Метод возмущений в задачах упругопластического кручения стержней тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Щеглова, Юлия Дмитриевна

• Щеглова, Юлия Дмитриевна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Щеглова, Юлия Дмитриевна

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Постановка задачи и алгоритм решения задачи теории течения упрочняющегося упругопластического тела.

§ 1. Основные соотношения теории течения упрочняющегося упругопластического тела.

§2. Линеаризация по малому параметру соотношений теории течения.

§3. Линеаризированные граничные условия и условия сопряжения наупругопластической границе.

§ 4. Постановка задачи упругопластического кручения цилиндрических стержней.

§ 5. Линеаризация по малому параметру соотношений теории упругопластического кручения

Построение первого приближения.

§ 6. Обсуждение результатов.

Глава 2. Решение одного класса задач теории течения

Упрочняющегося упругопластического тела.

§ 1. Упругопластическое кручение стержня кругового поперечного сечения и круговой трубы.

§2. Кручение стержня овального поперечного сечения.

§ 3. Кручение стержня с близким к правильному многоугольнику поперечным сечением.

§ 4. Кручение эксцентрического вала.

§ 5. Кручение стержня с поперечным сечением в виде равностенных и разностенных эллипсов.

§ 6. Точное решение задачи кручения вязкопластического упрочняющегося стержня кругового поперечного сечения.

§ 7. Обсуждение результатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод возмущений в задачах упругопластического кручения стержней»

Неодномерная упруго пластическая задача является одним из наиболее сложных разделов математической теории пластичности. Основные сложности данной задачи связаны с тем, что граница раздела между зонами упругого и пластического деформирования заранее неизвестна, и ее необходимо определять в ходе решения задачи, причем уравнения в упругой и пластической областях принадлежат к разным типам.

При решении упруго пластических задач в основном используются методы теории функции комплексного переменного, метод возмущений (методы асимптотического разложения по малому или большому параметру), вариационно-разностные методы.

Решение упругопластических задач численными методами позволяет получить количественную оценку того или иного физического процесса. Однако при решении практически важных задач желательно иметь приближенное аналитическое решение, дающее качественную картину происходящих явлений и процессов. Одним из методов, позволяющих получить приближенные аналитические представления решений сложных задач, является метод возмущений, основанный на введении величин, малых по сравнению с некоторыми данными, так или иначе возмущающих те или иные исходные решения. В связи с тем, что большая часть уравнений является нелинейной в теории пластичности, лишь для отдельных неодномерных упругопластических задач найдены точные аналитические решения. С помощью метода малого параметра проводится линеаризация уравнений, и возникает возможность получения решения, удовлетворяющего практику. Поэтому в механике твердого деформируемого тела метод возмущений нашел широкое применение, что отражено в монографии Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [68]. В обзорных статьях и монографиях А.Н. Спорыхина, А.Н. Гузя, М.Т. Алимжанова 5

1,2,39,40,125-129] отражено развитие метода возмущений в теории устойчивости трехмерных деформируемых тел.

Свое начало метод малого параметра берет с работ Пуанкаре [117], давшего ряд приближенных решений задач о трех телах в небесной механике. Одной из первых работ, связанных с применением метода малого параметра при решении упругопластической задачи, является работа А.П. Соколова [122], который в первом приближении получил решение задачи о двуосном растяжении тонкой пластины с круговым отверстием при условии пластичности Треска-Сен-Венана.

Метод малого параметра позволяет учитывать влияние неидеальных свойств материала, усложнения геометрии области течения и другие факторы.

Малый параметр, характеризующий геометрию тела, был использован при образовании шейки в образцах [108, 120], правки листов [41, 42], при определении напряжений и деформаций в пластинах с некруговым отверстием [17, 77, 82, 85, 87,137, 167] и некруговым включением [34, 97, 98].

А.А. Ильюшин [71] использовал в качестве малого параметра величину, обратную модулю объемного сжатия. В работе Д.Д. Ив лев а и Л. В. Бршова [56] малый параметр определяет различие между плоским и осесимметричным состояниями. В работах Б.А. Друянова [44-47] малый параметр характеризовал возмущение условия пластичности, а в работах JI.A. Толоконникова и его сотрудников [138-140] - свойства пластического материала. В.Д. Клюшников в работе [81] предложил метод решения упру го пластических задач, основанный на разложении по малому параметру нагружения, это имело продолжение в работах [61-64].

Линеаризация уравнений жестко пластического тела проведена Д.Д. Ивлевым [65], а связь - линеаризированные уравнения с характеристическими направлениями - дана Дж. М. Спенсером [166-168].

Д.Д. Ив лев и Л.В. Бршов [68] рассмотрели случай, когда пластическая зона развивается от некоторой границы и целиком охватывает ее. В рамках такого б подхода было получено решение ряда двухмерных и трехмерных задач [3, 4, 7, 27, 28, 30, 34, 87, 97, 98,121,142].

Г.И. Быковцев и Ю.Д. Цветков рассмотрели общий подход к решению задачи о нахождении упруго пластической границы, когда пластическая зона носит локальный характер [24-26]. Используя схему Быковцев а-Цветкова Б.Г. Зебриков [60], рассмотрел задачу о развитии пластической зоны при нагружении эллиптической трубы.

Б. Д. Анин и Г. П. Черепанов [И] дали решение задачи о всестороннем сжатии плоскости с отверстием. При этом в отличии от схемы Ивлева-Бршова, решение в упругой области определялось методами теории функции комплексного переменного. Было показано в частности, что для пластины с эллиптическим отверстием предложенная схема и схема Ив лев а-Ершова приводит к одному и тому же результату.

Метод возмущений нашел широкое применение в решении трехмерных задач устойчивости для материалов с упру го пластическим и и сложными реологическими свойствами [1, 2, 18, 54, 55, 57-59, 73, 74, 125-128].

Примеры решения задач пластически неоднородных, анизотропных тел содержатся в работах [3, 14-16, 19, 21, 29, 31-33, 44-47, 50-53, 67, 69, 70, 79, 91, 99, 100,141, 143, 149, 151,160, 162, 163].

