателей на

стоячей волне.

M. Ватанаби, Одномерная математическая Преимущества:

A simplified model модель базируется на том, - модель подходит для описания

for linear and что любой режима запуска и установившегося

nonlinear processes термоакустический режима работы термоакустического

in thermoacoustic двигатель на стоячей волне двигателя на стоячей волне.

prime movers. Part можно рассматривать в виде Недостатки:

I. Model and linear канала переменного сечения - не учитываются перенос тепла в

theory [50] 5(х). Основными стеке вследствие осевой

уравнениями модели теплопроводности и местные потери

являются: уравнение акустической энергии в различных

Автор, источник Описание модели Особенности модели

неразрывности, уравнение количества движения, уравнение энергии и уравнение состояния идеального газа. Нет данных о погрешности определения параметров. компонентах термоакустического двигателя; - модель применима для термоакустических двигателей на стоячей волне.

C. Карпов и А. Просперетти, Nonlinear saturation of the thermoacoustic instability [51] Используется математическая модель М. Ватанаби в сочетании с методом малых возмущений. Нет данных о погрешности определения параметров. Преимущества: - модель подходит для описания режима запуска и установившегося режима работы термоакустического двигателя на стоячей волне; - модель позволяет описывать зависимости амплитуды акустического давления от разности температур на концах стека, расстояния между пластинами в стеке, геометрии акустических каналов, числа Прандтля и др. Недостатки: - не учитываются перенос тепла в стеке вследствие осевой теплопроводности, нелинейные эффекты и местные потери акустической энергии; - модель применима для термоакустических двигателей на стоячей волне.

Г. Пенелет, Experimental and theoretical study of processes leading to steady-state sound in annular thermoacoustic engines [52] Одномерная математическая модель, в которой режим запуска термоакустического двигателя на бегущей волне описывается параметрически связанными дифференциальными уравнениями в частных производных, учитывающими термоакустическое усиление акустических колебаний и нестационарный процесс переноса тепла в тепловом Преимущества: - модель учитывает влияние акустического поля на температурное поле в регенераторе, потери акустической энергии вследствие генерации гармоники второго порядка, а также местные потери акустической энергии в различных компонентах двигателя. Недостатки: - коэффициенты теплоотдачи в теплообменниках двигателя рассчитываются по эмпирическим формулам;

Автор, источник Описание модели Особенности модели

узле двигателя. Погрешность определения акустического давления составляет 45 %. - модель применима для термоакустического двигателя на бегущей волне без какой-либо акустической нагрузки.

К.И. Матвеев, Unsteady model for standing-wave thermoacoustic engines [53] Одномерная математическая модель термоакустического двигателя на стоячей волне, в которой нестационарный процесс теплообмена газа со стеком и теплообменниками описывается системой дифференциальных уравнений, записанных для каждого из теплообменников. Нет данных о погрешности определения параметров. Преимущества: - модель подходит для описания режима запуска и установившегося режима работы термоакустического двигателя на стоячей волне; - отсутствие эмпирических формул; - модель учитывает потери акустической энергии в стеке вследствие вязкости и тепловой релаксации; - удобство в применении и небольшие требования к вычислительным ресурсам. Недостатки: - частота возбуждающихся акустических колебаний задаётся; - не учитываются местные потери акустической энергии в различных компонентах термоакустического двигателя; - модель применима для термоакустических двигателей на стоячей волне.

Анализ имеющейся информации показывает, что во всех рассмотренных выше работах отсутствует цельно изложенная методика расчёта режима запуска термоакустических двигателей, а приведённые в них математические модели имеют ряд существенных недостатков:

- использование эмпирических зависимостей;

- неуниверсальность, что приводит к необходимости разработки новых математических моделей для каждой новой конструкции термоакустического двигателя;

- неточность моделирования указанного переходного режима, поскольку в них не учитываются потери акустической энергии, связанные с такими нелинейными процессами, как генерация гармоник высшего порядка, появление акустических течений различной природы, вязкостные и тепловые релаксационные процессы и другие.

Учитывая вышеизложенное, можно сделать вывод, что в настоящее время существует потребность в разработке математических моделей и методик расчёта режима запуска термоакустических двигателей, которые будут обеспечивать необходимую точность вычислений и отличаться большей универсальностью.

