Метод каскадной декомпозиции решения задач для псевдорегулярных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Зубова, Светлана Петровна

• Зубова, Светлана Петровна
• доктор физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Зубова, Светлана Петровна

Оглавление

Основные обозначения

Введение

1 Исследование свойств решений дескрипторных уравнений в

банаховом пространстве

1.1 Определение и некоторые свойства нётеровых операторов

1.2 Исследование нестационарных дескрипторных уравнений

1.2.1 Построение фазового пространства нестационарного дескрипторного уравнения. Условия согласования. Решение задачи Коши

1.2.2 О связи единственности решения задачи Коши и псевдорегулярности пары в частном случае

1.3 Исследование стационарных дескрипторных уравнений

1.3.1 Условия согласования. Решение задачи Коши. Фазовое пространство дескрипторного уравнения с постоянными коэффициентами

1.3.2 О связи псевдорегулярности пары (А, В) и единственности решения задачи Коши

1.3.3 О связи полноты жорданова набора и единственности решения задачи Коши

1.4 О связи единственности решения задачи Коши, псевдорегулярности пары (А^), В(1;)) и полноты В(1;)~ жорданова набора для А(1;)

1.5 Свойства фазового пространства дескрипторного

стационарного однородного уравнения

1.5.1 Построение оператора Ад

1.5.2 Подпространства, инвариантные относительно оператора Ад

1.5.3 Решение начальной задачи в инвариантных подпространствах

1.6 Решение задачи Коши для дифференциального уравнения с

нётеровым оператором под знаком производной

1.6.1 Решение начальной задачи

1.6.2 Сравнение решений двух задач

Исследование чувствительности линейных стационарных

дескрипторных уравнений в банаховом пространстве

2.1 Сингулярно возмущенные уравнения. Функции погранслоя

2.1.1 Определение функции погранслоя

2.1.2 Критерий принадлежности функции классу функций погранслоя

2.2 Исследование задачи Коши для уравнения с возмущённым

фредгольмовым оператором при производной

2.2.1 Решение допредельной задачи

2.2.2 Исследование обратимости возмущённого операторного пучка

2.2.3 Связь между единственностью решения задачи Коши для возмущённого уравнения и длинами жордановых цепочек

2.2.4 Свойства оператора Аєд

2.2.5 Решение задачи Коши для допредельного уравнения в инвариантных подпространствах

2.2.6 Исследование предельного уравнения

2.3 Исследование поведения решения возмущённой системы при

стремлении параметра к нулю

2.3.1 Диаграмма Ньютона

2.3.2 О робастности динамической системы относительно возмущений єС

2.3.3 Структура фазового пространства возмущённой системы

2.3.4 Построение асимптотического разложения решения возмущённой системы

2.3.5 Исследование поведения решения допредельного уравнения при стремлении параметра к нулю

2.3.6 О робастности дескрипторной динамической системы

3 Метод каскадной декомпозиции в обратных задачах динамики систем

3.1 Редукция динамической системы

3.1.1 Главный шаг редукции исходной системы

3.1.2 Итерирование главного шага редукции для системы

3.1.3 Редукция обратной задачи с контрольными точками

3.2 Решение обратной задачи с контрольными точками для линейной динамической системы

3.2.1 Построение псевдосостояния и псевдоуправления последнего шага расщепления

3.2.2 Построение функций состояния и управления для исходной задачи. Каскадный критерий полной управляемости динамической системы с контрольными точками

3.3 Об эквивалентности рангового и каскадного критериев п. управляемости

3.4 Решение обратной задачи с контрольными точками для неоднородной системы

3.5 Алгоритм решения практических задач каскадным методом

3.6 Случай нелинейной динамической системы

4 Исследование разрешимости обратных задач для дескрипторных линейных стационарных динамических систем

4.1 Об одной обратной задаче

4.2 Обобщение критерия полной управляемости регулярной системы на случай псевдорегулярной системы

4.2.1 Случай выполнения одного рангового условия

4.2.2 Критерий п. управляемости дескрипторной нерегулярной однородной системы

4.3 Критерий п. управляемости

псевдорегулярной неоднородной системы

4.4 Критерий п. управляемости по выходу стационарной дескрипторной системы

5 Решение обратных задач для линейных динамических

систем

5.1 Решение задач для нестационарных систем

5.1.1 Решение задачи экспоненциальной стабилизации программного движения с контрольными точками

5.1.2 Решение задачи инвариантности состояния системы относительно некоторых возмущений

5.1.3 Управление стационарными состояниями

5.1.4 Решение задач с контролем за движением и управлением системы в заданные моменты времени

5.2 Решение задач для стационарных систем

5.2.1 Определение "свободных" компонент вектора состояний системы

5.2.2 Построение управления, генерирующего явление погранслоя в сингулярно возмущенной задаче

5.3 О решении обратных задач для псевдорегулярных динамических систем

5.4 Метод неопределённых коэффициентов решения обратных

задач для стационарных динамических систем

5.4.1 Полиномиальное решение обратной задачи с условиями

на состояние и управление в контрольных точках

5.4.2 Дробно-рациональное решение обратной задачи с контрольными точками

5.4.3 Экспоненциально-полиномиальное решение обратной задачи для неоднородного уравнения

Заключение

Литература

Основные обозначения

* — знак сопряжения;

V — любой, всякий, каждый;

3 — существует, найдётся;

$ — не существует;

deg — показатель степени;

= des = — "обозначим";

X у — замена х на у\

N — множество натуральных чисел;

No = N U {0};

Кп — евклидово пространство размерности щ R+ = (0,+oo);

С — пространство комплексных чисел;

dim — размерность;

rank А — ранг матрицы А;

А : Е\ —> Е2 — оператор А действует из пространства Е\ в пространство

dom A, D(A) — область определения оператора А; domА — замыкание dorn А; Ker А — ядро оператора А\ Im А — образ оператора А;

Coker А = {у Є Е2 : І X Є Ах = у] — дефектное множество для А, коядро А;

Coim А — кообраз оператора А;

£е(А) = dim Кег А - dim Coker А — индекс оператора А;

/ — единичный оператор в соответствующем пространстве; --символ прямой суммы пространств;

L(E\, Е2) — пространство линейных ограниченных операторов, действующих из Ei в Eï,

lin (i>i, г>2,..., vr) — линейная оболочка элементов vi, V2,vr;

U+(0) = (0,ô), ô> 0;

U(0) — окрестность в С точки 0;

U(0) — окрестность в С точки 0 без точки 0;

ÙxM = {А 6 С : 0 < |Л| < |А*|};

% — промежуток изменения скаляра £;

—> Е) — пространство непрерывных по t отображений F(t), действующих из X в Е, с равномерной нормой ||:F||c =

sup||F(£)IU;

iST

Ск{T —>■ Е) — пространство отображений F(t) таких, что

v(t,e) = 0{е) — бесконечно малая вектор-функция v(t,e) : % х (0, ео) Е2 с оценкой ||u(i, e)\\E:i < с • е, £ О, Vi е Т;

=4 — стремится равномерно;

£•) = о(е) — бесконечно малая более высокого порядка, чем е (е —> 0) вектор-функция v(t,e) : % X (0, £о) со свойством

l|p(t-g)ll*=to,tes.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод каскадной декомпозиции решения задач для псевдорегулярных уравнений»

Введение

В настоящей работе разрабатывается и применяется для решения различных задач метод каскадной декомпозиции уравнений на уравнения в подпространствах с целью перехода от исходной задачи к аналогичным задачам в подпространствах уменьшающихся размерностей.

В основу предлагаемого метода (для краткости: каскадный метод) положены следующие свойства линейного замкнутого плотно определённого нётерова оператора А, действующего из Е\ в Е2 {Е\, Е2 — банаховы пространства):

Ei = CoimA+KerA, Е2 = 1тЛ+СокегД (1)

где Coker А (коядро) — дефектное подпространство, Coim А (кообраз) — прямое дополнение к ядру Ker А в Е\, dim Ker А < со, dim Coker А < оо , и существует полуобратный ограниченный оператор А~ : Im А —> Coim А [4].

Эти свойства применяются для расщепления уравнения вида Av = w на уравнения в подпространствах Im А и Coker А.

Схожие расщепления пространств применяли М.И. Вишик и JI.A. Люстерник [21], М.М Вайнберг и В.А. Треногин [15] при построении собственных значений и векторов возмущенной матрицы; В.А. Уткин [171] при иследовании наблюдаемости стационарной системы; С.А. Краснова и В.А. Уткин [112] при построении функции состояния стационарной системы наблюдения; Ю.Е. Бояринцев [9], S. Campbell [199] для исследования дескрипторного 1 уравнения в конечномерных пространствах, С.Г. Крейн, В.Ф. Чистяков, А.А. Щеглова [188], [189] при исследовании дескрипторных уравнений в банаховых пространствах; A. Ailon [197], S. Campbell [199], V. Lovass-Nagy [219] для исследования конечномерных систем управления. При этом одни авторы ограничились одним этапом расщепления пространств

1Дескрипторным уравнением называют дифференциальное уравнение с необратимым оператором при производной от искомой функции по выделенной переменной.

(М.И. Вишик и JI.A. Люстерник, М.М Вайнберг и В.А. Треногин, С.Г. Крейн, V. Lovass-Nagy); у других авторов получение уравнений в подпространствах затруднительно (С.А. Краснова , В.А. Уткин, Ф.Р. Гантмахер, S. Campbell, В.Ф. Чистяков, A.A. Щеглова).

Предлагаемый каскадный метод вначале был разработан 2 для решения задачи Коши для уравнения

A^ = Bx(t) + f(t), (2)

t G X = [О, Т], В G L(Ei, Е2), в случае, когда Ег — оператор А — линейный замкнутый плотно определённый в Е\, имеющий число О нормальным собственным числом и dim Ker А — 1.

