Метод прямого статистического анализа каскадных гаммерштейновских систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Есипенко, Валентин Иванович

• Есипенко, Валентин Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Есипенко, Валентин Иванович

Введение.

Глава 1. Интегральные модели в теории динамических систем.

1.1. Введение.

1.2. Интегральная модель линейной непрерывной системы управления.

1.3. Интегральная модель линейной непрерывной стационарной системы управления.

1.4. Интегральные модели нелинейных непрерывных динамических систем.

1.5. Проблема отыскания статистических характеристик выходных сигналов динамических систем.

1.6. Выводы.

Глава 2. Плотности распределения вероятностей функционально преобразованных случайных величин.

2.1. Введение.

2.2. Плотность распределения вероятностей суммы случайных величин.

2.3. Применение интегрального преобразования Лапласа-Стилтьеса.

2.4. Плотность распределения вероятностей суммы случайных величин со случайными коэффициентами.

2.5. Совместная плотность распределения вероятностей сумм случайных величин.

2.6. Коммутативность свёртки и функционального преобразования переменных плотностей распределения вероятностей.

2.7. Выводы.

Глава 3. Вероятностные характеристики линейных динамических систем.

3.1. Введение.

3.2. Многомерная плотность распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики линейной динамической системы с переменными детерминированными параметрами.

3.3. Взаимосвязь ковариационной функции нестационарного случайного процесса с ковариационной и корреляционной функциями детерминированного сигнала.

3.4. Вероятностные характеристики линейных динамических систем с постоянными и переменными детерминированными параметрами.

3.5. Многомерная плотность распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики линейной динамической системы со случайными параметрами.

3.6. Многомерная плотность распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики RC-интегратора со случайными гауссовскими параметрами.

3.7. Выводы.

Глава 4. Прямой статистический анализ линейных динамических систем в переходном режиме (нулевые начальные условия).

4.1. Введение.

4.2. Прямой статистический анализ линейных динамических систем с переменными детерминированными параметрами.

4.2.1. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых не содержат дельта-функцию.

4.2.2. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых содержат дельта-функцию.

4.3. Прямой статистический анализ линейных динамических систем с постоянными параметрами.

4.3.1. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых не содержат дельта-функцию.

4.3.2. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых содержат дельта-функцию.

4.4. Прямой статистический анализ линейных динамических систем со случайными параметрами.

4.4.1. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых не содержат дельта-функцию.

4.4.2. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых содержат дельта-функцию.

4.5. Выводы.

Глава 5. Прямой статистический анализ линейных динамических систем и линейных непрерывных систем управления ненулевые начальные условия).

5.1. Введение.

5.2. Прямой статистический анализ линейных динамических систем с переменными детерминированными параметрами.

5.2.1. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых не одержат дельта-функцию.

5.2.2. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых содержат дельта-функцию.

5.3. Прямой статистический анализ линейных динамических систем с постоянными параметрами.

5.3.1. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых не содержат дельта-функцию.

5.3.2. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых содержат дельта-функцию.

5.4. Прямой статистический анализ линейных динамических систем со случайными параметрами.

5.4.1. Многомерная плотность распределения вероятностей собственного движения линейной динамической системы.

5.4.2. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых не содержат дельта-функцию.

5.4.3. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых содержат дельта-функцию.

5.5. Прямой статистический анализ линейных непрерывных систем управления.:.

5.6. Выводы.

Глава 6. Прямой статистический анализ линейных динамических систем в установившемся режиме.

6.1. Введение.

6.2. Прямой статистический анализ линейных динамических систем с переменными детерминированными параметрами.

6.2.1. Моменты наблюдения отстоят друг от друга на величину, меньшую максимальной эффективной длительности импульсной характеристики.

6.2.2. Моменты наблюдения отстоят друг от друга на величину, равную или большую максимальной эффективной длительности импульсной характеристики.

6.3. Прямой статистический анализ линейных динамических систем с постоянными параметрами.

6.3.1. Моменты'наблюдения отстоят друг от друга на величину, меньшую максимальной эффективной длительности импульсной характеристики.

6.3.2. Моменты наблюдения отстоят друг от друга на величину, равную или большую максимальной эффективной длительности импульсной характеристики.

6.4. Прямой статистический анализ линейных динамических систем со случайными параметрами.

6.4.1. Моменты наблюдения отстоят друг от друга на величину, меньшую максимальной эффективной длительности импульсной характеристики.

6.4.2. Моменты наблюдения отстоят друг от друга на величину, равную или большую максимальной эффективной длительности импульсной характеристики.

6.5. Выводы.

Глава 7. Прямой статистический анализ каскадных гаммерштейновских систем (переходный режим при нулевых начальных условиях).

7.1. Введение.

7.2. Расширенная система класса Гаммерштейна с широкополосной входной линейной динамической системой.

7.3. Расширенная система класса Гаммерштейна с узкокополосной входной линейной динамической системой.

7.4. Расширенная система класса Гаммерштейна с гауссовскими амплитудно-частотными характеристиками узкополосной входной и выходной линейных динамических систем с постоянными параметрами.

7.5. Система класса Гаммерштейна.

7.6. Прямой статистический анализ каскадных гаммерштейновских систем.

7.7. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод прямого статистического анализа каскадных гаммерштейновских систем»

Актуальность темы. Жизнь современного общества немыслима без сложных территориально распределённых информационных систем, базирующихся на теснейшем взаимодействии и взаимном проникновении вычислительной техники и средств сбора, обработки, хранения, передачи и распределения информации.

Особо важное и всё возрастающее значение имеют цифровые системы связи, непрерывные и дискретные системы управления, измерительные системы и т.д., обладающие весьма высокими качественными характеристиками: информативностью, помехоустойчивостью и эффективностью.

Огромные успехи, достигнутые в последние десятилетия в этой области, открыли ряд совершенно новых возможностей по увеличению быстродействия, точности и разрешающей способности измерительной техники, по фильтрации, преобразованию и усилению сигналов.

Достижение высоких качественных характеристик информационных систем обусловлено разумным сочетанием высокоточных технологий, современных методов управления, формирования, передачи, приёма и обработки полезных сигналов с учётом действия неизбежно присутствующих помех.

Среди этих методов на всех этапах развития информационных систем особенно важное место занимали методы нелинейной обработки сигналов и последующей фильтрации тех или иных компонент на выходе безынерционного нелинейного четырёхполюсника.

В то время как методы линейной фильтрации достаточно быстро достигли своих предельных возможностей, методы нелинейной обработки сигналов оказались настолько разнообразны и продуктивны, что поиску новых таких методов и исследованию их возможностей уделялось самое пристальное внимание на всех этапах развития информационных систем (число работ в целом трудно обозримое).

Во многих работах отмечалось, что именно отыскание новых методов нелинейной обработки сигналов является наиболее перспективным направлением в решении огромного числа задач в самых различных областях радиофизики, радиотехники, связи, автоматического управления и т.д.

Исследования в области таких традиционных нелинейных преобразований как модуляция и демодуляция, которые принято рассматривать как нелинейные информационные преобразования, так как при этом в сигнал вводится полезная информация или извлекается из него, по-видимому , уже достигают своей полноты и законченности.

В аналоговых системах связи дополнительные нелинейные преобразования сигналов по информационному параметру в условиях действия помех приводят к существенному снижению их качественных характеристик.

В системах связи находят широкое применение такие виды нелинейных неинформационных преобразований (преобразований, при которых в сигнал не вводится и из него не извлекается полезная информация) как перенос спектра полезного сигнала в другую область частот, умножение частоты (чаще в передатчике), ограничение (в основном в приёмном устройстве) и др.

Нелинейные неинформационные преобразования как аналоговых, так и дискретных сигналов в условиях действия как гауссовских, так и негауссовских помех лежат в основе методов повышения качественных характеристик информационных систем.

Более того, весьма важным преимуществом дискретных информационных систем перед аналоговыми является то обстоятельство, что использование в условиях действия помех нелинейных преобразований даже по иформационным параметрам сигналов (кроме систем с фазовой манипуляцией) не приводит к ухудшению их качественных характеристик.

Наиболее точными и надёжными, исключающими возможность привнесения любых субъективных факторов в оценки качественных характеристик информационных систем в целом или отдельных блоков обработки сигналов, являются вероятностные критерии, основывающиеся на использовании "тонкой структуры" случайного процесса на выходе [1].

Энергетические же критерии являются неполными и во многих случаях неприемлемы.

Применение того или иного вероятностного критерия оценки качества обработки сигналов требует знания в общем случае многомерной плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе системы связи в целом или отдельных блоков обработки.

Даже в том случае, когда на входе приёмного устройства информационной системы действует помеха в виде гауссовского случайного процесса, использование методов нелинейной обработки сигналов с целью повышения качественных характеристик этой системы естественным образом влечёт за собой необходимость использования линейной динамической системы для фильтрации тех или иных компонент на выходе безынерционного нелинейного четырёхполюсникка при условии, что на её входе действует уже негауссовский случайный процесс.