Выводы по главе 1

Проведенный анализ современного состояния развития термоакустических двигателей и работ, посвящённых исследованию и моделированию режима запуска термоакустических двигателей, позволяет сделать ряд выводов.

1. Термоакустические двигатели - сравнительно новый вид тепловых двигателей, который коренным образом отличается от традиционных машин минимальным количеством подвижных механических частей, простотой конструкции, сравнительно высокой эффективностью и надёжностью, низким уровнем стоимости и экологической безопасностью. Они могут использоваться в составе энергетических установок систем электропитания перспективных космических аппаратов. Источником тепловой энергии для таких двигателей могут служить радиоизотопные элементы.

2. Исследование и моделирование режима запуска термоакустических двигателей представляется чрезвычайно важным делом, поскольку понимание физики протекающих тепловых и акустических процессов и возможность их количественной оценки позволят осуществить рациональное проектирование двигателей.

3. Анализ имеющейся информации показывает, что в опубликованных работах отсутствует цельно изложенная методика расчёта режима запуска термоакустических двигателей, а приведённые в них математические модели имеют ряд существенных недостатков: использование эмпирических зависимостей, неуниверсальность и неточность моделирования протекающих процессов. Погрешность определения амплитуды акустического давления у этих моделей составляет от 25 до 45 %, а погрешность определения температуры рабочего тела в различных компонентах термоакустического двигателя достигает 30 %.

4. Разработка математической модели и методики расчёта режима запуска термоакустических двигателей, которые будут отличаться большей универсальностью и обеспечивать необходимую точность вычислений, является актуальной задачей.

2 ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЖИМА ЗАПУСКА ТЕРМОАКУСТИЧЕСКОГО ДВИГАТЕЛЯ

2.1 Описание процесса преобразования энергии в регенераторе

Несмотря на то, что термоакустический эффект известен уже более двухсот лет, основные положения линейной термоакустики были разработаны лишь в семидесятых годах прошлого века. Фактически эта наука берет свое начало в работах Н. Ротта [7-13] и первоначально ограничивалась описанием механизма теплового возбуждения акустических колебаний в газе в каналах с градиентом температуры. Оказалось, что она справедлива и для случая обратного эффекта, процесса переноса тепла из горячей части канала с градиентом температуры в холодную часть за счёт энергии акустических колебаний газа [28].

В термоакустике при описании механизма взаимного преобразования тепловой энергии и энергии акустических колебаний газа в каналах с продольным температурным градиентом используются три основных уравнения: уравнение неразрывности, уравнение количества движения и уравнение энергии. В данном подразделе приведены основные соотношения, описывающие процесс преобразования энергии в регенераторе термоакустического двигателя с продольным градиентом температуры (рисунок 2.1). Рассмотрим регенератор, который представляет собой пакет параллельных пластин, между которыми выдержан фиксированный зазор. Пусть теплоёмкость пластин значительно превосходит теплоёмкость газа, находящегося в зазоре. При этом вводятся следующие допущения:

- пластины в регенераторе являются неподвижными и жёсткими;

- рассматриваемая система находится в стационарном состоянии;

- акустические параметры, зависящие от времени, изменяются по гармоническому закону с угловой частотой ш;

- эффектами, описываемыми параметрами второго порядка малости, такими как акустические течения и турбулентность пренебрегается;

- линейные размеры каналов значительно меньше длины акустической волны;

- амплитуда акустического давления значительно меньше среднего давления газа в системе.

Нагреватель

Охладитель

Регенератор

Пластина

Газ

*х 2ус

Пластина

Рисунок 2.1 - Регенератор термоакустического двигателя

Для описания физических процессов, протекающих в регенераторе, вводится две системы координат (рисунок 2.1): одна для канала с газом, другая - для пластины. В данном случае полагается, что направление распространения волны совпадает с направлением оси х. Ось у направлена по нормали к поверхности раздела "газ-пластина". Координата у = 0 соответствует центральной части канала с газом. Границе раздела соответствует координата у = у0. Ось у' системы координат, связанной с пластиной, также является нормальной к границе раздела "газ-пластина". При этом, центральной части пластины соответствует координата у' = 0, а границе раздела "газ-пластина" - координата у' = I. Из рисунка 2.1 видно, что координатные оси у и у' направлены противоположно друг другу. Здесь предполагается, что пластина является абсолютно жесткой. Средняя скорость газа в системе полагается равной нулю.