Для метода малого параметра встает вопрос о сходимости приближений. При применении метода малого параметра ко многим задачам математики, механики, физики А. Найфе [102] отметил, что: « В соответствии с методом возмущений решение задачи представляется несколькими (обычно 2) первыми членами возмущенного разложения». Для качественного и количественного представления решения возмущенные разложения, даже если они расходятся, могут оказаться более полезными, чем равномерно и абсолютно сходящиеся разложения.

Л. А. Галин [35] для случая плоской деформации в 1946 году, а Г. П. Черепанов для случая плоского напряжения в 1963 году [145] дали точное 7 решение задачи о двухосном растяжении плоскости с круговым отверстием. Взяв в качестве малого параметра полуразность растягивающих напряжений, отнесенных к пределу пластичности Д. Д. Ивлев [68] показал, что найденные им четыре приближения методом малого параметра для задач Л. А. Галина и Г.П. Черепанова в точности совпадают с соответствующими разложениями точных решений по тому же малому параметру. Схема Д. Д. Ивлев а позволяет определить и последующие приближения.

Изучение задач о пластическом кручении началось в основном с работ А. Надан [101, 158]. При решении задач кручения используются полуобратные методы.

В задаче упругопластического кручения получение точных аналитических решений затруднено, так как пластическая зона становится сравнимой с размером поперечного сечения стержня.

В. В. Соколовский [123] полуобратным методом получил точное решение задачи кручения для стержня с овальным поперечным сечением и упругим ядром в форме эллипса. Другим полуобратным методом Л. А. Галин [37] решил несколько упруго-пластических задач для стержней с сечением, близким к полигональному (в частности, близким к прямоугольному сечению), и привел [36] задачу кручения данных стержней к решению дифференциального уравнения класса Фукса, что позволило ему найти эффективное решение некоторых задач (например, для квадратного сечения).

Л. М. Качанов [80] вариационным методом получил решение для стержня квадратного сечения. Р.В. Саусвелл [165] и Н. Так ас и [170] релаксационными методами решали у пру го пластические задачи для углового, квадратного и треугольного профилей, а также для круглого стрежня с шестью полукруглыми выточками. Другие типы профилей тем же способом рассмотрели Д. Кристоферсон [150], Ф. С. Шо [164], Г. Окудо [159]. Е. А. Девис и И. С. Туба [152] методом упругих решений численно исследовали кручение сплошного и полого валов с внешними и внутренними выточками при произвольного вида 8 диаграмме напряжение-деформация. Указанный метод рассмотрен также Г. Я. Амосовым [8].

В работе [43] методом локальных вариаций решена упругопластическая задача кручения для составных стержней.

П. И. Перлин [113] дал решение для стержня овальной формы при частичном охвате пластической зоной упругого ядра. Б. Д. Анин и В. М. Садовский [10] получили методом прямых приближенное решение для стержня прямоугольного сечения, когда пластические зоны развиваются лишь вблизи одной пары сторон.

Б. Д. Анин [9] свел задачу о кручении стержня овального сечения к краевой задаче для уравнения Монжа-Ампера, что позволило построить эффективный численный алгоритм ее решения. Численному решению задач упругопластического кручения призматических тел с многосвязным поперечным сечением посвящены также работы [153-157].

Вопрос о существовании решения у пру го пластической задачи кручения призматических стержней обсуждался Л. А. Галиным [38] и другими авторами [84, 113, 169, 171, 172]. Решение упругопластической задаче кручения тел вращения рассмотрено в работах [104, 105].

Метод возмущений был применен Л. М. Качановым для решения задачи пластического кручения круглых стержней переменного диаметра[78].

В работе [24] Г. И. Быковцев и Ю. Д. Цветков методом малого параметра решили задачу упругопластического кручения эллиптического стержня при неполном охвате пластической областью контура поперечного сечения. Ю. Д. Цветков рассмотрел общий подход к решению задачи кручения упругопластического стержня с околокруговым поперечным сечением в случае локального и полного охвата пластической областью контура поперечного сечения стержня [144]. А. А. Алимжанов и Н. С. М у каш ев применили метод малого параметра к решению задачи упругопластического кручения стержня с гипоциклоидным и овальным поперечным сечением [6] и к решению задачи 9 упругопластического кручения стержня переменного диаметра [5]. В работе [б] было показано, что для стержня овального поперечного сечения три приближения, полученные методом малого параметра, в точности совпадают с тремя членами разложения точного решения, полученного В.В. Соколовским [123].

Пластическому кручению анизотропных стержней посвящена работа Г. И. Быковцева [23]. В.В. Дудукаленко и Д.Д. Ив л ев рассмотрели кручение анизотропно упрочняющихся жестко пластических призматических стержней. В работе [48] решение проведено при линеаризированном условии пластичности и законе пластического течения, а в работе [49] - в предположении, что линеаризированными являются лишь соотношения ассоциированного закона пластического течения, условие пластичности принималось нелинейным.

Из анализа работ следует, что до последнего времени оставалась нерешенной задача кручения цилиндрических или призматических упрочняющихся упру го пластических стержней, не было найдено точное решение задачи кручения стержня кругового поперечного сечения из упрочняющегося упругопластического материала и из упрочняющегося вязкопластического материала.

Настоящая диссертационная работа посвящена построению приближенного решения задачи кручения цилиндрических стержней из анизотропно упрочняющегося упругопластического материала, поведение которого описывается моделью Ишлинского-Прагера. Предложенный метод основывается на идее разложения всех функций по малому параметру, если такой входит в математическую модель рассматриваемого процесса. Работа содержит точное решение задачи кручения стержня кругового поперечного сечения и круговой трубы для данного материала и точное решение задачи кручения стержня кругового поперечного сечения из упрочняющегося вязкопластического материала

10

Отметим, что при выполнении диссертации автор обращался и к другим работам авторов [12, 13, 72, 86, 89, 90, 92-95, 103, 107, 109-112, 115, 118, 119, 146,161].