Последнее обстоятельство приводит к сложной проблеме отыскания многомерной плотности распределения вероятностей случайного поцесса на выходе линейной динамической системы, когда случайный процесс на её входе не является гауссовским.

В настоящее время не существует метода, который позволял бы в общем случае разрешить данную проблему и получить на выходе линейной динамической системы многомерную плотность распределения вероятностей размерности п>2.

Важность и сложность данной проблемы настолько велики, а пути её возможного решения настолько не просматривались, что в [2,3] отмечено: ".за исключением так называемых марковских процессов и линейного преобразования нормальных процессов нельзя указать метод "пересчёта" непосредственно самих плотностей вероятностей при инерционных преобразованиях случайных процессов".

Отсутствие метода статистического анализа линейных динамических систем, который позволял бы в общем случае воздействия на входы этих систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений разрешить данную проблему, в значительной мере препятствует широкому внедрению и глубокой теоретической проработке высокоэффективных методов нелинейной обработки сигналов с целью повышения качественных характеристик информационных систем.

Для решения данной проблемы разработано несколько приближённых аналитических и экспериментальных методов, которые уместно назвать косвенными.

Метод моментных функций предложен и исследован в [4], где получены фундаментальные соотношения, позволяющие:

• по заданной многомерной произвольной размерности п плотности распределения вероятностей случайного процесса на входе линейной динамической системы найти множество (в общем случае бесконечное) моментных функций этого процесса;

• по найденным моментным функциям найти соответствующее множество моментных функций случайного процесса на выходе этой линейной системы;

• по найденному множеству моментных функций случайного процесса на выходе линейной динамической системы найти соответствующую многомерную, чаще меньшей размерности т<ил характеристическую функцию;

• с помощью обратного преобразования Фурье найти искомую многомерную, той же или меньшей размерности т < п, плотность распределения вероятностей случайного процесса на выходе этой линейной системы.

Анализу возможностей данного метода посвящено достаточно много работ [см., напр., 1 - 3, 5 - 6], где выявлено ряд существенных недостатков этого метода:

• хотя в системе, состоящей из бесконечного числа моментных функций , наиболее важную роль играют младшие моментные функции, тем не менее отсутствуют критерии, позволяющие принять во внимание ограниченное (но реальное) число младших моментных функций, положив остальные, равными нулю; более того, как показано в [6], не существует не только никакого вероятностного распределения, все высшие моментные функции которого, начиная с некоторой, равны нулю, но невозможно даже графически изобразить такую плотность распределения вероятностей;

• последовательность моментных функций не обязана определять искомую плотность распределения вероятностей единственным образом [7,8];

• большая часть моментных функций не имеют чётко выраженного самостоятельного статистического смысла;

• существуют распределения, которые не имеют моментов и моментных функций положительного порядка [7,8];

• записать многомерные плотности распределения вероятностей, исходя из найденных соответствующих моментных функций, затруднительно; практически удаётся получить плотности распределения вероятностей размерности m не более двух.

Метод квазимоментных функций предложен в [9], где получены основополагающие соотношения, позволяющие:

• по заданной многомерной произвольной размерности п плотности распределения вероятностей случайного процесса на входе линейной динамической системы определить:

- образующие функции, которые наиболее удобно выбирать так, чтобы они копировали корреляционные функции;

- квазимоментные функции, которые представляют собой коэффициенты разложения заданной многомерной плотности распределения вероятностей в ряд по многомерным полиномам Чебышева - Эрмита [5,10];

• с помощью предложенных выражений найти соответствующие образующие и квазимоментные функции на выходе линейной динамической системы;

• в соответствии с установленными соотношениями определить искомую многомерную размерности т < п плотность распределения вероятностей случайного процесса на выходе этой линейной системы.

Анализу возможностей этого метода посвящены работы [1 - 5,11], из которых следует, что данный метод статистического анализа линейных динамических систем несколько снижает, но не исключает основные недостатки, свойственные рассмотренному выше методу моментных функций.

В [5] показано, что ограниченное множество первых квазимоментных функций определяется аналогичным множеством первых корреляционных функций, поэтому, ограничиваясь в разложении многомерной плотности распределения вероятностей случайного процесса на входе и выходе линейной динамической системы конечным множеством первых квазимоментных функций, мы, по сути дела, принимаем во внимание аналогичное множество первых корреляционных функций, пренебрегая сведениями, заключающимися в корреляционных функциях более высокого порядка, заменяя последние некоторыми функциями, выражающимися через учтённые низшие корреляционные функции.

Поэтому, как и в методе моментных функций, при использовании данного метода также нельзя быть уверенным, что среди отбрасываемых старших квазимоментных функций не окажется такой, которая не меньше учтённых младших функций.

Метод кумулянтных функций. Исследованию метода статистического анализа линейных динамических систем, основанного на использовании кумулянтов и кумулянтных функций, посвящено достаточно много работ, результаты которых весьма полно обобщены в [6], где приведены фундаментальные соотношения, которые дают возможность:

• по заданной многомерной произвольной размерности п плотности распределения вероятностей случайного процесса на входе линейной динамической системы определить соответствующую многомерную характеристическую функцию, а затем кумулянтные функции этого процесса;

• по найденным кумулянтным функциям найти соответствующие кумулянтные функции случайного процесса на выходе этой линейной системы, а по ним - соответствующую многомерную характеристическую функцию;

• используя обратное преобразование Фурье, по найденной характеристической функции найти искомую многомерную плотность распределения вероятностей размерности т < п случайного процесса на выходе линейной динамической системы.

В [6] показано, что:

• кумулянты и кумулянтные функции во многих отношениях являются более удобными параметрами распределения, чем моментные и квазимоментные функции; так, помимо прочих причин, во многих практически важных случаях кумулянтами и кумулянтными функциями высших порядков можно пренебречь в отличие от моментных и квазимоментных функций; кроме того, существует возможность рассматривать такие распределения, кумулянты и кумулянтные функции которых, начиная с некоторого порядка, равны нулю, в то время когда моментные и квазимоментные функции не равны нулю;

• хотя совокупность случайных величин и случайных функций может описываться как набором моментов и моментных функций, так и набором кумулянтов и кумулянтных функций и эти два представления формально идентичны, предпочтение следует отдавать кумулянтам и кумулянтным функциям, ибо они, а не моменты и моментные функции, представляют собой своеобразные "независимые координаты" вероятностных распределений и имеют чёткий и самостоятельный смысл;

• учёт кумулянтов и кумулянтных функций высших порядков позволяет просто описать любую степень негауссовости случайных величин и процессов;

• конечному набору кумулянтов всегда соответствует некоторая "хорошая" вещественная функция, аппроксимирующая плотность распределения вероятностей, в то время как несингулярной функции, все высшие моменты которой равнялись бы нулю, не существует.

Несмотря на существенные преимущества данного метода статистического анализа линейных динамических систем перед рассмотренными выше, он, к большому сожалению, также не исключает их основные недостатки.

Метод полигауссовых представлений. Разработка метода полигауссовых представлений явилась следствием стремления ряда авторов воспользоваться для описания плотностей распределения вероятностей негауссовских случайных величин и процессов совокупностью гауссовских. В [12, 14 - 17] доказана возможность полигауссовых представлений физически реализуемых случайных процессов, в [17 и др.] описаны методы построения полигауссовых моделей, в [16,18] показаны возможности использования полигауссовых представлений для синтеза оптимальных приёмников сигналов, принимаемых на фоне негауссовских помех, а также прохождение негауссовских случайных процессов через линейные динамические системы, нелинейные безынерционные цепи и их совокупности.

В свете рассматриваемой здесь проблемы данный метод имеет ряд существенных преимуществ перед рассмотренными выше методами статистического анализа линейных динамических систем, так как, в принципе, позволяет по заданной многомерной произвольной размерности п плотности распределения вероятностей негауссовского случайного процесса на входе линейной динамической системы найти многомерную той же размерности плотность распределения вероятностей случайного процесса на выходе этой линейной системы, сохраняя при этом теоретико-вероятностное содержание.

Однако данному методу присущи ряд недостатков из выше перечисленных методов, а также и другие недостатки:

• системы гауссовых функций с различными параметрами являются линейнонезависимыми, неортогональными и в общем случае неполными; поэтому полигауссовы представления возможны только при некоторых ограничениях на метрические пространства представляемых функций и системы гауссовых компонент, а если это принципиально возможно, то нахождение гауссовых компонент по исходной функции связано с определёнными вычислительными трудностями; поэтому всякое использование полигауссовых представлений в технических задачах во избежания ошибок требует тщательного анализа корректности таких представлений в каждом конкретном случае [13,17];

• метод в значительной мере теряет свои преимущества при использовании в информационных системах ряда следующих друг за другом безынерционных нелинейных устройств и линейных динамических систем (сложная помеховая обстановка часто побуждает к использованию сложной обработки сигналов) вследствие необходимости на выходе каждого безынерционного нелинейного устройства снова решать задачу полигауссового представления каждой нелинейно преобразованной гауссовой компоненты входного случайного процесса, а также каждой компоненты продуктов взаимодействия сигнала и помехи с анализом корректности такого представления [18].