Под решением задачи Коши понимается дифференцируемая вектор-функция x(t), удовлетворяющая уравнению (2) при t G Т и заданному начальному условию

х(0) = х°€В1. (3)

Полученные в этом случае результаты были затем обобщены в работе [76] каскадным же методом на случай фредгольмовского оператора А с dim Ker А = dim Coker А ^ I3, и далее на случай постоянного нётерова А (ае(А) = dim Ker A- dim Coker Аф 0) [67].

Применение этого метода позволило получить результаты в случае, когда применение других методов ( преобразования Фурье-Лапласа, обобщённых проекторов Рисса) невозможно в силу необратимости операторного пучка А — А В быть может ни при каких A G С (нерегулярный случай).

Некоторые идеи каскадного метода были затем использованы в работе Е.И. Раецкой [153] для исследования системы управления

x(t) = Bx(t).+Du(t), (4)

В G Ь(Шп,Шп), D G Ь(Шт, Rn), с условиями ж(0) = х0, х(Т) = хт. Однако достаточно сложная поэтапная работа с краевыми условиями привела

2Зубова С.П. "Сингулярное возмущение линейных дифференциальных уравнений, неразрешённых относительно производной". — Автореферат канд. диссерт., Воронеж. — 1973.

3Результаты приведены в Математической энциклопедии 3. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985 г. — с. 332.

к построению u(t) и x(t) в виде, недостаточно удобном для дальнейших исследований.

В настоящей работе каскадный метод разработан

— для решения задачи Коши для нестационарного уравнения (2) с линейными замкнутыми плотно определёнными на общем множестве в Е\, вообще говоря, неограниченными операторами A(t), B(t)\ нётеровым при каждом t G % оператором A(t) и некоторым f(t) G Е2;

— для исследования действий возмущений еС , eG коэффициентов А, В в задачах Коши для уравнений

(А-еС)Щ^ = ВХ(1,Е), (5)

аЩ= (В + с(е)А + eG)x(t, е), (6)

at

£ G (0, £Го), С, G:Ei —> Е2, с(е) = 0, = 1,= е и для других возмущённых уравнений;

— для решения обратных задач для конечномерных систем

x{t) = B(t)x(t) + D(t)u(t) + /(t), % = [¿0, h], (7)

E±(t) = Bx(t) + Du(t), (8)

Ax{t) = Bx{t) + Du{t) + f(t) (9)

с заданной входной вектор-функцией f(t) и условием x(t) G 9JÎ(x), где 9Я(х) — многообразие вектор-функций x(t), обладающих заданными свойствами.

Уравнением (2) описывается динамика и термоконвенкция несжимаемой вязкоупругой жидкости, фильтрационные процессы ( уравнение Буссинеска), межотраслевой баланс (уравнение Леонтьева), динамика манипуляционных роботов, гироскопических систем и др.

К дескрипторным уравнениям с частными производными относятся системы, исследовавшиеся выдающимся французским математиком А. Пуанкаре (1854-1912). К систематическому изучению таких уравнений привели фундаментальные работы акад. C.JI. Соболева (1908-1989), его последователи составляют в настоящее время новосибирскую

математическую школу (И.В. Кожанов, С.Г. Пятков, Г. В. Демиденко, C.B. Успенский и др.). Дескрипторные уравнения в частных производных традиционно называют уравнениями соболевского типа.

Проблема исследования уравнения (2) была поставлена в пятидесятых годах прошлого века на семинаре проф. Л.А. Люстерника в МГУ. В результате проф. В.А. Треногиным было разработано одно из направлений исследования разветвляющихся решений линейных и нелинейных уравнений с параметром, связанное со свойством конечности длин В-жордановых цепочек для А (метод Пуанкаре-Шмидта). В случае конечномерного уравнения значительные результаты были получены Ф.Р. Гантмахером (1967). В семидесятых-восьмидесятых годах прошлого века наибольшая активность в исследовании задачи Коши для уравнения (2) проявлялась в воронежской математической школе под руководством проф С.Г. Крейна. В дальнейшем это направление исследований было продолжено в работах Г.А. Свиридюка, В.Е. Фёдорова и их учеников (челябинская математическая школа), в работах воронежцев А.Г. Баскакова, К.И. Чернышова и автора. В настоящее время в исследованиях задач для дескрипторных уравнений выделяются также иркутская математическая школа ( Ю.Е. Бояринцев, H.A. Сидоров, A.A. Щеглова, В.Ф. Чистяков, М.В. Фалалеев и их ученики) и екатеринбургская (И.В. Мельникова и её ученики). За рубежом активные исследования ведут A. Favini, A. Yagi, S. Campbell, Р. Kunkel, V. Mehrman, R. März, P.Chen, K.J. Engel, R. Nagel и многие другие авторы. Обзор работ с исследованием дескрипторного уравнения в конечномерном случае содержится в монографии В.Ф. Чистякова, A.A. Щегловой [189], обзор зарубежных публикаций — в монографии Р. Kunkel, V. Mehrmann [215]. Значительные библиографии по исследованиям задачи Коши для уравнения (2) содержатся в работах [208], [6].

Отметим, при исследовании уравнения (2) в конечномерных и банаховых пространствах практически все авторы рассматривали случай регулярного операторного пучка А — А В (случай регулярной пары (Д jВ), регулярной системы (2)), то есть случай существования оператора (А — АВ)~1 для Л € U(0), или случай существования этого оператора для Л из некоторого сектора

комплексной плоскости, или случай полноты £?-жорданова набора для оператора А. В нерегулярном случае, или в случае наличия бесконечных В-жордановых цепочек для А авторы отмечают лишь существование решения не при любых значениях х° £ Е\ и возможную неединственность решения (Ф.Р. Гантмахер, Н.А. Сидоров, Ю.Е Бояринцев, М.В. Фалалеев, S. Campbell

и др.).

Если А — нётеров оператор с ненулевым индексом, оператор А — ХВ необратим при А € U(0) [178], или даже ни при каких значениях А € С. Например, в очень важном для приложений случае Е\ = Мп, Е2 = п ф т, то есть операторов А, В с прямоугольными матрицами. Возникает актуальная задача выявления полных условий существования и единственности решения задачи Коши для случая нётерова при каждом t £ % оператора A{t), а также перехода от дескрипторного уравнения к уравнению, разрешённому относительно производной; и предлагаемый каскадный метод даёт возможность решения этих задач с привлечением свойства псевдорегулярности операторного пучка А — А В.

Пучок А — А В называем псевдорегулярным, если он инъективен при А Е U(0) (пара (А, В) псевдорегулярная, соответствующее уравнение псевдорегулярное).

Известна роль оператора А\ = {А — АВ)~1А для исследования разрешимости задачи Коши и исследования свойств решения стационарного однородного уравнения (2), если пучок А — ХВ регулярен. Свойство оператора А\ иметь число 0 нормальным собственным числом было выявлено в работе 2 (1973), и обобщено на случай фредгольмовского А в работе [76] (1976). Аналогичные результаты получены в работах Г. А. Свиридюка, В.Е. Фёдорова (1994—2000), А.Г. Баскакова, К.И. Чернышова (2000, 2002) для регулярной пары (А, В) и для секториального оператора Л. Установлено, что в корневом подпространстве N оператора А\ стационарное однородное уравнение (2) может иметь лишь нулевое решение, все решения задачи Коши лежат в некотором подпространстве М.

Каскадный метод даёт возможность построения подпространств М и N

для оператора А\, введённого следующим образом:

[Ахх = у)+± (Ах = (А - ЛВ)у), х, у е Ei, и получения аналогичных свойств решения задачи Коши.

Каскадный метод весьма эффективен при исследовании поведения при £ —У 0 решений x(t,e) уравнений (5), (6) с условиями х(0, е) = ж0 + 0(е). Системами вида (5), (8), описывается процесс обтекания затупленного тела сверхзвуковым потокам вязкого газа (A.A. Марчук, JI.A. Чудов), поведение тонких и гибких пластин и оболочек (JI.C. Срубщик, В.Н. Юдович), движение тверного тела с полостями, содержащими вязкую жидкость (H.H. Моисеев, Ф.Л. Черноусько) и др.

Теорию сингулярно возмущённых уравнений создавали акад. А.Н. Тихонов, Е.Ф. Мищенко, а также В.Р. Вазов, М.М. Вишик, J1.A. Люстерник, A.B. Васильева, В.Ф. Бутузов, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов, Ю.С. Колесов, С.А. Ломов, И.С. Ломов, М.В. Федорюк, В.В. Стрыгин, В.А. Соболев, Г.С. Жукова, H.H. Нефёдов и многие другие авторы. Обзор работ можно найти в работе В.А. Треногина [168]. В монографии К. Чанга и Ф. Хауэса [183] приведена обширная библиография зарубежных и отечественных публикаций, в монографии А.Б. Васильевой и A.A. Плотникова [18] — отечественных публикаций. Обзору работ, касающихся сингулярно возмущённых задач управления, посвящены работы Г.А. Куриной [121], М.Г. Дмитриева и Г.А. Куриной [36]. Систему (5) с регулярными парами (А, G), (А, В) исследовали М.М. Вайнберг и В.А. Треногин [15], С.Г. Крейн и К. И. Чернышев [117].

Системы (5), (6), (8) не являются жесткими [117], [120], [121]. Возможно следующее поведение решений этих уравнений:

а)x(t, е) равномерно на Т стремится при е —> 0 к некоторому решению предельного (е = 0) уравнения;

б) x(t, е) отличается от решения предельного уравнения на функцию погранслоя вблизи точки t — 0;

в) другие случаи, в том числе ^limx(t,e) при е —> 0, или s)|| —> оо.

В случае а) соответствующая динамическая система малочувствительна к возмущениям или еС, груба, робастна 4.

В случае б) в задаче наблюдается явление погранслоя, задача является сингулярно возмущённой.

Одним из эффективных методов исследования уравнений с малым параметром при старшей производной является асимптотический метод, разработанный проф. А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузовым [16], [17], М.И. Вишиком и Л.А. Люстерником [22]. Нас интересует возможность исследования уравнения (5) как асимптотическим методом Васильевой, так и спектральными методами для выявления подпространств, которым принадлежат функции погранслоя.

