Предельное состояние призматических тел при кручении, находящихся под переменной нагрузкой вдоль образующей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Козлова, Людмила Святославовна

• Козлова, Людмила Святославовна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Козлова, Людмила Святославовна

Введение

Глава 1. Кручение цилиндрических и призматических стержней при действии переменного внешнего давления

§1.1. Кручение призматических стержней, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей

§ 1.2. Определение перемещений при кручении призматических стержней, находящихся под действием линейного давления

§ 1.3. Кручение цилиндрических и призматических стержней с отверстием, при действии переменного давления

Глава 2. Кручение анизотропных тел при действии переменного внешнего давления 36.

§ 2.1. О предельном состоянии анизотропных тел

§ 2.2. Кручение анизотропных призматических стержней, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей

§ 2.3. Кручение сектора анизотропного кругового кольца при действии переменного давления

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Предельное состояние призматических тел при кручении, находящихся под переменной нагрузкой вдоль образующей»

Теория предельного состояния принадлежит к числу фундаментальных разделов механики твердого деформируемого тела. Она нашла широкое применение в области технологии обработки металлов давлением, оценки несущей способности конструкций, исследования распространения волн возмущений в металлах и грунтах, статике и динамике сыпучих сред. В основе теорий предельного состояния и идеальной пластичности лежит представление о поверхности нагружения (определяющей границу упругого поведения элемента тела в данном его состоянии) и ассоциированном законе течения, выражающем ортогональность приращения пластической деформации поверхности нагружения. В рамках этих теорий и в настоящее время продолжают развиваться и совершенствоваться методы расчета напряжений.

Основные представления о предельном состоянии тел заложены Галилеем и Кулоном (1776 г.). Первые систематические исследования пластических течений металлов были проведены Г. Треска [88]. В 1864 г. им был опубликован ряд результатов своих экспериментальных исследований, в которых он пришел к заключению, что металл пластически течет, когда максимальное касательное напряжение достигает критического значения.

Начало развития теории пластичности восходит к семидесятым годам 19 века. Сен-Венан сформулировал уравнения теории идеальной пластичности для плоской задачи, сохраняющие свое значение до настоящего времени. Этот успех во многом был обязан экспериментальным исследованиям А. Треска, поставившего в конце шестидесятых годов серию опытов по штамповке и выдавливанию металлов через отверстия. С упоминания об этих опытах и начинается классическая работа Сен-Венана об уравнениях для «внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости». Теоретические основы описания этого явления были заложены Сен-Венаном [86] в 1870 г. Им были впервые сформулированы статически определимые соотношения теории идеальной пластичности для случая плоской задачи: два уравнения равновесия и условие пластичности Треска

Л. Прандтль и Г. Генки и обратили внимание на двумерные задачи теории идеальной пластичности, в первую очередь на задачи о плоской деформации. Прандтль (1921 г.) показал, что плоская задача пластичности является гиперболической, ввел понятие идеального жесткопластического тела и впервые дал решения задач о вдавливании жесткого штампа в идеально-пластическое полупространство и в усеченный клин. Общая теория, лежащая в основе специальных решений Прандтля, была дана в 1923 г. Генки [13], ко ^ = 0 дТху ■ =

1) дх ду ' дх ду их - <уу У + 4т\у = 4к2, к =

2) торый предложил использовать условие полной пластичности Хаара - Кармана в случае осесимметричного напряженного состояния. Он сформулировал две теоремы для статически определимых состояний плоской задачи теории идеальной пластичности.

Прандтль (1923 г.) [64] указал, что класс статически определимых задач теории идеальной пластичности гораздо шире, чем предполагал Генки. В этой работе дано асимптотическое аналитическое решение задачи о течении полосы, сжатой жесткими шероховатыми плитами, которое послужило основой для расчета технологических процессов обработки металлов давлением. Позднее Надаи дополнил это решение построением поля скоростей перемещений

Вместе с работой X. Гейрингер (1930 г.), в которой были получены уравнения для скоростей на линиях скольжения, эти работы дали толчок широкому развитию исследований по плоской задаче теории идеальной пластичности в конце тридцатых годов и позднее.

Главное практическое значение теории пластичности состоит в том, что она (вместе с теорией упругости и теорией ползучести) является теоретическим фундаментом науки о прочности и жесткости конструкций под действием статических и динамических нагрузок.

Одни из первых работ по теории пластичности в нашей стране были выполнены А. А. Ильюшиным и С.А. Христианович.