Актуальность темы. Задача о кручении цилиндрических и призматических стержней имеет важное практическое значение. Прежде всего, это связано с расчетом машинных валов, которые в большинстве случаев являются телами цилиндрической формы кругового поперечного сечения постоянного диаметра. Необходимость расчета стержней некругового поперечного сечения вытекает из того, что прямолинейные стержни, входящие в состав инженерных сооружений (мосты, стропильные фермы) нередко работают на кручение. Для повышения точности предсказания поведения конструкций и валов из металла необходимо использовать более сложные математические модели, которые с достаточной степенью точности описывали бы процессы и явления. Одной из таких моделей является модель Ишлинского-Прагера, учитывающая анизотропное упрочнение у пру го пластического материала, другой - модель упрочняющегося у пру го-вязко пластического тела. В теории идеальной пластичности разработан ряд эффективных методов решения задач, в теории упрочняющегося упругопластического и вязкопластического тела соответствующие методы развиты в значительно меньшей мере.

В настоящее время, несомненно, имеются достаточные средства вычислительной техники для численного решения задач, однако разработка методов приближенных решений для отдельных классов задач не теряет от этого своей важности. Такие методы позволяют получить решения в виде сравнительно простых аналитических выражений и дать качественную оценку напряженно-деформируемого состояния.

Цель работы. Построение точного решения задачи кручения стержня кругового поперечного сечения из анизотропно упрочняющегося упругопластического материала и из упрочняющегося вязкопластического материала. Разработка метода приближенного решения задач кручения теории течения анизотропно упрочняющихся упругопластических цилиндрических стержней некругового поперечного сечения. Определение в рамках модели Ишлинского-Прarepa полей напряжений и перемещений в задачах кручения стержня овального поперечного сечения, стержня с поперечным сечением близким к правильному многоугольнику, эксцентрического вала и стержня с поперечным сечением в виде равностенных и разностенных эллипсов.

Научная новизна состоит в том, что

- получено точное решение задачи кручения стержня кругового поперечного сечения и круговой трубы из анизотропно упрочняющегося упругопластического материала;

- дано точное решение задачи кручения стержня кругового поперечного сечения из упрочняющегося вязко пластического материала;

- на основе идей теории возмущений для анизотропно упрочняющегося упругопластического тела получены линеаризированные уравнения задачи кручения;

- построен алгоритм, позволяющий решить задачу кручения для модели Ишлинского-Прагерав перемещениях;

- решены в первом приближении задачи кручения стержня овального поперечного сечения, стержня с поперечным сечением близким к правильному многоугольнику, эксцентрического вала и стержня с поперечным сечением в виде равностенных и разностенных эллипсов. Определена степень влияния механических параметров конкретных материалов на поведение упру го пластической границы.

Практическое значение. Точное решение задачи кручения стержня кругового поперечного сечения из упрочняющегося упругопластического материала дает возможность оценить влияние упрочнения на поле напряжений и перемещений, на основе метода малого параметра построить приближенное решение задачи кручения стержней некругового поперечного сечения. Развитый алгоритм позволяет определить поле напряжений и перемещений в

12 упругой и пластической зонах, положение у пру го пластической границы при решении задачи кручения упругопластических стержней с произвольным анизотропным упрочнением. Точное решение задачи кручения стержня кругового поперечного сечения из упрочняющегося вязко пластического материала может быть использовано в качестве исходного при решении задачи кручения стержней некругового поперечного сечения в рамках метода возмущений.

Достоверность. Исследования, проведенные в диссертационной работе, базируются на корректной математической постановке задач и их решений в рамках метода возмущений, показавшем высокую эффективность при решении задач теории пластичности.

Достоверность полученных автором результатов подтверждается апробированностью используемых моделей механики сплошных сред, а также сопоставлением полученных решений с уже известными решениями.

Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета 1996-1999гг.; вГа научных сессиях Воронежского государственного университета в 1996-1999гг.; на IV конференции «Нелинейные колебания механических систем», г. Нижний Новгород, 17-19 сентября 1996 г.; на школах, проводимых Воронежским государственным университетом совместно с институтом математики РАН им. В.А. Стеклова в 1997 г.; на Воронежской школе «Современные проблемы механики и прикладной математики» 21-29 апреля 1998, на международной конференции «Итоги развития механики в Туле», г. Тула, 12-15 октября 1998 г.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях [130-136, 147, 148].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав (13 параграфов), заключения и списка литературы, включающего 172

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Щеглова, Юлия Дмитриевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертационной работе в рамках метода возмущений предложен подход, позволяющий получить приближенное решение ряда задач кручения в случае теории течения анизотропно упрочняющегося упруго пластического материала.

Построено точное решение задачи кручения стержня кругового поперечного сечения и круговой трубы из анизотропно упрочняющегося упругопластического материала, а также точное решение задачи кручения стержня кругового поперечного сечения из упрочняющегося вязко пластического материла.

Обнаружено, что в задаче упругопластического кручения цилиндрических стержней в рамках модели Ишлинского-Прагера введение поля напряжений, тождественно удовлетворяющего условию пластичности, позволяет существенно упростить интегрирование соотношений ассоциированного закона пластического течения.

В рамках метода малого параметра получены линеаризированные уравнения задачи кручения цилиндрических стержней некругового поперечного сечения из анизотропно упрочняющегося упругопластического материала.

Изложен алгоритм, позволяющий решить задачу кручения сплошных и полых стержней для модели Ишлинского-Прагера в перемещениях, при этом за нулевое приближение принималось построенное точное решение задачи кручения стержня кругового поперечного сечения и круговой трубы.

Впервые для модели Ишлинского-Прагера решены в первом приближении задачи упругопластического кручения стержня овального поперечного сечения, стержня с близким к правильному многоугольнику поперечным сечением, эксцентрического вала, стержня с поперечным сечением в виде равностенных и разностенных эллипсов.

Дано сопоставление полученных решений с решениями аналогичных задач для идеального пластического и упрочняющегося жесткопластического

81

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Щеглова, Юлия Дмитриевна, 1999 год

1. Алимжанов М.Т. Проблемы устойчивости равновесия в задачах геомеханики /Успехи механики. -1990. -Т. 13. №3. - С. 21-57.

2. Алимжанов М.Т. Устойчивость равновесия тел и задачи механики горных пород. Алма-Ата, Наука. 1982.-272 с.