Известное определение функции погранслоя, приведённое в работе М.И. Вишика и Л.А. Люстерника [22], имеет на наш взгляд некоторый недочёт: здесь нет строгого разделения функций погранслоя и бесконечно малых при е -» 0 функций. Например, по определению, данному в работе [22], функции

I 1

е £ и \/ё;е £ являются скалярными функциями погранслоя 0-го порядка.

I

Но функцию л/ее £ мы не считаем функцией погранслоя, это бесконечно малая при е —> 0 функция. Мы разделяем случай равномерного стремления решения возмущённой задачи к решению предельного уравнения и случай наличия явления погранслоя, поскольку в первом случае можно говорить о робастности системы, во втором случае — нет. Чтобы разделить эти случаи, даём несколько другое определение функции погранслоя (нулевого порядка).

Функцию :) называем функцией погранслоя в полуокрестности точки £ = 0 (коротко: функцией погранслоя вблизи £ = 0), если она стремится при £ —> 0 равномерно по норме пространства Е\ к нулю на любом замкнутом отрезке, не содержащем точки £ = 0, и не стремится к нулю равномерно на всем отрезке [О, Т].

Введённое определение функции погранслоя позволяет выявить свойства функций погранслоя, вывести критерий принадлежности функции классу

4"Робастность означает малое изменение выхода системы управления при малых изменениях параметров объекта управления" , http://ru.wikipedia.org.

функций погранслоя.

Особо важное прикладное значение имеет случай малой чувствительности систем к возмущениям eG для А и еС для В. Уравнением (2) с /(£) = О описывается, в частности, система управления, замкнутая обратной связью, и установление малой чувствительности системы (робастности) — актуальная задача автоматического управления. И весьма актуальна возможность установления этой малой чувствительности более простыми средствами, например, с помощью сравнения порядков полюсов некоторых операторных пучков, или сравнения длин специальных жордановых цепочек. Каскадный метод даёт возможность получить соответствующие результаты.

Обратная задача для систем (7)-(9) состоит в нахождении функций x(t) и u(t), если x(t) € В частном случае Ш{х) = {a;(t) :

x(to) = хо, x(t\) = £1}, Т = [tojti] — это обратная задача с финальным переопределением. В случае существования Vxq, х\ € Мп соответствующего u(t), система называется полностью управляемой по состоянию (п. управляемой), в противном случае — неуправляемой [103].

Математическая и прикладная теория управления развивалась такими выдающимися отечественными учеными, как акад. Р.В. Гамкрелидзе, В.А. Ильин, H.H. Красовский, A.B. Куржанский, Е.Ф. Мищенко, H.H. Моисеев, Ю.С. Осипов, H.H. Петров, JI.C. Понтрягин, А.И. Субботин, А.Н. Тихонов, Ф.Л. Черноусько. Значительный вклад внесли А.П. Афанасьев, Ю.Н. Андреев, А.Г. Бутковский, Р.Ф. Габасов, И.В. Гайшун, A.A. Давыдов, М.И. Зеликин, В.И. Зубов, Ф.М. Кириллова, В.И. Коробов, И.А. Крылов, A.M. Летов, В.М. Марченко, М.С. Никольский, В.М. Тихомиров, ЕЛ. Тонков, М.П. Харламов, Р. Калман, Р. Беллман, L. Dai, A. Ailon, S. Campbell, P. Chen, H. Qin, A. Ilchmann, V. Mehrmann, М.С. Joshi, A. Chang, W.A. Wolovitch и многие другие авторы.

Особое внимание уделялось исследованию линейных систем управления с постоянными и переменными коэффициентами и A(t) = I. Уже в 80-х годах прошлого века создалось впечатление, что "к настоящему времени теория управляемости детально разработана для стационарных линейных систем"

(Р. Е. Забелло [43], 1976 г.).

Однако оставалась нерешенной, например, задача экспоненциальной стабилизации системы с контрольными точками. Разность y(t) между программным состоянием x{t) п. управляемой системы (7) и реальным состоянием x(t), и разность v(t) между программным управлением Upr(t) и реальным управлением u(t), связаны уравнением

y(t) = B{t)y(t) + D(t)v(t)

и условием y(to) = у\fy° в М" ([128], [45], [114], [170], [166], [141], [107], [198] и др., обзор работ можно найти в [194]). Требуется построить г»(¿) такое, что не только ||y(i)|| ^ ce~wt для любого наперёд заданного о? > 0, но и совпадают состояния реальное и программное в любом конечном количестве точек ij, то есть у{U) = 0, г = 1, к. Такое управление можно применить, например, при установке объекта типа колонны в вертикальное положение за желательно короткий срок при возможных помехах в начальный момент времени (порыв ветра...). При любом состоянии верхней точки колонны в начальный момент времени, отличном от расчетного (программного), под воздействием найденного управления верхняя часть колонны будет колебаться относительно устойчивого положения с быстро затухающей амплитудой, занимая в моменты ¿¿, г = 1, к, требуемое положение 5.

Решалась лишь в отдельных частных случаях задача инвариантности динамической системы относительно внешних и внутренних возмущений 6 системы (7) к различным возмущениям ([225], [170], [182], [146], [13], [119], [186], обзоры работ есть в [137], [146], [12]).

Если в системе (7) возникают внутренние возмущения Gi(t), C?2(i)> (t) и внешнее возмущение g(t), и если возможно применить блокатор D(t) к возмущениям так, что возмущенное уравнение принимает вид

(I + D(t)Gi(t))xv(t) = (10)

5из реплики проф. М.П. Харламова при обсуждении доклада автора диссертации "Стабилизация программного движения линейной нестационарной системы управления" на конференции "Современные методы теории краевых задач" . Материалы Воронежской весен, мат. шк. "Понтрягинские чтения XXI" .Воронеж, 2010 .- С. 95-96.

6Термин "инвариантность"для динамической системы ввёл акад. H.H. Лузин.

= (Bit) + D(t)G2(t))xv(t) + D(t)uv(t) + (/ + D(t)Gz(t))f(t) + D(t)g(t),

то задача состоит в построении такого управления uv(t), под воздейтвием которого состояние возмущенной системы (10) не отличается от состояния исходной системы (7):

xv(t) = x(t), t € Т.

Требуют решения также задачи инвариантности относительно возмущений, возникающих в дискретных системах управления, в системах наблюдения.

Не до конца исследована "свободность" динамической системы, то есть не полностью выявлен набор фазовых переменных состояния системы, которые не влияют на п. управляемость системы.

Отсутствует критерий п. управляемости дескрипторной системы (9) в нерегулярном случае. Отметим, что из п. управляемости системы (7) с /(£) е 0 не следует п. управляемость системы с f(t) ф 0, и критерии п. управляемости для этих систем должны различаться. Получение таких критериев крайне актуальная задача.

Явно недостаточно методов конкретного предъявления решений обратных задач, например, задачи перемещения материальной точки, движущейся под действием реактивной силы, из положения хо в момент t = to в положение Xk В момент t — tk низко над местностью со сложным рельефом, практически повторяя его. Для этого достаточно задать некоторое количество контрольных точек (U,Xi) и найти управление, под воздействием которого материальная точка пройдет через эти контрольные точки, то есть состояние системы при t = ti (to < t\ < ... < tk) примет значения Xf.

Ш(х) = {®(t) : = Xi}. (11)

При стыковке летательных аппаратов, при мягкой посадке летательных аппаратов, при плавной стыковке различных режимов технологических процессов необходимо выполнение условий u(t) Е Ш1(п), например:

/7J11 _

ак(и) = МО: = < i = (12)

При решении таких задач каскадный метод, использующий лишь решение алгебраических уравнений и процедуру дифференцирования, весьма

продуктивен. На каждом этапе исследуемая система содержит всё меньшее количество уравнений, в отличие от результатов других авторов, в чьих работах, зачастую, после преобразования матричных коэффициентов исходная система обретает гораздо большие размеры ([197], [96], [211], ... ).

Многократная дифференцируемостьт1(£), B(t), f(t) требуется лишь от их некоторых "частей" (в подпространствах).

Для построения x(t) и u{t) таким методом не требуется предварительного установления свойства управляемости рассматриваемой системы, п. управляемость или неуправляемость устанавливается в процессе.

Предлагаемый метод даёт возможность привлечения для исследования систем (например (9)) более широкого математического аппарата: цепочек Жордана, диаграммы Ньютона, элементов теории ветвления. Применение такого аппарата для исследования конкретных динамических систем весьма полезно.

Актуальна дальнейшая разработка метода неопределённых коэффициентов, ведущего к численной реализации управляемого процесса для широкого круга обратных задач современными вычислительными средствами. Метод основан на свойстве: для п. управляемой линейной стационарной динамической системы существуют x(t) и u(t) в виде линейных комбинаций линейно независимых скалярных функций с векторными коэффициентами. О существовании вектор-функций u(t) такого вида говорилось, например, в монографиях H.H. Красовского [113], П.Д. Крутько [118]. Существование u(t) в полиномиальном виде в многоточечной задаче управления доказано в работах А. Ailon, G. Langholz [197]. Однако, задачи стабилизации динамических систем требуют и других решений, отличных от полиномиальных. Для нахождения неопределённых коэффициентов актуально получение алгебраических систем, коэффициентами в которых являются лишь матрицы D, BlD, i = 1,2,..., в отличие от результатов работ [197], [137], в системах которых участвуют преобразованные D, В и другие матрицы.

Данная диссертационная работа посвящена ликвидации указанных пробелов в решении названных задач.

Результаты диссертационной работы опубликованы в работах [46]-[95] списка литературы, из них работы [46]-[66] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Текст диссертации изложен на 278 страницах, включая 26 рисунков и схем. Главы разбиты на разделы, разделы разбиты на пункты, некоторые пункты разбиты на подпункты А, Б, В, ... . Список цитируемой литературы состоит из 231 наименования. Нумерация формул отдельная по разделам, первая цифра — номер главы, вторая цифра — номер раздела, третья — номер формулы. Нумерация теорем, лемм и примеров сквозная. Нумерация рисунков по главам.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Зубова, Светлана Петровна

Заключение

В диссертационной работе представлены следующие результаты.