Метод ортогональных разложений ядра интегрального уравнения. Данный метод был предложен в [19] и получил развитие в основном в работах зарубежных авторов как применительно к задачам статистического анализа тех или иных конкретных устройств (см., напр. [20 - 27]), так и к задачам обнаружения и оценки параметров сигналов, принимаемых в условиях действия помех. Применению этого метода к задачам обнаружения и оценок параметров сигналов посвящено очень много работ, результаты которых достаточно полно обобщены в [28 - 30].

Фундаментальные соотношения, составляющие основу этого весьма эффективного метода, дают возможность:

• выразить отклик той или иной динамической системы в виде интегрального преобразования, устанавливающего связь этого отклика со входным воздействием и импульсной характеристикой системы ;

• определить ядро этого интегрального уравнения, которое зависит только от характеристик динамической системы;

• найти всё множество собственных функций (решений) и собственных (характеристических) значений однородного интегрального уравнения с определённым выше ядром; найденное при этом множество собственных функций является множеством ортогональных функций;

• записать определённое выше ядро интегрального преобразования, сигнал и шум на входе динамической системы, а также искомый отклик в виде сходящихся в среднеквадратическом рядов независимых случайных величин по найденной системе ортогональных собственных функций;

• найти характеристическую функцию отклика заданной динамической системы;

• с помощью обратного преобразования Фурье получить выражение для искомой плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе этой системы.

Анализ возможностей данного метода показывает (см., напр. [1, 27]), что он также имеет ряд существенных недостатков:

• анализируемый класс случайных процессов ограничен классом стационарных и эргодических случайных процессов;

• основные результаты удаётся получить для случаев, когда рассматриваемый случайный процесс на входе динамической системы хотя и не является гауссовским, но представляет собой некоторый нелинейный функционал или класс функционалов от гауссовского случайного процесса, напр. огибающая, абсолютное значение или квадрат гауссовского процесса; при этих весьма сильных ограничениях и некоторых дополнительных (например, требование симметрии амплитудно-частотной характеристики линейной динамической системы) удаётся получить плотность распределения вероятностей размерности не более двух;

• метод неприменим для анализа динамических систем в переходном режиме с ненулевыми начальными условиями.

Метод дифференциальных уравнений. Он представляет собой один из самых "старых" методов статистического анализа динамических систем [1, 2, 31 -36].

Его преимущества перед другими известными методами проявляется, в основном, в следующих обстоятельствах:

• определить в явном виде импульсную характеристику анализируемой динамической системы по тем или иным причинам не представляется возможным,

• случайный процесс в динамической системе является марковским или может быть при определённых условиях достаточно точно аппроксимирован марковским случайным процессом.

В последнем случае имеется возможность использовать хорошо разработанный математический аппарат, дающий возможность решать многие содержательные физические задачи и получать наиболее полные и продуктивные результаты [33-41].

Однако анализ показывает, что за исключением случая, когда действующий в информационной системе случайный процесс является марковским или он может быть им достаточно точно аппроксимирован, метод дифференциальных уравнений имеет те же недостатки, что и рассмотренные выше методы.

Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Анализу данного метода посвящено достаточно много работ [см., напр., 38 - 41]. Метод статистических испытаний применим для вероятностного исследования качества любых динамических систем (в том числе автоматических со случайными параметрами). Применение данного метода часто необходимо как для оценки степени точности результатов, получаемых другими известными методами, так и для непосредственного исследования некоторых сложных информационных систем, к которым трудно применить другие известные методы статистического анализа. При достаточно большом числе экспериментов можно получить необходимую точность определения искомого закона распределения.

Однако, методу статистических испытаний свойственны следующие недостатки:

• в основном, сравнительно низкая точность получаемых результатов;

• использование метода требует создания генератора случайных функций с заданными вероятностными характеристиками, что возможно не для всех случайных функций;

• практическая невозможность определения зависимостей характеристик искомого закона распределения от параметров динамической системы и входного случайного процесса.

Последнее обстоятельство оказывается особенно важным.

Таким образом, выполненный анализ показывает, что разработка и исследование метода статистического анализа динамических систем, который позволял бы в общем случае определить многомерную произвольной размерности п плотность распределения вероятностей случайного процесса на выходе системы, когда случайный процесс на её входе не является гауссовским, и который был бы в значительной мере свободен от недостатков известных методов, представляет, по-прежнему, значительный интерес.

Следует отметить, что при разработке и исследовании известных методов статистического анализа динамических систем исследованию вероятностных характеристик самих динамических систем должного внимания не уделялось. Как будет показано в диссертации, именно отсутствие вероятностных характеристик самих динамических систем служило препятствием для разработки высокоэффективного метода статистического анализа этих систем. К таким характеристикам относятся многомерная произвольной размерности п плотность распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики динамической системы, соответствующая характеристическая функция, интегральная функция распределения, функционал плотности распределения вероятностей и т.д.

Связь работы с государственными планами научных исследований. Основы настоящей диссертационной работы заложены и получена значительная часть её результатов в ходе выполнения Научно-исследовательским радиофизическим институтом (НИРФИ) Министерства образования РФ фундаментальной и поисковой научно-исследовательской работы "Повышение качественных характеристик систем передачи дискретных сообщений" (шифр "Шек", научным руководителем которой являлся автор настоящей работы), развёрнутой по плану важнейших работ института приказом от 10.Об.91г. №51-П на основании письма Государственного Комитета СССР по Науке и Высшей Школе от 10.04.91г. №13-36-49 ин/13-02-08.

Остальные результаты диссертационной работы являются итогом инициативных поисковых научных исследований, выполнявшихся о Нижегородском государственном техническом университете (НГТУ) Министерства образования РФ.

Цель и задачи диссертационной работы.

Цель диссертации - разработка и исследование метода прямого статистического анализа каскадных гаммерштейновских систем, позволяющего в самом общем случае разрешить сложную проблему статистического анализа этих систем при произвольных входных случайных (в том числе негауссовских) процессах.

В соответствии с поставленной целью и анализом возможных направлений исследований в работе ставятся следующие задачи:

• исследовать современное состояние вопросов суммирования зависимых случайных величин и выявить наиболее целесообразные для целей исследований, выполняемых в диссертации, пути отыскания одномерной плотности распределения вероятностей заданной суммы зависимых случайных величин (в том числе со случайными зависимыми коэффициентами и зависимыми множествами случайных величин и случайных коэффициентов);

• решить задачу отыскания совместной плотности распределения вероятностей произвольного числа в общем случае зависимых сумм случайных величин со случайными зависимыми коэффициентами и зависимыми множествами случайных величин и случайных коэффициентов при произвольном числе слагаемых в каждой из этих сумм;

• исследовать взаимосвязь многократной свёртки и многократного функционального преобразования переменных многомерной, произвольной размерности, плотности распределения вероятностей;

• разработать метод описания линейных динамических систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами в вероятностной области;

• определить основные вероятностные характеристики линейных динамических систем в вероятностной области и методику их отыскания;

• разработать эффективный метод статистического анализа линейных динамических систем, одинаково приемлемый для линейных динамических систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами, с нулевыми и ненулевыми начальными условиями, в переходном и установившемся режимах при действии на их входы произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной, произвольной размерности, плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений, а на его основе - эффективный метод статистического анализа нелинейных систем класса Гаммерштейна и их каскадного соединения;

• решить проблему отыскания многомерной, произвольной размерности, плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной непрерывной системы управления с переменными детерминированными и постоянными параметрами в переходном режиме при нулевых и ненулевых начальных условиях при действии на её входе произвольного негауссовского случайного процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений;

• решить проблему отыскания многомерной,произвольной размерности, плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе каскадных гаммерштейновских систем с переменными детерминированнымии и постоянными параметрами в переходном режиме при действии на входе произвольного негауссовского случайного процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений.

Разработка метода описания линейных динамических систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами в вероятностной области и определение основных вероятностных характеристик этих систем включает в себя определение многомерных, произвольной размерности, плотностей распределения вероятностей мгновенных значений импульсных характеристик этих линейных систем, а также соответствующих характеристических функций, интегральных функций распределения, функционалов плотности распределения вероятностей и т.д.