3. Алимжанов М.Т., Габдулин Б.Ж. Об упру го пластическом состоянии неоднородных толстостенных цилиндрических и сферических оболочек // Вест. АН К аз. ССР. 1967. 10. - С. 52-67.

4. Алимжанов М.Т., Естаев Е.К. Упру го пластическое состояние плоскости, ослабленной круговым отверстием //Механика деформ. тверд, тела. 1982. -С. 105-115.

5. Алимжанов М.Т., Мукашев Н.С. Об упругопластическом кручении круглого стержня переменного диаметра // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. 1990. -№ 3. - С. 72-75

6. Алимжанов М.Т., Мукашев Н.С. К решению задач упругопластического кручения методом малого параметра / Алма-Ата, 1990. 14 с. -Деп. в ВИНИТИ. 19.10.90.№ 5411-В90.

7. Алимжанов М.Т., Саньков В.К. У пру го пластическое состояние эллиптической трубы, находящейся под действием внешнего давления / Диф. ур. и их прил. -1981. С. 16-26.

8. Амосов Г. Я. О кручении призматических стержней при упругопластических деформациях // Вестник МГУ. Серия I. Математика, механика. -1966 № 1. -С. 98-106

9. Аннин Б.Д Упруго пластическое кручение стержня овального сечения // докл. АН СССР. 1963- Т. 149, № 5. - С.1043-1046

10. Ю.Анин Б. Д., Садовский В. М., У пру го пластическое кручение стержня прямоугольного поперечного сечения // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1981 - № 5 - С. 182-18582

11. П.Аннин Б.Д., Черепанов Г.П. Упруго-пластическая задача. Новосибирск. Наука, 1983. - 238 с.

12. П.Аннин Б. Д. Упруго пластическое распределение напряжений в пластине с отверстием, близким к круговому //Изв. АН СССР. Механика твердого тела.- 1984. № 1. - С. 45-47.

13. Армяников А.Б., Цветков Ю.Д. Применение метода возмущений к задачам кручения стержней овального сечения / Куйбышев, ун-т. Куйбышев, 1985.11 с. - Деп. в ВИНИТИ. 07.08.85, № 5914-85.

14. Артемов М.А. О двуосном растяжении толстой пластины с круговым отверстием из упрочняющегося у пру го пластического материала / Журн. прикл. механ. и техн. физ. 1985. 6. - С. 158-163

15. Артемов М.А. Приближенное решение задач теории кинематического упрочнения // Актуальные задачи механики сплошных сред. Чебоксары, 1986.-С. 8-13.

16. Артемов М.А. Метод возмущений в теории упрочняющегося тела // Прикладные задачи механики сплошных сред. -Воронеж, 1988. С. 51-53.

17. П.Артемов М.А. Двуосное растяжение тонкой пластины с эллиптическим отверстием / Актуальные вопросы теории краевых задач и их приближения.- Чебоксары., 1988. С. 4-8.

18. Артемов М.А., Ковалев A.B. О локальной неустойчивости в задаче Галина для сложной среды / Современные методы в теории краевых задач: Тез. докл. школы. Воронеж ун-т . - Воронеж,1992. -с. 7.

19. Артемов М.А., Ковалев A.B., Спорыхин А.Н. Метод возмущений в одном классе упругопластических задач с произвольным упрочнением / Воронеж ун-т . Воронеж, 1995. - 30 с. - Деп. в ВИНИТИ. 14.03.96, № 685-В95.

20. Арутюнян Н. X., Абрамян Б. Л. Кручение упругих тел.- М.: Физматгиз, 1969. 686 с.

21. Арышенский Ю.М. Метод возмущений в контактной задаче плоского пластического деформирования цилиндрической оболочки переменной83толщины из анизотропного металла /Куйбышев. Авиац. Ин-т г. Куйбышев, 1980. -7 с. - Деп. в ВИНИТИ. 24.12.80. № 5455-80.

22. Бронштейн H.H., Семендяев К.А. Справочник по математике. -М., Наука, 1986. 544 с.

23. Быковцев Г.И. О кручении призматических стержней из анизотропного идеально-пластического материала // Изв. АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение. 1961. № 3. - С. 151-157

24. Быковцев Г.И., Цветков Ю.Д. Применение метода возмущений к теории кручения упруго пластических стержней //При к л. матем. и механика. -1961. -Т. 45.-№ 5.-С. 932-939.

25. Быков цев Г.И., Цветков Ю.Д. Концентрация напряжений в упругоУпластической плоскости, ослабленной отверстием / Куйбышев, ун-т.-Куйбышев, 1983. 23 с. - Деп. в ВИНИТИ. 05.05.83. № 2443-83.

26. Быков цев Г. И., Цветков Ю.Д. Двумерная задача нагружения упруго-пластической плоскости, ослабленной отверстием ff Прикл. матем. и механика. 1987.- Т. 51. - № 2. - С. 314-322.

27. Вульман С.А. О решении осесимметричных упру го пластических задач методом малого параметра // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. -1969. № 3. - С. 163-169.

28. Вульман С.А. Приближенное решение упругопластической задачи для полых тел, поверхность которых близка к сферической / Изв. АН СССР . Механика твердого тела. -1971. №3 . - С. 119-122.

29. Вульман С. А. Решение осесимметричных упруго пластических тел из сжимаемого материала//Прикл. механика. -1971. Т. 7. № 7. - С. 91-94.

30. Вульман С.А., Ивлев Д.Д., Семыкина Т.Д. Коническая труба под действием равномерного давления / Воронеж, ун-т. Воронеж, 1980. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ. 17.12.80. № 5337-80.84

31. Вульман С.А., Семыкина Т.Д. Об использовании метода возмущений при решении упругопластических задач с учетом упрочнения / Воронеж, ун-т. -Воронеж, 1984. 8 с. - Деп. в ВИНИТИ. 21.06.84, № 4157-84.

32. Вульман С.А., Семыкина Т.Д. Чистый изгиб листа из материала со степенным упрочнением / Воронеж, ун-т. Воронеж, 1984. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ. 21.06.84, № 4157-84.