Разработанны новые методы:

• Метод каскадной декомпозиции (каскадный метод) широкого класса дифференциальных систем, представляющий из себя алгоритм, при реализации которого за конечное число шагов система редуцируется к новой системе, исследование которой приводит к достижению поставленной цели и к получению новых результатов. Метод адаптирован к практическому решению обратных задач для динамических систем.

• Метод определения "свободности" системы, то есть определения компонент системы, не влияющих на свойство разрешимости определённого класса обратных задач динамики систем (задач управления).

• Метод неопределенных коэффициентов нахождения функций состояния и управления в различных видах для линейных стационарных динамических систем.

Каскадным методом исследованы:

• Задача Коши для линейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве с нётеровым оператором при производной.

• Чувствительность к различным возмущениям решения задачи Коши для дифференциального уравнения в банаховом пространстве с нётеровым оператором при производной.

• Разрешимость обратных задач динамики систем с прямоугольно-матричными коэффициентами как для систем, разрешённых относительно производной, так и для дескрипторных систем.

• Сингулярное возмущение системы управления с малым параметром при производной от функции состояния.

Получены новые следующие результаты.

• Найдены полные условия существования решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве с нётеровым оператором при производной.

• Выявлено новое свойство коэффициентов дескрипторного уравнения — свойство псевдорегулярности операторного пучка (псевдорегулярность уравнения, системы), влекущее единственность решения задачи Коши, полноту специального жорданова набора элементов.

• Построены фазовые пространства для дескрипторных псевдорегулярных и непсевдорегулярных уравнений.

• Редуцированы дескрипторные уравнения с нётеровым оператором при производной к уравнениям, разрешённым относительно производной, в фазовых пространствах. Построены решения задачи Коши.

• Получены полные условия равномерного стремления решений возмущённых с помощью малого параметра начальных задач для уравнений с нётеровым оператором при производной к решениям предельных задач при стремлении параметра к нулю (малая чувствительность систем). При этом использовались спектральные методы, метод диаграмм Ньютона, свойства специальных жордановых цепочек элементов, асимптотические методы.

• Установлена прямая связь между невыполняемостью условия псевдорегулярности и неуправляемостью для динамических систем с прямоугольной матрицей при производной; между бесконечностью длин цепочек Жордана и неуправляемостью.

• Получены каскадные критерии полной управляемости по состоянию линейных нестационарных динамических систем с прямоугольно-матричными коэффициентами, разрешённых относительно производной, с условиями на состояние системы, на управление и его производные в заданные многочисленные моменты времени; линейных стационарных систем, неразрешённых относительно производных, как однородных (без дополнительной входной функции), так и неоднородных (с дополнительной входной функцией). критерий полной управляемости по выходу для линейных стационарных систем с прямоугольно-матричным коэффициентом при производной.

Каскадным методом решены следующие задачи, не решаемые ранее, или решаемые1 в отдельных частных случаях:

• Задача экспоненциальной стабилизации с контрольными точками, в которой требуется не только сближения траектории системы с программной траекторией, но и совпадения их в произвольно заданные моменты времени. Решение такой задачи позволяет существенно приблизить траекторию движения динамической системы к программной траектории. • Задача инвариантности динамической системы от внутренних и внешних возмущений, часть из которых могут быть не малыми. Предложен способ защиты от возмущений — введение в систему определенного блокатора, при наличии которого гасится некоторая часть каждого возмущения. Определена форма изменения входной функции для погашения влияния оставшейся части возмущения.

• Задача управления стационарными состояниями системы. Выявлено: п. управляемая стационарная динамическая система не может иметь произвольно заданное стационарное состояние. Определен класс нестационарных систем, для которых управляемо любое стационарное состояние.

• Задача с контролем за движением и управлением системы в случае задания в различные моменты времени не только значения функции состояния, но и значения функции управления и ее производных высокого порядка.

• Задача построения управления, под воздействием которого в системе с малым параметром при производной наблюдается явление погранслоя одновременно вблизи концов отрезка времени без какого-либо условия регулярности вырождения.

Решение задач проиллюстрировано на конкретных примерах. [76]

Выведены методом неопределённых коэффициентов на основании

1Под решением задачи понимается нахождение, построение всех неизвестных функций, входящих в задачу результатов, полученных каскадным методом, линейные алгебраические системы и формулы для нахождения функций состояния и управления для линейных стационарных динамических систем с многоточечными условиями на функции состояния и управление в различных видах: в полиномиальном, в дробно-рациональном, в экспоненциально-полиномиальном, с последующей численной реализацией в системе Ма^сас! задач прикладного характера и графической иллюстрацией результатов.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Зубова, Светлана Петровна, 2013 год

Литература

[1] Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами / Ю.Н. Андреев. - М. : Наука, 1976. - 424 с.

[2] Алыпин A.B. Линейные и нелинейные уравнения Соболевского типа / A.B. Алынин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плеснер, А.Г. Свешников. — М. : Физматлит, 2007. - 735 с. ISBN 978-5-9221-0779-2.

[3] Асмыкович И.К. Дескрипторные системы управления / И.К. Асмыкович, Ф.М. Кириллова. — Препринт. — Минск.: Ин-т математики АН БССР, 1988. - 34 с.

[4] Аткинсон Ф.В. Нормальная разрешимость линейных уравнений в нормированных пространствах / Ф.В. Аткинсон // Матем. сборник. — 1951. - Т. 28 (70), № 1. - С. 3-14.

[5] Афанасьев В.Н. Математическая теория конструирования систем управления /В.Н. Афанасьев, В.Б. Колмановский, В. Р. Носов. — М. : Высшая школа, 1998. - 573 с. ISBN 5-06-002662-0.

[6] Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышов // Матем. сборник. - 2002. - Т. 193, № 11. - С. 3-42.

[7] Беллман Р. Некоторые вопросы математической теории процессов управления / Р. Беллман, И. Гликсберг, О. Гросс. — М. : Изд-во иностр. литературы, 1962. — 332 с.

[8] Биркгоф Д.Д. Динамические системы / Д.Д. Биркгоф. — Ижевск. : Удмурт, ун-т, 1999. - 407 с. ISSN 5-7029-0356-0.

[9] Бояринцев Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебро—дифференциальные

системы / Ю.Е. Бояринцев. — Новосибирск : Наука, 2000. — 222 с. ISBN 5-02-031629-6.

[10] Бояринцев Ю.Е. Пучки матриц и алгебро-дифференциальные системы / Ю.Е. Бояринцев, И.В. Орлова. — Новосибирск : Наука, 2006. — 124 с. ISBN 5-02-032514-7.

[11] Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Е. Бояринцев. — Новосибирск : Наука, Сибирское отделение СО, 1980. — 222 с.

[12] Бронников A.M. Вложение систем. Условия строгой нечувствительности линейных систем к неэкстенсивным структурным изменениям / A.M. Бронников // Автоматика и телемеханика. — 2004.

- № 4. - С. 35-47.

[13] Буков В.Н. Условия инвариантности выхода линейных систем / И. Н. Буков, Ф. М. Бронников // Автоматика и телемеханика. — 2005. — JV8 2. - С. 23-35.

[14] Буяхияуй К. Оптимальное нечёткое управление для снижения энергопотребления в дистилляционных колоннах / К. Буяхияуй, Л. Григорьев, Ф. Лаауад, А. Хелласи // Автоматика и телемеханика. — 2005. - №2.- С. 36-45.

[15] Вайнберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. — М. : Наука, 1969. - 527 с.

[16] Васильева A.B. Асимптотические разложения сингулярно возмущённых уравнений / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. — М. : Наука, 1973. — 270 с.

[17] Васильева А.Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / A.B. Васильева, В.Ф. Бутузов. — М. : Высш. шк., 1990.

- 208 с. ISBN 506001634Х, 9785060016345.

[18] Васильева A.B. Асимптотическая теория сингулярно возмущённых задач (Спецкурс для аспирантов) / A.B. Васильева, A.A. Плотников.

— Физ. фак. МГУ им. М.В. Ломоносова, 2008. — 139 с.

[19] Васильева A.B. Контрастные структуры в сингулярно возмущённых задачах / A.B. Васильева, В.Ф. Бутузов, H.H. Нефёдов // Фундам. и прикладная матем.. - 1998. — Т. 4, № 3. — С. 799-851.

[20] Вазов В. Асимптотики решений дифференциальных уравнений / В. Вазов. - М. : Мир, 2004. — 463 с.

[21] Вишик М.И. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и сопряжённых и несопряжённых дифференциальных уравнений / М.И. Вишик, Л.А. Люстерник // Успехи матем. наук. — 1960. — № 15, Вып. 3 (93). - С. 3-80.

[22] Вишик М.И. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром /М.И. Вишик, Л.А. Люстерник // Успехи матем. наук. — 1957. — T.XII, вып. 5 (77). - С. 3-122.

[23] Вишик М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения / М. И. Вишик // Матем. сб. - 1956. - № 1, вып. 39(81). - С. 51-148.

[24] Габасов Р. Качественная теория оптимальных процессов / Р. Ф. Габасов, Ф. М. Кириллова. — М. : Наука, 1971. — 507 с.

[25] Габасов Р. Проблемы управления и наблюдения для бесконечномерных систем / Р. Габасов, Ф.М. Кириллова, В.М. Марченко, И.К. Асмыкович // Минск: Ин—т математики АНБССР. Препринт. — 1984. — 186 с.

[26] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. — М. : Наука, 1988.

- 576 с.

[27] Гайшун И.В. Введение в теорию линейных нестационарных систем / И.В. Гайшун. - Минск : Институт матем. НАНБ, 1999. — 410 с. ISBN 978-5-354-01209-1.