В рассматриваемой системе все параметры являются функцией частоты:

где р - давление, р - плотность, и - проекция вектора скорости газа V на ось х, Т - абсолютная температура газа, Т5 - абсолютная температура пластины регенератора, 5 - энтропия газа. Индексом "да" обозначены вещественные средние величины, "5" - величины, относящиеся к пластине, а параметры с индексом "1" - комплексные величины первого порядка малости. Так как все рассуждения ведутся в линейной постановке, то всеми величинами выше первого порядка малости пренебрегается.

р = рт + Ие[р1(х)е1ШЧ,

(2.1) (2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Р = Рт (х) + Re[pl(x, у)е1ш1],

и = Ке[и1(х, у)е1ш1],

Т = Тт (х)+ Яе[Т1(х, у)еш], Т5 = Тт (х)+ Яе[Т31(х, у)еш], ^ = 5т (х) + Ке[51(х, у)е1Ш],

Движение вязкой сжимаемой среды в каналах в общем случае подчиняется уравнению Навье-Стокса

+(у • Ю*) = -Ур + + 3) • (2-7)

где д и % - динамическая и вторая вязкость, соответственно. В проекции на ось х уравнение движения в первом приближении выглядит следующим образом

1шрти1

dp-i f U\ д

+ 1Я2щ + + 3) — (V • щ), (2.8)

dx V 3 дх

где и1 - проекция вектора скорости v на ось х. Согласно Г. Свифту [23] частная производная д/дх является величиной порядка 1/У, где У - длина волны в радианах, а производная д/ду -величиной порядка 1/8V. Это следует из того, что характеристической длиной в направлении оси х является длина волны У, а характеристической длиной в направлении оси у является глубина вязкого проникновения 8V. Так как 8у/У << 1, то в уравнении (2.8) всеми членами, куда входит вязкость, можно пренебречь за исключением члена ßd2u1/dy2. В этом случае оно преобразуется к виду

dp1 д2и1

ШРшЩ = + H-j-T. (29)

С учетом граничного условия на стенке и1(у0) = 0 решением уравнения (2.9) является функция

и = J_dp1i1 ch((1 + ру/SV^ \ 1 upmdx\ ch((1 +1) y0/8v)). (. )

В общем случае эту функцию можно представить в следующем виде [28]

1 -hv (у) dp-

Щ =--;-— (2.11)

шрт dx

где функция hv (у) зависит от геометрии канала и определяет уменьшение величины колебательной скорости и1 и сдвиг фазы её колебания вследствие вязкого трения. Анализ уравнения (2.11) показывает, что движение газа определяет появление градиента давления dp^^/dx и наоборот, наличие градиента давления в канале с газом обуславливает перемещение последнего.

Величину колебаний температуры газа вблизи стенки пластины с продольным градиентом температуры dTm/dx в первом приближении можно найти из уравнения переноса тепла

РТ^ + v •Vsj = (KVT), (2.12)

где s - удельная энтропия газа, К - коэффициент теплопроводности газа. Данное уравнение является частным случаем уравнения, выражающего общий закон сохранения энергии в

йв _ ср — -р—, (2.13)

гидродинамике вязкой среды [54]. Пусть изменение энтропии газа определяется изменениями его температуры и давления, т.е.

йТ йр

--Я —

Т Р р

где Ср - изобарическая удельная теплоемкость газа, @ - изобарический коэффициент теплового

расширения газа. Тогда уравнение (2.12) с учетом уравнения (2.13) и того, что д2Т1/дх2 <<

д2Т1/ду2, можно представить в комплексной форме

( ЛТт\ д2Тх

РтСр \1шТ1 + щ-шТтРрг _ . (2.14)

Распределение температуры газа Тх(у) находится подстановкой выражения (2.10) для скорости щ в уравнение (2.14) и решением его относительно температуры Тх. При этом следует учитывать граничные условия

Т1(Уо) = Т51(1) = Тъъ (2.15)

ду>

Решение для колебаний температуры газа Т1 в зависимости от расстояния у имеет вид [28]

ТтР

_

(2.16)

Тх _

- 1 ( Рг ск((1 +1) у/8у) \ йрх йТт

РтСр Р1 РтЫ2 \ (РГ - 1)с1%((1 + I) у0/5у)) йх йх

Ттр (йр1/йх)(йТт/йх) / £3 ГЛ\ ск{(1 + I) у/8к)