33. Вульман С.А., Семыкина Т.Д. Применение метода возмущений в задаче о чистом изгибе листа с учетом упрочнения // X семинар актуальных проблем прочности по теме: Пластичность материалов и конструкций: Тез.докл. -Тарту, 1985. с. 33.

34. Вульман С.А., Семыкина Т.Д. Напряженно-деформированное состояние пластины с включением //Прикладные задачи механики сплошных сред. -Воронеж, 1988. С. 48-51.

35. Галин Л.А. Плоская упругопластическая задача// Прикл. матем. и механика. -1946. Т.-Вып. 3. -С. 367-386.

36. Галин Л.А. Упруго пластическое кручение призматических стержней полигонального сечения //Прикл. матем. и механика. 1944. - Т.8, № 4. - С. 307-322

37. Галин Л.А. Упруго пластическое кручение призматических стержней // Прикл. матем. и механика. 1949. - Т. 13, № 3. - С. 285-296

38. Галин Л.А. О существовании решения упругопластической задачи кручения призматических стержней // Прикл. матем. и механика. 1949. Т.13, № 6. -С. 650-654

39. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущения формы границы в механике сплошной среды (обзор) //Прикл. механика. 1987. - Т. 23. - № 9. - С. 3-29

40. Гузь А.Н., Спорыхин А.Н. Трехмерная теория неупругой устойчивости. Общие вопросы // Прикл. механика. 1982. - Т. 18, № 7. - С.3-22.85

41. Дель Г.Д., Одинг С.С. Образование шейки при растяжении полосы в условиях плоской деформации //Прикл. механика. 1931. - Т. 17. - № 3. - С. 94-97.

42. Дель Г.Д., Балакерев А.И. Растяжение листа с разной начальной разнотошценностью //Изв. ВУЗов. Машиностр. 1984. 12. - С. 7-11.

43. Д ем б екая А., Мидуховский А. У пру го пластическое кручение составных стержней // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1969. - № 6 - С. 114118

44. Друянов Б.А. Вдавливание жесткого штампа в толстую пластически неоднородную полосу // Изв. АН СССР. Отд. техническ. наук. Механ. и машиностр. 1969. - № 3. - С. 161-166.

45. Друянов Б.А. Вдавливание шероховатого штампа в толстую пластически неоднородную полосу // Изв. АН СССР. Отд. техническ. наук. Механика и машиностроен. 1960. - № 2, - С. 129-131.

46. Друянов Б.А. Вдавливание жесткого штампа в тонкую пластически неоднородную полосу //Изв. АН СССР. Отд. техническ. Наук. Механика и машиностроен. 1960. - № 4. - С. 156-158.

47. Друянов Б.А. Начальное течение неоднородной полосы при вдавливании шероховатого штампа/Инж. журн. 1962. - Т. 2. - № 1. - С. 111-116.

48. Дудукаленко В.В., Ивлев Д.Д. О кручении призматических стержней из упрочняющегося материала при линеаризированном условии пластичности // Изв. АН СССР. Механика и машиностр. 1963. - № 3. - С. 115-118.

49. Дуду кален ко В.В., Ивлев Д.Д. О кручении анизотропных упрочняющихся призматических стержней при линеаризированном законе пластического течения // Изв. АН СССР. Механика и машиностр. -1963. № 5. - С. 173-175.

50. Дудукаленко В.В., Ивлев Д.Д. О сжатии полосы из упрочняющегося пластического материала//Докл. АН СССР. Т. 153. - № 5. - С. 1024-1026.86

51. Дуров В.В. Вдавливание тонкого лезвия в пластическую среду в условиях плоской деформации //Труды НИИ математики Воронеж, ун-та. Воронеж,1971.-Вып. 4.-С. 118-123.

52. Дуров В.В., Ив лев Д.Д. О вдавливании тонкого жесткого тела в пластическую среду с учетом упрочнения // Прикл. матем. и механика1972. Т. 36. - Вып. 3 . - С. 514-518.

53. Дуров В.В. К задаче о вдавливании тонкого жесткого тела в пластическую среду с упрочнением //Прикл. матем. и механика. 1973. -Т. 37. -Вып. 4. - С. 763-767.

54. Ершов Л.В. Исследование вопросов проявления горного давления с позиций теории устойчивости упругопластических тел // Вестник МГУ. 1967. - № 2. -С. 51-52

55. Ершов Л.В. Об осесимметричной потере устойчивости толстостенной сферической оболочки, находящейся под действием равномерного давления //Прикл. механ. и техн. физика. 1960. - С. 81-82.

56. Ершов Л.В., Ивлев Д.Д. Упру го пластическое напряженное состояние полого тора, находящегося под действием равномерного давления // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. 1957. - № 7, - С. 129-131.

57. Ершов Л.В., Ивлев Д.Д. О выпучивании толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. -1957. -Jfe 8. -С. 143-153.

58. Ершов Л.В., Ивлев Д.Д. О потере устойчивости вращающихся дисков // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. 1958. - № 1. - С. 124-125.

59. Ибрагимов В.А., Нефедов В.А. Метод разложения по параметру нагружения в упругопластических задачах для упрочняющихся тел // Теор. и прикл. Механика. -1986. № 13. - С. 3-7.

60. Ибрагимов В.А., Нифагин В.А. Аналитическое решение задачи о двуосном растяжении плоскости с круговым отверстием при определяющих соотношениях теории пластичности с упрочнением // Теор. и прикл. механика. Минск, 1987. - С. 29-32

61. Ибрагимов В.А., Нифагин В.А. О сходимости метода разложения по малому параметру нагружения в задаче об упругопластическом изгибе кольцевой пластины/Белорус. Политехи. Ин-т. Минск. 1987. - 20с. - Деп. в ВИНИТИ. 02.06.87, № 3880-В87.

62. Ибрагимов В.А., Нифагин В.А. Сходимость метода разложения по параметру нагружения в задачах упругопластического деформирования стержней //Теор. и прикл. механика. Минск. 1988. - № 15. - С. 50-58.

63. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. - 232с

64. Ивлев .Д., Быковцев Г.Н. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука, 1971. - 232 с.

65. Ив л ев Д. Д., Макаров Е.В., Марушкей Ю.М. Об условии пластичности сжимаемого упругопластического материала при плоской деформации // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1978. - № 4. - С. 80-87

66. Ивлев Д.Д., Ершов JI.B. Метод возмущений в теории упругопластического тела. М.: Наука, 1978. - 208 с.

67. Ив л ев Д. Д., Шитова Л.Б. Линеаризированные уравнения теории анизотропного идеального жестко пластического тела / Чебоксары. 1988. -С. 55-58.

68. Ильюшин А.А Деформация вязкопластического тела // Уч. записки МГУ. Механика. 1940. -№ 39. - С. 3-8188

69. Ильюшин A.A. Нормальное и касательное напряжение при чистом изгибе балки за пределом упругости и аналогия с задачей об изгибе плит // Инж. сб. 1954.-Т. 19.-С. 3-12.

70. Ильюшин A.A. Пластичность, ч. 1. Упругопластические деформации. М. -Л.:ОГИЗ, 1948. - 367 с.

71. Ишлинский А. Ю. Об устойчивости вязко пластического течения полосы и круглого прута//Прикл. матем. и механика. 1943. - Т. 7, № 3. - С. 109-130

72. Ишлинский А. Ю. Об устойчивости вязкопластического течения круглой пластинки //Прикл. матем. и механика. 1943. - Т. 7, № 6. - С. 405-412

73. Ишлинский А. Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Укр. матем. журн. 1964. - Т. 6. - № 3 . - С. 314-325.

74. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям -М.: Наука, 1976. 576с.

75. Камыш никова A.A., Цветков Ю.Д. Концентрация напряжений в упруго-пластической пластине, ослабленной отверстием / Куйбышев. Ун-т. -Куйбышев, 1985. 14 с. - Деп. в ВИНИТИ, 11.12.85, № 8479-В.

76. Качано в Л.М. Пластическое кручение круглых стержней переменного диаметра//Прикл. матем. и механика. 1948. - Т. 12. № 4. - С. 375-386.

77. Качанов Л.М. Ползучесть овальных и равно стенных труб // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. 1956. - Ks 9. - С. 65-71

78. Качанов Л.М. Пример решения вариационным методом задачи упруго-пластического кручения // Исследования по упругости и пластичности. Л.: Изд-во ЛГУ, 1961. - Т. 1. - С. 151-161.

79. Клюшников В.Д., Математическая теория пластичности. М.: МГУ 1979. -207. с.

80. Комаров В. П. К решению плоской у пру го пластической задачи / Актуальные вопросы теории краевых задач и их решений. Чебоксары, 1988. - С. 66-73.89

81. Ковалев А.В., Горбачева Н.Б., Спорыхин А.Н. К определению напряженно-деформируемого состояния в задаче Галина для сложной модели среды. // Вестник ВГУ. Серия 2, Естественные науки. 1998. №3 С.245-249.

82. Кошелев А. И. Существование обобщенного решения у пру го пластической задачи кручения //Докл. АН СССР. 1954. - Т. 99, № 3. - С. 357-360

83. Кузнецов В.В. Об определении деформированного состояния упруго-пластической толстой плиты с эллиптическим отверстием // Прикл. механ. -1973.-Т. 9.-С. 133-137.

84. Кузнецов В.В. Напряженное состояние упругопластической пластины, изгибаемой в своей плоскости //Изв. ВУЗов. Машиностр. 1980. - №3. - С. 12-17.

85. Кузнецов В.В. Деформированное упруго пластическое состояние толстой пластины с эллиптическим отверстием, изгибаемой в своей плоскости // Изв. ВУЗов. 1980. - № 4. - С. 23-27.

86. Кузьменко В.А., Русенко К.Н. Пластическая деформация в малой окрестности конца трещины // Изв. АН СССР. Механика тверд, деф. тела. -1983. 2. -С. 124-127.

87. Леонов М. Я., Швайко Н. Ю. У пру го пластическая деформация при кручении стрежня с мелким полуцилиндрическим пазом на поверхности // Вопросы механики реального твердого тела. Киев: Изд-во АН УССР, 1962. - № 1. -С. 5-12

88. Лехницский С. Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. М.: Наука, 1971. - 240 с.

89. Лернер М.М. Последовательные приближения в решении краевой задачи о конечных деформациях полого цилиндра из наследственнолинейного материала//Ползучесть и длит, прочность конструкций. Куйбышев, 1966. - С. 123-130.90

90. Лупин В.А., Максимов Л.В., Максимов С.Б., Остсемин А.Н. Кручение стержней из упрочняющегося материала, сечение которых близко к круговым //Пробл. Прочности. 1982. - № 11. - С. 63-66.

91. Лурье А.И. Пространственная задача теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955.-492 с.

92. Максимов С.Б, Немировский Ю.В. Некоторые свойства уравнений и метод малого параметра в плоских задачах теории идеальной пластичности // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1966. - № 5. - С. 101-107.

93. Максимов С.Б, Немировский Ю.В. Некоторые свойства уравнений и метод малого параметра в двумерных пространственных задачах теории идеальной пластичности //Журнал прикл. механика и техн.физика. 1966. - № 5. - С. 142-150.

94. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. - 400с.

95. Марушкей Ю.М. Об упруго пластическом состоянии среды с включением в виде эллиптического цилиндра// Прикл.механика. 1975. - 12. - № 2. - С. 126-130.

96. Марушкей Ю.М. Двуосное растяжение у пру го пластического пространства с включением //Изв. ВУЗов. Сер. Маш иностр. 1975. 12. - С. 25-30

97. Матченко Н.М., Митияев А.Г., Фейгин С.Д. Влияние начальной пластической анизотропии на напряженное состояние пластины с отверстием / Исследования в области пластичности и обработки металлов давлением. Тула. 1980. - С. 14-19.

98. Милявская Ф.Б. О двуосном растяжении пластины с круговым отверстием из стареющего упругопластического материала/Краевые задачи и их приложения. Чебоксары. 1986. - С. 82-90.

99. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: ИЛ, 1954. -648с.

100. Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир. 1976.- 456 с.91

101. Найфе А.Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир. 1984,- 526 с.