[28] Галиуллин A.C. Обратные задачи динамики / А. С. Галиуллин. — М. : Наука, 1981. - 144 с.

[29] Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления / Р. В. Гамкрелидзе. — Тбилиси : Изд-во Тбилис. ун-та, 1975. — 230 с.

[30] Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре / И.М. Гельфанд. — М. : Добросвет, МЦНМО, 1998. - 320 с.

[31] Гохберг И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряжённых операторов / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. — М. : Наука, 1965. — 448 с.

[32] Давыдов A.A. Управляемость нелинейных систем: типичные особенности и их устойчивость / A.A. Давыдов, В.М. Закалюкин.

- Успехи матем. наук. — 2012. - Т.67, вып. 2(40). - С. 65-92.

[33] Далецкий Ю.Д. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Д. Далецкий, М. Г. Крейн. — М. : Наука, 1970. - 534 с.

[34] Д'Анжело Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез / Г. Д'Анжело. — М. : Машиностроение, 1974. — 287 с.

[35] Демиденко Г.В. Уравнения и системы, не разрешённые относительно старшей производной / Г.В.Демиденко, C.B. Успенский. — Новосибирск : Научная книга, 1998. — 438 с.

[36] Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах управления / М.Г. Дмитриев, Г.А. Курина // Автоматика и телемеханика. — 2006. — №1.

- С.3-51.

[37] Дорф Р. Современные системы управления / Р. Дорф, 3. Бишоп. — М. : Лаборатория базовых знаний, 2002. — 832 с.

[38] Дьедонне Ж. Курс современного анализа / Ж. Дьедонне. — М. : Мир, 1964. - 336 с.

[39] Егоров И.Е. Неклассические дифференциально—операторные уравнения / И.Е. Егоров, С.Г. Пятков, C.B. Попов. — Новосибирск : Наука, СИФ РАН, 2000. - 336 с. ISBN 5-02-031500-1.

[40] Жукова Г.С. Метод общего анализа линейных сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений и систем : автореф. дис ... докт. физ.- мат. наук / Г.С. Жукова — Киев, 1990. — 31 с.

[41] Жукова Г.С. Аналог метода диаграммы Ньютона для одного класса сингулярно возмущённых дифференциальных у равнений. II / Г.С. Жукова // Дифференц. уравнения. - 1990. - Т. 26, № 9. - С. 15001509.

[42] Жукова Г.С. Асимптотический анализ модели власть-общество для сосуществования двух устойчивых распределений власти / Г.С. Жукова, М.Г. Дмитриев, А.П. Петров // Матем. моделирование. — 2004. - Т. 16, № 5. - С. 23-34.

[43] Забелло P.E. К вопросу управляемости нестационарных систем,I / P.E. Забелло // Известия ВУЗов. Математика. - № 12, 1976. - С. 30-37.

[44] Зеликин М.И. Оптимальное управление / М.И. Зеликин, Э. М. Галеев, С. В. Конягин и др. - M : МЦНМО, 2008. - 320 с. - ISBN 978-5-94057367-8.

[45] Зубов В.И. Лекции по теории управления / В.И. Зубов. — М. : Наука, 1975. - 203 с.

[46] Зубова С.П. Решение обратных задач для линейных динамических систем каскадным методом / С.П. Зубова // Доклады АН. — 2012. — Т. 447, M 6. - С. 599-602.

[47] Зубова С.П. Решение однородной задачи Коши для уравнения с нетеровым оператором при производной /С.П. Зубова // Доклады АН. - 2009. - Т. 428, № 4. - С. 444-446.- ISSN 0869-5652.

[48] Зубова С.П. Решение задачи управления для линейной дескрипторной системы с прямоугольно—матричными коэффициентами / С.П. Зубова // Математические заметки. — 2010. — Т. 88, вып. 6. — С. 884-895.

[49] Зубова С.П. Решение задачи Коши для двух дифференциально-алгебраических уравнений с фредгольмовым оператором /С.П. Зубова // Дифференциальные уравнения. — 2005. — Т. 41, № 10. — С. 1410— 1412.

[50] Зубова С.П. Исследование решения задачи Коши для одного сингулярно возмущенного дифференциального уравнения / Изв. ВУЗов. Математика. - 2000 . - N8 (459). - С. 76-80.

[51] Зубова С.П. О частных решениях дифференциального уравнения в банаховом пространстве с малым параметром при производной / С.П. Зубова , В.П. Трофимов // Доклады АН. - 1992. - Т. 325, N6. - С. 1103-1106.

[52] Зубова С.П. О голоморфных решениях дифференциального уравнения с операторным коэффициентом при производной, зависящим от параметра / С.П. Зубова, В.П. Трофимов // Дифференц. уравнения. - 1985. - Т. XXI, № 2. - С. 328-330.

[53] Зубова С.П. О задаче Коши для дифференциального уравнения с сингулярными возмущениями в банаховом пространстве / С.П. Зубова // Доклады АН СССР. - 1982. - Т. 264, N 2.- 0. 286-290.

[54] Зубова С.П. Об асимптотике решения одного класса дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / С.П. Зубова // Доклады АН СССР. - 1973.- Т. 213, N2.-0 278-281.

[55] Зубова С.П. О критериях полной управляемости дескрипторной системы. Полиномиальное решение задачи управления при наличии контрольных точек. Автоматика и Телемеханика. — 2011. — № 1. — С. 27-41.

[56] Зубова С.П. Построение быстро убывающего решения неоднородной системы при наличии контрольных точек и условий на управление / С.П. Зубова, Чан Тхань Туан // Автоматика и телемеханика.— 2010. — № И. - С. 29-37.- ISSN 0005-2310.

[57] Зубова С.П. О полиномиальных решениях линейной стационарной системы управления / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Jle Хай Чунг // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 11. — С. 41-47.

[58] Зубова С.П. Критерий полной управляемости для линейной стационарной дескрипторной системы / С.П. Зубова // Вестник Воронежского государственного университета.: Сер. Физика. Математика. - Воронеж, 2010. - №2. - С. 84-88. - ISSN 02345439. - ISSN 1609-0705.

[59] Зубова С.П. Построение управления, генерирующего явление погранслоя в сингулярно возмущённой системе / С.П. Зубова, Е.В. Клочкова // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. : Физика. Математика. — Воронеж, 2010. — №2. — С. 89-96. — ISSN 0234-5439. - ISSN 1609-0705.

[60] Зубова С.П. Построение полиномиального управления линейной стационарной системой с контрольными точками и дополнительными ограничениями / С.П. Зубова, Jle Хай Чунг // Системы управления и информационные технологии. Москва—Воронеж — 2008. — № 1.2 (31). - С. 225-227. - ISSN 1729-5068.

[61] Зубова С.П. Построение затухающего управления в многоточечной задаче / С.П. Зубова // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. : Системный анализ и информационные технологии.

■

- Воронеж, 2010. - №2.- С. 27-32. - ISSN 0234-5439. - ISSN 19955499.

[62] Зубова С.П. Стабилизация линейной системы управления / С.П. Зубова // Учёные записки Российского государственного социального университета. Москва. - 2010. - № 8 (84). - С. 60-69. - ISSN 20715323.

[63] Зубова С.П. Полная наблюдаемость нестационарной дифференциально-алгебраической системы / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг // Вестник Воронежского государственного технического университета. — Воронеж, 2010. — Т. 6, № 8. — С. 82-86.

- ISSN 1729-6501.

[64] Зубова С.П. Об инвариантности нестационарной системы наблюдения отно-сительно некоторых возмущений / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. - Тамбов, 2010. - Т. 15, Вып. 6. - С. 1678-1679.

- ISSN 1810-0198.

[65] Зубова С.П. Об одном методе построения управления и состояний для дискретной стационарной системы управления /С.П. Зубова, Чан ТханьТуан // Вестник Воронежского государственного университета. Сер.: Экономика. Управление. — Воронеж, 2010. — № 2. — С. 162-168.

- ISSN 0234-5439, ISSN 1814-2966.

[66] Зубова С.П. Исследование полной наблюдаемости динамической системы, моделирующей распространение информации в обществе/ М.В. Драпалюк, С.П. Зубова, Фам Туан Кыонг, Е.В. Раецкая // Вестник Воронежского гос. технического ун-та. Воронеж. — 2012. — Т. 8, № 5. - С. 10-14.

[67] Зубова С.П. Свойства возмущённого фредгольмовского оператора. Решение дифференциального уравнения с фредгольмовским оператором при производной / С.П. Зубова; Воронежский гос.

ун-т. - Воронеж, 1991. - 17 с. - Ден. в ВИНИТИ 17. 06. 91, № 2516-В91.

[68] Зубова С.П. Функции погранслоя. Явление погранслоя / С.П. Зубова; Воронежский гос. ун-т. — Воронеж, 1991. — 17 с. — Деп. в ВИНИТИ 17. 06. 91, № 2517-В91.

[69] Зубова С.П. О голоморфных решениях задачи Коши для дифференциальных уравнений с операторным коэффициентом, зависящим от параметра / С.П. Зубова, В. П. Трофимов; Воронежский гос. ун-т. - Воронеж, 1991. - 31 с. - Деп. в ВИНИТИ 18. 03. 91, № 1163-В91.

[70] Зубова С.П. О характеристических значениях фредгольмова операторного пучка /С.П. Зубова, Ю.И. Кирсанова, В.П. Трофимов; Воронежский гос. ун-т. — Воронеж, 1987. — 21 с. — Деп. в ВИНИТИ 06.11.87, № 7795-В87.

[71] Зубова С.П. Исследование поведения решения сингулярно возмущённого дифференциального уравнения в "критическом случае"/ С.П. Зубова // Материалы научного семинара кафедры дифференц. ур-ний и матем. физики. — Ужгород, гос. ун-т. — 1982. — С. 88-111.

- Деп. в Укр. НИИНТИ 25.01.84, ДО105-Д84.