В 1944 г. А. Ю. Ишлинский [32] исследовал осесимметричную задачу теории пластичности, предполагая выполнение условия полной пластичности, доказав статическую определимость и гиперболичность основных уравнений. Им были рассмотрены задачи о вдавливании штампов различной формы в идеально пластическое пространство, решена задача о так называемой пробе Бринелля.

Соотношения пространственной задачи теории пластичности, когда, аналогично условию полной пластичности Хаара — Кармана, имеется два соотношения между главными напряжениями, были предложены и проанализированы А.Ю. Ишлинским, который также использовал обобщенный закон-пластического течения, не предполагающий столь жесткие ограничения на скорости пластических деформаций, устанавливаемые традиционным требованием пропорциональности тензора скорости пластических деформаций и. девиатора тензора напряжений.

Результаты А.Ю. Ишлинского предвосхитили более поздние исследования Д.Д. Ивлева [20-23], в которых было показано фундаментальное значение условия полной пластичности Хаара — Кармана для всей теории пластичности и развит соответствующий вариант теории пластичности: сингулярное условие текучести (в частности, ребро призмы Треска) и обобщенный ассоциированный закон пластического течения.

Отметим, что как статические, так и кинематические уравнения осе-симметричной задачи теории идеальной пластичности для грани призмы Треска также являются гиперболическими; характеристические направления ориентированы так же как и главные направления тензора напряжений. Полное исследование характеристик уравнений осесимметричной задачи при условии пластичности Треска можно найти в [22].

С.А. Христианович и Е.И. Шемякин рассмотрели соотношения теории пластичности в случае полного и неполного пластического состояния и пришли к выводу, что пластическое состояние может наступать только через полную пластичность.

Б.Г. Миронов [49-52] исследовал статически определимые состояния пластических тел при различных условиях предельного состояния, не совпадающих с условием полной пластичности. Статически определимые соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности, включающие в себя, как частный случай, состояния плоской и антиплоской деформации рассмотрены в работах [49], [54].

Значительный вклад в математическую теорию пластичности в разное время был сделан Б.Д. Анниным [4], Г.И. Быковцевым [7], В.Г. Зубчанино-вым [17], Д.Д. Ивлевым [21], А.А. Ильюшиным [29], А.Ю. Ишлинским [31], Л.М. Качановым [33], А.А. Маркиным [44], Р.И. Непершиным [59], Ю.Н. Ра-ботновым [65], Ю.Н. Радаевым [66], В.В. Соколовским [71], С.А. Христиановичем [75], Е.И. Шемякиным [76].

Диссертационная работа посвящена исследованию предельного состояния цилиндрических и призматических стержней при кручении, находящихся под действием переменного внешнего давления вдоль образующей.

Частным случаем антиплоской деформации является кручение. Кручение — вид деформации, характеризующийся взаимным поворотом поперечных сечений стержня, вала и т. д. под влиянием моментов, действующих в этих сечениях. Поперечные сечения круглых стержней при кручении остаются плоскими. При кручении призматических стержней происходит деплана-ция сечения. Если депланация в разных сечениях различна, то наряду с касательными напряжениями в поперечных сечениях стержня возникают также нормальные напряжения. В этом случае кручение называется стеснённым. При свободном кручении в поперечном сечении возникают только касательные напряжения.

Задача о чисто пластическом кручении призматического стержня, рассмотрена А. Надаи [58]. Функция напряжений Р(х,у) д^ ду'Тух" дх { ) удовлетворяет условию постоянства на каждом из ограничивающих контуров. Поверхность напряжений г=Е(х,у) является поверхностью постоянного ската, «крышей», построенной на заданном контуре; она определяется без особых затруднений. Ребра и конические точки поверхности напряжений соответствуют линиям и точкам разрыва касательных напряжений. При этом величина вектора касательных напряжений постоянна, скачком изменяется его направление.

Обобщением задачи кручения прямого стержня является задача кручения сектора кругового кольца неизменного поперечного сечения, рассмотренная В. Фрейбергером, а также А. Вангом и В. Прагером (в 1953 - 1954 гг.)

В отличие от кручения прямого стержня здесь характеристики могут быть криволинейными.

К аналогичной системе уравнений для напряжений приводит задача кручения прямого круглого стержня переменного диаметра (ось 2 направлена по оси стержня), изученная В. В. Соколовским (1945, 1950 г.).

Г.И. Быковцев в работе [10] рассмотрел кручение призматических стержней из идеального жесткопластического анизотропного материала.