Исследование разработанного метода прямого статистического анализа линейных динамических систем включает в себя:

• решение этим методом известных задач, а также широкого спектра задач, не ставившихся ранее по причине не просматривавшегося их решения или не имевших законченного решения при входном негауссовском случайном процессе, а именно задач отыскания по заданной произвольной размерности плотности распределения вероятностей произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса на входе многомерной той же и любой меньшей размерности плотности распределения вероятностей случайного процесса

- на выходе линейных динамических систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами в переходном режиме при нулевых начальных условиях;

- на выходе линейных динамических систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами в переходном режиме при ненулевых начальных условиях;

- на выходе линейных динамических систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами в установившемся режиме;

- на выходе линейной непрерывной системы управления с переменными детерминированными и постоянными параметрами в переходном режиме при нулевых и ненулевых начальных условиях;

- на выходе нелинейной системы класса Гаммерштейна в различных вариантах;

- на выходе расширенной нелинейной системы класса Гаммерштейна в различных вариантах;

- на выходе каскадных гаммерштейновских систем с постоянными и переменными детерминированными параметрами;

• сравнение разработанного метода с известными методами по эффективности действия и сложности реализации, на основании результатов сравнения вынесение рекомендаций для практического использования.

Методы исследования. Для решения поставленных задач применялись методы теории вероятностей, операционного исчисления, вычислительной математики, теории функционального анализа, теории обобщённых функций, теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории автоматического управления.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

1. Показано, что одномерная плотность распределения вероятностей суммы зависимых случайных величин может быть определена из общего выражения для многомерной плотности распределения вероятностей функционально преобразованных случайных величин не только с помощью фильтрующего свойства дельта-функций, но и на основе свойств условных плотностей распределения вероятностей. Последний подход оказывается более целесообразным для целей исследований, выполняемых в диссертации.

2. Развита методика применения интегрального преобразования Лапласа-Стилтьеса. Показано, что использование "неполного изображения" с последующим предельным переходом даёт возможность сравнительно просто получать выражения для "изображений", а затем и для искомых одномерных плотностей распределения вероятностей суммы произвольного числа зависимых случайных величин.

3. Исследована проблема и решена задача отыскания одномерной плотности распределения вероятностей суммы произвольного числа зависимых случайных величин со случайными (в общем случае зависимыми) коэффициентами. Исследования выполнены для общего случая зависимых множеств суммируемых случайных величин и коэффициентов.

4. Исследована проблема и решена задача отыскания совместной плотности распределения вероятностей произвольного числа зависимых сумм с произвольным числом входящих в них случайных величин (в том числе со случайными зависимыми коэффициентами) при зависимых множествах случайных величин и случайных коэффициентов. Полученное решение даёт возможность на строгой математической основе решать задачу отыскания многомерной произвольной и любой меньшей размерности плотностей распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной системы с детерминированными и случайными параметрами при воздействии на её вход произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений.

5. Доказано утверждение о коммутативности многократной свёртки и функционального преобразования переменных многомерной плотности распределения вероятностей. Данное утверждние даёт возможность выполнять многократные функциональные (в том числе нелинейные) преобразования переменных многомерных плотностей распределения вероятностей и лишь на последнем этапе осуществить операцию многомерной свёртки с целью отыскания искомой плотности распределения вероятностей любой меньшей размерности (в том числе одномерной).

6. Разработан метод описания линейных динамических систем в вероятностной области с помощью многомерных плотностей распределения вероятностей мгновенных значений их импульсных характеристик.

7. Определены основные вероятностные характеристики линейных динамических систем с детерминированными параметрами.

8. Установлена связь корреляционных функций детерминированного сигнала и случайного ( в общем случае нестационарного) процесса.

9. Получена ковариационная функция детерминированного сигнала.

10. Разработана методика отыскания совместной произвольной размерности плотности распределения вероятностей случайных параметров линейной динамической системы.

11. Получена многомерная, произвольной размерности, плотность распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики линейной динамической системы первого порядка со случайными параметрами.

12. Определена многомерная плотность распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики RC-интегратора со случайными гауссовскими параметрами. Рассмотрены предельные случаи, из которых следует многомерная плотность распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики RC-интегратора с постоянными параметрами.

13. На созданной теоретической основе разработан и исследован эффективный метод прямого статистического анализа линейных динамических систем, который позволяет разрешить тяжелейшую проблему статистического анализа этих линейных систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами при действии на их входах произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной произвольной размерности плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений.

14. Разработанным методом прямого статистического анализа линейных динамических систем решены задачи отыскания многомерных, произвольной размерности, и одномерных плотностей распределения вероятностей случайных процессов на выходах этих линейных систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами в переходном режиме при нулевых и ненулевых начальных условиях, а также в установившемся режиме при воздействии на их входы произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений; решена задача отыскания многомерной, произвольной размерности, плотности распределения вероятностей мгновенных значений случайного процесса на выходе линейной непрерывной системы управления с постоянными и переменными детерминированными параметрами в переходном режиме при нулевых и ненулевых начальных условиях и действии на её входе произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений; решены задачи отыскания многомерной произвольной размерности и одномерной плотностей распределения вероятностей случайного процесса на выходе нелинейной системы класса Гаммерштейна в переходном режиме при нулевых начальных условиях выходной линейной динамической системы с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами при воздействии на вход звена системы двух произвольных случайных (в том числе негауссовских) процессов с заданными многомерными плотностями распределения вероятностей их мгновенных значений; решены задачи отыскания многомерных, произвольной размерности, и одномерных плотностей распределения вероятностей случайных процессов на выходах различных вариантов расширенной системы класса Гаммерштейна в переходном режиме при нулевых начальных условиях при действии на вход рассматриваемй системы произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений; рассмотрены следующие варианты расширенной системы класса Гаммерштейна: а) с широкополосной входной линейной динамической системой с постоянными и переменными петерминированными параметрами; б) с узкополосной входной линейной динамической системой с постоянными и переменными детерминированными параметрами; в) с гауссовскими амплитудно-частотными характеристиками узкополосной входной и выходной линейными динамическими системами с постоянными параметрами.

- решена задача отыскания многомерной, произвольной размерности, плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе каскадных Гаммерштейновских систем с переменными детерминированными и постоянными параметрами в переходном режиме при нулевых начальных условиях и действии на входе произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений.

15. Показано, что полученные результаты согласуются с известными, дают возможность провести более глубокую проработку задач статистического анализа известных динамических систем самого различного назначения (с получением искомых многомерных плотностей распределения вероятностей выходных случайных процессов), а также ставить и решать новые задачи в самых различных областях науки и техники.

Новизна вышеперечисленных результатов диссертации отражена в публикациях. По имеющимся у автора сведениям в литературе отсутствуют работы, приводящие к аналогичным результатам.

Практическая ценность диссертационной работы.

1. Выявлены различные подходы к отысканию одномерной плотности распределения вероятностей суммы зависимых случайных величин и отмечена целесообразность использования того или иного подхода в зависимости от конкретного типа решаемых задач.

2. Показано, что решение задачи отыскания одномерной плотности распределения вероятностей суммы произвольного числа зависимых случайных величин со случайными зависимыми коэффициентами при зависимых множествах суммируемых случайных величин и коэффициентов обладает достаточной гибкостью и позволяет выбирать наименее трудоёмкий путь получения конечного результата, исходя из конкретных видов заданных совместных плотностей распределения вероятностей случайных величин и случайных коэффициентов.

3. Полученное решение задачи отыскания совместной плотности распределения вероятностей произвольного числа зависимых сумм с произвольным числом входящих в них зависимых случайных величин (в том числе с зависимыми случайными коэффициентами) является весьма общим и может быть использовано в самых различных областях при определении вероятностных характеристик различных функционалов.

4. Развитие методики применения интегрального преобразования Лапласа-Стилтьеса несколько расширяет область его использования и существенно упрощает решения задач при аналитических методах отыскания одномерной плотности распределения вероятностей суммы произвольного числа зависимых случайных величин.

5. Доказанное утверждение о коммутативности многократной свёртки и функционального преобразования переменных многомерной плотности распределения вероятностей вместе с разработанным методом прямого статистического анализа линейных динамических систем открывает широкие возможности для успешного использования (в том числе неоднократного) самых различных методов нелинейной обработки сигналов (каскадного соединения систем класса Гаммерштейна) с целью повышения качественных характеристик динамических систем в условиях действия различных (в том числе преднамеренных) помех и их совокупностей.

6. Предложенный метод описания линейных динамических систем в вероятностной области дал возможность разработать эффективный метод статистического анализа этих систем и может быть использован в качестве новой теоретической основы при решении различных задач в теории связи, измерительных систем, автоматического управления, радиолокации, статистической радиофизики и радиотехники и т.д.

7. Установленная связь корреляционных функций детерминированного сигнала и нестационарного случайного процесса, а также полученная ковариационная функция детерминированного сигнала являются определённым шагом к разработке общей корреляционной теории сигналов.

8. Разработанная методика отыскания совместной плотности распределения вероятностей случайных параметров линейной динамической системы является основой для отыскания многомерных плотностей распределения вероятностей мгновенных значений импульсных характеристик линейных динамических систем со случайными параметрами второго и более высокого порядков.

9. Полученная многомерная плотность распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики линейной динамической системы со случайными параметрами первого порядка и RC-интегратора со случайными гауссовскими параметрами, в частности, позволяют решить в полном объёме задачу статистического анализа этих линейных систем, а рассмотренные предельные случаи устанавливают связь полученных результатов с известными для линейных динамических систем с детерминированными параметрами и их корректность.