[72] Зубова С.П. Разрешимость задачи Коши для дифференциального уравнения с полуфредгольмовским оператором при производной // Операторные методы и их приложения / Воронеж, гос. ун-т .— 1989.

- С. 52-53. - (Деп. в ВИНИТИ 19.10.89, N6385-B89).

[73] Зубова С.П. Полиномиальное решение линейной стационарной системы управления при наличии контрольных точек и ограничений на управление /С.П. Зубова, Jle Хай Чунг / / Spectral and Evolution Problème: International Scientific Journal.Simferopol. Crimea, Ukraina. — 2008.

- Vol. 18. - P. 71-75.

[74] Зубова С.П. The Solution of the Cauchy Problem for a Singular Perturbed Equation / S.P. Zubova // Spectral and Evolution Problems: Proceedings of the Fourth Crimean Autumn Mathematical School—Symposium (Cromsh-IY), Sevastopol, Laspi, 1-12 Oct. 1993. - 1995. - Vol. 4. - P. 204-206.

[75] Зубова С.П. Исследование решения задачи Коши для одного класса дифференциальных уравнений с малым параметром / С.П. Зубова // Прикладной анализ. — Воронеж. : изд-во Воронежского университета. - 1979. - С. 51-60.

[76] Зубова С.П. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной / С.П. Зубова, К.И. Чернышов // Дифференц. уравнения и их применение. Вып. 14. Вильнюс. Институт физики и математики АН Литовской ССР. 1976. — С. 21-39.

[77] Зубова С.П. Решение неоднородного дифференциально-алгебраического уравнения с нётеровым оператором при производной / С.П. Зубова, С.А. Филатова // Труды математического факультета (новая серия). Воронеж, гос. ун-т. — Воронеж, 1999. — № 4. — С. 51-57.

[78] Зубова С.П. Исследование свойств управляющей функции одной динамической системы / С.П. Зубова, Е.В. Клочкова // Актуальные проблемы математики и информатики (тр. матем. факультета). — Воронеж, 2008. - № 2. - С. 21-28. - ISSN 0234-5439, ISSN 1609-0705.

[79] Зубова С.П. Решение задачи Коши для дифференциального уравнения с нётеровым оператором при производной /С.П. Зубова // Актуальные проблемы математики и информатики (тр. матем. факультета). — Воронеж, 2008. - № 4. - С. 15-23. - ISSN 2073-0209.

[80] Зубова С.П. Об инвариантности состояния линейной системы управления относительно некоторых возмущений / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Матем. методы и приложения. Часть 2. Труды семнадцатых матем. чтений Рос. гос. социальн. ун-та. Москва, 2008. — С. 63-69.

[81] Зубова С.П. Управление линейной динамической системой с частично заданными состоянием и управлением / С. П. Зубова, Е. В. Раецкая Е.В. // Матем. методы и приложения : труды пятнадцатых матем. чтений Рос. гос. социальн. ун-та (28-31 янв. 2006 г.). — Москва, 2006. — С. 56-60.

[82] Зубова С.П. Управление линейной стационарной системой при наличии контрольной точки / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Матем. методы и приложения : труды четырнадцатых матем. чтений Рос. гос. социальн. ун-та (28-31 янв. 2005 г.). - Москва, 2005. — С. 34-39.

[83] Зубова С.П. Структура решения одной сингулярно возмущённой задачи / С.П. Зубова // Матем. методы и приложения : труды одиннадцатых матем. чтений Моск. гос. социальн. ун-та (26-29 янв. 2003 г.). — Москва, 2004. - С. 27-29.

[84] Зубова С.П. О влиянии возмущений в задаче Коши для одного дифференциального уравнения / С. П. Зубова // Матем. методы и приложения : труды десятых матем. чтений МГСУ (26-30 янв. 2002 г.). - Москва, 2003. - С. 72-75.

[85] Зубова С.П. Решение задачи Коши для одного класса сингулярно возмущённых уравнений / С.П. Зубова // Алгебраические структуры и теория сингулярных возмущений. Материалы зимней матем. шк. (25-30 января 1993 г.) Москва, 1993. - С. 69-70.

[86] Зубова С.П. Сравнение решений двух задач Коши в банаховом пространстве / С.П. Зубова // Математика. Матем. образование: Тр. Росс, ассоциации "Женщины-математики". — Воронеж, 2003. — Т. 11. - С. 35-39.

[87] Зубова С.П. Решение неоднородного дифференциального уравнения с фредгольмовским оператором при производной / С. П. Зубова, С. А. Филатова // Труды молодых учёных. — Воронеж, 2001.— Вып. 1. — С. 9-11. - ISSN 1681-0112.

[88] Зубова С.П. Критерий управляемости линейной дескрипторной системы / С.П. Зубова // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования : материалы III Междунар. науч. конф.(Воронеж, 2-7 февр. 2009 г.). — Воронеж, 2009. - Ч. 2. - С. 7-8.

[89] Зубова С.П. О разрешимости задачи Коши для уравнения с нётеровым оператором при производной / С.П. Зубова // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2012. Материалы междун. конфер. Воронеж, 2012. — С. 74-81.

[90] Зубова С.П. Инвариантность состояния динамических систем относительно некоторых возмущений / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Современные проблемы математики, механики и их приложений: Междунар. конф., посвящ. 70—летию ректора МГУ акад. В.А. Садовничего (г. Москва, 30 март.-2 апр. 2009 г.). — Москва, 2009. — С. 150-151.

[91] Зубова С.П. Решение задачи Коши для дескрипторной системы с нётеровым оператором / С. П. Зубова // Современные проблемы вычислительной математики и математической физики: тезисы докладов Международной конф. памяти академика A.A. Самарского к 90-летию со дня рождения (Москва, 16-18 июня 2009 г.). — Москва, 2009. - С. 175-176.

[92] Зубова С.П. Решение задачи Коши для уравнения с полуфредгольмовым оператором при производной / С.П. Зубова // Дифференц. уравнения и смежные вопросы: Международная конференция, посвящённая 110 годовщине со дня рождения И.Г. Петровского (г. Москва, 30 мая-4июня 2011 г.). — Москва, 2011. — С. 217-218.

[93] Zubova S.P. On the invariance of time—variable nonlinear system of observation with respect to special perturbations / S.P. Zubova, E.V. Raetskaya,

Tuan Cuong Pham // The 8th Congress of the International Society for Analysis, its Applications, and Computation (22-27 August 2011, Moscow). - Moscow, 2011. - P. 397.

[94] . Влияние возмущений в задаче Коши для дескрипторного уравнения / С.П. Зубова // В сб. : Международная конференция "Анализ и особенности посвящённая 75-летию В.И. Арнольда. МИАН им. Стеклова, Москва, 17-21 декабря, 2012 . — С. 61-63.

[95] Зубова С.П. Инвариантность нестационарной системы наблюдения относительно возмущений определённого вида / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Проблемы математического анализа. Новосибирск, 2012. — Вып. 67. - С. 41-48.

[96] Зыбин Е.Ю. Рекурсивные тесты на управляемость и наблюдаемость больших динамических систем / Е.Ю. Зыбин, М.Ш. Мисриханов , В.Н. Рябченко // Автоматика и Телемеханика. — 2006. — № 5. — С. 119-132.

[97] Ильин В.А. Оптимизация граничного управления колебаниями стержня, состоящего из двух разнородных участков/ В.А. Ильин // Доклады РАН. - 2009. - Т. 440, № 2. - С. 159-163.

[98] Ильин В.А. Оптимизация граничного управления на одном конце струны при наличии модельного нелокального условия / В.А. Ильин // Автоматика и телемеханика. — 2009. — № 4. — С. 6-18.

[99] Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М. : Мир, 1967. — 624 с.

[100] Иоффе А.Д. Теория экстремальных задач / А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров. — М. : Наука, 1974. — 479 с.

[101] Каган В.Ф. Основания теории определителей / В.Ф. Каган В.Ф. — Одесса : Госуд. Изд-во Украины, 1922. — 521 с.

[102] Калинин А.И. Асимптотические методы оптимизации возмущённых динамических систем / А.И. Калинин. — Минск : УП Экоперспектива.

- 2000. - 187 с.

[103] Калман P.E. Об общей теории систем управления / Р.Е.Калман // Труды IFAC, Москва. - 1960. - С. 521-546.

[104] Калман P.E. Очерки по математической теории систем / P.E. Калман, П. Фалб, М. Арбиб. — М. : Едито-риал, 2004. — 400 с.

[105] Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. — М. : Мир, 1972. - 740 с.

[106] Квакернаак X. Линейные оптимальные системы управления / X. Квакернаак, Р. Сиван. — М. : Мир, 1977. — 650 с.

[107] Колмановский В.Б. Устойчивость управляемых систем / В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. — М. : Изд—во МИЭМ. — 1987.

[108] Колпакова Е.А. Об определении асимптотики одного класса сингулярно возмущённых задач вибрационной механики / Е.А. Колпакова, H.H. Субботина // Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 11. — С. 150163.

[109] Коробов В.И. О множествах достижимости и об управляемости линейной системы / В.И. Коробов // Журнал, вычисл. матем. и матем. физики. - 1970. - Т. 10, № 4. - С. 848-856.

[110] Коробов В.И. Общий подход к решению задачи синтеза ограниченных управлений в задаче управляемости / В.И. Коробов // Матем. сборник.

- 1979. - Т. 109(151), № 4(8). - С. 582-606.

[111] Коробов В.И. Связь между управляемостью и устойчивостью в задачах управления / В.И. Коробов // Дифференц. уравнения. — 1975. — Т. 11, № 8. - С. 1512-1515.

[112] Краснова С.А. Каскадный ситез наблюдателей состояния динамических систем / С.А. Краснова, В.А. Уткин. - М. : Наука, 2006. — 272 с. ISBN 5-02-033678-5.

[113] Красовский H.H. Теория управления движением / H.H. Красовский. — М. : Наука, 1968. - 476 с.

[114] Красовский H.H. Проблемы стабилизации управляемых движений. Дополнение к книге И.Г. Малкина "Теория устойчивости движения"/ H.H. Красовский. — М. : Наука, 1965.