Кручение изотропных цилиндрических и прямоугольных призматических стержней, сектора кругового кольца, стержней переменного сечения при действии внешнего давления, рассмотрены в работах Б.Г. Миронова.

Целью диссертационной работы является исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрических и призматических тел из изотропного и анизотропного материалов при кручении, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей стержня.

Работа состоит из введения, двух глав и заключения.

В первой главе рассматривается кручение изотропных призматических стержней в предположении, что боковая поверхность стержня находится под действием переменного давления. В первом параграфе решена задача определения напряженного состояния призматических стержней, которое линейно меняется вдоль образующей. В случае, когда контур поперечного сечения стержня образует произвольный угол, найдены линии разрыва напряжений и построено поле характеристик. Второй параграф продолжает исследования первого параграфа и посвящен изучению деформированного состояния призматических стержней и определению компонентов перемещений. В третьем параграфе исследовано кручение цилиндрических и призматических стержней с полостями. Построено поле характеристик для случая, когда контур поперечного сечения стержня образует произвольный угол.

Во второй главе исследуется кручение анизотропных призматических стержней при условии пластичности Мизеса при действии давления, линейно меняющегося вдоль образующей. В первом параграфе рассмотрены предельные статически определимые состояния анизотропных тел в случае антиплоской деформации. Во втором параграфе изучено пластическое напряженно-деформированное состояние анизотропных цилиндрических и прямоугольных призматических стержней. В третьем параграфе исследовано кручение сектора анизотропного кругового кольца при действии переменного давления, линейно зависящего от угла поворота вокруг оси кольца. и

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Козлова, Людмила Святославовна

Основные результаты и выводы диссертационной работы:

1) Определено пластическое напряженно-деформированное состояние изотропных призматических стержней при действии линейно меняющегося давления. Найдены линии разрыва напряжений в случае, когда контур поперечного сечения стержня образует произвольный угол. Построено поле характеристик для различных контуров призматических стержней, определены перемещения.

2) Исследовано и определено пластическое напряженно - деформированное состояние изотропных цилиндрических и призматических стержней с отверстием при действии переменного давления. Построено поле характеристик в случае, когда внутренний контур сечения образует произвольный угол.

3) Исследованы предельные статически определимые состояния анизотропных тел в случае антиплоской деформации. Определена зависимость величины максимального касательного напряжения от ориентации вектора касательного напряжения на плоскости для конкретного условия предельного состояния.

4) Определено пластическое напряженно-деформированное состояние анизотропных цилиндрических и прямоугольных призматических стержней, находящихся под действием линейного давления. Определены линии разрыва напряжений в случае прямоугольного контура сечения стержня, построено поле характеристик.

5) Решена задача о кручении сектора анизотропного кругового кольца, когда боковая поверхность сектора находится под давлением, линейно зависящим от угла поворота вокруг оси сектора. Определено напряженное состояние сектора, найдены характеристики, определены деформации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Козлова, Людмила Святославовна, 2010 год

1. Александров, С. Е. Плоские установившиеся идеальные течения в теории пластичности / С. Е. Александров // Изв. РАН. МТТ. -2000. - №2. - С. 136-141.

2. Александров, С. Б. Сингулярные решения при плоском пластическом течении материалов, чувствительных к среднему напряжению / С. Б. Александров, Лямина Е. А. // ДАН РАН. 2002. - Т. 383, № 4. - С. 492^194.

3. Арутюнян, Н. X Кручение упругих тел / Н. X. Арутюнян, Б. Л. Абрамян. -М. : Физматгиз, 1962. 686 с.

4. Аннин, Б. Д. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности / Б. Д. Аннин, В. О. Бытев, С. И. Сенашев Новосибирск : Наука, 1984. - 143 с.

5. Бережной, И. А. Диссипативная функция в теории пластичности Бережной / И. А. Бережной, Д. Д. Ивлев // Механика деформируемого тела, Межвузовский сборник, Куйбышев. 1977. - Вып. 3. - С. 5-22.

6. Бриджмен, П. Исследования больших пластических деформаций и разрыва: Пер. с англ / П. Бриджмен. М. : ИЛ, 1955. - 444 с.

7. Быковцев, Г. И. Теория идеальной пластичности / Г. И. Быковцев, Д. Д. Ивлев. Владивосток : Дальнаука, 1998. - 528 с.

8. Быковцев, Г. И. Свойства уравнений пространственной задачи теории идеальной пластичности / Г. И. Быковцев, И. А. Власова // Механика деформируемых сред. Межвузовский сборник. Куйбышев. — 1977. Вып. 2. С. 33-68.