10. При воздействии на входы различных динамических систем произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений разработанным методом прямого статистического анализа линейных динамических систем решены задачи отыскания многомерных произвольной размерности плотностей распределения вероятностей случайного процесса на выходах

1) линейных динамических систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами

• в переходном режиме при нулевых начальных условиях;

• в переходном режиме при ненулевых начальных условиях;

• в установившемся режиме;

2) линейных непрерывных систем управления с постоянными и переменными детерминированными параметрами в переходном режиме при нулевых и ненулевых начальных условиях;

3) нелинейной системы класса Гаммерштейна в переходном режиме при нулевых начальных условиях выходной линейной динамической системы с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами ;

4) различных вариантов расширенной системы класса Гаммерштейна в переходном режиме при нулевых начальных условиях

• с широкополосной входной линейной динамической системой с постоянными и переменными детерминированными параметрами;

• с узкополосной входной линейной динамической системой с постоянными и переменными детерминированными параметрами;

• с гауссовскими амплитудно-частотными характеристиками узкополосной входной и выходной линейными динамическими системами с остоянными параметрами;

5) каскадных гаммерштейновских систем.

11. Разработанный и исследованный метод прямого статистического анализа динамических систем позволяет разрешить проблему статистического анализа этих систем в самом общем случае входных негауссовских случайных процессов и может быть использован для решения аналогичного класса и других конкретных задач в теории связи, измерительных систем, автоматического управления, радиолокации, статистической радиофизики и радиотехники и т.д.

Достоверность и обоснованность полученных результатов, научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, обеспечена

• применением классических методов теории вероятностей, операционного исчисления, вычислительной математики, теории функционального анализа и обобщённых функций, теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории автоматического управления и подтверждена

• использованием теоретически разработанных и апробированных методов;

• проверкой теоретических результатов практическими расчётами с помощью разработанных программных средств;

• соответствием результатов, полученных в диссертации, известным;

• результатами практического использования разработанных методов.

Реализация методов и предложений об их использовании.

Результаты диссертационной работы нашли применение:

• в научных исследованиях, проводимых Научно-исследовательским радиофизическим институтом (НИРФИ) Министерства образования Российской Федерации, в том числе при решении научных задач в рамках

- фундаментальной и поисковой научно-исследовательской работы "Шек", развёрнутой по плану важнейших работ института,

- Гранта РФФИ "Распространение тепла и теплового излучения в структурно неоднородных планетных реголитах" № 00-02-16053,

- научно-исследовательской работы N2 904 "Исследование процессов распространения тепла и радиолокационного сигнала в слоисто неоднородной среде верхнего покрова планет";

• в учебном процессе факультета информационных систем и технологий (ФИСТ) Нижегородского государственного технического университета (НГТУ) Министерства образования Российской Федерации в лекционных курсах "Теория электрической связи" и "Радиотехнические цепи и сигналы", в соответствующих практикумах, при выполнении курсовых и дипломных работ, а также в научной работе сотрудников и аспирантов.

Результаты внедрения подтверждены соответствующими документами.

Решение научной проблемы, соответствующей поставленной цели, включает в себя следующие положения, выносимые на защиту:

1. Решение задачи отыскания одномерной плотности распределения вероятностей суммы произвольного числа зависимых случайных величин со случайными зависимыми коэффициентами для зависимых множеств суммируемых случайных величин и коэффициентов, развитие для этих целей методики применения интегрального преобразования Лапласа-Стилтьеса в части использования "неполного изображения", а также решение на этой основе задачи отыскания совместной плотности распределения вероятностей произвольного числа зависимых сумм с произвольным числом входящих в них случайных величин со случайными зависимыми коэффициентами.

2. Доказательство свойства коммутативности многомерной свёртки и функционального преобразования переменных многомерной плотности распределения вероятностей.

3. Метод описания линейных динамических систем в вероятностной области с помощью многомерных плотностей распределения вероятностей мгновенных значений их импульсных характеристик и определение основных вероятностных характеристик линейных динамических систем с постоянными и переменными детерминированными параметрами, а также решение задачи отыскания многомерной, произвольной размерности, плотности распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики линейной динамической системы первого порядка со случайными параметрами и RC-интегратора со случайными гауссовскими параметрами.

4. Разработка высокоэффективного метода прямого статистического анализа линейных динамических систем, который позволяет разрешить тяжелейшую проблему статистического анализа как линейных динамических систем, так и нелинейных систем класса Гаммерштейна.

5. Решение методом прямого статистического анализа задач отыскания многомерных, произвольной размерности, и одномерных плотностей распределения вероятностей случайных процессов на выходах линейных динамических систем с детерминированными и случайными параметрами в переходном режиме их работы при нулевых и ненулевых начальных условиях и в установившемся режиме, а также на выходе линейной непрерывной системы управления с детерминированными параметрами в переходном режиме при нулевых и ненулевых начальных условиях при воздействии на их входы произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений.

6. Решение методом прямого статистического анализа задач отыскания многомерных, произвольной размерности, и одномерных плотностей распределения вероятностей случайных процессов на выходах различных вариантов нелинейных систем класса Гаммерштейна в переходном режиме при нулевых начальных условиях при действии на входы рассматриваемых систем произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений; рассмотрены следующие варианты нелинейных систем класса Гаммерштейна:

• система класса Гаммерштейна с детерминированными и случайными параметрами при действии на её входе двух произвольных случайных (в том числе негауссовских) процессов с заданными многомерными плотностями распределения вероятностей их мгновенных значений;

• расширенная система класса Гаммерштейна:

- с широкополосной входной линейной динамической системой с детерминированными параметрами;

- с узкополосной входной линейной динамической системой с детерминированными параметрами;

- с гауссовскими амплитудно-частотными характеристиками узкополосной входной и выходной линейными динамическими системами с постоянными параметрами;

7. Решение методом прямого статистического анализа задачи отыскания многомерной, произвольной размерности, плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе каскадных гаммерштейновских систем с детерминированными параметрами в переходном режиме при нулевых начальных условиях и действии на входе произвольного случайного ( в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей мгновенных значений.

8. Выводы и рекомендации диссертационной работы.

Краткое содержание работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы и шести приложений.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Есипенко, Валентин Иванович

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

1. Развита теория суммированимя зависимых случайных величин в части решения задачи отыскания одномерной плотности распределения вероятностей суммы произвольного числа зависимых случайных величин со случайными зависимыми коэффициентами для зависимых множеств суммируемых случайных величин и коэффициентов, развития для этих целей методики применения интегрального преобразования Лапласа-Стилтьеса в части использования "неполного изображения", а также решения на этой основе задачи отыскания совместной плотности распределения вероятностей произвольного числа зависимых сумм с произвольным числом входящих в них случайных величин со случайными зависимыми коэффициентами.

2. Доказано утверждение о коммутативности многократной свёртки и функционального преобразования переменных многомерной плотности распределения вероятностей, позволяющее выполнить многократные функциональные (в том числе нелинейные) преобразования переменных многомерной плотности распределения вероятностей и лишь на последнем этапе осуществить операцию многократной свёртки с целью отыскания плотности распределения вероятностей любой меньшей размерности.

3. Разработан метод описания линейных динамических систем в вероятностной области с помощью многомерных плотностей распределения вероятностей мгновенных значений их импульсных характеристик и определены основные вероятностные характеристики линейных динамических систем с постоянными и переменными детерминированными параметрами, а также решена задача отыскания многомерной, произвольной размерности, плотности распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики линейной динамической системы первого порядка со случайными параметрами и RC-интегратора со случайными гауссовскими параметрами.

4. Разработан метод прямого статистического анализа линейных динамических систем, который позволяет разрешить сложную проблему статистического анализа как линейных динамических систем, так и нелинейных систем класса Гаммерштейна.

5. Решены методом прямого статистического анализа задачи отыскания многомерных, произвольной размерности, и одномерных плотностей распределения вероятностей случайных процессов на выходах линейных динамических систем с детерминированными и случайными параметрами в переходном режиме их работы при нулевых и ненулевых начальных условиях и в установившемся режиме, а также на выходе линейной непрерывной системы управления с детерминированными параметрами в переходном режиме при нулевых и ненулевых начальных условиях при воздействии на их входы произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений.

6. Решены методом прямого статистического анализа задачи отыскания многомерных, произвольной размерности, и одномерных плотностей распределения вероятностей случайных процессов на выходах различных вариантов нелинейных систем класса Гаммерштейна в переходном режиме при нулевых начальных условиях при действии на входы рассматриваемых систем произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений; рассмотрены следующие варианты нелинейных систем класса Гаммерштейна:

• система класса Гаммерштейна с детерминированными и случайными параметрами при действии на её входе двух произвольных случайных (в том числе негауссовских) процессов с заданными многомерными плотностями распределения вероятностей их мгновенных значений;

• расширенная система класса Гаммерштейна:

- с широкополосной входной линейной динамической системой с детерминированными параметрами;

- с узкополосной входной линейной динамической системой с детерминированными параметрами;

- с гауссовскими амплитудно-частотными характеристиками узкополосной входной и выходной линейными динамическими системами с постоянными параметрами;

7. Решена методом прямого статистического анализа задача отыскания многомерной, произвольной размерности, плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе каскадных гаммерштейновских систем с детерминированными параметрами в переходном режиме при нулевых начальных условиях и действии на входе произвольного случайного ( в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей мгновенных значений.