кртСрРх (Рг- 1)ртш2 V &)) (1 + е5)ск((1 +1) у0/8ку (. )

где Рг _ срр./К _ у/к - число Прандтля, к _ К/ртср - коэффициент температуропроводности газа. Параметр е3, входящий в формулу (2.17), определяется следующим образом

е _ ртСр8кгк((1 + 0 у0/5ку

5 р3с38^И.((1 + 01/83) ' '

где ртСр8к - теплоёмкость газа, заключённого в слое толщиной 8К, на единицу площади теплового контакта газа с пластиной, р3с38., - теплоёмкость слоя пластины толщиной , на единицу площади теплового контакта газа с пластиной. Параметр е3 в каком-то смысле определяет степень идеальности регенератора. Регенератор можно считать идеальным в случае, когда е3 _ 0. Функции и , входящие в уравнение (2.17), являются комплексными функциями и зависят от отношения гидравлического радиуса гп к глубине теплового проникновения 8К и вязкого проникновения 8У, соответственно. В таблице 2.1 приведены виды функций Л и / для некоторых типов каналов или пор, часто встречающихся на практике.

Таблица 2.1 - Вид функций Л и [ для некоторых типов каналов или пор

Геометрия

Функции К и /

Пограничный слой [28]

Гк У

Параллельные пластины [23]

2Уо

__________

л = е у ^

Г =

(1 -1)5 2гъ

Л =

ск((1 + ру/8) ск{(1 + 1)у0/8)

Г =

гк((1 + I) у0/8)

(1 + 0 Уо/8

Цилиндрические поры [28]

Л =

¡0((1- 1) г/8)

Щ- 1) Я/8)

Г =

2Ь{(1- 1) Я/8)

Щ- 1) Я/8)(1- 1) Я/8

Прямоугольные поры [55]

У

2у0

Л = 1

16 у й2 2-,

б т (тпу/2у0)зт (ппг /2г0)

т,п ойй

П282

Г = 1 - ;_(^2^,2 ^,2Л,2

_8У0га

64

Г = 1 - Ц4 1

2 2 (т2Ч + п2У2)

т,п ойй

т2п2С

Штырьковая матрица [26] О О О О

2г О

А

6

Л

о о

У1(ао)1о(а) -¡1(ао)Уо(а)

У1(аоУо(а1) -]1(а0)У0(а1) а = & - 1) г/8_

Г

2щ У^арУ^Щ) -ЬЫУ^щ) - а2 У1(а0)10(а1) - 11(а0)У0(а1)

Изменение температуры пластин регенератора Т3 в зависимости от расстояния у' можно найти из решения уравнения теплопроводности

дТ<

= к3У2Т3 ,

дг 8 5

(2.19)

где к3 = К3/(р3с3) - коэффициент температуропроводности пластины, К3 - коэффициент теплопроводности пластины, р3 - плотность пластины, с3 - удельная теплоемкость пластины. Данное уравнение является частным случаем уравнения переноса тепла. Воспользовавшись разложением температуры Т3 в форме (2.5) и тем, что (д2Тз1/дх2)/(д2Тз1/ду'2) « к3/ш^2 << 1 уравнение (2.19) можно переписать в комплексном виде

Г51

д2Т<

шТ31 = к3 2 -ду

(2.20)

Решением этого уравнения является функция

сК((1 + I) у'/83)

Т51 = ТЬ1—V- V, (2.21)

51 ск((1 + I) 1/85)

где = ^2к5/ш - глубина теплового проникновения пластины, ТЬ1 - амплитуда колебаний температуры на границе у' = I.

На рисунке 2.2 представлены зависимости вещественной и мнимой части функции / от отношения Г}1/8 для различных типов каналов.

Из представленных зависимостей видно, что для каналов с гидравлическим радиусом » 8 вещественная и мнимая части функций и стремятся к нулю. При этом влияние вязкости сказывается наибольшим образом только для той части газа, которая находится вблизи стенки канала, а процессы сжатия и расширения газа, вызываемые акустической волной, осуществляются преимущественно в адиабатических условиях. В случае, когда << 8, газ находится почти в идеальном тепловом контакте со стенкой, а влияние вязкости уже велико для всего объёма газа в канале.