102. Немировский Ю.В., Сакс Э.Э. У пру го пластическое кручение тел вращения //Проблемы прочности. 1974. - № 12, - С. 11-17

103. Немировский Ю.В., Сакс Э. Э. Сложное упругопластическое кручение цилиндрических валов //Прикл. механика. 1973. - Т.9, № 9 - С. 24-30.

104. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука. 1984 - 344с.

105. Олыпак В., Рыхлевский Я., Урбановский В. Теория пластичности неоднородных тел. М.: Мир, 1964. - 156 с.

106. Онат Е., Прагер В. Образование шейки при пластическом течении растягиваемого плоского образца // Сб. перев. и обзоров иностр. период, лит.- 1965.4.-С. 93-97.

107. Осеенко Г.И. К определению упругих перемещений в задаче Галина Л.А. //Гидроаэромеханика и теория упругости. 1985. - № 6. - С. 93-97.

108. Остсемин А.А., Лунин В.А. Кручение конического стержня из упруго-пластического материала//Проблемы прочности. 1985. -№ 6. - С. 60-64.

109. Остросаблин Н.Н. Определение смещений в задаче Л.А. Галина / Динамика сплошных сред: Ин-т гидродинамики со АН СССР. -Новосибирск, 1973. Вып. 14. - С. 67-70.

110. Остросаблин Н.Н. Плоское упругопластическое распределение напряжений около круговых отверстий. Новосибирск: Наука, 1984. - 113 с.

111. ИЗ. Перлин П.И. Упруго-пластическое кручение стержней овального поперечного сечения //Инж. сб. -1961. Т. 31. - С. 202-205.

112. Положий Г. Н. Уравнения математической физики. М.: Высшая школа, 1964. - 560 с.

113. Прагер В. Проблемы теории пластичности. М.; Физматгиз, 1966. - 136 с.

114. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. М., Ил. 1956. -398 с92

115. Пуанкаре А. Избранные труды. В 3-х т. Т. 1. Новые методы небесной механики. М.: Наука. 1971. - 772 с.

116. Россихин Ю. А. О равномерной пригодности лучевых разложений в задачах, связанных с распространением ударных волн в слабо анизотропной упругой среде // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1989. - № б. - С. 131-138

117. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. - 888 с.

118. Сегал В.М. Технологические задачи теории пластичности. Минск: Наука и техника, 1977. - 254 с.

119. Семыки на Т.Д. О трехосном растяжении у пру го пластического пространства, ослабленного сферической полостью // Изв. АН СССР. Механика и машиностр. 1963. - № 1. - С. 17-21.

120. Соколов А.П. Об упругопластическом состоянии пластинки // Докл. АН СССР. -.1948. Т. 10. - № 1. - С. 33-36.

121. Соколовский В.В Об одной задаче упру го-пластического кручения // Прикл. матем. и механика. 1942. - Т.6, № 2 - С. 241-246

122. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высш. Шк., 1969. - 608 с.

123. Спорыхин А.Н. Об устойчивости деформирования упруго-вязко- пластических тел /Журн. прикл. механика и техн. физ. 1957. - № 4. - С. 52-58.

124. Спорыхин А.Н. Об устойчивости плиты при сжатии // Прикл. механика. -1969-№5.-С. 120-122.

125. Спорыхин А.Н. К устойчивости равновесия упру го-вязко-пластической среды //Журн. прикл. механика и техн. физ. 1970. - № 5. - С. 86-92

126. Спорыхин А.Н. К устойчивости горизонтальных выработок в массивах, обладающих упруго-вязко-пластическими свойствами // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. 1975. - № 1. - С. 67-72.

127. Спорыхин А. Н., Метод возмущений в задачах устойчивости сложных сред / Воронеж, 1997 -360с.93

128. Спорыхин А Н., Щеглова Ю.Д. Метод возмущений в решении задач упруго-пластического кручения стержней // Нелинейные колебания механических систем: Тез. докл. конф./ Нижегород. гос. ун-т. Нижний Новгород. 1996- С. 141

129. Спорыхин А.Н., Щеглова Ю.Д. Метод малого параметра в решении задач упру го-вязко-пластического кручения стержней // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез докл. школы / Воронеж, гос. ун-т. -Воронеж, 1997.-С. 154.

130. Спорыхин А.Н., Щеглова Ю.Д. К определению напряженно-деформируемого состояния в задачах у пру го пластического кручения стержней // Вестник факультета прикладной математики и механики / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1997. - №1 - С.156-160.

131. Спорыхин А.Н., Щеглова Ю.Д. К оценке приближенного решения задачи кручения круглого стержня для сложной среды // Современные проблемы механики и прикладной математики: Тез докл. школы / Воронеж, гос. ун-т. -Воронеж, 1998. С.259.

132. Спорыхин А.Н., Щеглова Ю.Д. Точное решение задачи кручения круглого стержня из упрочняющегося вязко пластического материала // Итоги развития механики в Туле: Тез докл. международ, конф. / Тульский гос. ун-т. Тула, 1998. - С.97.

133. Спорыхин А.Н., Щеглова Ю.Д. К упруго пластическому кручению стержней с анизотропным упрочнением // Прикладные задачи механики сплошных сред: Межвуз. сб. научных трудов / Воронеж, гос. ун-т. -Воронеж, 1999. С. 290-298

134. Спорыхин А.Н., Щеглова Ю.Д. Метод возмущений в задаче упру го пластического кручения полых стержней // Математическое моделирование технологических систем, вып 3 / ВГТА Воронеж, 199994

135. Суздальская Л. И. Определение неизвестной границы в обратных задачах для полосы с отверстием //Изв. АН СССР. Механика тверд, тела.- 1965. -К® 4. -С. 121-124.

136. Тарасьев Г. С., Толоконников Л. А. Концентрация напряжений около полостей в несжимаемом материале // Концентрация напряжений. Киев: Наукова думка, 1962. -Вып. 1. -С. 251-255.

137. Тарасьев Г.С., Толоконников Л. А. Конечные плоские деформации сжимаемого материала//Прикл. Матем. и механика. 1962. - Т. 2. - № 2 -С.1-13

138. Толоконников Л. А., Яковлев С. П., Кузин В. Ф. Плоская деформация со слабой пластической анизотропией // Прикл. Механика. -Т. 5. № 8: - С. 7176.