8. Установлено, что полученные результаты согласуются с известными, позволяют выполнить более глубокую проработку известных задач статистического анализа непрерывных и дискретных самого различного назначения линейных и нелинейных систем с детерминированными и случайными параметрами (с отысканием многомерных и любой меньшей размерности плотностей распределения вероятностей случайных процессов на выходах этих систем), а также ставить и решать новые задачи статистического анализа систем и сред в самых различных областях науки и техники ( статистической радиотехники и радиофизики, радиолокации, связи, измерительных систем, автоматического управления и т.д.).

Результаты диссертационной работы, нашедшие отражение в многочисленных публикациях, свидетельствуют о больших возможностях предложенного и исследованного метода прямого статистического анализа линейных динамических и каскадных гаммерштейновских систем. Данный метод позволяет решить проблему статистического анализа этих систем, а полученные научные результаты рекомендованы для практического использования.

Результаты, полученные при выполнении научных исследований по теме диссертации, использованы в научных исследованиях, проводимых Научно-исследовательским радиофизическим институтом (НИРФИ) Министерства образования Российской Федерации, а также в учебном процессе Нижегородского государственного технического университета Министерства образования Российской Федерации, что отражено в актах внедрения результатов диссертационной работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе развита теория суммирования зависимых случайных величин, доказано утверждение о коммутативности многократной свёртки и функционального преобразования переменных многомерной плотности распределения вероятностей, а также разработан метод описания линейных динамических систем в вероятностной области с помощью многомерных плотностей распределения вероятностей мгновенных значений их импульсных характеристик и определены основные вероятностные характеристики линейных динамических систем с детерминированными параметрами. На этой созданной теоретической основе разработан метод прямого статистического анализа линейных динамических систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами, который свободен от недостатков известных методов статистического анализа линейных динамических систем. Предложенный и исследованный метод прямого статистического анализа линейных динамических систем даёт возможность сравнительно просто находить многомерные, произвольной размерности п, а также любой меньшей размерности (т<п), плотности распределения вероятностей случайных процессов на выходах непрерывных и дискретных линейных динамических систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами в переходном и в установившемся режимах, при нулевых и ненулевых начальных условиях при действии на их входах произвольных случайных (в том числе негауссовских) процессов с заданными многомерными плотностями распределения вероятностей их мгновенных значений. Данный метод вместе с доказанным утверждением о коммутативности многократной свёртки и функционального преобразования переменных многомерной плотности распределения вероятностей позволяет сравнительно просто непосредственно "пересчитывать" на выход как линейной динамической системы, так и различных вариантов отдельных или произвольной сложности каскадных нелинейных систем класса Гаммерштейна, многомерную плотность распределения вероятностей заданного случайного процесса, действующего на входе, и тем самым решает проблему статистического анализа этих систем.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Есипенко, Валентин Иванович, 2004 год

1. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - М.: Сов. радио, 1969.-т.1.-751 с.

2. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Сов. радио, 1966. - 678 с.

3. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. -624 с.

4. Кузнецов П.И., Стратонович Р.Л., Тихонов В.И. Прохождение некоторых случайных функций через линейные системы II Автоматика и телемеханика. 1953. - т.14, № 2. - С.144-163.

5. Кузнецов П.И., Стратонович Р.Л., Тихонов В.И. Квазимоментные функции в теории случайных процессов // Теория вероятностей и её применения. -1960. -т.5, №1. — С.84 —102.

6. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. М.: Сов.радио,1978. - 376 с.

7. Лукач Е. Характеристические функции. М.: Наука,1979. -424 с.

8. Heyde С.С. On a property of the lognormal distribution // J. Royal Stat. Soc., ser. B. -1963. № 25. - p.392-393.

9. Кузнецов П.И., Стратонович Р.Л., Тихонов В.И. Квазимоментные функции в теории случайных процессов II Доклады АН СССР. 1954. - т.94, №4. -С. 615-618.

10. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: ИЛ, 1948. - 632 с.

11. Кузнецов П.И., Стратонович Р.Л., Тихонов В.И. Некоторые задачи с условной вероятностью и квазимоментные функции. // Теория вероятностей и её применения. 1961. - т.6, №4. - С.458-464.

12. Дородное А.А. Аппроксимация некоторых классов мер комбинациями гауссовских // В кн.: Учёные записки Казанского университета / Казань. -1969. Вып.129, кн.4. - С.46-55.

13. Трахтман A.M. Письмо в редакцию // Радиотехника. 1971. - т.26, №9. -С. 17.

14. Дородное А.А. О представлении вероятностных процессов смесями гауссовских // В кн.: Приём и обработка информации в структурно-сложных системах / Изд.Казанского университета. -1972. Вып.З. - С. 139-143.

15. Чабдаров Ш.М. О полигауссовом приближении в задачах теории связи // В кн.: V конференция по теории кодирования и передачи информации, секция 1 теория информации / Москва - Горький. - 1972. - С. 106-111.

16. Чабдаров Ш.М., Трофимов А.Т. Полигауссовы представления произвольных помех и приём дискретных сигналов // Радиотехника и электроника. 1975. - т.20, №4. - С.734-745.

17. Дородное А.А., Чабдаров Ш.М. О полноте систем гауссовых функций и полигауссовых приближениях в радиотехнике // Радиотехника. 1975. -т.ЗО, №7. - С. 1-7.

18. Сафиуллин Н.З., Чабдаров Ш.М. О преобразовании негауссовских случайных процессов радиотехническими устройствами // Радиотехника. -1978. т.ЗЗ, №4. - С.91-95.

19. Кас М., Siegert A.J.F. On the theory of noise in radio reseivers with square low detectors //J. Appl. Phys. 1947. - v. 18, №4. - p.383-397.

20. Emerson R.C. First Probability Densities for Receivers with Square Law Detectors//J. Appl. Phys. 1953.- v.24, №9. - p.1168-1176.

21. Siegert A.J.F. Passage of Stationary Processes through Linear and Non-Linear Devices//IRE Trans, on Inform. Theory. 1954,- PGIT-3, March. - p.4-25.

22. Meyer M.A., Middleton D. On the Distribution of Signals and Noise after Rectification and Filtering//J. Appl. Phys. 1954.- v.25, №8. - p.1037-1054.

23. Rosenbloom A., Heilfron J., Trautman D.L. Analysis of Linear Systems with Randomly Varying Inputs and Parameters // IRE Conv. Record. 1955. - №4, Marth. - p.106-113.

24. Lampard D.G. The Probability Distribution for the filtered Output of a Multiplier whose Inputs are correlated, stationary, gaussian time-series // IRE Trans.on Inform. Theory. 1956,- v.lT-2, №1, March. - p.4-11.

25. Siegert A.J.F. Systematic Approach to a class of Problems in the Theory of Noise and other random phenomena. Part 2, Examples // IRE Trans, on Inform. Theory. 1957. - IT-3, №1, March. - p.38-42.

26. Slepian D. Fluctuations of random noise power // The Bell System Technical Journal. 1958, January. - p.163-184.

27. Давенпорт В.Б., Рут В.Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. -М.: ИЛ, 1960.- 468 с.

28. Г. Ван Трис. Теория обнаружения, оценок и модуляции. М.: Сов. радио, 1972.-т. 1. - 744 с.

29. Г. Ван Трис. Теория обнаружения, оценок и модуляции. М.: Сов. радио, 1975 -т.2. - 344 с.д 30. Г. Ван Трис. Теория обнаружения, оценок и модуляции. М.: Сов. радио,1977.-т.З. -662 с.

30. Darling D.A., Siegert A.J.F. A systematic approach to a class of problems in the theory of noise and other random phenomena. Part 1 // IRE Trans, on Inform. Theory. IT-3-1957. №1, March. - p.32-37.

31. Northrop G.M., Schultheiss P.M. On the response of linear systems to certain non-gaussian random inputs // IEEE Trans. 1964. - v.lT-10, №2. - p. 169 - 170.

32. Тихонов В.И., Миронов M.A. Марковские процессы. М.:Сов. радио,1977,-488 с.

33. Тихонов В.И. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986. - 296 с.

34. Т 35. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем сфлуктуирующими параметрами. М.: Наука, 1975. - 239 с.

35. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1980. - 336 с.

36. Бусленко Н.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испытаний (Монте-Карло) и его реализация в цифровых машинах. М.: ФМ, 1961. - 226 с.