Рисунок 2.2 - Зависимость функции / от т-^/8 для различных типов каналов

Теперь можно получить волновое уравнение Ротта для давления р1(х), если воспользоваться уравнением неразрывности, уравнением движения газа, уравнением состояния идеального газа, а также полученными выше уравнениями для колебаний скорости и1 и температуры газа Т1.

Уравнение неразрывности, которое определяет закон сохранения массы газа в рассматриваемой физической системе,

^ + (ру) = 0 (2.22)

может быть представлено в комплексной форме

д

1шр1 + дх (РтЩ) + Рт~ду =0. (2.23)

С учётом уравнения (2.9) его можно представить в более удобном виде

й2рл д ( 32иЛ ду-,

+ -х^) + = 0. (224)

Из уравнения состояния идеального газа можно найти, что колебания плотности газа р1

определяются изменениями температуры Т1 и давления р1, или

Р1 = -РшРТ1 + (^)ръ (2.25)

где у - показатель адиабаты, а - адиабатическая скорость звука. Подстановка уравнения (2.25)

в уравнение (2.24) приводит к следующему выражению

2 ш2 й2р1 д ( д2иЛ ду1

"2РтрТ1 --уР1- — + ) + ^ = 0 (226)

С учётом уравнения (2.17) для изменения температуры Т1 и уравнения (2.10) для изменения скорости и1 после проведения процедуры интегрирования уравнения (2.26) по координате у от 0 до у0 получаем дифференциальное уравнение для давления р1 как функции от координаты х

(1 I (у- 1^) + Рт02 й ((1 ) ( 1 + е5 )Р1 ш2 йх( рт йх

р О2 /К Ъ &Тт йр1 = 0 (2 27)

Р ш2 (1- Рг)(1 + е5) йх йх . ( . )

Это знаменитое волновое уравнение, описывающее процесс распространения акустических колебаний в канале или пористой среде (регенератор или стек) с продольным градиентом температуры йТт/йх [28]. Впервые оно было получено Н. Роттом для случая идеального газа и идеального регенератора (г5 = 0).

Для описания принципа работы регенератора необходимо рассмотреть в нём некоторый сегмент длиной йх (рисунок 2.1). Средняя по времени акустическая мощность йЕ, генерируемая этим сегментом, определяется как разность между усредненными по времени значениями акустической мощности в точке х + йх и акустической мощности точке х,

йЁ = Ад ((Р1Щ)х+{1х - (Р1и1)х), (2.28)

где Ад - площадь проходного сечения регенератора. Скобками в уравнении (2.28) обозначено усреднение по координате у, а чертой сверху - процедура усреднения по времени. Если

разложить величину (р1и1)х+йх в ряд Тейлора при условии, что давление р1 не зависит от координаты у, то уравнение (1.37) можно переписать в виде:

dE = А

dp1(u1)

а

dx

dx ).

(2.29)

Усреднённое по времени произведение двух комплексных величин в общем случае находится из формулы

Pi(ui) = ^ кФЛщЯ

(2.30)

Тильда в уравнении (2.30) означает комплексное сопряжение. С учётом уравнения (2.30) уравнение (2.29) приводится к виду

dE = - AaRe 2 3

d{Ui) dpi

Vi—ПГ + M

dx.

(2.31)

dx dx

Для получения явного вида этого уравнения необходимо определить производные dpi/dx и d{ui)/dx. Первую производную можно получить из уравнения количества движения (2.10)

dpi = _Ш£гп{щ)

dx (1 _ fv) . (2 32)

Производную d{ui)/dx легко найти из второго члена волнового уравнения Ротта с использованием уравнения (2.32),

рта2 d ((1 _ fv) dp-Л рта2 d(_i^{ui))

ш2 dx\ рт dx) ш2 dx Подстановка данного уравнения в волновое уравнение Ротта даёт уравнение неразрывности

d(u1) ш ( (у - 1)

(2.33)

dx

pmci

1 +

(1 + es)

fK)pi +

+ ■

(fK _ fv)

■{Ui).