[115] Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. — М. : Наука, 1967. — 464 с.

[116] Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. - М. : Наука, 1971. - 104 с.

[117] Крейн С.Г. Сингулярно возмущённые дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн, К.И. Чернышов // Новосибирск: СО АН СССРБ Институт математики, Препринт. — 1979. — 18 с.

[118] Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели / П.Д. Крутько. — М. : Наука, 1987. — 304 с.

[119] Куржанский A.B. Управление и наблюдение в условиях неопределённости / A.B. Куржанский. — М. : Наука, 1987. — 392 с.

[120] Курина Г.А. О полной управляемости разнотемповых сингулярно возмущенных систем / Г.А. Курина // Математические заметки. — 1992. - Т. 52, № 6. - С. 56-61.

[121] Курина Г.А.Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной / Г.А. Курина // Известия РАН. Техническая кибернетика. — 1992. — № 4. — С. 20-48.

[122] Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика / В.В. Леонтьев. — М. : Экономика, 1997. — 479 с.

[123] Ли Э.Б. Основы теории оптимального управления / Э.Б. Ли, Л. Маркус.

— М. : Наука, - 1972. - 576 с.

[124] Логинов Б.В. Об определении уравнения разветвления его группой симметрии / Б.В. Логинов // Доклады РАН. — 1993. - Т. 331, № 6. — С. 677-690.

[125] Ломов С.А. Степенной пограничный слой в задачах с сингулярным возмущением / С.А. Ломов // Известия АН СССР, сер.: Математика.

- 1966. - № 30. - С. 525-572.

[126] Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений / С.А. Ломов. - М. : Наука, 1981. — 398 с.

[127] Ломов С.А. Основы математической теории пограничного слоя / С.А. Ломов, И.С. Ломов. — Изд-во "Издательство МГУ" , 2011. — 456 с.

[128] Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения / A.M. Ляпунов. — М.— Л.: Гостехиздат, 1950. — 472 с.

[129] Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. — М. : Наука, 1965. — 520 с.

[130] Мальцев А.И. Основы линейной алгебры / А.И. Мальцев. — М. : Гостехиздат, 1956. — 423 с.

[131] Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений / В.П. Маслов. — М. : Наука, 1988. — 312 с.

[132] Массера Х.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства /Х.Л. Массера, Х.Х. Шеффер. — М. : Мир, 1970. - 456 с.

[133] Мельникова И.В. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве / И.В. Мельникова, М.А. Альшанский // Доклады РАН, сер.: Математика. - 1994. - Т. 336, № 1. - С. 17-20.

[134] Мельникова И.В. Задача Коши для включения в пространствах распределений / И.В. Мельникова // Сибирский матем. журнал. — 2001. - Т. 42, № 4. - С. 892-910.

[135] Минюк С.А. Критерии управляемости и достижимости линейных алгебро-дифференциальных систем / С.А. Минюк, O.A. Панасик // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2008. — № 5. — С.5-18.

[136] Минюк С.А. Конструктивное исследование идентифицируемости и управляемости линейных стационарных алгебро-дифференциальных систем / С.А. Минюк, A.B. Метельский // Дифференц. уравнения. — 2001. - Т. 42, № 11. - С. 1524-1531.

[137] Мисриханов М.Ш. Аналитический синтез инвариантных регуляторов / М.П1. Мисриханов // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 11. — С. 46-64.

[138] Мисриханов М.Ш. Ленточные критерии и рекурсивные тесты полной управляемости и наблюдаемости линейных алгебро-дифференциальных систем / М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 9. — С. 44-61.

[139] Мищенко У.Ф. Дифференц. уравнения с малым параметром и релаксационные колебания / У.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов. — М. : Наука, 1975. - 247 с.

[140] Мищенко У.Ф. Дифференц. уравнения с малым параметром при старшей производной / У.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов. — М. : Наука, 1975. - 248 с.

[141] Нефёдов А. Критерий стабилизируемости динамических систем с

конечномерным входом / А. Нефёдов, Ф. А. Шолохович // Дифференц. уравнения. - 1986. - Т. 22, № 2. - С. 223-228.

142] Никольский С.М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах / С.М. Никольский // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1943. - Т. 7, вып. 3. - с. 147-166.

143] Петров Б.Н. Избранные труды. 1. Теория автоматического управления / Б.Н. Петров. - М. : Наука, 1983. - 429 с.

144] Первозванский A.A. Курс теории автоматического управления / A.A. Первозванский. —М. : Наука, 1986. — 616 с.

145] Плеснер А.И. Спектральная теория линейных операторов / А.И. Плеснер. — М. : Наука, 1965. — 624 с.

146] Поляк Б.Т., П.С. Щербаков "Робастная устойчивость и управление". —М. : Наука, 2002 - 303 с.

147] Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин. — М. : Наука, 1982. — 329 с.

148] Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. — М. : Физматгиз, 1961. — 384 с.

149] Понтрягин Л.С. Оптимальные процессы регулирования / Л.С. Понтрягин // УМН. - 1959/ - Т. XIV, вып. 1 (85). С. 3-20.

150] Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем / В.М. Попов.

— М. : Наука, 1970. - 454 с.

151] Прилепко А.И. Метод полугрупп решения обратных, нелокальных и неклассических задач. Прогноз-управление и прогноз-наблюдение эволюционных уравнений / А.И. Прилепко // Дифференц. уравнения.

- 2005. - Т. 41, № 11. - С. 1560-1571.

[152] Раецкая E.B. Критерий полной условной управляемости сингулярно возмущенной системы. Оценки функции состояния и управляющей функции / Е.В. Раецкая // Кибернетика и технологии XXI века: сб. тр.У междунар. науч.-техн.конф. / Воронеж, 2004. — С. 28-34.

[153] Раецкая Е.В. Полная условная управляемость и полная наблюдаемость линейных систем: автореф. дисс. ... канд. физ. — мат. наук / Е.В. Раецкая. — Воронеж, 2004. — 16 с.

[154] Разумейко Б.Г. Об асимптотическом поведении решения краевой задачи для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с малым параметром / Б.Г. Разумейко // Дифференц. уравнения. — 1971. — Т. 7, № 11. - С. 1998-2006.

[155] Розенвассер E.H. Чувствительность систем автоматического управления / E.H. Розенвассер, З.М. Юсупов. — М. : Наука, 1981. — 208 с.

[156] Руткас А.Г. Задача Коши для уравнения Ax'(t) + Bx{t) = f(t) / А.Г. Руткас // Дифференц. уравнения. — 1975. — Т.Н. — № 11. — С.1996-2010.

[157] Садовничий В.А. Теория операторов / В.А. Садовничий. — М. : Наука, 1986. - 368 с.

[158] Сазанова JI.A. Синтез оптимального управленияв линейных дискретных системах / JI.A. сазанова // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2000. - Т. 6, № 2. - С. 477-496.

[159] Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи матем.наук. - 1994. - Т. 49, № 4 — С. 47-74.

[160] Сидоров H.A. Обобщённые решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / H.A. Сидоров, М.В. Фалалеев // Дифференц. уравнения. - 1987. - Т. 23, № 4. - С. 726-728.

[161] Сидоров H.A. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / H.A. Сидоров, O.A. Романова // Дифференц. уравнения. - 1983. - Т. 19, № 9. — С. 1516— 1526.

[162] Соболев C.JI. Об одной новой задаче математической физики / С. JI. Соболев // Известия АН СССР. Сер. : Матем. - 1954. - Т. 18:1. - С. 3-50.

[163] Стрыгин В. В. Разделение движений методом интегральных многообразий / В.В. Стрыгин, В.А. Соболев. — М.: Наука, 1988.

— 256 с.

[164] Тихонов А.Н. Дифференц. уравнения / А.Н. Тихонов, A.B. Васильева , Ф.Г. Свешников. — М. : Наука, 1998. — 232 с.

[165] Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных / А.Н. Тихонов // Математический сборник. - 1952. - Т. 31, № 3. - С. 575-586.

[166] Тонков E.JI. Критерий равномерной управляемости и стабилизации линейной рекуррентной системы / E.JI. Тонков // Дифференц. уравнения. - 1979. - Т. 15, № 10. - С. 1804-1813.

[167] Тонков E.JI. Условия полной управляемости нестационарной линейной системы в критическом случае / E.JI. Тонков, Л.И. Родина // Кибернетика и системный анализ. — 2004. — № 3. — С. 87-100.

[168] Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника—Вишика / В.А. Треногин // Успехи матем.наук. — 1970.

- Т. 25, вып. 4 (154). - С. 123-156.

[169] Треногин В. А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. — М. : Физматлит, 2002. - 488 с. - ISBN 5-9221-0272-9.

[170] Уонэм М. Линейные многомерные системы управления / М. Уонэм. — М. : Наука, 1980. - 375 с.

[171] Уткин В.А. Метод разделения движений в задачах наблюдения / В.А. Уткин // Автоматика и телемеханика. — 1990. — № 3. — С. 27-37.

[172] Фалалеев М.В. Системы дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев, О.В. Коробова // Сибирский матем. журнал. — 2008. — Т. 49, № 4. — С. 916-927.

[173] Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Сибирский матем. журнал. — 2000. — Т. 41, № 5. — С. 1167-1182.

[174] Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / М.В. Федорюк. — М. : Наука, 1983. — 352 с.

[175] Фёдоров В.Е. Управляемость линейных уравнений соболевского типа с относительно р—радиальными операторами / В.Е. Фёдоров, O.A. Рузакова // Известия вузов. Математика. — 2002. —№ 7 (482). — С. 54-57.

[176] Фёдоров В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В.Е. Фёдоров // Алгебра и анализ. — 2000. — Т. 12, вып. 3. - С. 173-200.

[177] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2 / Г.М. Фихтенгольц. — М. : Госуд. изд-во физ.— матем. литературы. — 1999. — 807 с.