37. Михайлов Г.А. Некоторые вопросы теории метода Монте-Карло. -Новосибирск: Наука, 1974. 142 с.

38. Пугачёв B.C. (ред). Основы автоматического управления.- М.:Наука,1974-720 с.

39. Пугачёв B.C., Казаков И.Е., Евланов J1.Г. Основы статистической теории автоматических систем. М.: Машиностроение, 1974. - 400 с.

40. Евланов Л.Г., Константинов В.М. Системы со случайными параметрами. -М.: Наука, 1976.-568 с.

41. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. Под ред. В.В. Солодовникова. М.: Машиностроение, кн.1, 1967, - 768 е.; кн.2, 1967, -680 е.; кн.З, 1969, ч.1,-607 е.; ч.2, -367 с.

42. Батенко А.П. Управление конечным состоянием движущихся объектов. М.: Сов. радио, 1977.-256 с.

43. Михайлов Ф.А., Теряев Е.Д., Булеков В.П. и др. Динамика непрерывных линейных систем с детерминированными и случайными параметрами. М.: Наука, 1971.-564 с.

44. Солодов А.В. Линейные системы автоматического управления с переменными параметрами. М.: ФМ, 1962. - 324 с.

45. Солодов А.В., Петров Ф.С. Линейные автоматические системы с переменными параметрами. М.: Наука, 1971. - 620 с.

46. Д'Анжело Г. Линейные системы с переменными параметрами. М.: Машиностроение, 1974. - 288 с.

47. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. -М.: Мир, 1971.-400 с.

48. Орурк И.А. Новые методы синтеза линейных и некоторых нелинейных динамических систем. М - Л., Наука, 1965. - 208 с.

49. Голубенцев А.Н. Интегральные методы в динамике Киев:Техника, 1967. -350 с.

50. Брикман М.С., Кристинков Д.С. Метод определения импульсной переходной функции линейных динамических систем с переменными параметрами // В кн.: Методы и средства технической кибернетики / Рига, 1970. вып.7. - С. 60-69.

51. Брикман М.С., Кристинков Д.С. Методы анализа и идентификации линейных динамических систем с переменными параметрами // В кн.: Методы и модели управления / Рига, 1971. Вып.1. - С.40-54.

52. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. - 352 с.

53. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Успехи математических наук. 1977. - т.32, вып.2.-С.173-202.

54. Брикман М.С. Интегральные модели в современной теории управления. -Рига: Зинатне, 1979.-224 с.

55. Современная теория систем управления. Под ред. К.Т. Леондеса. М.: Наука, 1970.-512 с.

56. Заде Л.А., Дезоэр Ч.А. Теория линейных цепей. М.: Наука, 1970. - 703 с.

57. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.-544 с.

58. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления М.:Мир,1973. -324 с.

59. Крылов В.В., Херманис Э.Х. Модели систем обработки сигналов. Рига: Зинатне, 1981.-212 с.

60. Андриянов А.В., Шпак И.И. Цифровая обработка информации в измерительных приборах и системах. Минск: Вышэйшая школа, 1987. -176 с.

61. ЗабрейкоП.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. и др. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. - 448 с.

62. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М.: ИЛ, 1960. - 299 с.

63. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1975. - 304 с.

64. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехтеоретиздат, 1956. - 392 с.

65. Верлань А.Ф., Ефимов И.А. Комбинированный метод аппроксимации ядер интегральных уравнений //Точность и надёжность кибернетических систем / Киев, 1974. Вып.2. - С.68-74.

66. Канторович Л.В., Акимов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. -744 с.

67. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. М.: Сов. радио, 1961. - т. 1. - 782 е.; - 1962. - т.2. - 832 с.

68. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. М.: Наука, 1971. - т.2. - 664 с.

69. Маккин Г. Стохастические интегралы. М.: Мир, 1972. - 184 с.

70. Золотарев В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. М.: Наука, 1986. - 416 с.

71. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965. - 524 с.

72. Алехин В.А., Евдокимов Ю.Ф. Вычисление интеграла свертки // Изв. Вузов.- Радиоэлектроника. 1973. - т.16, №7. - С.112.

73. Фортес В.Б. Вычисление интеграла свертки // Изв. Вузов. -Радиоэлектроника. 1974. -т.17, №7. - С.128.

74. Козлов И.А., Серебряков В.П. Вычисление интеграла свертки // Изв. Вузов.- Радиоэлектроника. 1979. - т.22, №3. - С.76-78.

75. Лёвшин В.П., Симонов А.И. Модификация полиномиального метода вычисления свёртки сигналов // Радиотехника и электроника. 1986. - т.31, № 9. - С.1757-1764.

76. Рамачандран Б. Теория характеристических функций. М.:Наука, 1975. -224 с.

77. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. М.: Мир, 1967.-т.2-752 с.

78. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / Под ред. B.C. Королюка . Киев: Наукова думка, 1978. - 582 с.

79. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. - 448 с.

80. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Высш. шк., 1966.-466 с.

81. Есипенко В.И., Щуко О.Б. Одномерная плотность распределения вероятности суммы случайных величин // Препринт № 345. Нижний Новгород: НИРФИ. - 1992. - 14 с.

82. Есипенко В.И., Щуко О.Б. Плотность распределения вероятностей суммы случайных величин // Системы обработки информации и управления: Межвузовский сборник научн. трудов. Нижний Новгород: НГТУ. - 2001. -Вып.8 — С.78 - 84.

83. Есипенко В.И., Щуко О.Б. К вопросу применения интегрального преобразования Лапласа в теории вероятностей // Препринт № 346. -Нижний Новгород: НИРФИ. 1992. - 18 с.

84. Тихонов В.И. Марковский характер огибающей квазигармонических флуктуаций // Радиотехника и электроника. 1979. - т.6, №7. - С.1082-1091.

85. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. М.: Наука, 1969. -т.1. - 343 с.

86. Есипенко В.И., Щуко О.Б. Одномерная плотность распределения вероятности суммы случайных величин со случайно изменяющимися коэффициентами // Препринт №364. Нижний Новгород : НИРФИ. - 1993. -Юс.

87. Есипенко В.И., Щуко О.Б. Плотность распределения вероятности суммы случайных величин со случайными коэффициентами // Изв.ВУЗов Радиофизика. 1995. - т.38, №6. - С.589-595.

88. Есипенко В.И., Щуко О.Б. Совместная плотность распределения вероятности сумм случайных величин // Препринт №390. Нижний Новгород: НИРФИ. - 1994. - 17 с.

89. Микусинский Я., Сикорский Р. Элементарная теория обобщённых функций. -М.: ИЛ, 1959.-78 с.

90. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщённые функции и действия над ними. -М.: ФМ, 1959.-470 с.

91. Есипенко В.И. Плотность распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной системы // Изв. ВУЗов Радиофизика. 1999. - т.42, № 3. - С.287-300.

92. Есипенко В.И. Многомерная плотность распределения вероятностей вынужденного движения линейной системы в установившемся режиме // Электросвязь. 2000. - №1. - С.9-10 (Статья депонирована в ЦНТИ "Информсвязь", № 2156-св 99. - 10 е.).

93. Хиршман И.И., Уиддер Д.В. Преобразования типа свёртки. М.:ИЛ,1958. -312 с.

94. Есипенко В.И., Щуко О.Б., Щуко С.Д. Коммутативность свёртки и функционального преобразования переменных плотности распределения вероятностей // Препринт № 365. Нижний Новгород: НИРФИ. - 1993. - 13 с.

95. Есипенко В.И., Щуко О.Б., Щуко С.Д. Свойство коммутативности свёртки и функционального преобразования переменных плотности распределения вероятности // Радиотехника и электроника. 1995. - т.40, № 4. - С.598 -603.

96. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968. - 660 с.

97. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Сов. радио, 1971.-671 с.

98. Акинфиев Н.Н., Жарова С.С. Фильтры нижних частот с монотонными импульсными характеристиками // Радиотехника. 1977. - т.32, № 3. -С.35-41.

99. Оппенгейм А.В., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов. М.: Связь, 1979.-416 с.

100. Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. -М.: Высш.шк., 1982. Г10 с.

101. Лем Г. Аналоговые и цифровые фильтры. -М.: Мир, 1982. 592 с.

102. Брунченко А.В. Бутыльский Ю.Т., Гольденберг Л.М. и др. Цифровые фильтры в электросвязи и радиотехнике. М.: Радио и связь, 1982. - 223 с.

103. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1990. - 256 с.

104. Есипенко В.И. Вероятностные характеристики линейных систем и "прямой" метод их статистического анализа // Тезисы докладов Шестой Всероссийской научно-технической конференции "Радиоприём и обработка сигналов". Нижний Новгород. - 1993. - С. 17-18.

105. Есипенко В.И. Вероятностные характеристики и метод прямого статистического анализа линейных систем в переходном режиме // Препринт № 410. Нижний Новгород: НИРФИ. - 1995. - 28 с.

106. Есипенко В.И. Вероятностные характеристики линейных систем и метод прямого статистического анализа этих систем в переходном режиме // Изв.