139. Филлипов А. П. Влияние ползучести на концентрацию напряжений в пластинке с отверстием // Исследование по вопросам устойчивости и прочности. Киев, 1966. - С. 56 - 69.

140. Харченко А. П. Упруго-пластическое деформированное состояние бесконечной полосы с круговым отверстием // Прикл. Механика. Воронеж: Изд во ВГУ, - 1976. - С. 60-66.

141. Цвело губ И. Ю., Шваб А. А. О решении некоторых задач теории ползучести методом малого параметра //Журнал прик. механика и техн. физ. 1982.2.-С. 122-127.

142. Цветков Ю.Д. Кручение у пру го-пластического цилиндрического стержня с поперечным сечением, близким к круговому Я Актуальные задачи механики сплошных сред. Чебоксары, 1986. - С. 117-125.

143. Черепанов Г. П. Об одном методе решения у пру го-пластической задачи // Прикл. матем. и механика. 1963. - Т. 27. Вып. 3. -С. 428-436.

144. Черепанов Г. П. К решению некоторых задач теории упругости и пластичности с неизвестной границей // Прикл. матем. и механика. 1964. -Т. 28.-Вып. 1.-С. 141-144.95

145. Щеглова Ю.Д. Метод малого параметра в задачах кручения тел вращения //Современные методы в теории краевых задач: Тез докл. школы / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1997. - С. 163.

146. Щеглова Ю. Д. Метод малого параметра в задачах у пру го пластического кручения стержней / Воронеж, ун-т. Воронеж, 1999. - 15 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.04.99, № 1269-В99

147. Budiasky В. Anisotropic plasticity of plane-isotropic sheets / Mech. Matar. Behav. Daniel C. Drakcker Anniv. Amsterdam e. a., 1984 - Vol. I. - pp. 15-29.

148. Christopherson D. G. A theoretical investigation plastic torsion in an I-beam // J. Appl. Mech. 1940. V. 7. - P. A 1-4

149. Collins I.F. The application on singular perturbations techniques to the analysis of forming progress for strain-hardening materials / Metal. Form. Plast. : Symp. Tutzing. 1978. Berlin e. a., 1979. - Pp. 227-243.

150. Davis E. A., Tuba I. S. Elastic-plastic solutions for notched shafts in torsion // Trans. ASME, ser. E. J. Appl. Mech. 1966. - V.88,1. - P 64-71.

151. Heracovich С. T., Hodge P. G., Jr. Elastic-plastic torsion of hollow bars by quadratic programming //Intern. J. Mech. Scie. 1969. - V. 11,1. - P. 53-63

152. Hodge P. G, Jr., Heracovich С. T., Stout R. B. On numerical comparisons in elastic-plastic torsion //Trans. ASME, ser. E, J. Appl. Mech. 1968. - V. 35, 3. -P. 23-29

153. Lanshon H. Solution du problem de torsion elastoplastique d'une barre cylindrique de section quelconque // C. R. Acad. sei. Paris. 1969. - V. 269. - P. 791-794.

154. Lanshon H. Torsion elastoplastique d'une arble cylindrique desection simplement on multiplement connexe. These a l'universite Paris VI, 1972. - 169 P

155. Lanshon H., Duvant G. Sur la solution du problème de torsion elastoplastique d'une barre cylindrique de section quelconque //C. R. Acad. sei. Paris. 1967. -V. 264.-P. 520-523.96

156. Nadai A. Der Begin des Fliessvorganges in einem tordirten stab If Z. angev. Math, und Mech. 1923. - Bd 3., H. 6 - s. 442-454

157. Okudo H. The approxim ative decision of problem to torsion of a shaft with ring groove //The Reports Inst. High Speed Mech. 1953. - pt. 3

158. Olsak W., Rychewski J Geometric properties of stress fields in plastically non-homogeneous bodies under conditions of plane strain / IUTAN Symposium. -Haifa, 1962

159. OntaT. Fundamental research on the elasto-plastic torsion of bar //Bull. Fac. Eng. Miyazaki Univ. 1970. - V. 17,12. - P. 41-52

160. Rychewski J, Ostrowska J. On the initial plastic flow of a body with arbitrarily small non-homogeneity / Arch. Mech. Stos. 1963. - V. 5. - Pp. 687-710.

161. Rychewski J. О произвольной малой пластической неоднородности / Бюллетень Польской Академии Наук. Сер. техн. наук. 1963 . - V. 11 - № 6. -Pp. 215-223.

162. Shaw F. S. The torsion of solid and hollow prism in the elastic and plastic range by relaxation methods. Australian council for aeronautics. Rep. ASA - 11, 1944

163. Southwell R. V. Relaxation methods in theoretical physics. V. 1; 2. Oxford University Press, 1946; 1956. 248 p.; P. 249-522

164. Spenser A. J. M. Perturbation methods in plasticity. I. Plane strain of non-homogeneity plastic solids / J. Mech. and Phys. Solid. 1961. Vol. 9. № 4. -Pp. 279-223.

165. Spenser A. J. M. Perturbation methods in plasticity. II. Plane strain of slightly irregular bodies/J. Mech. and Phys. Solid. 1962. Vol. 10. № 1. -Pp. 17-26.

166. Spenser A. J. M. Perturbation methods in plasticity. III. Plane strain solids with wody forces / J. Mech. and Phys. Solid. 1961. Vol. 9. №4. -Pp. 279-223.

167. Stout Ray В., Hodge P. G., Jr. Elastic-plastic torsion of hollow cylinders // Intern. J. Mech. Sci. 1970. - V. 12, 1. - P. 35-4197

168. Takasi N. On elastic-plastic torsion of a square with six semi- circular longitudinal grooves //Trans. Japan Soc. Mech. Engrs. 1963. - V. 29, 197. - P. 67-72

169. Ting T. W. Elastic-plastic torsion of a square bar // Trans. Amer. Math. Soc.1966.-V. 123, 2.-P. 369-401

170. Ting T. W. Elastic-plastic torsion // Archive for Ration Mech. and Analysis.1967.-V. 25, 5.-P. 342-366.