[178] Функциональный анализ. СМБ Под общей редакцией С.Г. Крейна. — М. : Наука, 1972. - 544 с.

[179] Хапаев М.М. Условия управляемости сингулярно возмущённых систем, содержащих сингулярные управления /М.М. Хапаев // Доклады АН СССР. - 1991. - Т. 320, № 2. - С. 300-302.

[180] Хасина E.H. Об управлении вырожденными линейными динамическими системами / E.H. Хасина // Автоматика и телемеханика. — 1982. — К-4. - С. 30-37.

[181] Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс. — М. : Иностранная литература, 1962. — 829 с.

[182] Цыпкин Я.В. Робастная устойчивость линейных систем / Я.В. Цыпкин, Б.Т. Поляк // Итоги науки и техники, сер.: Технич. кибернетика. — 1991. - № 32. - С. 3-31.

[183] Чанг К. Нелинейные сингулярно возмущённые краевые задачи. Теория и приложения / К. Чанг, Ф. Хауэс. — М. : Мир, 1988. — 242 с.

[184] Чеботарёв Н.Г. Теория алгебраических функций / Н.Г. Чеботарёв. — М. : Гостехиздат, 1948. — 396 с.

[185] Черноусько Ф.Л. Декомпозиция и субоптимальное управление в динамических системах / Ф.Л. Черноусько // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. — 1990. — № 6. — С. 64-82.

[186] Черноусько Ф.Л. Управление системой с одной степенью свободы при сложных ограничениях / Ф.Л. Черноусько // Прикладная матем. и механика. - 1999. - № 63, вып. 5. — С. 707-715.

[187] Четаев Н.Г. Устойчивость движения / Н.Г. Четаев. — М. : Наука, 1965.

- 176 с.

[188] Чистяков В.Ф. Управляемость линейных алгебро—дифференциальных систем / В.Ф. Чистяков, A.A. Щеглова// Автоматика и телемеханика.

- 2002. - № 3. - С. 62-75.

[189] Чистяков В.Ф. Избранные главы теории алгебро—дифференциальных систем. / В.Ф. Чистяков, A.A. Щеглова. — Новосибирск : Наука, 2003.

- 319 с.

[190] Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат. — М. Наука, 1969. - 576 с.

[191] Шумилов В.Ф. К проблеме управления плавной стыковкой режимов технологических процессов / В.Ф. Шумилов // Автоматика и телемеханика. - 2006. — № 7. — С. 53-62.

[192] Шварц J1. Анализ / Л. Шварц. - М. : Мир, 1972. - 824 с.

[193] Щипанов Г.В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов / Г.В. Щипанов // Автоматика и телемеханика. — 1939. - № 1. - С. 49-66.

[194] Юрков А.В. Задачи стабилизации программных движений управляемых динамических систем / А.В. Юрков //Электронный журнал "Исследовано в России http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2001/0014.pdf.

[195] Якубович В.А. Оптимизация и инвариантность линейных стационарных систем управления / В.А. Якубович // Автоматика и телемеханика. — 1984. — № 8. — С. 5-44.

[196] Ailon A. Controllability of Generalized Linear Time—Invariant Systems / A. Ailon // IEEE Trans. Autom. Contr. - 1987. - Vol. 32, №5. - P. 429-432.

[197] Ailon A. More on the controllability of linear time-invariant systems / A. Ailon, G. Langholz // Int. J. Contr. - 1986. - Vol. 44, Л* 4. - P. 1161-1176.

[198] Brusin V.A. Stable matrices. Linear dynamic systems stabilization / V.A. Brusin // Soros Educational Journal. - 2001. - Vol. 7, № 1. - P. 122-127.

[199] Campbell S.L. Singular Systems of Differential Equations / S.L. Campbell // Pitman, London, 1980. — 176 p.

[200] Campbell S.L. Introduction to Differential Equations with Dynamical Systems / S.L. Campbell, R. Haberman. — Princeton University Press Page, 2008. - 444 p.

[201] Chang A. An algebraic characterization of controllability / A. Chang // JEEE Trans. Autom. Control, 1965. - Vol. 10, № 1. - P. 112-113.

[202] Chen P. Controllability of linear systems in Banach spaces / P. Chen, H. Qin // Systems-Control Letters. - 2002. - Vol. 45. - P. 155-161.

[203] Chen G. Initial boundari value problem for a system of generalized IMBq equations / G. Chen, H. Zhang // Math. Meth. Appl. Sci. - 2004. - Vol. 27. - P. 497-518.

[204] Cobb D. On the Solutions of Linear Differential Equations with Singular Coefficients / D. Cobb // Journal of Differential Equations. — 1982. — № 46. - P. 310-323.

[205] Cobb D. Topological Aspects of Controllability and Observability on the Manifold of Singular and Regular Systems / J. Daniel Cobb // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1989. — Vol. 138, P. 21-42.

[206] Dai L. Singular control systems. Lecture Notes in Control and ilnformation Sci,118 / L. Dai //Berlin, Heidelberg, N.Y.:Springler-Verlag. - 1989. -Vol. 18:2 - P. 1362-1392.

[207] Engel K.J. One-parameter semigroups for linear evolution equations // K.J. Engel, R. Nagel // New York : Springer, 2000. - 586 p.

[208] Favini A. Degenerate differential equations in Banach Space / A. Favini, A. Yagi. — New York—Basel—Hong Kong : Marsel Dekker, Inc., 1999. — 313 P-

[209] Griepentrog E. Differential—algebraic equations and their numerical treatment / E. Griepentrog, R. Marz. — Leipzig : BSB B. G. Teubner Verlags Gesellschaft, 1986. - 220 p.

[210] Hautus M.L.J. Controllability and observability conditions of linear autono-muos systems / M.L.J. Hautus // Proc. Kon. Ned. Akad.Wetensch. Ser.A. - 1969. - Vol. 72 - P. 443-448.

[211] Ilchmann A. A behavioral approach to time—varying linear systems. Part 2: descriptor systems / A. Ilchmann, V. Mehrmann // SIAM J. Control Optim. - 2005. - Vol. 44:5. - P. 1748-1765.

[212] Joshi M.C. Ordinary Differential Equations. Modern Perspective / M.C. Joshi // Alpha Science International Ltd. Oxford, U.K., 2006. — 261 p.

[213] Kokotovic P.V. Controllability and Time—Optimal Control of Systems with Slow and Fast Modest / P.V. Kokotovic, A. H. Haddad // JEEE Transactions on Automatic Control. - 1974. - № 4. — P. 111-113, №3. - P. 123-132.

[214] Koumboulis F.N. On Kalman/s Controllability and Observability Criteria for Singular Systems / F.N. Koumboulis, B.G. Mertzios // Circuits Systems Signal Process. - 1993. - Vol. 18, № 3. - P.269-290.

[215] Kunkel P. Differential—Algebraic Equations: analysis and Numerical Solution / P. Kunkel, V. Mehrmann // Zurich, Switzerland : EMA Publishing House, 2006. - 377 p.

[216] Kunkel P. Analysis and numerical solution of control problems in descriptor form / P.Kunkel, V. Mehrmann, W. Rath // Math.Control.Signals.Systems. - 2001. - № 14. - P. 29-61.

[217] Lewis F. L. Reachability and Controllability for Descriptor Systems / F. L. Lewis, K. Ozcaldiran // Proc. 27 Michvestern Symp. Circuits and Sys., Morgantown. - 1984. - P. 690-695.

[218] Losse R. Algebraic characterization of controllability and observability for second order descriptor systems / R. Losse, V. Mehrmann // Preprint series of the Institute of Mathematics, Technische Universität Berlin. — 2006. — 21 p.

[219] Lovass—Nagy V. On controlling generalized state—space (descriptor) systems / V. Lovass-Nagy, D. L. Powtrs, H. C. Yan // INT.J.Control. — 1986. - Vol. 43, № 4. - P. 1271-1281.

[220] Luenberger D. G. Time—invariant descriptor systems / D. G. Luenberger // Automatica. - 1978. - Vol. 14. - P. 473-480.

[221] Malabre M. Geometric characterization of "complete controllability indices" for singular systems / M. Malabre // Systems Control Letters. — 1987. - № 9. - P. 323-327.

[222] März R. Recent results in solving index-2 differential-algebraic equations in circuit simulation / R. März, C. Tischendorf // CSIAM J. Sei. Comput. — 1997. - Vol. 18 , № 1. - P. 139-159.

[223] März R. Differential Algebraic Systems Anew / R. März // Berlin: Humboldt—Universität, Institut für Mathematik. Preprint. — 2000. — № 21. - 29 p.

[224] Melnikova I.V. Cauchi Problems: Thee Approaches / I.V. Melnikova, A. Filinkov. - Chapman-Hall, CRC, 2001. - 233 p.

[225] Rosenbrock Y.Y. Structural properties of linear dynamical systems / Y.Y. Rosenbrock // INT. J. Control. - 1974. - Vol. 20, № 2. - P.191-202.

[226] Sviridyuk G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. — Utrecht—Boston—Tokyo— Kein : VSP, 2003. - 216 p.

[227] Verghese G.C. A Generalized State—Space for Singular Systems / G.C. Verghese, B.C. Levi, T. Kailath // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1981. - Vol. 26, № 4. - P. 811-831.

[228] Wasov W. Asymptotic Expressions for Ordinary Differential Equations / W.Wasov. - New York: JohnWiley k Sons, 1987. - 384 p.

[229] Wolovich W. A. On the stabilization of controllable systems / W.A. Wolovich // IEEE Trans. Autom. Control. - 1968. - Vol. 13, № 5. - P. 569-572.

[230] Yagi A. Generation theorem of semigroup for multivalued linear operators / A. Yagi // Osaka J. Math. - 1991. -Vol. 28. - P. 385-410.

Yip E.L. Solvability, Controllability and Observability of Continuous Descriptor Systems / E.L. Yip, R.F. Sincovec // IEEE Trans. Automat. Control. - 1981. - Vol. 26. - P. 702-707.