9. Быковцев, Г. И. О кручении призматических стержней из анизотропного идеально пластического материала / Г. И. Быковцев // Изв. АН СССР. ОТН. Мех. имашиностр.- 1961.-№3.-С. 151-157.

10. Быковцев, Г. И. Избранные проблемные вопросы механики деформируемых сред: Сборник статей. / Г. И. Быковцев. Владивосток : Дальнаука, 2002. - 566 с.11 .Галин, Л. А. Упруго-пластические задачи / Л. А. Галин. М. : НаукаД984. -232 с.

11. Друянов, К. А. Теория технологической пластичности / К. А. Друянов, Р.

12. Зубчанинов, В. Г. Определяющие соотношения общей теории пластичности / В. Г. Зубчанинов // Устойчивость и пластичность при сложном на-гружении Тверь : ТГТУ. - 1994. - С. 14-37.

13. Ивлев, Д. Д. О дйссипативной функции в теории пластических сред / Д. Д. Ивлев // ДАН СССР 1967. - Т. 176, № 5. - С. 1037-1039.

14. Ивлев, Д. Д. О соотношениях, определяющих пластическое течение при . условии пластичности Треска, и его обобщениях / Д. Д. Ивлев 7/ ДАН

15. СССР 1959. - Т. 124, № 3. - С. 576-548. 21 .Ивлев, Д Д. Теория идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев. — М. : Наука, 1966.-232 с.

16. Ивлев, Д. Д. Механика пластических сред: В 2 т. Т.1. Теория идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 448 с.

17. Ивлев, Д. Д. Механика пластических сред: В 2 т. Т.2. Общие вопросы. Же-сткопластическое и упругопластическое состояние тел. Упрочнение. Деформационные теории. Сложные среды. / Д. Д. Ивлев. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 448 с.

18. Ивлев, Д. Д. Теория упрочняющегося пластического тела / Д. Д. Ивлев, Г. И. Быковцев. М. : Наука, 1971. - 231 с.25 .Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластических деформаций / Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. М. : Наука, 1978. - 208 с.

19. Ивлев, Д Д. Предельное состояние деформируемых тел и горных пород. / Д. Д. Ивлев и др. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 832 с.

20. Ивлев, Д. Д. О свойствах соотношений общей плоской задачи теории идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев, Л. А. Максимова // ДАН РАН — 2000. — Т. 373, № 1.-С. 39—41.

21. Ивлев, Д. Д. О соотношениях общей плоской задачи теории идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев, Л. А. Максимова // Известия ИТА ЧР, Чебоксары Сводный том № 3(13), № 4(14), 1998, № 1(15), № 2(16), 1999 - С. 13-15.

22. Ильюшин, А. А. Механика сплошной среды / А. А. Ильюшин. — М. : Изд-во Московского ун-та, 1978. 288 с.

23. Ильюшин, А. А. Пластичность. / А. А. Ильюшин. М. : Гостехиздат, 1948. -376 с.31 .Ишлинский, А, Ю. Математическая теория пластичности / А. Ю. Ишлин-ский, Д. Д. Ивлев. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 704 с.

24. Ишлинский, А. Ю. Прикладные задачи механики. Т. 1, 2. / А. Ю. Ишлинский. М. : Наука, 1986. - 359 с.

25. ЪЪ.Качанов, Л. М. Основы теории пластичности / Л. М. Качанов. М. : Наука, 1969. - 420 с.

26. Ъ А.Козлова, Л. С. Предельное состояние цилиндрических и призматических стержней с отверстием при кручении / JI. С. Козлова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. — 2010. № 2 (66). - С. 69-74.

27. Ъв.Козлова, Л. С. Предельное состояние призматических стержней;, находящихся под давлением / JL С. Козлова, Б. Г. Миронов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. -2009. № 3 - 4 (63). - С. 6-14.

28. Козлова, Л. С. Предельное состояние призматических стержней при кручении / JL С. Козлова, Б. Г. Миронов // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чуваш, гос. пед. ун-т. — 2009. — № 2(14).-С. 8-17.

29. ЪЪ.Козлова, Л. С. Предельное состояние призматических тел при кручении / JI. С. Козлова // Чуваш, гос. пед. ун-т. — 2010. — Депонировано в ВИНИТИ РАН 29.04.10 № 232-В2010. 7 с.

30. Кузнецов, А. И. Кручение неоднородных пластических стержней / А. И.