107. ВУЗов РФ Электромеханика. 1999. - № 2. - С.83. (Статья депонирована в ВИНИТИ 25.05.99, № 1659 - В99. - 25 е.).

108. Лившиц Н.А., Пугачёв В.Н. Вероятностный анализ систем автоматического управления. М.: Сов. радио, 1963. -т.1. - 886 с.

109. Харкевич А.А. Спектры и анализ. М.: ФМ, 1962.-236 с.

110. Есипенко В.И. Ковариационная функция детерминированного сигнала // Системы обработки информации и управления: Межвузовский сборник научн. трудов. Нижний Новгород: НГТУ. -2001. - Вып.7. - С. 13-15.

111. Амиантов И.Н. Избранные вопросы статистической теории связи. М.: Сов. радио, 1971.-416 с.

112. Есипенко В.И. Многомерная плотность распределения вероятности мгновенных значений импульсной характеристики линейной системы первого порядка со случайными параметрами // Препринт № 391. Нижний Новгород, НИРФИ. - 1994. - 20 с.

113. Есипенко В.П., Щуко С.Д. Многомерная плотность распределения вероятности мгновенных значений импульсной характеристики RC-интегратора со случайными гауссовскими параметрами // Препринт № 392. Нижний Новгород, НИРФИ. - 1994. - 23 с.

114. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. М.: Наука, 1965.-616 с.

115. Есипенко В.И. Прямой статистический анализ линейных систем // Тезисы докладов 3-й Всероссийской научно-технической конференции с международным участием "Теория цепей и сигналов". Новочеркасск. -1996.-С.32.

116. Hoffman W.C. The jont distribution of n successive outputs of a linear detector // J. Appl. Phys. 1954. - v.25, № 8. - p.1006-1007.

117. Тюльпанов С.К. «-мерная Рэлеевская функция распределения огибающей смеси детерминированного сигнала и нормального шума // Радиотехника. -1966.-т.21, №11. С.63-66.

118. Светлов В.Г. О некоторых представлениях многомерной плотности вероятности огибающей нормального случайного процесса с нулевым средним // Радиотехника и электроника. 1966. - т.11, №12. - С.2119-2127.

119. Заездный A.M. Основы расчетов по статистической радиотехнике. М.: Связь, 1969.-448 с.

120. Есипенко В.И. Многомерная и одномерная плотности распределения вероятности случайного процесса на выходе линейной системы со случайными параметрами в переходном режиме // Препринт № 411. -Нижний Новгород: НИРФИ. 1995. - 15 с.

121. Есипенко В.И. Многомерная плотность распределения вероятности суммы собственного и вынужденного движений линейной системы // Изв. ВУЗов РФ Электромеханика. 1999. - №2. - С. 16-18.

122. Есипенко В.И. Многомерная плотность распределения вероятности случайного процесса на выходе линейной системы в установившемся режиме // Препринт № 412. Нижний Новгород, НИРФИ. - 1995. - 14 с.

123. Бородин B.C. Приближённый расчёт функции распределения нормального процесса на выходе типового радиотехнического звена // Радиотехника. -1961. —т.16, № 2. — С.3-8.

124. Гуткин Л.С., Лебедев В.Л., Сифоров В.И. Радиоприёмные устройства, ч.1. -М.: Сов. радио, 1961.-703 с.

125. Амиантов И.Н. Антонов-Антипов Ю.Н., Васильев В.П. и др. Радиоприёмные устройства / Под ред. В.И.Сифорова. М.: Сов. радио, 1974.-560 с.

126. Есипенко В.И. Демодулятор частотно-манипулированных сигналов с расщепдёнными значениями частот // А.С. № 614548 (СССР). Б.И. -1978, № 25.-С. 212.

127. Есипенко В.И., Родионов Я.Г. Демодулятор частотно-манипулированных сигналов //А.С. № 985969 (СССР). Б.И., 1982, № 48.

128. Есипенко В.И. Снижение искажающего влияния преобладающих модулирующих помех // Радиотехника. 1978, т.ЗЗ, № 5. - С. 82 - 85.

129. Есипенко В.И. Снижение влияния модулирующих помех // Радиотехника. -1990, № 2. С.54-57.

130. Агрба Д.Ш., Есипенко В.И. Вероятность ошибки при приёме сигнала, искажённого мультипликативной помехой // Радиотехника. 1992, № 3. -С.50- 52 (Статья депонирована в ЦНТИ "Информсвязь", № 1820 - св.91. -29 е.).

131. Есипенко В.И., Родионов Я.Г. Метод подавления межсимвольных помех в цифровых системах передачи информации // Тезисы докладов 6-й Всероссийской научно-технической конференции "Радиоприём и обработка сигналов". Нижний Новгород. - 1993. - С.8-9.

132. Есипенко В.И., Родионов Я.Г. Подавление межсимвольных помех в цифровых системах передачи информации // Электросвязь. 1997. - №2. - С.35-37.

133. Агрба Д.Ш., Есипенко В.И. Коэффициент и интервал корреляции случайного процесса на выходе амплитудного детектора произвольной степени // Радиотехника. 1991, №8. - С.39-40 (Статья депонирована в ЦНТИ "Информсвязь", № 1760 - св.91. - 20 е.).

134. Лабутин В.К., Павловский В.В. О возможности низкочастотной дискретизации узкополосных сигналов // Техника средств связи. Серия "Общетехническая". 1977. - Вып.4(8). - С.15-22.

135. Солонников В.А. К расчёту частоты дискретизации при цифровой фильтрации полосовых сигналов // Техника средств связи. Серия "Общетехническая". 1987. - Вып.1. - С.57-60.

136. Доказательство возможности уменьшения интервала интегрирования до величины A/ef.max

137. П. 1.1), в которые входят эти значения +hrk , обращаются в дельта-функции, т.е. (П.1.1) принимает вид5(jc1)-5(jc2)"-6(jrJ,I)x~ 4 . хт+1 хт+2 xil ~ ~ — ~ хп+т-\ t fr,m+1 *"r.m+2 *'!r,n+m1. П.1.2)

138. Прямой статистический анализ гауссовского фильтра нижних частот с переменными детерминированными параметрами в переходном режиме при нулевых начальных условиях и входных случайных воздействиях с плотностями распределения вероятностей1. Рэлея и Райса

139. В 124. для случая, когда в составе узкополосного случайного процесса отсутствует гармоническое колебание, выражение для многомерной плотности распределения вероятностей Рэлея получено в более удобном виде.

140. Ниже использовано выражение (П.2.1), так как оно является более общим.

141. А/ = (Л- - /„), fj = /„ + j • Af, j = 0,1.1. П.2.4)

142. W\ (ХП U0,t) * IV, (xn ;/0,0 = IV. (xn;t0,t)„ =

143. Wn(xi,x2,.,x„;/0,/l,/2,.,/„) = 1x J -- J ехро о1. П * hr„; j=\ а7.1 пехр2cr"7 = 1S17.1 /7-^SI/'iH.2x1. ZI Pjk j=\k>j1. Xj -Xj{)(xk1. O"" /' = U = Ix^i de2.dOn,7 /71. П.2.10) где i0 = 0.

144. Выражение (П.2.10) путём интегрирования по "лишним" переменным в соответствии с условием согласованности 1 3. позволяет найти оценку W\{x\\tQ,tk)n искомой одномерной плотности распределения вероятностей

145. W^xiV,tQ,tk) случайного процесса xn(t0,tk) на выходе рассматриваемого

146. ФНЧ в любой из моментов наблюдения tk из /|./„ интервала (/ — /0).

147. Так, из (П.2.10) для / = /„ будем иметьоо 00\Wn(xb.,xnUo,t.,-Jl7)dx\dx2-llXn-\ (П.2.11)1. О О

148. Прямой статистический анализ гауссовского фильтра нижних частот с постоянными параметрами в переходном режиме при нулевых начальных условиях и входных случайных воздействиях с плотностями распределения вероятностей Рэлея и Райса

149. Импульсная характеристика рассматриваемого фильтра определяется выражением 1.1. VO = |Uxp1. П.3.1)2Д2где /?2 = —7=^-, А2 полоса пропускания ФНЧ. Ыя

150. Как и в Приложении 2, эффективная длительность Atcf импульсной характеристики определим выражением1. Ate/ = At*2=^~. (П.3.2)1. А2

151. При принятом условии независимости параметров фильтра от входного случайного процесса u(t) совместная плотность распределения вероятностей величин u\,.,un,*hsx+,.,+hsn* имеет аналогичный (4.50) вид

152. W2n(u\>->un>*hg\*,—,*hgn*'-'l\Tl2T->tn) =0,/ь. .,/„), (П.3.4)где W*(u\,u2,.,un-,t\-,t2,:;tn) определяется выражением (П.2.1), а qnbhgX^-^bgnS'toAr-'tn) ~ выражением (4.49).

153. Wn(X\*,X2*i—,Xn*\t\,t2,.;tn) =1.1w: