Метод электрических цепей Киргофа в задачах расчета стационарных магнитных полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.09.05, кандидат технических наук Байрамкулов, Казим Нюрахматович

• Байрамкулов, Казим Нюрахматович
• кандидат технических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат технических наук Байрамкулов, Казим Нюрахматович

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1 Электрическая цепь Кирхгофа как модель среды, несущей поле

1.1 Методы моделирования электрическими цепями

1.1.1 Традиционный метод

1.1.2 Метод энергетического баланса

1.2 Постановка задачи расчета магнитного поля в присутствии намагничиваемых тел

1.3 Функция потока в преобразовании задачи для магнитного поля на плоскости 22 1.3.1 Моделирование малых зазоров

1.4 Потенциал в преобразовании задачи для магнитного поля на плоскости

1.5 Потенциал поля реакции в преобразовании задачи для магнитного поля на плоскости

1.6 Особенности моделирования ЭЦК в трехмерной постановке

1.7 Сравнение методов 37 Выводы по главе

Глава 2 Краевые задачи на графе электрической цепи

2.1 Скалярные, векторные дискретные функции и операции над ними

2.2 Уравнения и тояадества на графе и его фрагментах

2.3 Краевые условия и внутренние краевые задачи 54 и/ 2.4 Пространства дискретных функций

2.5 Свойства гармонических дискретных функций

2.6 Фундаментальное решение уравнения Лапласа и первая краевая задача

2.7 Вторая и третья краевые задачи

2.8 Задача дифракции

2.9 Внешние краевые задачи

Выводы по главе

Глава 3 Методы теории потенциала на графе ЭЦК

3.1 Краевая задача на графе ЭЦК

3.2 Фундаментальное решение уравнения Лапласа

3.3 Переход от краевой задачи к матричному уравнению II рода

3.4 Обоснование применимости метода последовательных приближений

3.5 О способе вычисления фундаментального решения

3.6 Масштабирование как способ экономизации

3.7 Случай нелинейных свойств материала сердечника 115 Выводы по главе

Глава 4 Программная реализация

4.1 Краткое описание пакета программ

4.2 Контроль разработанного программного пакета

4.3 Примеры расчетов 128 Выводы по главе 4 133 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 134 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод электрических цепей Киргофа в задачах расчета стационарных магнитных полей»

Непрерывный рост мощностей электротехнических устройств, тенденция уменьшения их габаритов и экономии дорогостоящих материалов, ведущая к режимам функционирования близким к предельным, остро ставят вопрос о повышении точности расчета электромагнитных полей в этих устройствах. Детальное исследование особенностей распределения поля в элементах устройств, невозможно без численных расчетов полей с использованием вычислительной техники [1—3]. Поэтому актуальной проблемой теоретической электротехники является разработка эффективных методов моделирования и расчета магнитного поля, пригодных для сложных форм границ раздела сред с неоднородными, анизотропными и нелинейными свойствами. На сегодняшний день создан целый ряд численных методов анализа магнитного поля: методы интегральных уравнений, конечных разностей, конечных элементов, граничных элементов, декомпозиционнные методы, методы сведения полевых задач к цепным задачам.

Использование схем замещения при выполнении инженерных расчетов делает последние более наглядными, однако длительное время электрические цепи Кирхгофа (ЭЦК) служили лишь математической основой для физического моделирования полей различной природы на так называемых электрических сетках [4-8]. Соответствующие ЭЦК, находили, используя аналогию между конечно-разностным представлением дифференциальных уравнений в частных производных и соотношениями между током и напряжением на элементах ЭЦК [4, 5, 9]. Но, появившиеся в последнее время мощные пакеты прикладных программ по расчету сложных электрических и электронных схем, вкупе с бурным развитием компьютерной техники, стимулируют использование ЭЦК в качестве математической модели физических полей, предназначенной для компьютерной реализации. Об этом свидетельствуют работы российских, к примеру в [10—15], и зарубежных авторов, таких как [16-18]. Вместе с тем, при решении типичных для практики электромагнитных расчетов задач методом ЭЦК, зачастую получаются цепи с десятками или сотнями тысяч ветвей и узлов, или даже с их бесконечным числом, расчет которых остается проблемой для современных ЭВМ, а попытки снизить её остроту представляются актуальными.

Об актуальности построения новых схемных моделей для расчета магнитных полей и характеристик электротехнических устройств свидетельствует значительное число диссертаций, монографий и статей, посвященных этой тематике, в том числе работы акад АН СССР и РАН К.С. Демирчяна, акад. АН СССР JI.P. Неймана, акад. РАН Я.Б. Данилевича, А.Б. Новогородцева, М.А. Шакирова, Кияткина Р.П., С.М. Аполлонского, чл. корр. РАН П.А. Бутырина, А.В. Иванова-Смоленского, Э.В. Колесникова, Э.А. Мееровича, JI.A. Цейтлина, В.А. Филина, Г.Н. Цицикяна и др., работы профессоров ЮРГТУ (НПИ) (Коломейцев Л.Ф., В.И. Астахов, Г.К. Птах, А.Н. Ткачев) , а также работы зарубежных авторов (Jin Hur, Hamid. A. Toliyat, Jung-Pyo Hong, Chun Y-D., Lee J., Wakao S., M.V.K. Chari, H.B. Dwight, R.L. Ferrari, B. Hague, H. Kaden, C.I. Mocanu, P.P. Silvester, M. Stafl, R.L. Stoll, J. Turowski и др.). Несмотря на обилие работ в данном направлении вопросы экономизации расчетов ЭЦК остаются актуальными.

В настоящее время общепринятым способом получения схемы замещения является, так называемый традиционный метод [5] (коротко описан в главе 1). Недостатками последнего являются присутствие погрешности моделирования уже в самой структуре модели, и невозможность оценить погрешность моделирования в терминах энергетических характеристик исследуемых устройств, что важно для многих задач электромеханики.

Цель данной работы состоит в экономизации математического аппарата для расчета стационарного магнитного поля на основе ЭЦК, с последующей реализацией на ЭВМ. Поставленная цель предполагает решение следующих задач: 1. Развить метод ЭБ [10, 11] получения модели в виде ЭЦК как наиболее перспективного и обладающего возможностью оценки погрешности моделирования в терминах энергетических характеристик исследуемых устройств.

2. Создать на графах ЭЦК необходимый математический аппарат для формулирования и исследования аналогов краевых задач математической физики.

3. Адаптировать методы теории потенциала к графам ЭЦК.

4. Создать эффективное программное обеспечение для расчета методом ЭЦК стационарных магнитных полей с возможностью масштабирования в присутствии тел с неоднородными, анизотропными и нелинейными свойствами.

В главе первой настоящей работы ЭЦК рассмотрена, как модель среды, несущей поле. Описаны методы получения схем замещения, проведено сравнение методов, рассмотрены типичные для практики электромагнитных расчетов варианты краевых задач, используемые при нахождении стационарного магнитного поля. Показано использование функции потока и потенциала в преобразовании задачи для магнитного поля на плоскости к ЭЦК. Рассмотрены особенности моделирования трехмерных задач.

Во второй главе на связном графе введены скалярные и векторные дискретные функции, определены аналоги операций векторного анализа, поставлены и исследованы на корректность в евклидовых пространствах аналоги основных внутренних и внешних краевых задач математической физики для уравнений Лапласа-Пуассона.

В третьей главе рассмотрены методы теории потенциала на графе ЭЦК. Предложен способ получения фундаментального решения уравнения Лапласа и приведено представление дискретной функции на графе через фундаментальное решение. Выполнено сведение краевой задачи дифракции на графе к матричному уравнению второго рода, обоснована применимость метода последовательных приближений к его решению. Описано масштабирование как способ экономизации расчета ЭЦК. Рассмотрен случай нелинейных свойств материала сердечника.

В четвертой главе описан созданный на основе построенной теории программный пакет, приведены результаты контрольных расчетов. Также рассмотрены примеры моделирования технических задач с использованием созданного программного пакета.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [19—35]. Она была апробирована на следующих конференциях:

1. Конференция студентов и аспирантов ЮРГТУ (НПИ) 2005 и 2006 годов.

2. V Школа-семинар «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» для студентов, аспирантов и молодых ученых Юга России, декабрь 2006 г., г. Ростов-на-Дону, Россия.

3. «52. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium», сентябрь 2007 г., г. Ильменау, Германия.

4. Y Всероссийская научно—практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодежь XXI века - будущее российской науки", май

2007 г., г. Ростов-на-Дону, Россия (диплом за второе место).

5. Третья ежегодная конференция студентов и аспирантов базовых кафедр ЮНЦ РАН, апрель 2007 г., г. Ростов-на-Дону, Россия (диплом за второе место).

6. III Всероссийская школа-семинар «Математические методы и биомеханика в современном университете», мая -июнь 2007 г., пос. Дивноморское, Россия.

7. Lyapunov Memorial Conference 2007, июнь 2007 г., г. Харьков, Украина.

8. Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование, август-сентябрь 2007 г., г. Волгодонск, Россия.

9. VI Школа-семинар «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» для студентов, аспирантов и молодых ученых Юга России, декабрь 2007 г., г. Ростов-на-Дону, Россия.

10. Days on Diffraction'2008, июнь 2008 г., г. Санкт-Петербург, Россия.

11. Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна ВЗМШ-2008, январь

2008 г., г. Воронеж, Россия.

12. «53. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium», сентябрь 2008 г., г. Ильменау, Германия.

13. Четвертая ежегодная конференция студентов и аспирантов базовых кафедр ЮНЦ РАН - 2008, апрель 2008 г., г. Ростов-на-Дону, Россия {диплом за третье место).

14. Days on Diffraction'2009, май 2009 г., г. Санкт-Петербург, Россия.

15. «54. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium», сентябрь 2009 г., г. Ильменау, Германия.

Основной объем работы составляет 141 стр. и включает 52 рис. Список цитируемой литературы содержит 54 наименования.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая электротехника», Байрамкулов, Казим Нюрахматович

Основные результаты работы формулируются в следующем виде:

1. Развит метод ЭБ — математически строгого получения модели в виде ЭЦК. А именно, предложена оригинальная технология получения модели в виде бесконечной ЭЦК методом энергетического баланса. Предложен новый способ моделирования методом ЭБ, удобный при наличии источников поля в моделируемом объекте. Проведено сравнение методов получения схем замещения, традиционного и метода ЭБ. Рассмотрены типичные для практики электромагнитных расчетов варианты краевых задач, используемые при нахождении стационарного магнитного поля. Показаны особенности использования функции потока и потенциала в преобразовании задачи для магнитного поля на плоскости к ЭЦК.

2. На графах ЭЦК введен необходимый математический аппарат для формулирования и исследования аналогов классических краевых задач математической физики. А именно, введены скалярные и векторные функции, определены аналоги алгебраических операций и операций векторного анализа, поставлены и исследованы на корректность в евклидовых пространствах аналоги основных внутренних и внешних краевых задач математической физики для уравнений Лапласа-Пуассона.

3. Применительно к задаче дифракции на графе ЭЦК адаптированы методы теории потенциала позволяющие свести краевую задачу дифракции на графе к матричному уравнению минимальной размерности. Обоснован? применимость метода последовательных приближений к его решению. Предложен способ получения фундаментального решения уравнения Лапласа и приведено представление дискретной функции на графе через фундаментальное решение.

4. Предложен оригинальный способ ускорения сходимости, пользованием двух форм материального уравнения в зависимости от степени насыщения, итерационного процесса, учитывающего нелинейность, обеспечивающий монотонность сходимости.

5. На основе полученных математических моделей и алгоритмов разработан пакет программ «KCNM», предназначенный для расчета стационарных и квазистационарных магнитных полей методом ЭЦК в неоднородных, анизотропных или нелинейных средах с комплексной проницаемостью. Предусмотрена возможность масштабирования фрагмента области. Разработанный пакет программ контролировался на тестовой задаче и сравнением с известными пакетами. Он может найти применение в электромашиностроении, трансформаторостроении, приборостроении, а также в вузах на специальностях «Прикладная математика», «Теоретическая электротехника», «Электромеханика» при выполнении курсовых и дипломных работ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе предложен эффективный алгоритм метода ЭЦК для расчета стационарных магнитных полей в неоднородных, анизотропных или нелинейных средах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Байрамкулов, Казим Нюрахматович, 2010 год

1. Демирчян К.С., Чечурин В.Л. Машинные расчеты электромагнитных полей. М.: Высш. шк., 1986. 240 с.

2. Астахов В.И. Математическое моделирование инженерных задач в электротехнике. Новочеркасск: Новочерк. гос. техн. ун-т, 1994 с. 192.

3. Демирчян К.С., Бутырин П. А. Моделирование и машинный расчет электрических цепей. М.: Высш. шк., 1988. 335 с.

4. Гершгорин С.А. Об электрических сетках для приближенного решения дифференциального уравнения Лапласа. // Журнал прикладной физики. 1929, т. 6, вып. 3-4, стр. 3-29.

5. Волынский Б. А. и Бухман В. Е. Модели для решения краевых задач. Физматгиз, М., 1960. 451 с.

6. Чудаков А.Д. Электрические моделирующие сетки и их применение. М.: Энергия,1968. 136 с.

7. Шимони К. Теоретическая электротехника /Пер. с нем. М.: Мир, 1964. 773 с.

8. Гутенмахер Л.И. Электрические модели. К.: Техшка, 1975. 176 с.

9. Р. Курант, К. Фридрихе, Г. Леви, О разностных уравнениях математической физики//УМН, 1941, № 8, С.125-160.

10. Астахов В.И. Моделирование цепями Кирхгофа электротехнических устройств. Режим переменного тока // Изв. вузов. Электромеханика, 1999. № 3. С.105-120.