(1 _Pr)(1 + £s )(1 _fv У dx Тогда из уравнения (2.31) с учётом уравнений (2.32) и (2.34) получается [28]

(2.34)

d^2 = _ 1 (Рт Im[_fv ] dx = 2 \1 _fv\2

\{щ)\2 +

(у _ 1)lm[_fK] рта2(1 + Eg)

\Pi\2) +

+ 1А ( Р

+ 2 _Pr)(1 + es) dx

Re

lfK _ fv)

Pi{Hi)

(2.35)

К1 -ь)

Данное уравнение является одним из основных уравнений линейной термоакустики, так как оно определяет акустическую мощность, генерируемую или поглощаемую каналом единичной длины с продольным градиентом температуры. Индекс "2" означает, что это величина второго порядка малости, так как она определяется произведением величин первого порядка малости, р1 и и1. Первые два члена уравнения описывают диссипацию энергии вследствие вязкого

трения и тепловой релаксации, соответственно. Третий член определяет поглощение (для холодильника) или генерацию акустической мощности (для двигателя) в зависимости от величины продольного градиента температуры в регенераторе.

Ещё одним важным соотношением в теории линейной термоакустики является выражение для общего (суммарного) потока энергии Н2, приведенное Свифтом в работе [23]. Для того, чтобы его получить, необходимо рассмотреть закон сохранения энергии, определяемый уравнением

Р"2 + ре) = -У^(ру V2 + ш)-КУТ- V • х), (2.36)

где е и № - удельные по массе внутренняя энергия и энтальпия, соответственно, 2 - тензор вязких напряжений, компоненты которого задаются как

(ду; ду; 2 дуЛ дук

2> = »(щ + 2 вчаГл) + Ъ'аТк. (237)

Произведение уу2 представляет собой величину третьего порядка малости, поэтому им можно пренебречь. Интегрирование оставшихся членов уравнения (2.36) по координате у от у = 0 до ' = 0 и усреднение по времени, даёт следующий результат

(Уо Уо__I__Уо \

| ршл/йу - | К^йу-^^йу' -I (у • 1)хау\ = 0. (2.38)

0 0 0 0 )

Величина, стоящая в скобках, представляет собой усреднённый по времени общий поток

энергии, проходящий вдоль оси через единичный периметр ,

. У о У о__I__У о

НС Г д Т Г д Т3 Г-

-= I рШйу- I К —с1у- I -I (у •2)хйу. (2.39)

0 0 0 0 Если провести разложение членов полученного уравнения до второго порядка малости, то первый интеграл уравнения (2.39) в этом случае преобразуется к виду

о о

^Ъ*1 (ртщшт + ++ р„,щщ) чу. (240)

00

Первый член правой части уравнения (2.40) равен нулю, так как щ = 0. Сумма интегралов от второго и третьего членов также принимает нулевое значение вследствие того, что средний по времени массовый поток второго порядка равен нулю:

о

(РтЦ2 + Р 1Щ) ¿У = 0. (2.41)

Таким образом,

о

I

Уо

Уо

Уо

I ри^Лу . I Рти1«1Лу = I (ртсрТ1и1 + (1 - Т^щУу, {2А2)

0 0 0 где йж = Тйз + (1/р)йр = срйТ + (1/р)(1 -Т@)йр. Второй и третий интегралы уравнения

(2.39) включают в себя члены всех порядков, однако существенный вклад вносят только члены нулевого порядка. В этом случае можно записать

Уо.

Г дТ Г дТ5

I кд1ду-1 к*^аУ'~-(Уок +1К*)

йтт

йх '

(2.43)

00

Из уравнения (2.39) видно, что последний интеграл имеет множество членов. Однако проводя аналогичные рассуждения, что и при выводе уравнения (2.9), можно заметить, что наибольший вклад вносят члены, имеющие порядок у0^.и1/У, а член рим является величиной порядка р1и1 « ртаи1. Таким образом, можно записать

•1)хйу

V 182 ■— = - Т^« 1.

(2.44)

/0Уо ри]кйу 1а 2 У2

Из последнего соотношения следует, что вязким членом (V •Е)х в уравнении (2.39) можно пренебречь,

Уо

н С

-¡2 = I (ртсрТ1и1 + (1 - Ттр)р1и1)йу - (У0К + 1К5)

йтт

йх '

(2.45)

Индекс "2" означает, что общий поток энергии есть величина второго порядка малости. Подстановка уравнений (2.10) и (2.17) в последнее уравнение и его последующее интегрирование в результате дают выражение для общего потока энергии [23]

Аа

Н2

Р1(щ)[ 1 -

ртт(гк-ь)

(1 + Рг)(1 + е3)(1

+

АдРтСр\(и1)\2 + -—7г—^-тл-ттг 1т

2<о(1 -Рг)\1 \2

Ъ +

(1 + е5)(1 + Рг)

йх

-{АдК + А5К5)^,

(2.46)

где - площадь сечения материала регенератора, К5 - коэффициент теплопроводности материала регенератора. Уравнение (2.46) включает в себя три слагаемых. Первое слагаемое по своему физическому смыслу представляет собой акустическую мощность, переносимую акустической волной через проходное сечение регенератора Ад. Второе слагаемое определяет акустическую мощность, генерируемую вследствие термоакустического эффекта участком регенератора единичной длины с градиентом температуры йТт/йх. Последнее слагаемое - это

тепло, переносимое в единицу времени вследствие теплопроводности газа и стенки канала. В дальнейшем скобки, обозначающие усреднение по координате у, для удобства и простоты восприятия будут опущены.

Таким образом, в ходе проведённого анализа установлено, что основными уравнениями, описывающими изменения давления, колебательной скорости, а также температуры газа в условиях акустических колебаний в канале с продольным градиентом температуры, являются: уравнение неразрывности (1.41), уравнение количества движения (1.43) и уравнение для общего потока энергии (1.55). Первые два уравнения являются комплексными, поэтому каждое из них включает в себя ещё вещественную и мнимую составляющие. Полученная система дифференциальных уравнений включает в себя пять связанных между собой уравнений с пятью неизвестными величинами: Ке[р1], 1т[р1], Яе[{и1)], 1т[{и1)] и Тт. Она полностью описывает физику термоакустического эффекта в каналах с продольным градиентом температуры и может быть использована для моделирования процессов, протекающих в термоакустических устройствах.

2.2 Математическая модель для определения условий самовозбуждения акустических колебаний в термоакустическом двигателе

Анализ современного состояния развития термоакустических двигателей показал, что наиболее перспективным с точки зрения использования в составе систем электропитания космических аппаратов является термоакустический двигатель на бегущей волне (далее по тексу - термоакустический двигатель) вследствие его высоких тактико-технических характеристик. Для проведения исследований в данной работе была выбрана схема термоакустического двигателя, представленная на рисунке 2.3. Он представляет собой акустический канал тороидальной конфигурации, который состоит из нескольких последовательно расположенных элементов: инерционной трубы 1, основного теплообменника-охладителя 2, регенератора 3, теплообменника-нагревателя 4; термической буферной трубы 5, дополнительного теплообменника-охладителя 6. К тороидальному каналу стыкуется акустический резонатор 7.

1 - инерционная труба; 2 - основной теплообменник-охладитель; 3 - регенератор;

4 - теплообменник-нагреватель; 5 - термическая буферная труба;

6 - дополнительный теплообменник-охладитель; 7 - акустический резонатор

Рисунок 2.3 - Схема термоакустического двигателя

Теплота подводится к рабочему телу (газу) двигателя через теплообменник-нагреватель 4. Отработанная теплота сбрасывается теплообменниками-охладителями 2 и 6. Регенератор 3 является основным энергопреобразующим элементом двигателя. При достаточно большом продольном градиенте температуры, обеспечиваемом основным теплообменником-охладителем 2 и теплообменником-нагревателем 4, в нем за счёт термоакустического эффекта происходит увеличение мощности акустической волны, приходящей по тороидальному каналу. Таким образом, на выходе из регенератора величина потока акустической энергии становится больше. Этот поток проходит через термическую буферную трубу 5, дополнительный теплообменник-охладитель 6 и подходит к тройнику. В тройнике он разделяется на две составляющие. Одна составляющая потока акустической энергии устремляется к стыкуемому с двигателем акустическому резонатору, в котором рассеивается за счёт вязкого трения и тепловой релаксации. Другая составляющая потока, проходя через инерционную трубу 1 и основной теплообменник-охладитель 2, снова попадает в регенератор 3, где происходит его увеличение. То есть в тороидальном акустическом канале реализуется циркуляция акустической энергии, а регенератор 3 в данном случае выступает в качестве акустического усилителя. Инерционная труба 1 благодаря инерционным свойствам содержащегося в ней газа обеспечивает оптимальный сдвиг фаз между колебаниями давления и скорости газа в регенераторе для преобразования части подведенной тепловой энергии в энергию акустических колебаний.

Акустический резонатор 7 определяет рабочую частоту термоакустического двигателя и запасает необходимое количество акустической энергии для поддержания устойчивых акустических колебаний. Кроме того он является ещё одним компонентом двигателя, влияющим на сдвиг фаз между колебаниями давлениями и скорости газа, и, как следствие, на условия теплообмена в регенераторе. Основное назначение термической буферной трубы 5 заключается в снижении переноса теплоты от теплообменника-нагревателя 4 к дополнительному теплообменнику-охладителю 6.

В процессе выполнения настоящей работы разработана математическая модель, которая позволяет определять условия самовозбуждения акустических колебаний во внутреннем контуре термоакустического двигателя, а также частоту этих колебаний [56]. Она строится с использованием следующих допущений:

- рабочее тело - идеальный газ;

- акустические колебания являются гармоническими;

- регенератор является единственным компонентом двигателя, в котором реализуется продольный градиент температуры;

- распределение средней температуры газа по длине регенератора является линейным;

- продольные размеры теплообменников значительно меньше длины акустической

волны;

- регенератор и теплообменники не влияют на форму акустической волны.

Термоакустический двигатель может быть представлен в виде акустической цепи из

определённого набора компонентов. Каждый такой компонент можно рассматривать как акустический четырёхполюсник (рисунок 2.4).

Уравнения связи между переменными составляющими давления рг и объёмной скорости и1 на входе и выходе четырёхполюсника можно записать с использованием матрицы преобразования М

и,(хо)

ад

Р1О0)

—}—

Рисунок 2.4 - Акустический четырёхполюсник

(2.47)

м

=(

Шц Ш!2\ Ш21 Ш22/'

(2.48)

где х0 и х - координаты входа и выхода четырехполюсника, ш^у - элементы матрицы преобразования М. Матрица преобразования для каждого из компонентов двигателя строится на основе двух дифференциальных уравнений первого порядка, уравнения количества движения (2.32) и уравнения неразрывности (2.34). Тогда акустические параметры на выходе из акустической цепи, состоящей из п последовательно расположенных компонентов, определяются выражением

О = м„... адО

(2.49)

где Мъ М2, ..., Мп - матрицы преобразования первого, второго, ..., п-го компонента, соответственно. В работах [56, 57, 58] показано, что такой способ моделирования подходит как для термоакустических двигателей на стоячей, так и для термоакустических двигателей на бегущей волне.

Поскольку продольные размеры теплообменников в рассматриваемом термоакустическом двигателе значительно меньше длины акустической волны, а сами теплообменники не влияют на форму волны, то в расчётах по определению условий самовозбуждения и частоты акустических колебаний их можно не учитывать. На рисунке 2.5 представлена расчётная схема термоакустического двигателя.

Рисунок 2.5 - Расчётная схема термоакустического двигателя

Инерционная труба и термическая буферная труба двигателя представляют собой трубы постоянного сечения, в которых акустические колебания осуществляются при постоянной средней температуре газа, т.е. йТт/йх = 0. В этом случае уравнения (2.32) и (2.34) имеют аналитическое решение. Если на входе в трубу давление р1(х0) и объёмная скорость газа

и1(х0) известны, то на выходе параметры давления р±(х) и объёмной скорости и1(х) могут быть получены из уравнения

& = <£))■ (250)

где М1 - матрица преобразования трубы. Она выглядит следующим образом

Мг =

( С05(к° — а-щ;

1(1 -и)кАд .

зт(к1) соз(к1)

(2.51)

\ ырт )

где к - волновое число, I = х — х0 - длина трубы, Ад - площадь проходного сечения трубы. Волновое число к является комплексным параметром и вычисляется по формуле

ш \1 + (у — 1) и

к=77 I-1 * *> (2 52)

а ^ 1 — ь

где а - адиабатическая скорость звука в газе.

В случае цилиндрической трубы радиуса г, для которой г18КУ < 25, функции /к и имеют вид [28]

2 ^—1)

к =-" 7-, (2.53)

« — 1) — 1) ъ)

2^ —1) г)

Гр =-" 7-т, (2.54)

Ц- 1) Щ«- 1)

где /0 и - функции Бесселя нулевого и первого порядка, соответственно, 8К - глубина теплового проникновения, 8У - глубина вязкого проникновения.

При г¡8ку > 30 функции /к и ^ можно вычислять по формулам

ГК = (1 — 0 (2.55)