31. Маркин, А. А. К выбору критерия направленного разделения упругопла-стических материалов / А. А. Маркин, В. В. Глаголев // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003 - С. 546-554.

32. Маркин, А. А. Моделирование процесса разделения материала. / А. А. Маркин, В. В. Глаголев // Проблемы механики неупругих деформаций. -М. : Физматлит, 2001. С. 191-198.

33. Мизес, Р. Механика твердых тел в пластически деформированном состоянии / Р. Мизес // Теория пластичности, Сб. переводов М. : Ил, 1948. - с.57.69.

34. АЛ .Миронов, Б. Г. О предельном состоянии идеальнопластического анизотропного бруса и плиты / Б. Г. Миронов // Изв. РАН МТТ. 2000. — № 5 — С. 13-20.

35. Миронов, Б. Г. О кручении призматических стержней, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей / Б. Г. Миронов // Вестник Чуваш, гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. 2006. - № 1(48).-С. 98-101.

36. Миронов, Б. Г. Кручение сектора кругового кольца при действии переменного давления / Б. Г. Миронов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. 2009. - № 2(62). - С. 23-26.

37. Миронов, Б. Г. Линеаризованные уравнения теории идеальной пластичности / Б. Г. Миронов // ДАН РАН. 1999. - Т. 364, № 5. - С. 617-619.

38. ЪЪ.Миронов, Б. Г. О соотношениях теории анизотропной идеально пластической среды / Б. Г. Миронов // Изв. РАН МТТ. 2005. - № 1. - С. 120-125.

39. Миронов, Б. Г. Об основных соотношениях статически определимых состояний идеальнопластических тел / Б. Г. Миронов // Вестник ЧГПУ. -2005. № 2(44). - С. 44-49.

40. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили. М. : Наука 1965. - 456 с.5%.Надаи, А. Пластичность и разрушение твердых тел: Пер. с англ / А. Надаи. М. : ИЛ, 1954. - 648 с.

41. Непершин, Р. И. Пластическое течение при сжатии диска между параллельными плитами / Р. И. Непершин // Машиноведение. 1968. - № 1. — С. 97-100.

42. Работное, Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю. Н. Работ-нов. -М. : Наука, 1988. 712 с.

43. Радаее, Ю. Н. К теории трехмерных уравнений математической теории пластичности / Ю. Н. Радаев // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2003.-№ 5. -С. 102-120.

44. Сен-Венан, Б. Дифференциальные уравнения внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах, и граничные условия для этих тел. Некоторые приложения / Б. Сен-Венан // Сб. ст.: Теория пластичности. М. : ИЛ, 1948. - С. 24-33.

45. Сен-Венан, Б. Об установлении уравнений внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости / Б. Сен-Венан // Теория пластичности. Сб. переводов. М. : Ил, 1948. - С. 11-19.

46. Сен-Венан, Б. Мемуар о кручении призм. / Б. Сен-Венан. — Физматгиз, Москва, 1961.-519 с.

47. Соколовский, В. В. Статика сыпучей среды / В. В. Соколовский. — М. : ГИТТЛ, 1954.-276 с.

48. Х.Соколовский, В. В. Теория пластичности / В. В. Соколовский. — М. : Высшая школа, 1969. — 608 с. 72.Фрейденталъ, А. Математические теории неупругой сплошной среды / А.

49. Христианович, С. А. К теории идеальной пластичности / С. А. Христиано-вич, Е. И. Шемякин // Изв. АН СССР, МТТ . 1967. - № 5. - С 86-97.

50. Шестериков, С. А. К построению теории идеальнопластического тела / С.

51. А. Шестериков // ПММ. 1960. - Т. 24, Вып.З. - С. 47-54. 19.Шилд, Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии

52. Р. Шилд//Сб. пер. "Механика".- 1957.-№ 1.-С. 102-122. 80.Hill, R. On the problem of uniqueness in the theory of a rigid-plastic solid / R.

53. Hill // J. Mech. and Phys. Solids. № 4. - 1956. - P. 247-255. 81 .Drucker, D. C. On uniqueness in theory of plasticity / D. C. Drucker // Quart.

54. Appl. Math. 1956. - № 1. - 35^12. 82.Mises, R. Mechanic der festen Korper im plastish derformablen Zustand / R.

55. SI.Shield. R. T. On the plastic flow of metals under conditions of axial symmetry / R. T. Shield // Proc. Roy. Soc. Lond. 1955. - V. 233A. - No. 1193. - pp. 267-287.