11. Астахов В.И. Моделирование цепями Кирхгофа электротехнических устройств. Режим постоянного тока //Изв.вузов. Электромеханика. 1998. № 5-6. С. 95-108.

12. Иванов-Смоленский А. В., Кузнецов В. А. Универсальный численный метод моделирования электромеханических преобразователей и систем

13. Электричество. 2000, N 7, с. 24-33

14. Шакиров М.А., Кияткин Р.П. Схемы замещения для систем левитации и тяги напеременном токе//Электротехника- 1999- №8 С. 11-19.

15. Jin Hur, Hamid. A. Toliyat, Jung-Pyo Hong Dynamic analysis of linear induction motors using 3-D equivalent magnetic circuit network (EMCN) method/ZElectric Power Components and Systems, vol. 29, pp. 531-541, 2001.

16. J. Perho, Reluctance network for analyzing induction machines Ph.D. Dissertation, Dept. Electrical Eng., Helsinki University of Technology, Finland, 2002.

17. Chun Y-D., Lee J., Wakao S., Magnetic Field Analysis Using 3D Equivalent Magnetic Circuit Network Method// Papers of Technical Meeting on Static Apparatus, IEE Japan, vol.SA-02, pp.83-88, 2002.

18. Байрамкулов K.H.-A., Астахов В.И. Расчет магнитного поля методом граничных уравнений на графе электрической цепи // Труды южного научного центра РАН.-2007. Том 2. С. 72-79.

19. Байрамкулов К.Н.-А., Астахов В.И. Расчет стационарного магнитного поля методом электрических цепей Кирхгофа//Студенческая научная весна 2005: Сборник научных трудов студентов и аспирантов ЮРГТУ (НПИ)/ Новочеркасск ЮРГТУ,2005. - С.234-236.

20. Байрамкулов К.Н.-А., Астахов В.И. Решение задачи дифракции методом граничных уравнений на электрических сетках // Студенческая научная весна -2006: Материалы 55-й науч. техн. конф. студентов и аспирантов ЮРГТУ (НПИ), 2006. - С.98-100.

21. Байрамкулов К.Н.-А. Метод граничных уравнений в задачах расчета статических и стационарных полей на топологических графах // Третья ежегодная научная конференция студентов и аспирантов базовых кафедр

22. Южного научного центра РАН: Тезисы докладов (Ростов-на-Дону, 5-24 апреля 2007г.). Ростов-на-Дону: Изд-во ЮНЦ РАН, 2007. С 114-115.

23. Байрамкулов K.H.-A. Масштабирование фрагмента области при расчете магнитного поля в кусочно-однородной среде методом теории цепей // Труды воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна 2008. Воронеж: ВорГУ, 2008. С. 41-44.

24. Байрамкулов К. Н.-А., Астахов В. И. Расчет магнитного поля в среде с неоднородными и анизотропными свойствами на основе электрической цепи Кирхгофа / Известия вузов. Электромеханика. 2009. №6

25. К. N.-A. Bayramkulov The modeling of fragment of area with magnetic field by kirchhoff electric circuit network // Days on difraction'2009. International conference. Saint Petersburg, May 26-29, 2009. Abstracts. P. 17.

26. Астахов В.И. О вариационном методе расчета магнитных полей // Изв. вузов. Электромеханика. 2003. №2. с.З—17.

27. Астахов В.И., Кочубей Т.В., Шапошников К.С. Метод ортогональных проекций в задачах расчета стационарных магнитных полей // Труды южного научного центра РАН. -2007. Том 2. С. 51-72.

28. Астахов В.И. О допустимости идеализации границ поляризуемых тел и некоторых энергетических соотношениях для стационарного магнитного и электростатического полей // Изв. вузов. Электромеханика. 2000. №1. с.3-14.

29. Тамм И. Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989. 504 с.

30. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с.

31. Кочин Н.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления / М.: Изд. АН СССР, 1961.426 с.

32. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Наука, Т.2, 1964. 440с.

33. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Харьков: Высш. шк., 1977. 315 с.

34. Полна Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Физматиз,1962. 336 с.

35. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высш. шк., 1977. 431 с.

36. Г. Нуссбаумер Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток /Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1985. 246с.

37. Владимиров В7СГУравнения математической~физики. М.: Наука, 197675281^

38. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физик. М.: Наука, 1977. 735 с.1. ЗУ- (цу

39. Маергойз И. Д. Итерационные методы расчета статистических полей в неоднородных, анизотропных и нелинейных средах. Киев, Наук, думка, 1979. 210с.

40. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука, 1973. 632с.

41. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. -512с.

42. Тозони О.В. Метод вторичных источников в электротехнике. М.: Энергия, 1975.296 с.

43. Андре Анго Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1965. 780с.

44. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. 544 с.